Mécanique du solide - Cours complet (PDF)

MECANIQUE DU SOLIDE Pr. M. BENTALEB Chapitre I : Champ de vecteurs et torseurs Chapitre II : Cinématique du solide Chapitre III : Cinétique du solide Chapitre IV : Dynamique du solide  Champ deChapitre vecteurs etI to...

MECANIQUE DU SOLIDE Pr. M. BENTALEB Chapitre I : Champ de vecteurs et torseurs Chapitre II : Cinématique du solide Chapitre III : Cinétique du solide Chapitre IV : Dynamique du solide  Champ deChapitre vecteurs etI torseurs Division vectorielle : Soient 𝑎 et 𝑏 de 𝐸, on se propose de déterminer l’ensemble des vecteurs 𝑥 de 𝐸 solution de l’équation : 𝑥∧𝑎 =𝑏 On dit que 𝑥 est le résultat de la division vectorielle.  Condition d’existence de la solution : 𝑎 et 𝑏 doivent être orthogonaux 𝑎 ≠ 0. En conséquence, les vecteurs 𝑥 et 𝑎 sont contenus dans le plan perpendiculaire à 𝑏. Soit 𝑥0 une solution particulière telle que 𝑥0 ⋅ 𝑎 = 0. On a : 𝑥0 ∧ 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎 ∧ (𝑥0 ∧ 𝑎) = 𝑎 ∧ 𝑏 ⟹ 𝑎 ⋅ 𝑎 𝑥0 − 𝑎 ⋅ 𝑥0 𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑏 ∥ ∥ 𝑎 2 0 On en déduit alors que : 𝑎∧𝑏 𝑥0 = 𝑎 2 Or : 𝑥0 ∧ 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑥 − 𝑥0 ∧ 𝑎 = 0 𝑥∧𝑎 =𝑏 D’où la solution générale est donnée par : 𝑎∧𝑏 𝑥= 2 + 𝜆𝑎 ; 𝜆 ∈ ℝ 𝑎  I.5 Moment en un point d’un vecteur glissant : Le moment d’un vecteur glissant 𝑉 , de support 𝐷 passant par le point 𝑃, par rapport à un point 𝐴 est défini par : 𝓂𝐴 𝑉 = 𝐴𝑃 ∧ 𝑉 Soit 𝑄 ∈ 𝐷 : 𝓂𝐴 𝑉 = 𝐴𝑃 ∧ 𝑉 = 𝐴𝑄 + 𝑄𝑃 ∧ 𝑉 = 𝐴𝑄 ∧ 𝑉 + 𝑄𝑃 ∧ 𝑉 = 𝐴𝑄 ∧ 𝑉 Le moment de 𝑉 est indépendant du point 𝑃 choisi sur (𝐷). I.6 Moment d’un vecteur par rapport à un axe : Soit ∆ un axe de vecteur unitaire 𝑢 et passant par le point 𝑂. Le moment de 𝑃, 𝑉 par rapport à ∆ est la projection sur cet axe du moment de 𝑃, 𝑉 par rapport à 𝑂 : 𝓂∆ (𝑉) = 𝓂𝑂 𝑉 ∙ 𝑢 Ce résultat est valable quelque soit le point 𝑂 sur l’axe ∆. I- Champ de vecteurs équiprojectif et antisymétrique: II.1 Application antisymétrique et linéaire : ℒ: 𝐸 ⟶ 𝐸 𝑎⟶ℒ 𝑎 Définition : L’application ℒ est antisymétrique si :  𝑥 et 𝑦 ∈ 𝐸 : 𝑥 ⋅ ℒ 𝑦 = −𝑦 ⋅ ℒ 𝑥 Définition : L’application ℒ est linéaire si:  𝑥 et 𝑦 ∈ 𝐸,  α, β ∈ ℝ ∶ ℒ 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 = 𝛼 ℒ 𝑥 + 𝛽 ℒ 𝑦 Propriété 1: Toute application antisymétrique ℒ est linéaire. En effet :  𝑥1 et 𝑥2 ∈ 𝐸,  α1 , α2 ∈ ℝ, on a : α1 𝑥1 + α2 𝑥2 ⋅ ℒ 𝑦 = −𝑦 ⋅ ℒ α1 𝑥1 + α2 𝑥2 𝑦 ∈ 𝐸 ⇓ α1 𝑥1 ⋅ ℒ 𝑦 + α2 𝑥2 ⋅ ℒ 𝑦 = −𝑦 ⋅ ℒ α1 𝑥1 + α2 𝑥2 Or ℒ est une application antisymétrique, alors : 𝑥1 ⋅ ℒ 𝑦 = −𝑦 ⋅ ℒ 𝑥1 𝑥2 ⋅ ℒ 𝑦 = −𝑦 ⋅ ℒ 𝑥2 Par conséquent, on obtient : −𝑦 ⋅ α1 ℒ 𝑥1 + α2 ℒ 𝑥2 = −𝑦 ⋅ ℒ α1 𝑥1 + α2 𝑥2 Cette relation étant vraie quel que soit 𝑦, il en résulte : ℒ α1 𝑥1 + α2 𝑥2 = α1 ℒ 𝑥1 + α2 ℒ 𝑥2 Ce qui prouve que ℒ est une application linéaire. Propriété 2: Par rapport à une base orthonormée, une application antisymétrique est représentée par une matrice antisymétrique 𝑀 𝑡 𝑀 = −𝑀 qui s’écrit sous la forme suivante : 0 −𝑐 𝑏 𝑀= 𝑐 0 −𝑎 −𝑏 𝑎 0 En effet : Soit 𝑀 la matrice de l’application antisymétrique ℒ dans la base orthonormée 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 et supposons que : 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑀 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 Avec 𝑎𝑖𝑗 = 𝑒𝑖 ⋅ ℒ 𝑒𝑗 Or 𝑎𝑖𝑗 = 𝑒𝑖 ⋅ ℒ 𝑒𝑗 = − 𝑒𝑗 ⋅ ℒ 𝑒𝑖 = − 𝑎𝑗𝑖 ⟹ 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 ⟹ La matrice 𝑀 est alors antisymétrique 𝑡 𝑀 = −𝑀. En plus :  𝑎𝑖𝑖 = −𝑎𝑖𝑖 ⟹ 𝑎𝑖𝑖 = 0 ⟹ les éléments diagonaux sont nuls.  Si on note d’une manière arbitraire : 𝑎12 = −𝑐; 𝑎13 = 𝑏 et 𝑎23 = −𝑎, on aura : 0 −𝑐 𝑏 𝑀= 𝑐 0 −𝑎 −𝑏 𝑎 0 Propriété 3: ℒ est une application antisymétrique si et seulement si ∃! 𝑅 ∈ 𝐸 tel que  𝑥 ∈ 𝐸 : ℒ 𝑥 =𝑅∧𝑥 En effet : 0 −𝑐 𝑏 ⇒ ℒ est une application antisymétrique ⟹ 𝑀 = 𝑐 0 −𝑎 𝑎 −𝑏 𝑎 0 Soit 𝑅 = 𝑏 𝑐 On vérifie que : ℒ 𝑥 =𝑅∧𝑥 𝑥 ∈𝐸 Montrons que 𝑅 est unique. Pour cela soient 𝑅1 et 𝑅2 deux solutions possibles, alors :  ℒ 𝑥 = 𝑅1 ∧ 𝑥 𝑥 ∈𝐸 ℒ 𝑥 = 𝑅2 ∧ 𝑥 D’où : 𝑅1 − 𝑅2 ∧ 𝑥 = 0  𝑥 ∈ 𝐸 ⟹ 𝑅1 = 𝑅2 ⇐ Supposons que ∃ 𝑅 ∈ 𝐸 tel que  𝑥 ∈ 𝐸 : ℒ 𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑥 et montrons que ℒ est une application antisymétrique : 𝑥 ⋅ ℒ 𝑦 = 𝑥 ⋅ 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑥 , 𝑅 , 𝑦 = − 𝑦, 𝑅 , 𝑥 = −𝑦 ⋅ 𝑅 ∧ 𝑥 = − 𝑦 ⋅ ℒ 𝑥 Donc ℒ est une application antisymétrique.  II-2 Champ de vecteurs : 𝐻:𝜉 ⟶𝐸 𝑀 ⟶ 𝐻 (𝑀)  Exemples : Champ de vitesse Champ électrique Champ de force qui s’écrit par exemple : 𝐹 = 𝑥𝑦𝑖 + 𝑧𝑗 + 𝑦 − 𝑧 𝑘 Champ d’accélération…..etc II.3 Définition d’un champ de vecteurs équiprojectif : Un champ de vecteurs 𝐻 est dit équiprojectif si et seulement si : 𝑃𝑄 ⋅ 𝐻 𝑃 = 𝑃𝑄 ⋅ 𝐻 𝑄  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 × 𝜉 𝐻 (𝑃) 𝑄 𝐷 ⋅ ⋅ 𝐶 𝑃 𝐻 (𝑄) Ce qui signifie que : 𝑃𝐶 = 𝑄𝐷 II.4 Champ de vecteurs antisymétrique: Définition : Un champ vectoriel 𝐻 est antisymétrique s’il existe une application antisymétrique ℒ telle que :  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 𝐻 𝑃 = 𝐻 𝑄 + ℒ 𝑄𝑃 ⇕ Il existe un vecteur unique 𝑅 tel que :  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 𝐻 𝑃 = 𝐻 𝑄 + 𝑅 ∧ 𝑄𝑃 On dit que 𝑅 est la résultante générale du champ antisymétrique 𝐻. Proposition : Un champ de vecteurs équiprojectif est antisymétrique et réciproquement. ⟹) Soit 𝐻 un champ équiprojectif ⟹ 𝑃𝑄 ⋅ 𝐻 𝑃 = 𝑃𝑄 ⋅ 𝐻 𝑄  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 ⟹ 𝑃𝑄 ⋅ 𝐻 𝑃 − 𝐻 𝑄 = 0  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 ⟹ 𝑃𝑂 + 𝑂𝑄 ⋅ 𝐻 𝑃 − 𝐻 𝑂 + 𝐻 𝑂 − 𝐻 𝑄 =0 ⇓ 𝑃𝑂 + 𝑂𝑄 ⋅ 𝐻 𝑃 − 𝐻 𝑂 + 𝑃𝑂 + 𝑂𝑄 ⋅ 𝐻 𝑂 − 𝐻 𝑄 =0 ⇓ 𝑃𝑂 + 𝑂𝑄 ⋅ 𝐻 𝑃 − 𝐻 𝑂 = − 𝑃𝑂 + 𝑂𝑄 ⋅ 𝐻 𝑂 − 𝐻 𝑄 Comme 𝐻 est équiprojectif alors : 𝑃𝑂 ⋅ 𝐻 𝑃 − 𝐻 𝑂 = 𝑂𝑄 ⋅ 𝐻 𝑂 − 𝐻 𝑄 =0 Donc : 𝑂𝑄 ⋅ 𝐻 𝑃 − 𝐻 𝑂 = −𝑃𝑂 ⋅ 𝐻 𝑂 − 𝐻 𝑄 = −𝑂𝑃 ⋅ 𝐻 𝑄 − 𝐻 𝑂 Considérons l’application ℒ: 𝐸 ⟶ 𝐸 𝑂𝑃 ⟶ ℒ 𝑂𝑃 = 𝐻 𝑃 − 𝐻 (𝑂) Alors : 𝑂𝑄 ⋅ ℒ 𝑂𝑃 = −𝑂𝑃 ⋅ ℒ 𝑂𝑄 Ce qui montre que l’application ℒ ainsi définie est une application antisymétrique. Par conséquent, le champ 𝐻 est antisymétrique puisqu’il existe une application antisymétrique ℒ telle que : 𝐻 𝑃 = 𝐻 𝑄 + ℒ 𝑄𝑃 ⇐) Soit 𝐻 un champ antisymétrique ⟹ ∃ 𝑅 tel que : 𝐻 𝑃 = 𝐻 𝑄 + 𝑅 ∧ 𝑄𝑃  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 ⟹ 𝑃𝑄 ⋅ 𝐻 𝑃 = 𝑃𝑄 ⋅ 𝐻 𝑄 + 𝑃𝑄 ⋅ 𝑅 ∧ 𝑄𝑃  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 =0 ⟹ 𝑃𝑄 ⋅ 𝐻 𝑃 = 𝑃𝑄 ⋅ 𝐻 𝑄  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 ⟹ 𝐻 est un champ équiprojectif. III. Torseurs : 𝑅 Définition : Le torseur 𝜏 = 𝐻 (𝑂)  Champ équiprojectif 𝐻  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 𝐻 𝑃 = 𝐻 𝑄 + ℒ 𝑄𝑃 ⇔ Il existe un vecteur unique 𝑅 tel que :  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 𝐻 𝑃 = 𝐻 𝑄 + 𝑅 ∧ 𝑄𝑃  Sa résultante générale 𝑅 / Résultante générale du torseur. 𝐻 (𝑂) moment du torseur au point 𝑂 ≡ 𝓂(𝑂) 𝑅 et 𝓂(𝑂) sont appelés les éléments de réduction du torseur (𝜏) au point 𝑂. Remarque : Connaissant 𝑅 et 𝓂(𝑂) ⟶ 𝓂 𝑃 ? En effet : 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑂 +𝑅 ∧ 𝑂𝑃 (Loi de distribution ≡ relation de transport) III.2 Opérations sur les torseurs : a- Egalité des torseurs : 𝑅1 𝑅2 𝜏1 = et 𝜏2 = 𝓂1 (𝐴) 𝓂2 (𝐴) 𝜏1 = 𝜏2 ⇔ 𝑅1 = 𝑅2 et 𝓂1 𝐴 = 𝓂2 𝐴  b- Somme de deux torseurs : 𝑅1 𝑅2 𝜏1 = et 𝜏2 = 𝓂1 (𝐴) 𝓂2 (𝐴) La somme des torseurs 𝜏1 et 𝜏2 est un torseur (𝜏) défini par : 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 𝜏 = 𝜏1 + 𝜏2 = 𝓂 𝐴 = 𝓂1 𝐴 + 𝓂2 𝐴 c- Multiplication d’un torseur par un scalaire : Le produit du torseur 𝜏 par le scalaire 𝜆 est le torseur défini par : 𝜆𝜏 = 𝜆𝑅 𝜆𝓂 𝐴 d- Produit ou comoment de deux torseurs : Le comoment des deux torseurs 𝜏 = 𝑅 et 𝜏 ′ = 𝓂 𝐴 𝑅′ est la quantité scalaire définie par : 𝓂′ 𝐴 𝜏 × 𝜏 ′ = 𝑅 ⋅ 𝓂′ 𝐴 + 𝑅 ′ ⋅ 𝓂 𝐴 , 𝐴 ∈ 𝜉 Cette quantité est indépendante du point 𝐴 : 𝜏 × 𝜏 ′ = 𝑅 ⋅ 𝓂′ 𝐴′ + 𝑅′ ⋅ 𝓂 𝐴′ 𝓂 𝐴 = 𝓂 𝐴′ + 𝑅 ∧ 𝐴′ 𝐴 III.3 Propriétés d’un torseur : Invariant scalaire d’un torseur : L’invariant scalaire de 𝜏 = 𝑅 est défini par : 𝓂(𝐴) 𝐼𝑠 = 𝑅 ⋅ 𝓂(𝐴) L’invariant scalaire est indépendant du point 𝐴. En effet : 𝐵 ∈ 𝜉: 𝓂 𝐵 = 𝓂 𝐴 + 𝑅 ∧ AB ⟹ 𝑅 ⋅ 𝓂 𝐵 = 𝑅 ⋅ 𝓂(𝐴)  Axe central d’un torseur : L’axe central ∆ d’un torseur 𝜏 = 𝑅 est l’ensemble 𝓂(𝑂) des points 𝑃 tel que 𝓂(𝑃) est colinéaire à 𝑅. ∆≡ 𝑃 ∈ 𝜉/𝓂 𝑃 = 𝑘𝑅 , 𝑘 ∈ ℝ ≡ 𝑃 ∈ 𝜉/𝓂 𝑃 ∧ 𝑅 = 0 Cherchons l’équation de l’axe central ∆ : 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑂 + 𝑅 ∧ 𝑂𝑃 = 𝑘𝑅 ⟹ 𝑂𝑃 ∧ 𝑅 = 𝓂 𝑂 − 𝑘𝑅 𝑎 La division vectorielle est possible si : 𝑥 𝑏 𝑅⋅𝓂 𝑂 𝑎∧𝑏 𝑘= 2 𝑥= 2 + 𝜆𝑎 ; 𝜆 ∈ ℝ 𝑅 𝑎 𝑅 ∧ 𝓂 𝑂 − 𝑘𝑅 𝑅∧𝓂 𝑂 𝑂𝑃 = 2 + 𝜆𝑅 ⇒ 𝑂𝑃 = 2 + 𝜆𝑅 , 𝜆 ∈ ℝ 𝑅 𝑅 Soient 𝑃 et 𝑄 deux points quelconques de ∆, alors: 𝑅∧𝓂 𝑂 𝑅∧𝓂 𝑂 𝑂𝑃 = 2 + 𝜆𝑃 𝑅 𝑂𝑄 = 2 + 𝜆𝑄 𝑅 𝑅 𝑅 𝑂𝑃 − 𝑂𝑄 = 𝑄𝑃 = 𝜆𝑃 − 𝜆𝑄 𝑅 L’ensemble cherché est une droite parallèle à 𝑅 et passant par 𝑃0 tel que : 𝑅∧𝓂 𝑂 𝑂𝑃0 = 2 𝑅 Remarques : 1°- Le moment du torseur est le même en tout point de l’axe ∆ du torseur : Si ∀ 𝑃, 𝑄 ∈ ∆: 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑄 + 𝑅 ∧ 𝑄𝑃 = 𝓂 𝑄. 2°- La norme du moment du torseur est minimale sur l’axe du torseur. Soit 𝑄 ∈ ∆ et soit 𝑃 un point quelconque ∉ ∆, alors : 2 2 2 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑄 + 𝑅 ∧ 𝑄𝑃 ⇒ 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑄 + 𝑅 ∧ 𝑄𝑃 Puisque : 𝑅 ∧ 𝑄𝑃 ⊥ 𝑅 et 𝓂 𝑄 ∥ 𝑅 Par conséquent : 𝓂 𝑄 ⊥ 𝑅 ∧ 𝑄𝑃 ⇓ 𝓂 𝑃 > 𝓂 𝑄 III.4 Torseurs particuliers : a- Torseur nul : Le torseur est nul si ses éléments de réduction sont nuls en un point de l’espace (il en résulte que le moment est nul partout) b- Glisseur : Un torseur est un glisseur si et seulement si : 𝑅 ≠ 0 et 𝐼𝑠 = 0. Théorème : Le moment sur l’axe central ∆𝐺 d’un glisseur est nul : 𝓂 𝑃 = 0 ∀𝑃 ∈ ∆𝐺 i.e : ∆𝐺 ≡ 𝑃 ∈ 𝜉/𝓂 𝑃 = 0  c- Couple : Définition : Un torseur est un couple si et seulement si : 𝑅 = 0. Théorème : Un torseur est un couple si et seulement si 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑄 𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉. Remarque : L’axe central d’un couple n’existe pas.  d- Exemples de torseurs particuliers : i- Torseur associé à un vecteur lié : Les moments de 𝐴, 𝑉 en deux points 𝑃 et 𝑄 quelconques de 𝜉 sont : 𝓂𝑃 𝑉 = 𝑃𝐴 ∧ 𝑉 et 𝓂𝑄 𝑉 = 𝑄𝐴 ∧ 𝑉 𝓂𝑃 𝑉 = 𝑃𝐴 ∧ 𝑉 = 𝑃𝑄 + 𝑄𝐴 ∧ 𝑉 = 𝑃𝑄 ∧ 𝑉 + 𝑄𝐴 ∧ 𝑉 ⇒ 𝓂𝑃 𝑉 = 𝓂𝑄 𝑉 + 𝑉 ∧ 𝑄𝑃 Ce qui montre que le moment d’un vecteur lié est un champ antisymétrique. Par conséquent, le torseur (𝜏) de moment 𝓂 et de résultante 𝑉 est le torseur associé au vecteur lié 𝐴, 𝑉. Le torseur associé au vecteur lié 𝐴, 𝑉 est un glisseur. En effet : 𝑉 ≠ 0 et 𝐼𝑠 = 𝑉 ⋅ 𝓂𝑃 𝑉 = 𝑉 ⋅ 𝑃𝐴 ∧ 𝑉 = 0 ii- Torseur associé à un ensemble de vecteurs liés : Soit un ensemble de 𝑛 vecteurs liés (𝐴𝑖 , 𝑢𝑖 ).  La résultante de l’ensemble des vecteurs : 𝑛 𝑅= 𝑢𝑖 𝑖=1  Le moment au point 𝑄 de l’ensemble des vecteurs : 𝑛 𝓂 𝑄 = 𝑄𝐴𝑖 ∧ 𝑢𝑖 𝑖=1 Le vecteur moment en un point 𝑃 est : 𝑛 𝑛 𝑛 𝓂 𝑃 = 𝑃𝐴𝑖 ∧ 𝑢𝑖 = 𝑃𝑄 ∧ 𝑢𝑖 + 𝑄𝐴𝑖 ∧ 𝑢𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 Soit : 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑄 + 𝑅 ∧ 𝑄𝑃 On déduit que le moment de l’ensemble des vecteurs liés est un champ antisymétrique. On peut donc associer à cet ensemble de vecteurs liés un torseur (𝜏) dont ses éléments de réduction en 𝑃 sont: 𝑛 𝑅= 𝑢𝑖 𝑖=1 𝜏 = 𝑛 𝓂 𝑃 = 𝑃𝐴𝑖 ∧ 𝑢𝑖 𝑖=1 e- Décomposition d’un torseur en un point 𝑃 : Tout torseur 𝜏 = 𝑅 peut être décomposé, en tout 𝓂(𝑃) point 𝑃, en la somme d’un glisseur (𝑔) et d’un couple (𝑐). En effet : 𝜏 = 𝑅 = 𝑅 + 0 𝓂(𝑃) 0 𝓂(𝑃) (𝑔) (𝑐) f- Classification des torseurs : La classification des torseurs 𝜏 = 𝑅 se fait en 𝓂(𝐴) fonction de l’invariant scalaire. 1𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠: 𝐼𝑠 = 0  𝑅 ≠ 0 : on a un glisseur non nul.  𝑅 = 0 : deux cas à envisager :  𝓂 𝐴 = 0 : torseur nul  𝓂(𝐴) ≠ 0 : couple non nul. 2𝑒𝑚𝑒 𝑐𝑎𝑠: 𝐼𝑠 ≠ 0 Dans ce cas, le torseur est quelconque. Il n’est ni glisseur ni couple. Exercice d’application : Soit le torseur (𝜏1 ) défini par les trois vecteurs 𝑉1 = −2𝑖 + 3𝑗 − 7𝑘 ; 𝑉2 = 3𝑖 − 𝑗 − 𝑘 et 𝑉3 = −𝑖 − 2𝑗 + 8𝑘 définis dans un repère orthonormé ℛ(𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘 ) et liés respectivement aux points 𝐴 1,0,0 , 𝐵(0,1,0) et 𝐶(0,0,1) et le torseur 𝜏2 = 𝑅2 où 𝑅2 = 2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘 et 𝓂2 𝑂 = −3𝑖 + 2𝑗 − 7𝑘. 𝓂2 (𝑂) 1°- Déterminer les éléments de réduction du torseur (𝜏1 )𝑂. Conclusion. 𝑅1 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 0 (𝜏1 )𝑂 = 𝓂1 𝑂 = 𝑂𝐴 ∧ 𝑉1 +𝑂𝐵 ∧ 𝑉2 +𝑂𝐶 ∧ 𝑉3 = 𝑖 + 6𝑗 Conclusion : (𝜏1 ) est un couple. 2°- Déterminer l’axe central du torseur 𝜏2. L’axe central ∆ est défini par l’ensemble des points 𝑃 tel que : 𝑅1 ∧ 𝓂1 𝑂 𝑂𝑃 = 2 + 𝜆𝑅1 , 𝜆 ∈ ℝ 𝑅1 13 5 1 ⟹ 𝑂𝑃 = − + 2𝜆 𝑖 + + 𝜆 𝑗 + + 3𝜆 𝑘 14 14 2 3°- Calculer la somme et le produit des deux torseurs. Somme des deux torseurs : 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 = 2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘 𝜏 𝑂 = (𝜏1 )𝑂 + (𝜏2 )𝑂 = 𝓂 𝑂 = 𝓂1 𝑂 + 𝓂2 𝑂 = −2𝑖 + 8𝑗 − 7𝑘 Produit des deux torseurs : (𝜏1 )𝑂 ⋅ (𝜏2 )𝑂 = 𝑅1 ⋅ 𝓂2 𝑂 + 𝑅2 ⋅ 𝓂1 𝑂 = −25 4°- Calculer l’invariant scalaire du torseur somme. 𝑅 = 2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘 𝜏 = 𝓂 𝑂 = −2𝑖 + 8𝑗 − 7𝑘 𝐼 = 𝑅 ⋅ 𝓂 𝑂 = −17 III. Torseurs : 𝑅 Définition : Le torseur 𝜏 = 𝐻 (𝑂)  Champ équiprojectif 𝐻  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 𝐻 𝑃 = 𝐻 𝑄 + ℒ 𝑄𝑃 ⇔ Il existe un vecteur unique 𝑅 tel que :  𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉 𝐻 𝑃 = 𝐻 𝑄 + 𝑅 ∧ 𝑄𝑃  Sa résultante générale 𝑅 / Résultante générale du torseur. 𝐻 (𝑂) moment du torseur au point 𝑂 ≡ 𝓂(𝑂) 𝑅 et 𝓂(𝑂) sont appelés les éléments de réduction du torseur (𝜏) au point 𝑂. Remarque : Connaissant 𝑅 et 𝓂(𝑂) ⟶ 𝓂 𝑃 ? En effet : 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑂 +𝑅 ∧ 𝑂𝑃 (Loi de distribution ≡ relation de transport) III.2 Opérations sur les torseurs : a- Egalité des torseurs : 𝑅1 𝑅2 𝜏1 = et 𝜏2 = 𝓂1 (𝐴) 𝓂2 (𝐴) 𝜏1 = 𝜏2 ⇔ 𝑅1 = 𝑅2 et 𝓂1 𝐴 = 𝓂2 𝐴  b- Somme de deux torseurs : 𝑅1 𝑅2 𝜏1 = et 𝜏2 = 𝓂1 (𝐴) 𝓂2 (𝐴) La somme des torseurs 𝜏1 et 𝜏2 est un torseur (𝜏) défini par : 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 𝜏 = 𝜏1 + 𝜏2 = 𝓂 𝐴 = 𝓂1 𝐴 + 𝓂2 𝐴 c- Multiplication d’un torseur par un scalaire : Le produit du torseur 𝜏 par le scalaire 𝜆 est le torseur défini par : 𝜆𝜏 = 𝜆𝑅 𝜆𝓂 𝐴 d- Produit ou comoment de deux torseurs : Le comoment des deux torseurs 𝜏 = 𝑅 et 𝜏 ′ = 𝓂 𝐴 𝑅′ est la quantité scalaire définie par : 𝓂′ 𝐴 𝜏 × 𝜏 ′ = 𝑅 ⋅ 𝓂′ 𝐴 + 𝑅 ′ ⋅ 𝓂 𝐴 , 𝐴 ∈ 𝜉 Cette quantité est indépendante du point 𝐴 : III.3 Propriétés d’un torseur : Invariant scalaire d’un torseur : L’invariant scalaire de 𝜏 = 𝑅 est défini par : 𝓂(𝐴) 𝐼𝑠 = 𝑅 ⋅ 𝓂(𝐴) L’invariant scalaire est indépendant du point 𝐴. En effet : 𝐵 ∈ 𝜉: 𝓂 𝐵 = 𝓂 𝐴 + 𝑅 ∧ AB ⟹ 𝑅 ⋅ 𝓂 𝐵 = 𝑅 ⋅ 𝓂(𝐴)  Axe central d’un torseur : L’axe central ∆ d’un torseur 𝜏 = 𝑅 est l’ensemble 𝓂(𝑂) des points 𝑃 tel que 𝓂(𝑃) est colinéaire à 𝑅. ∆≡ 𝑃 ∈ 𝜉/𝓂 𝑃 = 𝑘𝑅 , 𝑘 ∈ ℝ ≡ 𝑃 ∈ 𝜉/𝓂 𝑃 ∧ 𝑅 = 0 Cherchons l’équation de l’axe central ∆ : 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑂 + 𝑅 ∧ 𝑂𝑃 = 𝑘𝑅 ⟹ 𝑂𝑃 ∧ 𝑅 = 𝓂 𝑂 − 𝑘𝑅 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎∧𝑏 𝑥= 2 + 𝜆𝑎 ; 𝜆 ∈ ℝ 𝑎 𝑅 ∧ 𝓂 𝑂 − 𝑘𝑅 𝑅∧𝓂 𝑂 𝑂𝑃 = 2 + 𝜆𝑅 ⇒ 𝑂𝑃 = 2 + 𝜆𝑅 , 𝜆 ∈ ℝ 𝑅 𝑅 L’ensemble cherché est une droite parallèle à 𝑅 et passant par 𝑃0 tel que : 𝑅∧𝓂 𝑂 𝑂𝑃0 = 2 Remarques : 𝑅 1°- Le moment du torseur est le même en tout point de l’axe ∆ du torseur : Si ∀ 𝑃, 𝑄 ∈ ∆: 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑄 + 𝑅 ∧ 𝑄𝑃 = 𝓂 𝑄 2°- La norme du moment du torseur est minimale sur l’axe du torseur. Soit 𝑄 ∈ ∆ et soit 𝑃 un point quelconque ∉ ∆, alors : 𝓂 𝑃 > 𝓂 𝑄 III.4 Torseurs particuliers : a- Torseur nul : Le torseur est nul si ses éléments de réduction sont nuls en un point de l’espace (il en résulte que le moment est nul partout) b- Glisseur : Un torseur est un glisseur si et seulement si : 𝑅 ≠ 0 et 𝐼𝑠 = 0. Théorème : Le moment sur l’axe central ∆𝐺 d’un glisseur est nul : 𝓂 𝑃 = 0 ∀𝑃 ∈ ∆𝐺 i.e : ∆𝐺 ≡ 𝑃 ∈ 𝜉/𝓂 𝑃 = 0  c- Couple : Définition : Un torseur est un couple si et seulement si : 𝑅 = 0. Théorème : Un torseur est un couple si et seulement si 𝓂 𝑃 = 𝓂 𝑄 𝑃, 𝑄 ∈ 𝜉. Remarque : L’axe central d’un couple n’existe pas. e- Décomposition d’un torseur en un point 𝑃 : Tout torseur 𝜏 = 𝑅 peut être décomposé, en tout 𝓂(𝑃) point 𝑃, en la somme d’un glisseur (𝑔) et d’un couple (𝑐). En effet : 𝜏 = 𝑅 = 𝑅 + 0 𝓂(𝑃) 0 𝓂(𝑃) (𝑔) (𝑐) f- Classification des torseurs : La classification des torseurs 𝜏 = 𝑅 se fait en 𝓂(𝐴) fonction de l’invariant scalaire. 1𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠: 𝐼𝑠 = 0  𝑅 ≠ 0 : on a un glisseur non nul.  𝑅 = 0 : deux cas à envisager :  𝓂 𝐴 = 0 : torseur nul  𝓂(𝐴) ≠ 0 : couple non nul. 2𝑒𝑚𝑒 𝑐𝑎𝑠: 𝐼𝑠 ≠ 0 Dans ce cas, le torseur est quelconque. Il n’est ni glisseur ni couple.  Cinématique du solide Définition de la cinématique: Partie de la mécanique qui étudie les mouvements des corps en fonction du temps indépendamment des causes (forces) qui les produisent. Définition du solide indéformable ou rigide (𝑆) : (𝑆) ≡ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆 , t AB = Cste « Critère de rigidité » Etude du mouvement nécessite un repérage du corps dans l’espace et dans le temps. 