Mécanique des Milieux Continus - Cours PDF

Université Ibn Tofail Faculté des Sciences Département de Physique Kénitra MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS (Version modifiée) (S6) Auteur Pr. A.MASLOUHI Mars 2015  Sommaire Chapitre...

Université Ibn Tofail Faculté des Sciences Département de Physique Kénitra MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS (Version modifiée) (S6) Auteur Pr. A.MASLOUHI Mars 2015  Sommaire Chapitre I : Introduction à la mécanique des milieux continus 1- Objet de la mécanique des milieux continus 2- Hypothèses de continuité 3- Cinématique du milieu continu Chapitre II : Etude générale du vecteur contrainte et du tenseur de contrainte 1- Introduction 2- Tenseur de contrainte 3- Equations générale de l’équilibre 4- Application à un fluide au repos 5- Propriétés locales du tenseur des contraintes 6- Directions principales contraintes normales principales 7- Représentation de Mohr Chapitre III : Etude des petites déformations et du tenseur du taux de déformation 1- Le tenseur du gradient du vecteur déplacement 2- Le tenseur du taux de déformation 3- Définitions élémentaires du taux de déformation Chapitre IV : Les relations fondamentales de la dynamique (Les équations de conservation) 1- Rappels mathématiques 2- La dérivée particulaire 3- Les équations de conservation Chapitre V : Application aux écoulements des fluides visqueux 1- Equation de conservation de quantité de mouvement 2- Equation de conservation de l’énergie 3- Formulation mathématique des problèmes de mécanique des fluides 4- Quelques solutions analytiques des équations de Navier-Stokes 2  REFERENCES PRINCIPAUX OUVRAGES EN RAPPORT AVEC LE COURS COURS - Introduction à la mécanique des milieux continus P.Germain P.Muller Edition : Masson - Mécanique expérimentale des fluides expérimentales Auteurs : R. COMOLET et J.BONNIN Tome I Edition : Masson - Mécanique des fluides Eléments d’un premier parcours Auteur : P. chassaing Edition : Polytech EXERCICES - Exercices et problèmes de mécanique des milieux continus J.Obala Edition : Masson - Mécanique expérimentale des fluides expérimentales Auteurs : R. COMOLET et J.BONNIN Tome III Edition : Masson - Mécanique des Fluides Hubert Lumbroso Edition : Dunod 3 CHAPITRE I : INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS 1- Objet de la mécanique des milieux continus La mécanique des milieux continus est le domaine de la mécanique consacré aux mouvements des corps déformables : gaz, liquide ou solide, en utilisant les données et les méthodes de la mécanique rationnelle. La mécanique des milieux continus étudie les corps matériels qui remplissent l’espace de façon ininterrompue, continue, et dont les points changent de distance lors du mouvement. Les problèmes essentiels de la mécanique des milieux continus qui font l’objet d’études sont présentés de la manière suivante : - action d’un fluide sur un corps en mouvement : avion, obus, navires, sous- marins, voitures, etc.… - écoulement d’un fluide dans des tubes ou plus généralement dans divers mécanismes (pompes, turbines, turbomachines) - écoulement d’un fluide dans un milieu poreux - hydrostatique où équilibre des liquides et des corps flottant où immergés - les mouvements des gaz lors d’une explosion où d’une combustion - les mouvements turbulents des fluides - l’étude des mouvements et de l’équilibre des corps solides déformables : la théorie de l’élasticité, fatigue des corps 4 2- Hypothèses de continuité a- continuité du milieu Un milieu continu est un milieu dans lequel toutes les propriétés physiques varient d’une façon continue d’un point à un autre. Par exemple la masse m est une fonction continue des variables x, y, z, t, par tout sauf sur un nombre fini de surfaces ou de lignes (surfaces ou ligues singulière) b- Continuité des transformations Il faut admettre que les fonctions qui composent les équations de mouvement d’un milieu continu, sont continues et dérivables par rapport à toutes les variables, en effet : Deux points infiniment voisins à t =0 restent infiniment voisins à t =T Deux points infiniment voisins à t =T proviennent de deux points infiniment voisins à t =0 Conséquence - un volume Vt = 0 se transforme en un volume VT - une surface fermée St = 0 se transforme en une surface fermée SŦ - une courbe fermée Ct = 0 se transforme en une courbe fermée CŦ - La masse contenue à l’intérieur d’une surface matérielle fermée reste c- Phénomènes ne respectant pas la continuité Formations des trous  Cavitation dans les liquides M’ 5   Fissure dans les solides Glissement relatif de deux parties du milieu  Sillage dans les liquides M M’  Glissement ou failles dans les solides M M 4’ 6 Pour tous ces exemples, il y a une non continuité dans le milieu. M et M’ ne sont pas voisins. 