GDET3 Vorlesungsskript WiSe2024 PDF

Jens-Rainer Ohm Skript zur Vorlesung Grundgebiete der Elektrotechnik 3 Signale und Systeme Ausgabe 2019 © RWTH Aachen University, Institut für Nachrichtentechnik ( ) 2019, http://www.ient.rwth-aachen.de. Nur zur Verwendung als Begleitmaterial in der Vorlesung „Grundgebiete der Elektrotechnik 3...

Jens-Rainer Ohm Skript zur Vorlesung Grundgebiete der Elektrotechnik 3 Signale und Systeme Ausgabe 2019 © RWTH Aachen University, Institut für Nachrichtentechnik ( ) 2019, http://www.ient.rwth-aachen.de. Nur zur Verwendung als Begleitmaterial in der Vorlesung „Grundgebiete der Elektrotechnik 3 – Signale und Systeme“ an der RWTH Aachen. Kopieren und Weitergabe nicht gestattet. Inhaltsverzeichnis 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen...................... 1 1.1 Elementarsignale.............................................................. 1 1.2 Analyse eines elektrischen Systems mittels Elementarfunktionen..................... 3 1.3 Zum Begriff des Systems....................................................... 6 1.4 Lineare zeitinvariante Systeme.................................................. 6 1.5 Das Faltungsintegral........................................................... 6 1.6 Beispiel zur Berechnung des Faltungsintegrals..................................... 8 1.7 Faltungsalgebra............................................................... 10 1.8 Dirac-Impuls.................................................................. 11 1.8.1 Gewicht und Linearkombination von Dirac-Impulsen......................... 12 1.8.2 Siebeigenschaft des Dirac-Impulses........................................ 12 1.8.3 Dirac-Impuls mit Dehnungsfaktor......................................... 13 1.8.4 Verschiebung des Dirac-Impulses.......................................... 14 1.8.5 Integration des Dirac-Impulses............................................ 14 1.9 Integration und Differentiation von Signalen...................................... 15 1.10 Kausale und stabile Systeme.................................................... 16 2. Laplace-Transformation.......................................................... 17 2.1 Eigenfunktionen von LTI-Systemen.............................................. 17 2.2 Beispiele zur Laplace-Transformation............................................ 18 2.3 Pole und Nullstellen in der komplexen p-Ebene.................................... 19 2.4 Lösung von Differentialgleichungen mittels L-Transformation........................ 21 2.5 Stabilitätsanalyse von Systemen................................................. 25 2.6 Systemanalyse und -synthese mittels L-Transformation............................. 25 2.7 Anhang: Tabellen zur Laplace-Transformation..................................... 28 3. Fourier-Beschreibung von Signalen und Systemen............................... 29 3.1 Periodische Eigenfunktionen.................................................... 29 3.2 Fourier-Reihenanalyse.......................................................... 29 3.3 Das Fourier-Integral........................................................... 34 3.4 Beispiel: Fourier-Transformation des Exponentialimpulses........................... 36 3.5 Symmetrien im Signal und im Fourier-Spektrum................................... 36 3.6 Theoreme zur Fourier-Transformation............................................ 39 3.6.1 Superpositionssatz....................................................... 39 3.6.2 Ähnlichkeitssatz......................................................... 40 3.6.3 Verschiebungssatz....................................................... 40 3.6.4 Differentiation.......................................................... 41 3.6.5 Symmetrie der Fourier-Transformation..................................... 41 3.6.6 Faltung und Multiplikation............................................... 42 3.7 Beispiele zur Anwendung der Theoreme.......................................... 42 3.7.1 Die Fourier-Transformierte des Rechteckimpulses............................ 42 3.7.2 Die Fourier-Transformierte des Dreieckimpulses............................. 43 3.7.3 Berechnung des Faltungsproduktes der si-Funktion mit sich selbst............. 44 IV Inhaltsverzeichnis 3.8 Transformation singulärer Signalfunktionen....................................... 44 3.8.1 Transformation von Dirac-Impulsen........................................ 44 3.8.2 Transformation der Dirac-Impulsfolge...................................... 46 3.8.3 Transformation der Sprungfunktion........................................ 47 3.9 Hilbert-Transformation......................................................... 49 3.10 Kurzzeit-Fourier-Transformation................................................ 51 3.11 Fourier- und Laplace-Transformation............................................. 52 3.12 Anhang...................................................................... 53 3.12.1 Transformation der Dirac-Impulsfolge...................................... 53 3.12.2 Mehrfache Faltung des Rechteckimpulses................................... 54 3.12.3 Tabellen zur Fourier-Transformation....................................... 56 4. Diskrete Signale und Systeme................................................... 59 4.1 Abtastung im Zeitbereich....................................................... 59 4.2 Abtastung im Frequenzbereich.................................................. 62 4.3 Zeitdiskrete Signale und Systeme................................................ 63 4.3.1 Diskrete Faltung........................................................ 63 4.3.2 Zeitdiskrete Elementarsignale............................................. 65 4.3.3 Lineare verschiebungsinvariante Systeme................................... 66 4.3.4 Beispiel zur diskreten Faltung............................................. 67 4.3.5 Fourier-Transformation zeitdiskreter Signale................................ 68 4.3.6 Die diskrete Fourier-Transformation....................................... 71 4.3.7 Schnelle Fourier-Transformation und schnelle Faltung........................ 72 4.3.8 Dezimation und Interpolation............................................. 73 4.3.9 z-Transformation........................................................ 77 4.4 Anhang: Tabellen zu Transformationen........................................... 83 5. Systemtheorie der Tiefpass- und Bandpasssysteme............................... 87 5.1 Das verzerrungsfreie System.................................................... 87 5.2 Tiefpasssysteme............................................................... 88 5.2.1 Der ideale Tiefpass...................................................... 88 5.2.2 Tiefpasssysteme mit nichtidealer Übertragungsfunktion.................................................... 91 5.3 Zeitdiskrete Tiefpasssysteme.................................................... 