1 1  Repère d’espace et référentiel : Repère d’espace : 𝑂, 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 L’adjonction du temps à un repère définit un référentiel (ℛ). A tout solide rigide 𝑺 on peut lui lier au moins un référentiel 𝓡𝒔 (𝑶𝑺 , 𝒙𝒔 , 𝒚𝒔 , 𝒛𝒔 )(orthonormé diret arbitraire). Pour étudier le mouvement de 𝑺 par rapport à un 𝓡 cela revient à étudier le mouvement de (𝓡𝒔 ) par rapport à 𝓡. 2  Paramétrage de la position d’un solide : Pour repérer un solide dans l’espace :  Connaitre la position d’un point 𝑂𝑠 du solide : Les trois coordonnées de 𝑂𝑠 dits paramètres de translation.  Savoir repérer l’orientation d’un trièdre d’origine 𝑂𝑠 lié au solide par rapport au repère d’étude : Trois paramètres supplémentaires (Les angles d’Euler qui sont des paramètres de rotation) ⇓ On a donc besoin de 6 paramètres primitifs pour définir la position d’un solide qui n’est assujetti à aucune contrainte.3 Nous dirons que le système possède 6 degrés de liberté et que le système est complètement libre dans le repère d’étude. Nombre de degrés de liberté : est le nombre de paramètres indépendants parmi ses paramètres primitifs qu’il faut se donner pour déterminer de façon unique la position du système. Si un solide est soumis à des liaisons, certains de ses paramètres primitifs deviennent des variables dépendantes. Par conséquent, le nombre de degrés de liberté 𝑁 est généralement inférieur au nombre de paramètres primitifs 𝑛 : 𝑁 = 𝑛 − 𝑁𝑙 Où 𝑁𝑙 est le nombre de liaisons. 4  Si le mouvement d’un système n’est pas libre dans l’espace ⇓ On dit que le système est soumis à des liaisons. Les liaisons sont exprimées par des relations mathématiques. 5 Exemples :  Une sphère qui roule sur un plan horizontal : 5 degrés de liberté puisque la côte de son centre est fixe. 6  Une barre rigide dont l’une des extrémités est confondue avec l’origine 𝑂 du repère d’étude : trois degrés de liberté correspondants à trois angles de rotation. Dans le cas où cette barre est de section négligeable, il n’y a pas de rotation propre. Par conséquent, il y a juste deux degrés de liberté.  Un système matériel libre composé de 𝑝 points matériels et de 𝑠 solides possède 3𝑝 + 6𝑠 degrés de liberté. 7  Les angles d’Euler : 3 paramètres indépendants notés 𝜓, 𝜃, 𝜑 qui définissent l’orientation d’un ℛ𝑠 (𝑂𝑠 , 𝑥𝑠 , 𝑦𝑠 , 𝑧𝑠 ) par rapport à ℛ(𝑂𝑠 , 𝑥, 𝑦, 𝑧). ℛ𝑠 (𝑂𝑠 , 𝑥𝑠 , 𝑦𝑠 , 𝑧𝑠 ) de vecteurs unitaires 𝑖𝑠 , 𝑗𝑠 et 𝑘𝑠 ℛ(𝑂𝑠 , 𝑥, 𝑦, 𝑧) de vecteurs unitaires 𝑖, 𝑗 et 𝑘 𝑧 𝑦𝑠 𝑧𝑠. Plan 𝑥𝑠 𝑂𝑠 𝑦𝑠 Plan 𝑥𝑂𝑠 𝑦 𝑂𝑠.. 𝑦. 𝑥𝑠 𝑥 𝐷: Ligne des noeuds 8  𝑧 𝑦𝑠 𝑧𝑠 Plan 𝑥𝑠 𝑂𝑠 𝑦𝑠 Plan 𝑥𝑂𝑠 𝑦 𝑂𝑠 𝑦 𝑢 𝑥𝑠 𝑥 𝜓 𝐷: Ligne des noeuds On oriente arbitrairement 𝐷 par un vecteur unitaire 𝑢.  𝜓 = 𝑖, 𝑢 angle orienté par 𝑘, appelé précession (mouvement de rotation par rapport à un axe fixe). 9  𝑘 𝜓𝑘 𝑗 𝑣 𝜓 𝑣∈ 𝑂𝑆 𝑥𝑦 𝜓 𝑢 𝑂𝑠 𝑗 𝜓 𝑘⊙ 𝑖 𝑢∈ 𝑂𝑆 𝑥𝑦 𝜓 𝑖 Ligne des nœuds  ℛ1 (𝑂𝑠 , 𝑢, 𝑣 , 𝑘 ) est déduit de ℛ par rotation d’angle 𝜓 autour de 𝑘 ⟹ 𝛺ℛ1 ℛ = 𝜓𝑘 Les vecteurs 𝑢 et 𝑣 s’expriment par : 𝑢 = cos 𝜓 𝑖 + sin 𝜓 𝑗 𝑣 = −sin 𝜓 𝑖 + cos 𝜓 𝑗 10  𝜃 = 𝑘 , 𝑘𝑠 angle orienté par 𝑢, appelé nutation ∈ 𝑂𝑆 𝑣𝑧 ∈ 𝑂𝑆 𝑣𝑧  ℛ2 (𝑂𝑠 , 𝑢, 𝜔, 𝑘𝑠 ) est déduit de ℛ1 par rotation d’angle 𝜃 autour de 𝑢 ⟹ 𝛺ℛ2 ℛ1 = 𝜃𝑢 𝜔 et 𝑘𝑠 s’expriment par : 𝜔 = cos 𝜃 𝑣 + sin 𝜃 𝑘 𝑘𝑠 = −sin 𝜃 𝑣 + cos 𝜃 𝑘 11  𝜑 = 𝑢, 𝑖𝑠 angle orienté par 𝑘𝑠 , appelé rotation propre ∈ 𝑂𝑆 𝑢𝑤 ∈ 𝑂𝑆 𝑢𝑤  ℛ𝑠 se déduit de ℛ2 par la rotation propre 𝜑 autour de 𝑘𝑠 ⟹ 𝛺ℛ𝑠 ℛ2 = 𝜑 𝑘𝑠 𝑖𝑠 = cos 𝜑 𝑢 + sin 𝜑 𝜔 𝑖𝑠 et 𝑗𝑠 s’expriment par : 𝑗𝑠 = −sin 𝜑 𝑢 + cos 𝜑 𝜔 12  𝜓/𝑘 𝜃/𝑢 ℛ(𝑂𝑆 , 𝑖, 𝑗, 𝑘 ) ℛ1 (𝑂𝑆 , 𝑢, 𝑣 , 𝑘 ) ℛ2 (𝑂𝑆 , 𝑢, 𝜔, 𝑘𝑆 ) 𝜑/𝑘 𝑆 ℛ𝑆 (𝑂𝑆 , 𝑖𝑆 , 𝑗𝑆 , 𝑘𝑆 ) Remarque : Définir l’orientation d’un ℛ𝑠 (𝑂𝑠 , 𝑥𝑠 , 𝑦𝑠 , 𝑧𝑠 ) par rapport à ℛ(𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧). ≡ Définir l’orientation d’un ℛ𝑠 (𝑂𝑠 , 𝑥𝑠 , 𝑦𝑠 , 𝑧𝑠 ) par rapport à ℛ ′ (𝑂𝑠 , 𝑥, 𝑦, 𝑧). translation 𝜓,𝑘 ′ ℛ(𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘 ) ℛ (𝑂𝑆 , 𝑖, 𝑗, 𝑘 ) ℛ1 (𝑂𝑆 , 𝑢, 𝑣 , 𝑘 ) 𝜃,𝑢 𝜑,𝑘 𝑆 ℛ2 (𝑂𝑆 , 𝑢, 𝜔, 𝑘𝑆 ) ℛ𝑆 (𝑂𝑆 , 𝑖𝑆 , 𝑗𝑆 , 𝑘𝑆 ) 13 II. Champ de vitesses et d’accélérations d’un solide- Torseur cinématique : II.1 Rappel sur la cinématique du point :  La vitesse de 𝑀 par rapport à ℛ notée 𝑉𝑀/ℛ est définie par : 𝑑𝑂𝑀 𝑉𝑀/ℛ = 𝑑𝑡 ℛ  L’accélération de 𝑀 par rapport à ℛ notée 𝛾𝑀/ℛ est définie par : 𝑑𝑉𝑀/ℛ 𝛾𝑀/ℛ = 𝑑𝑡 ℛ où 𝛺ℛ′ ℛ est la vitesse 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = + 𝛺ℛ ′ ℛ ∧ 𝑢 instantanée de rotation du 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ℛ ℛ′ référentiel ℛ ′ par rapport à ℛ.14  𝑑𝑢 𝑑𝑢 = + 𝛺ℛ ′ ℛ ∧ 𝑢 𝑑𝑡 ℛ 𝑑𝑡 ℛ′ Propriétés :  Si ℛ′ est en translation par rapport à ℛ ⇒ 𝛺ℛ′ ℛ= 0 𝑑𝑢 𝑑𝑢 ⇒ = 𝑑𝑡 ℛ 𝑑𝑡 ℛ′ 𝑑𝑢 ′ 𝑑𝑢  Si 𝑢 est constant dans ℛ ⇒ = 0⇒ = 𝛺ℛ ′ ℛ^ 𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ℛ′ ℛ C’est le cas des vecteurs de la base liée à ℛ ′.  La dérivée de 𝛺ℛ′ ℛ est indépendante du référentiel : 𝑑𝛺ℛ′ ℛ 𝑑𝛺ℛ′ ℛ = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ℛ ℛ′ 15  𝛺ℛ 3 = 𝛺ℛ 3 + 𝛺ℛ2 où ℛ1 , ℛ2 et ℛ3 sont trois ℛ1 ℛ2 ℛ1 référentiels en mouvement l’un par rapport à l’autre.  𝛺ℛ ′ ℛ = −𝛺ℛ ℛ′ 16  II.1 Champ de vitesses d’un solide : Soit 𝑆 un solide en mouvement par rapport à un repère ℛ et ℛ𝑆 un référentiel lié à (𝑆). D’après la formule de Bour : 𝑑𝐴𝐵 𝑑𝐴𝐵 = + 𝛺ℛ𝑆 ℛ ∧ 𝐴𝐵 ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆 𝑑𝑡 ℛ 𝑑𝑡 ℛ𝑆 𝑑𝐴𝐵 Or = 0 puisque 𝐴𝐵 est un vecteur constant dans ℛ𝑆 𝑑𝑡 ℛ𝑆 lié au solide (𝑆). D’où : 𝑑𝐴𝐵 𝑑 𝐴𝑂 + 𝑂𝐵 = = 𝑉𝐵/ℛ − 𝑉𝐴/ℛ = 𝛺ℛ𝑆 ℛ ∧ 𝐴𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ℛ ℛ 𝑉𝐵/ℛ = 𝑉𝐴/ℛ + 𝛺𝑆 ℛ ∧ 𝐴𝐵 ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆 La loi de distribution des vitesses de 𝑆 en mouvement 17 Remarque : La loi de distribution des vitesses établie ci-dessus est valable aussi pour des points 𝑃 n’appartenant pas physiquement au solide mais vérifiant avec ses points le critère de rigidité. Un tel point 𝑃 est dit rigidement lié au solide et vérifie : 𝐴 ∈ 𝑆 , t AP = Cste Un exemple d’un tel point est le centre d’un cerceau. 