Mécanique du point matériel - Exercices - PDF

LOUAIL Layachi ROUMILI Abdelkrim MAOUCHE Djamel MOSBAH Ammar Université Sétif 1 MECANIQUE DU POINT MATERIEL RECUEIL D’EXERCICES avec RAPPELS DE COURS première année SM, MI, ST, STU 1 ©Office des Publications Universitaires : EDITION : 1.02.5647 I.S.B.N : 978. 9961.0.1898.9 Dépôt légal : 1er semestre 2016 2 AVANT-PROPOS Ce livre est avant tout un recueil d’exercices et de problèmes avec des rappels de cours de la mécanique du point matériel, domaine très concret de la physique. En effet, la plupart des exercices proposés, existent sous différentes formes et dans plusieurs autres ouvrages. Conforme au programme, c’est un outil de travail qui s’adresse aux étudiants de la première année des filières SM (sciences de la matière), MI (mathématiques et informatique), ST (sciences et techniques) et STU (sciences de la terre et de l’univers). Cet ouvrage est conçu pour apporter aux étudiants une aide dans leur cursus et leur permet de progresser. Il existe pour accompagner l’étudiant dans son travail personnel. Nous espérons que ce rappel de cours et recueil d’exercices sans solutions, aidera nos étudiants à comprendre la mécanique du point matériel. Nous pensons que l’étudiant doit devenir capable à se prendre en main et accroitre lui-même ses connaissances à travers la résolution des exercices au lieu de regarder directement les solutions (habitude chez nos étudiants). Ainsi, et pour tirer profit de cet ouvrage, il est clair que le lecteur devra lire attentivement le rappel de cours qui précède chaque chapitre et chercher lui-même les solutions des exercices proposés. Toutes les critiques et suggestions seront les bienvenues. Les auteurs 3 4 CHAPITRE I DIMENSIONS ET UNITES 5 6 RAPPEL DE COURS La mécanique utilise des formules mathématiques qui relient des grandeurs physiques. Toute grandeur physique G a une dimension notée [G] et est mesurée dans une unité. En mécanique, le système d’unités est constitué des unités fondamentales relatives aux grandeurs longueur, masse et temps. A l’aide de ces unités fondamentales on construit les unités dérivées relatives aux grandeurs de vitesse, accélération, force, travail... La grandeur de longueur est désignée par [L], celle de la masse par [M] et celle du temps par [T]. Les expressions obtenues de n’importe quelle autre grandeur G en fonction de ces grandeurs fondamentales constituent les équations aux dimensions qui prennent la forme suivante : [G] = La Tb Mc 7 EXERCICE I-1 Déterminer (ρ), la masse volumique de l’eau dans le système international (SI), sachant qu’elle vaut 1 gcm-3 dans le système CGS. EXERCICE I-2 Écrire l’équation aux dimensions : - d’une force ; - d’un travail d’une force ; - d’une puissance. En déduire le facteur de conversion α permettant de passer de l’unité de puissance CGS à l’unité de puissance SI. EXERCICE I-3 Une balle de masse m, considérée comme un point matériel est lancée verticalement vers le haut. Elle subit des forces de frottements d’expression : ⃗f = - k v⃗ où v⃗ est le vecteur vitesse du point matériel et k est le coefficient de frottement. a) Ecrire l’équation aux dimensions du coefficient de frottement k. b) En déduire l’unité du coefficient de frottement dans le système international SI. EXERCICE I-4 La vitesse des ondes dans un fluide dépend de deux paramètres: la V ∝ ρa Bb densité de ce fluide ρ et le module de compressibilité appelé aussi bulk modulus B. On peut écrire donc: (1) a) Ecrire l’équation aux dimensions de la vitesse. b) Ecrire l’équation aux dimensions de la densité. 8 c) Sachant que l’unité de B est celle d’une pression (force par surface), écrire l’équation aux dimensions de B. d) Ecrire l’équation aux dimensions de l’expression (1). En déduire a et b. e) Trouver la relation de proportionnalité reliant la vitesse des ondes V à la densité du fluide et au bulk modulus. EXERCICE I-5 La fréquence ν d’un dispositif tournant dépend (à priori) de ν ∝ Ra ρb Gc (2) son rayon R, de sa densité de masse ρ et de la constante gravitationnelle G. Donc : a) Ecrire l’équation aux dimensions de la fréquence ν. b) Ecrire l’équation aux dimensions du rayon R. c) Ecrire l’équation aux dimensions de la densité de masse ρ. d) A partir de la loi donnant la force de gravitation, écrire l’équation aux dimensions de la constante gravitationnelle G. e) Ecrire l’équation aux dimensions de l’expression (2). En déduire a, b et c. f) Trouver la relation de proportionnalité reliant la fréquence ν au rayon R, la densité de masse ρ et la constante gravitationnelle G. EXERCICE I-6 Le kilogramme, le mètre et la seconde sont les unités de base du système international SI. Le joule est l’unité du travail dans ce même système. Parmi les unités suivantes, trouver celle (s) équivalente (s) au joule : kg m-1 s-2 kg m s-1 kg m s-2 kg m2 s-1 kg m2 s-2 9 EXERCICE I-7 Soit la formule suivante : x = 3γt2 + vt + h où γ est une accélération, t le temps, v une vitesse et x et h sont deux longueurs. a) Quelle est la dimension et l’unité du terme 3γt2. b) Quelle est la dimension et l’unité du terme vt. c) Quelle est la dimension et l’unité de l’expression du membre droit. d) Vérifier l’homogénéité de cette formule. EXERCICE I-8 Un pendule simple est constitué d’un point matériel de masse m suspendu à un fil inextensible de longueur l. La période T du pendule simple est liée à m, l et g (l’accélération de la pesanteur) par la relation : T = C ma lb gd où C est une constante sans dimensions (2π) a) Ecrire l’équation aux dimensions de l’expression de la période b) Déterminer a, b et d. du pendule. c) En déduire l’expression de la période T du pendule simple. EXERCICE I-9 Une bille de rayon r assimilée à un point matériel en par : F⃗f = - 6 π η r v⃗ où v⃗ est le vecteur vitesse de la bille et η la mouvement dans un fluide, subit une force de frottement donnée viscosité du fluide. a) Ecrire l’équation aux dimensions de la viscosité du fluide. b) En déduire son unité. 10 EXERCICE I-10 Soit l’expression suivante d’une force : F = 0,5 ρ S Cx v2 où ρ est une masse volumique, S une surface et v une vitesse. Déterminer la dimension et l’unité du coefficient Cx. EXERCICE I-11 F = - k v agit sur un point matériel M de masse m. La résistance de l’air est une force de frottement de forme où k est une constante et v la vitesse du point M. m On pose τ =. kv Quelle est la dimension de τ ? EXERCICE I-12 Déterminer les unités des expressions suivantes : k (x - l) 1 F m r2 ω2 m g v cosθ m g l sinθ où m est une masse; r, x et l des distances; g est le champ de 2 x pesanteur terrestre; ω est une vitesse angulaire; k est la raideur d’un ressort, F est une force, θ un angle et v une vitesse. EXERCICE I-13 L’accélération de la pesanteur à la surface de la terre est donnée par l’expression : M g=G R2 où : g est l’accélération de la pesanteur ; G est la constante de gravitation universelle ; M est la masse de la terre ; R est le rayon de la terre. Quelle est l’unité de G ? 11 EXERCICE I-14 La loi de Stefan donne la puissance P du rayonnement émis par un corps noir en fonction de sa surface S, de sa température T (en Kelvin) et d’une constante σ appelée constante de Stefan : P = σ S T4 Déduire l’unité de la constante de Stefan. EXERCICE I-15 En faisant une analyse dimensionnelle, discuter la validité des égalités suivantes: (l2 - d) x= où x, l et d sont des distances; d t x = x 0 e- τ où t et τ sont des temps; g π v= cos ω (t + ) où l est une longueur, g l’accélération de l 4 la pesanteur et ω une pulsation. EXERCICE I-16 Un point matériel de masse m oscille à l’extrémité d’un ressort horizontal de constante de raideur k avec une amplitude X. Sa période T dépend de m, k et X. Déterminer l’expression de T. 12 CHAPITRE II LES VECTEURS 13 14 RAPPEL DE COURS Le vecteur est défini par sa norme, sa direction et son sens. La norme est un scalaire. La direction est une orientation dans l’espace. Pour chaque direction, il y a deux sens. Somme des vecteurs : Il existe 3 méthodes : 1) On place les vecteurs les uns à la suite des autres, puis on relie l’origine du premier vecteur à l’extrémité du dernier vecteur. On aura la résultante des vecteurs. 2) A l’aide de deux vecteurs à additionner on forme un parallélogramme. La diagonale de ce parallélogramme sera la résultante. 3) La méthode algébrique qui consiste à additionner les composantes des vecteurs pour trouver les composantes de la V⃗1 = x1⃗i + y1⃗j + z1 k⃗ résultante. V⃗2 = x2⃗i + y2⃗j + z2 k⃗ V⃗1 + V⃗2 = (x1 + x2 ) ⃗i + (y + y ) ⃗j + (z1 + z2 ) k⃗ 1 2 Relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ Produit scalaire des vecteurs : Il existe deux méthodes : 1) V⃗1. V⃗2 = V⃗1 V⃗2 cos α où α est l’angle (V⃗1 ,V⃗2 ). 