94 5.4 Bandpasssysteme und Bandpasssignale........................................... 94 5.4.1 Der ideale Bandpass..................................................... 94 5.4.2 Bandpasssystem und äquivalentes Tiefpasssystem........................... 95 5.4.3 Komplexe Signaldarstellung.............................................. 97 5.4.4 Übertragung von Bandpasssignalen über Bandpasssysteme........................................................ 98 5.4.5 Übertragung des eingeschalteten cos-Signals über den idealen Bandpass............................................... 99 5.4.6 Realisierung von Bandpasssystemen durch Tiefpasssysteme......................................................... 100 5.4.7 Phasen- und Gruppenlaufzeit............................................. 103 5.4.8 Zeitdiskrete Bandpass- und Hochpasssysteme............................... 104 5.5 Anhang: Integration von si(πx).................................................. 106 6. Korrelationsfunktionen determinierter Signale................................... 107 6.1 Energie und Leistung von Signalen.............................................. 107 6.2 Impulskorrelationsfunktion für Energiesignale..................................... 107 6.3 Korrelationsprodukt und Faltungsprodukt........................................ 108 6.4 Fourier-Transformation der Impulskorrelationsfunktionen........................... 110 6.5 Impulskorrelationsfunktionen und LTI-Systeme.................................... 112  Inhaltsverzeichnis V 6.6 Korrelationsfunktionen von Bandpasssignalen..................................... 113 6.7 Impulskorrelationsfunktionen zeitdiskreter Signale................................. 114 7. Statistische Signalbeschreibung.................................................. 117 7.1 Beschreibung von Zufallssignalen durch Mittelwerte................................ 117 7.1.1 Der Zufallsprozess....................................................... 117 7.1.2 Stationarität und Ergodizität............................................. 118 7.1.3 Mittelwerte 1. Ordnung.................................................. 119 7.1.4 Autokorrelationsfunktion stationärer Prozesse............................... 120 7.1.5 Kreuzkorrelationsfunktion stationärer Prozesse.............................. 121 7.2 Zufallssignale in LTI-Systemen.................................................. 121 7.2.1 Linearer Mittelwert...................................................... 122 7.2.2 Quadratischer Mittelwert und Autokorrelationsfunktion................................................. 122 7.2.3 Leistungsdichtespektrum................................................. 123 7.2.4 Weißes Rauschen........................................................ 123 7.2.5 Korrelationsfilter-Empfang gestörter Signale................................ 124 7.3 Verteilungsfunktionen.......................................................... 127 7.3.1 Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeit................................. 127 7.3.2 Verteilungsdichtefunktion................................................. 128 7.3.3 Verbundverteilungsfunktion............................................... 130 7.3.4 Statistische Unabhängigkeit............................................... 131 7.4 Gauß-Verteilungen............................................................. 132 7.4.1 Verteilungsdichtefunktion der Summe von Zufallsgrößen........................................................... 132 7.4.2 Gauß-Verteilung......................................................... 132 7.4.3 Gauß-Prozess und LTI-Systeme........................................... 133 7.4.4 Fehlerwahrscheinlichkeit bei Korrelationsfilter- Empfang gestörter Binärsignale........................................... 134 7.5 Zeitdiskrete Zufallssignale...................................................... 136 7.5.1 Abtastung von Zufallssignalen............................................ 136 7.5.2 Der zeitdiskrete Zufallsprozess............................................ 137 7.5.3 Zeitmittelwerte.......................................................... 137 7.5.4 Zeitdiskrete Zufallssignale in LSI-Systemen................................. 138 7.5.5 Beispiel: Filterung von zeitdiskretem weißen Rauschen............................................................... 139 7.6 Anhang...................................................................... 140 7.6.1 Kennlinientransformationen von Amplitudenwerten.......................... 140 7.6.2 Gauß-Verbundverteilung................................................. 144 7.6.3 Fehlerfunktion.......................................................... 145 8. Zusatzübungen.................................................................. 149 8.1 Orthogonalentwicklung......................................................... 149 8.2 Optimaler Quantisierer......................................................... 150 8.3 Leitungstheorie................................................................ 152 VI Inhaltsverzeichnis 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen 1.1 Elementarsignale Ein Signal ist i. Allg. Darstellung des Amplitudenverlaufs einer physikalischen Größe. Elementarsignale haben besonders einfache Form der Beschreibung, z.B. algebraischen Ausdruck. Sinussignal s(t) = sin(2πt) (1.1) Gauß-Signal (Abb. 1.1) 2 s(t) = e−πt (1.2) Abbildung 1.1. Gauß-Signal Sprungfunktion (Abb. 1.2) ( 0 für t < 0 ε(t) = (1.3) 1 für t ≥ 0. Abbildung 1.2. Sprungfunktion ε(t) Rechteckimpuls ( 1 für |t| ≤ 1/2 rect(t) = (1.4) 0 für |t| > 1/2. Abb. 1.3 zeigt die rect-Funktion als Rechteckimpuls der Höhe und Dauer 1. 2 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen Anmerkung: Sprungfunktion und Rechteckimpuls sind diskontinuierlich. An Stelle des Wertes 1 bei t = 0 bzw. t = ± 21 kann alternativ der Wert 12 definiert werden. Dieses hat z. B. bei Positionierung mehrerer dieser Funktionen direkt nebeneinander den Vorteil, dass sich immer ein konstanter Wert 1 ergibt. Abbildung 1.3. Rechteckimpuls rect(t) Dreieckimpuls (Abb. 1.4) ( 1 − |t| für |t| ≤ 1 Λ(t) = (1.5) 0 für |t| > 1. Abbildung 1.4. Dreieckimpuls Λ(t) In der Signal- und Systemtheorie ist es üblich, mit dimensionslosen Größen zu rechnen, al- so beispielsweise Zeitgrößen auf 1 s und Spannungsgrößen auf 1 V zu normieren. Dadurch werden Größengleichungen zu Zahlenwertgleichungen. Es können zeitlich gedehnte und verschobene Signale durch einfache Koordinatentransformation der Zeitachse gebildet werden: a) Eine zeitliche Verschiebung um t0 nach rechts ergibt sich, wenn die Zeitkoordinate t durch t − t0 ersetzt wird. Positive t0 entsprechen also einer Verzögerung des Signals. b) Eine zeitliche Dehnung um den Faktor T resultiert, wenn die Zeitkoordinate t durch t/T ersetzt wird. Dabei wird für |T | > 1 das Signal breiter, für 0 < |T | < 1 schmaler. Negative Dehnfaktoren: zeitgespiegelt. Beispiele: Das gedehnte Sinussignal (1.1) lautet s(t) = sin(2πt/T ) = sin(2πF t). (1.6) Der Dehnfaktor T