18  a- Torseur cinématique : L’ensemble de champ de vitesses et du vecteur rotation correspondant constitue le torseur cinématique de 𝑆 ℛ noté 𝒱(𝑆 ℛ) et représenté par : 𝛺𝑆 ℛ 𝒱(𝑆 ℛ) = 𝑉𝐴/ℛ 𝐴 𝛺𝑆 ℛ et 𝑉𝐴/ℛ sont les éléments de réduction du torseur cinématique de 𝑆 ℛ au point 𝐴. Le champ de vitesse est équiprojectif : 𝐴𝐵 ⋅ 𝑉𝐵/ℛ = 𝐴𝐵 ⋅ 𝑉𝐴/ℛ ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆 19  b- Axe central du torseur cinématique: Dans le cas où 𝛺𝑆 ℛ ≠ 0 alors l’axe central du torseur cinématique noté ∆ 𝑆 ℛ existe et on l’appelle axe instantanée de rotation et de glissement ou axe de viration. C’est le lieu des points dont les vitesses sont parallèles au vecteur rotation instantané. 20 L’axe central ∆ 𝑆 ℛ a pour équation : 𝛺𝑆 ℛ ∧ 𝑉𝑂/ℛ ∆ 𝑆 ℛ ≡ 𝑃/ 𝑂𝑃 = 2 + 𝜆 𝛺𝑆 ℛ ; 𝜆∈ℝ 𝛺𝑆 ℛ Si 𝑂 ∈ 𝑆, alors: 𝑉𝑃/ℛ = 𝑉𝑂/ℛ + 𝛺𝑆 ℛ ∧ 𝑂𝑃 𝛺𝑆 ℛ ⋅ 𝑉𝑂/ℛ 𝛺𝑆 ℛ ⋅ 𝛺𝑆 ℛ = 𝑉𝑂/ℛ + 2 𝛺𝑆 ℛ − 2 𝑉𝑂/ℛ 𝛺𝑆 ℛ 𝛺𝑆 ℛ 𝐼𝑠 = 2 𝛺𝑆 ℛ 𝛺𝑆 ℛ Par conséquent, si :  𝐼𝑠 = 0 ⟹ 𝑉𝑃∈∆/ℛ = 0 ⟹ On a un axe de rotation.  𝐼𝑠 ≠ 0 ⟹ 𝑉𝑃∈∆/ℛ ≠ 0 ⟹ On a un axe de viration. 21 Exercice d’application : (exercice 1 de la série 2) Soit une plaque rectangulaire 𝑂𝐴𝐵𝐶 mobile par rapport à un repère ℛ0 (𝑂, 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) tel que son sommet 𝑂 reste fixe dans ℛ0. 𝑂𝐴 reste dans le plan (𝑥0 𝑂𝑦0 ) avec 𝑂𝐴 = 𝑎 et 𝐴𝐵 = 𝑏. 1°- Déterminer les paramètres définissant le mouvement de la plaque. 2°- Trouver le champ de vitesses de la plaque(cas 𝐴, 𝐵, 𝐶 … ). C O B A 22 1°- Déterminons les paramètres définissant le mouvement de la plaque : 𝑧 0. 𝑦 𝜃 𝐶 𝑣 𝜃 𝑧 𝑂 𝑦0 𝐵 𝑥0 𝜓. 𝐴 𝑢 ≡𝑥 Le mouvement de la plaque est celui d’un référentiel lié à la plaque. Le point 𝑂𝑆 ≡ 𝑂 du solide est fixe donc pas de translation. 𝜓,𝑧0 𝜃,𝑢 ℛ0 (𝑂, 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) ℛ1 (𝑂, 𝑢, 𝑣 , 𝑧0 ) ℛ2 (𝑂, 𝑢, 𝑦, 𝑧) ≡ ℛ𝑆 (𝑂, 𝑥 , 𝑦, 𝑧) ⇒ deux paramètres de rotation :𝜓 et 𝜃 23  𝑥𝑂 = 0 = 𝑐𝑠𝑡 𝑂𝑆 ≡ 𝑂 donc les paramètres de translation sont : 𝑦𝑂 = 0 = 𝑐𝑠𝑡 𝑧𝑂 = 0 = 𝑐𝑠𝑡 𝜓 Les paramètres de rotation sont : 𝜃 𝜑 = 𝑐𝑠𝑡 𝑂𝐴 est toujours dans le plan (𝑂𝑥𝑦) ⇒ deux paramètres de rotation :𝜓 et 𝜃 24  𝑥𝐴 𝑂𝑆 ≡ 𝐴 donc les paramètres de translation sont : 𝑦𝐴 𝑧𝐴 = 0 = 𝑐𝑠𝑡 𝜓 Les paramètres de rotation sont : 𝜃 𝜑 = 𝑐𝑠𝑡 𝑂𝐴 est toujours dans le plan (𝑂𝑥𝑦) 𝑧0 𝑦 𝑥𝐴 = 𝑎 cos 𝜓 𝐶 𝜃 𝑣 𝜃 𝑦𝐴 = 𝑎 sin 𝜓 𝑧 𝑧𝐴 = 0 𝑂 𝑦0 𝐵 𝜓 𝑥0 𝐴 ⇒ deux degrés de liberté : 𝜓 et 𝜃 𝑢 25  𝑦 𝑧0 𝜑 𝒘𝑦 𝜃 𝐶 𝑣 𝜃 𝑧 𝑥0 𝑂 𝜓 𝜑. 𝐵 𝑦0 𝑥 𝐴 𝑢 𝜓 Les paramètres de rotation sont : 𝜃 𝜑 = 𝑐𝑠𝑡 𝑂𝐴 est toujours dans le plan (𝑂𝑥𝑦) ⇒ deux degrés de liberté : 𝜓 et 𝜃 26 2°- Champ de vitesse des points de la plaque : Pour un point 𝑀 de la plaque, on a : 𝑉 𝑀 ℛ0 = 𝑉 𝑶 ℛ0 + Ω𝑆 ℛ0 ∧ 𝑶𝑀 avec : 𝒚 𝑂𝑀 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑪 𝒚. 𝑴 𝑩 Ωℛ𝑆 ℛ0 = Ωℛ𝑆 ℛ1 + Ωℛ1 ℛ0 = 𝑧⊙ 𝒙 𝑨 𝒙 𝑶 𝜃 𝑢 + 𝜓𝑧0 = 𝜓𝑧0 + 𝜃 𝑥 ⟹ Ωℛ𝑆 ℛ0 = 𝜓𝑧0 + 𝜃 𝑥 𝑧 𝜓,𝑧0 𝜃 ,𝑢 𝑧0 ℛ0 ℛ1 ℛ2 ≡ ℛ𝑆 (𝑂, 𝑥 , 𝑦, 𝑧) 𝜃 Or 𝑧0 = sin 𝜃 𝑦 + cos 𝜃 𝑧 : 𝑢⊙ 𝒚 ⟹ 𝑉 𝑀 ℛ0 = −𝑦𝜓 cos 𝜃 𝑥 + 𝑥𝜓 cos 𝜃 𝑦 + 𝑦𝜃 − 𝑥𝜓 sin 27𝜃 𝑧  𝑉 𝑀 ℛ0 = −𝑦𝜓 cos 𝜃 𝑥 + 𝑥𝜓 cos 𝜃 𝑦 + 𝑦𝜃 − 𝑥𝜓 sin 𝜃 𝑧 𝒚 Application aux points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 : 𝑪 𝑩  𝑀 ≡ 𝐴 ⟹ 𝑥 = 𝑎 et 𝑦 = 0 d′ où: 𝑉 𝐴 ℛ0 = 𝑎𝜓 cos 𝜃 𝑦 − 𝑎𝜓 sin 𝜃 𝑧 𝑧⊙ 𝑶 𝒙=𝒂. 𝑴 ≡𝑨 𝒙  𝑀 ≡ 𝐵 ⟹ 𝑥 = 𝑎 et 𝑦 = 𝑏 d′ où: 𝒚 𝑪 𝒚=𝒃. 𝑴 ≡𝑩 𝑧⊙ 𝑶 𝒙=𝒂 𝑨 𝒙 𝑉 𝐵 ℛ0 = −𝑏𝜓 cos 𝜃 𝑥 + 𝑎𝜓 cos 𝜃 𝑦 + 𝑏𝜃 − 𝑎𝜓 sin 𝜃 𝑧  𝑀 ≡ 𝐶 ⟹ 𝑥 = 0 et 𝑦 = 𝑏 d′ où: 𝒚 𝑴 ≡𝑪. 𝑩 𝒚=𝒃 𝑉 𝐶 ℛ0 = −𝑏𝜓 cos 𝜃 𝑥 + 𝑏𝜃 𝑧 𝑧⊙ 28 𝑶 𝑨 𝒙  II.3 Champ des accélérations : Définition : On appelle champ des accélérations d’un solide 𝑆 dans son mouvement par rapport à ℛ, l’application qui à tout point 𝐴 lié au solide associe 𝛾𝐴/ℛ de 𝐴 par rapport àℛ: 𝑑𝑉𝐴/ℛ 𝛾𝐴/ℛ = 𝑑𝑡 ℛ 𝑉𝐴/ℛ = 𝑉𝐵/ℛ + 𝛺𝑆 ℛ ∧ 𝐵𝐴 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆 𝑑𝛺𝑆 ℛ ⟹ 𝛾𝐴/ℛ = 𝛾𝐵/ℛ + ∧ 𝐵𝐴 + 𝛺𝑆 ℛ ∧ 𝛺𝑆 ℛ ∧ 𝐵𝐴 𝑑𝑡 ℛ Conclusion : Le champ des accélérations n’est pas antisymétrique et par conséquent il n’est pas représentable 29 par un torseur.  II.4 Mouvements particuliers : a- Mouvement de translation : Le mouvement d’un solide 𝑆 par rapport à ℛ est un mouvement de translation si tout vecteur de 𝑆 reste équipollent à lui-même au cours du mouvement : ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆; ∀𝑡; 𝐴𝐵 = 𝑐𝑠𝑡 Si en plus, un point lié au solide décrit :  une droite, on parle alors de translation rectiligne.  un cercle, on parle alors de translation circulaire.  une courbe quelconque, on parle de translation curviligne. 30 𝜃 𝜃 Y’ X’ O’ Y Y’ X’ 𝜃 O’ 𝜃 Repère ℛ′ O X Repère ℛ 31  O’ décrit une droite, on parle alors de translation rectiligne. Y’ X’ Y’ O’ X’ O’ Y Y’ X’ O’ Repère ℛ′ O X Repère ℛ 32  O’ décrit un cercle, on parle de translation circulaire. Y’ Y’ X’ X’Y’ X’ Y’ O’X’ O’ O’Y’ Y X’ O’ O’ O Repère ℛ X 33  O’ décrit une courbe quelconque, on parle de translation curviligne. Y’ Y’ X’ X’ Y’ Y’ Y’ Y’ X’ X’ X’ Y’ X’ X’ O’ O’ O’ O’ O’ O’ O’ Y O Repère ℛ X 34 Remarques : 1°- Dans un mouvement de translation du solide (𝑆) par rapport à ℛ, 𝑖𝑆 , 𝑗𝑆 et 𝑘𝑆 lié au solide gardent des directions fixes dans ℛ: 𝑑𝑖𝑆 𝑑𝑗𝑆 𝑑𝑘𝑆 = = =0 𝑑𝑡 ℛ 𝑑𝑡 ℛ 𝑑𝑡 ℛ 2°- A tout instant, les champs des vecteurs vitesse et accélération des points de 𝑆 sont uniformes : 𝑉𝑀/ℛ = 𝑉𝑃/ℛ ⟺ 𝛾𝑀/ℛ = 𝛾𝑃/ℛ 3°- Tous les points du solide en translation ont des trajectoires identiques. 4°- La translation est uniforme si : ∀ 𝑀, 𝑃 ∈ 𝑆 ; ∀ 𝑡 ∶ 𝛾𝑀/ℛ = 𝛾𝑃/ℛ = 0 ⟺ 𝑉𝑀/ℛ = 𝑉𝑃/ℛ = 𝑐𝑠𝑡 Les points de 𝑆 ont alors des trajectoires rectilignes. 