Complément des Mathématiques: Analyse Complexe - PDF

Complément des mathématiques Partie 1: Analyse complexe Assoc. DI. Dr. Tech NKIEDIEL Alain AKWIR PhD in Information and Communication Engineering Contenu du cours 0. Introduction 1. Les nombres complexes 2. les fonctions, limites et continuité 3. Dérivation dans le domaine com...

Complément des mathématiques Partie 1: Analyse complexe Assoc. DI. Dr. Tech NKIEDIEL Alain AKWIR PhD in Information and Communication Engineering Contenu du cours 0. Introduction 1. Les nombres complexes 2. les fonctions, limites et continuité 3. Dérivation dans le domaine complexe; Equation de Cauchy- Riemann 4. Intégration dans le domaine complexe; Théorème de Cauchy; Formule intégrale de Cauchy 5. Séries Infinie, Série de Taylor, Série de Laurent 6. Théorème des résidus; Calculs des résidus 7. Les transformations SUITES NUMERIQUES Une fonction d’une variable entière positive désignée par 𝒇 𝒏 ou 𝒖𝒏 ou 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … est une suite. Une suite est donc une ensemble de nombres rangés dans un ordre donné et obtenu selon une loi bien définie. Chaque nombre de la suite est appelée une terme et 𝒖𝒏 est appelé le nième terme. La suite 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 , 𝒖𝟑 est par abréviation désignée par 𝒖𝒏 La suite est dite finie ou infinie, selon qu’elle comporte un nombre fini de terme ou non. ✓ Ex1: Suite de FIBONACCI, 𝒖𝒏+𝟐 = 𝒖𝒏+𝟏 + 𝒖𝒏 ; 𝟎, 𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟖, 𝟏𝟑, 𝟐𝟏, 𝟑𝟒, … ✓ Ex2: L’ensemble de termes 𝒊, 𝒊𝟐 , 𝒊𝟑 , … , 𝒊𝟏𝟎𝟎 est une suite finie. Le terme de rang 𝒏 est donné par 𝒖𝒏 = 𝒊𝒏 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝟏𝟎𝟎  SUITES NUMERIQUES Limites d’une suite Un nombre 𝒍 est appelé limite d’une suite infinie 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 , 𝒖𝟑 … si pour tout nombre positif 𝜺 nous pouvons trouver un nombre positif 𝑵 dépendant de 𝜺 tel que 𝒖𝒏 − 𝒍 < 𝜺 Ou ∀𝜺 > 𝟎, ∃𝒏𝟎 ∈ ℕ tq ∀𝐧 ≥ 𝒏𝟎 , 𝒖𝒏 − 𝒍 < 𝜺 Trouver 𝒏𝟎 = 𝒇(𝜺) Dans un tel cas nous écrivons 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 = 𝒍, la suite est dite convergente si une telle limite 𝒏→∞ existe, dans le cas contraire est dit divergente; ce qui veut dire: 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 = ∞ , ∀𝜺 > 𝟎, ∃𝒏𝟎 ∈ ℕ tq ∀𝐧 ≥ 𝒏𝟎 , 𝒖𝒏 > 𝑨 Trouver 𝒏𝟎 = 𝒇(𝑨) 𝒏→∞ Une suite ne peut converger que vers une seule limite cad, si elle existe, elle est unique  SERIES INFINIES Soit 𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 , 𝒖𝟑 … une suite donnée, formons une nouvelle suite 𝒔𝟏 , 𝒔𝟐 , 𝒔𝟑 … définie par 𝒔𝟏 = 𝒖𝟏 , 𝒔𝟐 = 𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 , 𝒔𝟐 = 𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 + 𝒖𝟑 , … 𝒔𝒏 = 𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 + 𝒖𝟑 + ⋯ 𝒖𝒏 ou le 𝒔𝒏 , appelée la nième somme partielle, et la somme de 𝒏 premiers termes de la suite 𝒖𝒏 La suite 𝒔𝟏 , 𝒔𝟐 , 𝒔𝟑 est représentée par 𝒖𝟏 + 𝒖𝟐 + 𝒖𝟑 + ⋯ = σ∞ 𝑛=1 𝒖𝒏 qui est appelée série infinie et 𝒖𝒏 terme générale. Si 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒏 ∃, la série est dite convergente, sinon elle est dite divergente 𝒏→∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒏 = 𝑺 ; avec 𝑺 la somme de la série. 𝒏→∞ Une condition nécessaire pour que la série converge est que 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 = 𝟎 (Demo: Exrecice) 𝒏→∞ 𝒏 Ex: σ∞ 𝒏=𝟏 𝟑𝒏+𝟏  SUITES DE FONCTIONS Soit 𝒖𝟏 (𝒛), 𝒖𝟐 (𝒛), 𝒖𝟑 (𝒛) … 𝒖𝒏 (𝒛) … ou 𝒖𝒏 (𝒛) , une suite de fonctions définies et uniformes 𝒛. On désigne par 𝑼(𝒛) la limite de 𝒖𝒏 (𝒛) quand 𝒏 → ∞ et l'on écrit 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 𝒛 = 𝑼(𝒛) , si 𝒏→∞ pour tout 𝜺 positif on peut trouver un nombre 𝑵 (qui dépend en général à la fois de 𝜺 et de 𝒛) tel que 𝒖𝒏 (𝒛) − 𝑼(𝒛) < 𝜺 pour tout 𝑵 Dans de telles conditions on dit que la suite est convergente ou converge vers 𝑼(𝒛) Si une suite est convergente pour tous les points 𝒛 d'un domaine 𝑫, on appelle 𝑫 le domaine de convergence de la suite. Une suite qui n'est pas convergente pour une valeur de 𝒛 est dite divergente en 𝒛.  SERIES DE FONCTIONS A partir de la suite de fonctions 𝒖𝒏 (𝒛) formons une nouvelle suite 𝑺𝒏 (𝒛) définie par 𝑺𝟏 𝒛 = 𝒖𝟏 (𝒛) 𝑺𝟐 𝒛 = 𝒖𝟏 𝒛 + 𝒖𝟐 (𝒛) ⋮ 𝑺𝒏 𝒛 = 𝒖𝟏 𝒛 + 𝒖𝟐 𝒛 + ⋯ + 𝒖𝒏 𝒛 Ou 𝑺𝒏 𝒛 appelée la nième somme partielle est la somme des 𝒏 premiers termes de la suite 𝒖𝒏 (𝒛) La suite 𝑺𝟏 𝒛 , 𝑺𝟐 𝒛 , … ou 𝑺𝒏 (𝒛) est représentée par ∞ 𝒖𝟏 𝒛 + 𝒖𝟐 𝒛 + ⋯ = ෍ 𝒖𝒏 𝒛 𝑛=1 appelée série infinie. Si 𝐥𝐢𝐦 𝑺𝒏 (𝒛) = 𝑺(𝒛) la série est dite convergente et 𝑺(𝒛) est sa somme, dans le 𝒏→∞ cas contraire la série est dite divergente. une condition nécessaire pour que la série converge est que 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 (𝒛) = 𝟎 𝒏→∞ Si une série converge pour toutes les valeurs de 𝒛 dans un domaine 𝑫, on dit que 𝑫 est le domaine de convergence de la série.  SERIES DE FONCTIONS Convergence absolue Une série σ∞ 𝑛=1 𝒖𝒏 𝒛 est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues, i.e. σ∞ 𝑛=1 𝒖𝒏 𝒛 est convergente. Si σ∞ ∞ 𝑛=1 𝒖𝒏 𝒛 converge est que σ𝑛=1 𝒖𝒏 𝒛 ne converge pas, la série σ∞ 𝑛=1 𝒖𝒏 𝒛 est dite semi-convergente Séries entières Une série de la forme ∞ 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒛 − 𝒛𝟎 + 𝒂𝟐 𝒛 − 𝒛𝟎 𝟐 + ⋯ = ෍ 𝒂𝒏 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒏 𝒏=𝟏 est appelée série entière en 𝒛 − 𝒛𝟎  SERIES DE FONCTIONS Séries entières La série converge de façon évidente pour 𝒛 = 𝒛𝟎 et ce point peut être le seul