wird Periodendauer, sein Reziprokwert F = 1/T Frequenz genannt. Als zweites Beispiel sei der in Abb. 1.5 dargestellte Rechteckimpuls beschrieben. In der Kombination von Verschiebung und Dehnung auf der Zeitachse und Dehnung der Ordinate um den Amplitudenfaktor a gilt für dieses Signal   t − t0 s(t) = a rect. (1.7) T Man überzeugt sich einfach von der Gültigkeit dieses Ausdrucks, wenn man das Argument (t − t0 )/T für t in (1.4) einsetzt  1.2 Analyse eines elektrischen Systems mittels Elementarfunktionen 3 Abbildung 1.5. Verzögerter Rechteckimpuls der Dauer T   ( t − t0 a für |(t − t0 )/T | ≤ 1/2 a rect = (1.8) T 0 für |(t − t0 )/T | > 1/2. Komplexwertige, periodische Exponentialfunktion, wiederum mit einer Frequenz F oder Periodendauer T = 1/F s(t) = ej2πF t = cos(2πF t) + j sin(2πF t). (1.9) Aus konjugiert-komplexen Paaren dieser Funktion können mittels der Euler’schen Formeln reine Kosinus- bzw. Sinusfunktionen gewonnen werden, welche gleichzeitig Real- bzw. Imaginärteil der kom- plexen Funktion darstellen: ej2πF t + e−j2πF t ej2πF t − e−j2πF t cos(2πF t) = ; sin(2πF t) =. (1.10) 2 2j Zeitverschiebung eines Kosinussignals der Frequenz F um t0 erscheint als Phasenverschiebung mit ϕ = −2πF t0 :  cos (2πF (t − t0 )) = cos (2πF t + ϕ) = Re ej2πF t ejϕ (1.11) 1.2 Analyse eines elektrischen Systems mittels Elementarfunktionen Abb.1.6 zeigt RC-Tiefpass. Ermittlung Ausgangsspannung u2 (t), wenn als Eingangsspannung u1 (t) eine komplexe Exponentialfunktion (1.9) anliegt: d 1 d C· u2 (t) = (u1 (t) − u2 (t)) ⇒ RC u2 (t) + u2 (t) = u1 (t). (1.12) dt R dt Abbildung 1.6. RC-Schaltung Ausgangssignal hat im eingeschwungenen Zustand denselben periodischen Verlauf wie das Eingangs- signal, jedoch möglicherweise andere Amplitude und Phase. Mit einer komplexen, von der Frequenz F abhängigen Funktion H(F ) erhält man: u2 (t) = H(F ) · u1 (t) = H(F ) · ej2πF t 1 ⇒ H(F ) · ej2πF t (1 + j2πF RC) = ej2πF t ⇒ H(F ) = (1.13) 1 + j2πF RC 4 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen Wechselspannungsrechnung mit komplexen Effektivwertzeigern U (F ) beschreibt eine reellwertige sinu- soidale Spannung √ √ u(t) = Re{ 2 |U (F )| ej(2πF t+ϕ(F )) } = 2 |U (F )| cos (2πF t + ϕ(F )). (1.14) Die in Abb. 1.6 gezeigte RC-Schaltung teilt die komplexe Spannung U 1 (F ) im Verhältnis der Impe- danzen. Damit ergibt sich die Ausgangsspannung 1/(j 2πF C) 1 U 2 (F ) = U 1 (F ) = U 1 (F ). (1.15) R + 1/(j 2πF C) 1 + j 2πF RC Mit (1.13), (1.14) und (1.15) folgt als Übertragungsfunktion der RC-Schaltung dann wieder U 2 (F ) 1 = H(F ) =. (1.16) U 1 (F ) 1 + j2πF RC Die Aufspaltung der Übertragungsfunktion H(F ) in Real- und Imaginärteil H(F ) = Re{H(F )} + j Im{H(F )} (1.17) führt hier zu 1 Re{H(F )} = (1.18) 1 + (2πF RC)2 und −2πF RC Im{H(F )} =. (1.19) 1 + (2πF RC)2 Re{H(F)} 2pFRC Im{H(F)} Abbildung 1.7. Real- und Imaginärteil von H(F ) als Funktion von 2πF RC In Abb. 1.7 sind der Real- und Imaginärteil von H(F ), aufgetragen über 2πF RC, wiedergegeben. Spaltet man H(F ) entsprechend H(F ) = |H(F )|e jϕ(F ) (1.20) nach Betrag und Phase auf, so ergibt sich als Betrag der Übertragungsfunktion p p |H(F )| = [Re{H(F )}]2 + [Im{H(F )}]2 = H(F ) · H ∗ (F ). (1.21) Im Beispiel der RC-Schaltung wird also 1 |H(F )| = p. (1.21a) 1 + (2πF RC)2 Für die Phase der Übertragungsfunktion gilt allgemein  1.3 Zum Begriff des Systems 5   Im{H(F )} ϕ(F ) = arctan ± κ(F ) · π + l · 2π mit l ganzzahlig Re{H(F )}  0  Re{H(F )} ≥ 0 (1.22) und κ(F ) = für   1 Re{H(F )} < 0 , wobei arctan(·) den Hauptwert im Intervall [−π/2, π/2] bezeichnet. Damit ergibt sich für die Phasen- Übertragungsfunktion der RC-Schaltung ϕ(F ) = − arctan(2πF RC). Der entsprechende Verlauf des Betrages bzw. des Phasenwinkels ist in Abb. 1.8 wiedergegeben. F F FRC FRC Abbildung 1.8. (a) Betrag und (b) Phasenwinkel von H(F ) als Funktion von 2πF RC Es liege eine Sprungfunktion u1 (t) = ε(t) als Eingangsspannung an, es sei u2 (t) = 0 für t < 0. Mit Anwendung der Kirchhoff’schen Maschenregel ergibt sich für t ≥ 0: Zt 1 u1 (t) = 1 = R · i(t) + i(τ )dτ. (1.23) C 0 Hieraus ergibt sich durch Ableitung di(t) 1 di(t) 1 0=R· + · i(t) ⇒ =− dt. (1.24) dt C i(t) RC Durch Integration wird t t t ln |i(t)| = − + K ⇒ eln|i(t)| = i(t) = e− RC +K = A · e− RC mit A = eK. (1.25) RC Die Konstanten A bzw. K ergeben sich wegen e0 = 1 zu 1 A = i(0) =. (1.26) R Durch nochmalige Anwendung der Maschenregel erhält man schließlich die Ausgangsspannung t u2 (t) = 1 − e− RC. (1.27) 6 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen Abbildung 1.9. Beispiel zur Netzwerkanalyse Abbildung 1.10. Beispiel zur systemtheoretischen Betrachtungsweise 1.3 Zum Begriff des Systems Abb. 1.9 zeigt ein RC-Zweitor. Dieses werde durch die Angabe eines Ausgangssignals g(t) als Reaktion auf das Anlegen eines bestimmten Eingangssignals s(t) beschrieben: g(t) = Tr{s(t)}. (1.28) Eine solche Zuordnung von Funktionen wird auch eine Transformationsgleichung oder kurz Transfor- mation genannt. 1.4 Lineare zeitinvariante Systeme Lineare zeitinvariante Systeme, kurz auch LTI-Systeme1 genannt, können ganz allgemein durch eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden: a) Linear heißt ein System, wenn jede Linearkombination von Eingangssignalen si (t) (i = 1, 2, 3,...) zu der entsprechenden Linearkombination vom Ausgangssignalen gi (t) führt. Es muss daher für beliebige Konstanten ai der Superpositionssatz erfüllt sein ( ) X X X Tr ai si (t) = ai Tr{si (t)} = ai gi (t). (1.29) i i i b) Zeitinvariant heißt ein System, wenn für jede beliebige Zeitverschiebung um t0 gilt Tr{s(t − t0 )} = g(t − t0 ). (1.30) In Abb. 1.11 ist die Antwort des RC-Zweitors auf einen doppelten Rechteckimpuls dargestellt. Das Ergebnis folgt bei bekannter Antwort auf den einfachen Rechteckimpuls (Abb. 1.10) mit Überlage- rungseigenschaft (1.29) und Verschiebungseigenschaft (1.30). 1.5 Das Faltungsintegral Ein LTI-System reagiere auf einen Rechteckimpuls s0 (t) der Dauer T0 und der Höhe 1/T0 mit dem Ausgangssignal g0 (t) (Abb. 1.12). 1 Englisch: Linear Time-Invariant systems.  1.5 Das Faltungsintegral 7 t0 T t0 T Abbildung 1.11. Beispiele für die Reaktion eines LTI-Systems Abbildung 1.12. Reaktion g0 (t) eines LTI-Systems auf einen Rechteckimpuls s0 (t) der Fläche 1 Bei dieser Normierung auf konstante Fläche des Eingangssignals bleibt auch die Fläche des Aus- gangssignals g0 (t) für beliebige T0 konstant. Von s0 (t) ausgehend, approximiert man das vorgegebene Eingangssignal s(t) durch eine Treppen- funktion sa (t), die sich, wie Abb. 1.13a zeigt, aus entsprechend amplitudenbewerteten und zeitverscho- benen Rechteckimpulsen zusammensetzt. Abbildung 1.13a, b. Näherungsweise Bestimmung von g(t) durch Einführen einer approximierenden Trep- penfunktion sa (t) Es ergibt sich als approximierende Treppenfunktion sa (t) ∞ X s(t) ≈ sa (t) = s(nT0 )s0 (t − nT0 )T0. (1.31) n=−∞ Entsprechend (1.29) und (1.30) reagiert das LTI-System auf sa (t) mit (Abb. 1.13b) ∞ X ga (t) = s(nT0 )g0 (t − nT0 )T0 ≈ g(t). (1.32) n=−∞ sa (t) approximiert das Eingangssignal s(t) um so genauer, je geringer die Dauer T0. Entsprechend wird sich das Ausgangssignal ga (t) mehr und mehr der zu bestimmenden Reaktion g(t) nähern. Der Grenzübergang T0 → 0 wird in Abb. 1.14 veranschaulicht. 