3- Cinématique du milieu continu La cinématique du milieu continu à pour objet d’étudier le milieu en terme de déplacement vitesse et accélération et ceci sans faire intervenir les forces qui entrent en jeu. Pour effectuer cette étude, il est nécessaire de définir la portion du milieu continu dont on étudie le mouvement et le repère de position choisi 3.1- Description du mouvement Pour décrire le mouvement d’une particule du milieu continu, on s’intéressera aux différentes fonctions suivantes : Fonctions vectorielles  x Trajectoire de la particule   dx dx i u Où ui  Vitesse dt dt   du d2xi  Où i  Accélération dt 2 dt Fonctions scalaires P Pression ρ Masse volumique T Température Etc.. Il existe deux méthodes de description du mouvement : - méthode de Lagrange - méthode d’Euler 7  a- Méthode de Lagrange Soit une particule occupant la position M0 (x10, x20, x30) à l’instant t0 et la position M(x1, x2, x3) à l’instant t t0 t1 M0 M x10 x1 x20 x2 x30 x3 Le mouvement de la particule au point M sera connu si : x1= x1 (x10, x20, x30, t ) x2= x2 (x10, x20, x30, t ) x3= x3 (x10, x20, x30, t ) (x10, x20, x30, t ) sont appelées variables de Lagrange La méthode de Lagrange consiste à individualiser une particule du milieu continu et de la suivre dans son mouvement. Les coordonnées de la particule en un point sont exprimées en fonction de la position initiale et du temps. (On s’intéresse à l’histoire d’une particule matérielle déterminée) b- Méthode d’Euler Soit un point M fixe de l’espace de coordonnées (x1, x2, x3)  À l’instant t0 , il y a en M une particule de vitesse U 0  À l’instant t , il y a en M une autre particule de vitesse U ( u1(x1, x2, x3, t) , u2(x1, x2, x3, t) , u3(x1, x2, x3, t) ) 8 ui= ui (xi, t)  u (M,t) t M(x1, x2, x3) Dans la description eulérienne, la description cinématique du mouvement se fait à partir de l’analyse des vitesses des particules en un point fixe. (x 1,x2,x3,t) sont appelés variables d’Euler. En effet, la méthode d’Euler consiste à considérer un point fixe de l’espace et à étudier en fonction du temps, les caractéristiques des autres particules en ce point. (On s’intéresse en un point de l’espace à l’évolution des caractéristiques du milieu) c- Trajectoire et ligne de courant Trajectoire On appelle trajectoire d’une particule, la ligne géométrique de positions qu’elle occupe au cours du temps. La trajectoire est calculée à partir du champ de vitesse :   dx dx i u ; ui  dt dt dx1 dx 2 dx 3 Avec u1  ; u2  ; u3  dt dt dt D’où l’équation de la trajectoire dx1 dx 2 dx 3    dt u1 ( x1 , x 2 , x 3 , t ) u 2 ( x1 , x 2 , x 3 , t ) u 3 ( x1 , x 2 , x 3 , t ) 9 Ligne de courant (visualisation du champ de vitesse) On appelle ligne de courant à l’instant t0, toute courbe tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse des particules. t0 = cte L’équation de la ligne de courant est obtenue à partir de la définition   U dx      u  dx  0 i j k u1 u2 u3 dx1 dx2 dx3 u2 dx3 – u3 dx2 = 0 u1 dx3 – u3 dx1 = 0 u1 dx2 – u2 dx1 = 0 D’où le système différentiel 10  dx1 dx 2 dx 3   u1 ( x1 , x 2 , x 3 , t 0 ) u 2 ( x1 , x 2 , x 3 , t 0 ) u 3 ( x1 , x 2 , x 3 , t 0 ) Remarque Dans le cas d’un mouvement permanent ou stationnaire (c’est à dire que la vitesse de la particule en un point de l’espace est constante en fonction du temps). Il y a coïncidence entre la trajectoire et la ligne de courant. Ligne d’émission C’est la ligne géométrique correspondant à l’ensemble des particules qui sont passées à l’instant t par le même point fixe A Trajectoire A Ligne d’émission 11 CHAPITRE II- ETUDE GENERALE DU VECTEUR CONTRAINTE ET DU TENSEUR DE CONTRAINTE 1 INTRODUCTION Soit un corps naturel continu, parvenu à un état d’équilibre, après des déformations, sous l’action des forces qui lui sont appliqués. Le corps est supposé limité par une surface extérieure connue S. S  x3 n D  x2 M T x1 dS Les forces agissant en chaque point M du corps sont de deux sortes : - les forces intérieures - les forces extérieures Les forces intérieures d’origines moléculaires s’opposent deux à deux et par conséquent s’annulent. Les forces extérieures agissant sur le corps peuvent être de deux sortes : Les forces de volume ou force à distance Elles proviennent de l’action sur D de tout ce qui est extérieure au corps pris dans son ensemble. Ces forces qui se réduisent en général aux forces de pesanteur sont proportionnelles au volume de l’élément sur lequel elle agissent;; s’écrivent :     fdv  (f x i  f x j  f x k)dv 1 2 3 Dans (o, x1 , x2 ,x3 ) fx1 , fx2 , fx3 sont les composantes des forces volumiques suivant les trois directions Les forces de surface ou force de contact Ce sont des forces appliquées aux éléments de surface du corps. Ainsi autour d’un point M de la surface du corps, la force appliquée à l’élément de surface dS sera proportionnelle à dS et pourra être représentée par : 12      TdS  (Tx1 i  Tx2 j  Tx3 k )dS  T dépend de la position du point M de la surface et de l’orientation de dS autour de M       T peut être décomposé en T  Tn  Tt  Tn n  Tt t  Tn : Composante normale à dS, appelée contrainte normale, tension, ou compression  Tt : Composante parallèle à dS, appelée contrainte tangentielle, contrainte de glissement, ou contrainte de cisaillement 2. TENSEUR DE CONTRAINTE  Nous allons montrer que le vecteur T pourra s’exprimer en fonction des contraintes s’exerçant respectivement sur trois éléments de surfaces triangulaires passant par un point M (x1 , x2 ,x3 ) Considérons pour cela un tétraèdre infiniment