Cours Traitement Numérique du Signal et Ses Applications 2024-2025 - esiea PDF

TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL ET SES APPLICATIONS (FA-SYS3045) Maryam L’Hernault [email protected] 1  Plan du cours  Introduction aux signaux  Analyse corrélative des signaux  Analyse fréquentielle des signaux en temps continu...

TRAITEMENT NUMERIQUE DU SIGNAL ET SES APPLICATIONS (FA-SYS3045) Maryam L’Hernault [email protected] 1  Plan du cours  Introduction aux signaux  Analyse corrélative des signaux  Analyse fréquentielle des signaux en temps continu Temps continu  Systèmes linéaires et filtres en temps continu  Numérisation des signaux  Analyse fréquentielle des signaux en temps discret Temps discret  Systèmes linéaires en temps discret  Filtres numérique 21h de cours/TD, 15h de TDAO/TP Cours disponible sur: https://learning.esiea.fr Evaluation: Notes TDAO, TP, QCM, Examen final 2 INTRODUCTION AUX SIGNAUX 3  Introduction aux signaux Définition du Signal: Manifestation physique d’une grandeur mesurable, d’une information à transmettre. Exemple: Onde acoustique : courant délivré par un microphone (parole, musique, …) Signal électrique: 4  Le bruit Définition du Bruit: Tout phénomène perturbateur pouvant gêner la perception ou l'interprétation d'un signal est appelé le bruit. Sinusoïde non bruitée Sinusoïde bruitée Rapport signal sur bruit (RSB): Le rapport signal sur bruit mesure la quantité de bruit contenu dans le signal. Il s'exprime par le rapport des puissances du signal (𝑃𝑠 ) et du bruit (𝑃𝐵 ). Il est souvent donné en décibels (dB). 𝑅𝑆𝐵 > 0: 𝑃𝑠 > 𝑃𝐵 𝑃𝑠 𝑅𝑆𝐵 < 0: 𝑃𝑠 < 𝑃𝐵 𝑅𝑆𝐵𝑑𝐵 = 10 log 𝑃𝐵 𝑅𝑆𝐵 = 0: 𝑃𝑠 = 𝑃𝐵 5  Traitement du signal Il s’agit de:  L’Analyse des caractéristiques du signal (analyse temporelle ou fréquentielle)  La Modification du signal (élimination du bruit et des dégradations: filtrage)  La Mise en forme du signal: numérisation, modulation, … Champs d’application:  L’acoustique (signaux musicaux, signaux de parole, etc.),  Le domaine biomédical (signaux encéphalographiques, électrocardio- graphiques,etc.),  La mécanique (signaux vibratoires, émission acoustique, etc.),  La télécommunication,  etc. 6  Classification des signaux Les signaux sont classés selon:  leur dimension  leur évolution  leur morphologie  leur énergie Il existe des techniques qui ne s'appliquent qu'à des familles de signaux spécifiques. 7  Classification dimensionnelle Signal monodimensionnel (1-D): Le signal monodimensionnel est une fonction d'une seule variable indépendante. Exemple: Mesure de la tension électrique (en volts) aux bornes d’une source de courant alternatif. Signal bidimensionnel (2-D): Le signal bidimensionnel est une fonction de 2 variables, f(V1,V2) Exemple: Image X(n1,n2) Signal Multidimensionnel (M-D): Exemples: vidéo (3-D): X(n1,n2,t) 8 Classification selon l’évolution du signal Signaux déterministes: L’évolution du signal déterministe est parfaitement prévisible et peut être décrite par un modèle mathématique. Exemple: signal sinusoïdal périodique. On distingue plusieurs familles de signaux déterministes: a) Signaux périodiques: se répètent identiquement à des intervalles de temps réguliers appelés la période du signal: x(t)=x(t+T) b) Signaux non-périodiques ou apériodiques:  Signal transitoires: Partie du signal correspondant à son évolution rapide, suivie d’une décroissance. Ils se manifestent lors de changement d’état d’un système et leur existence est limitée dans le temps.  