8 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen Abbildung 1.14. Reaktion g0 (t) eines RC-Systems (Zeitkonstante T = R · C) auf einen schmaler werdenden Rechteckimpuls s0 (t) konstanter Fläche Im Grenzübergang T0 → 0 wird das Eingangssignal durch das mathematische Modell des Dirac- Impulses δ(t) beschrieben. Das zugehörige Ausgangssignal wird als Impulsantwort h(t) bezeichnet (s. untere Zeile in Abb. 1.14). Führt man jetzt den Grenzübergang für (1.31) und (1.32) durch, dann gehen die Summen in Integrale über, und mit den nach dem Grenzübergang gültigen neuen Bezeichnungen s0 (t) → δ(t) nT0 → τ g0 (t) → h(t) T0 → dτ ergeben sich die Faltungsintegrale Z∞ s(t) = s(τ )δ(t − τ )dτ , (1.33) −∞ Z∞ g(t) = s(τ )h(t − τ )dτ. (1.34) −∞ (1.34) beschreibt die exakte Antwort g(t) eines LTI-Systems auf ein Eingangssignal s(t). Das Fal- tungsintegral ist damit eine für LTI-Systeme allgemein geltende Transformationsgleichung. 1.6 Beispiel zur Berechnung des Faltungsintegrals Gegeben sei wieder das RC-System aus Abb. 1.10. Die Impulsantwort dieses Systems hat, wie weiter unten noch gezeigt wird, die Form eines abfallenden Exponentialimpulses der Fläche 1 1 h(t) = ε(t)e−t/T mit T = RC. (1.35) T Gesucht sei die Reaktion des RC-Systems auf einen Rechteckimpuls der Dauer T0 und der Amplitude a. Zur Berechnung des Faltungsintegrals sind daher die Funktionen s(τ ) und h(t − τ ) über der Zeit τ dar- zustellen. Der Verlauf folgt unmittelbar aus dem Verlauf von s(t) bzw. h(t) über t und ist in Abb. 1.15a wiedergegeben. Abb. 1.15d lässt erkennen, dass in dem vorliegenden Beispiel das Produkt s(τ )·h(t− τ ) als Funktion von τ für alle Zeiten t < 0 gleich Null ist. Daher folgt  1.6 Beispiel zur Berechnung des Faltungsintegrals 9 Abbildung 1.15a–d. Beispiel zur Berechnung des Faltungsintegrals g(t) = 0 für t T0 ist das Produkt s(τ ) · h(t − τ ) nur in dem festen Intervall 0 < τ < T0 von Null verschieden. Daher gilt hier ZT0 g(t) = s(τ )h(t − τ )dτ für t > T0. 0 Wiederum s(τ ) und h(t − τ ) entsprechend eingesetzt, erhält man nach Ausrechnung 10 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen g(t) = a(eT0 /T − 1)e−t/T für t > T0. Die gesuchte, auf die Konstante a bezogene Reaktion g(t) des Systems ist in Abb. 1.16 wiedergegeben (vgl. auch wieder Abb. 1.14). Abbildung 1.16. Reaktion g(t) eines RC-Systems der Zeitkonstante T = RC auf einen Rechteckimpuls der Dauer T0 1.7 Faltungsalgebra Das Faltungsintegral (1.34) kann man in symbolischer Schreibweise abkürzend durch das folgende, sogenannte Faltungsprodukt darstellen g(t) = s(t) ∗ h(t). (1.36) Dieser Gleichung entspricht das in Abb. 1.17 gezeigte Blockschaltbild des LTI-Systems. Abbildung 1.17. Allgemeine Darstellung eines durch seine Impulsantwort h(t) charakterisierten LTI-Systems Ebenso lässt sich (1.33) durch das entsprechende Faltungsprodukt ausdrücken s(t) = s(t) ∗ δ(t). (1.37) Man kann (1.37) durch ein LTI-System veranschaulichen, dessen Impulsantwort wieder ein Dirac- Impuls δ(t) ist (Abb. 1.18). Abbildung 1.18. Beispiel für ein ideal verzerrungsfreies System Wird ein solches System mit einem Eingangssignal s(t) angeregt, erscheint an seinem Ausgang wieder s(t). Man nennt ein System mit einer derartigen Eigenschaft ein ideal verzerrungsfreies System. Die wichtigsten Regeln der entsprechenden Faltungsalgebra sollen an Hand einiger Beispiele betrachtet werden: a) Der Dirac-Impuls ist das Einselement der Faltung. b) Die Faktoren eines Faltungsproduktes dürfen vertauscht werden: Kommutativgesetz der Faltung. Es gilt g(t) = s(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ s(t). (1.38) Abb. 1.19 gibt ein Beispiel hierzu.  1.8 Dirac-Impuls 11 Abbildung 1.19. Beispiel zum Kommutativgesetz der Faltung c) Sind drei Funktionen miteinander zu falten, so ist die Reihenfolge ohne Einfluss auf das Ergebnis: Assoziativgesetz der Faltung. f (t) ∗ s(t) ∗ h(t) = [f (t) ∗ s(t)] ∗ h(t) (1.39) = f (t) ∗ [s(t) ∗ h(t)]. Abb. 1.20 zeigt wiederum ein entsprechendes Systembeispiel. Abbildung 1.20. Beispiel zum Assoziativgesetz der Faltung d) Das Faltungsprodukt einer Funktion f (t) mit der Summe der Funktionen s(t) und h(t) ist gleich der Summe der beiden Faltungsprodukte f (t) ∗ s(t) und f (t) ∗ h(t): Distributivgesetz der Faltung zur Addition. f (t) ∗ [s(t) + h(t)] = [f (t) ∗ s(t)] + [f (t) ∗ h(t)]. (1.40) Abb. 1.21 gibt diesen Zusammenhang wieder. Abbildung 1.21. Beispiel zum Distributivgesetz der Faltung e) Die Faltung eines komplexen Signals s(t) mit einer komplexen Impulsantwort h(t) ergibt das eben- falls komplexe Ausgangssignal g(t) = s(t) ∗ h(t) = [Re{s(t)} ∗ Re{h(t)} − Im{s(t)} ∗ Im{h(t)}] | {z } Re{g(t)} + j[Re{s(t)} ∗ Im{h(t)} + Im{s(t)} ∗ Re{h(t)}]. (1.41) | {z } Im{g(t)} 1.8 Dirac-Impuls Darstellung des Signals s(t) durch eine nicht abzählbar unendliche Reihe von Dirac-Impulsen in Form des Faltungsintegrals (1.33) +∞ Z s(t) = s(τ )δ(t − τ )dτ. −∞ 12 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen Mathematisch existiert ein Grenzübergang der Form   1 t lim rect T0 →0 T0 T0 nicht als Funktion, sondern nur als sog. Distribution. Alle im Folgenden benötigten Eigenschaften des Dirac-Impulses können aus (1.33) abgeleitet werden. 1.8.1 Gewicht und Linearkombination von Dirac-Impulsen Faltung des mit Faktor a multiplizierten Dirac-Impulses aδ(t) mit einer Funktion s(t) ergibt entspre- chend (1.33) Z∞ [aδ(t)] ∗ s(t) = s(τ )aδ(t − τ )dτ −∞ (1.42) Z∞ =a s(τ )δ(t − τ )dτ = as(t). −∞ Ein Faktor vor einem Dirac-Impuls wird als Gewicht des Dirac-Impulses bezeichnet. Symbolisch wird ein Dirac-Impuls mit dem Gewicht a wie in Abb. 1.22 dargestellt. Abbildung 1.22. Dirac-Impuls mit dem Gewicht a In gleicher Weise gilt für die Faltung einer Linearkombination von Dirac-Impulsen mit einer Funk- tion s(t) [a1 δ(t) + a2 δ(t)] ∗ s(t) = (a1 + a2 )s(t). Damit lässt sich eine Linearkombination von Dirac-Impulsen auch schreiben als a1 δ(t) + a2 δ(t) = (a1 + a2 )δ(t). 