pour lequel il y ait convergence. Cependant en général la série converge également en d'autres points. En pareil cas on peut montrer qu'il existe un nombre positif 𝑹 tel que converge pour 𝒛 − 𝒛𝟎 < 𝑹 et diverge pour 𝒛 − 𝒛𝟎 > 𝑹, cependant que pour 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝑹 elle peut ou non converger. Géométriquement si 𝜞 est le cercle de rayon 𝑹 centré en 𝒛 = 𝒛𝟎 , alors la série converge en tous les points intérieurs à 𝜞 et diverge en tous les points extérieurs ; elle peut ou non converger sur le cercle 𝜞. SERIES DE FONCTIONS Séries entières Les valeurs spéciales 𝑹 = 𝟎 et 𝑹 = ∞ correspondent aux cas où la série converge uniquement en 𝒛 = 𝒛𝟎 ou converge pour toute valeur (finie) de 𝒛. En raison de cette interprétation géométrique 𝑹 est souvent appelé le rayon de convergence de la série et le cercle correspondant est appelé le cercle de convergence. SERIES DE FONCTIONS Quelques théorèmes importants Théorème 1. Si une suite a une limite, cette limite est unique [i.e. c'est la seule]. Théorème 2. On considère 𝒖𝒏 = 𝒂𝒏 + 𝒊𝒃𝒏 , 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,... , 𝒂𝒏 et 𝒃𝒏 , sont réels. Une condition nécessaire et suffisante pour que 𝒖𝒏 converge est que 𝒂𝒏 et 𝒃𝒏 convergent. Théorème 3. Une condition nécessaire et suffisante pour que 𝒖𝒏 converge est que pour tout 𝜺 > 𝟎 on puisse trouver un nombre 𝑵 tel que 𝒖𝒑 − 𝒖𝒒 < 𝑹 pour tout 𝒑 > 𝑵 , 𝒑 > 𝑵. Ce résultat qui présente l'avantage de ne pas faire figurer la valeur de la limite est appelé le critère de convergence de Cauchy. Théorème 4. Une condition nécessaire pour que σ 𝒖𝒏 𝒛 converge est que 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 = 𝟎. 𝒏→∞ Cependant cette condition n'est pas suffisante.  SERIES DE FONCTIONS Critères spéciaux de convergences 1. Critères de comparaison a) Si σ 𝒗𝒏 converge et si 𝒖𝒏 ≤ 𝒗𝒏 , alors σ 𝒖𝒏 converge absolument. b) Si σ 𝒗𝒏 diverge et si 𝒖𝒏 ≥ 𝒗𝒏 , alorsσ 𝒖𝒏 diverge mais σ 𝒖𝒏 peut converger ou diverger. 2. Critère de d’Alembert 𝒖 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒏+𝟏 = 𝒍, alors σ 𝒖𝒏 converge absolument. Si 𝒍 < 𝟏 et diverge si 𝒍 > 𝟏. Si 𝒍 = 𝟏, on 𝒏→∞ 𝒖𝒏 ne peut conclure. En pratique, on utilise ce critère s’il y a des factoriels dans l’expression du terme général. 𝒏! 𝒌𝒛 𝒏 Ex.1: 𝒖𝒏 = , 𝒖𝒏 = 𝒏𝒏 𝒏 SERIES DE FONCTIONS Critères spéciaux de convergences 3. Critère de Cauchy 𝒏 Si 𝐥𝐢𝐦 𝒖𝒏 = 𝒍, alors σ 𝒖𝒏 converge absolument. Si 𝒍 < 𝟏 et diverge si 𝒍 > 𝟏. Si 𝒍 = 𝟏, 𝒏→∞ on ne peut conclure. En pratique, on utilise ce critère s’il y a des puissances de n dans l’expression du terme général. 