petit MABC, les points A, B, C étant choisis respectivement sur les axes Mx1 , Mx2 , Mx3  Désignons par T la contrainte exercée par le milieu extérieur sur la face ABC du tétraèdre, dS est l’aire de cette face     n  (n1 i  n 2 j  n 3 k ) x3 C   x 1    x 2 dSx1 n  k  T dSx2   i M j B x2 dSx3 A   x x1 3 13  n est le vecteur unitaire de la normale à cette face dirigée de l’intérieur vers l’extérieur. Désignons aussi par   x la contrainte exercée par le corps continu sur MBC du côté > 0  1  x la contrainte exercée par le corps continu sur MAC du côté > 0  2  x la contrainte exercée par le corps continu sur MAB du côté > 0 3 Convention de signe  - dans le cas où  x s’exerce du côté des x > 0   (+  : appelée compression) x  - dans le cas où  x s’exerce du côté des x < 0  (-  : appelée traction) Si on prend la résultante des contraintes exercée par le milieu extérieur sur le tétraèdre, on obtient :     TdS   x dS x   x dS x   x dS x  0 1 1 2 2 3 3 Avec dSx1 = nx1 dS dSx2 = nx2 dS dSx3 = nx3 dS  ( nx1 , nx2 , nx3 ) sont les cosinus directeurs des angles formés par n et les axes ( x1 , x2 , x3 )     Soit T  x n x  x n x  x n x  0 1 1 2 2 3 3 Ceci peut s’écrire dans la notation indicielle Ti   i n i  0 Rappel La notation indicielle est une convention, elle permet d’universaliser l’écriture des équations, de simplifier et faciliter les calculs. 14 -- L’indice muet : c’est lorsque l’indice est répété deux fois dans un monôme, ce monôme en fait est remplacé par la somme de tous les termes en donnant à l’indice les valeurs 1, 2, 3 3 A i Bi  A1B1  A 2 B 2  A 3 B3   A i Bi  A j B j  A k B k i 1 -- L’indice franc : c’est lorsque l’indice ne peut apparaître qu’une seule fois dans le monôme A i  Bij C j A1  A11C1  A12 C 2  A13C3 A 2  A 21C1  A 22 C 2  A 23C3 A 3  A 31C1  A 32 C 2  A 33C3 On peut vérifier que cette relation est vraie quelque soit la position du tétraèdre par rapport aux coordonnée ( x1 , x2 , x3 ).     Alors T  x n x  x n x  x n x  1  1   2   2 3 3  ( x x i   x x j   x x k)n x  ( x x i   x x j   x x k)n x   1 1  2 1 3 1 1 1 2 2 2 3 2 2  ( x x i   x x j   x x k)n x 1 3 2 3 3 3 3     D’où les composantes de T suivant (M, i , j, k ) Tx   x x n x   x x n x   x x n x  11n1  12 n 2  13 n 3 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 Tx   x x n x   x x n x   x x n x  21n1  22 n 2  23n 3 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 Tx   x x n x   x x n x   x x n x  31n1  32 n 2  33n 3 3 3 1 1 3 2 2 3 3 3 Ou sous la forme Ti  ij n j ( i ,j )= 1, 2, 3 La composante  ij du tenseur de contrainte est représentée par : i : le numéro de l’axe ou la direction du vecteur j : le numéro de l’élément de surface considéré  Les composantes T sont des fonctions linéaires des composantes  ij. 15 Propriétés du tenseur  ij  - Les composantes T sont des fonctions linéaires des composantes  ij. -  ij =  ji ce qui conduit à un tenseur de contrainte symétrique 11 12   21 13   31  ij   21  22  23  31  32  33 - Les composantes de même indices : 11 ,  22 ,  33 sont les contraintes normales - Les composantes d indices différents : 12 , 13 ,  32 sont les contraintes tangentielles. Ces différentes composantes peuvent être représentées de la manière suivante x3  32  33  23 3  22 13 2 12 x2 1  31 x1  21 11 16 3. EQUATIONS GENERALE DE l’EQUILIBRE i- Conditions d’équilibre Un corps est dit en équilibre lorsque l’ensemble des forces appliquées à la surface équilibre l’ensemble des forces massiques appliquées à ses éléments de volume. ii- Equations d’équilibre Considérons un parallélépipède infiniment petit de la figure ci- contre     x  d x 3 3  x3  x 1 dx3 E F   x     x  d x 2 2 2 A D G x2 M dx2     x  d x 1 1 B C dx1 x1   x 3 Les forces s’exerçant sur cet élément de volume sont : - les forces massiques agissant sur l’élément de volume (dx1dx2dx3) et dont les composantes sont : (fx1 (dx1dx2dx3), fx2 (dx1dx2dx3), fx3 (dx1dx2dx3)) - les forces surfaciques ou contraintes (tractions) peuvent déterminés de la façon suivante : 17    Sur la face MGEF normale à M x , agit la contrainte   x dx 2 dx 3 et à pour 1 1 composantes respectives   x x dx 2 dx 3  1 1   x dx 2 dx 3    x x dx 2 dx 3 1 2 1   x x dx 2 dx 3 3 1 Sur la face parallèle ABCD agit la contrainte  x x ( x x  1 1 dx 1 )dx 2 dx 3 1 1 x 1    x  x x  ( x  )dx 2 dx 3  ( x x  1 dx 1 )dx 2 dx 3 2 1 1 x 1 x 1 2 1  x x ( x x  dx 1 )dx 2 dx 3 3 1 x 1 3 1 En faisant le bilan des forces surfaciques sur les deux faces parallèles, on obtient :  x x 1 1 dx 1dx 2 dx 3 x 1  x x 2 1 dx 1dx 2 dx 3 x 1  x x 3 1 dx 1dx 2 dx 3 x 1 Pour les autres forces traversés par M x 2 et M x3 , on a :   x 1 x2   x 1 x3 dx1 dx 2 dx3 dx1 dx 2 dx3  x2  x3   x 2 x2   x 2 x3 dx1 dx 2 dx3 dx1 dx 2 dx3  x2  x3   x 3 x2   x 3 x3 dx1 dx 2 dx3 dx1 dx 2 dx3  x2  x3 En faisant le bilan de toutes les forces à l’équilibre 18     f surfaces f volumes 0 en remplaçant x1 , x2 , x3 par 1,2,3 On obtient ainsi les équations de l’équilibre d’un milieu continu M x1   11   12   13    f1  0  x1  x2  x3 M x2   21   22   23    f2  0  x1  x2  x3 M x3   31   32   33    f3  0  x1  x2  x3 iii)-Application à un fluide au repos a)-les équations de la statique des fluides