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Contents 1 2 1 Rappels de "grands résultats" d’intégration................. 1.1 Les grands théorèmes........................ 1.2 Espace Lp (Ω)............................. Complément sur la convergence des suites dans certains espaces fonctionnels....................................... Appendice: Notion sur la Dualité....................... 1.1 Généralités............................... 1.2 Cas d’un espace de Hilbert...................... 1.3 Dualité dans les espaces Lp (Ω).................... 1... 3 3 4..... 8 10 10 11 12 2 CONTENTS Chapitre 1: Rappels et compléments d’intégrations 1 Rappels de "grands résultats" d’intégration Soit Ω ⊂ RN , N ≥ 1 un ouvert, µ est la mesure de Lebesgue sur Ω, on note dµ par dx (Tout ce qui suit est aussi valable pour une mesure de Radon quelconque sur Ω ) et B la tribue borélienne sur Ω (i.e. engendrée par les ouverts de Ω). On dit que (Ω, B, µ) est un espace mesuré. Soit M = Mµ = { f : Ω → R ; µ − mesurable}. On rappelle qu’une fonction sur Ω est mesurable si l’image inverse par f de tout borélien (i.e. un élément de B) est borélien. Exemple 1. 1. La fonction indicatrice d’un borélien B, 1B est mesurable. 2. Toute fonction continue sur Ω sauf, peut-être, en un nombre fini de points est mesurable. 1.1 Les grands théorèmes 1. Convergence monotone: Proposition 1. Soit fn ∈ M , fn ≥ 0 et fn+1 ≥ fn ∀n ∈ N. Alors, si f (x) = lim fn (x) , µ presque partout sur Ω n→+∞ on a f ∈M et lim Z n→+∞ Ω fn (x)dx = Z lim fn (x)dx = Ω n→+∞ Z Ω 2. Lemme de Fatou: Proposition 2. Soient fn ∈ M , fn ≥ 0 , f = lim inf fn n→+∞ Alors f ∈M et Z Ω f (x)dx ≤ lim inf n→+∞ 3. Convergence dominé de Lebesgue: 3 Z Ω fn (x)dx f (x)dx 4 CONTENTS Théorème 1. Soit fn ∈ M tel que |fn | ≤ g, µ presque partout avec et fn → f , µ presque partout. Alors f ∈M lim et Z fn (x)dx = n→+∞ Ω Z lim fn (x)dx = Z Ω n→+∞ Ω R Ω gdx < +∞ f (x) Exemple 2. Pour n ∈ N,soitZfn (x) = e−x 1[n,n+1] (x) ∀x ∈ R. Alors lim n→+∞ R fn (x)dx = 0. 4. Théorème de Fubini: Soient Ω1 , Ω2 deux ouverts, µ1 , µ2 les mesures de Lebesgue respectivement sur Ω1 et Ω2. Alors µ = µ1 ⊗µ2 (produit de mesures) est la mesure de Lebesgue sur Ω1 ×Ω2. Tonelli: Si f ≥ 0 ∈ M etR f : Ω1 × Ω2 → R. On a x1 → Ω2 f (x1 , x2 )dx2 est µ1 -mesurable. De même x2 → Ω2 f (x1 , x2 )dx1 est µ2 -mesurable. Et R Z Ω1 ×Ω2 f (x1 , x2 )dx1 dx2 = Z Z Ω1 f (x1 , x2 )dx2 dx1 = Ω2 Z Ω2 Z Ω1 f (x1 , x2 )dx1 dx2 Fubini: Si f ∈ L1 (Ω1 × Ω2 ; dx1 dx2 ) alors µ1 p.p x2 −→ µ2 p.p x1 −→ Z Ω1 Z Ω2 f (x1 , x2 ) dx1 ∈ L1 (Ω2 ; dx2 ) f (x1 , x2 ) dx2 ∈ L1 (Ω1 ; dx1 ) et on a encore l’égalité (EF). 