2) V⃗1. V⃗2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 (dans une base orthonormée) V⃗1. V⃗2 = V⃗2. V⃗1 V⃗1. V⃗2 = 0 ⇔ V⃗1 ⊥ V⃗2 15 Produit vectoriel des vecteurs: Il existe deux méthodes : 1) V⃗1 ∧ V⃗2 = V⃗1 V⃗2 sin α u⃗ ( V⃗1 , V⃗2 , u⃗ ) forment une base 2) V⃗1 ∧ V⃗2 = & y1 z2 - y2 z1 ' ⃗i + & x2 z1 - x1 z2 ' ⃗j + & x1 y2 - x2 y1 ' k⃗ directe V⃗1 ∧ V⃗2 = − ( V⃗2 ∧ V⃗1 ) V⃗1 ∧ V⃗2 = 0 ⇔ V⃗1 et V⃗2 sont colinéaires Vecteur position d’un point dans le plan dans un repère OM⃗ = x ⃗i + y ⃗j orthonormé: OM⃗ = r u⃗) 1. en coordonnées cartésiennes (x, y) : 2. en coordonnées polaires (r, θ) : y u⃗θ u⃗r M r ⃗j θ ⃗i x O 16 Vecteur position d’un point dans l’espace dans un repère orthonormé : OM⃗ = x ⃗i + y ⃗j + z k⃗ 1. en coordonnées cartésiennes (x, y, z) : z M (x, y, z) k⃗ ⃗j ⃗i O y 2. en coordonnées cylindriques (r, θ, z) : OM⃗ = r u⃗) + z k⃗ x z M (r, θ, z) k⃗ ⃗j ⃗i u⃗θ O y r u⃗r θ x 17 3. en coordonnées sphériques (r, θ, φ) : OM⃗ = r u⃗) u⃗r z M u⃗φ u⃗θ r k⃗ θ ⃗j ⃗i O y φ x EXERCICE II-1 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé R(O, ⃗i, ⃗j, k⃗ ) on donne les points : A (-1, 0, -1) et B(0, 1, 1). Trouver les vecteurs OA⃗ et OB⃗ Trouver les normes des vecteurs OA⃗ et OB⃗ a) Calculer et représenter le vecteur OA⃗ Λ OB⃗ b) Calculer OA⃗.OB⃗ c) * B. d) e) En déduire la valeur de l’angle AO EXERCICE II-2 Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs tels que : u⃗.v⃗ = - 3; ‖u⃗‖ = √6 et ‖v⃗‖ = √2 a) Calculer l’angle ( u⃗, v⃗) b) Calculer ‖u⃗ + v⃗‖ c) Calculer u⃗ - v⃗ 18 EXERCICE II-3 Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs de même norme. Démontrer que les vecteurs u⃗ + v⃗ et u⃗ - v⃗ sont orthogonaux. EXERCICE II-4 Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs du plan tels que: ‖ u⃗ ‖ = 2 ; ‖ v⃗ ‖ = 6 et u⃗.v⃗ = - 8. a) Calculer (3u⃗ + v⃗). (u⃗ - 2v⃗) b) Calculer -2u⃗ + 3v⃗ c) Déterminer le réel k tel que ‖ ku⃗ + v⃗ ‖ = 6 Soient les vecteurs V⃗1 (1, 2, 2), V⃗2 (2, 2√2, 2) et V⃗3 (0, √2, √2). EXERCICE II-5 a) Calculer V⃗1 , V⃗2 et V⃗3. b) Déduire les expressions des vecteurs unitaires u⃗1 , u⃗2 et u⃗3 des directions de V⃗1 , V⃗2 et V⃗3. c) En considérant les angles θ1 , θ2 et θ3 compris entre 0 et π, cos θ1 = cos(u⃗2 , u⃗3 ); cos θ2 = cos(u⃗1 , u⃗3 ) et cos θ3 = cos(u⃗2 , u⃗1 ) calculer : u⃗23 = u⃗2 ∧ u⃗3 ; u⃗31 = u⃗3 ∧ u⃗1 u⃗12 = u⃗1 ∧ u⃗2 d) Calculer les composantes des vecteurs et e) En déduire sin θ , sin θ et sin θ.. EXERCICE II-6 a⃗ ∧ (b⃗ ∧ c⃗) = b⃗ (a⃗. c⃗) − c⃗ (a⃗. b⃗) a) Vérifier sur un exemple de votre choix que : a⃗. (b⃗ ∧ c⃗) = b⃗. (c⃗ ∧ a⃗) = c⃗. (a⃗ ∧ b⃗) b) De la même manière, vérifier que : 19 EXERCICE II-7 Soient les trois points : A(2, 1), B(3, 3) et C(−4, 1). Trouver les coordonnées d’un point G tel que GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗ EXERCICE II-8 Soient les trois points : A(2, −3), B(3, 0) et C(−2, x). a) Déterminer les vecteurs AB⃗ et AC⃗. b) Déterminer x pour que les trois points soient alignés. EXERCICE II-9 Déterminer si ABCD forme un parallélogramme à partir des points suivants: a) A(−1, −2), B(4, 0), C(3, 3) et D(−2, 1) b) A(2 , 5), B(−1 , 4), C(2 , −3) et D(−5 , −3) EXERCICE II-10 Considérons les point A(−1, 3), B(2, −2) et C(4, −1). a) Déterminer les coordonnées du point D pour que ABCD soit un parallélogramme. b) Calculer les coordonnées du point I milieu de AC. c) En utilisant les coordonnées du point I, déduire celles de D pour que ABCD soit un parallélogramme. EXERCICE II-11 Dans chacun des cas suivants, les points M, N et P sont-ils alignés ? a) M(4, −1), N(7, −3), P(−5, 5) b) M(−2, 3), N(−3, 7), P(−5, 14) 20 EXERCICE II-12 Soit I le milieu du segment AB. Déterminer les valeurs de α, β, γ et δ tels que : AI⃗ = α AB⃗ AI⃗ = β IB⃗ BI⃗ = γ AB⃗ AI⃗ + δ BI⃗ = 0⃗ EXERCICE II-13 repère cartésien R(O, ⃗i, ⃗j, k⃗). Ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) Un point matériel M se déplace dans l’espace muni d’un et ses coordonnées cylindriques (r, θ, z) sont fonctions du temps. b) Exprimer u⃗r , u⃗θ , k⃗ les vecteurs unitaires du repère cylindrique a) Exprimer r, θ, z en fonction de x, y, z. en fonction de ⃗i, ⃗j, k⃗. c) Exprimer OM⃗, le vecteur position du point matériel M dans la base ⃗i, ⃗j, k⃗. d) Exprimer OM⃗, le vecteur position du point matériel M dans la base (u⃗r , u⃗θ , k⃗). 21 22 CHAPITRE III CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL 23 24 RAPPEL DE COURS Le point matériel est un objet de dimensions assez petites par rapport aux distances parcourues pour être assimilé à un point dans l’espace. La cinématique est le domaine de la mécanique qui étudie les mouvements à travers la position de l’objet (sa trajectoire), sa vitesse et son accélération indépendamment de la cause qui provoque ces mouvements. OM⃗. La position d’un matériel est définie à l’aide du vecteur position : La vitesse par son vecteur vitesse : V⃗(M) = d(OM⃗) dt L’accélération par son vecteur accélération : d(V⃗(M)) d2 (OM⃗) γ⃗(M) = = dt dt2 passage cinématique : d d dt dt ∫. dt ∫. dt position vitesse accélération Equations horaires: ce sont les fonctions x(t), y(t), z(t), r(t), θ(t), φ(t) Trajectoire : c’est la relation liant les coordonnées x, y, z, r, θ, φ indépendamment du temps. 25 Types de mouvement d’un point matériel : 1. Mouvement rectiligne, la trajectoire est une droite. - mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitesse est constant. - mouvement rectiligne uniformément varié, le vecteur accélération est constant. - mouvement rectiligne sinusoïdal, l’équation horaire est une fonction sinusoïdale. - mouvement rectiligne quelconque, le vecteur accélération dépend du temps. 2. Mouvement curviligne, la trajectoire est une portion d’une courbe. 3. Mouvement circulaire, la trajectoire est un cercle. On trouve le mouvement circulaire uniforme, uniformément varié, sinusoïdal et quelconque. 4. Mouvement parabolique, la trajectoire est une parabole ou partie d’une parabole. 26 EXERCICE III-1 Un point matériel M est animé d’un mouvement rectiligne. 1 Son équation horaire est : x(t) = – 3 t3 + 4t2 – 7t a) Déterminer ẋ (t), l’expression de la vitesse du point matériel. b) Déterminer ẍ (t), l’expression de son accélération. c) Déterminer les périodes pendant lesquelles le mouvement de ce point matériel est accéléré ou retardé. EXERCICE III-2 rectiligne est de la forme ‖γ⃗‖ = γ = – k v2. Où v est la vitesse du L’accélération d’un point matériel M animé d’un mouvement point et k est une constante. A t = 0, le point M passe par la position x = 0 avec une vitesse v0. a) Donner l’expression de la vitesse v(t) du point M en fonction du temps et de v0. b) Etablir l’équation horaire x(t). c) Trouver v(x), la loi de variation de la vitesse en fonction de x. d) Tracer v(x). EXERCICE III-3 Sur un trajet rectiligne (axe Ox, de vecteur unitaire ⃗i ) et à partir d’une vitesse initiale nulle, un véhicule d’accélération γ constante, parcourt une distance OA = 200 m au bout de 30 secondes. a) Déterminer x, la position du véhicule, en fonction du temps. b) Déterminer la valeur de l’accélération de ce véhicule. c) Déterminer la valeur de sa vitesse atteinte au point A. A partir du point A, le véhicule entre dans une phase de freinage avec une décélération de 7 ms-2. 27 d) Ecrire γ⃗7) , le vecteur décélération du véhicule. e) Donner l’expression de la vitesse du véhicule en fonction du temps. f) Quel est alors le temps nécessaire pour que le véhicule s’arrête. g) Quelle est la distance d’arrêt. EXERCICE III-4 Une voiture est stationnée à 100 m d’un piéton immobile. A un instant donné, elle démarre et roule avec une accélération constante de 5 ms-2. a) Quelle est la nature du mouvement de la voiture ? b) Ecrire v(t), l’expression de la vitesse de la voiture en fonction du temps. c) Ecrire x(t), l’expression de sa position en fonction du temps. c) Quelle est la position de la voiture au bout de 10 secondes. A-t- elle atteint le piéton au bout de ce temps ? Une seconde voiture démarre du même endroit avec une accélération constante mais met le double de temps pour atteindre l’individu. d) Quelle est la nature du mouvement de cette deuxième voiture ? e) Déterminer l’accélération de la deuxième voiture. EXERCICE III-5 Un individu se met à courir. Ses coordonnées en mètres par rapport à un repère orthonormé sont : x(t) = – 0,5t2 + 5t + 30 et y(t) = 0,25t2 – 10t + 30 a) Ecrire ẋ (t) et ẏ (t), les deux composantes de sa vitesse en fonction du temps. b) Ecrire la norme de sa vitesse en fonction du temps. c) Quelle sera la vitesse de cet individu après 10 secondes ? 28 d) Ecrire les deux composantes de son accélération en fonction du temps. e) Ecrire la norme de son accélération en fonction du temps. f) Quelle sera son accélération après 12 secondes ? EXERCICE III-6 Sur une route rectiligne, une voiture roule à vitesse constante v0 = 110 kmh-1. Un motard gendarme démarre à l’instant où la voiture passe à sa hauteur et accélère uniformément (accélération γ0 ). Le motard atteint la vitesse de 90 kmh-1 au bout de 10 s. En prenant comme origine x = 0 à t = 0 (position de la voiture et de la moto, ce sont les mêmes), a) Exprimer x(t), la position de la voiture en fonction du temps. b) Exprimer la vitesse du motard et sa position en fonction du temps. c) Déterminer l’accélération du motard. d) Quel sera le temps nécessaire au motard pour rattraper la voiture. e) Quelle distance aura-t-il parcouru ? f) Quelle vitesse aura-t-il alors atteint ? EXERCICE III-7 Un randonneur se situant en un point A s’est égaré en forêt. Il marche alors pendant 2 h à la vitesse v1 = 7 km h-1 dans la direction Nord-Est jusqu’à un point B puis 1 h dans la direction Sud à la vitesse v2 = 4 km h-1 avant de retrouver la sortie de la forêt en C. b) Déterminer le vecteur AC⃗. a) Déterminer la distance totale parcourue par le randonneur. c) En déduire la distance AC⃗. 29 d) Combien de temps aurait-il mis en marchant directement de A vers C à la vitesse v3 = 6 km h-1 ? e) A partir du point A, dans quelle direction aurait-il dû partir pour fait AC⃗ avec l’axe Ouest-Est). arriver au point C ? (c'est-à-dire donner l’angle en degrés que EXERCICE III-8 Soit un point matériel M en mouvement rectiligne dans un plan. a) Comment doivent être les directions du vecteur vitesse et du vecteur accélération. b) Comment doivent être les normes de la vitesse et de l’accélération. EXERCICE III-9 Les équations horaires du mouvement d’un point matériel dans le plan Oxy sont : x(t) = A cos(ωt) + x1 et y(t) = y1 avec x1 et y1 des constantes. a) Quelle est la trajectoire du point matériel ? b) Quelle est la nature du mouvement du point matériel ? d2 x c) Calculer l’expression en fonction de x et écrire l’équation dt2 différentielle du mouvement du point. EXERCICE III-10 Soit un point matériel M en mouvement circulaire uniforme dans un plan. Son vecteur vitesse est-il constant ? Ce point matériel parcourt un cercle de rayon R = 10 cm à la vitesse v = 2 ms-1. a) Calculer la période de rotation du point M. b) Calculer l’accélération du point M. 30 EXERCICE III-11 Soit un point matériel M en mouvement circulaire de centre O dans un plan Oxy. a) Si le mouvement est uniforme, son vecteur vitesse v⃗ change-t-il de direction ? b) Si le mouvement est uniforme, quelle est la direction du c) Le vecteur rotation ω⃗ est-il perpendiculaire ou parallèle au plan vecteur accélération ? d) Exprimer v⃗, le vecteur vitesse en fonction de ω⃗ et du vecteur Oxy. position OM⃗. EXERCICE III-12 Un point matériel M est en un mouvement curviligne plan. Il base orthonormée (u⃗r , u⃗θ ) liée à ce point. est repéré par les deux coordonnées polaires r et θ. On choisit la a) Exprimer OM⃗, le vecteur position de ce point matériel dans b) Déterminer V⃗(M), le vecteur vitesse du point M. cette base. c) Déterminer γ⃗(M), le vecteur accélération du point matériel M en précisant les deux composantes : radiale γr et orthoradiale γθ d) Que devient γ⃗ (M) dans le cas d’un mouvement curviligne de cette accélération. e) Que devient γ⃗ (M) dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme. uniforme. EXERCICE III-13 Un satellite géostationnaire est en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre. Il tourne avec une accélération R 2 γ = g0 ( r ) où R = 6400 km est le rayon de la terre, g0 = 9,8 ms-2 et r le rayon de l’orbite. 