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Rappels mathématiques Professeur : OLLIER FC N°2 Date : 06/09/2023 SOMMAIRE I. NOTIONS DE METROLOGIE ...................................................................................................................................................... 1 1. ANALYSE DIMENSIONNELLE ...................

Rappels mathématiques Professeur : OLLIER FC N°2 Date : 06/09/2023 SOMMAIRE I. NOTIONS DE METROLOGIE ...................................................................................................................................................... 1 1. ANALYSE DIMENSIONNELLE ........................................................................................................................................................ 1 2. GRANDEURS ET UNITES ............................................................................................................................................................. 2 3. PRESENTATION D’UN RESULTAT DE MESURE .................................................................................................................................... 3 4. ERREUR DE MESURE ................................................................................................................................................................. 3 II. RAPPELS MATHEMATIQUES.................................................................................................................................................... 4 1. SOMME ET PRODUITS ............................................................................................................................................................... 4 2. FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE .................................................................................................................................. 5 3. LES INTEGRALES ...................................................................................................................................................................... 8 III. LES STATISTIQUES : POURQUOI ET COMMENT ?.................................................................................................................... 9 En cas de questions sur ce cours, vous pouvez écrire à l’adresse suivante : [email protected] Les règles de courtoisies sont à respecter lors de l’envoi d’un mail. L’équipe des tuteurs se réserve le droit de répondre ou non à un mail. En cas de questions récurrentes, les tuteurs pourront faire un point lors des colles hebdomadaires. I. Notions de métrologie 1. Analyse dimensionnelle • Les grandeurs mesurées possèdent le plus souvent une seule dimension. Chaque grandeur peut être décrite comme une combinaison des 7 dimension de base : Analyse dimensionnelle GRANDEURS NOTATIONS Longueur Masse Temps Intensité électrique Température Intensité lumineuse Quantité de matière L M T I Θ J N • Chaque grandeur est caractérisée par une dimension correspondant à un produit des dimensions de base. Pour additionner ou égaler des grandeurs physiques, ces dernières doivent avoir la même dimension. • Exemple 1 : la vitesse v est une longueur divisée par le temps, on a donc : [v]=LT-1 • Exemple 2 : une force f est le produit d’une masse et d’une accélération, on a donc : [f]=MLT-2 • En statistique, on représente parfois un nuage de points à l’aide d’une droite. Exemple en statistiques Poids (kg) (𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥) • Cette analyse s’appelle une régression linéaire. Taille (cm) • Quelle est la dimension de 𝛽1 dans l’exemple de la droite ? • D’après l’équation de la droite de régression, on a : [Poids] = [𝛽0 ] = [𝛽1 ] × [Taille] [𝛽1 ] = [𝐏𝐨𝐢𝐝𝐬] [𝐓𝐚𝐢𝐥𝐥𝐞] = M L-1 1 • La vitesse v est une longueur divisée par le temps, on a donc : [v] = LT-1 • Force f : produit d’une masse et d’une accélération, on a donc : [f] = MLT-1 • Exemple en statistiques : o En statistique, on représente parfois un nuage de points à l’aide d’une droite Exemples (𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥 ) o Cette analyse s’appelle une régression linéaire o Quelle est la dimension de 𝛽1 dans l’exemple de la droite ? ▪ D’après l’équation de la droite de régression, on a : [Poids] = [𝛽0 ] = [𝛽1 ] × [Taille] [𝛽1 ] = [𝐏𝐨𝐢𝐝𝐬] [𝐓𝐚𝐢𝐥𝐥𝐞] = M L-1 2. Grandeurs et unités • Définies par le Système International d’unités (SI) : Une unité pour chacune des 7 dimensions de base DIMENSIONS DE BASE UNITES SYMBOLES Longueur Masse Temps Intensité électrique Température Intensité lumineuse Quantité de matière Mètre Kilogramme Seconde Ampère Kelvin Candela Mole m kg s A K cd mol • Définis par le Système International d’unités (SI) Préfixes pour simplifier la manipulation des valeurs numériques FACTEURS NOMS SYMBOLES 1012 109 106 103 100 10-3 10-6 10-9 10-12 Téra Giga Méga Kilo Aucun Milli Micro Nano Pico T G M k Aucun m µ n p • Exemples : µmol = 10-6 mol ; kg = 103 g 2 3. Présentation d’un résultat de mesure • Le résultat de la mesure d’une grandeur X n’est jamais une valeur numérique brute, mais doit être présenté sous la forme suivante pour prendre en compte l’erreur possible car il y a toujours une incertitude : ̂ = x Unité ; [x – Δx ; x + Δx] 𝑿 Présentation d’un résultat de mesure • Avec : ̂ : le résultat de la mesure de X o𝑿 o x : la valeur numérique de la mesure o ±𝚫𝐗 : l’incertitude de la mesure. Cela correspond à l’estimation de la plage de valeur qui contient avec grande probabilité la vraie valeur X, celle que l’on obtiendrait si notre mesure était parfaite. o [x – Δx ; x + Δx] représente alors l’intervalle de confiance de la mesure. • On désire estimer une glycémie (X) chez un patient à l’aide d’un lecteur de glycémie. • La valeur numérique obtenue est x = 4 mmol.L-1. Exemple • L’incertitude liée à cette mesure peut être estimée à ΔX = 0.15 mmol.L-1 • Le résultat de la mesure de la glycémie doit être donné sous la forme suivante : ̂ = 4 mmol.L-1 ; [4 – 0.15 ; 4 + 0.15] 𝑿 = 4 mmol.L-1 ; [3.85 ; 4.15] 4. Erreur de mesure • Aucune mesure n’est parfaite, le résultat est forcément soumis à des erreurs de mesures. • Il existe deux grands types d’erreurs : o Erreurs aléatoires : n’induisent pas de biais de mesure (les valeurs fluctuent mais leur moyenne est proche de la valeur théorique). o Erreurs systématiques : surévaluent/sous-évaluent toujours la valeur mesurée. → Induisent un biais de mesure Valeur de la mesure Erreur de mesure Numéro de la mesure 3 II. Rappels mathématiques 1. Somme et produits SOMMES ET PRODUITS • Soit {𝑋_𝑖}𝑖=1,…,𝑁 une suite de terme. On note la somme de ces termes de la façon suivante : ∑𝑵 𝒊=𝟏 𝑿𝒊 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + … + 𝑿𝒏 • Avec les propriétés suivantes : ∑𝐍𝐢=𝟏(𝑿𝒊 + 𝒀𝒊 ) = (∑𝐍𝐢=𝟏 𝑿𝒊 ) + (∑𝐍𝐢=𝟏 𝒀𝒊 ) • Cela donne : (𝑋1 + 𝑋1 )+(𝑋2 + 𝑌2 ) + … + (𝑋𝑛 + 𝑌𝑛 ) = (𝑋1 + 𝑋2 + . . . + 𝑋𝑛 ) + (𝑌1 + 𝑌2 + . . . + 𝑌𝑛 ) ∑𝐍𝐢=𝟏 𝐤 × 𝑿𝒊 = k × ∑𝐍𝐢=𝟏 𝑿𝒊 • Cela donne : (k × 𝑋1 ) + (k × 𝑋2 ) + … + (k × 𝑋𝑛 ) = k × (𝑋1 + 𝑋2 + . . . + 𝑋𝑛 ) Les sommes • Application : o La moyenne et la variance empirique de l’échantillon peuvent s’écrire : (vous reverrez ces notions dans les prochains cours) 𝑁 1 𝑋̅ = ∑ 𝑋𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑆𝑋2 = 1 ∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅ ) ² 𝑁−1 𝑖=1 • Exemple, la moyenne de 5 lancés de dé : {𝑋1 = 1, 𝑋2 = 2, 𝑋3 = 6, 𝑋4 = 3, 𝑋5 = 5} 1 5 1 𝑋̅ = ∑𝑖=1 𝑋𝑖 = (1 + 2 + 6 + 3 + 5) = 3,4 5 5 1 𝑆𝑋2 = [(1 − 𝑋̅)2 + (2 − 𝑋̅)2 + (6 − 𝑋̅ )2 + (3 − 𝑋̅)2 + (5 − 𝑋̅ )2 ] 4 4 • Soit {𝑋𝑖 }𝑖=1,…,𝑁 une suite de terme. On note le produit de ces termes de la façon suivante : 𝑵 ∏ 𝑿𝒊 = 𝑿𝟏 × 𝑿𝟐 × … .