Physique Mécanique Cours (SPHYB124) 2023-2024 PDF

Physique mécanique (SPHYB124) cours : Alessia Masse 2023-2024 Unamur Chapitre 3 : cinématique Introduction L’objet peut être considéré comme une particule : objet ponctuel. *centre d’inertie = centre de masse ≠ centre de gravit...

Physique mécanique (SPHYB124) cours : Alessia Masse 2023-2024 Unamur Chapitre 3 : cinématique Introduction L’objet peut être considéré comme une particule : objet ponctuel. *centre d’inertie = centre de masse ≠ centre de gravité Position Vitesse 1) Vitesse scalaire moyenne Vitesse scalaire moyenne = distance parcourue Intervalle de temps Il s’agit d’un scalaire positif Indépendante de la direction du mouvement 2) Vitesse moyenne (vecteur) Vitesse moyenne = déplacement Intervalle de temps Il s’agit d’un vecteur de même sens que le déplacement indépendante du trajet réel parcouru 3) Vitesse scalaire instantanée, la dérivée La vitesse scalaire instantanée est la vitesse moyenne sur un petit intervalle de temps La vitesse précise à n’importe quel moment LA vitesse instantanée à un instant quelconque est donnée par la pente de la tangente à la courbe de la position en fonction de temps  Le signe de la vitesse instantanée indique le sens du mouvement par rapport à l’axe des x positifs. 4) Vecteur vitesse instantanée a) Le module du vecteur vitesse instantanée est la vitesse moyenne calculée sur un court laps de temps b) La direction du vecteur vitesse est toujours tangente à la trajectoire dans l’espace c) Le sens du vecteur vitesse est toujours suivant celui du mouvement 5) Mouvement relatif, vitesse par rapport à… Un mouvement est dit absolu s’il est défini par rapport à un repère ou un référentiel absolu. Un repère absolu est un repère ou un référentiel relatif. Un repère relatif est un repère qui bouge dans l’univers !!! Le mouvement absolu n’existe pas !!! L’accélération 1) Accélération moyenne amoy = variation de la vitesse intervalle de temps Puisque la variation de la vitesse est un vecteur, l’accélération est également un vecteur de même sens. Il y a accélération lorsqu’il y a : - Une variation du module de la vitesse - Une variation de la direction de la vitesse 2) Accélération instantanée, la dérivée seconde Remarques : - L’accélération n’est pas nécessairement dans le sens du mouvement - L’accélération n’est pas nécessairement dans le sens de la vitesse -  3) Variation de vitesse vs la vie quotidienne Dans la vie courante on distingue 3 cas : - Aller plus vite = dans le sens de la vitesse - Aller moins vite = sens opposé à celui de la vitesse - Changer de direction = non parallèle à la vitesse. On s’intéresse à la variation de la direction de la vitesse, pas à la variation de sa norme. Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) 1) Equation général du mouvement On suppose que : - La vitesse est égale à v0 au temps t = 0 - La position est égale à x0 au temps t = 0 - L’accélération est constante durant tout le trajet Si a = m/s2 => Mouvement rectiligne uniforme (MRU) 2) Equation général du MRUA (vitesse) 3) Equation général du MRUA (position) 4) Equation général du MRUA 5) Graphique Puisque a(t) = dv(t) dt L’accélération instantanée en un point est égale à la pente de la tangente au graphe de v(t) au point considéré. Puisque v(t) = dx(t) dt La vitesse instantanée en un point est égale à la pente de la tangente au graphe représentatif de x(t) au point considéré. Puisque La variation de la vitesse entre les temps t1 et t2 égale à l’aire sous la courbe du graphe représentatif de a(t) évaluée entre les temps t1 et t2. Puisque Le déplacement (variation de position) entre les temps t1 et t2 est égale à l’aire sous la courbe du graphe représentatif de v(t) évalué entre les temps t1 et t2. Exemple :  6) Distance de freinage Résoudre un exercice de cinématique 1) Etapes Chute libre 1) Chute libre La chute libre est un mouvement durant lequel l’accélération est constante et dirigée vers le bas. La vitesse initial, elle, est nulle. Dans le vide, l’accélération est indépendante de la masse et de la forme des corps qui tombent. Tous les cours tombent avec la même accélération. Dans l’air, le mouvement est contrarié par la résistance de l’air. 2) Accélération de la pesanteur L’accélération gravifique a sa valeur qui fluctue en fonction de la latitude et de l’altitude On considère généralement que g = 9,81 m/s2 Cette accélération est dirigée vers le centre de la Terre 3) Equation du mouvement Un mouvement en chute libre se réalisant verticalement, la variable de position sera y  Ainsi, les équations du mouvement deviennent : Un objet est lâché d’une hauteur h. Pour calculer t, l’équation est : Mouvement en 2 dimensions 1) Mouvement horizontal 2) Mouvement vertical 3) Mouvement à deux dimensions 4) Hauteur maximale La portée est la distance à laquelle peut être lancé un projectile Selon l’axe des données (MRUA)  Portée : Si y = 0 : 5) Hauteur en fonction de x 6) Et dans un système en 3D ? Trois dimensions => 6 équations Inertie et la 1ère loi de Newton Tout corps conserve son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, à moins que des forces extérieures ayant une résultante non nulle n’agissent sur lui et ne le contraignent à changer d’état. L’inertie d’un corps est sa tendance à résister à toute variation de son état de mouvement La masse est une mesure de l’inertie d’un corps L’inertie d’un corps est sa tendance à résistance à toute variation de son état de mouvement. Mouvement circulaire uniforme (MCU) 1) Approche géométrique du MCU Hypothèses : - Objet se déplace sur un cercle à une vitesse constante - Q symétrique de P par rapport à OX 2) Accélération radial ou centripète Sous forme vectorielle, l’équation s’écrit : Avec un vecteur unitaire radial (dirigé vers le centre de la trajectoire circulaire) dont la direction change avec le temps. 