1.2 Espace Lp (Ω) Soient Ω ⊂ RN ouvert et 1 ≤ p ≤ +∞, dµ = dx mesure de Lebesgue. Pour 1 ≤ p < +∞, on définit Lp (Ω) = { f : Ω → R (ou C) mesurable ; Z Ω |f (x)|p dx < +∞} Pour p = +∞, on définit L∞ (Ω) = { f : Ω → R (ou C) mesurable ; ∃Cf > 0 / |f (x)| ≤ C p.p. x ∈ Ω} On définit pour f ∈ Lp (Ω) 1 ≤ p < +∞, ||f ||p = ( 1 R Ω |f (x)|p ) p. p = +∞, ||f ||∞ = supess |f (x)| x∈Ω = inf{ C > 0; |f (x)| ≤ C p.p. x ∈ Ω}. (EF) 5 1. RAPPELS DE "GRANDS RÉSULTATS" D’INTÉGRATION Proposition 3. ||·||p est une semi-norme sur Lp (Ω). Preuve. En fait, ||f ||p est à valeur positive, on a aussi ||λf ||p = |λ||f ||p ∀λ ∈ R (ou C). || · ||p vérifie l’inégalité triangulaire qui est la conséquance de l’inégalité de Minkowski (voir plus loin). Cependant, ||f ||p = 0 n’implique pas que f = 0 et c’est ce qui lui manque pour qu’elle devienne une norme. Pour remédier à ce fait, on définit la relation d’équivalence R sur Lp. Pour f, g ∈ Lp (Ω), f R g ⇐⇒ f = g presque partout sur Ω. ◦ ◦ On pose Lp (Ω) = Lp (Ω)/R = { f ; f ∈ Lp (Ω)} avec f = { g ; g = f presque partout}. Pour ennoncer un théorème important sur Lp (Ω), nous avons besoin de rappeler la définition suivante: Définition 1. On dit qu’un espace vectoriel normé (E, || · ||) est complet, si toute suite de cauchy dans E est convergente pour la norme || · ||. On dit que alors que E est un espace de Banach. Exemple 3. Lorsque Ω est un ouvert borné, alors C(Ω), || · ||∞ est un espace de Banach. Ici, pour f ∈ C(Ω), ||f ||∞ = sup |f (x)| qui coincide avec le supess |f (x)|. x∈Ω x∈Ω Théorème 2. (Riesz - Ficher) p L (Ω), ||·||p est un espace vectoriel normé complet, i.e. un espace de Banach). On note ||·||Lp = ||·||p. Théorème 3. Soit fn −→ f dans Lp (Ω), alors ∃(fnk )k ⊂ (fn n ) et h ∈ Lp (Ω) tel que n→+∞ 1. fnk (x) → f (x) presque partout x ∈ Ω. 2. |fnk | ≤ h. 1. Théorème de densité: Théorème 4. Cc (Ω) est dense dans L1 (Ω). où Cc (Ω) = { f : Ω → R (ou C) continue à support compact}. Rappelons que le support d’une fonction continue est donné par supp f = { x ∈ Ω , f (x) ̸= 0}. Remarque 1. Les compacts dans RN sont les fermés bornés. Ce n’est pas le cas dans un espace de dimension infini! Preuve. Voire cours Proabilités: Théorie de de la mesure et intégration. Dans la pratique, cela revient à dire que: ∀f ∈ L1 (Ω), ∃ (fn )n ⊂ Cc (Ω); n→∞ lim ||fn − f ||L1 (Ω) = 0. Remarque 2. On a aussi, lorsque Ω est borné, que C(Ω) est dense dans L1 (Ω), puisque Cc (Ω) ⊂ C(Ω) ⊂ L1 (Ω). En fait, on a bien C(Ω) ⊂ L1 (Ω) (avec injection R continue) puisque Ω |f (x)|dx ≤ |Ω|||f ||∞ ; ∀f ∈ C(Ω). 