Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali PDF

Fondamenti di comunicazioni: elaborazione dei segnali 3. Segnali analogici vs. sistemi  Contenuti n Definizione di sistema n Tipologie di sistemi n Sistemi lineari e tempo-invarianti (LTI) n Risposta all’impulso di un sistema LTI n Risposta di un sistema LTI con segnale qualsiasi...

Fondamenti di comunicazioni: elaborazione dei segnali 3. Segnali analogici vs. sistemi  Contenuti n Definizione di sistema n Tipologie di sistemi n Sistemi lineari e tempo-invarianti (LTI) n Risposta all’impulso di un sistema LTI n Risposta di un sistema LTI con segnale qualsiasi Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 22  Definizione di sistema n Un sistema di elaborazione di segnali è costituito da una cascata di ’blocchi’, ognuno dei quali effettua una data trasformazione del segnale ¨ In pratica, ogni blocco riceve un segnale in ingresso, lo modifica in qualche modo e produce un segnale di uscita ¨ E’ utile studiare il modo in cui il sistema modifica il segnale, in modo tale da predire l’uscita in funzione dell’ingresso e/o essere in grado di modellare/progettare/simulare il sistema stesso per realizzare una data funzione Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 33  Definizione di sistema n A partire dal segnale di ingresso 𝑥(# ̅ 𝑢), il sistema 𝜑(') produce un segnale di uscita 𝑦( # 𝑣)=𝜑( ̅ ̅ 𝑢)) 𝑥(# ¨ L’uscita dipenderà dall’ingresso, dalle caratteristiche del sistema ed eventualmente dallo stato del sistema stesso ¨ Notare che il sistema può modificare sia il dominio che la dimensionalità del segnale n Es. un sistema potrebbe ricevere in ingresso un segnale vettoriale e restituire in uscita un segnale scalare 𝑥(# ̅ 𝑢) SISTEMA 𝑦( # 𝑣)̅ Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 4  Caso particolare n Per semplicità considereremo all’inizio il caso particolare di: ¨ segnali monodimensionali scalari ¨ sistemi che restituiscono segnali scalari senza variare il dominio n Useremo per comodità il dominio temporale n Sotto questo ipotesi, avremo: y 𝑡 = 𝑓 𝑥(𝑡) 𝑥(t) f(.) 𝑦(t) ¨ Sarebbe utile poter calcolare analiticamente y(t) in funzione dell’ingresso x(t) per un dato sistema Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 5  Sistemi lineari tempo-invarianti n Dato un sistema qualsiasi, può essere molto complesso studiare la relazione tra x(t) e y(t) n Esiste tuttavia una particolare classe di sistemi in cui questo risulta fattibile: la classe dei sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) n Un sistema LTI gode contemporaneamente di due distinte proprietà: ¨ LINEARITA’ ¨ TEMPO-INVARIANZA Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 6  Sistemi LTI: linearità n La proprietà di linearità viene anche comunemente associata al principio di sovrapposizione degli effetti n Dal punto di vista analitico si esprime come segue: 𝑓 𝑥! 𝑡 = 𝑦! 𝑡 ! ⟹ 𝑓(𝛼𝑥! 𝑡 + 𝛽 𝑥" 𝑡 )=𝛼𝑦! 𝑡 + 𝛽 𝑦" 𝑡 𝑓 𝑥" 𝑡 = 𝑦" 𝑡 ∀ 𝑥! 𝑡 , 𝑥" 𝑡 , 𝛼, 𝛽 ¨ Mandando in ingresso al sistema la combinazione lineare di due segnali qualsiasi, il sistema restituisce la stessa combinazione lineare delle relative uscite ¨ In pratica, gli effetti dei due segnali di ingresso si sommano Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 7  Sistemi LTI: esempio di sistema lineare n Esempio di sistema lineare è un partitore di tensione R1 vin(t) R2 vout(t) 𝑅& 𝑣!"