3) MCU et mouvement périodiques 4) MCU : loi des vitesses On définit le vecteur vitesse angulaire : Vecteur normal au plan de rotation Vecteur dans la direction de l’axe de rotation Le sens du vecteur précise le sens de rotation, via la règle de la main droite  5) Accélérations centripète et tangentielle Référentiel d’inertie 1) Référentiel d’inertie un référentiel d’inertie (ou référentiel galiléen) un corps soumis à une force résultante nulle va soit rester au repos, soit se déplacer à vitesse constante. 2) Vecteur position 3) Transformation de Galilée Les relations de Galilée permettent de passer d’un repère inertiel à un autre repère inertiel. 4) Selon l’axe Ox Chapitre 4 : dynamique de la particule La force et la masse 1) La masse La masse (pesante) est liée à la quantité de matière. Invariable de l’endroit où l’on se trouve. La masse (inertielle) est une propriété fondamentale liée à la fois à l’inertie, à la capacité de réagir à la présence d’un champ gravitationnel et à celle des créer un tel champ. La masse est une grandeur scalaire qui s’exprime en Kg L’inertie est la façon dont les corps réagissent aux forces. Pour un objet en mouvement inertiel (à vitesse constante ou nulle), le changement de vitesse provoqué par une force donnée est d’autant plus petite que la masse est élevée. 2) La force La force est toute cause capable de déplacer ou déformer un corps. Elle permet de décrire la cause du mouvement. On distingue deux types de forces : - Les forces agissant à distance : force gravitationnelle, force exercée par un aimant, … - Les forces agissant en contact : force de frottement, réaction d’un support,… En dehors de la physique nucléaire et de la physique des particules, la plupart des forces découlent de deux des quatre interactions fondamentales : la gravitation et l’électromagnétisme. Il s’agit d’un grandeur vectorielle qui s’exprime en Newton [N] 3) La masse VS la force La 2e loi de Newton 1) La 2e loi de Newton La force résultante agissant sur une particule de masse 𝑚 produit une accélération de même direction que la force résultante. 2) Le choix du repère Pour que la 2e loi de Newton soit applicable, il faut que le 1er principe soit valable Loi de gravitation universelle et force poids 1) Loi de la gravitation universelle Fut énoncer par Newton (1687) Considérée comme loi fondamentale de la nature Elle énonce le fait que que tt objet (ayant une masse) dans l’univers s’attirent Dépend de la masse des corps (en Kg), de la distance qui sépare les CG et de la constante de gravitation universelle 2) Le poids Le poids de l’objet est la force gravitationnelle qui agit sur lui Mt = 5,98 * 1024 Kg et Rt = 6370 Km P sur Terre = 9,81N/Kg G= GMT/ RT2 est mesurer en N/Kg La 3e loi de Newton Action-Réaction 1) La 3e loi de Newton Action-Réaction Cette loi n’est valable que dans les référentiel d’inertie, même si la particule sur laquelle elle s’exerce peut être en accélération. 2) Force normale La force normale est toujours perpendiculaire au support sur lequel est posé un objet. Application des lois de newton 1) Méthode pour résoudre un exercice Le poids apparent On définit le poids apparent d’une personne ou d’un objet, 𝑃⃗𝑎𝑝𝑝, comme étant la force totale que cette personne ou cet objet exerce sur une balance. Les frottements 1) Frottements Le frottement gêne le mouvement des objets, cause l’abrasion et l’usure, et convertit en chaleur d’autres formes d’énergie. - proportionnelle à la charge - indépendante de l'aire de contact - indépendante de la vitesse MAIS Si deux surfaces rugueuses sont frottées en elles, elles se lissent et le frottement diminue. Si on persévère dans la tâche, on s’aperçoit que, même si les surfaces deviennent de plus en plus lisse, le frottement augmente de nouveau… 2) Les frottements statique 3) Les frottements cinétiques Exemples de la force de frottement 1) La force de frottement peut-elle être dans le même sens que l’accélération ?  2) Le frottement fait avancer… 3) Freinage d’une voiture La dynamique du mouvement circulaire uniforme 1) MCU et accélération 2) MCU et force 3) Exercice : le rotor  4) Mouvement orbital (Newton) Mouvement dans un repère non inertiel 1) Mouvement dans un référentiel NON inertiel 2) La force centrifuge n’est pas réelle ! 3) La force de Coriolis n’est pas réelle !  4) Accélération dans un repère NON inertiel 5) Dépression dans l’hémisphère nord Cyclone = rotation antihoraire (hémisphère nord) Anticyclone = rotation horaire (hémisphère nord) Cyclone = rotation horaire (hémisphère sud) Anticyclone = rotation antihoraire (hémisphère sud) Chapitre 5 : statique Introduction La statique étudie les forces et les moments de forces qui agissent sur des corps au repos. On s’intéresse aux cas particuliers où, bien que des forces extérieures agissent sur un corps, leurs effets s’annulent et il n’y a aucun changement dans le mouvement. Centre de masse 1) Centre de masse = centre d’inertie Le centre de masse est tel que, si une force agit sur une masse ponctuelle placée en ce point, elle produit le même mouvement de translation que l’objet sans aucune rotation. Le corps se comporte alors comme si toute sa masse était concentrée en ce point. Moment de force 1) Moment d’une force Le moment d'une force est la mesure de la capacité qu'a une force d'imprimer une rotation autour d'un axe Une force produit une accélération linéaire Un moment de force produit une accélération angulaire (Exemple) Equilibre de translation et de rotation 1) Il y aura équilibre si… 2) Méthode pour résoudre l’exercice Centre de gravité 1) Centre de gravité ≠ centre d’inertie Le centre de gravité d’un corps est le point par rapport auquel le moment de force gravitationnel total est nul. Il n’existe pas de différence entre le CM et le CG pour autant que la valeur et le sens de Ԧ𝑔 soient les mêmes pour tous les objets considérés. CONTRE-EXEMPLE : le champ gravitationnel n’est pas uniforme sur tout le volume de la Terre, et donc son centre de gravité est