31 La période de révolution du satellite est égale à la période de rotation de la terre sur elle-même. a) Exprimer la période T de rotation de la Terre sur elle-même b) Calculer sa vitesse angulaire θ̇. en secondes. c) Ecrire r⃗, le vecteur position du satellite en coordonnées polaires (r, θ) dans un repère (u⃗r , u⃗θ ) lié au satellite. d) En déduire v⃗, l’expression du vecteur vitesse du satellite. e) En déduire γ⃗, l’expression du vecteur accélération du satellite. f) Trouver r, l’altitude de l’orbite (le rayon de l’orbite géostationnaire). EXERCICE III-14 Un point matériel parcourt un cercle de rayon R à la vitesse vectorielle des coordonnées polaires (u⃗r , u⃗θ ). v = αt où α est une constante. On propose de travailler dans la base a) Quelle est la relation entre v et la vitesse angulaire θ̇ ? b) Exprimer OM⃗, le vecteur position du point matériel dans la c) Déduire V⃗(M), le vecteur vitesse du point matériel. base vectorielle des coordonnées polaires. e) Exprimer γ⃗(M), le vecteur accélération du point matériel. d) Déduire vr et vθ , les deux composantes de la vitesse du point. f) Trouver γr et γθ , les deux composantes de son accélération. EXERCICE III-15 Dans un plan Oxy muni d’un repère orthonormé R(O, ⃗i, ⃗j ), un point matériel M est repéré par : - Ainsi que par ces deux coordonnées polaires r(t) et θ(t). - Ces deux coordonnées cartésiennes x(t) et y(t). a) Représenter la base vectorielle (O, ⃗i, ⃗j ) liée à l’origine O du repère orthonormé. 32 b) Représenter la base vectorielle orthonormée (M, u⃗r , u⃗θ ) liée au point M. c) Etablir les relations donnant les coordonnées cartésiennes x et d) Ecrire le vecteur u⃗r en fonction de ⃗i et ⃗j. y du point M en fonction des coordonnées polaires r et θ. e) Ecrire le vecteur u⃗θ en fonction de ⃗i et ⃗j. du⃗r du⃗θ f) En déduire et. dt dt EXERCICE III-16 (u⃗r , u⃗θ , k⃗) écrire le vecteur position OM⃗ d’un point matériel en a) Dans la base des vecteurs unitaires des coordonnées cylindriques fonction des coordonnées cylindriques r, θ et z. b) En déduire V⃗(M), l’expression du vecteur vitesse. c) En déduire γ⃗ (M), l’expression du vecteur accélération. EXERCICE III-17 (u⃗r , u⃗θ , u⃗φ ) écrire le vecteur position OM⃗ d’un point matériel en a) Dans la base des vecteurs unitaires des coordonnées sphériques fonction des coordonnées sphériques r, θ et φ. b) Trouver les expressions de u⃗r , u⃗θ et u⃗φ en fonction de ⃗i, ⃗j et k⃗. du⃗r du⃗θ du⃗φ c) Trouver , et. d) En déduire V⃗(M), l’expression du vecteur vitesse du point. dt dt dt e) En déduire γ⃗ (M), l’expression son vecteur accélération. 33 EXERCICE III-18 Un point matériel se déplace sur une courbe plane d’équation en coordonnées polaires dans le plan Oxy: r = r0 e-ωt avec ωt = θ et ω une constante. a) Trouver vr et vθ , les deux composantes de la vitesse du point b) Calculer ||v⃗||, la norme de la vitesse du point matériel. matériel en coordonnées polaires. c) Trouver γr et γθ , les deux composantes de l’accélération du d) Calculer ||γ⃗||, la norme de l’accélération du point matériel. point matériel en coordonnées polaires. EXERCICE III-19 Deux voitures de performances différentes : la première a une accélération de γ1 = 4 ms-2 et la deuxième de γ2 = 5 ms-2 se mettent en position de départ de course. Mais, la première voiture démarre 1 seconde avant la deuxième. a) Ecrire x1 (t), l’équation horaire de la première voiture. b) Ecrire x2 (t), l’équation horaire de la seconde voiture. c) Déterminer le temps nécessaire à la deuxième voiture pour rattraper la première. d) En déduire la distance parcourue jusqu’à ce rattrapage. e) Si la piste de la course était de 100 m, ce rattrapage serait-il possible ? f) Calculer la vitesse de chaque voiture au moment du rattrapage. EXERCICE III-20 Pour décoller, un avion doit atteindre la vitesse de 200 kmh-1 et une accélération de 12 ms-2. On veut savoir si cet avion est capable de décoller depuis l’aéroport de Sétif (longueur de la piste est de 190 m). 34 A t = 0, l’avion est au point de départ (x = 0) et sa vitesse est nulle (v0 = 0). a) Donner x(t), l’expression de la position de l’avion en fonction du temps. b) Donner v(t), l’expression de sa vitesse en fonction du temps. c) En déduire x(t) en fonction de la vitesse et l’accélération. d) L’avion est-il capable de décoller à partir de l’aéroport de Sétif ? EXERCICE III-21 La figure représente la variation de la vitesse v(t) d’un point matériel en mouvement, en fonction du temps. 30 25 20 -1 V (ms ) 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 t (s) a) Calculer γ(t), l’accélération de ce point matériel durant chaque intervalle de temps. b) Représenter l’accélération du point matériel en fonction du temps. 35 EXERCICE III-22 x(t) = α cos(ω t+ψ) ; Un point matériel M de coordonnées : : où ω est une constante, y(t) = β sin(ω t+φ) se déplace sur une ellipse d’équation cartésienne ( ) + ( ) = 1. x 2 y 2 a b A l’instant t = 0, le point matériel M est au point A(a,0). a) Déterminer α, ψ et φ. b) Déduire β. c) Déterminer ẋ (t) et ẏ (t), les composantes de la vitesse du point matériel. d) Déterminer ẍ (t) et ÿ (t), les composantes de son accélération. f) Montrer que l’accélération est de forme γ⃗ = - kOM⃗. e) Ecrire ẍ (t) et ÿ (t) en fonction de x et y. g) En déduire la constante k. EXERCICE III-23 Un point matériel se déplace le long d’une hélice circulaire. base (u⃗r , u⃗θ , k⃗) par : Son mouvement est donné en coordonnées cylindriques dans la < θ = ωt; r=R z = ht où R, ω et h sont des constantes. a) Exprimer OM⃗, le vecteur position du point matériel. b) Exprimer V⃗(M), le vecteur vitesse du point matériel dans la base (u⃗r , u⃗θ , k⃗). c) En déduire la norme de sa vitesse. 36 d) Donner l’expression du vecteur accélération du point matériel dans la même base vectorielle. e) En déduire la norme de son accélération. EXERCICE III-24 Soit un point matériel M en mouvement uniforme. Son accélération est-elle nulle ? EXERCICE III-25 Le vecteur accélération d’un point matériel M en mouvement γ⃗ = γ ⃗j où γ est une constante. est donnée : A t = 0, la vitesse de M est v0⃗i. a) Trouver vx et vy , les deux composantes du vecteur vitesse du point M. b) Déduire x(t) et y(t), les deux composantes du vecteur position du point M. c) Trouver y(x), l’équation de la trajectoire du mouvement du point M. d) Quelle est la nature de la trajectoire du mouvement de ce point. EXERCICE III-26 Un point matériel M décrit une hélice d’équations paramétriques : < y = R sinωt ; x = R cosωt où R, α et ω sont des constantes. z = αt Le pas de l’hélice est défini par : p = z (t +T) – z (t) où T est la période du mouvement. a) Calculer le pas de l’hélice en fonction de α et ω. b) Représenter l’allure de cette hélice. 37 Etude en coordonnées cartésiennes dans la base (O, ⃗i, ⃗j, k⃗): c) Exprimer OM⃗, le vecteur position du point matériel dans la base (O, ⃗i, ⃗j, k⃗). d) Exprimer V⃗(M), le vecteur vitesse du point matériel dans la e) Exprimer γ⃗(M), le vecteur accélération du point matériel. même base. Etude en coordonnées cylindriques dans la base (O, u⃗r , u⃗θ , k⃗): Les coordonnées cylindriques du point matériel M sont : θ = ωt et z = αt f) Exprimer OM⃗, le vecteur position du point matériel dans la r = R, base (O, u⃗r , u⃗θ , k⃗). g) Exprimer V⃗(M), le vecteur vitesse v du point matériel dans la h) Exprimer γ⃗(M), le vecteur accélération a du point matériel. même base. i) Quel est l’angle formé par les vecteurs vitesse et accélération ? EXERCICE III-27 Le bras d’une grue tourne dans un plan horizontal Oxy à vitesse angulaire constante ω0. Sur ce bras, un chariot assimilé à un point matériel M subit une translation à vitesse constante v0. A l’instant initial, le chariot se trouve au centre de rotation O du bras. Le mouvement est observé depuis le sol. a) Donner r(t) et θ(t) les équations horaires du mouvement du chariot. r(t) est la distance r parcourue par le chariot le long du bras de la grue. b) En déduire r(θ), l’équation de la trajectoire du mouvement du chariot. c) Représenter la trajectoire dans un plan Oxy. 38 Supposant la base des vecteurs unitaires (O, u⃗r , u⃗θ , k⃗) liée au centre de rotation O où u⃗r est suivant le trajet du chariot. Ce système de base tourne avec la grue. d) Etablir OM⃗, l’expression du vecteur position du chariot dans e) Etablir V⃗(M), l’expression du vecteur vitesse du chariot dans cette base. f) Etablir γ⃗(M), l’expression du vecteur accélération du chariot cette même base. dans la même base. (O, i, ⃗j, k⃗) liée au centre de rotation O. Ce système de base est fixe. ⃗ Supposant la base des vecteurs unitaires du système cartésien g) Exprimer OM⃗, le vecteur position du chariot dans le système h) Exprimer V⃗(M), le vecteur vitesse du chariot dans le système cartésien. i) Exprimer γ⃗(M), le vecteur accélération du chariot dans le cartésien. système cartésien. EXERCICE III-28 Un point matériel M en mouvement décrit une trajectoire r = R(1 + cosθ); plane d’équations horaires : = θ = ωt R et ω sont des constantes. θ = 0, 4 , 2 , 4 , … a) Trouver les coordonnées des points particuliers : π π 3π b) Représenter l’allure de la trajectoire du mouvement du point c) Exprimer OM⃗, le vecteur position du point matériel dans le matériel. système polaire de vecteurs unitaires (u⃗r , u⃗θ ). 