Pour un fluide au repos. Seules les forces de pression qui interviennent. Avec  ij   P ij  11   22   33   P  12   13   23  0  et Fv = force de pesanteur par rapport à l’unité de masse f   0    1   Fvi  Fv   f 2    0   f   g  3     11  12  13 D’où ox1 :   0 x1 x2 x3   21  22  23 ox 2 :   0 x1 x2 x3   31  32  33 ox 3 :    g  0 x1 x2 x3 19   P Suivant les 3 axes ox 1 : 0 x1  P ox 2 : 0 Equation de la statique des fluides x2  P P ox 3 :   g  0   g x3 x3 b- Cas de l’equilibre d’un fluide incompressible dans un champ de pesanteur (   cte)   ox3  oh P  g P(h)  gh  cte h si h =0 Cte = PAtm P  gh  PAtm Équation de l’hydrostatique En posant   g poids volumique P  P  PAtm  h b)- Fluide compressible en équilibre dans un champ de pesanteur,   f ( x, y, z) P P Nous avons toujours :    g x3 z  est déterminée à partir de l’équation d’état du fluide considéré Cas d’un gaz parfait à T = cte m Un gaz parfait PV = nRT P  nRT  20  Pm PM   nRT RT P PM  g z RT P P z Mg  P    RT z P0 z0 P Mg log  ( z  z0 ) P0 RT Mg P  ( z  z0 )  e RT P0 Mg  ( z  z0 ) P( z )  P0e RT , Loi d’évolution de la pression On peut aussi déterminer la loi d’évolution de la masse volumique Mg P M  ( z  z0 )   0 e RT RT 4. PROPRIETES LOCALES DU TENSEUR DES CONTRAINTES Principe de réciprocité ou principe de Cauchy    ' X3   T' T M S’ S X2 X1 Soit le vecteur contrainte T de composantes Ti s’exerçant au point M d’un élément de surface dont la normale a pour cosinus directeurs i. La projection de 21   la contrainte T sur une direction quelconque  ' de cosinus directeurs  ' i aura pour expression :   T  '  Ti n' i  T1 n' 1  T2 n' 2  T3 n' 3 et comme T 1   11 n 1  12 n 2   13 n 3 T 2   21 n 1  22 n 2   23 n 3 T 3   31 n 1  32 n 2   33 n 3 T i n'i  11 n 1 n'1  12 n 2 n'1   13 n 3 n'1   21 n 1 n'2   22 n 2 n'2   23 n 3 n'2   31 n 1 n'3   32 n 2 n'3   33 n 3 n'3 T i n'i  11 n 1 n'1  22 n 2 n'2   33 n 3 n'3   12 ( n 2 n'1  n 1 n'2 )   13 (n 3 n'1  n 1 n'3 )   23 (n 3 n'2  n 2 n'3 ) On retrouve la même expression pour la quantité T’ini. C’est le principe de réciprocité ou principe de Cauchy qui s’énonce de la manière suivante : Si l’on considère deux plans, la projection du vecteur contrainte relatif à l’un deux sur la normale du second ne change pas quand on permute les deux plans, c’est à dire :    T n '  T 'n ou Ti n ' i  T ' n i Contrainte normale   La contrainte normale est donné par la projection de T sur la normale n : T Tn Tt  T n T n 22 et si on veut déterminer Tn par rapport aux composantes du tenseur de   contraintes, il suffit de faire n  n ' dans la relation précédentes (1)  T n  T n  T i n i   11 n12  22 n 22   33 n 32  2  12 n 1 n 2  2  13 n 1 n 3  2  23 n 2 n 3 Contrainte tangentielle  Elle appartient au plan normal à n qui contient l’aire sur le quelle s’exerce la  contrainte T      T t  T  Tn  T  T n n En module Tt 2  T 2  T n2 comme T 2  T 12  T 22  T 32 Tt 2  T12  T22  T32  Tn2 5. DIRECTIONS PRINCIPALES CONTRAINTES NORMALES PRINCIPALES On appelle directions principales du tenseur des contraintes les directions X ' , telles que T et X ' soient colinéaires. Autrement dit, une direction est principale si, et seulement si pour cette direction, la contrainte tangentielle est nulle. Ceci a pour conséquence, qu’il existe au moins un repère orthonormé, dit principal du tenseur des contraintes dans lequel la matrice représentant ce tenseur est diagonale. a) si le repère R est principal, la matrice  ' i j est de la forme :  1 0 0   'i j   0  2 0   0 0  3   23 Les 3 scalaires  1 ,  2 ,  3 sont appelés contraintes normales principales ou valeurs propres du tenseur des contraintes - si  1   2   3 les directions principales sont les axes du repère principal R - si  1   2   3 les directions principales sont l’axe ox3 et toute direction issue de O normale à ox3, le tenseur est dit de révolution - si  1   2   3 toute direction issue de O est principale, le tenseur est dit ophique. b) si le repère R n’est pas principal * les contraintes principales  1 ,  2 ,  3 (ou valeurs propres) sont calculées à partir du système. det   i j   I E   0 Ou en notation indicielle det  i j    i j  0   11  1 2  13  1 0 0 ij   21  2 2  23  et I E  0 1 0   31  3 2  33  0 0 1       11  1 2  13  1 0 0 det  21  2 2  23    0 1   0  0   31  3 2  33  0 0 1      11    12  13  det   21  2 2    23   0   31  32  33      On obtient un polynôme en 3     11   22   3 3            12   23   312   3 2 2 2 11 22 22 33 33 11   11  22  33   11  322   122  33   12  23  31   22  21  32   222  31  0 qui peut s’écrire sous la forme : 3 - I 2 + II  + III = 0 24 Avec I   11   22   3 3  III  0 II   11  22   22  33   3 3  11   122   23 2   312   1   ii  jj   i j  ij  2   11  12  13  III  det  i j  det   21  22  23    31  32  33    I , II , III sont appelés : invariants élémentaires attaché au tenseur  i j * Les axes principaux des contraintes principales sont donnés par les vecteurs propres. En effet, soit T le vecteur contrainte colinéaire à X '. X ' Vecteur propre, si   (valeur propre)  R, tel que  i j x' j   x' i Ce système admet pour chaque valeur  i une direction principale x’i Par la suite, les composantes de la contrainte T , dont la normale