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1 CHAPITRE LES SUITES 1.1 Généralités sur les suites Définition 1.1.1...

1 CHAPITRE LES SUITES 1.1 Généralités sur les suites Définition 1.1.1   −→  Une suite (un ) est une fonction définie de  dans . On note (un ) : n −→ un  un est appelé le terme général de la suite (un ). !  Attention donc à bien faire la différence entre (un ) (la suite) et un (un seul terme).  On pourra noter indifféremment (un ) ou tout simplement u.  Variations, monotonie d’une suite Définition 1.1.2 Soit (un ) une suite. On dit que : a) la suite (un ) est croissante si pour tout n ∈  : un  un+1 ; b) la suite (un ) est décroissante si pour tout n ∈  : un  un+1 ; c) la suite (un ) est monotone si elle est croissante ou décroissante ; d) la suite (un ) est constante si pour tout n ∈  : un+1 = un.  Il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes : un = (−1)n. !  Les premiers termes de la suite n’entrent pas forcément en compte dans la variation d’une suite. Ils peuvent cependant donner une indication sur la monotonie de la suite. CHAPITRE 1 1 1  Chapitre 1 N Méthodes de détermination du sens de variation d’une suite MÉTHODE 1. – SENS DE VARIATION D’UNE SUITE Pour déterminer le sens de variation d’une suite (un ), on peut utiliser l’une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un.  Si un+1 − un est positive, alors la suite (un ) est croissante.  Si un+1 − un est négative, alors la suite (un ) est décroissante. un+1 b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport à 1. un un+1  Si  1, alors la suite (un ) est croissante. un un+1  Si  1, alors la suite (un ) est décroissante. un c) Si la suite (un ) est définieexplicitement : un = f (n), alors il suffit d’étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle 0; +∞. La suite (un ) et la fonction f ont le même sens de variation. d) On utilise un raisonnement par récurrence (voir section 2). Il est bien évident que chacune de ces méthodes est adaptée au type de suite à laquelle nous serons ! confrontés. Exemple Déterminer le sens de variation des suites suivantes en utilisant la règle la mieux adaptée. a) Pour tout n ∈ , un = n2 − n. 2n b) Pour tout n ∈ ∗ , un =. n 2n − 1 c) Pour tout n  2, un =. n+1 a) Pour tout n ∈ , un+1 − un = (n + 1)2 − (n + 1) − (n2 − n) = 2n  0. Par conséquent, la suite (un ) est croissante. un+1 b) Ici on étudie le rapport. Pour tout n  1 un 2n+1 un+1 n+1 2n+1 n 2n n+n = n = × = =  1. un 2 n + 1 2n n+1 n+1 n Ainsi, la suite (un ) est croissante. 2x − 1   c) On a un = f (n) où f (x) =. La fonction f est dérivable sur 0; +∞ et pour tout x  0, x +1 2 LES SUITES 2  Les suites 3   f  (x) = > 0. La fonction f est donc strictement croissante sur 0; +∞. On déduit que la (x + 1) 2 suite (un ) est aussi strictement croissante.  Suite arithmétique Définition 1.1.3 Une suite (un )n∈ est arithmétique s’il existe un réel r indépendant de n tel que, pour tout n ∈ , un+1 = un + r Le nombre r est appelé la raison de la suite (un ). Exemple 1 La suite (un ) définie par : u0 = 2 et un+1 = un + 3 (n ∈ ) est arithmétique. Ici la raison est r = 3. MÉTHODE 2. – DÉMONTRER QU’UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE Une suite (un ) est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est alors la raison de la suite. Ainsi, si pour tout n ∈ , un+1 − un = r, alors la suite (un ) est arithmétique de raison r. Exemple Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈  par : un = 4n − 1. Montrer que (un ) est arithmétique. Pour tout n ∈  : un+1 − un = 4(n + 1) − 1 − 4n + 1 = 4. Par conséquent, la suite (un ) est bien arithmétique de raison r = 4. Propriété 1.1.4 A) Expression du terme général en fonction de n :  si le premier terme est u0 , alors : un = u0 + nr ;  si le premier terme est u p ( p < n), alors : un = u p + (n − p)r. B) Somme des premiers termes : si S désigne la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique, alors : 1er terme + dernier terme S = (Nombre de termes) × 2 CHAPITRE 1 3 3  Chapitre 1  Suite géométrique Définition 1.1.5 Une suite (un )n∈ est géométrique s’il existe un réel q indépendant de n tel que, pour tout n ∈ , un+1 = q.un Exemple 2 a) La suite (un ) définie par : u0 = 2 et un+1 = 3un pour tout n ∈ . Ici la raison est q = 3. vn b) La suite (vn ) définie par : v0 = −3 et vn+1 = pour tout n ∈ . 4 La suite (vn ) est-elle géométrique ? MÉTHODE 3. – DÉMONTRER QU’UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUE Pour justifier qu’une suite (un ) est géométrique, il suffit d’utiliser la définition suivante. Une suite (un ) est géométrique si l’on peut écrire un+1 sous la forme : un+1 = qun. Le nombre réel q est alors la raison de la suite géométrique (un ). Exemple 3 Soit (un ) la suite définie pour tout n ∈  par : un =. Montrer que (un ) est géométrique. On 2n précisera le premier terme et la raison. Pour tout n ∈ , 3 1 3 1 un+1 = = × n = un. 2n+1 2 2 2 1 Par conséquent, la suite (un ) est bien géométrique de raison q =. 2 un+1 Une autre méthode (reposant aussi sur la définition) consiste à prouver que le rapport est constant, ! mais il faut s’assurer que les termes un ne s’annulent pas. un 4 LES SUITES 4  Les suites Propriété 1.1.6 Si (un ) est une suite géométrique de raison q : A) Expression du terme général en fonction de n :  si le premier terme est u0 , alors : un = u0 q n  si le premier terme est u p ( p < n), alors : un = u p q n−p B) Somme des premiers termes : si S désigne la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q (q = 1), alors : 1 − qnombre de termes S = (1er terme) × 1−q 1.2 Le raisonnement par récurrence  Introduction et intérêt du raisonnement par récurrence Exemple Soit la suite (un ) définie par :  u0 = 0 (un ) : un+1 = 2un + 1 En calculant les premiers termes de la suite, on peut donc émettre une conjecture quant à la forme du terme général un. On a : u1 = 1 ; u2 = 3 ; u3 = 7. Il semble que pour tout n ∈  : un = 2n − 1. Pour confirmer une telle conjecture, il nous faut la démontrer. Pour tout n ∈ , notons Pn la propriété : Pn : un = 2n − 1. a) On démontre que P0 est vraie ; on a d’une part u0 = 0 (définition) et d’autre part 20 − 1 = 0, donc u0 = 20 − 1. La propriété est initialisée. b) Supposons que pour un certain entier n, Pn soit vraie, c’est-à-dire qu’on ait un = 2n − 1. Alors on a un+1 = 2un + 1 = 2(2n − 1) + 1 = 2n+1 − 1. Ce qui veut dire tout simplement que Pn+1 est vraie. Ainsi, on vient de prouver que pour un entier n quelconque Pn entraîne Pn+1. La propriété est héréditaire. Conclusion : la propriété est initialisée et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier n. CHAPITRE 1 5 5  Chapitre 1  Le principe de récurrence Ce principe de démonstration par récurrence s’applique lorsqu’on cherche à démontrer qu’une propriété Pn dépendant d’un entier naturel n est vraie pour tout entier n  n0 , n0 étant un entier naturel donné. Principe du raisonnement par récurrence 1.2.1 On considère une propriété Pn. Pour démontrer que Pn est vraie pour tout entier n  n0 , on procède en trois étapes : A) Initialisation : on montre que la propriété est vraie pour n = n0 , c’est-à-dire que Pn0 est vraie. B) Hérédité : on démontre que : si la propriété est vraie pour un entier k  n0 , alors elle est vraie pour l’entier suivant k + 1. Autrement dit si Pk est vraie alors Pk+1. On dit que la propriété est héréditaire à partir du rang n0. C) Conclusion :  la propriété est initialisée,  elle est héréditaire. Par conséquent a Pn est vraie pour tout entier n  n0. a. Il est primordial que les deux conditions de ce principe soient réunies ! Exemple n(n + 1) Démontrer que pour tout entier n  1 on a : 1 + 2 + 3 + · · · + n =. 