35 Théorème : 𝑆 a un mouvement de translation dans ℛ ⟺ 𝛺𝑆 ℛ = 0 ⟺ le torseur cinématique est un couple ⟺ 𝑉𝐵/ℛ = 𝑉𝐴/ℛ ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆; ∀𝑡 c'est-à-dire que le champ des vitesses est uniforme. b- Mouvement de rotation d’un solide: Lorsque les vecteurs de base du référentiel ℛ𝑆 (𝑂𝑆 , 𝑖𝑆 , 𝑗𝑆 , 𝑘𝑆 ) lié au solide changent de directions dans ℛ et 𝑂𝑂𝑆 est fixe, on dit que ℛ𝑆 (ou le solide (𝑆)) est en rotation par rapport à ℛ (sans translation). 36  Y’ X’ Y 𝑂𝑠 𝜃 𝜃′ O X Repère ℛ 𝑉𝑂𝑠 /ℛ = 0 ⟺ le torseur cinématique se réduit à un glisseur. En plus : ∀P ∈ S : 𝑉𝑃/ℛ = 𝛺𝑆 ℛ ∧ 𝑂𝑠 𝑃 37 Remarque : Dans le cas général, lorsque 𝑂𝑂𝑆 et les directions sont variables, ℛ𝑆 est en translation et en rotation par rapport à ℛ. c- Mouvement hélicoïdal: C’est un mouvement de rotation autour de ∆ et de translation parallèle à ∆. Tout point 𝑀 de 𝑆 et n’appartenant pas à ∆ décrit une hélice circulaire autour de ∆. Dans ce cas, le torseur cinématique n’est ni couple ni glisseur. 𝑇𝑟𝑎𝑗𝑒𝑐𝑡𝑜𝑖𝑟𝑒 ∆ est l’axe de rotation et de glissement, c’est l’axe central du torseur cinématique. 38 II.5 Composition des mouvements : ⋅ 𝑀 Z’ Y’ Z O’ O Y ℛ′ : repère mobile ou relatif X X’ ℛ : repère fixe ou absolu ⇓ Trouver les relations entre les grandeurs cinématiques ( 𝑉𝑀 , 𝛾𝑀 ) dans ℛ et ℛ′. 39  2°- Théorème de composition des vitesses : 𝑉𝑀/ℛ = 𝑉𝑀/ℛ′ + 𝑉𝑂 ′ + 𝛺ℛ ′ ∧ 𝑂′𝑀 ℛ ℛ 𝑣𝑎 𝑣𝑟 𝑣𝑒 : vitesse d′entrainement ||| La vitesse absolue du point coïncidant 𝑀𝑐 ||| 𝑀𝑐 est un point fixe de ℛ′ qui coïncide avec le point 𝑀 à l’instant 𝑡 𝑑 𝑂′ 𝑀𝑐 alors : = 0 𝑑𝑡 ℛ′ 𝑑 𝑂𝑀𝑐 𝑑𝑂𝑂′ 𝑑𝑂′ 𝑀𝑐 = + = 𝑑𝑡 ℛ 𝑑𝑡 ℛ 𝑑𝑡 ℛ 𝑑 𝑂′ 𝑀𝑐 ′𝑀 = 𝑣 𝑉𝑂 ′ ℛ + + 𝛺ℛ′ ℛ ∧ 𝑂 𝑐 40 𝑒 𝑑𝑡 ℛ′  𝑀𝑐 ≡ 𝑀 ∈ ℛ ′ 𝑣𝑟 𝑀𝑐 = 𝑉𝑀𝑐 /ℛ′ = 𝑉𝑀∈ℛ′ ℛ′ =0 Par conséquent, la vitesse d’entrainement s’écrit : 𝑣𝑒 = 𝑣𝑎 𝑀𝑐 = 𝑣𝑎 𝑀 ∈ ℛ ′ = 𝑉𝑀∈ℛ′ /ℛ = 𝑉 𝑀 ∈ ℛ ′ ℛ = 𝑉𝑂 ′ ℛ + 𝛺ℛ ′ ∧ 𝑂′𝑀 ℛ 𝑉 𝑀/ℛ = 𝑉 𝑀/ℛ ′ + 𝑉 𝑀 ∈ ℛ ′ /ℛ Remarques :  𝑉 𝑀 ∈ ℛ/ℛ′ = 𝑉 𝑀 ∈ ℛ/ℛ0 + 𝑉 𝑀 ∈ ℛ0 /ℛ′  𝑉 𝑀 ∈ ℛ′ /ℛ = − 𝑉 𝑀 ∈ ℛ/ℛ′ 𝑉 𝑀/ℛ = 𝑉 𝑀/ℛ ′ + 𝑉 𝑀 ∈ ℛ ′ /ℛ 𝑉 𝑀/ℛ ′ = 𝑉 𝑀/ℛ + 𝑉 𝑀 ∈ ℛ/ℛ ′ b- Loi de composition des torseurs cinématiques d’un solide rigide : 𝛺𝑆 ℛ 𝒱(𝑆 ℛ) = 𝑉𝐴 ℛ 𝛺𝑆 ℛ 𝛺𝑆 ℛ′ 𝛺ℛ′ ℛ = + 𝑉𝐴 ℛ 𝑉𝐴 ℛ′ 𝑉𝐴∈ℛ′ /ℛ 𝐴 𝒱(𝑆 ℛ) = 𝒱(𝑆 ℛ′ ) + 𝒱(ℛ ′ ℛ) 42  c- Théorème de composition des accélérations : 𝛾𝑎 𝑀 = 𝛾𝑟 𝑀 + 𝛾𝑒 + 𝛾𝑐 𝑑𝑣𝑎 (𝑀)  𝛾𝑎 𝑀 = 𝛾𝑀/ℛ = : Accélération absolue 𝑑𝑡 ℛ 𝑑𝑣𝑟 (𝑀)  𝛾𝑟 𝑀 = 𝛾𝑀/ℛ′ = : Accélération relative 𝑑𝑡 ℛ′  𝛾𝑐 = 2 𝛺ℛ′ ℛ ∧ 𝑉𝑀/ℛ′ : Accélération de Coriolis 𝑑 2 𝑂𝑂 ′ 𝑑 𝛺 ℛ′ ℛ  𝛾𝑒 = + ∧ 𝑂′ 𝑀 + 𝛺ℛ′ ℛ ∧ 𝛺ℛ ′ ℛ ∧ 𝑂 ′𝑀 𝑑𝑡 2 ℛ 𝑑𝑡 𝛾𝑎 𝑂 ′ : Accélération d’entrainement 43  𝛾𝑒 = 𝛾𝑀𝑐 /ℛ = 𝛾 𝑀 ∈ ℛ′ /ℛ Remarque : 𝑑𝑣𝑒 En général, 𝛾𝑒 ≠ et l’égalité n’a lieu que 𝑑𝑡 ℛ lorsque ℛ ′ est en mouvement de translation par rapport à ℛ 𝛺ℛ′ ℛ = 0 ou lorsque 𝑀 est au repos dans ℛ ′ 𝑉𝑀/ℛ′ = 0 puisque : 𝑑𝑣𝑒 𝛾𝑒 = − 𝛺ℛ ′ ℛ ^ 𝑉𝑀/ℛ′ 𝑑𝑡 ℛ 44 II.6 Cinématique de contact entre deux solides : a- Contact ponctuel : Soient 𝑆 et 𝑆 ′ en contact en un point géométrique 𝐼 : (𝑆) 𝜋 ⋅𝐼 (𝑆 ′ ) 𝐼 peut être considéré soit comme un point de 𝑆. 𝐼 peut être considéré soit comme un point de 𝑆 ′. Soit 𝜋 le plan tangent commun aux solides 𝑆 et 𝑆 ′ en contact. 45 Définition : La vitesse de 𝐼 considéré comme fixe dans 𝑆 ′ , par rapport à 𝑆 : 𝑉 𝐼 ∈ 𝑆 ′ /𝑆 est dite vitesse de glissement de 𝑆 ′ /𝑆 au point 𝐼. On a d’après la composition des vitesses : 𝑉 𝐼/𝑆 = 𝑉 𝐼 ∈ 𝑆 ′ /𝑆 + 𝑉 𝐼/𝑆 ′ La vitesse de glissement de 𝑆 ′ /𝑆 est donc donnée par : 𝑉 𝐼 ∈ 𝑆 ′ /𝑆 = 𝑉 𝐼/𝑆 − 𝑉 𝐼/𝑆 ′ Remarques : 1°- La vitesse de glissement de 𝑆 ′ /𝑆 est égale et opposée à la vitesse de glissement de 𝑆/𝑆 ′ , c'est-à-dire : 𝑉 𝐼 ∈ 𝑆 ′ /𝑆 = − 𝑉 𝐼 ∈ 𝑆/𝑆 ′ 2°- 𝑉𝑔 ∈ 𝜋 plan tangent commun 46 Définition : 𝑆 ′ roule sans glisser sur 𝑆 en 𝐼, lorsqu’à tout instant, la vitesse de glissement de 𝑆 ′ /𝑆 en 𝐼 est nulle. Conséquences : Si 𝑆 roule sans glisser sur 𝑆 ′ en 𝐼, alors 𝑆 ′ roule sans glisser sur 𝑆 en 𝐼. Les torseurs cinématiques 𝒱𝑆 ′/𝑆 et 𝒱𝑆/𝑆 ′ sont des glisseurs dont l’axe passe par 𝐼. 𝛺𝑁 𝛺𝑆 𝑆′ 𝛺𝑆 𝑆′ = 𝛺𝑁 + 𝛺𝑇 𝛺𝑇 𝛺𝑁 : vecteur rotation instantanée de pivotement en 𝐼. 𝛺𝑇 : vecteur rotation instantanée de roulement en 𝐼. 47 Exercice d’application : Un disque mince de rayon 𝑟 roule sans glisser à l’intérieur d’un anneau fixe de rayon 𝑅. 1°- Paramétrer la position du disque. 2°- Ecrire le non glissement. 48 1°- Paramétrons la position du disque : La position du centre 𝐶 du disque est déterminé par 𝜓 et en plus le disque effectue une rotation d’angle 𝜑 autour de l’axe 𝐶𝑧. Par conséquent,. deux degrés de liberté : 𝜓 et 𝜑 2°- Soit 𝐼 le point de contact entre le disque et l’anneau. Le non glissement est donné par : 𝑉 (𝐼 ∈ 𝑑𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒/𝑎𝑛𝑛𝑒𝑎𝑢) = 0 or 𝑉 (𝐼 ∈ 𝑑𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒/𝑎𝑛𝑛𝑒𝑎𝑢) = 𝑉 (𝐶/𝑎𝑛𝑛𝑒𝑎𝑢) + Ω ∧ CI ⟹ 𝑉 (𝐶/𝑎𝑛𝑛𝑒𝑎𝑢) = − 𝜑𝑘 ∧ rer = −r𝜑eθ Or 𝑉 (𝐶/𝑎𝑛𝑛𝑒𝑎𝑢) = 𝑅 − 𝑟 𝜓 eθ ; d’où : 𝑅 − 𝑟 𝜓 +r𝜑 = 0 49 𝑅 − 𝑟 𝜓 +r𝜑 = 0..  Cinétique du solide I- Masse et centre de masse d’un système : I-1 Masse d’un système matériel : Masse : Quantité de matière contenue dans ce système.  Invariable (mécanique classique)  Propriété d’additivité (Grandeur extensive)  Grandeur scalaire positive Deux sortes de systèmes matériels à considérer: systèmes discrets et systèmes continus. 1 Définition du système matériel discret 𝚺 : C’est un ensemble fini de 𝑁 points matériels 𝑀𝑖 de masses 𝑚𝑖 (𝑖 = 1, … …. , 𝑁), alors la masse du système est donnée par : 𝑁 𝑚= 𝑚𝑖 𝑖=1 Définition du système matériel continu 𝑺: C’est une répartition continue de matière, alors la masse du système est donnée par : 𝑚= 𝑑𝑚 𝑆 2 Où 𝑑𝑚 est la masse élémentaire d’un élément de matière de 𝑆 donnée par :  𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙 pour une répartition linéique de masse de densité 𝜆.  