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Studienbrief Digitale Signalverarbeitung Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme Prof. Dr. Dieter Maier 1DSV / DSI 01-1305-001-5 Impressum Verfasser Prof. Dr. Dieter Maier Dieter Maier ist seit Oktober 2010 Professor für Informationstechnik und...

Studienbrief Digitale Signalverarbeitung Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme Prof. Dr. Dieter Maier 1DSV / DSI 01-1305-001-5 Impressum Verfasser Prof. Dr. Dieter Maier Dieter Maier ist seit Oktober 2010 Professor für Informationstechnik und Bildver- arbeitung an der Hochschule Heilbronn. Er studierte Physik an der Universität Freiburg (Abschluss 1992: Diplom-Physik). Danach promovierte er zum Dr. rer. nat. bis 1996 am Freiburger Materialforschungs- zentrum, um dann im Anschluss die Leitung der Servicegruppe „wissenschaftliche Informationsverarbeitung“ am gleichen Institut zu übernehmen. Schließlich wech- selte er im Oktober 1998 zur Firma Diehl-BGT-Defence, bei der er zunächst 6 Jahre als Entwicklungsingenieur und danach weitere 6 Jahre, bis zu seiner Berufung als Professor an der Hochschule Heilbronn, als technischer Projektleiter tätig war. Lektorat Dipl.-Phys. Kurt Schumacher Wissenschaftlicher Mitarbeiter der Hamburger Fern-Hochschule Satz/Repro Haussatz Redaktionsschluss Juni 2016 5. Auflage 2020  HFH ∙ Hamburger Fern-Hochschule, Alter Teichweg 19, 22081 Hamburg Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbe- sondere das Recht der Vervielfältigung und der Verbreitung sowie der Übersetzung und des Nachdrucks, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehal- ten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form ohne schriftliche Genehmigung der Hamburger Fern-Hochschule reproduziert oder unter Verwendung elektroni- scher Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Gedruckt auf 100 % chlorfrei gebleichtem Papier.  Einführung Einführung Die in diesem Dokument beschriebene Vorlesung halte ich schon seit mehreren Jahren an der Hochschule Heilbronn für den Masterstudiengang Maschinenbau. Ziel der Vorlesung ist, die grundlegenden mathematischen Algorithmen und Ver- fahren kennenzulernen, um digitale Signale analysieren und bewerten zu können. Dies dient dem Zweck, digitale Signale zu verarbeiten und deren relevante Infor- mation herauszuholen. Anwendungen findet man in der Prozess- und Qualitätskon- trolle zur Fehleranalyse, sowie bei Verfahren der Automatisierung. Studienbrief 1: Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme Um die oben beschriebenen Ziele zu erreichen, wird zunächst eine komplette Ein- heit über die Grundlagen der kontinuierlichen Signale und Systeme dargestellt. Alle Begriffe und Verfahren der digitalen Signalverarbeitung entspringen der kon- tinuierlichen Signalwelt, so dass es mir sinnvoll erscheint, mit den Verfahren der kontinuierlichen Signale und Systeme zu beginnen. Hier werden zunächst wichtige Begriffe und Eigenschaften der Signale eingeführt. Danach werden die beiden grundlegenden Transformationen, die Laplace-Transformation und die Fourier- Transformation dargestellt. Der Lesende soll am Ende dieser Unterkapitel in der Lage sein, diese Transformationen an konkreten einfachen Beispielen durchzufüh- ren und deren Bedeutung für Messsignale bewerten zu können. Im nächsten Schritt werden diese Transformationen genutzt, um zwei konkrete Anwendungen kennenzulernen: Die Fourier-Transformation als Basis für die Fal- tung und die Laplace Transformation, die zur Lösung linearer Differentialglei- chungen dient. Die Faltung stellt ein mächtiges Werkzeug dar, um Messsignale richtig bewerten zu können und zu verstehen, wie man diese geschickt beeinflusst. Eine Beeinflussung ist beispielsweise die Signalrauschunterdrückung. Darüber hin- aus dient die Laplace-Transformation als Basis zur Lösung linearer Differential- gleichungen (DGL). Am Ende dieser Unterkapitel soll der Lesende in der Lage sein, Signale zu analysieren. Ferner wird gezeigt, wie man anhand physikalischer Grundgleichungen Differentialgleichungen aufstellen und lösen kann. Die Einfüh- rung der kontinuierlichen linearen Systeme rundet dieses Kapitel ab, und zeigt den Zusammenhang zwischen Systemgleichungen und DGLs. Damit ist man in der Lage, durch das Lösen der DGLs, ein kontinuierliches System zu beschreiben und dessen Verhalten vorherzusagen. Studienbrief 2: zeitdiskrete Signalverarbeitung In der zweiten Einheit werden die Verfahren der Laplace-Transformation mit deren Anwendung, die Lösung von linearen Differentialgleichungen, in die digitale Sig- nalwelt übertragen. Hierzu beginne ich mit einem einleitenden Kapitel über die Eigenschaften und Begriffe der zeitdiskreten Signale und Systeme sowie einem Übergang der kontinuierlichen Signale und Systeme in die Welt der diskreten Sig- nale und Systeme. Am Ende dieses Kapitels soll der Lesende die wesentlichen Unterschiede, aber auch die Gemeinsamkeiten bei der Charakterisierung der „diskreten“ und der „kontinu- ierlichen“ Welt der Signale und Systeme verstanden haben. Im nächsten Schritt werden aus den Differentialgleichungen Differenzengleichungen und die Laplace- Transformation geht über in die z-Transformation. Beide Einheiten werden jeweils in einem separaten Kapitel behandelt. Danach ist man befähigt, prinzipiell beliebige 3 Hamburger Fern-Hochschule Einführung lineare Differenzengleichungen zu lösen. Mit der Lösung der Differenzengleichung kann man das Verhalten einer Messgröße vorhersagen und die Systemgrößen be- stimmen. Ferner habe ich bis dahin gezeigt, dass sich lineare digitale Systeme ganz allgemein anhand von Differenzengleichungen beschrieben lassen. Somit hat der Lesende die Fähigkeit erworben, digitale Systeme grundlegend zu verstehen und analysieren zu können. Studienbrief 3: Anwendungen aus der Bildverarbeitung In der dritten Vorlesungseinheit werden konkrete Anwendungen aus der Bildver- arbeitung erläutert. Zunächst wird die Fourier-Transformation in die „diskrete Fou- rier-Transformation“ (DFT) überführt. Als konkrete Anwendung stelle ich hier die Signalkompression vor. Danach soll man verstanden haben, wie man prinzipiell digitale Signale komprimieren kann, ohne die wesentlichen