6 CONTENTS Définition 2. ( Support d’une fonction mesurable ) Soit f ∈ M , on définit le support de f par son complémentaire comme suit ∁Ω supp f = [ w =W w⊂Ω ouvert ; f|w =0 p.p. Théorème 5. supp f est fermé et f|W = 0 presque partout. ∼ Preuve. supp f est fermé car son complémentaire est un ouvert. Comme W ⊂ Ω ⊂ RN , il existe une suite exhaustive de compacts croissants (Kn )n∈N (Kn ⊂ Kn+1 ) tel S que W = Kn. En effet, on peut prendre pour Kn : Kn = { x ∈ W ; ||x|| ≤ n∈N n et dist(x, ∂W ) ≥ 1 } n. Kn est fermé et borné donc compact. On peut donc en extraire un recouvrement fini. Soit n S0 wi = Kn. Maintenant, puisque f|wi = 0 i=1 presque partout alors f|Kn = 0 presque partout et donc f|W = 0 presque partout. 2. Inégalité de Hölder: Soient p et p′ tels que p1 + p1′ = 1 (on dit que p′ est le conjugé de p par rapport à 1, ou tout simplement le conjugé de p) et 1 ≤ p ≤ +∞. Soient f ∈ Lp (Ω) et ′ g ∈ Lp (Ω), alors f g ∈ L1 (Ω) avec ∥f g∥L1 = Z Ω |f (x)g(x)|dx ≤ ||f ||Lp ||g||Lp′ Cette inégalité repose sur une autre inégalité qui est l’inégalité de Youmg. Lemme 1. Soient p et p′ tels que 1 p + 1 p′ = 1 et a, b ∈ R+. Alors 1 1 ′ ab ≤ ap + ′ bp p p ′ avec égalité si ap = bp. Preuve. Si a ou b = 0 le résultat est immédiat. Sinon, On pose x = p ln a et y = p′ ln b et on utilise le fait que la fonction exponentielle est (strictement) convexe, on écrit alors : 1 1 1 1 1 ′ 1 ab = exp ( x + ′ y) ≤ exp x + ′ exp y = ap + ′ bp. p p p p p p le cas de l’égalité est facile à vérifié et provient du fait que p et p′ sont conjugés. Preuve. (de l’inégalité de Hölder) Si p = 1 alors p′ = ∞, une estimation directe de l’intégrale de gauche nous donne le résultat. Pour 1 < p < ∞, Suposons que ||f ||Lp |f (x)| |g(x)|. Appliquons et ||g||Lp′ sont non nuls et posons F (x) = et G(x) = ||f ||Lp ||g||Lp′ l’inégalité de Young à F et G, il vient: 1 1 ′ F (x)G(x) ≤ F (x)p + ′ G(x)p. p p En intégrant des deux cotés, on obtient Z ′ 1 1 1 |f (x)g(x)|dx ≤ ||F ||pLp + ′ ||G||pLp′ = 1 ||f ||Lp ||g||Lp′ Ω p p 7 1. RAPPELS DE "GRANDS RÉSULTATS" D’INTÉGRATION Généralisation: L’inégalité de Hölder se généralise, par récurrence, pour n fonctions, de la manière suivante: Si n X 1 i=1 pi = 1 ≤ 1 et fi ∈ Lpi pour i = 1, 2,..., n. p Alors n n i=1 i=1 f = Π fi ∈ Lp (Ω) avec ||f ||Lp ≤ Π ||fi ||Lpi Pour n = 1 c’est une trivialtité et pour n = 2 c’est Hölder, supposons que l’inégalité X 1 1 n−1 p p est vraie pour n − 1. Soit = on a + = 1 et α α pn i pi ∥f ∥pLp = Z n−1 n−1 (| Π fi |p )(|fn |p ) dx ≤ ∥ Π fi ∥pLα ∥fn ∥pLpn Ω i=1 HR n−1 ≤ Π ∥fi ∥pLpi ∥fn ∥pLpn i=1 i=1 n = Π ||fi ||pLpi i=1 Proposition 4. Si |Ω| = mes(Ω) < +∞, alors pour 1 ≤ p ≤ q on a Lq (Ω),→Lp (Ω). On dit que les espaces Lp (Ω) sont décroissants ! Notation. E ,→ F v̧eut dire que E ⊂ F algébriquement et que l’application identité: i :E → F x→x est continue ( i.e. ∃c > 0/||x||F ≤ c||x||E , voir plus loin ). Preuve. La démonstration se fait en utilisant l’inégalité de Hölder. Soit 1 ≤ p ≤ q et f ∈ Lq (Ω) montrons qu’il existe C > 0 tel que ||f ||Lp ≤ C||f ||Lq. On écrit Z Ω |f (x)| dx = p Z |f (x)| 1Ω (x) dx ≤ p Ω Z Ω 1 ≤ |Ω| α Z Ω Avec α définie par q p (|f (x)| ) dx p p Z q (|f (x)|q )dx p p 1 + = 1,. q α En élevant à la puissance 1 p l’inégalité précédente, on obitient 1 1 ||f ||Lp ≤ |Ω| p − q ||f ||Lq. 3. Inégalité de Minkoswski: ||f + g||Lp ≤ ||f ||Lp + ||g||Lp q 1 (1Ω (x)) dx α α. 8 CONTENTS Théorème 6. ( Interpolation ) Soit 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞ et soit f ∈ Lp ∩ Lq. Alors f ∈ Lr , ∀ p ≤ r ≤ q avec ||f ||Lr ≤ ||f ||αLp ·||f ||L1−α q où α 1−α 1 = + r p q ∀α ∈ [0, 1] Preuve. Admis. Exemple 4. Une application directe de cette inégalité concerne la convergence des suites. Soit (fn )n une suite convergente vers f dans Lp et bornée dans Lq , 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞. Alors (fn )n convergent vers f dans Lr , ∀r, p ≤ r < q. En fait, par l’inégalié d’interpolation Théorème 6, on a: 1 α 1−α ∥|fn − f ||Lr ≤ ∥|fn − f ||αLp ||fn − f ||L1−α ∀α ∈ [0, 1] ; with = + , q r p q i.e. ∀r ∈ [p, q]. Maintenant, si α ∈]0, 1], dans ce cas r ∈ [p, q[, ∥fn − f ∥αLp converge vers 0 et ||fn − f ||1−α Lq est bornée dans R, d’où le résultat. 2 Complément sur la convergence des suites dans certains espaces fonctionnels. On va juste donner les définitions (qui sont des conséquences des topologies sur es espaces) de convergences dans quelques espaces fonctionels importants pour la suite du cours. Comme, pour k ∈ N : C k (Ω) , Cck (Ω) , C ∞ (Ω) , D(Ω) = Cc∞ (Ω). Rappellons, d’abord le cas que nous connaissons bien, lorsque Ω est remplacé par un compact K. Soit K ⊂ RN compact ( ou n’importe quel espace compact ). On définit C(K) = { f : K → R ( ou C ) ; f est continue} Si f ∈ C(K) alors f est bornée et atteint ses bornes. On peut donc définir ||f ||∞,K = sup|f (x)| x∈K Proposition 5. ||·||∞,K est une norme et (C(K), ||·||∞,K ) est un espace de Banach. De même: pour f ∈ C k (K) = { f : K → R (ou C) ; ∂ α f est continue ∀α ∈ NN , 0 ≤ |α| ≤ k} ∥f ∥C k (K) = max ||∂ α f ||∞,K 0≤|α|≤k 2. COMPLÉMENT SUR LA CONVERGENCE DES SUITES DANS CERTAINS ESPACES