n’i à pour cosinus directeurs n’1, n’2, n’3 seront donnée par la relation (dans le repère principal) : T1   1 n' 1 T2   2 n' 2 T3   3 n'3 avec n' 12  n' 22  n' 32  1 T 12 T 2 T 2     2 2 2 3 2 n' n' n'    2 1 2 2 2 3 1 2 3 T 12 T 2 T 2     1 Ellipsoïde des contraintes 2 3  2 1  22  2 3 25 6. REPRESENTATION DE MOHR i- Principe de la représentation de Mohr Le principe de représentation de Mohr est basé fondamentalement sur le vecteur contrainte T. Il consiste à représenter T dans un plan (Tn , Tt ) (appelé plan de Mohr ). lié à la facette que nous étudierons. Tt Plan de Mohr Tn t n Tn Tn T O M Tt T  n , t  , tel que : Tt On oriente le plan n , t  = +  2 Connaissant le tenseur de contrainte ij , on se propose de déterminer le domaine engendré par l’extrémité du vecteur contrainte dans la plan de Mohr lorsque n subit une rotation. Cherchons dans le repère principale, les composantes ni du vecteur normal n tel  que (1 , 2 , 3 ) et x'1 , x' 2 , x'3  soient les contraintes et directions principales. Si T  n i  i x' i T  n1  1 x '1  n 2  2 x '2  n 3  3 x '3 T 2  Tn2  Tt 2  n12  12  n 22  22  n 32  32  Aussi on a Tn  T n   1 n12   2 n22   3 n 32  Avec n 12  n 22  n 32  1 n 1 26 On obtient le système d’équation suivant Tn2  Tt 2   12 n12   22 n 22   32 n 32 Tn   1 n12   2 n22   3 n 32 1  n 12  n 22  n 32 Ceci peut se mettre aussi sous la forme :  12  22  32   n12   T n2  Tt 2      1  1  1  n 2   Tn     22   1   1 1 1   n3   La résolution de ce système linéaire non homogène est donné par : T n2 T t 2  22  32 det T n  2  3 1 1 1 n 12  n 12  , n 31   12  22  32 det T n  2  3 1 1 1 n12  T n Tt 2   2   3    22 T n   3    32 T n   2  2  12  2   3    22  1   3    32  1   2  Tt 2  T n   2 T n   3    1   2   1   3  Les expressions analogues pour n 22 et n 32 s’obtiennent en effectuant des permutations circulaires sur 1, 2, 3 Tt 2  T n   3 T n   1  n 22   2   3   2   1  Tt 2  T n   1 T n   2  n  2 3  3   1   3   2  Les 3 équations permettent de délimiter le domaine parcouru par le vecteur contrainte. Pour faciliter le raisonnement supposons que : n12 , n 22 , n32 sont  0 et 1  2  3 La positivité de n , n , n 2 1 2 2 2 3 fournit les inégalités suivantes 27 1  Tt 2   T n   2   T n   3   0 2  Tt 2   T n   3   T n   1   0 3  Tt 2   T n   1   T n   2   0 Ces relations peuvent se mettrent aussi sous la forme :  2  3    2  3  2 2  Tt 2   T n      0  2   2   2  3    2  3  2 2  Tt   T n  2      2   2  * Cette inégalité montre que T est dans le plan de Mohr, extérieur au cercle  2  3   2  3  centré au point d’abscisse   et de rayon    2   2   2  3  * L’équation (2) montre que T est intérieur au cercle centré au point    2    2  3  et de rayon    2  * L’équation (3) conduit à un résultat analogue à (1) mais cette fois-ci avec  1 , 2  Tt (n2 = 0) (n1 = (n3 = 0) 0)  A 2 C B 3  Tn  1 1 2 2  2 3 2 28 1  3 2 Ces résultats montrent que pour l’orientation de la facette considéré, l’extrémité du vecteur contrainte se trouve à l’extérieur des 2 plus petits cercles (diamètre  1 2 et  2  3 ) et à l’intérieur du cercle de grand diamètre (diamètre  1 3 ), les frontière de ces cercle sont respectivement atteintes pour n1 = 0 , n2 = 0 , n3 = 0 , les 3 cercle sont appelées cercles principaux ou cercle de Mohr. ii. Etat de contrainte plane Le tenseur ij est dit plan lorsqu’il existe un repère orthonormé ( o , x1 , x2 , x3 ) , dans lequel la matrice  ij s’écrit :   11  11 0   i j    11  11 0  càd que  13   2 3   3 3  0  0 0 0   i) Effectuons la représentation de Mohr lorsque n est repéré par un repère principal ( o , x'1 , x' 2 , x'3 )   1 0 Soit la contrainte plane  '    s’exerçant sur un plan i j  0  2  traversé perpendiculairement par ox 3 x’2 x’2 n n(2) t T  2 (2) x’1 n(1) (1) 1 x’1 Les composants du vecteur contrainte 29  T1   n1 cos   n 1  sin   t 1 T  n  t  1 T2 2 n2 sin   n 2 sin   t 2 On sait aussi que : T n  T n   1 cos 2   2 sin 2   1 n12   2 n 22  1  cos2   1  cos2   1  1 2 Tn  1   2   2  2 cos2  22  2 cos2  2   2  T n  1   1   2   1   1   2  cos 2 2 2 et T t  T t   1 cos sin   2 sin  cos    1 sin 2   2 sin 2 2 2 T t  1   2   1  sin 2  2    T peut s’écrire dans le plan  n , t  :  2  2    T  1  1  2   1  1  2 cos   2  n  1   1   2  sin   2  t 2  Ces équations montrent que T décrit un cercle centré sur l’axe des Tn en I  1  2  1  2 d’abscisse 2 et de rayon 2   1   2  De plus une rotation d’angle  de n correspond à une rotation d’angle  2 sur le cercle.  1 et  2 Sont les extrémités du cercle, on peut vérifier aisément que si : 2  0 T n   1 et T t  0 2   T n   2 et T t  0  Sur le repère  o ,  x' 1 ,  x ' 2 ,  x' 3    2 30  Tt x’2 n T  2 I 1 M x’1 o 2 Tn T  ii) Effectuons la représentation de Mohr lorsque n est repéré par un repère orthonormé quelconque de base  o, x 1 , x 2 , x 3 .       