Informationen des Sig- nals zu verlieren. Ferner soll der Lesende anhand einfacher Beispiele eine konkrete DFT durchführen können und er soll in der Lage sein, bewerten zu können, welche Information für ein Signal relevant und welche irrelevant ist. Danach wird die Faltung aus der kontinuierlichen Signalwelt in die digitale Signal- verarbeitung überführt. Diese sogenannte diskrete Faltung wird schließlich im Kapitel 7 erläutert. Auch hier werden interessante Beispiele aus der Bildverarbei- tung dargestellt, wie Rauschunterdrückung oder Kantenextraktion. Ziel aller drei Studienbriefe: Am Ende der Vorlesung steht dem Leser die gesamte Bandbreite der mathemati- schen Verfahren in der kontinuierlichen sowie der digitalen Signalverarbeitung zur Verfügung. Diese Verfahren werden schließlich bei Anwendungen aus der Bild- verarbeitung veranschaulicht. Konkret werden Signalkompression, Rauschunter- drückung und Kantenextraktion von Bildern dargestellt. Der Studierende soll am Ende der Vorlesungseinheit die Begriffe der digitalen Sig- nalverarbeitung kennen gelernt haben. Ferner soll er verstanden haben, welche ma- thematischen Verfahren geeignet sind, um die entsprechende Information aus dem Signal zu extrahieren. Diese Verfahren muss er an konkreten Beispielen anwenden können. Ein konkretes Beispiel ist die Signalrauschunterdrückung. Der Studierende muss bewerten können, welcher Anteil der Information Rauschen ist und damit irrelevant für die Signalanalyse, und welcher Anteil die wesentliche Information enthält. Ein weiteres konkretes Beispiel ist die Beschreibung von digitalen Syste- men. Diese muss er anhand bekannter grundlegender Zusammenhänge entwerfen können und deren Verhalten vorhersagen können. 4 Hamburger Fern-Hochschule  Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einführung........................................................................................................... 3 Abkürzungsverzeichnis....................................................................................... 7 Formelverzeichnis................................................................................................ 8 1 Grundlagen..................................................................................................... 9 1.1 Träger von digitalen Signalen................................................................... 9 1.2 Signalformen............................................................................................ 10 1.3 Grundoperationen der digitalen Signalverarbeitung................................. 11 2 Kontinuierliche Signale & Systeme.............................................................. 12 2.1 Konkrete Beispiele................................................................................... 12 2.1.1 Sinus & Cosinus-Schwingung........................................................ 12 2.1.2 Der Rechteckimpuls....................................................................... 13 2.1.3 „Sinc“-Funktion.............................................................................. 14 2.2 Charakterisierung von Signalen................................................................ 15 2.2.1 Begriffe........................................................................................... 15 2.2.2 Gaußverteilung............................................................................... 17 2.2.3 Box-Müller-Verfahren.................................................................... 20 2.3 Fourier-Reihe............................................................................................ 21 2.3.1 Darstellung der Funktion als trigonometrische Reihe.................... 22 2.3.2 Komplexe trigonometrische Funktionen als Orthonormalbasis..... 22 2.3.3 Bestimmung der Fourier-Koeffizienten......................................... 24 2.3.4 Beispiele......................................................................................... 24 2.4 Fourier-Transformation............................................................................ 27 2.4.1 Transformations-Formeln............................................................... 27 2.4.2 Beispiel: Rechteckimpuls............................................................... 27 2.4.3 Diskrete Spektren........................................................................... 28 2.4.4 Eigenschaften................................................................................. 30 2.4.5 Symmetrien.................................................................................... 31 2.4.6 Parseval Theorem........................................................................... 31 2.4.7 Kreisfrequenz ω.............................................................................. 33 2.5 Faltung...................................................................................................... 35 2.5.1 Eigenschaften der Faltung.............................................................. 35 2.5.2 Faltungssatz.................................................................................... 35 2.5.3 Gaußfunktion.................................................................................. 36 2.6 Laplace-Transformation........................................................................... 37 2.6.1 Rücktransformation........................................................................ 37 2.6.2 Die Schrittfunktion......................................................................... 38 2.6.3 Die kausale Exponentialfunktion................................................... 38 2.6.4 Fourier-Spektrum der Laplace Funktion........................................ 38 2.6.5 Eigenschaften der Laplace Transformation.................................... 39 2.6.6 Anwendungen................................................................................. 40 2.7 Kontinuierliche Systeme........................................................................... 41 2.7.1 LTI-System..................................................................................... 41 2.7.2 Impulsantwort................................................................................. 