39 d) Exprimer V⃗(M), le vecteur vitesse du point dans le même système. e) Calculer la norme de cette vitesse. EXERCICE III-29 donnée dans la base des vecteurs unitaires (O, ⃗i, ⃗j, k⃗) par : L’accélération d’un point matériel M en mouvement est γ⃗ = bt ⃗i + ct2 ⃗j a) Etablir V⃗(M), l’expression du vecteur vitesse du point M. b) Etablir OM⃗, l’expression du vecteur position du point M. c) La donnée du vecteur accélération suffit-elle à caractériser le mouvement. d’une vitesse initiale v0 dirigée selon Ox, trouver OM⃗, le d) Si le point M était à l’origine à l’instant initial et était animé vecteur position de ce point en fonction du temps. e) Donner l’équation de la trajectoire pour ce dernier mouvement. EXERCICE III-30 Dans un repère orthonormé (O, ⃗i, ⃗j, k⃗), un mobile assimilé à un point matériel décrit une trajectoire donnée par : ? ); x = 4t2 t3 y = 4(t - 3 a) Exprimer V⃗(M), le vecteur vitesse de ce mobile. 3 z = 3t + t b) Déduire l’angle entre le vecteur vitesse et l’axe Oz. 40 EXERCICE III-31 Dans un repère orthonormé (O, ⃗i, ⃗j, k⃗), deux mobiles M et P assimilables à des points matériels, de même masse m suivent deux trajectoires d’équations horaires : M: x = 4t2 ; y = 4t4 – 1 ; z=0 P: x = 4ω ; y = 4ω2 – 1 ; z=0 4 Où ω est une fonction du temps telle que : t = ω + 3 ω3 a) Ecrire l’expression de la trajectoire du mobile M. Tracer-la dans le plan Oxy. b) Ecrire l’expression de la trajectoire du mobile P. Tracer-la dans le même plan. c) Ecrire l’expression t = f(x) du mobile M. Tracer-la dans le plan Oxy. d) Ecrire l’expression t = f(x) du mobile P. Tracer-la dans le même plan. e) Donner la position de chaque mobile à l’instant t = 0. f) Parmi les deux mobiles, lequel démarre plus rapidement. g) Quand est ce que l’autre mobile le rattrape. Le dépasse-t-il ? h) Déterminer graphiquement l’instant de la rencontre des deux mobiles. i) Déterminer analytiquement l’instant de la rencontre des deux mobiles. j) Calculer les composantes du vecteur vitesse du mobile M. k) Calculer la norme de la vitesse du mobile M. l) Calculer les composantes du vecteur vitesse du mobile P. m) Calculer la norme de la vitesse du mobile P. EXERCICE III-32 fonction du temps est donnée par : OM⃗ = ⃗i + 4t2 ⃗j + t k⃗. Une particule se déplace de telle manière que sa position en 41 a) Trouver V⃗(M), l’expression du vecteur vitesse de cette b) Trouver γ⃗ (M), l’expression du vecteur accélération de cette particule. particule. c) Quelle est la nature du mouvement de la particule ? d) Quelle est la valeur de la vitesse de la particule à l’instant t = 3s. EXERCICE III-33 Un point matériel est repéré par ces coordonnées cartésiennes: x(t) = αt2 et y(t) = βt2 avec α et β constants. a) Trouver les deux composantes ẋ (t) et ẏ (t) de la vitesse du point matériel en fonction de α et β. b) En déduire la norme de sa vitesse en fonction de α et β. c) Trouver les deux composantes ẍ (t) et ÿ (t) de l’accélération du point matériel en fonction de α et β. d) En déduire la norme de son accélération en fonction de α et β. EXERCICE III-34 Un point matériel se déplace dans le plan Oxy. Il décrit la courbe d’équation en coordonnées polaires : r = a (1 + cosθ) où a est une longueur et θ = ωt avec ω constante. a) Exprimer OM⃗, vecteur position du point matériel dans la base vectorielle cartésienne (i⃗, ⃗j) en fonction de r et ω. b) Exprimer V⃗(M), vecteur vitesse du point matériel dans la c) Exprimer OM⃗, vecteur position du point matériel dans la base même base vectorielle. vectorielle polaire (u⃗r , u⃗θ ) en fonction de r et ω. d) Exprimer V⃗(M), vecteur vitesse du point matériel dans la e) Exprimer γ⃗(M), vecteur accélération du point matériel dans la même base vectorielle. même base vectorielle. 42 EXERCICE III-35 Dans un repère orthonormé (O, ⃗i, ⃗j, k⃗), un point matériel M se déplace suivant une courbe hélicoïdale. Sa trajectoire est donnée par l’équation paramétrique : @ ; 0 < θ < 2π et r constant x = r cosθ y = r sinθ avec z = r (2π – θ) a) Exprimer OM⃗, vecteur position du point matériel dans la base vectorielle cartésienne (i⃗, ⃗j, k⃗) en fonction de r et θ. b) Exprimer V⃗(M), vecteur position du point matériel dans la c) Exprimer γ⃗(M), vecteur accélération du point matériel dans la même base vectorielle. d) Exprimer γ⃗(M), vecteur accélération du point matériel dans la même base vectorielle. e) Exprimer OM⃗, vecteur position du point matériel dans la base même base vectorielle. vectorielle cylindrique (u⃗r , u⃗θ , k⃗) en fonction de r et θ. f) Exprimer V⃗(M), vecteur vitesse du point matériel dans la g) Exprimer γ⃗(M), vecteur accélération du point matériel dans la même base vectorielle. même base vectorielle. 43 44 CHAPITRE IV DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL 45 46 RAPPEL DE COURS La dynamique relie le mouvement d’un point matériel à ses causes. Les causes du mouvement d’un corps sont appelées les efforts mécaniques ou actions ou forces. La force est une grandeur vectorielle. Référentiel : Un référentiel est un système d’axes lié à un observateur. Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’un point matériel est définie par : p⃗ = m v⃗ Les trois principes de la dynamique (les lois de Newton) : 1. principe d’inertie : Dans un référentiel galiléen, un corps isolé (qui n’est soumis à aucune force), est soit au repos, soit en mouvement rectiligne et uniforme. p⃗ = cte⃗ Ce qui est équivalent au principe de conservation de la quantité de mouvement en absence de force : 2. principe fondamental de la dynamique : Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces qui s’exercent sur un corps est égale au produit de sa masse par son C F⃗ = m γ⃗ vecteur accélération. dp⃗ ou en introduisant la quantité de mouvement : C F⃗ = dt 47 3. principe d’action et de réaction : La force exercée par un premier corps sur un deuxième corps est égale et opposée à la force exercée par le deuxième sur le premier : F⃗AB = - F⃗BA p⃗A + p⃗B = cte⃗ Ce qui est équivalent au principe de conservation de la quantité de mouvement totale : Référentiel galiléen : Un référentiel est galiléen si le principe d’inertie s’applique. Moment cinétique d’un point matériel: vitesse v⃗, par rapport au point O est défini par : Le moment cinétique d’un point matériel de masse m et de L⃗O = OM⃗ ∧ mv⃗ Moment d’une force : Le moment d’une force appliquée à un point matériel situé au point M, par rapport au point fixe O est défini par : ℳ⃗E (F⃗) = OM⃗ ∧ F⃗ Théorème de la variation du moment cinétique : La variation du moment cinétique est égale au moment de la résultante des forces par rapport au point fixe O. dL⃗O = ℳ⃗O &F⃗' Dans le cas d’une force centrale : OM⃗ ∕∕ F⃗ dt = 0⃗ dL⃗O donc : d’où : L⃗O = cte⃗ dt 48 Dans tous les exercices de ce quatrième chapitre, on travaille dans le référentiel terrestre supposé galiléen. EXERCICE IV-1 Une balle de masse m = 100 g, considéré comme un point matériel est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale. à sa vitesse de type: f⃗= - kv⃗ où k est le coefficient de frottement (0,1 Elle subit des forces de frottements d’expression proportionnelles en SI). a) Ecrire et représenter les différentes forces agissant sur la balle. b) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement de la balle). C’est une équation vectorielle. c) Quelle est la valeur de la vitesse de la balle lorsqu’ elle atteint son altitude maximale ? d) Trouver l’accélération de la balle lorsqu’elle atteint son altitude maximale. e) En supposant que la chute est suffisamment longue pour que la balle puisse atteindre une vitesse limite vlim (vitesse constante), quelle est la valeur de cette vitesse limite ? EXERCICE IV-2 Un flocon de neige assimilé à un point matériel de masse m, tombe verticalement sans vitesse initiale. Il est soumis à une force ⃗f = - k m v⃗ où k est une constante positive. de frottement proportionnelle à sa vitesse v, de la forme : a) Ecrire et représenter les différentes forces agissant sur le flocon. b) Ecrire le principe fondamental de la dynamique. c) En projetant cette équation vectorielle selon l’axe de chute, établir l’équation scalaire du mouvement. d) En tenant compte des conditions initiales, établir v(t) la loi de vitesse du flocon en fonction du temps (la solution générale de cette équation). f) Déterminer vlim , la vitesse limite du flocon en fonction de k et g. e) Représenter v(t) la vitesse du flocon en fonction du temps. 49 EXERCICE IV-3 Un corps supposé point matériel de masse m chute sans vitesse initiale. Dans l’air, il est soumis à une force de frottement visqueux de norme kv2 avec k une constante. a) Comment peut-on comprendre qualitativement l’existence d’une vitesse limite ? b) Déterminer l’expression de cette vitesse limite. c) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement du corps). d) Projeter cette équation vectorielle selon l’axe du mouvement. e) En déduire l’équation différentielle donnant la vitesse du corps en fonction de vlim et g. EXERCICE IV-4 altitude z0 = 100 m. Un point matériel de masse m est lâché sans vitesse initiale d’une Chute sans frottements : a) Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur le point matériel. b) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. c) En projetant cette équation vectorielle selon l’axe de chute, établir l’équation scalaire du mouvement. d) Déduire l’expression de la vitesse du point matériel. e) Déduire l’expression de la position du point matériel. f) Déterminer le temps de la chute. Chute avec frottements : frottement fluide d’expression ⃗f = - µ v⃗ où v⃗ est la vitesse du point On suppose maintenant que la chute se fait avec une force de matériel et µ une constante. 