𝒌𝒛 𝒏 𝒏 𝒏𝟐 Ex.1: 𝒖𝒏 = , 𝒖𝒏 = 𝒏 𝒏+𝟏 SERIES DE FONCTIONS Théorème de Taylor Soit 𝒇(𝒛) une fonction analytique à l'intérieur d'une courbe fermée simple 𝜸 et 𝜸. Alors 𝒇 𝒛𝟎 + 𝒉 = ⋯ En posant 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒉, 𝒇 𝒛 =⋯ Ceci est appelé le théorème de Taylor et les 2 séries sont appelées série de Taylor ou développement de Taylor de 𝒇 𝒛𝟎 + 𝒉 et 𝒇 𝒛. Le domaine de convergence de la série 𝒇 𝒛 est défini par 𝒛 − 𝒛𝟎 < 𝑹 le rayon de convergence 𝑹 étant égal à la distance de a à la singularité de 𝒇 𝒛 la plus proche. Sur 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝑹 la série peut ou non converger. Pour 𝒛 − 𝒛𝟎 > 𝑹 la série diverge. Si la singularité la plus proche est à l'infini, le rayon de convergence est infini, i.e. la série converge quel que soit 𝒛. Si 𝒛𝟎 = 𝟎 dans la série obtenue est souvent appelée série de Maclaurin. SERIES DE FONCTIONS Quelques séries particulières 1. 𝒆𝒛 2. 𝐬𝐢𝐧 𝒛 3. 𝐜𝐨𝐬 𝒛 4. 𝐥𝐧 𝟏 + 𝒛 5. 𝐚𝐫𝐭𝐜𝐠𝒛 6. 𝟏 + 𝒛 𝒑  THEOREME DE LAURENT Soit 𝜸𝟏 et 𝜸𝟐 des cercles concentriques, de centre 𝒛𝟎 et de rayons respectifs 𝑹𝟏 et 𝑹𝟐. On suppose que 𝒇 est uniforme et analytique sur 𝜸𝟏 et 𝜸𝟐 et également dans la couronne 𝑫 (ou région annulaire 𝑫) limitée par 𝜸𝟏 et 𝜸𝟐 et ombrée dans la figure. Soit 𝒛𝟎 + 𝒉 un point quelconque de 𝑫, on a alors, 𝒂−𝟏 𝒂−𝟐 𝒂−𝟑 𝒇 𝒛𝟎 + 𝒉 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒉 + 𝒂𝟐 𝒉𝟐 + ⋯ + + 𝟐 + 𝟑 … 𝒉 𝒉 𝒉 Ou 𝟏 𝒇(𝒛) 𝒂𝒏 = ර 𝒅𝒛 𝟐𝝅𝒊 𝜸𝟏 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒏+𝟏 𝟏 𝒏−𝟏 𝒇(𝒛)𝒅𝒛 𝒂−𝒏 = ර 𝒛 − 𝒛𝟎 𝟐𝝅𝒊 𝜸𝟐 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 … 𝜸𝟏 et 𝜸𝟐 étant décrits dans le sens positif par rapport à leurs intérieurs. THEOREME DE LAURENT Nous pouvons dans les intégrations ci-dessus remplacer 𝜸𝟏 et 𝜸𝟐 par tout cercle concentrique 𝜸 situé entre 𝜸𝟏 et 𝜸𝟐 Les coefficients 𝒂𝒏 peuvent alors être écrits au moyen de la formule unique 𝟏 𝒇(𝒛) 𝒂𝒏 = ‫ׯ‬ 𝒅𝒛 , 𝒏 = ±𝟏, ±𝟐, ±𝟑 … 𝟐𝝅𝒊 𝜸 𝒛−𝒛𝟎 𝒏+𝟏 Avec un changement convenable de notation on peut alors écrire 𝟐 𝒂−𝟏 𝒂−𝟐 𝒇 𝒛 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒛 − 𝒛𝟎 + 𝒂𝟐 𝒛 − 𝒛𝟎 + ⋯+ + +⋯ (*) 𝒛−𝒛𝟎 𝒛−𝒛𝟎 𝟐 𝒂𝒏 𝒇 𝒛 = σ∞ 𝒏=𝟎 𝒂𝒏 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒏 + σ∞ 𝒏=𝟏 = σ∞ 𝒏=+∞ 𝒂𝒏 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒏 𝒛−𝒛𝟎 𝒏 Ceci est appelé le théorème de Laurent et est appelée une série de Laurent ou un développement de Laurent. σ∞ 𝒏=𝟎 𝒂𝒏 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒏 est appelée la partie analytique de la série de Laurent 𝒂𝒏 σ∞ 𝒏=𝟏 est la partie principale 𝒛−𝒛𝟎 𝒏 Si la partie principale est nulle, la série de Laurent se réduit à une série de Taylor. THEOREME DE LAURENT La formule intégrale pour les coefficients d’une série de Laurent est rarement utilisé. En conséquence, trouver la série Laurent d’une fonction dans un domaine annulaire spécifié n'est généralement pas une tâche facile. Cependant, dans de nombreux cas, nous pouvons obtenir un série de Laurent souhaitée soit en employant une expansion en série de puissance connue d’ une fonction ou par manipulation créative des séries géométriques. Ex: Déterminer le développement en série de Laurent des fonctions suivantes au voisinage des singularités indiquées. 