41 2.7.3 Komplexe Schwingung.................................................................. 42 2.7.4 Zusammenfassung.......................................................................... 43 5 Hamburger Fern-Hochschule Inhaltsverzeichnis 2.8 Lineare Differentialgleichung.................................................................... 43 2.8.1 Beispiel aus der Elektrotechnik....................................................... 44 2.8.2 Lösungsprinzip................................................................................ 46 2.8.3 Übertragungsfunktion...................................................................... 46 2.8.4 Gedämpfter Schwingkreis............................................................... 47 2.8.5 Lösung des gedämpften Schwingkreises mit Anfangsbedingungen. 48 2.8.6 Polstellen des gedämpften Schwingkreises..................................... 49 2.8.7 Partialbruchzerlegung...................................................................... 50 2.9 Übungsaufgaben........................................................................................ 52 2.9.1 Taylorentwicklung.......................................................................... 52 2.9.2 Fourier-Reihe: Fourier-Koeffizienten............................................. 52 2.9.3 Periodische Funktion verschoben.................................................... 52 2.9.4 Zeitfrequenzverschiebungsgesetz.................................................... 53 2.9.5 Parseval-Theorem............................................................................ 53 2.9.6 Fourier-Transformation................................................................... 53 2.9.7 Fourier-Transformation der Dreiecksfunktion mit Faltungssatz..... 53 2.9.8 Differentialgleichung...................................................................... 54 2.9.9 Gedämpfter Schwingkreis mit y(0)≠ 0............................................ 54 Lösungen zu den Übungsaufgaben..................................................................... 55 Literaturverzeichnis............................................................................................. 62 6 Hamburger Fern-Hochschule  Abkürzungsverzeichnis Abkürzungsverzeichnis AAF Anti-Aliasing-Filter AD Analog-Digital-Wandler BIBO Bounded Input Bounded Output BV Bildverarbeitung DA Digital-Analog-Wandler DC Direct Current DFT diskrete Fourier-Transformation DGL Differentialgleichung und Differenzengleichung DSP Digitaler-Signal-Prozessor FIR Finite-Impulse Response FT Fourier-Transformation IIR Infinite-Impulse-Response JPG Joint Photographic Experts Group LTI Linear Time Invariant MP3 MPEG-3 Audio-Layer 1 oder MPEG-3 Audio-Layer 2 MPEG Moving Picture Experts Group RGB Rot-Grün-Blau SF Smooth-Filter 7 Hamburger Fern-Hochschule Formelverzeichnis Formelverzeichnis U Spannung in Volt R Widerstand in Ohm I Stromstärke in Ampere Q Ladung in Coloumb C Kapazität in Farad L Induktivität in Henry f0 Frequenz eines periodischen Signals T0 Periodendauer bzw. Abtastperiode x(t) zeitkontinuierliches Signal xp(t) zeitkontinuierliches periodisches Signal δ(t ) Diracʼscher Delta-Impuls u(t) Schrittfunktion σ0 statistischer Messfehler ε (t ) standardnormalverteilte Zufallsvariable p(x) Gaußverteilung ck Fourier-Koeffizienten X(f ) Frequenz-Spektrum ω = 2πf Kreisfrequenz X(s) Laplace-Transformierte h(t) Impuls-Antwort H (ω) Frequenzspektrum der Impuls-Antwort H(s) Übertragungsfunktion 8 Hamburger Fern-Hochschule  Grundlagen 1 1 Grundlagen 1.1 Träger von digitalen Signalen Signale liegen häufig als Träger von Informationen in digitaler Form vor. Mess- daten, Musik oder Videobilder sind einige Beispiele hierfür. Sollen diese Daten verarbeitet werden, so spricht man von der digitalen Signalverarbeitung. Ziele der digitalen Signalverarbeitung sind unter anderem: Herausholen von Informationen (Mustererkennung & Klassifikation): In dem folgenden Beispiel (Abb. 1.1) liegt die digitale Information in Form eines Bildes vor. Dieses soll mit Hilfe der digitalen Bildverarbeitung so analysiert werden, dass die Information „Karo 9“ herausgefiltert wird. Diese Aufgabe ist für das menschliche Informations- und Klassifikationssystem ohne Schwierig- keiten lösbar. Es bedarf jedoch ein wenig Anstrengung, dies einem Computer beizubringen. Abb. 1.1: Spielkarte mit der Information „Karo 9“ Datenspeicherung, Datenübertragung und Datenkompression: Anwendungen hierzu finden sich beispielsweise bei der Bildspeicherung der digitalen Foto- grafie im sogenannten „JPG“-Format. Ferner sind aus der Videotechnik die „MPEG“-Verfahren bekannt, bzw. in der Audiotechnik das „MP3“-Format. Verbesserung der Datenqualität durch Rauschunterdrückung: Diese Technik ist in gewissem Sinn universell, da sie überall dort relevant ist, wo der Messfehler möglichst unterdrückt werden soll. Die zugrundeliegende Technik basiert auf der digitalen Filterung von Signalen. Es handelt sich hierbei um die sogenannten „Tiefpassfilter“. In Abb. 1.2 ist ein Beispiel dargestellt, bei dem ein recht hohes Sensorrauschen mittels eines speziellen Tiefpassfilters (Gaußfilter) unterdrückt wird. Man erkennt, dass die Konturen im rechten Bild deutlich unschärfer sind als im linken. Dies ist eine typische Folge eines Tiefpassfilters. Abb. 1.2: Links: Originalbild, rechts: Nach Anwendung eines Tiefpassfilters zur Rauschunterdrückung. 9 Hamburger Fern-Hochschule 1 Grundlagen Im Beispiel der Spielkarte liegen die digitalen Informationen in Form eines Bildes vor. Das Bild soll mit Hilfe der digitalen Bildverarbeitung so analysiert werden, dass die Information „Karo 9“ herausgefiltert wird. Diese Aufgabe ist zwar für das menschliche Informations- & Klassifikationssystem einfach lösbar, es bedarf jedoch ein wenig Anstrengung, dies einem Computer beizubringen. 