Travaux Dirigés de Mécanique du Point Matériel PDF - Série N°1 - 2024-2025 - Filières SMP / SMC

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Année Universitaire A 2024-2025 Filières SMP / SMC Semestre 1 Travaux dirigés de Mécanique du Point Matériel Série N°1 Exercice 1 B ((6,5, 3) , C (3, 6 ,2) , D (4, 4 ,2) et E (1, 5 ,1) repérés dans le repère cartisien Soient cinq points : A (5, 7, 3), B R(O,X ,Y,Z) muni d’une base orthonormée ( i , j, k ). 1- Exprimer les vecteurs  A  ), et calculer leur modules A t  dans la base ( i , j, k A  2-En déduire les vecteurs unitaires u , u et u associés à  1 2 3 AB,  A et  respectivement 3- a. Calculer le produit Calculer le produit scalaire scalaire des vecteurs  des vecteurs A t  b. En déduire l’angle formé par les vecteurs  A t A 4- a. Déterminer la projection du vecteur  sur le vecteur  b. En déduire l’angle formé par les vecteurs  et  5-Montrer que  A t A  sont perpendiculaires 6- a. Calculer le produit vectoriel  A ∧ A b. Vérifier que  onal à  A ∧ A est orthogonal A t A c. Calculer A  ∧ A  , Que représente ce résultat ?  ∧ A d. En déduire le vecteur unitaire u4 associé à A  7- Montrer que les vecteurs  A t  sont colineaires 8- Montrer que les vecteurs  A  A t  sont coplanaires 9- Le triplet ( u1 , u2 , u4 ) forme-t-il une base de l'espace? Justifier votre réponse. Exercice 2 Le plan est rapporté à un repère orthonormé, f est un réel f, -5 et V Soient U 2f-1, f4.. Existe-t-il Existe ⊥V des valeurs du réel f pour lesquelles U  ? Exercice 3 cartésiennes d’un point matériel A sont 6 ( 7√2, Dans le repère R(O,XYZ), les coordonnées cartésiennes, y =√2, z = 1. uuur Ecrire dans ce même repère, le vecteur position OA dans les systèmes de coordonnées cartésiennes, 1-Ecrire uuur cylindriques et sphériques. Vérifier que OA ne change pas si on change de système systè de coordonnées. 2- Dans ce repère les coordonnées cylindriques d’un point B sont ρ= 3, φ= 3/6, z=2 z uuur Ecrire le vecteur position OB dans les systèmes de coordonnées cylindriques, cylindriques cartésiennes et sphériques. uuur Vérifier que OB est ne change pas si on change de système de coordonnées uuursphériques d’un point C sont r= 3, θ= 3/6, φ= 3- Dans ce repère les coordonnées = 3/4 Ecrire le vecteur position uuur OC dans les systèmes de coordonnées sphériques, sphériqu cylindriques et cartésiennes. Vérifier que OC est indépendant du système de coordonnées choisi. S1 Faculté des Sciences – Université Ibn Tofail Mécanique du Point Matériel SMPC-S1 - Z. Sadoune & Y. El merabet 55 Exercice 4 r r r Dans le repère cartésien R (O, i , j, k) , un point M a les coordonnées cartésiennes x, y, z. Ses coordonnées cylindriques sont ρ, φ, z. Ses coordonnées sphériques sont r, θ et φ. uur uur uur 1-Exprimer les vecteurs unitaires de la base cylindrique ( e ρ , e ϕ , ez ) en fonction des vecteurs unitaires  de la base cartésiennes i, j, k uur uur uur uur ∂ eρ ∂ eρ ∂ eϕ ∂eϕ – Calculer les dérives partielles , , , ∂ρ ∂z ∂ρ ∂z R R R R uur uur ∂ eρ ∂ eϕ uur uur uur -Calculer les dérivées partielles et et exprimer le résultat dans 8i, j, k 9et dans ( e ρ , e ϕ , ez ) ∂ϕ ∂ϕ R R uur deρ 2- φ étant fonction du temps, calculer à l’aide de la question précédente les expressions de et dt R uur de ϕ dϕ en fonction de = ϕ& dt dt R R uur uur de ρ uur r de uur r 3- Monter que qu’on peut écrire = w ∧ eρ , ϕ = w ∧ eϕ avec :  ( ;<  = dt dt R R ur uur uur 4-Exprimer les vecteurs unitaires de la base sphérique (er , e θ , e ϕ ) en fonction des vecteurs unitaires uur uur uur de la base cylindrique ( e ρ , e ϕ , ez ). ur uur uur ur ∂er ∂eθ ∂ eϕ ∂er a-Calculer les dérivées partielles : , , b- Calculer les dérivées partielles : ∂r R ∂r R ∂r ∂θ R R ur uur uur ∂er ∂ eθ ∂ eθ , et exprimer le résultat dans la base cylindrique et sphérique. ∂ϕ R ∂θ R ∂ϕ R uur de θ 5- θ étant fonction du temps, calculer à l’aide de la question précédente les expressions de dt R ur de r dθ & dϕ en fonction de = θ et = ϕ& dt R dt R dt R Mécanique du Point Matériel SMPC-S1 Faculté des Sciences – Université Ibn Tofail - Z. Sadoune & Y. El merabet 56