𝒆𝟐𝒛 𝟏 a) ; 𝒛=𝟏 Développer 𝒇 𝒛 = en série de Laurent valable pour: 𝒛−𝟏 𝟑 𝒛+𝟏 𝒛+𝟑 1 a) 𝟏 < 𝒛 < 𝟑 b) 𝒛 − 𝟑 sin ; 𝒛 = −𝟐 z−sin 𝑧 𝑧+2 b) 𝒛 > 𝟑 c) 𝒛𝟑 ; 𝒛 =𝟎 c) 𝟎 < 𝒛 + 𝟏 < 𝟐 𝒛 d) 𝒛 < 𝟏 d) 𝒛+𝟏 𝒛+𝟐 ; 𝒛 = −𝟐 𝟏 e) 𝒛𝟐 𝒛−𝟑 𝟐 ; 𝒛=𝟑 THEOREME DE LAURENT Classification des singularités Il est possible de classer les singularités d'une fonction f (z) par l'examen de sa série de Laurent. Dans ce but nous supposerons dans la figure précédente que 𝑹𝟐 = 𝟎 si bien que 𝒇(𝒛) est analytique à l'intérieur de 𝜸𝟏 et sur 𝜸𝟏 excepté en 𝒛 = 𝒛𝟎 qui est une singularité isolée. Dans la suite, toutes les singularités seront supposées isolées sauf indication contraire. 1) Pôles: Si 𝒇(𝒛) à la forme (*) dans laquelle la partie principale ne possède qu'un nombre fini de termes donnés par 𝒂−𝟏 𝒂−𝟐 𝒂−𝒏 + 𝟐 +⋯+ 𝒏 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒂−𝒏 ≠ 𝟎 alors 𝒛 = 𝒛𝟎 est appelé un pôle d'ordre 𝒏. Si 𝒏 = 𝟏 on a affaire à un pôle simple. Si 𝒛 = 𝒛𝟎 est un pôle de 𝒇(𝒛) alors lim 𝒇 𝒛 = ∞ 𝒏→∞ THEOREME DE LAURENT Classification des singularités 2) Singularités apparentes: Si une fonction uniforme 𝒇(𝒛) n'est pas définie en 𝒛 = 𝒛𝟎 mais si lim 𝒇 𝒛 existe, alors 𝒛 = 𝒛𝟎 est appelée une singularité apparente. 𝒏→∞ 𝐬𝐢𝐧 𝒛 𝟏 𝒛𝟑 𝒛𝟓 𝒛𝟐 𝒛𝟒 Ex: = 𝒛 − + −⋯ =𝟏 − + +⋯ 𝒛 𝒛 𝟑! 𝟓! 𝟑! 𝟓! 3) Singularité essentielle: Si 𝒇(𝒛) est uniforme alors toute singularité qui n'est ni un pôle ni une singularité apparente est appelée une singularité essentielle. Si 𝒛 = 𝒛𝟎 est une singularité essentielle de 𝒇(𝒛) , la partie principale du développement de Laurent possède une infinité de termes. 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 Ex: 𝒆 = 𝟏 + 𝒛 + 𝟐 + … on en déduit que 𝒛𝟎 = 0 est une singularité essentielle. 𝒛 𝟐!𝒛 𝟑!𝒛𝟑 FONCTIONS ENTIERES Classification des singularités Une fonction qui est analytique en tout point à distance finie [i.e. partout sauf à 𝒛 = ∞] est appelée une fonction entière. Les fonctions 𝒆𝒛 ,𝐬𝐢𝐧 𝒛, 𝐜𝐨𝐬 𝒛 sont des fonctions entières. Une fonction entière peut être représentée par une série de Taylor ayant un rayon de convergence infini. Réciproquement si une série entière a un rayon de convergence infini elle représente une fonction entière. Fonctions meromorphes Une fonction analytique en tout point à distance finie sauf en un nombre fini de pôles, est appelée une fonction méromorphe. 𝒛 Ex: 𝒇 𝒛 = est analytique en tut point sauf en: 𝒛−𝟏 𝒛−𝟐 𝟑 𝒛 = 𝟏 (pole simple) et 𝒛 = 𝟐 (pole triple)