× 𝑿𝒏 𝒊=𝟏 Les produits • Avec les propriétés suivantes : o ∏𝐍𝐢=𝟏(𝑿𝒊 × 𝒀𝒊 ) = (∏𝐍𝐢=𝟏 𝑿𝒊 ) × (∏𝐍𝐢=𝟏 𝒀𝒊 ) o Cela donne : (𝑋1 × 𝑌1 ) + (𝑋2 × 𝑌2 ) + … + (𝑋𝑛 × 𝑌𝑛 ) ▪ = (𝑋1 × 𝑋2 × … × 𝑋𝑛 ) × (𝑌1 × 𝑌2 × … × 𝑌𝑛 ) o ∏𝐍𝐢=𝟏 𝐤 × 𝑿𝒊 = 𝐤N × ∏𝐍𝐢=𝟏 𝑿𝒊 o Cela donne : (k × 𝑋1 ) × (k × 𝑋2 ) × … × (k × 𝑋𝑛 ) = kn × (𝑋1 + 𝑋2 + . . . +𝑋𝑛 ) 2. Fonctions logarithme et exponentielle FONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE • Elle est définie pour tout 𝒙 > 0 et possède les propriétés suivantes : 1 o ln(𝑥)′ = 𝑥 Fonction logarithme népérien o ln(𝑥 𝛼 ) = 𝛼 × ln (𝑥) 1 o ln (𝑥) = ln(𝑥 −1 ) = − ln(𝑥 ) o ln(𝑥 × 𝑦) = ln(𝑥) + ln(𝑦) 𝑥 o ln ( ) = ln(𝑥 ) − ln(𝑦) 𝑦 𝑁 o ln(∏𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 ) = ∑𝑖=1 ln(𝑋𝑖 ) • Elle possède les propriétés suivantes : o ( 𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 o ln(𝑒 𝑥 ) = 𝑥 Fonction exponentielle o 𝑒 𝑥 + 𝑦 = 𝑒 𝑥 × 𝑒𝑦 o 𝑒 𝛼 × 𝑥 = (𝑒 𝑥 )𝛼 o 1 𝑒𝑥 = 𝑒 −𝑥 𝑒𝑥 o 𝑒 𝑥 −𝑦 = 𝑒 𝑦 𝑁 𝑋𝑖 o 𝑒 ∑𝑖=1 𝑋𝑖 = ∏𝑁 𝑖=1 𝑒 • Exemple d’utilisation en pharmacologie : la pharmacocinétique. Exemples • La fonction exponentielle est utilisée pour décrire l’élimination des médicaments. • La fonction suit une courbe selon une loi exponentielle. 5 𝐶 (𝑡 ) = 𝐶𝑙 𝐷𝑜𝑠𝑒 𝑘𝑎 (𝑒 − 𝑉 𝑡 − 𝑒 −𝑘𝑎𝑡 ) 𝑉 𝑘 − 𝐶𝑙 𝑎 𝑉 Une variable aléatoire X suivant la loi normale possède une densité f égale à : 𝑓 (𝑥, 𝜇, 𝜎) = 1 𝜎ξ2𝜋 𝑒 1(𝑥−𝜇)² − 2 𝜎² La densité f renseigne sur la répartition des valeurs prises par la variable aléatoire • Exemple d’utilisation en statistique : • La fonction exponentielle apparaît dans la définition de la loi normale (courbe en cloche centrée sur une valeur µ et dont la variabilité est quantifiée par σ) : • Les paramètres µ et σ² correspondent à : o µ : moyenne de X (E[X]), règle la position de la courbe selon l’axe des abscisses. o σ² : variance de X (Var [X]), règle l’étalement de la courbe (plus σ² est grand plus la plage des valeurs que X peut prendre est grande). • De nombreux phénomènes peuvent être caractérisés à l’aide d’une loi normale. 6 • La taille à l’âge adulte : Exemple 7 3. Les Intégrales • Si f est une fonction réelle, l’intégrale sur l’intégrale [a ; b] de f est l’aire sous la courbe de f sur l’intervalle [a ; b]. Définitions 𝑏 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ∫ 𝑘 × 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 × ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 (𝑘 ⋲ ℝ) 𝑎 𝑎 Propriétés Les intégrales 𝑏 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑏 + ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 (𝑐 ⋲ [𝑎; 𝑏] 𝑐 • L’intégrale d’une somme est égale à la somme de deux intégrales. • Un facteur commun présent dans une intégrale peut être sorti de celle-ci. • L’intégrale d’un intervalle est égale à la somme des intégrales de fragment de cet intervalle. • Si X est une variable aléatoire normale, alors on peut calculer des probabilités en intégrant sa densité f : Exemple d’utilisation en statistique 𝑏 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝜇, 𝜎)𝑑𝑥 𝑎 8 III. Les statistiques : pourquoi et comment ? • Les phénomènes étudiés en médecine possèdent de nombreuses parts posant problème pour obtenir un résultat correct et non faussé. Il est donc nécessaire de disposer d’un outil permettant de : o Caractériser un phénomène (moyenne, variance…) o Quantifier l’incertitude d’un résultat (intervalle de confiance) o Prendre une décision (test statistique) o Quantifier la dépendance entre 2 variables (régression) o Prédire Exemple de l’estimation de l’effet du Durvalumab sur la survie des patients atteints d’un cancer du poumon Pourquoi faire des statistiques ? Ces notions seront revues le long du semestre Les statistiques : comment ? • Les phénomènes observés en médecine possèdent des caractéristiques (moyenne, variance, distribution, …) qui leur sont propres mais problème, ces caractéristiques sont généralement inconnues. • Le but des statistiques est d’estimer ces caractéristiques à partir d’observations de X. 9 • Exemple de la relation entre le poids et la taille à l’âge adulte : o Par régression linéaire, on peut trouver la taille estimée à partir du poids • Exemple du nombre de décès accidentels aux USA : on peut estimer la mortalité en créant un modèle statistique (avec intervalle de confiance) Exemples • Exemple de la glycémie chez l’étudiant en PASS en fin de matinée ≠ en fonction du nombre d’étudiants étudiés. 10 • Plus l’échantillon est grand, plus l’estimation est proche de la courbe de la vraie valeur théorique. 11