Signaux pseudo périodiques: une somme de sinusoïdes de périodes différentes. 9 Classification selon l’évolution du signal Signaux aléatoires (probabilistes): Le comportement temporel du signal aléatoire est imprévisible. On se contente alors d’observations statistiques (moyenne, écart type, histogramme). Exemple: le bruit, le signal de parole, …. Signaux aléatoires stationnaires: les caractéristiques statistiques ne varient pas avec le temps. Signaux aléatoires non-stationnaires: les caractéristiques statistiques varient avec le temps. 10  Classification selon l’évolution du signal Signaux réels et signaux complexes Signal réel: Un signal 𝑥(𝑡) est réel si toutes ses valeurs sont réelles. Exemple: 𝑥 𝑡 = 𝐴 sin(2𝜋𝑡) Signal complexe: les valeurs su signal sont complexes: 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑥 𝑡 + 𝑗 𝐼𝑚 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 exp(𝑗∅(𝑡)) = 𝑥 𝑡. [cos(∅(𝑡))+jsin(∅ 𝑡 )] 𝑥 𝑡 = (𝑅𝑒 𝑥 𝑡 )2 +(𝐼𝑚 𝑥 𝑡 )2 : module de 𝑥(𝑡) 𝐼𝑚 𝑥 𝑡 ∅ 𝑡 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛( 𝑅𝑒 ) : argument de 𝑥(𝑡) 𝑥 𝑡 Exemple: 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑒 𝑗3𝜋𝑡 = 𝐴 cos 3𝜋𝑡 + 𝑗 A sin(3𝜋𝑡) 𝑅𝑒 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos(3 𝜋𝑡) , 𝐼𝑚 𝑥 𝑡 = 𝐴 sin 3𝜋𝑡 , 𝑥 𝑡 = (𝐴2 cos 2 3𝜋t + 𝐴2 sin2 3𝜋𝑡 ) = 𝐴 , 𝜙 𝑡 = 3𝜋𝑡 11 Classification selon l’évolution du signal Signaux pairs et impairs −𝑡 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑡 ≤ 0 𝑥 𝑡 =ቊ 𝑡 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 𝑥 𝑡 est pair si 𝑥 −𝑡 = 𝑥 𝑡. 1 Ou pour un signal discret: 𝑥 −𝑛 = 𝑥 𝑛 (Symétrique par rapport à l’axe des 𝑡 −1 1 Ordonnées) Signal pair 𝑥 𝑡 = t , −1 ≤ 𝑡 ≤ 1 𝑥 𝑡 est impair si 𝑥 −𝑡 = −𝑥 𝑡. Ou pour un signal discret: 𝑥 −𝑛 = −𝑥 𝑛 1 (Symétrique par rapport à origine) −1 𝑡 1 −1 Signal impair 12 Classification selon l’évolution du signal Signal causal: Un signal 𝑥(𝑡) est dit causal si: 𝑥(𝑡) = 0 ; 𝑡 < 0 13  Classification morphologique Signal à temps continu : la variable indépendante, le temps, prend ses valeurs sur un ensemble continu. Signal à temps discret: la variable indépendante prend ses valeurs sur une grille de points (ensemble discret). Sig. Analogique Sig. À temps discret Sig. quantifié Sig. numérique 14  Classification selon l’énergie On appelle énergie totale d’un signal 𝑥(𝑡) la grandeur suivante, si elle existe : +∞ 𝐸𝑡𝑜𝑡 = න |𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 −∞ Où |𝑥(𝑡)|2 : module au carré de 𝑥(𝑡) Dans le cas d’un signal à temps discret on écrit: +∞ 𝐸𝑡𝑜𝑡 = ෍ |𝑥(𝑛)|2 𝑛=−∞ Lorsque 0 < 𝐸𝑡𝑜𝑡 < +∞, le signal est à énergie finie. 15  Classification selon l’énergie Lorsque l’énergie ne converge pas (𝐸𝑡𝑜𝑡 ∞), on calcule sa quantité par unité du temps. C’est la puissance moyenne du signal définie par: 𝑇 2 1 𝑃𝑚𝑜𝑦 = lim න |𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 𝑇՜∞ 𝑇 𝑇 −2 Dans le cas des signaux périodiques, la puissance moyenne est calculée sur une période: 𝑇 2 1 𝑃𝑚𝑜𝑦 = න |𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 𝑇 𝑇 −2 𝑘 1 Dans le cas d’un signal à temps discret on écrit: 𝑃 = lim ෍ |𝑥(𝑛)|2 𝑘՜∞ 2𝑘 + 1 𝑛=−𝑘 Lorsque 0 < 𝑃𝑚𝑜𝑦 < +∞, le signal est à puissance moyenne finie. 