Suites de Fonctions PDF

SUITES DE FONCTIONS 𝒇𝒏 (𝒙) Convergence Simple (CVS) CVS si lim 𝑓𝑛 (𝑥) ≠ ±∞ 𝑛→+∞ 1. Vérifier par DL 2. Pour chaque sous-intervalle, faire tendre 𝑛 vers +∞ → Pour 𝑥 ∈ 𝐼, lim 𝑓𝑛 (𝑥) = lim … = 𝑓(𝑥) 𝑛→+∞ 𝑛→+∞...

SUITES DE FONCTIONS 𝒇𝒏 (𝒙) Convergence Simple (CVS) CVS si lim 𝑓𝑛 (𝑥) ≠ ±∞ 𝑛→+∞ 1. Vérifier par DL 2. Pour chaque sous-intervalle, faire tendre 𝑛 vers +∞ → Pour 𝑥 ∈ 𝐼, lim 𝑓𝑛 (𝑥) = lim … = 𝑓(𝑥) 𝑛→+∞ 𝑛→+∞ 𝐶𝑉𝑆 3. Si 𝑓(𝑥) ≠ ∞, 𝑓𝑛 (𝑥) → 𝑓(𝑥) Pas CVS Si lim 𝑓𝑛 (𝑥) = ±∞ 𝑛→+∞ Intervalle composé de sous intervalles avec une limite infinie Convergence Uniforme (CVU) par calcul CVU si lim ‖𝑓𝑛 − 𝑓‖∞,𝐼 = 0 𝑛→+∞ 1. Pas CVS ⇒ Pas CVU 2. Ecrire : ∀𝑛 ∈ ℕ(∗) , 𝑔𝑛 = ‖𝑓𝑛 − 𝑓‖∞,𝐼 = sup|𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| 𝑥∈𝐼 3. Calculer le sup dans 𝐼 : |ℎ𝑛 (𝑥)| = |𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| a. Si ℎ𝑛 (𝑥) est (im)paire ⇒ on peut restreindre 𝐼 à ℝ+ b. Calculer ℎ𝑛′ (𝑥) c. Tab signe ℎ𝑛′ (𝑥) d. Tab var ℎ𝑛 (𝑥) e. En déduire le sup (si la fonction n’est pas bornée ⇒ pas CVU) 4. Résoudre 𝑔𝑛 = sup|ℎ𝑛 (𝑥)| 𝑥∈𝐼 𝐶𝑉𝑈 5. Faire lim 𝑔𝑛 {= 0 ⇒ 𝑓𝑛 (𝑥) → 𝑓(𝑥) sur I} 𝑛→+∞ ≠ 0 ⇒ 𝑓𝑛 pas CVU Convergence Uniforme (CVU) par majoration 1. Majorer ‖𝑓𝑛 − 𝑓‖∞,𝐼 par 𝑎𝑛 : sup|𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≤ 𝑎𝑛 𝑥∈𝐼 𝑎𝑛 une quantité indépendante de 𝑥 𝑎𝑛 → 0 𝐶𝑉𝑈 2. 𝑓𝑛 (𝑥) → 𝑓(𝑥) sur 𝐼 Pas CVU Si 𝑓𝑛 pas continue Si |𝑓𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| sur un intervalle non borné (𝑦 = ∞ en un pt) Si lim ‖𝑓𝑛 − 𝑓‖∞,𝐼 ≠ 0 ⇒ Pas CVU 𝑛→+∞ Convergence Uniforme sur tout Compact (CVUC) 1. Prendre 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 2. Faire la majoration OU max(|𝑔𝑛 (𝑎)|, |𝑔𝑛 (𝑏)|) fabinou.fr/fiches Théorèmes Continuité Intégrale Dérivation 𝑓𝑛 CVU(C) sur 𝐼 𝑓𝑛 CVU(C) sur 𝐼 = [𝑎, 𝑏] 𝑓𝑛 CVS sur 𝐼 Conditions 𝑓𝑛 𝒞 0 sur 𝐼 𝑓𝑛 𝒞 0 sur 𝐼 𝑓𝑛 𝒞 1 sur 𝐼 𝑓𝑛′ CVU(C) sur 𝐼 𝑏 lim (lim 𝑓𝑛 (𝑥)) 𝑑 Inversion 𝑛→+∞ 𝑥→𝑎 lim (∫ 𝑓𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 ) lim ( 𝑓 (𝑥)) 𝑛→+∞ 𝑎 𝑛→+∞ 𝑑𝑥 𝑛 Continuité 𝑓 continue sur 𝐼 fabinou.fr/fiches fabinou.fr/fiches