50 g) Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur le point matériel. h) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. i) En projetant cette équation vectorielle selon l’axe de chute, établir l’équation scalaire du mouvement. j) Déduire l’expression de la vitesse du point matériel. k) Déduire l’expression de la position du point matériel. EXERCICE IV-5 Un point matériel de masse m = 20 kg est lâché verticalement sans vitesse initiale. L’air exerce sur ce point une force de frottement opposée à la vitesse et de norme f = α v2 (α un coefficient de frottement positif). On constate que le point matériel atteint une vitesse limite vlim de 45 ms-1. a) Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur le point matériel. b) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. c) En projetant cette équation vectorielle selon l’axe de chute, établir l’équation scalaire du mouvement. d) Trouver l’expression du coefficient α en fonction de vlim , m et g. e) En déduire la valeur de α. EXERCICE IV-6 Une pierre de masse m assimilé à un point matériel est lancée verticalement vers le haut depuis un point O avec une vitesse v0. Une force de frottement de la part de l’air de norme : Ff = k v2 est opposée à la vitesse de l’objet. (k est une constante positive). 51 Ascension : a) Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur l’objet. b) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. c) En projetant cette équation vectorielle selon l’axe du mouvement, établir l’équation scalaire du mouvement. d) A partir de cette équation différentielle du premier ordre, déterminer v(z), la vitesse de la pierre en fonction de son altitude. e) Calculer zmax , l’altitude maximale atteinte. Descente : Avec les conditions initiales de la descente : z = zmax et v = 0, f) Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur l’objet. g) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. h) En projetant cette équation vectorielle selon l’axe du mouvement, établir l’équation scalaire du mouvement. i) A partir de cette équation différentielle du premier ordre, déterminer v(z), la vitesse de l’objet en fonction de son altitude. j) Calculer la vitesse de l’objet lorsqu’il atteint le sol. Pour simplifier les calculs, faire apparaitre dans les expressions les termes : C = H mg m et l =. k 2k EXERCICE IV-7 Une bille d’acier de masse m et de rayon R, assimilée à un point matériel, est lâchée en O sans vitesse initiale dans un liquide de coefficient de viscosité η. Ce liquide exerce sur la bille deux types de forces : - la poussée d’Archimède π⃗ ; 52 - une force de frottement F⃗fr = - 6(3,14)ηRv⃗ où v⃗ est le vecteur vitesse de la bille. On donne : ρ la masse volumique de l’acier = 7800 kgm-3 ρ0 la masse volumique du liquide = 1260 kgm-3 a) Exprimer π⃗, la poussée d’Archimède en fonction de ρ0 et R. b) Exprimer p⃗, le poids de la bille en fonction de ρ et R. c) Comparer la valeur de la poussée d’Archimède subit par la π bille à son poids P. (Calculer ). P d) Quel pourcentage représente la force d’Archimède par rapport au poids. e) Etablir un bilan des forces appliquées à la bille M. f) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. g) En projetant cette équation vectorielle selon l’axe du mouvement, écrire l’équation scalaire du mouvement. h) Au bout d’un certain temps, la vitesse de la bille tend vers une fonction de ρ, ρ0 , η et R. valeur limite constante. Exprimer cette vitesse limite vlim en EXERCICE IV-8 Un sauteur à l’élastique de masse m = 70 kg assimilé à un point matériel tombe depuis un point A avec un élastique. Pendant les 20 premiers mètres de chute (jusqu’au point B), l’élastique n’est d’aucune utilité et le sauteur est donc en chute libre. a) Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur le sauteur. 53 b) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. c) En projetant cette équation vectorielle selon l’axe de la chute, écrire l’équation scalaire du mouvement. d) En tenant compte des conditions initiales de la chute, établir l’expression de la vitesse du sauteur. e) En tenant compte des conditions initiales de la chute, établir l’expression de la position du sauteur. f) Déterminer le temps de la phase de chute libre (du point A au point B). g) Déterminer vB , la vitesse du sauteur au point B (fin de la phase de chute libre). A partir du point B supposé nouvelle origine du mouvement dans cette phase, l’action de l’élastique est modélisée par un ressort de masse négligeable, de longueur l0 = 20 m et de raideur k = 20 Nm-1. h) En s’intéressant au mouvement au-delà du point B jusqu’à sa fin (point C), établir un bilan des forces appliquées au sauteur. i) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. j) En projetant cette équation vectorielle selon l’axe du mouvement, écrire l’équation différentielle du mouvement La solution d’une telle équation comporte une solution particulaire et une autre solution sans second membre : ω0 = H mg k z(t) = + α cosω0 t + β sinω0 t avec k m Où α et β sont des constantes à définir à partir des conditions initiales (point B). k) Exprimer z(t) en fonction de m, k, ω0 et vB. l) Déterminer zmax (la distance BC). m) Déterminer la hauteur totale de la chute du sauteur (du point A au point C). 54 n) Déterminer l’accélération maximale du sauteur pendant la deuxième phase (entre B et C). On donne : α sinωt + β cosωt = Hα2 + β2 cos (ωt + φ) EXERCICE IV-9 Un plongeur de masse m = 80 kg, assimilé à un point matériel, saute sans vitesse initiale d’un plongeoir situé à une hauteur h = 10 m au-dessus de la surface de l’eau. On suppose qu’il est soumis uniquement à la force de pesanteur (chute libre). a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement du plongeur). b) Déduire l’équation du scalaire du mouvement en projetant cette équation vectorielle suivant l’axe du mouvement. c) En déduire l’expression de la vitesse du baigneur. d) En déduire l’expression de sa position. e) Déterminer le temps de chute (le temps d’entrée dans l’eau). f) Déterminer veau , la vitesse d’entrée dans l’eau. Lorsqu’il est dans l’eau, le baigneur subit, en plus de la pesanteur : - une force de frottement F⃗fr = - k v⃗ (v⃗ étant la vitesse et k une constante = 250 kgs-1 ) ; - et une poussée d’Archimède π⃗ = - g⃗ m (d étant la densité du d corps humain = 0,9). g) Ecrire le principe fondamental de la dynamique. h) Trouver l’équation du mouvement. i) En déduire l’équation différentielle que vérifie la vitesse du plongeur. j) En tenant compte des nouvelles conditions initiales (l’entrée du baigneur dans l’eau), écrire v(t), la solution générale de cette équation. k) En déduire vlim , la vitesse limite du baigneur. l) Déterminer à quel instant le plongeur commence à remonter. 55 EXERCICE IV-10 Un point matériel M de masse m est relié au point fixe O par un fil inextensible de longueur OM = l et de masse négligeable. A t = 0, on abandonne l’ensemble sans vitesse initiale, le fil faisant un angle θ0 avec la verticale. On néglige tous les frottements. matériel dans la base (u⃗r , u⃗θ , k⃗) liée à ce point. a) Ecrire et représenter les différentes forces agissant sur le point OM⃗, le vecteur position de M dans la même base de vecteurs ; b) Exprimer : V⃗(M), le vecteur vitesse du point M ; γ⃗(M) le vecteur accélération du point M. c) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement du point matériel). d) En déduire l’équation scalaire du mouvement du point matériel M. e) En déduire aussi la tension T du fil. f) Que devient cette équation dans le cas des petites oscillations. La solution générale de cette équation différentielle est de la forme : θ(t) = θ1 cosωt + θ2 sinωt - Déterminer les constantes du mouvement θ1 et θ2. - En déduire la solution θ(t). - En déduire la période du mouvement. EXERCICE IV-11 L’ensemble du fil, de longueur l et du point matériel M de demi-angle α à la vitesse angulaire θ̇ constante. On néglige tous les masse m qui lui est attaché, décrit un cône d’axe vertical et de frottements. 56 α θ̇ M matériel dans la base (u⃗r , u⃗θ , k⃗) liée au point M. a) Ecrire et représenter les différentes forces agissant sur le point OM⃗, le vecteur position de M dans la même base de vecteurs ; b) Exprimer : V⃗(M), la vitesse du point M ; γ⃗(M) son accélération. c) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement du point matériel). e) En déduire l’angle α en fonction de la vitesse angulaire θ̇. d) En déduire l’équation scalaire du mouvement. EXERCICE IV-12 Un point matériel M de masse m est suspendu à un fil inextensible de longueur l. L’autre extrémité O1 du fil se déplace horizontalement le long de l’axe OX en effectuant des oscillations sinusoïdales d’amplitude A et de pulsation Ω constante. OO1 = A sinΩt 57 O1 O X θ M Y le pendule est au repos : θ = 0 et θ̇ = 0. Initialement, Calculer OM⃗, le vecteur position du point matériel M. En déduire V⃗(M), le vecteur vitesse du point matériel M. a) En déduire γ⃗ (M), le vecteur accélération du point matériel M. b) c) d) Etablir un bilan des forces appliquées au point matériel M. (Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur M). e) Etablir les deux équations scalaires en projetant cette équation Simplifier l’équation du mouvement en supposant que θ, θ̇ et θ̈ vectorielle selon les deux axes. f) sont infiniment petits et du premier ordre. En déduire l’équation du mouvement θ̈ (t) en fonction de g) Calculer dans ce cas, T, la tension du fil. h) A, Ω, l et g. La solution de cette équation différentielle s’écrit sous la forme : θ(t) = θ1 (t) + θ2 (t) où θ1 (t) est la solution générale sans second membre θ1 (t) = A1 sinω0 t + A2 cosω0 t où ω0 = H l ; g et θ2 (t) est une solution particulière θ2 (t) = B sinΩt i) En tenant compte des conditions initiales, exprimer la solution θ(t) en fonction de A, Ω et l. 58 EXERCICE IV-13 Soit un ressort parfaitement élastique de masse négligeable, de raideur k et d’axe vertical comme indiqué sur la figure. Le référentiel qui lui est lié est considéré comme galiléen. M est un point matériel de masse m attaché à ce ressort. On abandonne le point M sans vitesse initiale avec une élongation x = x0. O M x a) Ecrire et représenter les différentes forces agissant sur le point matériel. b) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement du point matériel). c) Que devient cette équation en la projetant sur l’axe du mouvement Ox. d) Le mouvement du point matériel est rectiligne sinusoïdal. Donner sa pulsation ω0 ainsi que sa période T. e) La solution générale de l’équation du mouvement est de la forme : x(t) = A cosω0 t + B sinω0 t déterminer les constantes du mouvement A et B. f) En déduire la solution x(t). 