# 𝑡 = 𝑣$% 𝑡 $ = 𝑣$% 𝑡 $ 𝑅() 𝑅' + 𝑅& ¨ E’ facile vedere che vale la sovrapposizione degli effetti: 𝑣𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝛼𝑣𝑖𝑛1 𝑡 + 𝛽𝑣𝑖𝑛2 𝑡 𝑅() = 𝛼𝑣𝑖𝑛1 𝑡 𝑅() + 𝛽𝑣𝑖𝑛2 𝑡 𝑅() = 𝛼𝑣𝑜𝑢𝑡1 𝑡 + 𝛽𝑣𝑜𝑢𝑡2 𝑡 Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 8  Sistema LTI: relazione ingresso-uscita n Notare che per un sistema di questo tipo, la relazione istante per istante tra ingresso e uscita è di semplice proporzionalità diretta ¨ Nell’esempio precedente, la proporzionalità è data dalla Req ¨ Da qui il termine di sistema ‘lineare’ vout vout(t0) Req vin(t0) vin Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 9  Sistemi LTI: esempio di sistema non lineare n In un sistema non lineare, la relazione istantanea tra ingresso e uscita non sarà una retta ¨ Sotto è rappresenta la relazione I/O un amplificatore operazionale ideale vout Vo1+vo2 vosum vo2 a vo1 vi2+vi2 vi1 vi2 vin zona di zona zona di saturazione attiva saturazione Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 10  Sistemi LTI: esempio di sistema non lineare n Prendiamo due segnali 𝑣𝑖1 𝑡 e 𝑣𝑖2 𝑡 le cui variazioni stanno all’interno della zona attiva ¨ Le corrispondenti uscite saranno i rispettivi valori amplificati: n 𝑣𝑜1 𝑡 = 𝛼 𝑣𝑖1 𝑡 ; 𝑣𝑜2 𝑡 = 𝛼 𝑣𝑖2 𝑡 ¨ Sommando i due segnali, tuttavia, le variazioni del segnale risultanti potranno andare fuori dalla zona attiva, entrando in saturazione ¨ In questo caso il segnale di uscita non sarà più la somma delle uscite, perché la saturazione impedirà al segnale di uscita di continuare a crescere n 𝑣𝑜𝑠𝑢𝑚 𝑡 ≠ 𝑣𝑜1 𝑡 + 𝑣𝑜2 𝑡 = 𝛼 𝑣𝑖1 𝑡 + 𝑣𝑖2 𝑡 Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 11  Sistemi LTI: tempo-invarianza n Tempo-invarianza significa che un sistema non modifica la propria risposta al variare del tempo n Dal punto di vista analitico si esprime come segue: 𝑓 𝑥 𝑡 = 𝑦(𝑡) ⟹ 𝑓 𝑥 𝑡 − 𝑡# = 𝑦 𝑡 − 𝑡# ¨ In pratica, ritardando il segnale di ingresso di una qualsiasi quantità t0, il sistema restituirà la stessa uscita ritardata di t0 Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 12  Sistemi LTI: tempo-invarianza n Il circuito resistivo visto prima è idealmente tempo invariante ¨ Poiché il valore delle resistenze non cambia nel tempo, è facile vedere che la risposta trasla di pari passo con l’ingresso n In realtà, nella pratica, la resistenza varia con la temperatura, quindi alimentando il circuito la resistenza varierà diventando una funzione R(t) ¨ Di conseguenza, il circuito reale sarà un sistema tempo-variante, almeno per una fase di transitorio Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 13  Risposta dei sistemi LTI n Dato un sistema lineare tempo-invariante è possibile calcolare la risposta ad un segnale di ingresso x(t) qualsiasi a partire dalla conoscenza della risposta ad una particolare funzione: l’impulso unitario 𝛿 𝑡 ¨ Questo risultato è particolarmente importante, perché consente di caratterizzare completamente un sistema LTI ¨ Lo dimostriamo passo-passo nelle prossime slide Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 14  Risposta dei sistemi LTI: passo 1 n Prendiamo un segnale x(t) e approssimiamolo tramite una serie di forme d’onda rettangolari di durata DT e area unitaria ¨ Per seguire l’andamento del segnale moltiplichiamo ogni rettangolo per DT e per il valore di x(t) in quell’intervallo, ottenendo il segnale approssimato xR(t) 𝑥$ 𝑡 = 0 𝑥(𝑘∆𝑇) 4 𝑅(𝑡 − 𝑘∆𝑇) 4 ∆𝑇 ≈ 𝑥(𝑡) % x(t) R(t) errore 1/DT DT xR(t) Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 15  Risposta dei sistemi LTI: passo 2 n Osserviamo la risposta hR(t) del sistema al segnale R(t) ¨ E’ sufficiente mettere in input R(t) e misurare l’output hR(t) n