1.2 Signalformen Es gibt prinzipiell drei unterschiedliche Formen der Signalinformation. Ein Signal, das sowohl auf der Zeit- als auch auf der Messachse kontinuierlich vorliegt, nennen wir „kontinuierlich“ oder „zeitkontinuierlich“ (Abb. 1.3). x(t) Abb. 1.3: Zeitkontinuierliches Signal Verhält sich das Signal hingegen auf der Zeitachse diskret und auf der Messachse kontinuierlich, so spricht man von einem zeitdiskreten Signal oder einem Abtast- signal (Abb. 1.4). Hier sind typischerweise die Zeitabstände zwischen 2 Messungen gleich groß. Diesen gleichmäßigen Zeitabstand nennt man Abtastperiode T. Der Kehrwert hierzu ist die Abtastfrequenz oder die Abtastrate. Sind schließlich sowohl Zeit als auch die davon abhängige Messgröße diskret, so handelt es sich um ein digitales Signal (siehe Abb. 1.5). x(t) Abb. 1.4: Beispiel für ein zeitdiskretes Signal x(t) Abb. 1.5: Beispiel für ein digitales Signal 10 Hamburger Fern-Hochschule  Grundlagen 1 1.3 Grundoperationen der digitalen Signalverarbeitung Korrelation, diskrete Fourier-Transformation, digitale Filterung und die Signal- erzeugung sind die Grundoperationen der digitalen Signalverarbeitung. Mit Korrelationsmethoden versucht man durch geschickte Überlagerung zweier Signale, die den Signalen innewohnende Information zu extrahieren. Eine typische Anwendung hierfür ist die Ortung einer Geräuschquelle (vgl. v. Grüningen 2008: 7). Die diskrete Fourier-Transformation dient dazu, das Frequenzspektrum eines Sig- nales zu ermitteln. Dieses kann zur Datenkompression oder Datenanalyse (Fehler- detektion) genutzt werden. Intensität (x) x / Pixel Abb. 1.6: Anwendungsbeispiel der Fourier-Transformation zur Datenkompression In Abb. 1.6 ist eine Anwendung der Fourier-Transformation für die Datenkompres- sion dargestellt. Die blaue Kurve entspricht dem originalen Messsignal, während die rote Kurve das rekonstruierte Signal ist, welches mit 20 % aller Fourier- Koeffizienten erstellt wurde. Damit wurde das ursprüngliche Signal um einen Fak- tor 5 komprimiert. Die digitale Filterung dient dazu, spezielle Frequenzen aus dem Signal von vorn- herein herauszufiltern. Anwendungen hierfür finden sich bei der Rauschunter- drückung oder bei der Hervorhebung von Änderungen, wie z. B. die Kantendetek- tion in der Bildverarbeitung (Abb. 1.7): Abb. 1.7: Digitale Filter zur Hervorhebung von Kanten Schließlich gibt es noch die Signalerzeugung, die z. B. für das Wählen einer Telefon- nummer genutzt wird. Hier erzeugt das Drücken einer Telefontaste ein bestimmtes Signal, welches dann über die Datenleitung transportiert wird. Das ankommende Signal wird vom Datenempfänger entsprechend interpretiert. 11 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme 2 Kontinuierliche Signale & Systeme In diesem Kapitel wird eine Einführung in die kontinuierlichen Signale & Systeme gegeben, da diese für das Verständnis der digitalen Signalverteilung essentiell sind. Für dieses Kapitel ist das Verständnis für die Grundlagen der höheren Mathematik von Vorteil. Weitere besondere Vorkenntnisse sind nicht notwendig. Nach Bearbeitung dieses Kapitels soll der Lesende die fundamentalen Transforma- tionen zeitlich kontinuierlicher Messsignale beherrschen. Der Übergang zu kon- tinuierlichen Systemen stellt dann keine Schwierigkeit mehr dar. Diese Systeme sollen analysiert werden können und deren zeitliches Verhalten vorhersagbar sein. Zudem soll das Prinzip, wie man lineare Differentialgleichungen aufstellt und löst, verstanden sein. Der Lesende soll die Zusammenhänge zwischen Systemgleichun- gen und Differentialgleichungen beurteilen und anhand der Grundgleichungen der Physik die zugehörigen Differentialgleichungen aufstellen können. Um diese Ziele zu erreichen, werden zunächst die Begriffe zur Charakterisierung der kontinuierlichen Signale eingeführt. Danach werden stets erweiternd die Verfah- ren der fundamentalen Transformationen, im Einzelnen die Fourier-Reihe, Fourier- Transformation, Faltung und Laplace-Transformation erläutert. Im Anschluss daran werden kontinuierliche LTI-Systeme (Linear-Time-Invariant Systems) behandelt, deren Analyse sich auf eine Kombination aus Faltung und Laplace-Transformation zurückführen lässt. Schließlich werden als Anwendungen jeweils konkrete Beispiele zum Aufstellen und Lösen linearer Differentialgleichungen erläutert. 2.1 Konkrete Beispiele 2.1.1 Sinus & Cosinus-Schwingung Eines der elementaren kontinuierlichen Signale ist die reine Cosinus-Schwingung. Diese tritt idealisiert beim Spannungsverlauf U(t) der gewöhnlichen Stromzufuhr in einem Haushalt auf. In diesem Fall ist 2πi( f 0t +ϕ ) U (t ) = Uˆ R (t ) cos ( 2πf 0 t ) + iUˆ I sin ( 2πf 0 t ) = Uˆe 2-1  Uˆ  Hierbei stellen Uˆ = Uˆ R2 + Uˆ I2 die Amplitude, ϕ = a tan  I  die Phase und f 0  Uˆ   R die Frequenz des Signals dar. Allgemein lässt sich der Strom in einem sogenannten komplexen Zeigerdiagramm darstellen. Der real messbare Strom ist die Projektion des Zeigers auf den Realteil des Diagrammes. Je nach Vorzeichen der Frequenz läuft der Zeiger im Uhrzeigersinn ( f 0 < 0) oder gegen den Uhrzeigersinn ( f 0 > 0) (siehe Abb. 2.1). Abb. 2.1: komplexes Zeigerdiagramm für eine Sinus- Cosinus-Schwingung 12 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 In der Abb. 1.3 aus Kapitel 1.2 handelt es sich um eine reine Sinus-Schwingung mit der Amplitude Uˆ = 1 , der Frequenz f 0 = 0, 04 und der Phase ϕ = −90°. Das bedeutet der Zeiger zeigt zum Zeitpunkt t = 0 senkrecht nach unten zeigt und be- wegt sich dann gegen den Uhrzeigersinn (positive Frequenz). 2.1.2 Der Rechteckimpuls Ein weiteres wichtiges Signal ist der Rechteckimpuls. Er ist durch folgende Glei- chung gegeben:  T0 C : t < 2 x (t ) =  2-2  0 : t ≥ T0  2 x(t) Abb. 2.2: Rechteckimpuls mit T0 = 10 und C = 1 Setzt man in der Gleichung (2-2) C = 1 T0 , so ist das Integral über x(t) auf 1 nor- miert. Bildet man im nächsten Schritt den Grenzwert für T0 gegen Null, so bleibt das Integral erhalten (= 1) und man erhält eine Funktion, die überall Null ist außer bei t = 0. An dieser Stelle ist die Funktion unendlich groß. Man spricht hier auch nicht mehr von einer Funktion sondern von der sogenannten Delta-Distribution. Diese ist wie folgt definiert:  t  lim x   = δ (t ) T0 →0  T0  Es gilt: ∞ ∞  t    x   dt = 1 und δ (t )dt = 1 T 2-3 −∞  0  −∞ Ferner gilt: ∞  δ (t –t0 ) x(t )dt = x(t0 ) –∞ 13 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme 1 T0 –T0 / 2 T0 / 2 Abb. 2.3: Übergang der Rechteckfunktion in die δ-Distribution 2.1.3 „Sinc“-Funktion Die „sinc“-Funktion ist vor allem bei der Fourier-Analyse von Belang. Daher wird diese bereits hier eingeführt und deren wichtigsten Eigenschaften analysiert. Die Funktion ist wie folgt definiert: sin  πt   t   T0  sinc   = 2-4  T0  πt T0 In der Abb. 2.4 ist der Verlauf für T0 = 5 dargestellt. x(t) Abb. 2.4: sinc(t) mit T0 = 5 Es ist sofort ersichtlich, dass die Nullstellen der Funktion bei n * T0 liegen, mit n = 1,2,3,…. Der Grenzwert für t gegen unendlich ist Null und die Extrempunkte 2n + 1 liegen immer exakt zwischen zwei Nullstellen: tExtrem = T0 für n = 1, 2,3,... 