Soit l contrainte plane    11 12  s’exerçant sur un plan traversé   21  22  i j  perpendiculairement par o x 3. x2 x2 n t n(2)  22 12 t(1) 21 x1 t(2) (2) (1) 11 n(1) 1 x1 Remarque : par convention, on posera que la contrainte tangentielle exercée sur  la facette  21    12 (elle est orientée au sens opposé de ox 1 )  Les composantes du vecteur contrainte T exprimés par rapport o, x1 , x 2 , x3     31   11 n 1   12 n 2  n1  cos    sin T   21 n 1   22 n 2 Avec n n 2  sin  t cos  0 0 0  D’ou Tn  T n   11 cos cos   12 sin cos   21 cos sin   22 sin sin Tn   11 cos cos  2  12 sin cos   22 sin sin 1  cos 2 En posant cos 2  2 cos sin  cos 2   2 1  cos 2 sin 2  2 sin cos  sin 2   2  1  cos 2   1  cos 2  Tn   11    sin 2  12    22  2   2  Tn  1  11   22   1  11   22  cos 2   12 sin 2 2 2 De plus,  Tt  T t   11 cos sin   12 sin sin   21 cos 2    22 sin cos  1  cos 2   1  cos 2   22 Tt    11 sin 2   12     21    2 sin 2 2  2   2   1  22   11sin 2   12   12 cos2   21   21 cos 2 2 2 2 2 2 Tt  1  22   11sin 2   12 cos 2 2 * calcul des contraintes principales  1 et  2 à partir du tenseur de contrainte ij det   i j   I E  0  det   11    12   0   21  22       11      22      122  0  11 22    11    22   2   122  0  2   ( 11   22 )   122   11 22  0 32     11   22  2  4 12 2  4 11 22    11   22  2  4 12 2  11   22 D’ou 1  2 1 2  11   22  2  4 122  11   22 1 2 2  2  11   22  2  4 122  1  2  11   22 Donc le cercle considéré est de centre I  et de rayon 2 2  1  2 R 2 1 2  11   22  2  4 122 Construction directe On peut alors construire le cercle de Mohr en connaissant les 2 points diamétralement opposé P   11 ,  21  et Q  22 ,   12  Tt 21 P 2 2 22 I 11 1 Tn -21 Q 33 CHAPITRE III ; ETUDE DES PETITES DEFORMATIONS ET DU TENSEUR DU TAUX DE DEFORMATION 1 –Le tenseur du gradient du vecteur déplacement Une propriété essentielle du milieu continu, c’est qu’une fois soumis à des contraintes, les «éléments de volumes subissent des changements de position, d’orientation et de forme que nous allons préciser. Considérons dans un référentiel cartésien, la position du point P d’un corps continu avant et après la déformation (déformation infinitésimal) x3 u + du Q Q’ dx dx’ p P’ u O x1 Avant la déformation P (x1, x2, x3 ) Après la déformation P’ (x’1, x’2, x’3 ) Le déplacement du point du corps après la déformation est représenté par le  vecteur u  pp'  op'  op qui aura pour composante suivant les 3 axes. u 1  x'1  x 1 u 2  x'2  x 2 noté aussi u i  x'i  x i 34 u 3  x'3  x 3 Le vecteur ui est appelé vecteur déplacement (ou déformation). La donnée de u en fonction des xi détermine complètement la déformation du corps. De même qu’au cours de la déformation du corps. Les distances entre les points du corps varient. Soient deux points infiniment voisins (avant la déformation) P(x 1, x2, x3 ) et Q(x1+dx1, x2+dx2, x3+dx3). Si dxi est le rayon vecteur entre ces deux points avant la déformation, il devient après la déformation dx’i = dxi+ dui et les composantes du vecteur PQ sont : dx'1  dx1  du 1 dx'2  dx 2  du 2 dx'3  dx 3  du 3 et comme ui dépend des xi càd que u 1  u 1 ( x1 , x 2 , x 3 ) u 2  u 2 ( x1 , x 2 , x 3 ) u 3  u 3 ( x1 , x 2 , x 3 ) Par conséquent u1 u1 u1 du 1  dx1  dx2  dx 3  x1  x2  x3 u 2 u 2 u 2 du 2  dx1  dx2  dx 3  x1  x2  x3  u3 u 3 u 3 du 1  dx1  dx2  dx 3  x1  x2  x3   u1  u1  u1 dx1'  d x1  dx1  dx2  dx 3  x1  x2  x3 u 2 u 2 u 2 dx2'  d x 2  dx1  dx2  dx 3  x1  x2  x3 u 3 u 3 u 3 dx 3'  d x 3  dx1  dx2  dx 3  x1  x2  x3 u i Ou encore dx i'  d x i  dx j ( j 1, 2 , 3 ) x j P 'Q '  PQ  d u 35 Aussi on peut écrire : PQ  QQ'  PP '  P'Q ' QQ'  PP '  P'Q '  PQ QQ'  u  PQ  du  PQ P 'Q '  PQ  du  u1  u1  u1 du1  d x1  d x2  d x3  x1  x2  x3  u2 u2  u2 du  du2  d x1  d x2  d x3  x1  x2  x3 u3  u3 u3 du3  d x1  d x2  d x3  x1  x2  x3  u1 u1 u1      x1  x2  x3   dx 1   u u 2 u 2     du   2  dx 2  x  x2  x3   dx 3   1      u3 u3 u 3      x1  x2  x3   du  G dx  G PQ dx' 1 , dx'2 , dx' 3 sont les composantes du vecteur P'Q' qui peut s’écrire sous la forme : P 'Q '  PQ  du P 'Q '  PQ  G PQ avec QQ'  u  du  PP '  du  PP '  G PQ G désigne le tenseur gradient du vecteur déplacement équivalent à 36   u1 u1 u1   u1        x1  x2  x3    x 1   dx   u u 2 u 2   u   1  G   2 du  G PQ du   2   dx 2  x  x2  x3  x  1   2   dx 3    u3 u3 u 3   u 3    x1  x2  x3    x3     Remarque Dans le cas des petites déformations, les termes de la matrice G sont très petits devant 1. u i 1 ui c à d que la variation de la déformation relative au corps est très petite devant la variation d’un point du corps au cours de la déformation. 2- Le tenseur du taux de déformation Le tenseur G peut être décomposé en une somme d’un tenseur symétrique  et d’un tenseur antisymétrique  G     Les deux tenseurs  et  ont pour coordonnées  u i u j   u i u j   i j  1    et  i j  1    2   x j  xi  2 xj  x i  c à d que 37   u 1 1  u 1  u 2  1  u 1  u 3      x1 2   x 2  x 1  2   x 3  x 1     u 2 u 1     11  12  13       1    u 2 1  u 2  u 3       22  23   ij  2   x1  x2  x2 2   x 3  x 2    21   32  33   1   u 3 u 1    31 1  u 3  u 2  u 3  2    2   x 2  x3      x1  x 3   x3   1  u 1  u 2  1  u 1  u 3    0  2   x 2  x 1  2   x3  x 1     u   0  2 u1  1  u 2  u 3      3     1  2   0 0  1   2   x1  x 2  2   x 3  x 2    3   2  0   1  u 3   1 u1  1  u 3  u 2   2    0     x1  x3  2   x 2  x3   Par conséquent la formule (1) QQ'  PP '  G PQ se transforme en QQ'  PP '   PQ   PQ Si on considère le vecteur   1 ,  2 ,  3  associé à la matrice  On à  PQ    PQ  u 3 u 2       x 2  x3   1     u 1 u 3  Avec     2   1   1   2 rot u  3  2  x  