16  Classification selon l’énergie Classement des signaux:  Signal à énergie finie: Un signal non-périodique (ou transitoire) ou à support temporel borné possède une énergie totale finie. Le signal à énergie finie possède une puissance moyenne nulle: 0 < 𝐸𝑡𝑜𝑡 < +∞ ՜ 𝑃𝑚𝑜𝑦 = 0  Signal à puissance moyenne finie: un signal à puissance moyenne finie possède une énergie infinie. Il est aussi appelé « signal à énergie infinie ». Exemple: signaux périodique, signaux issus d’un générateur de fonctions, signaux permanents non-périodiques, signaux à support temporel non-borné, signaux permanents aléatoires,… 0 < 𝑃𝑚𝑜𝑦 < +∞ ՜ 𝐸𝑡𝑜𝑡 ՜ ∞ 17  Classification selon l’énergie Exemples: Support temporel borné Signal périodique 18  Translation temporelle des signaux On parle de la translation temporelle du signal x(t) lorsque le signal est décalé dans le temps (déplacement horizontal sur l’axe des temps) vers la gauche ou vers la droite: – 𝑥 𝑡 − 𝑡0 ; 𝑡0 > 0 : décalage de 𝑡0 unités vers la droite. Le signal est alors retardé de 𝑡0. – 𝑥 𝑡 − 𝑡0 ; 𝑡0 < 0 : décalage de 𝑡0 unités vers la gauche. Le signal est alors avancé de 𝑡0. 𝑡0 = 2 > 0 Signal retardé de 2sec Exemple: 19  Signaux élémentaires 1. Fonction signe:  1 si t  0  sgn(t )   0 si t  0 1 si t  0  2. Échelon unité (fonction de Heaviside): 1 si t  0 u (t )   0 si t  0 Translation temporelle: 𝑢(𝑡 − 𝑡0) 1 si t  t 0 u (t  t 0 )   0 si t  t 0 𝑡0 > 0 20  Signaux élémentaires 3. Signal porte: 𝑃(𝑡) +∞ 1 T න 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = 1  T si t  2 −∞ rectT (t )  P (t )   0 T si t   2 -T/2 T/2 t Translation temporelle: 𝑃(𝑡 − 𝑡0) 1 T T  si t0   t  t0  P (t  t0 )  T 2 2 (t0  0)  0 ailleurs t0-T/2 t0 t0+T/2 t 𝑡0 > 0 21  Signaux élémentaires 4. Impulsion de Dirac: Translation temporelle: 22  Signaux élémentaires Propriétés de l’impulsion de Dirac: 1. Multiplication par une fonction: soit 𝑓 𝑡 une fonction: 𝑓 𝑡.𝛿 𝑡 = 𝑓 0.𝛿 𝑡 impulsion de Dirac de poids 𝑓(0) 𝑓 𝑡. 𝛿 𝑡 − 𝑡0 = 𝑓 𝑡0. 𝛿(𝑡 − 𝑡0 ) impulsion de Dirac en 𝑡0 de poids 𝑓(𝑡0 ) 2. Intégrale: +∞ +∞ +∞ න 𝑓 𝑡. 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = න 𝑓 0. 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 0 න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(0) −∞ −∞ −∞ De la même manière: +∞ න 𝑓 𝑡. 𝛿 𝑡 − 𝑡0 = 𝑓 𝑡0 −∞ 23  Signaux élémentaires 5. Peigne de Dirac: succession périodique d’impulsions de Dirac   T (t )    (t  KT ) K   T est la période du peigne.  Cette suite est parfois appelée train d'impulsions ou fonction d'échantillonnage.  Ce type de signal est principalement utilisé en échantillonnage. 24  Signaux élémentaires 6. Signal sinusoïdal: 𝑥 𝑡 = 𝐴 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) Pulsation: 𝜔0 = 2𝜋𝑓0 , 1 𝑇0 : période , 𝑓0 = 𝑇 : Fréquence , 𝜑: phase à l’origine 0 𝐴 = 1, 𝜑 = 0 𝜑≠0 Phase nulle à l’origine Phase non nulle à l’origine 2𝜋 2𝜋 𝑥 𝑡 = sin( 𝑡) 𝑦 𝑥 = sin( 𝑥 + 𝜑) 𝑇 𝑇 25  Signaux élémentaires Sinusoïde causale 𝑓 𝑡 = sin 𝜔𝑡. 𝑢 𝑡 sin 𝜔𝑡 , 𝑡≥0 𝑓(𝑡) = ቊ 0, 𝑡