mobile. Par contre son centre d’inertie (centre de masse), qui dépend uniquement de l’objet, reste le même quel que soit le champ gravitationnel extérieur. Dans ce cas, le centre d’inertie ne coïncide généralement pas avec le centre de gravité. Equilibre et stabilité Equilibre stable: L'objet légèrement écarté de sa position d'équilibre, puis lâché revient dans cette position d'équilibre Equilibre instable: L'objet légèrement écarté de sa position d'équilibre quitte la position d'équilibre qu'il occupait pour aller vers une nouvelle position d'équilibre. Equilibre indifférent: L'objet légèrement écarté de sa position d'équilibre n'y retourne pas comme pour un équilibre stable, ne s'en écarte pas comme pour un équilibre instable. Il garde comme position d'équilibre celle qu'il a obtenu par son léger déplacement. En mécanique du solide, on appelle surface de sustentation, également polygone de sustentation, la surface sur laquelle la projection orthogonale du centre de gravité d'un solide sur le sol, ou sur un support, doit se trouver pour garantir l'équilibre On peut définir la surface de sustentation comme étant l'enveloppe convexe contenant tous les points de contact entre le corps et le support. Equilibre des avions 1) Équilibre de translation ? 2) Équilibre de rotation ? Chapitre 6 : travail et puissance Travail effectué par une force constante 1) Définition Le travail 𝑊 effectué par une force constante 𝐹 dont le point d’application subit un déplacement 𝑠 est défini par - - Le travail d’une force donnée dépend seulement de la force, du déplacement et de l’angle qu’ils forment. Il est indépendant de la vitesse, de l’accélération du corps et de la présence d’autres forces. Exemples 1) Quelques exemples 2) Travail de la force poids (plan incliné) Le travail effectué par la force poids ne dépend que des coordonnées verticales initiale et finale, et non du trajet suivi 3) Travail de la force de frottement (plan incliné)  Cette formule n’est valable que si la force poids et la force normale sont les seuls ayant des composantes perpendiculaires au plan incliné Représentation graphique du travail 1) Travail d’une force constante dont la direction est parallèle à celle du déplacement 2) Travail d’une force variable dont la direction est parallèle à celle du déplacement 3) Travail d’un ressort Théorème de l’énergie cinétique 1) Théorème de l’énergie cinétique Quelle grandeur physique varie-t-elle lorsqu’un travail total non nul est effectué sur une particule ?  Le travail effectué sur une particule est égal à la variation de son énergie cinétique de translation. L’énergie cinétique de translation d’un objet est le travail qu’il peut effectuer sur son environnement en s’arrêtant La puissance La puissance est la quantité de travail (énergie) consommée/produite par unité de temps Attention : l’unité kWh (kilowatt-heure) est une unité d’énergie puisqu’il s’agit de multiplier kW(puissance) par une heure (temps). Il s’agit de l’énergie consommée par une appareil de 1000 W pendant une heure : 1 kWh = 3 600 000 Joules. Travail d’une force variable sur une trajectoire curviligne 1) Travail d’une force non constante suivant une trajectoire curviligne 2) Travail de la force de gravité 3) Le pendule Une force horizontale élève très lentement la masse d'un pendule simple à partir de la verticale jusqu'à un point où le fil fait un angle 𝜃0 avec la verticale. Le module de la force varie de sorte que la masse est essentiellement à l'équilibre à tout instant. Quel est le travail effectué sur la masse ?  Quel est le travail effectué par la force gravitationnelle sur la masse ? Que vaut le travail total sur la masse ? Puisque 𝑊𝐹𝐺 =−𝑊𝐹, le travail total est NUL. Chapitre 7 : énergie 1) Introduction Si l’on connaît les positions et les vitesses initiales des particules d’un système ainsi que toutes les forces agissant sur elles, on peut prévoir l’évolution du système. MAIS, dans la pratique, nous avons souvent très peu de renseignements sur les forces mises en jeu dans une situation donnée. Même lorsqu’on sait comment varie une force dans l’espace ou dans le temps, l’application des lois de Newton est parfois fastidieuse. L’énergie est le nom génériques de plusieurs quantités fondamentales (scalaires) qui s’expriment en Joule. L’énergie est une quantité conservée en physique, qui peut être échangée entre de systèmes mais pas détruite ni créée. Ce n’est pas une substance, c’est une notion abstraite. Notion d’énergie potentielle Soulevons une pomme à vitesse constante On exerce une force avec la main (extérieure) qui compense exactement la force gravitationnelle (intérieure) La vitesse et l’énergie cinétique de la pomme ne varient pas Tout le travail extérieur doit donc apparaître comme une variation de l’énergie potentielle : L'énergie potentielle est l'énergie attribuable aux positions relatives de deux ou plusieurs particules en interaction. L’énergie potentielle d'un système est le travail extérieur nécessaire pour amener les particules, à vitesse constante, de la configuration Epot = 0 aux positions données. Note : le niveau zéro de l’énergie potentielle gravitationnelle est fixé à un niveau horizontal quelconque (sol, table, …), celui de l’énergie potentielle d’un ressort à la position d’équilibre, … 2 inconvénients : 1) Cette définition fait intervenir un agent extérieur 2) La vitesse des particules doit être maintenue constante par l’action de deux forces de même module mais de sens opposé : l’une extérieure (main) et l’autre intérieure (force gravitationnelle exercée par la Terre sur la pomme = force poids) Travail d’une force conservatrice 1) Forces conservatives et non conservatives 2) Travail et forces conservatives Le travail effectué par une force conservative sur une particule est le même quel que soit le trajet parcouru : Le travail effectué par une force conservative sur une trajectoire fermée est nul : Si l’on inverse le sens du parcours, la valeur du travail ne varie pas (change de signe) : Le travail d’une force conservative ne dépend que de la position, et non de la vitesse ni du temps. 