2 Interessant ist auch das Verhalten für t → 0. In diesem Fall sind Zähler und Nen- ner identisch Null, und der Grenzübergang lässt sich mit der Regel von l’Hospital lösen (vgl. Bronstein 1987: 253). f ( x) f ′( x) f (IV) ( x) lim = lim =... = lim =… x→0 g ( x) x→0 g ′( x) x→0 g (IV) ( x)  2-5 sin( x) lim =1 x→0 x Eine weitere Möglichkeit diesen Grenzübergang zu ermitteln, liegt in der Reihen- entwicklung bzw. Taylor-Entwicklung der Sinus-Funktion (vgl. Bronstein 1987: 32). 14 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 Es gilt: ∞ x 2 n +1 x3 sin x =  ( −1) n ( 2n + 1)! = x− 3! + n =0 und somit ∞ sin x 1 x 2 n +1 x2 sinc x = x = x n =0  ( −1) n ( 2n + 1)! =1− 3! + 2-6 Daraus ergibt sich unmittelbar die Lösung der Formel (2-5). 2.2 Charakterisierung von Signalen Signale werden nach unterschiedlichen Eigenschaften in bestimmte Kategorien eingeteilt. Diese Kategorien dienen u. a. dazu, ein Signal mit einfachen Begriffen charakterisieren zu können. Einige dieser Begriffe werden im folgenden Abschnitt eingeführt und anhand konkreter Beispiele erläutert. 2.2.1 Begriffe Deterministisches Signal: Ein deterministisches Signal x(t) wird ausschließlich durch ein mathematisches Modell beschrieben und besitzt idealisiert keinen Messfehler. Stochastisches Signal: Ein stochastisches Signal xσ (t) entspricht eher der realen Messung. In diesem Fall setzt sich das Messsignal aus einem deterministischen und einem stochastischen Anteil zusammen: xσ (t ) = x (t ) + σ 0 ⋅ ε (t ) 2-7 In der obigen Gleichung ist x(t) das deterministische Signal, σ 0 entspricht dem Messfehler und ε(t) einer standard-normalverteilten Zufallsvariablen. ε(t) gehorcht damit einer Gaußverteilung mit Mittelwert x0 = 0 und Varianz σ = 1. Die Gauß- verteilung ist durch 2 2 e − ( x − x0 ) /2σ p( x) = 2-8 2πσ definiert. Dass der Messfehler in der Realität annährend einer Gaußverteilung ge- horcht, liegt am zentralen Grenzwertsatz der Stochastik. Dieser besagt, dass im Grenzfall einer Überlagerung von unendlich vielen unabhängigen Einzelereignissen, die Gesamtverteilung der Gaußverteilung entspricht (vgl. Honerkamp 1990: 17). Periodische Signale: Ein Signal ist periodisch, falls es ein T0 gibt, so dass für alle t von x(t) gilt: x (t ) = x (t + T0 ) 2-9 Damit gilt auch automatisch, dass x(t) = x(t + N*T0) ist, mit N = 0,1,2,… Kausale Signale: Ein Signal heißt kausal, falls gilt: x(t ) = 0 für t < 0 2-10 15 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme Das einfachste Beispiel hierzu ist die Schrittfunktion u(t) (engl: step-function): 1 falls t ≥ 0 u (t ) =  2-11 0 sonst Diese ist in der Abb. 2.5 dargestellt. u(t) 1 0.5 0 0 64 100 128 192 256 Abb. 2.5: Die Schrittfunktion u(t – t0 ) für t0 =100 gerade und ungerade Signale: Gerade Signale sind dadurch gekennzeichnet, dass x(t) = x(– t) ist, wie beispielsweise x(t) = cos(t). Ungerade Signale sind punktsymmetrisch zum Ursprung, d. h. x(t) = – x(– t), wie beispielsweise x(t) = sin(t). Man kann zeigen, dass sich jedes beliebige Signal in ein gerades und ein ungerades Signal zerlegen lässt:  x(t ) + x(−t )   x(t ) − x(−t )  x(t ) =  +  = xe (t ) + xo (t ) 2-12  2   2  Beweis: Man muss zeigen, dass xe(t) gerade und xo(t) ungerade ist.  x(t ) + x(−t )   x(−t ) + x(t )   x(t ) + x(−t )  xe (t ) =    xe (−t ) =  =  = xe (t )  2   2   2   x(t ) − x(−t )   x(−t ) − x(t )   x(t ) − x(−t )  xo (t ) =    − xo (−t ) = −  =  = xo (t )  2   2   2  2-13 Energie & Leistung: Die Energie W ist durch ∞ 2 W=  x(t ) dt 2-14 −∞ definiert, während die Leistung P mit  1 T /2  P = lim  x(t ) dt  2 T → ∞ T   2-15  −T / 2  definiert wird. Ist die Energie eines Signales endlich, so spricht man von einem Energiesignal. Signale deren mittlere Leistung P endlich und ungleich null sind, nennt man entsprechend Leistungssignale. 16 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 2.2.2 Gaußverteilung Die von Carl-Friedrich Gauß (1777 – 1855) (siehe Abb. 2.6) eingeführte Verteilung einer Zufallsvariable ist für die Untersuchungen von Messungen von elementarer Bedeutung. Abb. 2.6: Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) Aufgrund des von ihm gezeigten Grenzwertsatzes der Stochastik, kann man bei Messfehlern, die sich aus einer Vielzahl unabhängiger Ereignisse zusammensetzen, von einem gaußverteilten Messfehler ausgehen (vgl. Bronstein 1987: 677). Dies ist daher so wichtig, weil damit das Modell für die Messungenauigkeit bekannt ist. In der, im vorigen Kapitel bereits erwähnten Gaußverteilung, erkennt man, dass diese Verteilung p(x) nur von den Parametern x0 und σ abhängt: 2 2 e − ( x − x0 ) /2σ p ( x) = 2-16 2πσ In Abb. 2.7 ist die Gaußverteilung dargestellt. Es ist klar zu erkennen, warum diese häufig als „Gauß’sche Glockenkurve“ bezeichnet wird. Wie man die Parameter in einer konkreten Messung ermittelt, wird im Anschluss erläutert. Hierzu benötigt man die verschiedenen Momente. p(x) Abb. 2.7: Die Gauß-Funktion mit x0 = 0 und σ = 5,0 Das n-te Moment einer Verteilung ist über ∞ x n p (x)dx 2-17 –∞ definiert. In den folgenden Unterabschnitten werden die verschiedenen Momente der Gaußverteilung ausgerechnet. 