x    3 1   u 2  u 1    x1  x 2    u est appelé vecteur d’ou QQ'  PP '   PQ   PQ Il en résulte que la transformation Q à Q’ fait intervenir trois caractéristiques : 1- une translation infiniment petite    définie par PP ' 2- une rotation infiniment petite (R) définie par le vecteur    1 ,  2 ,  3  38 3- une transformation linéaire (D) appelé déformation pure définie par le tenseur symétrique    i j (appelé tenseur du taux de déformation)   11  12  13       ij    21  22  23    31  32  33   si i = j  ij est appelé taux de déformation unitaire si i  j  ij est appelé taux de déformation angulaire 3- Définitions élémentaires du taux de déformation Nous allons considérer une déformation autour d’un point O. Pour cela considérons avant la déformation un trièdre tri rectangulaire, issue du  point O o, x 1 , x 2 , x3  tel que OA = dx1 , OB = dx2 , OC = dx3 Après la déformation, il devient  o', x' 1 , x ' 2 , x '3  x3 C dx 3 dx2 O B x2 dx1 /2 A x’3 u C’ x1 u + du O’ B’  x’2 A’ x’1 39 * On définit la déformation longitudinale unitaire suivant ox 1 (l’allongement unitaire) O ' A'  O A d u 1  u 1     x2 d x1  x 1 11 OA De même pour les composantes u1 u 2 u 3  22  et  33  x2 x3 x1 x1 * On définit la déformation angulaire des axes ox 1 et ox2 c’est l’angle qui a notée  12    2 Ceci par un volume situé dans le plan (x1 , x2 ) x2 u1 2 x2  1 u2 x1 x1 u 2 Avec 1  x1 u 1 2  x2  u 1 u 2    1   2  1    2  x 2  x 1  12  u 1 u 3   u 3 u 2  avec  13  1    et   1    2  x 3  x 1  2  x 2 x 3 32  40 Remarque * La déformation longitudinale sera considérée comme positive, s’il y a allongement dans la direction considérée. * La déformation angulaire est considérée comme positive, s’il y a diminution de l’angle droit. 41 CHAPITRE IV- LES RELATIONS FONDAMENTALES DE LA DYNAMIQUE (LES EQUATIONS DE CONSERVATION) 1- Rappels mathématiques Théorème de la divergence Ce théorème permet de transformer une intégrale de volume en une intégrale de surface. Soient S la surface fermée entourant le domaine V. A ( M ) un vecteur défini dans V et sur S et n le vecteur normal à dS Le théorème s’écrit : S A V div A dV   S A n dS   S An dS dS n Flux du vecteur A sortant par la surface S An M A1 n1 V si A A2 n n2 A3 n3 Cette formule peut s’écrire sous la forme :   A1  A2  A3   V    x1   x2   dV   x3   A n S 1 1  A2 n2  A3 n3  d S Qui peut s’écrire  Ai V  xi dV  S Ai1 ni d S formule d ' Ostrogradosky * si f est une fonction scalaire  V grad f d V   S f n dS formule de Gauss 42  * Formule du rotationnel V rot A d V   S n  A dS * Formule de Stokes Elle permet de transformer une intégrale de surface en une intégrale curviligne. En effet, si on considère une surface S limitée par une courbe fermée C, sur laquelle, on fixe un sens de circulation S n A C  S n rot A d S   C A dl le travail (circulaire) de A le long de la courbe fermée = au flux de son rotationnel qui s’appuie sur cette courbe. 2. la dérivée particulaire   Soit une fonction f ( M , t ) définie dans le repère ox1 , ox2 , ox3 lorsqu’on suit le point M dans son mouvement la fonction f ( M , t ) est une fonction g (t ) de la seule variable t. Par définition, on nomme dérivée particulaire (ou dérivée matérielle), la quantité d f dt En effet, si f ( M , t )  f ( x1 , x2 , x3 , t ) 43  d f f  f d x1  f d x2  f d x3     dt t  x1 d t  x2 d t  x3 d t d xi En posant u i  dt d f f f f f   u1  u2  u3 dt t  x1  x2  x3 Qui peut s’écrire aussi sous la forme d f f f f   u  grad f   ui dt t t  xi * la dérivée particulaire d’une fonction vectorielle A ( M , t ) , lorsqu’on suit M dans son déplacement d A A  Ai  Ai   ( u  grad ) A   uj dt t t  xj terme local terme convectif    u  grad  u1  u2  u3  x1  x2  x3   Si le vecteur A est égal au vecteur vitesse U     u  u2  du u        (u.grad )u   grad  (rot u )u dt t t 2 Accélération Accélération locale Accélération convective * Dérivée particulaire d’une intégrale de volume (théorème de transport) 44 Soit une intégrale de volume définie par : I  f (M , t )dV V La dérivée particulaire de I donne : dI df    (  f.divU )dV dt dt V dI df      (  divf.U  U.gradf )dV dt dt V dI f    (  divf.U )dV dt t V Et d’après le théorème de la divergence dI f    dV   f.U.n.dS dt t V S    Si I est une quantité vectorielle I   A.dV V   dI A   A   dV   A.U.n.dS   i dV   Ai.U n.dS dt t t V S V S   dI A    dV   A.U n.dS dt t V S Remarque : Si : f = 1 I   dV  V volume dans le domaine D V dI  0   U n.dS Débit volumique sortant de S dt S 45 Le lemme fondamental Soit f (M) une fonction continue dans un domaine D. Si on a :  f (M )dV  0 D Alors pour D la fonction f (M) = 0 Ce lemme peut être aussi utilisé sous la forme : Si  f (M )dV   g (M )dV alors f (M) = g (M) D D 3- Les Equations de conservation i- Equation de conservation de la masse ou équation de continuité Soit un volume V d’un milieu continu que l’on suit dans son mouvement et dont la masse M   .dV V Étant donné qu’il n’y a ni source ni puit, M reste constante lors de son déplacement. dM d La dérivée particulaire   .dV  0 dt dt V D’après le théorème de la dérivée particulaire d’une intégrale de volume d d  dt  .dV   dV   .divU.dV  0 dt V V V d   dt (  .div U )dV  0 V Etant donné