FONCTIO De plus, dans C k (K) fn −→ f n→+∞ ⇐⇒ ||fn − f ||C k (K) = max ||∂ α fn − ∂ α f ||∞,K −→ 0 n→+∞ 0≤|α|≤k ⇐⇒ ||∂ fn − ∂ f ||∞,K −→ 0 ∀α ∈ N avec 0 ≤ |α| ≤ k. α α N n→+∞ Proposition 6. (C k (K), ||·||C k (K) ) est un espace de Banach. Revenons maintenant au cas général d’un ouvert Ω de RN. (a) Convergence dans C(Ω) et C k (Ω) Remarque 3. Le fait que f ∈ C(Ω) n’implique pas que f est bornée sur Ω. Définition 3. ( Convergence dans C k (Ω) ) On dit que fn −→ f dans C k (Ω) si et seulememt si ∀K ⊂ Ω compact on a n→+∞ ||∂ α fn − ∂ α f ||∞,K −→ 0 ∀0 ≤ |α| ≤ k n→+∞ Pour k = +∞: C’est la même définition ∀α ∈ NN. (b) Convergence dans Cck (Ω) et D(Ω): Définition 4. On dit que fn −→ f dans Cck (Ω) si et seulement n→+∞ i. Il existe K ⊂ Ω compact tel que suppfn ⊂ K ii. ||∂ α fn − ∂ α f ||∞,K −→ 0 ∀ 0 ≤ |α| ≤ k ∀n ∈ N n→+∞ Cas où k = +∞: Convergence dans D(Ω). On dit que φn −→ φ dans D(Ω) n→+∞ si et seulement si i. Il existe K ⊂ Ω compact tel que suppφn ⊂ K ii. ||∂ α φn − ∂ α φ||∞,K −→ 0 ∀α ∈ NN ∀n ∈ N n→+∞ Exemple 5. Soit φ ∈ D(Ω); on définit φn (x) = n1 φ(x). Montrer que φn −→ φ n→+∞ dans D(Ω). Solution. En effet, i. On a supp φn = supp φ = K compact car φ ∈ D(Ω). ii. ||∂ α (φn ) − ∂ α (0)||∞,K = ||∂ α φn ||∞,K = Par suite φn −→ φ dans D(Ω). n→+∞ 1 α ||∂ φ||∞,K −→ 0 n→+∞ n 10 CONTENTS 1 1.1 Appendice: Notion sur la Dualité. Généralités. Il s’agit dans ce paragraphe, de définir l’espace des formes linéaires sur un espace vedtoriel normé ou simplement un Banach. Rappelllons ce que c’est une forme linéaire. Soit (E, ∥ · ∥) et (F, ∥ · ∥F ) est un espace de Banach (pour simplifier, sachant que la complétude n’est pas nécessaire pour définir le dual!). Soit On note L(E, F ) = { Φ : E → F linéaire et continue}. Lorsque F = R, on dit que L(E, R) est l’espace des formes linéaires continues sur E. Une forme linéaire sur E est donc une application linéaire continue à valeur dans R. On définit sur L(E, F ) la norme suivante ∥u(x)∥F = sup ∥u(x)∥F = sup ∥u(x)∥F x∈E\{0} ||x||=1 x∈E\{0} ||x||E ||u||L(E,F ) = sup ||x||≤1 Nous avons la caractérisation suivante de la continuité d’une applications linéaire de E dans F. Proposition 7. Soit Φ : E → F linéaire, il y a équivalence entre (i) Φ est continue. (ii) Φ est continue en zéro. (iii) Φ est bornée sur E, i.e. ∃c > 0; ∥Φ(x)∥F ≤ c∥x∥; ∀x ∈ E. Preuve. (i) implique (ii) par définition. (ii) implique (iii), en fait Soit x ∈ E\{0}, puisque Φ est continue en 0, ∃δ > 0; ∀y ∈ E, ∥y∥ < δ ⇒ ∥Φ∥F < 1. Comme x 2 2 δ x < δ alors Φ(δ 0 tel que |u(x)| ≤ c||x||E , ∀x ∈ E, et on a alors ||u||E ′ ≤ c. Théorème 