Poiché il sistema è LTI, sappiamo che: ¨ La risposta a una somma pesata di ingressi R(t) è la somma pesata (con gli stessi pesi) dei corrispondenti output hR(t) ¨ La traslazione di R(t) di un intervallo arbitrario DT, produce la stessa uscita hR(t) traslata della stessa quantità hR(t-DT) ¨ E’ quindi immediato verificare che la risposta al segnale xR(t) è: 𝑦$ 𝑡 = 0 𝑥(𝑘∆𝑇) 4 ℎ$ (𝑡 − 𝑘∆𝑇) 4 ∆𝑇 ≈ 𝑦(𝑡) % Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 16  Risposta dei sistemi LTI: passo 3 n Intuitivamente, usando un Dt più piccolo miglioreremo l’approssimazione (xR(t) si avvicina a x(t), l’errore tende a 0) n Ma cosa succede al limite per Dtà0? ¨ La funzione R(t) tende ad una funzione di durata nulla e ampiezza infinita, con area unitaria à E’ quella che abbiamo definito Delta di Dirac! lim 𝑅(𝑡) = 𝛿(𝑡) ∆#→, ¨ L’uscita hR(t) tende quindi alla risposta all’impulso, che chiameremo h(t) ¨ Per quanto riguarda xR(t), da sommatoria di rettangoli diventerà al limite l’integrale di una serie infinita di impulsi, coincidente con x(t) 0/ lim 𝑥- 𝑡 = 2 𝑥 𝜏 𝛿 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑥(𝑡) ∆#→,./ Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 17  Risposta dei sistemi LTI: passo 4 n Stessa cosa vale per la risposta del sistema: ¨ E’ la sovrapposizione degli effetti di infiniti impulsi pesati e traslati, ovvero l’integrale delle corrispondenti risposte impulsive +* lim 𝑦$ 𝑡 = ; 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡) ∆'→# )* n L’integrale sopra definito prende il nome di integrale di convoluzione e rappresenta l’uscita (esatta) di un sistema LTI ad un generico ingresso x(t) ¨ Nella notazione matematica, l’operatore di convoluzione viene convenzionalmente indicato con un asterisco, e si legge ‘x(t) convoluito y(t)’ Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 18  Integrale di convoluzione n Il risultato che abbiamo appena ottenuto è molto importante, infatti ci dice che: ¨ Dato un sistema LTI di cui conosciamo la risposta impulsiva h(t), è possibile calcolare in maniera analitica la risposta del sistema a un generico ingresso x(t), tramite l’integrale di convoluzione ¨ Di conseguenza, in un sistema LTI la conoscenza della risposta all’impulso è sufficiente per modellare completamente il sistema n Pensiamo ad un sistema «black box», di cui non conosciamo nulla se non il fatto che è LTI. Per modellarlo posso generare un impulso in ingresso e misurare l’uscita. A questo punto sarò in grado di predire l’uscita per un qualsiasi segnale, pur continuando a ignorare la natura fisica del sistema Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 19  Esempio n Prendiamo un sistema LTI incognito ¨ Immettiamo (ipoteticamente) un ingresso d(t) e misuriamo in uscita il segnale h(t) = d(t-T) ¨ Prendiamo ora un generico segnale x(t), quanto varrà y(t)? *) *) 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = ∫() 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = ∫() 𝑥 𝜏 d 𝑡 − 𝑇 − 𝜏 𝑑𝜏 ≜ 𝑥(𝑡 − 𝑇) Intuiamo che il sistema nel black box è un blocco di ritardo Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 20  Interpretazione della convoluzione n La convoluzione può essere interpretata graficamente come la sequenza di tre operazioni: 1. Riabaltamento 2. Scorrimento di h(t) rispetto 3. Moltiplicazione e di h(t) al segnale di ingresso integrazione h(α ) → h ( −α ) h (α ) → h ( t − α ) t ∈( −∞,+∞ ) u (α ) h ( t − α ) d α +∞ ∫−∞ Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 21  Calcolo della convoluzione