3) Energie potentielle et travail d’une force conservatrice Dans le cas de la définition développée ci-avant :  Le travail total effectué par la force extérieure et par la force intérieure (conservative) est nul car Δ𝐸𝑐𝑖𝑛=0. La variation d’énergie potentielle en fonction du travail effectué par la force conservative est donc : La variation de l’énergie potentielle d’un corps quand il est déplacé d’un point à un autre dans un champ de force conservatif, est égal à l’opposé du travail du champ sur le corps. Les forces conservatives ont tendance à réduire au minimum l’énergie potentielle d’un système. En effet, si on ne retient pas une pomme, elle tombe sur le sol… du fait de son poids. En 3D, une force conservative peut varier à la fois en module et en direction. On ne peut définir l’énergie potentielle que pour une force conservative car le travail effectué par une telle force est le seul qui ne dépende pas de la trajectoire. Si les forces intérieures d’un système sont conservatives, le travail extérieur effectué sur le système est emmagasiné sous forme d’énergie potentielle et peut être intégralement restitué. Si le travail extérieur est effectué en présence de frottement, une partie de ce travail ne pourra pas être restitué puisqu’elle sert à augmenter l’énergie des vibrations des atomes des surfaces qui glissent l’une sur l’autre (élévation de la température). On peut faire correspondre une fonction énergie potentielle scalaire à une force conservative mais pas à une force non conservative. Fonction d’énergie potentielle 1) Energie potentielle de la force poids (près de la surface de la Terre) On sait que le travail effectué par la force poids sur une particule de masse 𝑚 dont la coordonnée verticale varie de 𝑦𝑖 à 𝑦𝑓 est Or, on sait aussi que 𝑃 Si on choisit que 𝐸𝑝𝑜𝑡 = 0 lorsque 𝑦=0 et que l’on soulève la particule de 𝑦𝑖=0 à 𝑦𝑓=ℎ, on a :  2) Energie potentielle gravitationnelle On sait que le travail effectué par la force de gravité sur une particule de masse 𝑚 dont la coordonnée verticale varie de 𝑟𝑖 à 𝑟𝑓 est Or, on sait aussi que 𝑔𝑟𝑎𝑣 Si on choisit que 𝐸𝑝𝑜𝑡 = 0 lorsque r=∞ et que l’on soulève la particule de 𝑟𝑖=∞ à 𝑟𝑓=𝑟, on a : 3) Energie potentielle gravitationnelle (près de la surface de la Terre) Que se passe-t-il si on considère une particule qui part de la surface (𝑟𝑖=𝑅𝑇) de la Terre vers une altitude ℎ (avec ℎ≪𝑅𝑇) c-à-d 𝑟𝑓=𝑅𝑇+ℎ ? On retrouve l’expression trouvée pour la force poids ! 4) Energie potentielle d’un ressort On sait que : 1 𝑊𝑟𝑒𝑠 = − 𝑘(𝑥𝑓2 − 𝑥𝑖2 ) 2 Or, on sait aussi que 𝑟𝑒𝑠 𝑊𝑟𝑒𝑠 = 𝛥𝐸𝑝𝑜𝑡 1 𝑟𝑒𝑠 𝑓 𝑊𝑟𝑒𝑠 = − 𝑘(𝑥𝑓2 − 𝑥𝑖2 ) = 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑟𝑒𝑠 𝑖 − 𝐸𝑝𝑜𝑡 2  𝑟𝑒𝑠 Si on choisit que 𝐸𝑝𝑜𝑡 = 0 lorsque 𝑥=0 et que l’on soulève la particule de 𝑥𝑖=0 à 𝑥𝑓=𝑥, on a : Conservation de l’énergie mécanique 1) Conservation de l’énergie Pour une particule soumise uniquement à des forces conservatives, on sait que : Bien que l’énergie potentielle et l’énergie cinétique évoluent séparément, leur somme a la même valeur en tout point ! Cette expression peut donc également s’écrire : Δ𝐸𝑝𝑜𝑡+Δ𝐸𝑐𝑖𝑛=0 Si on définit l’énergie mécanique comme 𝐸𝑚é𝑐𝑎= 𝐸𝑝𝑜𝑡+𝐸𝑐𝑖𝑛, les équations précédentes deviennent : 2) Conservation de l’énergie : conditions d’application On peut appliquer le principe de conservation de l’énergie à condition : 1)qu’il n’y ait aucun travail effectué par une force extérieure quelconque ou par une force intérieure non conservative quelconque 2)Que les énergies soient mesurées dans le même référentiel d’inertie (car l’énergie cinétique dépend du référentiel choisi) Avantages par rapport à l’application des lois de Newton : 1)Le travail et l’énergie sont des scalaires faciles à manipuler : la force et l’accélération sont des vecteurs !  2)On ne doit considérer que les états initial et final : on ne doit donc pas connaître l’évolution du système étudié 3)On peut utiliser l’énergie sans nécessairement connaître les forces mises en jeu 3) Conservation de l’équilibre (objet en chute libre) Note : lorsque l’objet touche le sol, l’objet peut subir une force non conservative due au sol et son énergie mécanique ne peut plus être conservée 4) Conservation de l’énergie mécanique (ressort) Note : si on étire le ressort au-delà de sa limite d’élasticité, il subit une déformation permanente et ne peut revenir à sa position initiale : on ne peut plus appliquer le principe de conservation de l’énergie. 5) Conservation de l’énergie mécanique (saut à la perche) Méthode de résolution des exercices Forces non conservatives et conservation de l’énergie Le principe de conservation de l’énergie ne s’applique qu’aux systèmes ne faisant pas intervenir de forces non conservatives. On sait que le travail effectué par une force conservative est pris en compte dans le terme de l’énergie potentielle Toutefois, la variation d’énergie cinétique d’une particule dépend de toutes les forces agissant sur elle. Le théorème de l’énergie cinétique s’écrit donc : On peut alors écrire : Un travail exercé par une force non conservative modifie l’énergie mécanique d’un système. Lorsque l'énergie mécanique d'un système diminue, l'énergie mécanique se transforme... en chaleur par exemple (ou sous d'autres formes d'énergie). Note : Le fait que l’énergie d’un système puisse être modifiée par un transfert de chaleur ou par un apport de travail est l’essence même de la première loi de thermodynamique. Force conservative et fonction énergie potentielle 1) Force conservative et énergie potentielle Comment trouver la force conservative si on connaît la fonction énergie potentielle correspondante ? On sait que Considérons uniquement une direction de l’espace, par simplicité, l’expression précédente devient : ou encore : Cette expression