59 EXERCICE IV-14 Un point matériel M de masse m est relié à un ressort horizontal de raideur k et de longueur à vide l0. L’autre extrémité du ressort est fixe en A. Le point M glisse sans frottement sur un plan le long de l’axe Ox. l0 M A O x 5 la base vectorielle (i⃗, ⃗j), ⃗i est suivant Ox. a) Etablir un bilan des forces appliquées au point matériel M dans b) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. vectorielle selon les axes de la base vectorielle (i⃗, ⃗j). c) Etablir les équations scalaires en projetant cette équation d) Parmi ces équations, identifier l’équation du mouvement. e) De quel type d’équation s’agit-il ? f) Déterminer ω0 , la pulsation propre du mouvement. g) En déduire T, la période du mouvement. La solution d’une telle équation a la forme : x(t) = A1 cosω0 t + A2 sinω0 t où A1 et A2 sont des constantes à trouver à partir des conditions initiales du mouvement du point matériel. A l’instant t = 0, le point matériel est abandonné sans vitesse initiale d’un point d’abscisse x0. 60 h) Déterminer x(t), l’équation horaire du mouvement du point matériel en fonction de x0 et ω0. i) En déduire la force de rappel du ressort en fonction de x0 , ω0 et k. EXERCICE IV-15 Un point matériel M de masse m est attaché à deux ressorts horizontaux de raideurs k1 et k2 et de longueurs à vide l01 et l02 reliés à deux points fixes distants de (l01 + l02). Le point M glisse sans frottement le long de l’axe Ox à partir de sa position d’équilibre. A l’instant t = 0, le point matériel est abandonné sans vitesse initiale d’un point d’abscisse x0. M A O x a) Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur le point M. b) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. c) Etablir les deux équations scalaires en projetant cette équation vectorielle selon les axes d’une base vectorielle. d) Identifier l’équation du mouvement. e) De quel type d’équation s’agit-il ? f) Déterminer ω0 , la pulsation propre du mouvement. g) Déterminer T, la période du mouvement. h) Que peut-on conclure sur l’association de deux ressorts ? La solution d’une telle équation a la forme : x(t) = A1 cosω0 t + A2 sinω0 t où A1 et A2 sont des constantes à définir à partir des conditions initiales du mouvement du point matériel. i) Déterminer x(t), l’équation horaire du mouvement du point matériel en fonction de x0 et ω0. 61 EXERCICE IV-16 Un point matériel M de masse m est fixé à deux ressorts verticaux identiques de raideur k et de longueur l0 au repos. La distance entre les deux extrémités fixes des ressorts est notée L. x L M a) Etablir à l’équilibre le principe fondamental de la dynamique. b) Etablir l’équation scalaire en projetant cette équation vectorielle selon l’axe vertical. fonction de m, k, g et L. c) En déduire à l’équilibre les longueurs l1 et l2 des ressorts en A l’instant t = 0, le point matériel est déplacé horizontalement de x0 et relâché sans vitesse initiale. élastiques des ressorts (mg ≪ kL), que deviennent les longueurs l1 d) En supposant que le poids est négligeable devant les forces et l2. e) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. f) Etablir l’équation scalaire ẍ , en projetant cette équation vectorielle selon l’axe du mouvement de M, l’axe horizontal. horizontaux x ≪ L. g) Réécrire l’équation précédente en supposant les petits déplacements h) Calculer ω, la pulsation du mouvement de M. i) Calculer T, la période du mouvement de M. 62 La solution générale de l’équation du mouvement est de la forme : x(t) = A cosωt + B sinωt j) Déterminer les constantes du mouvement A et B à partir des conditions initiales du mouvement. k) En déduire la solution x(t). EXERCICE IV-17 Un mobile M, de masse m, glisse sans frottements sur un plan incliné faisant un angle α = 20° avec l’horizontale. a) La réaction du plan incliné existe-elle ? Si oui, représenter-la, et donner sa valeur en fonction de la masse m du mobile. O M α X b) En étudiant le bilan des forces agissant sur le mobile, déterminer la nature du mouvement du mobile. c) Ecrire le principe fondamental de la dynamique à l’équilibre (l’équation du mouvement). d) Projeter cette équation selon l’axe du mouvement pour trouver l’équation scalaire du mouvement. e) Calculer l’accélération du mouvement. EXERCICE IV-18 Un paquet de masse m = 10 kg supposé point matériel glisse hauteur OA = h = 4 m et de base OB = d = h. sans vitesse initiale à partir du point A sur un plan incliné de 63 A M α B O x Le plan exerce sur le paquet une réaction normale R⃗N ainsi qu’une réaction tangentielle R⃗ N (frottement solide) telle que : R⃗T = f R⃗N avec f = 0,5 appelé coefficient dynamique. a) Représenter et écrire les différentes forces agissant sur le paquet. b) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement du paquet). c) Projeter cette équation vectorielle selon les deux axes, l’un Ax suivant le mouvement du paquet et l’autre lui est perpendiculaire, pour trouver les deux équations scalaires qui régissent le mouvement du paquet. d) En déduire RN et RT en fonction de m, g, f et α. e) Ecrire l’expression de l’accélération du paquet. f) En déduire sa vitesse. g) Donner x(t), l’expression de la position du paquet en fonction du temps. h) Quel est le temps nécessaire au paquet pour qu’il atteigne le point B. 64 EXERCICE IV-19 Deux corps S1 et S2 assimilés à des points matériels de masses m1 et m2 sont liés par un fil idéal (souple, inextensible et d’inertie négligeable) passant par une poulie idéale (inertie négligeable). S1 glisse sans frottement sur un plan incliné d’angle α et S2 se déplace verticalement. S1 S2 α a) Représenter les différentes forces s’exerçant sur S1. b) Représenter les différentes forces s’exerçant sur S2. c) Etablir l’équation du mouvement de S1 à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique selon l’axe du mouvement. d) Etablir l’équation du mouvement de S2 à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique selon l’axe du mouvement. e) Déterminer l’accélération des deux solides en fonction de m1 , m2 , g et α. EXERCICE IV-20 Un point matériel M de masse m est relié à un ressort de raideur k et de longueur l0 au repos. L’autre extrémité du ressort est liée au point fixe O d’un plan incliné d’un angle α. On néglige les frottements. 65 y O M α x a) Etablir un bilan des forces appliquées au point matériel M, à l’équilibre. b) A l’état d’équilibre (en absence de mouvement), la position de M est xe. Etablir, à l’équilibre, le principe fondamental de la dynamique. c) Déterminer xe en fonction de m, k, g, l0 et α. A partir de la position d’équilibre, M est déplacé d’une distance d puis relâché sans vitesse initiale. d) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. e) En projetant cette équation vectorielle selon les deux axes, écrire l’équation du mouvement en fonction de xe. f) En posant x1 = x - xe , résoudre l’équation du mouvement. g) En déduire x(t). EXERCICE IV-21 Un individu de masse M assimilé à un point matériel, fait un bond (il saute depuis le sol vers l’avant) à partir d’un point O avec une vitesse initiale v0 faisant un angle α avec le sol. On considère qu’il n’y aucune force de frottement dans l’air. a) Ecrire v⃗0 , l’expression du vecteur vitesse de l’individu dans une base vectorielle (i⃗, ⃗j) adéquate. 66 b) Ecrire l’expression des différentes forces agissant sur l’individu. c) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement de l’individu). ẍ et ÿ les deux équations scalaires du mouvement. d) Projeter cette équation vectorielle sur les deux axes pour obtenir e) Déterminer ẋ et ẏ les deux équations de la vitesse en fonction du temps. f) En déduire x et y les deux équations du mouvement de l’individu. g) En déduire y(x), l’équation de la trajectoire de l’individu. h) L’individu retombe sur le sol pour y = 0, trouver la distance d parcourue lors de ce saut en fonction de v0 et α. EXERCICE IV-22 Un joueur de basket-ball est à une distance D du panneau. Il tire son ballon (supposé point matériel) d’une hauteur h au dessus du sol en imposant une vitesse initiale v0 faisant un angle α avec l’horizontal. Le cercle du panneau est situé à une hauteur H. On néglige les frottements de l’air. a) Quelles sont les différentes forces agissant sur le ballon. b) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement du ballon lors du tir). c) A partir de la projection de cette équation, donner ẍ et ÿ les deux équations scalaires du mouvement du ballon. d) En prenant compte des conditions initiales, déduire ẋ et ẏ les deux équations de la vitesse du ballon. e) En prenant l’origine au sol sous le panneau, déduire x et y les équations de la position du ballon. f) Déterminer y(x), l’équation de la trajectoire du ballon. 