Mathématiques Chapitre Sur Les Suites

Généralités sur les suites

• Une suite (un) est une fonction définie de ℕ dans ℝ, notée par (un) : n ↦ un.
• Le terme général de la suite est noté un ; distinction importante entre (un) (toute la suite) et un (un seul terme).

Variations et monotonie d’une suite

• Une suite (un) est croissante si pour tout n ∈ ℕ, un ≤ un+1.
• Une suite (un) est décroissante si pour tout n ∈ ℕ, un ≥ un+1.
• Une suite est monotone si elle est soit croissante soit décroissante.
• Une suite est constante si un+1 = un pour tout n ∈ ℕ.
• Certaines suites, comme un = (−1)n, ne sont ni croissantes ni décroissantes.

Méthodes de détermination du sens de variation

• Étude du signe de la différence un+1 − un :
  • Si un+1 − un > 0, la suite est croissante.
  • Si un+1 − un < 0, la suite est décroissante.
• Si tous les termes sont strictement positifs, comparaison du rapport un+1/un :
  • Si un+1/un > 1, la suite est croissante.
  • Si un+1/un < 1, la suite est décroissante.
• Pour des suites définies explicitement par un = f(n), étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0, +∞].
• Raisonnement par récurrence applicable pour démontrer le sens de variation.

Limite d'une suite

• Une suite (un) a pour limite L si dans tout intervalle ouvert contenant L, toutes les valeurs de la suite sont présentes à partir d'un certain rang N.
• On note : lim (un) = L lorsque la suite converge vers L. Cette limite est unique.

Suite arithmétique

• Une suite (un) est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante, formellement un+1 = un + r, où r est la raison.
• Exemple : La suite définie par u0 = 2 et un+1 = un + 3 est arithmétique avec raison r = 3.

Exemples et applications

• Pour déterminer le sens de variation de suites spécifiques :
  • Par exemple, pour un = n² - n/2n, démonstration que la suite est croissante via le calcul de un+1 − un.
  • Autre exemple : pour un = (2n+1)/(2n), la méthode du rapport montre également une croissance.

Conclusion

• La compréhension des propriétés et des méthodes d'analyse des suites est essentielle pour les études avancées en mathématiques. Les techniques de démonstration permettent d'identifier le comportement des suites de manière efficace.

Ce quiz porte sur les concepts fondamentaux des suites en mathématiques. Vous apprendrez la définition des suites, leurs propriétés et leur notation. Préparez-vous à tester vos connaissances sur ce chapitre essentiel.