𝑑𝑚 = 𝜍𝑑𝑠 pour une répartition surfacique de masse de densité 𝜍.  𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 pour une répartition volumique de masse de densité 𝜌. 3 Le système 𝑆 est dit homogène lorsque sa densité 𝜆, 𝜍 ou 𝜌 est constante sur tout le domaine. Dans ce cas :  Pour une répartition linéique : 𝑚= 𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙 = 𝜆𝑙 𝑆 𝑆  Pour une répartition surfacique : 𝑚= 𝑑𝑚 = 𝜍𝑑𝑠 = 𝜍𝑠 𝑆 𝑆  Pour une répartition volumique : 𝑚= 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌𝑣 𝑆 𝑆 4 I-2 Centre de masse ou centre d’inertie : Le centre de masse ou le centre d’inertie 𝐺 du système est le point unique donné par : 𝑁 → 𝑚𝑖 𝐺𝑀𝑖 = 0 pour un système discret 𝑖=1 → 𝐺𝑀 𝑑𝑚 = 0 pour un système continu 𝑆 5 I- 3 Le centre de masse et la propriété de symétrie du système : Définition : Un système 𝑆 possède une symétrie matérielle (par rapport à un point, une droite ou un plan) s’il vérifie les deux conditions suivantes :  𝑆 possède une symétrie géométrique. i.e : Si ∀ 𝐴 ∈ 𝑆, ∃𝐵 symétrique de 𝐴 par rapport au point, à la droite ou au plan tel que : 𝐵 ∈ 𝑆.  Les points symétriques ont la même masse pour un système discret ou la même densité pour un système continu. i.e : 𝑚 𝐴 = 𝑚 𝐵 (𝑆: système discret) ou bien :  𝜆 𝐴 = 𝜆(𝐵) (𝑆: système continu linéique)  𝜍 𝐴 = 𝜍(𝐵) (𝑆: système continu surfacique)  𝜌 𝐴 = 𝜌(𝐵) (𝑆: système continu volumique) 6 Cas particulier : Un système possède une symétrie matérielle de révolution autour de l’axe ∆, s’il possède une symétrie géométrique autour de ∆ et si la densité de masse est la même pour tous les points situés sur un même cercle d’axe ∆. Exemple : Le cylindre, le cône, la sphère etc…. Remarque : Pour les systèmes homogènes, la symétrie géométrique entraine la symétrie matérielle. Propriété : Le centre de masse d’un système ayant une symétrie matérielle de centre 𝑂, d’axe ∆ ou de plan 𝜋 est respectivement en 𝑂, sur ∆ ou sur 𝜋. Exemple : Une boule homogène de centre 𝑂 et de rayon 𝑅 admet 𝑂 comme point de symétrie matérielle. 8 I-4 Détermination du centre de masse 𝐺 : a- Calcul direct : Soit 𝑂 un point donné quelconque de l’espace. Pour un système discret : 𝑁 𝑁 1 𝑚𝑖 𝐺𝑀𝑖 = 0 ⟺ 𝑂𝐺 = 𝑚𝑖 𝑂𝑀𝑖 𝑚 𝑖=1 𝑖=1 𝑁 Où 𝑚 est la masse totale du système : 𝑚 = 𝑚𝑖 𝑖=1 On démontre de la même manière que le centre de masse pour un système continu est donné par : 1 𝑂𝐺 = 𝑂𝑀 𝑑𝑚 𝑚 𝑆 9 Les coordonnées 𝑥𝐺 , 𝑦𝐺 et 𝑧𝐺 de 𝐺 dans un repère ℛ(𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘 ) sont données par : Système discret Système continu 𝑁 1 1 𝑥𝐺 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝐺 = 𝑥 𝑑𝑚 𝑚 𝑚 𝑖=1 𝑆 𝑁 1 1 𝑦𝐺 = 𝑚𝑖 𝑦𝑖 𝑦𝐺 = 𝑦 𝑑𝑚 𝑚 𝑚 𝑖=1 𝑆 𝑁 1 1 𝑧𝐺 = 𝑚𝑖 𝑧𝑖 𝑧𝐺 = 𝑧 𝑑𝑚 𝑚 𝑚 𝑖=1 𝑆 𝑁 𝑁 1 1 𝑥𝐺 = 𝑂𝐺 ⋅ 𝑖 = 𝑚𝑖 𝑂𝑀𝑖 ⋅ 𝑖 ⇔ 𝑥𝐺 = 𝑚𝑖 𝑥𝑖 𝑚 𝑚 𝑖=1 𝑖=1 10 Exemple : Calcul direct du centre de masse pour une demi- boule homogène de masse 𝑚 et de rayon 𝑅. Cherchons les coordonnées 𝑥𝐺 , 𝑦𝐺 et 𝑧𝐺 de 𝐺 dans un repère ℛ(𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘 ) : Par raison de symétrie, 𝐺 est sur l’axe 𝑂𝑧, d’où : 1 𝑥𝐺 = 𝑦𝐺 = 0 et 𝑧𝐺 = 𝑧 𝑑𝑚 𝑚 𝑆 1 𝜌 1 𝑧𝐺 = 𝑧 𝜌𝑑𝑉 = 𝑧 𝑑𝑉 = 𝑧𝑑𝑉 𝑚 𝑆 𝑚 𝑆 𝑉 𝑉 11  𝑟 dz 𝑧 𝑅 Pour un élément de volume 𝑑𝑉 d’épaisseur 𝑑𝑧 et de rayon 𝑟, nous avons : 𝑅2 = 𝑟 2 + 𝑧 2 ⟹ 𝑟 2 = 𝑅2 − 𝑧 2 Or 1 2 2 𝑑𝑉 = 𝜋 𝑅 − 𝑧 𝑑𝑧 ⟹ 𝑧𝐺 = 𝜋 𝑅2 − 𝑧 2 𝑧𝑑𝑧 𝑉 𝑆 Par conséquent : 𝜋 𝑅4 2 3 3 𝑧𝐺 = avec 𝑉 = 𝜋𝑅 ⟹ 𝑧𝐺 = 𝑅 𝑉 4 3 8 12 Le centre d’inertie possède la propriété d’associativité. Considérons un système 𝑆 formé de 𝑛 ensembles disjoints 𝑆𝑘 de masses 𝑚𝑘 et de centre de masse 𝐺𝑘. Propriété : Le centre de masse 𝐺 du système 𝑆 est le centre de masse des points 𝐺𝑘 affectés des masses respectives 𝑚𝑘. 𝑛 1 ≡ 𝑂𝐺 = 𝑚𝑘 𝑂𝐺𝑘 𝑚 𝑘=1 Exemple : Déterminons la position du centre de masse d’une plaque homogène en forme d’équerre : Décomposons la surface en deux rectangles 𝑆1 et 𝑆2 de centres de masses 𝐺1 et 𝐺2 , de longueurs 𝑎 et 𝑏 et de largeurs 𝑏 et 𝑎 − 𝑏 respectivement. 13  𝑎−𝑏 𝑚1 𝑥𝐺1 + 𝑚2 𝑥𝐺2 𝑥𝐺 = 𝑚 Où 𝑏 𝑎 𝑥𝐺1 = et 𝑦𝐺1 = 2 2 𝑎−𝑏 𝑏 𝑥𝐺2 = 𝑎 − et 𝑦𝐺2 = 2 2 Et puisque le solide est homogène, alors : 𝑚1 = 𝜍𝑆1 , 𝑚2 = 𝜍𝑆2 et 𝑚 = 𝑚1 + 𝑚2 = 𝜍 𝑆1 + 𝑆2 𝑆1 𝑥𝐺1 + 𝑆2 𝑥𝐺2 𝑥𝐺 = 𝑆1 + 𝑆2 Or 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏 2 𝑆1 = 𝑎𝑏 et 𝑆2 = 𝑎 − 𝑏 𝑏 ⟹ 𝑥𝐺 = =14 𝑦𝐺 4𝑎 − 2𝑏  b- Utilisation des théorèmes de Guldin : i- Premier théorème de Guldin : La rotation d’une courbe homogène plane 𝒞, de longueur 𝐿 et de centre de masse 𝐺, autour d’un axe de rotation ∆ ne la traversant pas engendre une surface d’aire 𝑆. La distance de 𝐺 à ∆ est : 𝑆 𝑑= 2𝜋𝐿 15 Exemple : Déterminer le centre de masse d’un quart de circonférence homogène de rayon 𝑅. 𝑦 L 𝑆 𝑑 𝐺 𝑑= 2𝜋𝐿 𝑥 En faisant tourner le quart de circonférence de longueur 𝐿 autour de 𝑂𝑦, on engendre une surface hémisphérique 𝑆: 2 𝜋𝑅 𝑆 = 2𝜋𝑅 et 𝐿= 2 2𝜋𝑅2 2𝑅 ⟹𝑑= 2 = = 𝑥𝐺 = 𝑦𝐺 𝜋 𝑅 𝜋 16  ii- Deuxième théorème de Guldin : La rotation d’une surface homogène plane 𝒮, d’aire 𝑆 et de centre de masse 𝐺, autour d’un axe de rotation ∆ ne la traversant pas engendre un volume 𝑉. La distance de 𝐺 à ∆ est : 𝑉 𝑑= 2𝜋𝑆 17 Exemple : Déterminer le centre de masse d’un demi disque de rayon 𝑅. 