17 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme Nulltes-Moment Mit dem nullten Moment ermittelt man die Normierung der Funktion. Hierzu muss man in der obigen Gleichung 2-17 n = 0 setzen. Damit ergibt sich: − ( x − x )2 ∞ ∞ 0 1 2σ 2 d x  p (x)d x = 2πσ e –∞ –∞ Mittels der Substitution u = x – x0 erhält man schließlich: ∞ ∞ −u 2 ∞ 1 2σ 2 du 1 – a 2u 2  p(u )du = 2πσ  e = 2πσ e du –∞ –∞ –∞ 1 mit a =. Laut Integrationstafel gilt: σ 2 ∞ 2 2 π  e – a u du = 2a 2-18 0 Gleichung 2-18 ausgewertet, ergibt sich: ∞  p (x )dx =1 –∞ Damit ist gezeigt, dass die Gaußverteilung normiert ist, und somit eine Grund- voraussetzung einer Zufallsverteilung besitzt. Erstes Moment Das erste Moment entspricht dem Erwartungswert einer Zufallsverteilung. Bei ei- ner konkreten Messung wird er durch den Mittelwert approximiert. Hierzu muss in der obigen Gleichung n = 1 gesetzt werden: − ( x − x )2 ∞ ∞ 0 1 2σ 2 dx =(Substitution : u = x − x ) < x >=  xp (x)dx = 2πσ  xe 0 –∞ –∞ ∞ ∞ −u 2 ∞ −u 2 ∞ 1 2σ 2 1 2σ 2 du   xp (x)dx = 2πσ  (u + x0 )e du = 2πσ  ue + x0  p(x)dx –∞ –∞ –∞ –∞ ∞  −u 2   e 2σ 2   σ2  −  + x0 = x0  < x > = x0  2πσ      −∞ 2-19 Das erste Moment entspricht somit x0, dem ersten Parameter der Gaußverteilung. Da der Mittelwert in einer Messung über 1 N −1 < x (ti ) >=  N j =0 x j ( ti ) 2-20 18 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 ermittelt wird, dient diese Formel zur Schätzung des Parameters x0. Das heißt, wie- derholt man eine Messung an der Stelle ti N-mal, so entspricht der Erwartungswert des Messsignals an dieser Stelle ti dem Parameter x0 der Gaußverteilung. Zweites Moment In der Gleichung (2-17) muss man n = 2 einsetzen, um das zweite Moment zu er- halten. Damit ergibt sich für das zweite Moment der Gaußverteilung, folgende Be- ziehung: − ( x − x )2 ∞ ∞ 0 1 2σ 2 dx = < x2 > =  x 2 p (x)dx = 2πσ  x 2e (Substitution : u = x − x0 ) –∞ –∞ ∞ −u 2 ∞ −u 2 ∞ –u2 1 2 1 2 2 σ 2 du  (u + x0 ) e u  ue 2 2 = 2σ du = e 2σ du + 2 x0 + x02 2πσ 2πσ –∞ –∞ –∞ Laut Integrationstafel (vgl. Bronstein 1987: 66) gilt: ∞ 2 2 π  u 2e−a u du = , 0 4a 3 was dazu führt, dass für das zweite Moment der Gaußverteilung folgende Bezie- hung gilt: 1 π < x 2 >= ⋅ + 0 + x02 = σ 2 + x02 , 2πσ 3/2 2  1 2   2σ  Damit ergibt sich: σ = < x2 > − < x >2 Ferner gilt für die mittlere quadratische Abweichung ε 2, die durch 1 N −1 2 ε 2 (ti ) = ( N j =0 x j (ti )− < x(ti ) >  ) N −1 ( ) 1 ε 2 (ti ) = x 2j (ti ) − 2 < x(ti ) > x j (ti )+ < x(ti ) > 2  N j =0 1 N −1 2 1 N −1 2 1 N −1 2 ε (ti ) = N x =0  x j (ti ) − 2 < x(ti ) > N x =0  x j (ti )+ < x(ti ) > N x =0 1  ε 2 (ti ) =< x 2 (ti ) > −2 < x(ti ) > 2 + < x(ti ) > 2  ε 2 (ti ) =< x 2 (ti ) > − < x(ti ) > 2 definiert ist, folgende Beziehung: ε 2 (ti ) = σ 2 (ti ) + x02 (t i ) − x02 (t i ) = σ 2 (ti ) 2-21 19 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme Die mittlere quadratische Abweichung ε 2 an der Stelle ti entspricht dem zweiten Parameter der Gaußverteilung σ 2. Somit ist ε eine gute Schätzung des Messfehlers vom Signal an der Stelle ti. In der obigen Gleichung ist berücksichtigt, dass der Messfehler durchaus von der Stelle ti abhängen kann. Umgekehrt sind durch die Schätzung des ersten und zweiten Momentes die Parameter der Gaußverteilung be- stimmt und somit ist die Gaußverteilung vollständig beschrieben. Dies kann man sich wie folgt veranschaulichen. Wiederholt man eine Messung N mal, so ist die Unsicherheit an jedem Messpunkt durch σ gegeben: x(t) σ Abb. 2.8: Messung mit angedeutetem Messfehler 2.2.3 Box-Müller-Verfahren Ferner ist es von Interesse, bei bekanntem Messfehlermodell (Gaußverteilung), ein Signal mit zugehöriger Messungenauigkeit zu simulieren. Hierzu nutzt man gerne das sogenannte Box-Müller-Verfahren (vgl. Honerkamp 1990: 22). Dazu muss man folgendes durchführen: Zunächst nutzt man den Zufallsgenerator bei Rechnern. Diese liefern eine gleichverteilte Zufallszahl zwischen 0 und RAND_MAX, die typischerweise bei 32767 liegt. Im nächsten Schritt wandelt man diese in eine gleichverteilte Zufallszahl zwi- schen 0 und 1 um, indem man diese durch RAND_MAX teilt. Danach wird der in Gleichung (2-22) beschriebene Algorithmus benötigt: y1 = −2 ln x1 cos(2πx2 ) 2-22 y2 = −2 ln x1 sin(2πx2 ) Die Größen y1 und y2 sind zwei unabhängig, gaußverteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert x0 = 0 und Standardabweichung σ = 1. In diesem Falls spricht auch von einer standard-normalverteilten Zufallszahl. Im letzten Schritt wird yi = σ ⋅ yi + x0 gebildet. Damit erhält man schließlich zwei gaußverteilte Zufallszahlen mit den Parametern x0 und σ. In Abb. 2.9 ist eine Gaußverteilung (rot) mit x0 =100 und σ =10 abgebildet. Dar- über liegt eine simulierte Approximation mit 100 000 Realisierungen. 20 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 p(x) Abb. 2.9: Gaußverteilung mit x0 = 100 und σ = 5 (rot) und die zugehörige Approximation (blau) mit 100 000 Realisierungen nach dem Box-Müller-Verfahren. In Abb. 2.10 wurde die sinc-Funktion zur Veranschaulichung mit einem Messfeh- ler σ = 0,1 simuliert. x(t) Abb. 2.10: Die sinc-Funktion (durchgezogene Linie) mit Messsignalen deren Messfehler bei σ = 0,1 liegt. 2.3 Fourier-Reihe Die Fourier-Reihe ist für periodische Funktionen anwendbar. Sie gibt an, welchen Beitrag einzelne Sinus- und Cosinus-Funktionen an der Gesamtfunktion besitzen. Diese Beziehung hat Joseph Fourier (1768 – 1830) erstmals formuliert. Abb. 2.11: Joseph Fourier (1768 – 1830). 21 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme 2.3.1 Darstellung der Funktion als trigonometrische Reihe J. Fourier hat gezeigt, dass sich jede periodische Funktion als Summe von Sinus- und Cosinus-Funktionen darstellen lässt (vgl. v. Grüningen 2008: 22). Es gilt im Folgenden: 1 xp (t ) = xp ( t + T0 ) mit f0 = 2-23 T0 Damit gilt: ∞ a  xp (t ) = 0 + [ ak cos(2πf0 kt ) + bk sin(2πf 0 kt )] 2 k =1 oder alternativ: 2-24 ∞ ∞ xp (t ) = A0 +  Ak cos(2πf0 kt + α k ) bzw. xp (t ) =  ck e 2πi f0kt k =1 k =−∞ In der Gleichung (2-24) ist f0 die Frequenz der Funktion. Die Koeffizienten ak , bk und ck nennt man Fourier-Koeffizienten. Im ersten Schritt wird die Äquiva- lenz in der obigen Gleichung des zweiten und des dritten Ausdruckes gezeigt: ∞ xp (t ) = A0 +  Ak cos(2πf0 kt + α k ) k =1 ∞  xp (t ) = A0 +  k =1 2 e { Ak 2πif0kt +iα k + e −2πif0kt −iα k } ∞ −1 ∞  xp (t ) = A0 +  k =1 2 e { Ak 2πif0kt iα k e + } k =−∞ 2 e { A− k 2πif0kt iα − k  e = } k =−∞ ck e 2πif0kt Durch Vergleich ergibt sich: A ck = ck eiϕk  c0 = A0 ; ck = k ; ϕk = α k 2-25 2 Im Folgenden wollen wir uns auf den komplexen Ausdruck konzentrieren. 