reste valable dans toutes les directions. Une force conservative peut être obtenue à partir de la dérivée d’une fonction énergie potentielle scalaire Exemples :  2) Diagramme d’énergie Le diagramme d’énergie potentielle d’une particule renseigne plusieurs aspects de son mouvement. Le mouvement de la particule (au niveau atomique ou moléculaire) est généralement «piloté» par une fonction énergie potentielle, souvent de type Lennard-Jones. La mécanique quantique, nous renseigne qu’une particule ne peut occuper que des états d’énergie bien définis (𝐸1,𝐸2,𝐸3,…). Le mouvement de la particule (au niveau atomique ou moléculaire) est généralement «piloté» par une fonction énergie potentielle, souvent de type Lennard- Jones. L’énergie cinétique (et donc la vitesse) de la particule en un point est déterminée par Notion de gradient 1) Définition du gradient Le gradient d'une fonction de plusieurs variables en un certain point est un vecteur qui caractérise la variabilité de cette fonction au voisinage de ce point. Le gradient désigne la variation spatiale continue d’une quantité physique. Défini en tout point où la fonction est différentiable, il définit un champ de vecteurs, également dénommé gradient. Le gradient est la généralisation à plusieurs variables de la dérivée d'une fonction d'une seule variable. 2) Gradient de la fonction f(x,y) = x2 + y2 3) Illustrations de gradient Le gradient donne la direction de la plus forte pente La vitesse de libération 1) Vitesse de libération Une particule au repos à la surface de la Terre ou en orbite stable autour de la Terre est dans un état lié. Quelle vitesse doit-elle atteindre pour quitter le champ gravitationnel terrestre ? On suppose que si la particule quitte le champ gravitationnel terrestre, elle atteindra la position 𝑟=∞ à vitesse nulle. On peut donc dire que son énergie mécanique finale sera nulle. Par conservation de l’énergie, on peut écrire : La vitesse de libération est indépendante de la masse de la particule mais son énergie cinétique en dépend. C’est pourquoi, le recours à de puissantes fusées est nécessaire pour emporter de grandes charges dans l’espace. (voir chap.8) La vitesse de libération serait aussi la vitesse à laquelle heurterait les objets qui tomberaient sur Terre depuis une très grande distance et sans frottement de l’air, … 2) Vitesse de libération dans le système solaire Chapitre 8 : quantité de mouvement Notion de quantité de mouvement 1) Quantité de mouvement La quantité de mouvement d’un corps de masse 𝑚 et de vitesse 𝑣 est définit comme égal au produit de sa masse par sa vitesse : Il s’agit d’un vecteur : -De même direction que la vitesse -De même sens que la vitesse 2) Énoncé moderne de la 2nde loi de Newton On peut définir la seconde loi de Newton grâce à la notion de quantité de mouvement : En effet, si on considère une masse constante : Conservation de la quantité de mouvement 1) Conservation de la quantité de mouvement 2) Et la 3e loi de newton ? 3) Y a-t-il tout le temps conservation de la quantité de mouvement ? Si la force extérieur résultante sur un système est nulle, la quantité de mouvement totale est constante Types de collisions 1) Qu’est-ce qu’une collision ? Une collision est une interaction brève et intense entre deux corps. On suppose que la durée de l’interaction est suffisamment courte pour nous permettre de limiter l’étude à l’instant précédant immédiatement avant et à l’instant suivant immédiatement l’évènement. 2) Types de collisions Collision élastique Conservation de la quantité de mouvement Conservation de l’énergie cinétique totale Exemple : balle magique Collision inélastique Conservation de la quantité de mouvement  Exemple : billes en bois (choc -> bruit) Collision parfaitement inélastique Conservation de la quantité de mouvement Exemple : billes de mastic Collision élastique à une dimension Dans une collision élastique 1D, la vitesse relative des particules garde un module constant mais son sens est inversé Si l’objet 2 est au repos avant la collision, alors après la collision, l’objet 1 et l’objet 2 s’éloigne avec la vitesse initiale de l’objet 1. Collision inélastique à une dimension CAS PARTICULIER : 𝑢2𝑥=0 et les deux masses restent accrochées après la collision CAS PARTICULIERS : 𝑚1=𝑚2=𝑚, 𝑢2𝑥=0 et les deux masses restent accrochées après la collision Collision élastique à deux dimensions Notion d’impulsion Lors d’une collision la quantité de mouvement totale est conservée (est constante). Par contre, la quantité de mouvement d’une particule peut varier. Cette variation de quantité de mouvement est appelé impulsion et se définit comme : 𝑑𝑝 Sachant que 𝐹 = , on peut écrire : 𝑑𝑡 Cela s’applique pour tout intervalle de temps et plus spécifiquement pour les forces dites « impulsives », c’est-à-dire des forces qui agissent un bref instant. Ces forces sont généralement plus importantes que toutes les autres forces présentes. La force de la raquette n’accompagne pas la balle tout au long de sa trajectoire mais lui donne « juste » une vitesse initiale ! Exercices 1) Méthode de résolution d’un exercice Comparaison entre 𝑝 et Ecin  1) Quantité de mouvement et énergie cinétique Remarque 1 : Si la force n’est pas constante, les forces «moyennes» seraient différentes (temps vs espace) Remarque 2 : On peut faire varier la quantité de mouvement d’un objet sans modifier son énergie cinétique Remarque 3 : Il n’est pas possible de modifier l’énergie cinétique d’un corps sans modifier sa quantité de mouvement. Propulsion d’une fusée Energie cinétique d’un système de particules Chapitre 9 : rotation Introduction Un corps rigide est un objet dont la forme et les dimensions sont fixe. Les positions relatives des particules constituant le corps restent donc constantes. Un axe fixe est une axe qui reste fixe par rapport au corps étudié et dont la direction est fixée par rapport à un référentiel d’inertie. Mesure d’un