1.8.2 Siebeigenschaft des Dirac-Impulses Mit Hilfe des kommutativen Gesetzes der Faltungsalgebra (1.38) kann (1.33) umgeschrieben werden, s(t) = s(t) ∗ δ(t) = δ(t) ∗ s(t) und damit auch als andere Form der Definitionsgleichung Z∞ s(t) = δ(τ )s(t − τ )dτ. (1.43) −∞ Die beiden Faltungsintegrale (1.33) und (1.43) machen die Interpretation des Dirac-Impulses als soge- nanntes Zeitsieb deutlich. Als Ergebnis der Integration erscheint ein diskreter Wert der Funktion s(τ ) mit dem Argument τ0 , für das das Argument des Dirac-Impulses Null ist. Im Sonderfall t = 0 folgt aus (1.33) und (1.43)  1.8 Dirac-Impuls 13 Z∞ Z∞ δ(τ )s(−τ )dτ = δ(−τ )s(τ )dτ = s(0). (1.44) −∞ −∞ Verallgemeinert lässt sich diese Siebeigenschaft des Dirac-Impulses auch in Form eines Produktes des Dirac-Impulses mit einem Signal s(t) definieren. Zunächst Z∞ [s(t)δ(t)] ∗ g(t) = [s(τ )δ(τ )]g(t − τ )dτ −∞ Z∞ = δ(τ )[s(τ )g(t − τ )]dτ = s(0)g(t) , −∞ wobei das letzte Integral wieder mit Hilfe der Siebeigenschaft berechnet werden kann. Mit (1.37) lässt sich dieses Ergebnis auch als Faltungsprodukt in der Form schreiben s(0)g(t) = [s(0)δ(t)] ∗ g(t). Durch Vergleich mit dem oben angesetzten Faltungsprodukt folgt dann als Ergebnis s(t)δ(t) = s(0)δ(t) , (1.45) oder allgemeiner s(t)δ(t − T ) = s(T )δ(t − T ). So folgt z.B. für den Sonderfall eines konstanten Signals s(t) = s(t − τ ) = a die Fläche unter dem Dirac-Impuls : +∞ Z +∞ Z aδ(t)dτ = a δ(t)dτ = a. −∞ −∞ | {z } =1 Es ist aber zu beachten, dass viele Operationen, wie z. B. die Quadrierung, für Dirac-Impulse nicht definiert sind. 1.8.3 Dirac-Impuls mit Dehnungsfaktor Faltungsprodukt desselben mit einem beliebigen Signal s(t) +∞ Z δ(bt) ∗ s(t) = δ(bτ )s(t − τ )dτ. (1.46) −∞ Die Substitution bτ = θ ergibt für positive b Z∞   1 θ 1 δ(bt) ∗ s(t) = δ(θ)s t − dθ = s(t) , b b b −∞ und für negative b unter Berücksichtigung der durch die Substitution umgekehrten Integrationsrichtung 1 δ(bt) ∗ s(t) = − s(t). b Allgemein kann man für positive und negative b schreiben 14 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen 1 δ(bt) ∗ s(t) = s(t). (1.47) |b| Für die rechte Seite von (1.47) kann auch geschrieben werden   1 1 s(t) = δ(t) ∗ s(t) , |b| |b| damit folgt für den gedehnten Dirac-Impuls 1 δ(bt) = δ(t). (1.48) |b| Setzt man in dieser Gleichung b = −1 , dann ergibt sich auch die Symmetrie des Dirac-Impulses δ(−t) = δ(t). (1.49) 1.8.4 Verschiebung des Dirac-Impulses Mit Hilfe der Zeitsiebeigenschaft folgt auch Z∞ δ(t − t0 ) ∗ s(t) = δ(τ − t0 )s(t − τ )dτ = s(t − t0 ). (1.50) −∞ Fasst man s(t − t0 ) als Ausgangssignal eines LTI-Systems auf, dann stellt (1.50) die Beschreibungsglei- chung für ein ideales Laufzeitglied dar, dessen Impulsantwort ist (s. Abb. 1.23): h(t) = δ(t − t0 ). (1.51) Abbildung 1.23. Ideales Laufzeitglied 1.8.5 Integration des Dirac-Impulses Es gilt Z∞ ε(t) = δ(t) ∗ ε(t) = δ(τ )ε(t − τ )dτ. (1.52) −∞ Das Faltungsintegral (1.52) kann vereinfacht geschrieben werden als Zt ε(t) = δ(τ )dτ. (1.53) −∞ In Umkehrung von (1.53) kann man schreiben d ε(t) = δ(t). (1.54) dt Durch Einführen des Dirac-Impulses lassen sich also auch Funktionen mit Sprungstellen differenzieren, hierfür ist die Bezeichnung verallgemeinerte Differentiation gebräuchlich.  1.9 Integration und Differentiation von Signalen 15 1.9 Integration und Differentiation von Signalen Ersetzt man in (1.52) δ(t) durch s(t), so erhält man in gleicher Rechnung Zt s(t) ∗ ε(t) = s(τ )dτ. (1.55) −∞ Interpretiert man ε(t) als Impulsantwort eines LTI-Systems, dann erscheint am Ausgang das laufende Integral des Eingangssignals, ein solches System nennt man Integrator (Abb. 1.24). Abbildung 1.24. Systembeispiele zu (1.55) und (1.56) Mit Hilfe des kommutativen Gesetzes der Faltungsalgebra lässt sich (1.55) umschreiben zu Zt ε(t) ∗ s(t) = s(τ )dτ. (1.56) −∞ Das heißt, die Antwort eines Systems mit Impulsantwort s(t) auf einen Sprung ε(t), die sogenannte Sprungantwort, ergibt sich als laufendes Integral der Impulsantwort s(t). Das Gegenstück zum Integrator ist der Differentiator. Die Kettenschaltung beider Systeme ergibt ein ideal verzerrungsfreies System mit der Impulsantwort δ(t), wie aus Abb. 1.25 sofort verständlich wird. Abbildung 1.25. Kettenschaltung von Integrator und Differentiator als ideal verzerrungsfreies System Die Zusammenschaltung des Systems aus Abb. 1.25 mit einem beliebigen System s(t) muss als Impulsantwort wieder s(t) ergeben (Abb. 1.26a). Abbildung 1.26a–c. Kettenschaltung des Systems s(t) mit Integrator und Differentiator Vertauscht man nun die Reihenfolge der Systeme, dann muss für das mittlere System in Abb. 1.26b gelten δ ′ (t) ∗ s(t) = s′ (t). (1.57) 16 1. Determinierte Signale in linearen zeitinvarianten Systemen (1.57) ist in gleicher Weise Definitionsgleichung für δ ′ (t), wie es (1.37) oder (1.33) für δ(t) war. Die Im- pulsantwort des Differentiators ist demnach ebenfalls eine verallgemeinerte Funktion oder Distribution, sie wird Doppelimpuls oder Dirac-Impuls 2. Ordnung genannt. Anmerkung: Angenähert kann der Doppelimpuls durch einen genügend schmalen Doppelrechteckimpuls mit Höhen 1/T02 dargestellt werden, wie er zusammen mit dem grafischen Symbol für den Doppelimpuls in Abb. 1.27 dargestellt ist. Abbildung 1.27. Doppelrechteckfunktion als Approximation des Doppelimpulses und grafische Darstellung von δ ′ (t) Eine weitere Umstellung der Systeme zeigt Abb. 1.26c. Durch Differentiation der Sprungantwort ergibt sich wieder die Impulsantwort s(t) des mittleren Systems. So ergibt sich beispielsweise durch Differentiation von (1.27) die Impulsantwort des RC-Tiefpasses (1.35): d h t i 1  − t  h t i h(t) = 1 − e− RC ε(t) = − −e RC ε(t) + 1 − e− RC δ(t) dt RC 1 − t = e RC ε(t). (1.58) RC 1.10 Kausale und stabile Systeme Ein System ist kausal, wenn das Ausgangssignal nicht vor Beginn des Eingangssignals erscheint, h(t) = 0 für t − Re{b}. (2.8) b+p 0 Die Bedingung Re{p} > − Re{b}, unter der das Integral lösbar ist, definiert gleichzeitig den Konver- genzbereich dieser Laplace-Transformation. Beispiel 2: Transformation eines antikausalen (linksseitigen) Exponentialimpulses s2 (t) = e−bt · ε(−t) Z0 1 S2 (p) = e−bt e−pt dt = − für σ = Re{p} < − Re{b}. (2.9) b+p −∞ Im Im p-Ebene p-Ebene Re Re -Re{b} -Re{b} (a) (b) Abbildung 2.1. Konvergenzbereich in der p-Ebene für den rechtseitigen (a) und linksseitigen (b) Exponen- tialimpuls Hier konvergiert die Integration nun unter der Bedingung Re{p} < − Re{b}. Die Konvergenzbereiche in der komplexen p-Ebene sind für beide Beispiele in Abb. 2.1 dargestellt. Die komplexe Position p = −b liegt irgendwo auf der gestrichelten Linie −Re(b), die die Grenze des Konvergenzbereichs darstellt. Beispiel 3: Transformation des zweiseitigen Exponentialimpulses s3 (t) = e−b|t|. (2.10) Mit den Ergebnissen aus Beispiel 1 sowie Beispiel 2 in etwas modifizierter Form, −1 s2 (t) = ebt · ε(−t) ⇒ S2 (p) = für σ = Re{p} < Re{b} , (2.11) −b + p folgt s3 (t) = s1 (t) + s2 (t) 1 1 2b ⇒ S3 (p) = S1 (p) + S2 (p) = − = 2 b+p p−b b − p2 für − Re{b} < Re{p} < Re{b}. (2.12) Der Grenzfall der Konvergenz ist erreicht, wenn das Nennerpolynom b2 − p2 den Wert Null annimmt; dies ist für p = ±b der Fall. Diese Positionen der Singularitäten der Laplace-Transformierten werden als  2.3 Pole und Nullstellen in der komplexen p-Ebene 19 Polstellen“ bezeichnet. Abb. 2.2a zeigt den zweiseitigen Exponentialimpuls für die Fälle reellwertiger ” b > 0 und b < 0. Im letzteren Fall existiert kein gemeinsamer Konvergenzbereich und daher keine geschlossene Lösung der gesamten Laplace-Transformierten. Die Lage des Konvergenzbereiches und der Polstellen für b > 0 ist in Abb. 2.2b dargestellt. Beispiel 4: Summe aus einem reellwertigen und zwei komplexwertigen Exponentialimpulsen (beide rechtsseitig): -b|t| s(t)=e Im 1 p-Ebene b>0 t x x -b|t| -b b Re s(t)=e b 0 (oben) und b < 0 (unten) (b) Lage des Konvergenzbereichs in der p-Ebene für b > 0 s(t) = e−2t · ε(t) + e−t · cos(3t) · ε(t) 1  j3t  = e−2t · ε(t) + e−t · e + e−j3t · ε(t) 2 R∞ −2t −pt R∞ R∞ S(p) = e · e dt + 21 e−(1−3j)t · e−pt dt + 1 2 e−(1+3j)t · e−pt dt 0 0 0 1 1/2 1/2 (2.13) = + +. p+2 p + (1 − 3j) p + (1 + 3j) | {z } | {z } | {z } wenn Re{p}>−2 wenn Re{p}>−1 wenn Re{p}>−1 Es ergibt sich als Gesamtbedingung für die Konvergenz Re{p} > −1. Nach Zusammenfassung der drei Terme erhält man 2p2 + 5p + 12 s(t) = e−2t · ε(t) + e−t · cos(3t) · ε(t) ⇒ S(p) =. (2.14) (p2 + 2p + 10)(p + 2) Hiermit ergeben sich Polstellenlagen (Nullstellen des Nennerpolynoms) bei pP1 = −2 sowie pP2,3 = √ −1±3j und Nullstellen pN1,2 = − 45 ± 471 j des Zählerpolynoms. Üblicherweise werden bei einer grafischen Darstellung die Polstellen durch Kreuze (x) und die Nullstellen durch Kreise (o) illustriert. Diese sind für das angegebene Beispiel ebenso wie der Konvergenzbereich in Abb. 2.3 dargestellt. 