per via analitica n Si tratta di risolvere l’integrale di convoluzione in forma chiusa ¨ Non è detto che sia fattibile, la primitiva potrebbe non esistere (es. funzioni con discontinuità) o essere troppo complessa da calcolare ¨ Il segnale potrebbe non essere associato ad una espressione analitica (es. segnali aleatori) ¨ Nei casi più complessi potrebbe essere utile procedere per via numerica (lo vedremo più avanti nel corso) Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 22  Calcolo della convoluzione per via grafica n Nel caso di segnali e sistemi con andamenti grafici semplici è possibile applicare l’interpretazione vista prima 1. Ribalto uno dei due segnali (di solito il più semplice) 2. Lo porto idealmente a meno infinito 3. Lo faccio scorrere in avanti, moltiplicando i due segnali per ogni posizione e calcolando l’area della funzione risultante ¨ L’operazione più complicata è l’ultima, ma per segnali semplici è di solito possibile identificare dei ‘punti chiave’ (es. transizioni) e interpolare l’andamento tra ogni coppia di punti chiave successivi Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 23  Convoluzione per via grafica: esempio x(t) h(t) t * t x(t) vs h(t-t) t y(t) t Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 24  Proprietà della convoluzione n La convoluzione restituisce una funzione che ha durata maggiore di quella degli operandi ¨ In particolare, la durata del risultato sarà pari alla somma delle durate dei due segnali convoluiti n La convoluzione è un’operazione lineare n La convoluzione gode delle proprietà commutativa, associativa e distributiva: 𝑥 𝑡 ∗𝑦 𝑡 =𝑦 𝑡 ∗𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 ∗ 𝑦 𝑡 ∗ z t = x t ∗ 𝑦 𝑡 ∗ 𝑧(𝑡) 𝑥 𝑡 ∗ 𝑦 𝑡 +𝑧 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ 𝑦 𝑡 + 𝑥 𝑡 ∗ 𝑧(𝑡) Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 25  Convoluzioni notevoli n Consideriamo qualche caso particolare in cui la convoluzione è risolvibile in maniera relativamente semplice n Questi esempi (convoluzioni notevoli) ci saranno utili per risolvere situazioni più complesse ¨ Possiamo sfruttare le proprietà della convoluzione per semplificarci la vita, ad esempio scomponendo i segnali più complicati in somme di segnali più semplici n Vediamo: ¨ Convoluzione con impulsi ¨ Convoluzione tra rettangoli di uguale durata ¨ Convoluzione tra rettangoli di diversa durata ¨ Convoluzione tra gaussiane Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 26  Convoluzioni notevoli: impulsi ¨ E’ facile vedere che la convoluzione di un segnale qualsiasi con un impulso restituisce il segnale stesso 𝑥 𝑡 ∗𝛿 𝑡 =𝑥 𝑡 ¨ In pratica se la risposta impulsiva di un sistema è un impulso nell’origine, il sistema non fa nulla (sistema passa-tutto) ¨ Se invece eseguo la convoluzione con un impulso traslato, ottengo la traslazione del segnale della stessa quantità 𝑥 𝑡 ∗ 𝛿 𝑡 − 𝑇 = 𝑥(𝑡 − 𝑇) ¨ In pratica, un sistema che ha per risposta all’impulso un impulso traslato agisce da blocco di ritardo Fondamenti di Comunicazioni: Elaborazione dei Segnali 27  Convoluzioni notevoli: rettangoli simmetrici di pari durata ¨ Consideriamo due rettangoli di uguale durata e a simmetria pari 𝑡 𝑡 𝑥' 𝑡 = 𝐴1Π ; 𝑥& 𝑡 = 𝐴2Π 𝑇 𝑇 ¨ La convoluzione in forma analitica sarà: 0/ 𝑦 𝑡 =2 𝑥' 𝜏 𝑥& 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏./ ¨ Posso ripartire il calcolo in intervalli, in cui le funzioni sono continue n Per t < -T e t > T i due rettangoli non si incontrano à y(t)=0 n Rimane da calcolare l’intervallo –T