angle en radian La valeur de l’angle en radians est le rapport entre la longueur L de l’arc de cercle intercepté par l’angle et le rayon R. 2π = 360° Cinématique de la rotation 1) Position angulaire et déplacement angulaire Toutes les particules de la droite OA se déplacent vers leur position correspondante sur la droite OB MAIS Avec une vitesse linéaire différente ! MAIS En effectuant un rotation de même amplitude ! On caractérise le point A par une position angulaire ΘA On caractérise le point B par une position angulaire ΘB Le déplacement angulaire sera alors égal à : ΔΘ = ΘB - ΘA 2) Vitesse angulaire Δ𝑙=𝑟 Δ𝜃 Alors, pour une intervalle de temps Δt, on peut écrire : Note : la vitesse moyenne angulaire s’exprime en rad/s. 3) Vitesse angulaire instantanée La vitesse angulaire instantanée est le taux de variation de Θ en fonction du temps. De même, on pourra écrire :  Rappel : la vitesse instantanée est un vecteur tangent à la trajectoire. Quand un corps rigide tourne autour d’un axe à une certaine vitesse angulaire 𝜔𝑖𝑛𝑠𝑡 , cette grandeur caractérise le mouvement et elle est la même pour tous les points du corps. Par contre, chaque point se déplace avec une vitesse linéaire différente, proportionnelle à la distance qui le sépare de l’axe de rotation. Le sens de rotation peut-être précisé à l’aide d’une convention de signe. Par exemple : si le corps tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, on considère que 𝜔>0. On peut aussi définir la vitesse angulaire comme une grandeur vectorielle orientée le long de l’axe de rotation. 4) Fréquence et période La fréquence (f) est le nombre de révolutions effectuées en une seconde. Elle s’exprime en Hertz (Hz ou S-1). La période (T) est la durée d’une révolution. Elle s’exprime en seconde (s). Si la vitesse angulaire est constante : 𝜔𝑚𝑜𝑦=𝜔𝑖𝑛𝑠𝑡 Dans ce cas, pendant une révolution, le corps tourne de 2π rad et on obtient : 5) Accélération angulaire Lorsque la vitesse angulaire varie, l’accélération angulaire moyenne est définie par : Elle s’exprime en rad/s2. Ou encore puisque Δ𝑣=𝑟 Δ𝜔, on a : C’est-à-dire : 6) Accélérations tangentielle et centripète L’accélération tangentielle est due à la variation de la norme de la vitesse. L’accélération centripète est due à la variation de la direction de la vitesse. Si la direction et la norme de la vitesse varient toutes les deux, les deux accélérations existent et son perpendiculaires.  7) Accélération angulaire instantanée L’accélération angulaire instantanée est définie comme suit : En considérant une accélération angulaire constante en fonction du temps : De même, on aura : 8) Equations de la cinématique (résumé) Roulement 1) Roulement sans glissement Durant t=T, la roue parcourt une fois sa circonférence. Le module de sa vitesse, en son centre, est : Le roulement est la combinaison d’une translation du centre et d’une rotation autour du centre. La vitesse en un point de la circonférence est égale à Energie cinétique de rotation et moment d’inertie 1) Energie cinétique de rotation 2) Moment d’inertie Le moment d’inertie d’un corps mesure son inertie de rotation, c’est-à-dire sa résistance à toute variation de sa vitesse angulaire. Il s’agit d’une grandeur scalaire. Le moment d’inertie dépend de la façon avec laquelle la masse est distribuée autour de l’axe de rotation. Plus la masse sera grande et concentrée loin de l’axe de rotation et plus la résistance du corps à une variation de son mouvement de rotation sera grande. Théorème des axes parallèles Moment d’inertie des corps rigides 1) Moment d’inertie d’un disque homogène Déterminons le moment d’inertie d’un disque homogène de rayon R par rapport à un axe de rotation passant par son centre et perpendiculaire à la surface plane. Considérons la densité surfacique :  Découpons, par la pensée, le disque, en d’infinitésimaux anneaux. Considérons un anneau situé à une distance 𝑟 du centre et d’épaisseur 𝑑𝑟, sa surface et sa masse valent : Le moment d’inertie de cet élément est : Le moment d’inertie total est donc 2) Moment d’inertie d’une sphère pleine Déterminons le moment d’inertie d’une sphère pleine homogène de rayon R par rapport à un axe de rotation passant par son centre. Considérons la densité volumique : Découpons, par la pensée, la sphère, en d’infinitésimaux disques. Considérons un disque situé à une distance 𝑥 du centre et d’épaisseur 𝑑𝑥, son volume et sa masse valent : Le moment d’inertie de cet élément est : Le moment d’inertie total est donc : Dynamique de rotation 1) Moment de force Soit un corps rigide en mouvement autour d’un axe fixe à accélération angulaire constante. On a vu au chapitre 5, la notion de moment de force : Tel que, pour chaque partie de corps : Lorsque le corps est en rotation, on a : Le moment des forces extérieures total est alors égal à :  Cette expression ressemble très fortement à : En effet : Le moment de force est à la rotation ce que la force est à la translation : il crée une accélération angulaire alors que la force engendre une accélération linéaire sur les particules du corps. Remarques importantes : a) Ce n’est pas une équation vectorielle b) Elle n’est valable que si l’axe de rotation est fixe en position et en direction c) Elle n’est valable que si l’axe de rotation passe par le CM et qu’il est fixe en direction seulement, ainsi l’expression 𝜏𝐶𝑀=𝐼𝐶𝑀𝛼𝐶𝑀 est valable même si le CM subit une accélération. 