67 EXERCICE IV-23 Une bille est lancée depuis le sol avec une vitesse initiale v⃗0. Le vecteur vitesse forme avec l’horizontal un angle α. On néglige tout frottement. L’origine O du repère adéquat Oxz correspond à la position initiale de la bille. a) Quelles sont les forces s’exerçant sur la bille. b) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (l’équation du mouvement). c) En projetant l’équation du mouvement selon les deux axes Ox et Oz, déterminer ẍ et z̈ les deux équations scalaires du mouvement de la bille. d) Déduire ẋ et ż les deux composantes de la vitesse de la bille selon les deux axes Ox et Oz. e) En introduisant les conditions initiales, déduire x(t) et z(t) les équations horaires du mouvement de la bille en fonction de l’angle α. f) Déterminer z(x), l’équation de la trajectoire. g) Quelle est la nature de cette trajectoire. h) Exprimer zmax l’altitude maximale en fonction de α. i) Quelle est la valeur de l’angle α qui rend cette altitude maximale. j) La portée du tir correspond à l’abscisse xmax de la bille lorsqu’elle retombe sur le sol. Exprimer cette portée en fonction de α. k) Quelle est la valeur de l’angle α qui rend cette portée maximale. l) Soit un point M0 (x0 , y0 ) de l’espace. Etablir l’équation donnant les valeurs de α permettant à la bille d’atteindre ce point. C’est une équation trigonométrique de second degré. discriminent Q. Que signifie les cas Q < 0, Q = 0 et Q > 0. m) La résolution de cette équation dépend du signe du 68 EXERCICE IV-24 vitesse v⃗0 faisant un angle θ avec l’horizontal Ox. Le point subit Un point matériel de masse m est lancé depuis O avec une une force de frottement fluide dont la norme est proportionnelle à la vitesse : F⃗fr = - k v⃗ avec k > 0. Quelles sont les forces s’exerçant sur le point matériel. a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique. C’est l’équation du mouvement, une équation vectorielle. b) Déduire les deux équations scalaires du mouvement de la bille ẍ et z̈ en projetant l’équation du mouvement selon les deux axes Ox et Oz. c) Déduire ẋ (t) et ż (t) les deux composantes de la vitesse du point selon les deux axes Ox et Oz. d) En introduisant les conditions initiales, déduire x(t) et z(t) les équations horaires du mouvement du point. e) Déterminer tapogée , le temps pour lequel le point atteint son altitude maximale zmax. f) Déterminer xapogée , l’abscisse pour laquelle le point atteint son altitude maximale. EXERCICE IV-25 vitesse v⃗0 faisant un angle θ avec l’horizontal Ox. Le point subit Un point matériel de masse m est lancé depuis O avec une Ffr = αfr v avec αfr > 0. une force de frottement opposée à la vitesse et de norme : a) Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur le point matériel. b) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. Faire dv⃗ apparaitre le vecteur vitesse v⃗ et dans cette équation. dt 69 vitesse v⃗, solution de cette équation différentielle. c) En prenant compte des conditions initiales, écrire le vecteur d) En déduire les deux composantes x(t) et z(t) du vecteur position. e) Ecrire z(x), l’équation de la trajectoire du mouvement du point matériel. EXERCICE IV-26 Soit un point matériel animé d’un mouvement circulaire uniforme. a) A-t-il une accélération ? b) Si oui, elle est dans quelle direction, son accélération ? c) Ce point, est-il-isolé ? EXERCICE IV-27 angulaire ω = θ̇ constante autour de l’une de ses extrémités. Un tube creux tourne dans le plan horizontal à la vitesse L’axe de rotation Oz étant vertical. Une bille de masse m assimilée à un point matériel M se déplace sans frottement à l’intérieur de ce tube. A l’instant initial, la bille est lâchée sans vitesse initiale à partir d’une distance r0 de l’axe vertical. ω⃗ M 70 a) Dans un repère lié à la tige de vecteurs de base (u⃗r , u⃗θ , k⃗), Etude cinématique : exprimer le vecteur positon OM⃗ de la bille. u⃗r est supposé b) En déduire V⃗(M), le vecteur vitesse de la bille dans la même suivant la tige. c) En déduire γ⃗ (M), le vecteur accélération de la bille dans la base vectorielle. même base vectorielle. d) Représenter et écrire dans la base vectorielle (u⃗r , u⃗θ , k⃗) les Etude dynamique : différentes forces s’exerçant sur la bille. e) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. f) Etablir les trois équations scalaires du mouvement en projetant cette équation vectorielle selon les trois axes de la base vectorielle. g) Parmi ces trois équations, identifier l’équation du mouvement. h) Résoudre cette équation, sachant que la solution d’une équation différentielle linéaire est une fonction du temps construite à partir de la fonction exponentielle : r(t) = A eωt + B e-ωt i) Quelle est l’allure de la trajectoire de la bille ? EXERCICE IV-28 Un point matériel M de masse m est initialement au sommet d’un demi cercle de rayon R. A l’instant t = 0, le point matériel est lâché sans vitesse initiale. verticale et la direction OM⃗ où O est le centre du cercle. On néglige Lors de son déplacement, un angle θ est mesuré entre la les forces de frottement. 71 M θ O On distinguera : i) le mouvement de point M au contact du cercle ; ii) le mouvement qui suit le décollement. a) Au contact du cercle, exprimer le vecteur position OM⃗ en Etude cinématique : fonction de R et θ, dans la base vectorielle (u⃗r , u⃗θ ) liée au point b) En déduire V⃗(M), le vecteur vitesse du point matériel, toujours matériel. c) En déduire γ⃗ (M), le vecteur accélération du point matériel, au contact avec le cercle. toujours au contact avec le cercle. d) Représenter et écrire dans la base vectorielle (u⃗r , u⃗θ ), les Etude dynamique : différentes forces s’exerçant sur le point matériel. e) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. f) Etablir les deux équations scalaires en projetant cette équation vectorielle selon les axes de la base vectorielle. g) Parmi ces deux équations, identifier l’équation du mouvement. fonction de θ̇ et θ. h) Déduire le module de la réaction de la surface du cercle en 72 i) Afin de trouver l’équation connue sous le nom d’ ‘‘intégrale par θ̇ , puis intégrer-la. première du mouvement’’, multiplier l’équation du mouvement j) En déduire l’expression de la réaction du cercle en fonction de m, g et θ. k) Quelle est l’angle θdecol pour lequel le point M quitte le cercle. l) Quelle est la nature du mouvement du point matériel après décollage ? EXERCICE IV-29 Un homme fait tourner une balle de masse m assimilée à un point matériel M attachée à un fil de masse négligeable et de longueur R = OM. La trajectoire de la balle est un cercle de centre O qui se fait dans le plan vertical. On néglige les frottements ainsi que le mouvement de la main de l’homme. M O θ 73 la base vectorielle (u⃗r , u⃗θ ) liée au point matériel. a) Etablir un bilan des forces appliquées au point matériel M dans b) Ecrire l’expression de γ⃗(M), le vecteur accélération du point matériel dans la même base. c) Etablir l’équation vectorielle du mouvement à partir de l’application du principe fondamental de la dynamique. d) Etablir les deux équations scalaires en projetant cette équation vectorielle selon les axes de la base vectorielle. e) Parmi ces deux équations, identifier l’équation du mouvement. f) Déterminer T, l’expression de la tension du fil. détende pas, c'est-à-dire qu’il faut que T ≥ 0. Pour que la balle reste sur le cercle, il faut que le fil ne se dans la plus haute position (θ = ) sans que le fil ne se g) Déterminer la vitesse minimum vmin que doit avoir la balle π détende. EXERCICE IV-30 Un footballeur tire un penalty à l’aide d’un ballon de masse m = 0,45 kg avec une force d’impact de 560 N. la durée de frappe est de 20 ms. a) Ecrire l’expression de la quantité de mouvement du ballon. b) Ecrire le théorème de la variation de la quantité de mouvement. c) En déduire la vitesse du ballon juste après la frappe. d) En supposant que le mouvement du ballon est uniforme, trouver le temps nécessaire pour que le ballon arrive à la ligne de buts distancée de 11 m du point du tir. e) Pensez-vous que le gardien aura le temps d’intercepter le ballon ? 74 EXERCICE IV-31 Une balle A de masse m est tirée dans la direction d’une boite en bois de masse M sur un plan horizontal. Juste avant le choc, la balle a une vitesse vA. Le choc est supposé mou, la balle pénètre le bois et l’ensemble se déplace à la vitesse vB. a) Ecrire la quantité de mouvement de l’ensemble (balle + boite) avant le choc. b) Ecrire la quantité de mouvement de l’ensemble après le choc. c) Etablir le principe de la conservation de la quantité de mouvement. d) En déduire la vitesse vB de l’ensemble après le choc. EXERCICE IV-32 Un astronaute de 80 kg dans l’espace tient dans ses mains un objet de 4 kg. Ils sont initialement immobiles dans l’espace. L’astronaute lance l’objet de sorte que celle-ci se déplace avec une vitesse de 5 ms-1. Quelle est la vitesse de l’astronaute après le lancement de l’objet ? EXERCICE IV-33 Une personne de 60 kg au repos sur une planche à roulette attrape une balle de baseball de masse 0,14 kg allant à 44 ms-1. Quelle sera la vitesse de la personne (avec la balle dans les mains) après l’attrapée ? EXERCICE IV-34 Un canon de 500 kg, initialement au repos, lance un obus de 5 kg avec une vitesse de 350 ms-1. Quelle est la vitesse du recul du canon après le départ de l’obus ? 75 EXERCICE IV-35 Un chien de 10 kg est sur un radeau de 30 kg. Initialement, le radeau et le chien sont immobiles. Puis le chien commence à marcher dans une direction avec une vitesse de 8 ms-1. Quelle est la vitesse du radeau ? EXERCICE IV-36 Une bombe de 100 kg se déplaçant à 8 ms-1 explose en trois fragments. Si la vitesse et la direction des fragments de 30 kg et 45 kg sont celles indiquées sur la figure, quelle est la vitesse du fragment de 25 kg ? 25 kg 100 kg 45 kg 30 ms-1 8 ms-1 30 kg 135° 25 ms-1 EXERCICE IV-37 Une voiture de 1200 kg et de vitesse 50 kmh-1 entre en collision avec un camion de 5400 kg et de vitesse 50 kmh-1. Quelle sera la vitesse des véhicules après la collision s’ils restent collés ensemble ? EXERCICE IV-38 Une balle de 1 kg allant à 5 ms-1 vers la droite entre en collision parfaitement élastique avec une balle de 2 kg allant vers la gauche à 2 ms-1. Quelle est la vitesse de chaque balle après la collision ? 