2.3.2 Komplexe trigonometrische Funktionen als Orthonormalbasis Um die Fourier-Koeffizienten zu bestimmen, wird zunächst das Skalarprodukt von komplexen Funktionen eingeführt. Es gilt allgemein: ∞  x(t ) y * < x, y >= (t )d t 2-26 −∞ Bei periodischen Funktionen mit der Periode T0 ändert sich der Ausdruck zu: T0 /2 1 < x, y >T0 = T0  x(t ) y* (t )d t 2-27 −T0 /2 22 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 Im Folgenden wird gezeigt, dass für 2πikt 2πilt T0 T0 xk (t ) = e und xl (t ) = e 2-28 gilt: 1 falls k = l < xk (t ), xl (t ) >T0 = δ kl mit δ kl =  2-29 0 falls k ≠ l Bevor die obige Beziehung beweisen wird, wird darauf aufmerksam gemacht, dass die Funktionen aus (2-28) die Periode T0 besitzen:  T  xk (t ) = e2πi f0kt = cos(2πf 0 kt ) + isin(2πf 0 kt )  xk (t ) = xk  t + 0    k   T  xk (t ) = xk  t + k ⋅ 0  = xk ( t + T0 )  k  Beweis von (2-29): k ≠l: T0 /2 2πikt −2πilt T0 /2 2πi( k −l )t 1 1   T0 T0 T0 < xk (t ) xl (t ) >= e e dt = e dt  (da k ≠ l ) T0 T0 −T0 /2 −T0 /2 T T 2πi( k −l )⋅ 0 −2πi( k −l )⋅ 0 2πi( k −l )t T0 /2 2 2 T0 T0 T0 1 e e −e < xk (t ) xl (t ) >= ⋅ =  T0 2πi(k − l ) 2πi(k − l ) T0 −T0 /2 e πi( k −l ) − e − πi( k −l ) < xk (t ) xl (t ) >= = sin x mit x = π(k − l ) 2πi(k − l )  (k ≠ l ) < xk (t ) xl (t ) >= 0 k =l: T0 /2 2πikt −2πikt T0 /2 1 1   T0 T0 < xk (t ) xl (t ) >= e e dt = 1dt = 1 T0 T0 −T0 /2 −T0 /2 Mit dem obigen Beweis haben wir gezeigt, dass die komplexen trigonometrischen Funktionen eine „Orthonormal-Basis“ bilden. Man kann auch zeigen, dass diese vollständig ist, was aber über den Stoff dieser Vorlesung hinausgeht. Somit ist die Zerlegung einer periodischen Funktion in die komplexen trigonometrischen Funk- tionen eindeutig. Die zugehörigen Fourier-Koeffizienten beschreiben die Funktion ebenso eindeutig. 23 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme 2.3.3 Bestimmung der Fourier-Koeffizienten Nachdem gezeigt wurde, dass ein eindeutiger Satz von Fourier-Koeffizienten zu einer periodischen Funktion existiert, gilt es, diese zu bestimmen. Zunächst bildet man folgendes Integral: T0 /2 1 I=  e −2πif0kt xp (t )dt T0 −T0 /2 Mit der Darstellung für xp (t ) als unendliche Reihe folgt: T0 /2 ∞ ∞  T0 /2  1 1 −2πif0 ( k −n)t  I= T0  e −2πif0kt  cne 2πif0nt dt =  cn   e dt  −T0 /2 n =−∞ n =−∞   T0 −T0 /2  2-30 T0 /2 ∞ 1  T0  e−2πif0kt xp (t )dt =  cnδ kn = ck −T0 /2 n =−∞ Damit ist das Integral nichts anderes als der Ausdruck für den k-ten Fourier- Koeffizienten: T0 /2 1 ck =  e−2πif0kt xp (t )dt 2-31 T0 −T0 /2 Somit besitzen wir mit (2-31) eine Rechenvorschrift zur Bestimmung der Fourier- Koeffizienten. 2.3.4 Beispiele In diesem Abschnitt werden zwei einfache Beispiele dargestellt, um das Verfahren zur Bestimmung der Fourier-Koeffizienten näher zu erklären. Konstante Funktion Im ersten Beispiel ist die Funktion xp (t ) eine Konstante K0. Diese Funktion ist selbstverständlich periodisch mit einer beliebigen Periode und somit auch mit der Periode T0. Deren Fourier-Koeffizienten sind alle identisch Null, außer c0, der den Wert K0 besitzt. Man spricht daher auch vom sogenannten „DC-Term“. Im Fol- genden ist die Rechnung hierzu dargestellt: xp (t ) = K0 T0 /2 0 T /2 K0 − K0  ck =  e−2πif0kt dt = e −2πif0kt T0 T0 2πif0 k −T0 /2 −T0 /2 − K0 sin(πk )  ck = {cos(πk ) − isin(πk ) − cos(πk ) − isin(πk )} = K0 2-32 2πik πk  c0 = K0 und ck = 0 falls k ≠ 0 24 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 Rechteck-Funktion Die Rechteck-Funktion xp (t ) ist durch die folgende Gleichung definiert:  T0 1 falls |t| < xp (t ) =  4 2-33 0 sonst Diese in Abb. 2.12 graphisch dargestellte Funktion sei ferner periodisch in T0. x(t) T0 Abb. 2.12: periodische Rechteckfunktion mit T0 = 5 und K0 = 1 Die zugehörigen Fourier-Koeffizienten erhält man anhand folgender Rechnung: T0 /2 T0 /4 T /4 0 1 −2πif 0 kt 1 −2πif 0kt −1 ck =  x p (t )e dt =  e dt = e −2πif0kt  T0 T0 T0 2πif 0 k −T0 /4 −T0 /2 −T0 /4  πk  sin   −1   πk   πk   πk   πk   1  2  ck = cos   − i sin   − cos   − i sin    = 2πik   2   2  2 2   2 πk 2 c0 = 0,5 : Regel von l'Hospital; π  3π  sin   sin   1  2  = 1 = 0,318; c = 1  2  = − 1 = −0,106; c1 = 3 2 π π 2 3π 3π 2 2  5π  sin   1  2  = 1 = 0,06 c5 = 2 5π 5π 2 und ck = 0 falls k gerade 2-34 ck Abb. 2.13: Der Betrag der Fourier-Koeffizienten der Funktion aus Gleichung (2-33) 25 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme In der obigen Lösung ist erkennbar, dass ck = c− k ist. Damit kann man die obige Fourier-Reihe in Cosinus-Termen mit Phasenwinkel Null darstellen. Dies liegt da- ran, dass xp (t ) eine gerade Funktion ist. Es ergibt sich für xp (t ) folgende Darstel- lung:  πk  sin   1  2   c = c und c ∈ℜ ck = k −k k 2 πk 2 ∞ −1 ∞  xp (t ) =  ck e2πif0kt = c0 +  ck e2πif0kt +  ck e2πif0kt k =−∞ k =−∞ k =1 ∞  xp (t ) = c0 +  ck {e2πif0kt + e−2πif0kt } 2-35 k =1 ∞  xp (t ) = c0 + 2  ck cos(2πf0kt ) k =1 1 2 2 2  xp (t ) = + cos(2πf 0t ) − cos(6πf 0t ) + cos(10πf 0t ) + 2 π 3π 5π xp(t) Abb. 2.14: Die Funktion xp(t) wurde mit den ersten 33 Fourier-Koeffizienten dargestellt (rote Kurve). Verkürzt man die Länge, bei der xp (t ) ungleich Null ist, verändern sich entspre- chend auch die Fourier-Koeffizienten. Wählt man beispielsweise  T0 1 falls |t| < xp (t ) =  8 2-36 0 sonst ergeben sich folgende Fourier-Koeffizienten: T0 /8 T /8 0 1 −2πif0kt −1 ck =  e dt = e −2πif0kt T0 T0 2πif 0 k −T0 /8 −T0 /8  πk  sin   −1   πk   πk   πk   πk   1  4   cn = cos   − isin   − cos   − isin    = 2πik   4   4   4   4  4 πk 4 1 0,5 2 1 0,5 2 −0,5 2  c0 = ; c1 = ; c2 = ; c3 = ; c4 = 0; c5 = 4 π 2π 3π 5π 2-37 26 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 2.4 Fourier-Transformation 2.4.1 Transformations-Formeln Die Fourier-Transformation ist im Gegensatz zur Fourier-Reihe für beliebige Sig- nale durchführbar. Die in der Fourier-Reihe existierende Summation geht in eine Integration über. Die Fourier-Transformation ist somit eine kontinuierliche Zer- legung des Signals in seine Frequenzanteile. Man spricht daher auch von einem Frequenzspektrum (vgl. v. Grüningen 2008: 28). ∞ −2πift X(f )=  x(t )e dt 2-38 −∞ Entsprechend ist auch die Umkehrtransformation durch ∞ x(t ) =  X ( f )e 2πift d f 2-39 −∞ gegeben. x(t) und X(f ) werden auch als Fourier-Transformationspaar bezeichnet. Die Transformationen sind in beide Richtungen eindeutig, so dass jedes Signal exakt eine Fourier-Transformierte besitzt und umgekehrt. 