2) Notions et lois de la dynamique (résumé) Chapitre 10 : moment cinétique Comparaison des mouvements de translation et de rotation 1) Equations de la cinématique 2) Moment cinétique L’équivalent rotationnel de la quantité de mouvement 𝑝 est le moment cinétique 𝐿. On l’appelle moment angulaire ou encore moment angulaire orbital (atome). En «traduisant» la notion de quantité de mouvement en notation angulaire, le moment cinétique s’écrit : 𝑳=𝑰𝝎 Il s’exprime en 𝑘𝑔 𝑚2 𝑠−1. Vecteur moment cinétique 1) Mouvement rectiligne Une particule qui écrit une trajectoire rectiligne possède un moment cinétique par rapport à toute origine qui n’est pas située sur la trajectoire. Cet aspect «angulaire» vient de la rotation du vecteur position autour de ce centre. On sait que : 𝐿𝐴=𝑟𝐴 𝑝𝐴 sin(𝜃𝐴) 𝐿𝐵=𝑟𝐵 𝑝𝐵 sin(𝜃𝐵) Et que 𝑟𝐴 (sin𝜃𝐴) =𝑟∧=𝑟𝐵sin(𝜃𝐵) 𝑝𝐴=𝑝𝐵 Donc : LA = LB 2) Mouvement circulaire (origine au centre) 3) Mouvement circulaire 4) Système de particules : objet rigide + axe fixe Dynamique de la rotation 1) 2nde loi de Newton pour la rotation Le moment de force résultant agissant sur une particule est égal à la dérivée par rapport au temps de son moment cinétique. On sait que les forces intérieures s’annulent et que seules les forces extérieures doivent être prises en compte (chap. 8). Il en est de même avec les moments de forces. Cette loi est valable si le moment de force et le moment cinétique sont mesurés par rapport : a) à la même origine dans un référentiel d’inertie b) au centre de masse même s’il possède une accélération. Conservation du moment cinétique Si le moment de force extérieur résultant sur un système est nul ( 𝜏𝑒𝑥𝑡=0), alors le moment cinétique total est constant en module et en direction ! Cet énoncé s’applique à toute situation, quel que soit le système de particules ou de corps considéré et la nature des mouvements qu’on y observe. Mouvement gyroscopique 1) Gyroscope Un gyroscope est un dispositif mécanique en rotation autour d’un axe, monté sur un support pouvant pivoter librement. Il exploite le principe de la conservation du moment angulaire en physique (ou encore stabilité gyroscopique ou effet gyroscopique). 2) Mouvement gyroscopique Roue tournant sur elle-même et dont l’arbre est soutenu à l’une des extrémités par un support sans frottement.  2 forces extérieures : -Force poids - Réaction du support Cette variation de moment cinétique correspond à une «chute». MAIS La roue tourne rapidement sur elle-même et possède donc un moment cinétique de spin important dirigé selon l’axe x (𝑳𝑺) ! Le nouveau moment cinétique est : La direction a donc été légèrement modifiée : elle est restée dans le plan horizontal mais est plus en arrière. = précession Chapitre 12 : Solide et fluide Solide, liquide et gaz Un solide est l’état de la matière qui possède une forme propre et un volume propre indépendantes du récipient qui le contient. Un liquide est l’état de la matière qui possède un volume propre mais dont la forme dépend du récipient qui le contient. Un gaz est l’état de la matière qui possède un volume et une forme qui dépend du récipient qui le contient. Il se dilate pour remplir tout le volume qui lui est offert. Un fluide est l’état de la matière dans lequel un corps peut s’écouler, changer de forme et épouser celle de sont contenant (liquide et gaz). Masse volumique et densité 1) Masse volumique La masse volumique 𝜌 d’un objet de masse 𝑚 et de volume 𝑉est définie par: Si la masse volumique varie d’un point à l’autre de l’objet, on doit plutôt définir la masse volumique comme : Elle s’exprime en 1kg/m3  2) Densité Le densité d’une substance est le rapport entre sa masse volumique et celle de l’eau à 4°C, qui est égale à 1000Kg/m3 Modules d’élasticité 1) Module de Young Le module de Young mesure la résistance d’un solide à toute variation de sa longueur lorsqu’une force est appliquée perpendiculairement à une face. 2) Module de rigidité Le module de rigidité d’un solide désigne sa résistance à une force de cisaillement, qui est appliquée tangentiellement à la surface. Remarque : les forces tangentielles s’exerçant entre les couches adjacentes d’un fluide réel produisent un frottement interne appelé viscosité. 3) Module de compressibilité Le module de compressibilité d’un solide ou d’un fluide désigne sa résistance à une variation de volume. Pression dans les fluides au repos 1) Pression dans les fluides au repos La pression est une notion physique fondamentale. Elle est égale au rapport d’une force rapportée sur la surface sur laquelle elle s’applique. Son unité est le Pascal (Pa). Elle peut également s’exprimer en d’autres unités : -Atmosphère : 1 atm= 101 325 Pa (météorologie) -Bar : 1 bar = 100 000 Pa (industrie) -Centimètre de Mercure : 1 cmHg= 1333,2 Pa (historique) La pression se mesure à l’aide d’un baromètre.  La pression est uniquement dépendante de la profondeur et ne dépend pas de la forme du récipient. 2) Principe fondamentale de l’hydrostatique 3) Force exercée sur un barrage La force de l’eau qui s’applique sur le barrage vaut : Principe de Pascal Une pression extérieur exercée sur un fluide dans un récipient fermé est transmise intégralement à toutes les parties du fluides et aux parois du récipient. Principe d’Archimède Tout corps plongé dans un fluide subit de la part de ce fluide une poussée dirigée de bas en haut et dont le volume est égale au poids du liquide déplacé. Un corps plongé dans un fluide subit deux forces : - Son poids dirigé vers le bas ; - La force d’Archimède, dirigé vers le haut En connaissant le rapport des masses volumique du fluide et de l’objet, on peut déterminer le rapport du volume immergé par rapport au volume total de l’objet. Mesure de la pression Un manomètre est un appareil qui permet la mesure de la pression. La pression absolue lorsque la pression est exprimé par rapport au vide. La pression relative lorsque la pression est exprimé par rapport à la pression de l’air ambiant, une pression exprimé ainsi est donc égale à la pression absolue diminuée de la pression atmosphérique. On évite généralement de noter le signe des pression négatives. La pression différentielle est l’écart de pression entre deux points. Ecoulement laminaire et écoulement turbulent - Écoulement laminaire Fluide s’écoulant à faible vitesse (la vitesse est tangente à une ligne de courant). - Écoulement turbulent (énergie dissipée !) Fluide s’écoulant à grande vitesse ou présence d’obstacle. Equation