2.3 Pole und Nullstellen in der komplexen p-Ebene Sofern Q Nullstellen pNq und R Polstellen pPr bekannt sind, folgt Q Q (p − pN,q ) q=1 H(p) = H0 R. (2.15) Q (p − pP,r ) r=1 20 2. Laplace-Transformation x Im 3 p-Ebene o 5 - 4 x -2 -1 Re 71 ± 4 o x -3 Abbildung 2.3. Lage des Konvergenzbereichs in der p-Ebene sowie Pol- und Nullstellenlagen für das Signal (2.13), H0 = 2 Man beachte allerdings, dass zur exakten Charakterisierung der Signaleigenschaften noch die Kenntnis über die Lage des Konvergenzbereichs hinzukommen muss. Der Konvergenzbereich liegt – im Falle rein rechtsseitiger (kausaler) Signale rechts von der am weitesten rechts gelegenen Polstelle; – im Falle rein linksseitiger (antikausaler) Signale links von der am weitesten links gelegenen Polstelle. – im Falle zweiseitiger Signale zwischen der am weitesten rechts gelegenen Polstelle einer rechtsseitigen und der am weitesten links gelegenen Polstelle einer linksseitigen Eigenfunktion. Hierzu ein Beispiel der Laplace-Transformierten eines Signals, welches aus einer Überlagerung zweier Exponentialimpulse besteht: 1 1 1 S(p) = = −. (2.16) (p + 1)(p + 2) (p + 1) (p + 2) Polstellen bei pP1 = −1 und pP2 = −2 (Abb. 2.4a). Mögliche Signale, die alle dieselbe Laplace- Transformierte besitzen: a) Das Signal ist rechtsseitig (kausal): Der Konvergenzbereich liegt rechts des
rechten Pols, d. h. bei Re{p} > −1 (Abb. 2.4b). Das Signal ist dann mit (2.8) s(t) = e−t − e−2t · ε(t). b) Das Signal ist linksseitig (antikausal): Der Konvergenzbereich liegt links des
linken Pols, d. h. bei Re{p} < −2 (Abb. 2.4c). Das Signal ist dann mit (2.9) s(t) = − e−t − e−2t · ε(−t). c) Das Signal ist zweiseitig: Der Konvergenzbereich liegt zwischen den beiden Polen, d. h. bei −2 < Re{p} < −1 (Abb. 2.4d). Das Signal ist dann mit (2.8) und (2.9) s(t) = −e−t · ε(−t) − e−2t · ε(t). Eigenschaften: Faltung im Zeitbereich und Multiplikation im Laplace-Abbildungsbereich (vgl. (2.5)) L{s(t) ∗ h(t)} = S(p) · H(p) , (2.17) Differentiation   d L s(t) = s(t) ∗ δ ′ (t) = p · S(p) ⇒ L {δ ′ (t)} = p , (2.18) dt Integration  t  Z  1 1 L s(τ )dτ = s(t) ∗ ε(t) = S(p) ⇒ L {ε(t)} = , Re {p} > 0. (2.19)   p p −∞ Mit (2.17) und (1.34): s(t) = s(t) ∗ δ(t) ⇒ L{δ(t)} = 1 (2.20)  2.4 Lösung von Differentialgleichungen mittels L-Transformation 21 Im Im p-Ebene p-Ebene x x x x -2 -1 Re -2 -1 Re (a) (b) Im Im p-Ebene x x x x p-Ebene -2 -1 Re -2 -1 Re (c) (d) Abbildung 2.4. (a) Lage der Polstellen für die Laplace-Repräsentation von (2.16) sowie Lage der Konver- genzbereiche für Fälle eines (b) rechtsseitigen Signals (c) linksseitigen Signals (d) zweiseitigen Signals 2.4 Lösung von Differentialgleichungen mittels L-Transformation Generelle Form (hier spannungsbezogener) Differentialgleichungen beliebiger Ordnung: R Q X dr u2 (t) X dq u1 (t) αr = βq. (2.21) r=0 dtr q=0 dtq Mit (2.18) Laplace-Transformierte R ! Q ! X X r q αr p U2 (p) = βq p U1 (p) , (2.22) r=0 q=0 und Laplace-Übertragungsfunktion (Transformierte der Impulsantwort) Q P β q pq U2 (p) q=0 L {h(t)} = H(p) = = R. (2.23) U1 (p) P α r pr r=0 Nullstellen sind Q Lösungen des Gleichungssystems Q X β q pq = 0 , (2.24) q=0 Polstellen sind R Lösungen von R X α r pr = 0. (2.25) r=0 22 2. Laplace-Transformation Beispiel: Abb. 2.5, RLC-System. Mit Maschenregel: di(t) d2 u2 (t) du2 (t) R · i(t) + L · + u2 (t) = LC 2 + RC + u2 (t) = u1 (t). (2.26) dt dt dt i(t) R L u1(t) C u2(t) Abbildung 2.5. RLC-System mit stationärer Wechselspannungs-Anregung Durch Anwendung von (2.21)-(2.25) auf (2.26) erhält man LC · p2 · U2 (p) + RC · p · U2 (p) + U2 (p) = U1 (p) U2 (p) 1 1/LC ⇒ H(p) = = 2 = 2 (2.27) U1 (p) LCp + RCp + 1 p + (R/L) p + 1/LC mit Polstellen bei r R R2 1 pP1,2 =− ± 2 −. (2.28) 2L |{z} | 4L {z LC } a b R2 1 R2 1 Positionen der Polstellen für Fälle in Abb. 2.6. Hierbei alternativer Ausdruck: 4L2 > LC und 4L2 < LC r p 2 1 R C pP1,2 = − ξω0 ± ω0 ξ − 1 mit ω0 = √ und ξ =. (2.29) |{z} | {z } LC 2 L a b Im Im p-Ebene p-Ebene x w0 w0 1 - x 2 2w0 x 2 - 1 q x x -xw0 q = arccos x Re -xw0 Re x (a) (b) √ Abbildung 2.6. Laplace-Transformierte der Impulsantwort des RLC-Systems, H0 = 1/ LC. Polpositionen R2 1 R2 1 in der p-Ebene für die Fälle (a) 4L 2 < LC (b) 4L 2 > LC Ar Aus der Polynomform (2.15) sollen durch Partialbruchzerlegung Einzelterme der Form p−pPr gene- riert werden, die für Ar epPr t ε(t) im Zeitbereich stehen: Q Q
p − pNq R q=1 X Ar H(p) = H0 = A0 + , (2.30) R Q r=1 p − pP r (p − pPr ) r=1  2.4 Lösung von Differentialgleichungen mittels L-Transformation 23 mit folgender Berechnung der Vorfaktoren: A0 = lim H(p) ; Ar = lim [H(p) (p − pPr )]. (2.31) p→∞ p→pP,r Am Beispiel eines Systems mit 2 Pol- und 2 Nullstellen: (p − pN1 ) (p − pN2 ) A1 A2 H(p) = H0 = A0 + +. (2.32) (p − pP1 ) (p − pP2 ) p − pP 1 p − pP 2 Hier mit (2.31) A0 = H0. Dann (2.32) umgeformt: (p − pN1 ) (p − pN2 ) A2 (p − pP1 ) H0 = A0 (p − pP1 ) + A1 +. (2.33) (p − pP2 ) p − pP 2 Grenzwertbildung p → pP1 ergibt (pP1 − pN1 ) (pP1 − pN2 ) A1 = H0. (2.34) (pP1 − pP2 ) Entsprechend (pP2 − pN1 ) (pP2 − pN2 ) A2 = H0. (2.35) (pP2 − pP1 ) Für RLC-System aus (2.27) und (2.28) H0 z }| { 1/LC 1/LC H(p) = 2 = p + (R/L) p + 1/LC (p − pP1 ) (p − pP2 )   1 1 1 = √ · −. (2.36) R2 C 2 − 4LC p − pP 1 p − pP 2 | {z } 1 A1 =−A2 = ( LC pP −pP 1 2 ) Hieraus mit (2.8) 1  pP t  h(t) = √ e 1 − epP2 t · ε(t) , (2.37) 2 2 R C − 4LC bzw. mit Faktoren a und b wie in (2.28)   1 −at ebt − e−bt h(t) = e · ε(t). (2.38) bLC 2 3 Fälle [Fall b) ist Grenzfall zwischen a) und c)]: 1 R2 a) b reell, LC < 4L2 : 1 −at h(t) = e sinh(bt) · ε(t). (2.39) bLC 2 1 R b) b = 0: LC = 4L 2. Damit erhält h(t) einen Ausdruck der Form 0/0“, welcher sich durch Anwendung ” der l’Hospital-Regel wie folgt lösen lässt: d 1 −at db sinh bt h(t) = e d · ε(t) LC db (b) b=0 1 −at 1 −at = e t cosh bt · ε(t) = te · ε(t). (2.40) LC b=0 LC 24 2. Laplace-Transformation 1 h(t) 0.25 h(t) 0.5 0 5 t a) b) 0 10 -0.25 t Abbildung 2.7. Impulsantwort des RLC-Systems. R2 (a) ohne periodische Komponente, a = 2, b = 41 , L = 1, 4L2 ≥ 1 LC R2 1 (b) mit periodischer Komponente, a = 2, b = 4j, L = 1, 4L2 < LC 1 R2 c) b = jβ imaginär, LC > 4L2 : 1 −at 1 −at h(t) = e j sin(βt) · ε(t) = e sin(βt) · ε(t). (2.41) bLC βLC Impulsantworten sind in Abb. 2.7 dargestellt. Bei periodischen Funktionen können während der Partialbruchzerlegung Paare konjugiert-komplexer Polstellen zusammengehalten werden, es sei z. B. A1 A2 H(p) = + mit pP = −α − jω0 , (2.42) p − pP p − p∗P d. h. nach Ermittlung des gemeinsamen Nenners A1 (p + α − jω0 ) + A2 (p + α + jω0 ) H(p) = 2. (2.43) (p + α) + ω0 2 Hierzu 2 Fälle rechtsseitiger Zeitfunktionen: 1 p+α A1 = A2 = : H(p) = 2 2 (p + α) + ω0 2  1 (−α−jω0 )t  h(t) = e + e(−α+jω0 )t · ε(t) = e−αt cos (ω0 t) · ε(t) 2  p+α ⇒ L e−αt cos (ω0 t) · ε(t) = 2 , (2.44) (p + α) + ω0 2 1 −jω0 A1 = −A2 = − : H(p) = 2 2 (p + α) + ω0 2  1 (−α−jω0 )t  h(t) = e − e(−α+jω0 )t · ε(t) = −je−αt sin (ω0 t) · ε(t) 2  ω0 ⇒ L e−αt sin (ω0 t) · ε(t) = 2. (2.45) (p + α) + ω0 2 Falls k Polstellen zusammenfallen, nennt man dies Polstelle des Grades k“. Im Pol-Nullstellendiagramm ” mit der Wertigkeit in Klammern (k) markiert. Unter Annahme, dass i-ter Pol Grad k besitzt, wird (2.30) wie folgt modifiziert:
(p − pN1 ) (p − pN2 ) · · · p − pNQ H(p) = H0 k
(p − pP1 ) · · · (p − pPi ) · · · p − pPR−k+1 k A1 X Ar,j AR−k+1 = A0 + +... + j +... +. (2.46) p − pP 1 j=1 (p − p Pr ) p − pPR−k+1  2.6 Systemanalyse und -synthese mittels L-Transformation 25 Die Bestimmung der k Zerlegungskoeffizienten z.B. nach der folgenden Formel: 1 d(k−j) h k i Ar,j = lim H(p)(p − p P ). (2.47) (k − j)! p→pPi dp(k−j) i 2.5 Stabilitätsanalyse von Systemen Um (1.62) zu erfüllen, müssen – alle Polstellen, die zu einer rechtsseitigen (kausalen) Eigenfunktion in der Impulsantwort gehören, sich in der linken Hälfte der p-Ebene befinden, d.h. bei σP < 0, und somit muss die zugehörige Zeitfunktion eσP t ε(t) für t → +∞ abklingen; – alle Polstellen, die zu einer linksseitigen (antikausalen) Eigenfunktion in der Impulsantwort gehören, sich in der rechten Hälfte der p-Ebene befinden, d.h. bei σP > 0, und somit muss die zugehörige Zeitfunktion eσP t ε(−t) für t → −∞ abklingen. Beispiel 1: Kausaler Exponentialimpuls mit Polstelle bei p = 2: 1 h(t) = e2t ε(t) ⇒ H(p) = , wenn Re {p} > 2. (2.48) p−2 Dieses System ist instabil. Beispiel 2: System 2. Ordnung (2 Pole), instabil mit ξ ≤ 0:   h(t) = A · epP1 t − epP2 t · ε(t) ω0 p mit A = p , pP1,2 = − ξω0 ± ω0 ξ 2 − 1 , (2.49) 2 ξ2 − 1 |{z} | {z } a b ω02 H(p) = (p − pP1 )(p − pP2 ) ( p −ξω0 + ω0 ξ 2 − 1, wenn |ξ| ≥ 1 mit Re{p} > (2.50) −ξω0 , wenn |ξ| ≤ 1. Die Polpositionen und die Lage des Konvergenzbereichs sind in Abb. 2.6 dargestellt. Formal entspricht dies dem RLC-System mit Parametrierung r 1 R C ω0 = √ ; ξ=. (2.51) LC 2 L 2.6 Systemanalyse und -synthese mittels L-Transformation Betrachtet sei System in Abb. 2.8 mit Ausgangssignal im Laplace-Bereich G(p) = H1 (p) · [S(p) − H2 (p) · G(p)] , (2.52) woraus als Gesamt-Übertragungsfunktion des Systems folgt G(p) H1 (p) 1 H(p) = = =. (2.53) S(p) 1 + H1 (p) · H2 (p) 1/H1 (p) + H2 (p) Beispiel aus (2.8) führt gemäß (2.22)-(2.24) auf folgende Differentialgleichung: dg(t) + b · g(t) = s(t). (2.54) dt 26 2. Laplace-Transformation S(p) + H1(p) G(p) - H2(p) H(p) Abbildung 2.8. Hin- und rückgekoppelte Verbindung zweier LTI-Systeme S(p) + 1/p G(p) S(p) + 1/b G(p) - - (a) (b) b p Abbildung 2.9. Realisierung eines Systems mit rechtsseitigem Exponentialimpuls als Impulsantwort durch rückgekoppelte Verbindung (a) eines Integrators und eines Proportionalelements (b) eines Proportionalele- ments und eines Differentiators Vergleich mit (2.53) zeigt mögliche Implementierungen mit H1 (p) = 1/p und H2 (p) = b (s. Abb. 2.9a) oder H1 (p) = 1b und H2 (p) = p (Abb. 2.9b). Beispiel: System zweiter Ordnung mit der Laplace-Übertragungsfunktion (2.36) in verschiedenen Darstellungsformen   1 1 1 1 1 1 H(p) = 2 = · = − (2.55) p + (a + b) p + ab (p + a) (p + b) b−a p+a p+b | {z } | {z } | {z } Polynomform Produktform Parallelform gemäß (2.22)-(2.24) mit Differentialgleichung zweiter Ordnung äquivalent (Äquivalente Realisierungen des Systems zeigt Abb. 2.10): d2 g(t) dg(t) + (a + b) + ab · g(t) = s(t). (2.56) dt2 dt Implementierung in direkter Form“: Man betrachte als Beispiel das Polynom ” a 2 p2 + a 1 p + a 0 H1 (p) H(p) = 2 =. (2.57) p + b 1 p + b0 H2 (p) Aufteilung in System H1 (p), zweifache gewichtete Differentiation des Eingangssignals und 1/H2 (p), welches Ausgangssignal zweimal gewichtet differenziert und rückkoppelt, beide in umgekehrter Rei- henfolge geschaltet (s. Abb. 2.11a). Da in beiden Systemen das ein- bzw. zweifach differenzierte Signal g1 (t) benötigt wird, lassen sie sich in der direkten Form integrieren, die in Abb. 2.11b dargestellt ist. Multiplikationsfaktoren können direkt aus dem Zählerpolynom (oberer Zweig) und Nennerpolynom (unterer Zweig) abgelesen werden. In entsprechender Weise lässt sich ein Polynom mit Q Nullstellen und P Polstellen mit einer Anzahl aus P + Q + 1 Proportionalelementen, P + Q Summierern und max(P, Q) Integratoren realisieren. Die Elemente p (Differentiator), 1/p (Integrator) und a bzw. b (Proportionalelement) lassen sich z. B. als Wirkungen elektrischer Bauelemente interpretieren und auch so realisieren. Hierbei erfolgt dann die Anwendung der Beziehungen zwischen Strömen und Spannungen mit entsprechender Abbildung auf deren Laplace-Transformierte. So gilt beispielsweise an einem Ohm’schen Widerstand auf Grund der Linearitätseigenschaft u(t) = R · i(t) ⇒ U (p) = R · I(p) (2.58) An einer Kapazität gilt die Integrationseigenschaft der Spannung bezüglich des Stromes Z 1 1 I(p) u(t) = i(t)dt ⇒ U (p) = · (2.59) C p C  2.6 Systemanalyse und -synthese mittels L-Transformation 27 S(p) + 1/p 1/p G(p) - a+b ab (a) + + S(p) + 1/p + 1/p G(p) - - (b) a b S(p) + 1/p + 1 - - b-a G(p) (c) a + 1/p - b Abbildung 2.10. Blockdiagramm eines LTI-Systems 2. Ordnung (a) in direkter Darstellung (b) in Kaska- dendarstellung (c) in Paralleldarstellung S(p) + 1/p 1/p G1(p) a0 - + G(p) b1 b0 a1 a2 (a) + p p + 1/H2(p) H1(p) + G(p) a2 a1 a0 (b) S(p) + 1/p 1/p G1(p) - b1 b0 + + Abbildung 2.11. (a) Hintereinanderschaltung der Systeme 1/H2 (p) und H1 (p) (b) Direkte Form“- ” Realisierung von H(p) = H1 (p)/H2 (p) ohne Verwendung von Differentiatoren 28 2. Laplace-Transformation und an einer Induktivität umgekehrt die Differentiationseigenschaft di(t) u(t) = L ⇒ U (p) = p · L · I(p) (2.60) dt 2.7 Anhang: Tabellen zur Laplace-Transformation Tabelle 2.1. Theoreme der Laplace-Transformation Theorem s(t) S(p) Gl. +∞ R L-Transformation s(t) s(t)e−pt dt (2.6) −∞ σ0R+∞ inverse S(p) mit beliebigem σ0 1 S(p)e pt dp (3.122) L − Transformation 2πj σ0 −∞ im Konvergenzbereich P P Superposition ai si (t) ai Si (p) i i a Verschiebung in t s(t − t0 ) S(p)e−pt0 Verschiebung in p s(t) · ep0 t S (p − p0 ) Konjugation s∗ (t) S ∗ (p∗ ) Zeitspiegelungb s(−t) S(−p) c