que V est arbitraire (lemme fondamental) 46 d   .divU  0 Equation de Continuité dt Si le milieu est incompressible   cte alors :  u u u divu  1  2  3  0 x1 x2 x3 Application à un écoulement d’un fluide permanent Il à rappeler que le débit massique à travers une surface S : - le débit : c’est la quantité de fluide par unité de temps - le débit volumique : surface x vitesse - le débit massique : masse volumique x débit volumique    S  V Lorsque la vitesse n’est pas constante à travers la section. Qv  v S n ds Qm   Qv Si on applique la conservation de la masse de l’écoulement permanent d’un fluide à travers une conduite S2 S 1 U1 U2 La conservation de la masse s’écrit pour le cas d’un écoulement permanent 1 S1 u1   2 S 2 u 2 Pour le cas d’un fluide incompressible S1 u1  S 2 u 2 47 ii- Théorème de Quantité de Mouvement Soit un domaine D de volume V et d surface S en mouvement  T dS .Fv.dV M dV D V L’équation de conservation de quantité de mouvement est donnée par le théorème de quantité de mouvement d[ K ] [ A]   [ Fext ] dt Par définition, les éléments de réduction au point M pour chaque torseur    K   .u.dV  [K ]    D    0 ( K )   OM.udV  D       ..dV  [ A]    D    0 ( )   OM..dV  D     Fext   .Fv.dV   T.dS   [ Fext ]    D  S      0 ext ( F )   (OM .F v.dV )   (OMT )dS  D D 48 Cette égalité entre es torseurs se traduit par 2 égalités vectorielles d    dt   .dS .u.dV  .F v.dV  T Fv  Force de volume unité de masse V V S Ceci peut s’écrire sous la forme : d dt  .ui.dV   .Fvi.dV   Ti.dS V V S Le vecteur contrainte : Ti   ij.n j d dt  .ui.dV   .Fvi.dV    ij.n j.dS V V S D’après le théorème de la divergence  ij  x j dV    ij.n j.dS V S d  ij dt   vi  x j.dV .ui.dV  .F.dV  V V V De même d ( .ui ) dt  .ui.dV   t.dV   .ui.un.dS V V S d ( .ui ) u   dt.dV   .ui. i.dV xi V V d du u   ui..dV   . i.dV   .ui. i.dV dt dt xi V V V d du d u dt  .ui.dV   . i.dV   ui (  . i )dV dt dt xi V V V 49  dui  ij  . dt.dV   .Fvi.dV   x j.dV V V V V est un volume arbitraire D’où l’équation du mouvement du corps continu dui  ij .  .Fvi  dt x j A l’équilibre dui 0 dt  ij On retrouve  fi  0 avec : fi  .Fvi x j iii- Equation de conservation de l’énergie Rappelons le théorème de l’énergie cinétique dEC  ex  int dt Puissance des forces extérieures Puissance des forces intérieures 50 Si on reprend l’équation du mouvement dui  ij .  .Fvi  dt x j Si on multiplie les 2 membres par ui dui  ij .ui.  .ui.Fvi  ui. dt x j d u2 (ui. ij ) u . ( )  .ui.Fvi    ij. i dt 2 x j x j Considérons un domaine D de volume V et de surface S d u2 (ui. ij ) u . ( ).dV  .ui.Fvi.dV  dV   ij. i dV dt 2 x j x j Intégrons cette équation dans le domaine D de volume V d u2 (ui. ij ) u  . ( ).dV   .ui.Fvi.dV   dt 2 x j dV    ij. i dV x j V V V V d u2 u dt   dV   .ui.Fvi.dV   ui. ij.n j.dS    ij. i dV 2 x j V V S V EC Forces de volumes Forces de surfaces Puissance des forces extérieures Puissance des forces intérieures 51  Cette équation peut s’écrire sous la forme dEC  ex  int dt Avec ext   .ui.Fvi.dV   ui. ij.n j.dS V S ui int     ij. dV x j V * Maintenant énonçons le premier principe de la thermodynamique dans le cas général : dE dQ  ex  dt dt Puissance thermique E : énergie totale Puissance des forces extérieures (Taux de chaleur reçue par le système) Avec : E  U  EC U : Énergie interne du système U   e..dV V EC : Énergie cinétique e : Énergie interne massique dQ  Chaleur reçue par contact (à travers S) + chaleur reçue à distance (à dt travers V) 52    q.dS   r..dV r : taux de chaleur massique S V q : taux de chaleur à travers dS        q.n.dS   r..dV q  q.n   K.gradT.n (Loi de Fourier) S V dU dEC    ext   q.n.dS   r..dV dt dt S V dEC Comme  ex  int dt dU   int    q.n.dS   r..dV dt S V d  dt  e..dV    q.n.dS   r..dV  int V S V de q u  . dt.dV    xii dV   r..dV    ij. x ij dV V V V V Le volume est arbitraire de q u .   i  r.   ij. i dt xi x j Équation de conservation de l’énergie 53 CHAPITRE V : APPLICATION AUX ECOULEMENTS DES FLUIDES PARFAITS 1- Dynamique des fluides parfaits 1.2. Introduction La dynamique des fluides parfaits concerne, le mouvement des fluides non visqueux 1.3 – les équations d’Euler En mouvement, les forces agissant sur la particule d’un fluide parfait sont : - les forces de volume : exemple, la gravité - les forces de surfaces : exemple, la pression - les forces d’inertie : proportionnelles à l’accélération  et au volume. Cet ensemble de forces satisfait la loi de Newton :  F  m En statique   0 donc  F  0. En raisonnant sur un élément de volume parallélépipédique on avait trouvé comme équations régissant l’équilibre :  i j   F vi  0 avec  i j   p  i j x j p Donnant :    F v1  0  x1 p    F v2  0  x2 p    F v3  0  x3 En dynamique des fluides   0. Donc à partir des équations précédentes, au second membre, on ajoute le terme m . Ce qui donne : 54   F  m avec m    dx 1 dx 2 dx 3  p     FV 1    1  x1 p    FV 2    2 x2 p    FV 3    3  x3 Ceci peut s’écrire sous la forme vectorielle : du 1    FV  grad p équation d ' Euler dt  Ces équations sont valables pour un fluide non visqueux, compressible ou incompressible. 1.2.Autre forme des équations d’Euler Soit le champ de vitesse U , tel que : d u1 u1