de continuité 1) Équation de continuité : hypothèses Pour décrire le mouvement d’un fluide, les lois de Newton sont difficiles à appliquer (mais c’est possible!). Considérer plutôt les propriétés du fluide : vitesse, pression,… On va également établir 3 hypothèses : 1)Le fluide est non visqueux : il n’y a pas d’énergie dissipée par une suite de frottement interne entre les couches voisines du liquides 2)L’écoulement est stable : la vitesse et la pression son constantes dans le temps. L’écoulement n’est pas rotationnel (non turbulent) 3)Le fluide est incompressible : sa masse volumique est constante  2) Equation de continuité Masse du fluide contenu dans le cylindre 1: Δ𝑚1 = 𝜌1 𝐴1 Δ𝑙1 Masse du fluide contenu dans le cylindre 2: Δ𝑚2 = 𝜌2 𝐴2 Δ𝑙2 Pas de perte ni de gain de masse: Δ𝑚1 = Δ𝑚2 Puisque le fluide est incompressible: 𝜌1 = 𝜌2 On a alors : 𝜌1 𝐴1 Δ𝑙1 = 𝜌2 𝐴2 Δ𝑙2 𝐴1 Δ𝑙1 = 𝐴2 Δ𝑙2 𝐴1 𝑣1𝑡 = 𝐴2 𝑣2𝑡 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 𝑄1 = 𝑄2 Le débit Q s’exprime en m3/s La vitesse d’un fluide est maximale lorsque l’aire de la section transversale est minimale. Dans ce cas, les lignes de courant sont plus rapprochées. 3) Puissance théorique (idéale) d’un barrage Equation de Bernoulli 1) Equation de Bernoulli Hypothèses : - Ecoulement stable et laminaire - Fluide incompressible et non visqueux Par le principe de conservation de l’énergie, on sait que: Cette expression peut encore s’écrire :  2) Equation de Bernoulli : tube horizontal 3) Equation de Bernoulli : débitmètre de Venturi Le débitmètre de Venturi est un dispositif servant à mesurer la vitesse d’écoulement d’un fluide. Puissance électrique produite par un éolienne Une région où la pression atmosphérique est inférieure à celle des régions avoisinantes est appelée zone de basse pression ou dépression. Une dépression s’accompagne souvent de vent et de pluie. Une région où la pression atmosphérique est supérieure à celle des régions avoisinantes est appelée zone de haute pression, de surpression ou encore d’anticyclone. Il est signe de stabilité et en général, de beau temps. Puissance électrique produite par une éolienne La puissance de l’éolienne dépend : - du cube de la vitesse du vent. Si la vitesse double, la puissance est multipliée par 8 -du carré de la longueur d’une pale. Si le rayon double, la puissance quadruple -de la masse volumique du fluide, un vent froid sera privilégié et une hydrolienne est donc favorisée Chapitre 13 : oscillations Un mouvement qui se répète à intervalles de temps consécutifs égaux est dit périodique. Il y a deux types de mouvements périodiques : 1) Les mouvements sur une trajectoire fermée Exemples : Lune-Terre, aiguilles d’une montre, … 2) Les mouvements vibratoire (va-et-vient) Exemples : ressort, cordes vocales, hamac, horloge à balancier, … Oscillateur harmonique simple Le mouvement harmonique simple est un type particulier de mouvement ou d'oscillation périodique où la force de rappel est directement proportionnelle au déplacement et agit dans le sens opposé à celui du déplacement. Propriétés de l’oscillateur harmonique 1) Oscillateur harmonique 1) L’amplitude 𝐴 est constante (oscillation dite «simple») 2) La fréquence et la période sont indépendantes de l’amplitude : les grandes oscillations ont la même période que les oscillations plus petites (isochronisme) 3) La dépendance en fonction du temps de la grandeur qui fluctue peut s’exprimer par une fonction sinusoïdale de fréquence unique (oscillation dite «harmonique»). 2) Vitesse + accélération de l’oscillateur Système bloc-ressort On sait que la force de rappel d’un ressort (loi de Hooke) est proportionnelle à la position du ressort par rapport à la position d’équilibre et à tendance à ramener le bloc vers sa position d’équilibre. Un ressort va osciller plus lentement si la masse du bloc est élevée. Un ressort va osciller plus rapidement s’il est plus rigide (𝒌 élevé). Energie dans le mouvement harmonique simple Pendule simple Le pendule simple est une masse ponctuelle fixée à l'extrémité d'un fil sans masse, inextensible et sans raideur et oscillant sous l'effet de la pesanteur. Sous l'effet de son poids, lorsque le pendule est écarté de sa position d'équilibre (la verticale), le point matériel de masse 𝑚 se déplace sur un arc de cercle en tentant de rejoindre son point d’équilibre. Quelle est cette force de rappel ? C’est la force poids qui tend constamment à ramener le pendule vers sa position d'équilibre stable. Le pendule oscille autour de cette position. La période ne dépend - ni de la masse - ni de l’amplitude Pendule composé Un pendule composé est constitué d'un corps lié à un centre ou un axe de rotation et oscillant sous l'effet de son propre poids. Il est dit composé par opposition au pendule simple car il prend en compte le fait que les masses ne sont pas ponctuelles et que les liaisons ne sont pas parfaites.  Contrairement au pendule simple, la masse du pendule et sa répartition spatiale (moment d’inertie) jouent un rôle dans le mouvement du pendule composé ! En mesurant la période et en connaissant la masse du pendule ainsi que la position du CM, on peut déterminer le moment d’inertie du pendule composé ! Oscillations amorties et oscillations forcées 1) Oscillations amorties Dans les cas réels, des frottements diminuent l’amplitude d’un oscillateur. De tels oscillateurs sont dits «amortis». Pour son étude, introduisons une force de résistance telle que : Lorsque l’oscillateur se trouve dans un fluide, on suppose que le fluide s’écoule de manière laminaire et qu’une mince couche de ce fluide se forme autour de l’oscillateur. En négligeant la poussée d’Archimède, la seconde loi de Newton affirme que : Note : la force poids est responsable de l’élongation initiale de l’oscillateur (position d’équilibre) et n’intervient pas dans le mouvement oscillant proprement dit. 2) Oscillations sous-amorties ou pseudo-périodiques (𝜸