Zeitdehnung s Tt |T | S (pT ) Faltung g(t) = s(t) ∗ h(t) G(p) = S(p) · H(p) (2.17) dn n Differentiation dtn s(t) p · S(p) (2.18) Rt 1 Integration s(τ )dτ p S(p) (2.19) −∞ a Bei einseitiger L-Transformation nur t0 > 0 oder s(t) = 0 für t < t0. b Bei einseitiger L-Transformation nicht anwendbar. c T 6= 0; bei einseitiger L-Transformation nur für T > 0 anwendbar. Tabelle 2.2. Elementare Laplace-Transformationspaare s(t) S(p) Konvergenzbereich Gl. δ(t) 1 alle p (2.20) −pt0 δ(t − t0 ) e alle p 1 ε(t) p Re {p} > 0 (2.8) 1 −ε(−t) p Re {p} < 0 (2.9) tn−1 1 (n−1)! ε(t) = ε(t) ∗... ∗ ε(t) pn Re {p} > 0 | {z } n Funktionen Re {p} > −Re {α} e−αt ε(t) 1 (2.8) p+α (α reell oder komplex) Re {p} < −Re {α} −e−αt ε(−t) 1 (2.9) p+α (α reell oder komplex) −αt p+α e cos ω0 t · ε(t) (p+α)2 +ω0 2 Re {p} > −α (α reell) (2.44) −αt ω0 e sin ω0 t · ε(t) (p+α)2 +ω0 2 Re {p} > −α (α reell) (2.45) 3. Fourier-Beschreibung von Signalen und Systemen 3.1 Periodische Eigenfunktionen Für rein imaginäres p wird (2.2) sE (t) = e j 2πf t = cos (2πf t) + j sin (2πf t) (3.1) In Analogie zu (2.3) wird insbesondere e j 2πf t ∗ h(t) = H(f ) · e j 2πf t (3.2) mit Z∞ H(f ) = h(t) · e−j 2πf t dt. (3.3) −∞ Bei Hintereinanderschaltung von LTI-Systemen mit Impulsantworten h1 (t) und h2 (t) gilt entsprechend (2.5): sE (t) ∗ h1 (t) ∗ h2 (t) = H1 (f ) · H2 (f ) · sE (t). (3.4) 3.2 Fourier-Reihenanalyse Gewichtete Überlagerung einer endlichen oder unendlichen Anzahl von komplexwertigen periodischen Eigenfunktionen mit Frequenzen fk und Amplituden Sp (k), X sp (t) = Sp (k) ej 2πfk t , (3.5) k auf den Eingang eines LTI-Systems gegeben, ergibt als Ausgangssignal X gp (t) = Sp (k)H(fk )e j 2πfk t. (3.6) k Sind die fk = kF auf eine gemeinsame Grundfrequenz F bzw. gemeinsame Periodendauer T = 1/F bezogen, so gilt: t t+nT e j 2πkF t = e j 2πk T = e j 2πk T mit k, n ∈ ⇒ sp (t) = sp (t + nT ). (3.7) Die Überlagerung sp (t) ist ebenfalls mit T periodisch, die Koeffizienten Sp (k) können sp (t) eindeutig beschreiben: ∞ X ∞ X t sp (t) = Sp (k)e j 2πkF t = Sp (k)e j 2πk T. (3.8) k=−∞ k=−∞ 30 3. Fourier-Beschreibung von Signalen und Systemen Wegen sp (t) = s∗p (t) bei reellwertigen Signalen ∞ X ∞ X sp (t) = s∗p (t) = Sp∗ (k)e−j 2πkF t = Sp∗ (−k)ej 2πkF t. (3.9) k=−∞ k=−∞ Bedingung ist erfüllt, wenn Sp (−k) = Sp∗ (k); dann ∞ X   sp (t) = Sp (0) + Sp (k)e j 2πkF t + Sp∗ (k)e−j 2πkF t , (3.10) k=1 und mit z + z ∗ = 2Re {z} ∞ X  sp (t) = Sp (0) + 2 Re Sp (k) · e j 2πkF t. (3.11) k=1 Sp (k) in Polarkoordinaten durch Amplitudenbetrag |Sp (k)| und eine Winkellage (Phase) ϕp (k) ausge- drückt, q 2 2 Sp (k) = |Sp (k)| e jϕp (k) mit |Sp (k)| = (Re {Sp (k)}) + (Im {Sp (k)}) Im {Sp (k)} und ϕp (k) = arctan ± κ(k) · π + l · 2π, l ganzzahlig Re {Sp (k)}  0, Re {Sp (k)} ≥ 0 sowie κ(k) = (3.12) 1, Re {Sp (k)} < 0. Damit ergibt sich ∞ X n o sp (t) = Sp (0) + 2 Re |Sp (k)| · e j(2πkF t+ϕp (k)) k=1 X∞ = Sp (0) + 2 |Sp (k)| · cos (2πkF t + ϕp (k)). (3.13) k=1 Superposition von Kosinusschwingungen, die jeweils durch Amplitudenbetrag |Sp (k)|, Frequenz fk = k/T = kF sowie die Phasenverschiebung ϕp (k) charakterisiert sind. Alternativ Deutung in kartesischen Koordinaten, getrennt nach Real- und Imaginärteil: ∞ X   sp (t) = Sp (0) + Sp (k)e j 2πkF t + Sp∗ (k)e−j 2πkF t k=1 X∞ = Sp (0) + 2 [Re {Sp (k)} cos (2πkF t) − Im {Sp (k)} sin (2πkF t)]. (3.14) k=1 Eine Multiplikation beider Seiten der Synthesegleichung (3.5) mit einer beliebigen Eigenfunktion sowie anschließende Integration über eine Periode ergibt ∞ X −j 2πnF t sp (t) · e = Sp (k)e j 2πkF t · e−j 2πnF t , (3.15) k=−∞ ZT ZT X ∞ −j 2πnF t ⇒ sp (t) · e dt = Sp (k)e j 2πkF t · e−j 2πnF t dt 0 0 k=−∞ ∞ X ZT = Sp (k) e j 2π(k−n)F t dt. (3.16) k=−∞ 0  3.2 Fourier-Reihenanalyse 31 Für das auf der rechten Seite stehende Integral gilt für den Fall k = n ZT ZT j 2π(k−n)F t e dt = 1dt = T , (3.17) 0 0 und für den Fall k 6= n ZT e j 2π(k−n)F T − 1 e j 2π(k−n)F t dt = = 0, (3.18) j 2π(k − n)F 0 insgesamt also ZT  j 2π(k−n)F t T, k = n e dt = (3.19) 0, k 6= n. 0 Da das links in (3.16) stehende Integral alle Werte k 6= n aus der Summe aus der rechten Seite aus- ” blendet“, folgt ZT 1 Sp (k) = sp (t) · e−j 2πkF t dt. (3.20) T 0 Die Werte Sp (k) werden als die Fourier-Reihe eines mit T periodischen Signals, die Beziehung (3.20) als die Fourier-Reihenanalyse und die bereits oben gegebene Beziehung ∞ X 1 sp (t) = Sp (k)e j 2πkF t mit F = (3.21) T k=−∞ als Fourier-Reihenentwicklung oder Fourier-Reihensynthese dieses Signals bezeichnet. Bei Integration über einen beliebigen Abschnitt der Dauer T gilt allgemeiner für beliebige t1 tZ 1 +T 1 Sp (k) = sp (t) · e−j 2πkF t dt. (3.22) T t1 Beispiel einer endlichen Fourier-Reihe: Überlagerung einer Konstanten mit drei Sinusoiden verschie- dener Phasenlagen: sp (t) = 1 + sin (2πF t) + 2 cos (2πF t) + cos (4πF t + π/4) 1 j 2πF t

=1+ e − e−j 2πF t + e j 2πF t + e−j 2πF t 2j 1  j(4πF t+π/4)  + e + e−j(4πF t+π/4) 2    1 1 =1+ 1+ e j 2πF t + 1 − e−j 2πF t 2j 2j e jπ/4 j4πF t e−jπ/4 −j4πF t + e + e. (3.23) 2 2 Ohne weitere Berechnung erkennt man die Koeffizienten der Fourier-Reihe: 1 1 Sp (0) = 1 ; Sp (1) = 1 − j ; Sp (−1) = 1 + j √ 2 √ 2 2 2 Sp (2) = (1 + j) ; Sp (−2) = (1 − j) ; Sp (k) = 0, |k| > 2. (3.24) 4 4 32 3. Fourier-Beschreibung von Signalen und Systemen Beispiel einer unendlichen Fourier-Reihe: Periodische Rechteckfunktion (s. Abb. 3.1)   X ∞ t sp (t) = rect ∗ δ(t − nT ) mit T1 ≤ T. (3.25) T1 n=−∞ s(t) 1 -2T -T -T1/2 0 T1/2 T 2T t Abbildung 3.1. Periodische Rechteckfunktion Die Lösung erfolgt separat für den Gleichanteil“-Koeffizienten ” T Z 1 /2 1 T1 Sp (0) = 1dt = , (3.26) T T −T1 /2 sowie für die übrigen Koeffizienten T Z1 /2 1 Sp (k) = e−j 2πkF t dt T −T1 /2
e − e−j πkF T1 j πkF T1 sin kπ TT1 = = mit k 6= 0. (3.27) 2jπkF T kπ Sp(k) 1/2 (a) 0 k Sp(k) 1/4 (b) 0 k Sp(k) (c) 1/8 0 k Abbildung 3.2. Fourier-Reihenkoeffizienten der periodischen Rechteckfunktion mit (a) T = 2T1 (b) T = 4T1 (c) T = 8T1 Speziell für T1 = T /2 (dieses und andere Beispiele zeigt Abb. 3.2): sin(kπ/2) Sp (k) = , k 6= 0. (3.28) kπ  3.2 Fourier-Reihenanalyse 33 Für die Leistung eines periodischen Signals sp (t) ergibt sich: ZT ZT 1 2 1 Ls = |sp (t)| dt = sp (t) · s∗p (t) dt T T 0 0 ZT " X ∞ ∞ # 1 X = Sp (k)e j 2πkF t · Sp∗ (l)e−j 2πlF t dt T 0 k=−∞ l=−∞ ∞ ∞ ZT ∞ 1 X X X 2 = Sp (k)Sp∗ (l) · e j 2π(k−l)F t dt = |Sp (k)|. (3.29) T k=−∞ l=−∞ 0 k=−∞ | {z } =T für k=l; = 0 sonst Dieser Zusammenhang wird als das Parseval-Theorem bezeichnet (vgl. Kap. 6). sp,3(t) sp,9(t) 1 1 t 0 T 2T t 0 T 2T sp,27(t) 1 0 T 2T t Abbildung 3.3. Illustration der Approximation sp,N (t) einer Rechteckfunktion durch zunehmende Anzahl N = 3; 9; 27 von Fourier-Reihenkoeffizienten-Paaren, sowie Auftreten des Gibbs-Phänomens Es seien nun zur Rekonstruktion zusätzlich zum Koeffizienten Sp (0) lediglich N weitere (speziell bei reellen Signalen dann konjugiert-komplexe) Koeffizientenpaare verfügbar. Approximiertes Signal sei N X sp,N (t) = Sp (k)e j 2πkF t (3.30) k=−N mit Differenzsignal −N X −1 ∞ X ep,N (t) = sp (t) − sp,N (t) = Sp (k)e j 2πkF t + Sp (k)e j 2πkF t. (3.31) k=−∞ k=N +1 Letzteres besitzt Fehlerleistung 34 3. Fourier-Beschreibung von Signalen und Systemen ZT 1 2 Lep,N = |ep,N (t)| dt. (3.32) T 0 Sofern das Signal eine endliche Lei