2.4.2 Beispiel: Rechteckimpuls Im folgenden Unterabschnitt wird als einfaches Beispiel der Rechteckimpuls durchgerechnet, um zu zeigen, wie die Fourier-Transformation prinzipiell durch- geführt wird:  T0  A falls |t| < x(t ) =  2 2-40 0 sonst x(t) Abb. 2.15: Rechteckimpuls mit A = 1 und T0 = 4. Bei diesem Signal ist das Frequenzspektrum X(f ) wie folgt gegeben: T0 /2 T /2 − A −2πift 0 X(f )= A  e−2πift dt = 2πif e −T0 /2  −T0 /2 −A X(f )= 2 fπi {cos ( πfT0 ) − isin ( πfT0 ) − cos ( πfT0 ) − isin ( πfT0 )}  2-41  sin(πfT0 )  X ( f ) = AT0 ⋅    πfT0  27 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme Diese bedeutet, dass der Rechteckimpuls die „sinc“-Funktion als Fourier-Trans- formierte besitzt. X(f ) Abb. 2.16: Das Frequenzspektrum der Rechteckfunktion mit A=0,25 und T0 = 4 2.4.3 Diskrete Spektren Dieser Abschnitt soll zeigen, dass man bei periodischen Funktionen ein diskretes Spektrum für X ( f ) erhält, das vollständig kompatibel mit der Fourier-Reihe ist. Aus den diskreten Beiträgen der Spektren lassen sich direkt die Fourier- Koeffizienten ck ermitteln. Konstante Funktion Wenn man im obigen Beispiel den Wert für T0 gegen unendlich laufen lässt, dann hat man den Grenzübergang für das Spektrum einer konstanten Funktion. Für die- sen Grenzübergang muss man das Integral ∞ −2πift sin(πfT0 )  A für f = 0 X(f ) = A e dt = lim A T0 →∞ πfT0 = 0 sonst = Aδ (0) 2-42 −∞ ausrechnen. Der obige Ausdruck ist als Dirac’sche δ-Funktion bekannt: ∞ −2πift δ (0) = e dt 2-43 −∞ Dies bedeutet, dass die konstante Funktion x(t ) = A nur bei der Frequenz f = 0 einen Beitrag liefert. Dieser Beitrag entspricht der Konstanten A. Dies gilt auch umgekehrt: Ist X(f ) konstant, was man auch „weißes Rauschen“ bezeichnet, so ist x(t) überall Null, außer bei t = 0. Komplexe Exponentialfunktion Das zeitliche Signal im nächsten Beispiel stellt eine komplexe Exponentialfunktion dar: x (t ) = Xˆ e 2πif 0t 2-44 Damit ist das Frequenz-Spektrum der komplexen Exponentialfunktion eine Dirac’sche δ-Funktion mit der Frequenz f0: ∞ ∞ 2πi( f0 − f )t  Xˆ für f = f0 X ( f ) = Xˆ  e2πif0t ⋅ e−2πift d f = Xˆ e d f = Xˆ δ ( f − f 0 ) =  −∞ −∞ 0 sonst 2-45 28 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 Dies ist auch konsistent mit der Fourier-Reihe. Da es sich hierbei um ein periodi- sches Signal handelt, geht das kontinuierliche Spektrum in ein diskretes über, so dass sich das Integral durch eine Summe ausdrücken lässt. Für die obige Funktion (2-44) gilt, dass x ( t ) = x ( t + T0 ) ist, mit T0 = 1/ f0. In die- sem Fall kann man auch die Fourier-Koeffizienten der Fourier-Reihe bestimmen. Für diese gilt:  Xˆ für k = 1 ck =  2-46 0 sonst Durch Vergleich erkennt man: X ( f ) = c1 ⋅ δ ( f − f0 ) 2-47 Cosinus-Schwingung mit Phasenverschiebung Das zeitliche Signal soll in diesem Beispiel eine phasenverschobene Cosinus- Schwingung sein: x(t ) = Xˆ cos ( 2πf 0t + ϕ ) 2-48 Da man diese Funktion umschreiben kann, in Xˆ i(2πf0t +ϕ ) x(t ) = 2 (e + e −i(2πf0t +ϕ ) ) 2-49 lautet das Fourier-Spektrum, wie folgt: Xˆ  iϕ X(f )= e δ ( f − f 0 ) + e − iϕ δ ( f + f 0 )  2-50 2   Das Spektrum teilt sich daher in zwei diskrete Anteile auf: Ein Anteil mit positiver Frequenz und einer mit negativer Frequenz. Im Zeigerdiagramm entspricht dies zwei Zeigern mit gegenläufigem Drehsinn. Bestimmt man für die Funktion (2-48) die Fourier-Koeffizienten, so ergibt sich: 0,5 ⋅ Xˆ ⋅ eiϕ für k = 1   ck = 0,5 ⋅ Xˆ ⋅ e−iϕ für k = −1 2-51 0 sonst  Vergleicht man (2-50) mit (2-51), so ergibt sich: X ( f ) = c−1 ⋅ δ ( f + f0 ) + c1 ⋅ δ ( f − f0 ) 2-52 Dies kann man verallgemeinern, wobei hier die Linearität vorausgesetzt wird: Ist x(t) eine in T0 periodische Funktion, so ist dessen Spektrum diskret. Das gilt auch umgekehrt. Die Verallgemeinerung der Formel (2-52) lautet: ∞ ∞ x(t ) = x(t + T0 )  x(t ) =  ck e 2πiktf0  X (f ) =  ck δ (f − kf0 ) 2-53 k =–∞ k =−∞ Mit der Gleichung (2-53) existiert ein allgemeiner Ausdruck, der die Fourier-Reihe mit der Fourier-Transformation verbindet. Es ist ersichtlich, dass die Fourier-Reihe somit nur ein Spezialfall der allgemeineren Fourier-Transformation ist. 29 Hamburger Fern-Hochschule 2 Kontinuierliche Signale & Systeme 2.4.4 Eigenschaften In diesem Abschnitt werden einige wesentliche Eigenschaften der Fourier- Transformation dargestellt und anhand einiger Beispiele überprüft. Linearität Zwei Signale x1 (t ) und x2 (t ) sind gegeben. Deren Fourier-Spektren sind jeweils X 1 ( f ) und X 2 ( f ). Sind k1 und k 2 reelle Konstanten, so gilt: y (t ) = k1 x1 (t ) + k2 x2 (t )  Y ( f ) = k1 X1 ( f ) + k2 X 2 ( f ) 2-54 Ein Beispiel für die Linearität zeigt die phasenverschobene Cosinus-Schwingung (2-50). Dualität Die Dualität stellt eine Beziehung des Transformationspaares x(t ) ↔ X ( f ) dar. Ist X ( f ) das Frequenzspektrum von x(t ) , so ist x (– f ) die Fourier- Transformierte zu X (t ) : x(t ) ↔ X ( f )  X (t ) ↔ x(− f ) 2-55 Handelt es sich beispielsweise bei dem Signal x(t) um einen Rechteckimpuls, so haben wir gezeigt, dass das zugehörige Spektrum X ( f ) = sinc( f ) ist. Somit folgt, dass das Signal x (t ) = sinc(t ) eine Rechteckfunktion als Fourier-Transformierte besitzt. Zeit- und Frequenzskalierung Ist X ( f ) die Fourier-Transformierte von x(t) , so gilt: x(t ) ↔ X ( f )  x( kt ) ↔ 1 |k| X f ( ) k 2-56 Die obige Gleichung sagt aus, dass eine Dehnung des Zeitbereiches eine Stauchung im Frequenzbereich bedeutet und umgekehrt. Zeit- und Frequenzverschiebung Ferner gilt für ein zeitlich verschobenes Signal x(t − t0 ) , dass für die zugehörige Fourier-Transformierte folgendes gilt: x (t ) ↔ X ( f )  x (t − t0 ) ↔ X ( f )e −2πift0 2-57 Das bedeutet, dass die beiden Spektren der zeitlich verschobenen Signale zueinan- der phasenverschoben sind. Als Beispiel dient hier die Rechteckfunktion:  T0  A falls |t | < x(t ) =  2 2-58 0 sonst wird um t0 = T0 / 2 verschoben. Somit ist x(t − t0 ) :  A falls 0 ≤ t ≤ T0 x(t − t0 ) =  0 sonst 30 Hamburger Fern-Hochschule  Kontinuierliche Signale & Systeme 2 Zunächst wird die Fourier-Transformation anhand der Definition über die Integra- tionsformel durchgeführt: ∞  x(t )e −2πift X(f ) = dt  −∞ T0 T − A −2πift 0  X ( f ) = A e−2πift dt = 2πif e 0 = 2πi f e ( − A −2πi fT0 −1  ) 0 2-59  eiπfT0 − e−iπfT0  X(f ) = A 2πif ( 1 − e−2πifT0 ) = e− πiT0 f  A   2πif     sin ( πfT0 )  X ( f ) = e− πfiT0  A   πf  Nach dem Zeitverschiebungsgesetz ergibt sich folgendes:   sin(πfT0 )  