2 n(n + 1) Procédons donc par récurrence en posant pour n  1, Pn : 1 + 2 + 3 + · · · + n =. 2 A) Initialisation : pour n = 1, on démontre que P1 est vraie. On a  d’une part, la somme vaut 1 ; 1(1 + 1)  d’autre part : =1 2 Ainsi P1 est vraie. La propriété est donc initialisée. B) Hérédité : soit k un entier fixé. On suppose que Pk est vraie, k(k+1) c’est-à-dire que : 1 + 2 + 3 + · · · + k = 2 , (hypothèse de récurrence).   (k+1)(k+2) On veut alors démontrer que Pk+1 est vraie c’est-à-dire que : 1 + 2 + 3 + · · · + (k + 1) = 2. On a alors :  + 2 + 3+ · · · + k +(k + 1) 1 + 2 + 3 + · · · + (k + 1) = 1 k(k + 1) = + (k + 1) 2 k(k + 1) 2(k + 1) = + 2 2 (k + 1)(k + 2) =. 2 6 LES SUITES 6  Les suites Donc Pk+1 est vraie. C) Conclusion : la propriété est initialisée et de plus héréditaire, en vertu du principe de récurrence, Pn est donc vraie pour tout n  1. Ainsi : n(n + 1) pour tout n  1, 1+ 2 + 3 + ···+ n =. 2 EXERCICE  u0 = 1 On considère une suite (un ) définie par : un+1 = 2 + un , pour tout n ∈  1) Démontrer par récurrence que pour tout entier n : 0 < un < 2. 2) Démontrer que la suite (un ) est croissante. 1.3 Limite d’une suite On s’intéresse dans cette section au comportement d’une suite pour les très grandes valeurs de l’entier n (lorsque n tend vers l’infini). On parlera ainsi de la limite d’une suite (un ) et on notera : lim un n→+∞  Limite infinie Définition 1.3.1 On dit qu’une suite (un ) a pour limite +∞ si, et seulement si, tout intervalle ]A; ∞[ contient toutes les valeurs de la suite à partir d’un certain rang N. On note alors : lim un = +∞ n→+∞ On dit que la suite (un ) diverge vers +∞. + + + + A N CHAPITRE 1 7 7  Chapitre 1 1) Cette définition traduit l’idée que les termes de la suite arrivent à dépasser A, aussi grand soit-il. ! 2) Une suite peut ne pas avoir de limite. On dit qu’elle diverge. Par exemple un = (−1)n. N Limites de référence Propriété 1.3.2 Les suites suivantes ont pour limite +∞. (a) un = n (b) vn = n2 (c) w n = nk (k  1) (d) rn = n N Algorithmique : détermination d’un seuil Dans ce paragraphe, on se propose d’utiliser un algorithme nous permettant de déterminer le Algorithme : recherche de seuil seuil N à partir duquel tous les un sont supérieurs à un nombre donné A. 1 Variables 2 N , entier Soit la suite (un ) définie par : 3 u, réel ⎧ 4 début algorithme ⎪ ⎨u0 = −3 5 u ←− −3 (un ) : 6 N ←− 0 ⎪ ⎩u 7 7 Tant que u < 2 000 faire n+1 = un + 2. 5 7 8 u ←− u + 2 5 On montre facilement que cette suite est 9 N ←− N + 1 croissante et diverge vers +∞ (faîtes le !). 10 Fin tant que On voudrait déterminer à partir de quel entier N , 11 Afficher N un est supérieur à 2 000. 12 Afficher u Le programme ci-contre permet de trouver N. On 13 fin algorithme obtient alors : N = 21 et u = 2337, 71.  Limite finie Définition 1.3.3 On dit que la suite (un ) a pour limite L si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de la suite à partir d’un certain rang N. Un intervalle ouvert contenant L est de la forme ]L − ; L + [ où  > 0. On note alors : lim un = L n→+∞ On dit que la suite converge vers a L. a. Lorsqu’elle existe, cette limite est unique. 8 LES SUITES 8