76 EXERCICE IV-39 Soit un point matériel soumis à une force F⃗ = F ⃗i. Avec : F = 103 N; l = 1 m et θ0 = 45° ⃗j A O ⃗i θ0 B M F⃗ C a) Exprimer ℳ⃗E (F⃗), le moment de la force F⃗ par rapport au point b) Exprimer ℳ⃗R (F⃗), le moment de la force F⃗ par rapport au point O. Calculer sa norme. c) Exprimer ℳ⃗S (F⃗), le moment de la force F⃗ par rapport au point B. Calculer sa norme. d) Exprimer ℳ⃗T (F⃗), le moment de la force F⃗ par rapport au point A. Calculer sa norme. C. Calculer sa norme. EXERCICE IV-40 masse m relié au point fixe O par un fil inextensible de longueur l Un pendule simple est constitué d’un point matériel M de 77 et de masse négligeable. A t = 0, on abandonne l’ensemble sans vitesse initiale, le fil faisant un angle θ0 avec la verticale. On néglige tous les frottements. a) Ecrire OM⃗, le vecteur position du point matériel, dans la base (u⃗r , u⃗θ , k⃗) liée à ce point. b) Ecrire V⃗(M), le vecteur vitesse du point matériel. c) Ecrire L⃗E , le moment cinétique du point matériel par rapport au point O. dL⃗O d) Calculer , la variation de ce moment cinétique. dt e) Représenter et écrire les différentes forces agissant sur le f) Calculer ℳ⃗E (P⃗), le moment du poids de M par rapport au point point matériel. g) Calculer ℳ⃗E (T⃗), le moment de la tension du fil par rapport au O. h) En déduire ℳ⃗E (F⃗), le moment total des différentes forces par point O. rapport au point O. i) En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à O, déterminer l’équation du mouvement du point matériel. j) Que devient cette équation dans le cas des petites élongations angulaires. La solution générale de cette équation différentielle est de la forme k) Déterminer les constantes du mouvement A et B. θ(t) = A cosωt + B sinωt l) En déduire la solution θ(t). m) En déduire la période du mouvement. 78 EXERCICE IV-41 L’ensemble du fil de longueur l et du point matériel M de masse m qui lui est attaché, décrit un cône d’axe vertical et de demi-angle α à la vitesse angulaire Ω constante. Voir la figure. On néglige tous les frottements. a) Ecrire L⃗E , le moment cinétique du point matériel par rapport au point O. O α dL⃗O M b) Calculer Ω ce moment cinétique. , la variation de dt c) Représenter et écrire les différentes forces agissant sur le point d) Calculer ℳ⃗E (P⃗), le moment du poids de M par rapport au point matériel. e) Calculer ℳ⃗E (T⃗), le moment de la tension du fil par rapport au O. f) En déduire ℳ⃗E (F⃗), le moment total des différentes forces par point O. rapport au point O. g) En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à O, trouver Ω en fonction de g, l et α. 79 EXERCICE IV-42 Un point matériel M de masse m se déplace sans frottements de haut en bas d’une colline. La trajectoire est assimilée à un cercle vertical de centre O et de rayon R. L’angle que fait OM avec la haute (θ = 0) avec une vitesse initiale v0. On choisit une base de verticale est noté θ. Le point matériel démarre de la position la plus vecteurs unitaires (u⃗r , u⃗θ , k⃗) liée au point M. b) Ecrire OM⃗, le vecteur position du point matériel, dans la base a) Représenter les forces s’exerçant sur le point matériel. (u⃗r , u⃗θ , k⃗). c) Ecrire V⃗(M), le vecteur vitesse du point matériel. d) Ecrire L⃗E , le moment cinétique du point matériel par rapport au point O. dL⃗O e) Calculer , la variation de ce moment cinétique. dt f) Ecrire le moment de chaque force agissant sur le point matériel ainsi que le moment total de ces forces, par rapport au point O. g) En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à O, déterminer l’équation du mouvement du point matériel. EXERCICE IV-43 Un point matériel M de masse m est relié à un fil inextensible (de longueur l et de masse négligeable) et à un ressort horizontal (de raideur k et de longueur au repos l0 ). Lorsque le point matériel se trouve au repos, en O1, le fil est vertical. Les petits déplacements (oscillations) de M sont quasi- horizontaux tels que O1M = x 0). La Un point matériel M de masse m glisse le long de l’axe Ox une force de frottement fluide ⃗f = - k v2 ⃗i où v est la vitesse du résistance de l’air à l’avancement du point matériel se traduit par point M et k un coefficient positif de frottement. A l’instant initial, le point M est au point O sans vitesse initiale. a) Etablir un bilan des forces appliquées au point matériel M. (Représenter et écrire les différentes forces s’exerçant sur M). b) Etablir l’équation vectorielle du mouvement en appliquant le principe fondamental de la dynamique. c) Etablir l’équation scalaire (en v) en projetant cette équation vectorielle selon l’axe du mouvement de M, l’axe horizontal. d) D’après cette équation, la vitesse de M croit. Elle atteint une valeur limite vlim. Déterminer cette valeur limite de la vitesse du point matériel en fonction de f0 et k. 90 CHAPITRE V TRAVAIL D’UNE FORCE 91 92 RAPPEL DE COURS Travail d’une force : matériel dans son déplacement élémentaire dl⃗ est : Le travail élémentaire d’une force appliquée à un point dW = F⃗. dl⃗ Le travail total d’une force F⃗ appliquée à un point matériel pour un déplacement entre deux points A et B est : WSR = ∫S F⃗. dl⃗ R Force conservative : Une force est dite conservative si son travail entre deux points ne dépend pas du chemin suivi. Toute force conservative dérive d’une énergie potentielle EP : F⃗ = - grad⃗ EP Si une force dérive d’une énergie potentielle, son travail est égal et opposé à la variation de l’énergie potentielle pendant le trajet : WAB = - ∆ EP Pour l’opérateur grad⃗ , voir l’appendice. EXERCICE V-1 Dans la base vectorielle (i⃗, ⃗j) d’axes Ox et Oy, un point matériel est soumis à une force: F⃗ = 2xy ⃗i + x2 ⃗j croisées, la force F⃗ est-elle conservative ? a) En faisant un raisonnement à l’aide des dérivées partielles 93 b) Sous l’action de cette force F⃗, le point matériel se déplace du point matériel (le travail de la force F⃗) lors de ce déplacement. point O(0,0) au point A(2,0). Calculer le travail reçu par ce c) Calculer le travail de la force F⃗ quand le point est déplacé du point A(2,0) au point B(2,4). d) Calculer le travail total lors de ces deux déplacements e) Calculer le travail de la force F⃗ quand le point matériel se successifs. déplace suivant la courbe y = x2 comprise entre les deux f) La force F⃗ dérive-elle d’une énergie potentielle ? (Est-elle une points O et B directement sans passer par le point A. force conservative ?) Pourquoi ? EXERCICE V-2 Une particule de masse m est soumise à une force : F⃗ = (3x2 + 6y) ⃗i - 14yz ⃗j + 20xz2 k⃗ se déplace de l’origine au point A(1,1,0) puis au point B(1,1,4). a) En faisant un raisonnement à l’aide des dérivées partielles croisées, cette force dérive-t-elle d’une énergie potentielle ? b) Calculer le travail de cette force lors du premier déplacement de la particule de l’origine au point A. c) Calculer le travail de cette force lors du deuxième déplacement de la particule du point A au point B. d) Calculer le travail de cette force lors du déplacement de la particule de l’origine au point B sans passer par A. e) La force F⃗ dérive-elle d’une énergie potentielle ? (Est-elle une force conservative ?) Pourquoi ? 94 EXERCICE V-3 Soit une force définie par F⃗ = y ⃗i + λx ⃗j agissant sur un point matériel. a) En utilisant les dérivées partielles croisées des composantes de la force, pour quelle valeur de λ ce champ est-il un gradient d’une fonction scalaire ? b) Exprimer dans ce cas l’énergie potentielle EP. c) Calculer le travail de cette force de l’origine O(0,0) au point A(1,1): - en suivant les deux segments de droite OC et CA. Le point C est défini par ces coordonnées (1,0). - en suivant la courbe y = x3 reliant le point O au point A. d) Que peut-on conclure sur le travail effectué suivant ces deux chemins. EXERCICE V-4 Soit une force F⃗ = (3x + y) ⃗i + 2xy ⃗j agissant sur un point matériel M. a) Calculer le travail W de cette force entre les points O(0,0) et A(1,2) dans les déplacements selon le segment OH puis le segment HA, H(1,0). b) Déterminer l’équation de l’arc de la parabole reliant O à A. c) Calculer le travail W de la force dans le déplacement suivant cet arc de la parabole reliant O à A. d) Le travail de cette force dépend-il du chemin suivi ? La force F⃗ dérive-elle d’une énergie potentielle ? (Est-elle une force conservative ?) 95 EXERCICE V-5 des vecteurs unitaires polaires F⃗ = 3 (2cosθ u⃗r + sinθ u⃗θ ) où k est Un point matériel est soumis à une force écrite dans la base k r une constante. de rayon r = R et de centre O sur un demi-tour. Le point matériel se déplace suivant un mouvement circulaire a) Ecrire ⃗r, le vecteur position du point matériel dans la base (u⃗r , u⃗θ ). b) En déduire dr⃗, le vecteur position élémentaire. c) Calculer dW, le travail élémentaire de la force F⃗ lors de ce déplacement. d) Calculer W, le travail de cette force. EXERCICE V-6 Un point matériel est soumis à l’action d’une force: F⃗ = (y2 - x2 ) ⃗i + 3xy ⃗j a) Calculer le travail de cette force lorsque le point matériel se déplace de l’origine à un point C(x0 , y0 ) directement. déplace de l’origine au même point C en passant par le point b) Calculer le travail de cette force lorsque le point matériel se A(x0 , 0). déplace de l’origine au même point C en passant par le point c) Calculer le travail de cette force lorsque le point matériel se B(0, y0 ). d) Le travail de cette force dépend-il du chemin suivi. e) La force F⃗ dérive-elle d’une énergie potentielle ? (Est-elle une force conservative). 96 EXERCICE V-7 Un point matériel M est soumis à l’action d’une force de type : F⃗ = k (x2 ⃗i + xy ⃗j ) où k est une constante. Le point M se déplace entre O et A(1,1). a) En raisonnant à l’aide des dérivées partielles croisées, la force F⃗ est–elle conservative ? Dérive-t-elle d’une énergie potentielle ? b) Déterminer W1 , le travail de cette force suivant le chemin direct c) Déterminer W2 , le travail de cette force entre O et A lorsque le allant de O vers A. point matériel suit une trajectoire d’équations paramétriques: x = t et y = - t2 + 2t e) La force F⃗ est–elle conservative ? dérive-t-elle d’une énergie d) Les travaux W1 et W2 sont-ils moteurs ou résistants. potentielle ? EXERCICE V-8 Un point matériel est soumis à l’action de deux forces de nature différente et qui dépendent de la position du point: F⃗1 = a (y2 ⃗i + 2xy ⃗j ) et F⃗2 = a (xy ⃗i + x2 ⃗j ) où a est une constante. F⃗1 est-elle conservative ? a) En utilisant la méthode des dérivées partielles croisées, la force F?

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