7. (E ′ , ||·||E ′ ) est un espace de Banach. Conséquence: Une conséquence de Proposition 7 est que pour montrer que u ∈ E ′ il suffit de montrer qu’elle est linéaire sur E et qu’il existe c > 0 tel que |u(x)| ≤ c||x||E , ∀x ∈ E, et on a alors ||u||E ′ ≤ c. Notation. On utilise le crochet de dualité < ·, · >E ′ E pour désigner l’action de E ′ sur E. i.e. Si u ∈ E ′ et x ∈ E on représente u(x) = < u, x >E ′ E 1.2 ∀x ∈ E Cas d’un espace de Hilbert. Soit H un espace vectoriel sur C. Un produit scalaire sur H est une application de H × H dans C, notée (x, y) 7→ (x, y)H. C linéaire par rapport à x et C anti linéaire par rapport à y, vérifiant (symétrie hermitienne) ∀x, y (x, y)H = (y, x)H ∀x ̸= 0 (x, x)H > 0 (produit défini positif). Remarque 5. Lorsque H est un espace vectoriel sur R, alors un produit scalaire est simplement la donnée sur H × H une forme bilinéaire symétrique définie positive. q On vérifie facilement que l’application x ∈ H 7→ ∥x∥ = (x, x) est une norme sur H dite norme associé au produit scalaire (·, ·)H. Cette vérifie alors l’inégalité de Cauchy-Schwarz (qui implique en particulier que (x, y) 7→ (x, y)H est continu) |(x, y)| ≤ ∥x∥∥y∥ ∀ x, y ∈ H. Définition 6. Un espace de Hilbert est un espace vectorien H muni d’un produit scalaire, tel que (H, ∥ · ∥) soit complet (i.e. de un Banach). Exemple 6. (a) CN (respectivement RN ) muni du produit scalaire (x, y)C = N X xi y i (respectivement (x, y)R = i=1 N X xi yi )). i=1 (b) L’espace L2 (Ω), muni du produit scalaire (f, g)L2 (Ω) = Z Ω f (x)g(x) dx. 2 (c) L’espace Xde carré sommable X l des suites complexes ( ou réelles) a = (an )n∈N 2 (i.e. |an | < +∞) muni du produit scalaire (a, b)l2 = an b n. n n 12 CONTENTS Les espaces de Hilbert ont beaucoup de propriétés remarquables qui les disctincts des espqces de Banach. Par exemple, la notion d’orthogonalité, projection sur les convexe et surtout pour la dualité. A ce propos on a le théorème suivant Théorème 8. ( Représentation de Riesz pour les espaces de Hilbert ) Soit H un espace de Hilbert et (·, ·)H son produit scalaire. Alors il existe un isomorphisme isométrique R : H → H ′ , on peut donc identifier H ′ le dual de H à H lui même par cet isomorphisme de la manière suivante : ∀u ∈ H ′ ∃! yu ∈ H ; ||u||H ′ = ||yu ||H et < u, x >H ′ H = (yu , x)H ∀x ∈ H. 1.3 Dualité dans les espaces Lp (Ω) Théorème 9. ( Représentation de Riesz pour les espaces Lp ; 1 ≤ p < +∞ ) Soit 1 ≤ p < +∞ et p′ son conjugué ( p1 + p1′ = 1 ). Soit T : Lp → (Lp )′ u → T u : Lp (Ω) → R R f → T u(f ) = Ω f udx ′ Alors T est un isomorphisme