Definizione e Sistemi LTI

Definizione di Sistema

• I sistemi di elaborazione dei segnali sono costituiti da una serie di blocchi, ognuno dei quali esegue una trasformazione specifica sul segnale.
• Ogni blocco riceve un segnale in ingresso, lo modifica e produce un segnale in uscita.
• Lo studio del sistema permette di prevedere l'uscita in base all'ingresso, analizzare le caratteristiche del sistema e simularlo per ottenere una funzione desiderata.
• La relazione ingresso-uscita è definita dalla funzione del sistema 𝜑, dove 𝑦( # 𝑣) = 𝜑( 𝑥(# ̅ ̅ 𝑢)) 𝑥(# ¨ L'uscita dipende dall'ingresso, dalle caratteristiche del sistema e potenzialmente dal suo stato. ¨ Il sistema può modificare il dominio e la dimensionalità del segnale.

Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI)

• I sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) sono una classe di sistemi in cui la relazione tra ingresso e uscita è relativamente semplice.
• I sistemi LTI possiedono due proprietà distinte: linearità e tempo-invarianza.

Sistemi LTI: Linearità

• La linearità implica il principio di sovrapposizione degli effetti.
• In termini analitici, la linearità è definita come: 𝑓 𝑥!𝑡 = 𝑦!𝑡 !⟹ 𝑓(𝛼𝑥!𝑡 + 𝛽 𝑥" 𝑡 )=𝛼𝑦!𝑡 + 𝛽 𝑦" 𝑡 𝑓 𝑥" 𝑡 = 𝑦" 𝑡 ∀ 𝑥!𝑡 , 𝑥" 𝑡 , 𝛼, 𝛽
• Un sistema lineare restituisce la stessa combinazione lineare delle uscite corrispondenti quando in ingresso riceve una combinazione lineare di due segnali.
• In pratica, gli effetti dei due segnali di ingresso si sommano.

Sistemi LTI: Tempo-invarianza

• Tempo-invarianza significa che il comportamento del sistema non cambia nel tempo.
• In termini analitici, la tempo-invarianza è definita come: 𝑓 𝑥 𝑡 = 𝑦(𝑡) ⟹ 𝑓 𝑥 𝑡 − 𝑡# = 𝑦 𝑡 − 𝑡#
• Ritardando il segnale di ingresso di una qualsiasi quantità t0, il sistema restituisce la stessa uscita ritardata di t0.

Risposta dei Sistemi LTI

• La risposta di un sistema LTI ad un segnale di ingresso generico x(t) può essere calcolata conoscendo la risposta all'impulso unitario 𝛿 𝑡.
• La risposta impulsiva h(t) caratterizza completamente un sistema LTI e permette di calcolare la risposta a qualsiasi segnale.

Risposta dei Sistemi LTI: Calcolo della Risposta con Convoluzione

• La risposta di un sistema LTI ad un segnale x(t) è data dalla convoluzione tra il segnale x(t) e la risposta impulsiva h(t): +* lim 𝑦$ 𝑡 = ; 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡) ∆'→# )*
• La convoluzione è un'operazione lineare che combina due funzioni per ottenere una nuova funzione.
• La convoluzione gode delle proprietà commutativa, associativa e distributiva: 𝑥 𝑡 ∗𝑦 𝑡 =𝑦 𝑡 ∗𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 ∗ 𝑦 𝑡 ∗ z t = x t ∗ 𝑦 𝑡 ∗ 𝑧(𝑡) 𝑥 𝑡 ∗ 𝑦 𝑡 +𝑧 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ 𝑦 𝑡 + 𝑥 𝑡 ∗ 𝑧(𝑡)

Convoluzioni Notevoli

• Ci sono alcune convoluzioni notevoli che sono particolarmente utili per risolvere situazioni più complesse.
• Queste convoluzioni semplificano la risoluzione di problemi complessi scomponendo i segnali in somme di segnali più semplici.

Convoluzioni Notevoli: Impulsi

• La convoluzione di un segnale qualsiasi x(t) con un impulso 𝛿(t) restituisce il segnale stesso: 𝑥 𝑡 ∗𝛿 𝑡 =𝑥 𝑡
• Un sistema con risposta all'impulso pari ad un impulso nell'origine è un sistema passa-tutto.
• La convoluzione di un segnale con un impulso traslato di t0 restituisce il segnale traslato della stessa quantità: 𝑥 𝑡 ∗ 𝛿 𝑡 − 𝑇 = 𝑥(𝑡 − 𝑇)
• Un sistema con risposta all'impulso pari ad un impulso traslato agisce come un blocco di ritardo.

Questo quiz esplora le definizioni e le caratteristiche dei sistemi di elaborazione dei segnali, con un focus particolare sui sistemi lineari tempo-invarianti (LTI). Scoprirai come funzionano questi sistemi e come si prevede l'uscita basata sull'ingresso. Metti alla prova le tue conoscenze e comprendi le applicazioni pratiche di queste teorie.