isométrique. i.e. ∀ϕ ∈ (Lp )′ il existe un unique u ∈ Lp R tel que ϕ(f ) = < ϕ, f >(Lp )′ Lp = Ω f udx ∀f ∈ Lp (Ω) et ||ϕ||(Lp )′ = ||u||Lp′. ′ Preuve. (Seulement pour ceux qui veulent aller encore plus loin!). T est linéaire et bien définie car : si u ∈ Lp (Ω) alors T u ∈ (Lp (Ω))′. En effet, T u est bien une forme linéaire (T u(f ) ∈ R) et ′ T u(λf + g) = Z Ω (λf + g)udx = λ Z Ω f udx + Z Ω gudx = λT u(f ) + T u(g) Et T u est bien définie car |T u(f )| = | Z f udx| ≤ Z Ω Ω Hölder |f u|dx ≤ ||f ||Lp ·||u||Lp′ De plus, T est continue car ||T u||(Lp )′ ≤ ||u||Lp′. Démontrons que T est une isométrie i.e. ||T u||(Lp )′ = ||u||Lp′. Pour cela, il suffit de montrer que ||T u||(Lp )′ ≥ ||u||Lp′. On introduit  |u|p′ −1 si u(x) ̸= 0 si u(x) = 0 f0 =  0 ′ Alors f0 ∈ Lp et on a ||f0 ||Lp = ||u||pLp−1 (à faire!). Nous avons, ′ T u(f0 ) = < T u, f0 >(Lp )′ Lp = Z Ω ′ |u|p −1 udx = Z Ω ′ ′ |u|p dx = ||u||pLp′ 13 1. APPENDICE: NOTION SUR LA DUALITÉ. D’autre part ′ ||T u||(Lp )′ ||u||pLp′ | < T u, f > | | < T u, f0 > | = sup ≥ = = ||u||Lp′ ′ ||f ||Lp ||f0 ||Lp f ∈Lp ||u||pLp−1 ′ Par suite ||T u||(Lp )′ = ||u||Lp′ , cette égalité nous implique que T est continue et injective car T est linéaire. Remarque 6. Si E est un espace de Banach réflexive alors le bidual (i.e. le dual du dual) vérifie E ′′ = E. Lemme 2. T est surjective Preuve. En fait T (Lp ) ≡ (Lp )′. ′ On va montrer que T (Lp ) est fermé et qu’il est dense dans (Lp )′. ′ ′ T (Lp ) est fermé car T est une isométrie. Soit (fn )n ⊂ T (Lp ) ⊂ V , montrons que fn −→ f dans (Lp )′. Pour tout n Il ′ n→+∞ existe un ; ; fn = T un. Or ||fk − fm ||Lp′ = ||uk − um ||Lp′ alors un est une suite ′ ′ de Cauchy dans Lp qui est un espace de Banach, il existe donc u ∈ Lp tel que un → u et puisque T est continue donc fn → T u = f. T (Lp ) est dense dans (Lp )′ ? ′ ′ On va montrer que si h ∈ (Lp )′ = (Lp )′′ le bidual alors ∀u ∈ Lp < h, T u >(Lp )′′ (Lp )′ = 0. La question maintenant est-ce qu’on peut déduire de cette propriété que h ≡ 0. La réponse est donnée par la proposition suivante (qu’on admettera): ′ Proposition 8. Si (E, ||·||) est un espace de Banach et si A une partie de E, alors on a l’équivalence suivante (A est dense dans E) ⇐⇒ (∀h ∈ E ′ / < h, x >= 0 ∀x ∈ A =⇒ h ≡ 0) Ici E = (Lp )′ et A = T (Lp ) ⊂ (Lp )′. On sait que Lp est réflexive ( le bidual peut etre identifier à l’espace lui même) donc h ∈ (Lp )′′ ≡ Lp d’où on peut prendre ′  |h|p h u= 0 si si h(x) ̸= 0 h(x) = 0 On a < h, T u >= 0 donc h = 0 car < h, T u >= ||h||Lp.

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