𝑦 𝐺 𝑑 𝑥 L’axe 𝑂𝑦 est un axe de symétrie matérielle et par conséquent : 𝑥𝐺 = 0 𝜋𝑅 2 La rotation du demi disque de surface 𝑆 = autour de l’axe 2 𝑦 𝑂𝑥, engendre une sphère de volume : 4 3 𝑑 𝐺 𝑉 = 𝜋𝑅 𝑥 3 d’après le deuxième théorème de Guldin, on a : 4 3 𝑉 𝜋𝑅 4𝑅 𝑑= = 3 ⟹ 𝑦𝐺 = 𝑑 = 𝜋𝑅 2 3𝜋 2𝜋𝑆 2𝜋 18 2 I-5 Référentiel du centre de masse : a- Définition : On appelle référentiel du centre de masse (ou référentiel barycentrique), le référentiel noté ℛ𝐺 , d’origine 𝐺 et qui est en translation par rapport au référentiel d’étude ℛ 𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘. Remarques : 1°- Le centre de masse 𝐺 est immobile dans ℛ𝐺. dA dA 2°- Ω ℛ𝐺 ℛ =0⟹ = dt ℛ dt ℛ𝐺 quelque soit le vecteur A 19  b- Vecteurs vitesse et accélération du centre de masse 𝐺 dans ℛ et ℛ𝐺 : i- Vecteur vitesse et accélération de 𝐺 dans ℛ : d𝑂𝐺 VG ℛ = dt ℛ 1 or 𝑂𝐺 = 𝑂𝑀 𝑑𝑚 𝑚 𝑆 1 d𝑂𝑀 1 ⟹ VG ℛ = 𝑑𝑚 = VM ℛ 𝑑𝑚 𝑚 𝑆 dt ℛ 𝑚 𝑆 1 ⟹ VG ℛ = VM ℛ 𝑑𝑚 𝑚 𝑆 20 et l’accélération γG ℛ de 𝐺 dans ℛ : dVG ℛ 1 γG ℛ = = γM ℛ 𝑑𝑚 dt ℛ 𝑚 𝑆 1 ⟹ γG ℛ = γM ℛ 𝑑𝑚 𝑚 𝑆 ii- Vecteur vitesse et accélération de 𝐺 dans ℛ𝐺 : d𝐺𝐺 VG ℛ𝐺 = =0 et γG ℛ𝐺 =0 dt ℛ𝐺 21 II- Opérateur d’inertie et matrice d’inertie d’un solide : L’opérateur d’inertie du solide 𝑆 au point 𝑂 noté 𝒥𝑂𝑆 est l’opérateur défini par : 𝒥𝑂𝑆 𝑢 = 𝑂𝑃 ∧ 𝑢 ∧ 𝑂𝑃 𝑑𝑚 𝑆 Où 𝑢 ∈ 𝐸 et 𝑃 est un point du solide de masse 𝑑𝑚. Propriété : L’opérateur d’inertie 𝒥𝑂𝑆 du solide 𝑆 au point 𝑂 est symétrique. C.a.d : 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐸: 𝑣 ⋅ 𝒥𝑂𝑆 𝑢 = 𝑢 ⋅ 𝒥𝑂𝑆 𝑣 Dém : Voir polycopié Conséquence : L’opérateur d’inertie 𝒥𝑂𝑆 du solide 𝑆 au point 𝑂 est linéaire. 22  a- Matrice d’inertie : La matrice 𝐼(𝑂, 𝑆) de 𝒥𝑂𝑆 dans toute base orthonormée 𝑒𝑖 est une matrice symétrique donnée par : 𝐼11 𝐼12 𝐼13 𝐴 −𝐹 −𝐸 𝐼 𝑂, 𝑆 = 𝐼21 𝐼22 𝐼23 = −𝐹 𝐵 −𝐷 𝐼31 𝐼32 𝐼33 −𝐸 −𝐷 𝐶 où les éléments de la matrice 𝐼(𝑂, 𝑆) sont donnés par : 𝐼𝑖𝑗 = 𝐼𝑗𝑖 = 𝑒𝑖 ⋅ 𝒥𝑂𝑆 𝑒𝑗 = 𝑒𝑖 ∧ 𝑂𝑃 ⋅ 𝑒𝑗 ∧ 𝑂𝑃 𝑑𝑚 𝑆 𝐼(𝑂, 𝑆) est la matrice d’inertie (tenseur d’inertie) de 𝑆 en 𝑂 dans 𝑒𝑖. 𝒥𝑂𝑆 𝑢 = 𝐼 𝑂, 𝑆. 𝑢 23  𝐼11 𝐼12 𝐼13 𝐴 −𝐹 −𝐸 Matrice 𝐼 𝑂, 𝑆 = 𝐼21 𝐼22 𝐼23 = −𝐹 𝐵 −𝐷 𝐼31 𝐼32 𝐼33 −𝐸 −𝐷 𝐶 d’inertie moments d’inertie par rapport aux axes 𝑂, 𝑒𝑖. Ils sont donnés par : 𝐼11 = 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 ; 𝐼22 = 𝑥 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚; 𝐼33 = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑚 𝑆 𝑆 𝑆 où 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les coordonnées de 𝑃 de masse 𝑑𝑚 dans le repère 𝑂, 𝑒𝑖. En effet : 𝐼𝑖𝑖 = 𝑒𝑖 ⋅ 𝒥𝑂𝑆 𝑒𝑖 = 𝑒𝑖 ∧ 𝑂𝑃 ⋅ 𝑒𝑖 ∧ 𝑂𝑃 𝑑𝑚 𝑆 Or 𝑒1 ∧ 𝑂𝑃 = 𝑒1 ∧ 𝑥𝑒1 + 𝑦𝑒2 + 𝑧𝑒3 = 𝑦𝑒3 − 𝑧𝑒2 ⟹ 𝑒1 ∧ 𝑂𝑃 ⋅ 𝑒1 ∧ 𝑂𝑃 = 𝑦 2 + 𝑧 2 ⟹ 𝐼11 = 𝐴 = 𝑦 2 + 𝑧 2 24 𝑑𝑚 𝑆  𝐼11 𝐼12 𝐼13 𝐴 −𝐹 −𝐸 𝐼 𝑂, 𝑆 = 𝐼21 𝐼22 𝐼23 = −𝐹 𝐵 −𝐷 𝐼31 𝐼32 𝐼33 −𝐸 −𝐷 𝐶 Les éléments non diagonaux de la matrice d’inertie sont appelés produits d’inertie de 𝑆 par rapport à deux plans orthogonaux. Par exemple, 𝐼23 est le produit d’inertie de 𝑆 par rapport aux plans (𝑂𝑥𝑦) et (𝑂𝑥𝑧). Par conséquent : 𝐼12 = − 𝑥𝑦 𝑑𝑚; 𝐼13 = − 𝑥𝑧 𝑑𝑚; 𝐼23 = − 𝑦𝑧 𝑑𝑚 𝑆 𝑆 𝑆 En effet : 𝐼𝑖𝑗 = 𝑒𝑖 ⋅ 𝒥𝑂𝑆 𝑒𝑗 = 𝑒𝑖 ∧ 𝑂𝑃 ⋅ 𝑒𝑗 ∧ 𝑂𝑃 𝑑𝑚 𝑆 Remarques : Les moments d’inertie sont positifs ou nuls et les produits d’inertie peuvent être positifs, négatifs ou nuls. 25 Exemple : Déterminer la matrice d’inertie d’un quart de cerceau homogène de rayon 𝑅 au point 𝑂 relativement à la base (𝑖, 𝑗, 𝑘 ). Supposons que le solide est dans le plan 𝑂𝑥𝑦, alors : 𝑧 = 0. 𝒋 𝑴 𝑹 Par conséquent : 𝜽 𝒊 𝐼13 = − 𝑥𝑧 𝑑𝑚 = 0 et 𝐼23 = − 𝑦𝑧 𝑑𝑚 = 0 𝑆 𝑆 Considérons un élément 𝑑𝑙 du cerceau, ses coordonnées polaires sont : 𝑥 = 𝑅 cos 𝜃 et 𝑦 = 𝑅 sin 𝜃 avec 𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙 = 𝜆𝑅𝑑𝜃 Le cerceau étant homogène, alors : 𝜋𝑅 𝑚 = 𝜆𝐿 = 𝜆 2 26  𝜋 2 2 𝑚𝑅 𝐼11 = 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 = 𝑦 2 𝑑𝑚 = 𝜆 𝑅3 sin2 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑆 𝑆 0 2 𝜋 2 2 𝑚𝑅 𝐼22 = 𝑥 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 = 𝑥 2 𝑑𝑚 = 𝜆 𝑅3 cos 2 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑆 𝑆 0 2 𝐼33 = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑚 = 𝐼11 + 𝐼22 = 𝑚𝑅2 𝑆 𝜋 2 2 𝑚𝑅 𝐼12 = − 𝑥𝑦 𝑑𝑚 = −𝜆 𝑅3 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 = − 𝑆 0 𝜋 2 1 − 0 𝑚𝑅2 𝜋 𝐼 𝑂, 𝑆 = 2 2 − 1 0 𝜋 0 0 2  b- Moments d’inerties : Le moment d’inertie 𝐼∆ du solide 𝑆 par rapport à un axe ∆(𝑂, 𝑢) est défini par : 𝐼∆ = 𝑢 ⋅ 𝒥𝑂𝑆 𝑢 = 𝐻𝑃 2 𝑑𝑚 𝑆 où 𝐻 est la projection orthogonale de 𝑃 sur ∆. 𝐻𝑃 = 𝑑(𝐻, 𝑃) est la distance du point 𝑃 du solide 𝑆 à l’axe ∆. Remarque : 𝐼∆ = 𝑢 ⋅ 𝐼(𝑂, 𝑆) ⋅ 𝑢 28 On définit de la même manière les moments d’inertie 𝐼𝑂 par rapport à un point 𝑂 ou 𝐼𝜋 par rapport à un plan 𝜋 par : 𝐼𝑂 = 𝑂𝑃2 𝑑𝑚 𝐼𝜋 = 𝐻𝑃 2 𝑑𝑚 𝑆 𝑆 où 𝐻 est la projection orthogonale de 𝑃 sur 𝜋. Remarque : Soit 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆 dans ℛ(𝑂, 𝑥𝑦𝑧) : 𝐼𝑂 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 𝑆 𝐼𝑂𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚; 𝐼𝑂𝑦 = 𝑥 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚; 𝐼𝑂𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑚 𝑆 𝑆 𝑆 𝐼𝑂𝑥𝑦 = 𝑧 2 𝑑𝑚; 𝐼𝑂𝑥𝑧 = 𝑦 2 𝑑𝑚; 𝐼𝑂𝑦 𝑧 = 𝑥 2 𝑑𝑚 𝑆 𝑆 𝑆 𝐼𝑂𝑥 + 𝐼𝑂𝑦 + 𝐼𝑂𝑧 = 2𝐼𝑂 ; 𝐼𝑂𝑥𝑦 + 𝐼𝑂𝑥𝑧 + 𝐼𝑂𝑦𝑧 = 𝐼𝑂 𝐼𝑂𝑥 = 𝐼𝑂𝑥𝑦 + 𝐼𝑂𝑥𝑧 ; 𝐼𝑂𝑦 = 𝐼𝑂𝑦𝑧 + 𝐼𝑂𝑥𝑦 ; 𝐼𝑂𝑥 = 𝐼𝑂𝑥𝑧 + 𝐼𝑂𝑦𝑧 29  c- Eléments principaux d’inertie : La matrice d’inertie 𝐼(𝑂, 𝑆) est symétrique ⇓ La matrice d’inertie 𝐼(𝑂, 𝑆) est diagonalisable ⇓ ∃ au moins un système de vecteurs propres (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) formant une base orthonormée dans laquelle 𝐼(𝑂, 𝑆) est diagonale. Dans cette base, 𝐼(𝑂, 𝑆) s’écrit sous la forme suivante : 𝐴 0 0 𝐼(𝑂, 𝑆) = 0 𝐵 0 0 0 𝐶 (𝑢 1 ,𝑢 2 ,𝑢 3 ) où 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont appelés les éléments principaux d’inertie. (𝑂, 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) est appelé repère principal d’inertie de 𝑆 en 𝑂. (𝑂, 𝑢1 ), (𝑂, 𝑢2 ) et (𝑂, 𝑢3 ) sont appelés axes principaux d’inertie de 𝑆 en 𝑂. Propriété 1 : Tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie en chacun de ses points. Supposons que l’axe (𝑂𝑧) est un axe de symétrie matérielle de 𝑆. 𝐼 𝑂, 𝑆 𝑧 = 𝐴 −𝐹 −𝐸 0 −𝐸 −𝐹 𝐵 −𝐷 0 = −𝐷 −𝐸 −𝐷 𝐶 𝑥,𝑦 ,𝑧 1 𝐶 or 𝐸 = −𝐼13 = 𝑥𝑧 𝑑𝑚 = 0 et 𝐷 = −𝐼23 = 𝑦𝑧 𝑑𝑚 = 0 𝑆 𝑆 puisque 𝑥𝑧 𝑑𝑚 = − 𝑥𝑧 𝑑𝑚 et 𝑦𝑧 𝑑𝑚 = − 𝑦𝑧 𝑑𝑚 𝑥≥0 𝑥≤0 𝑦≥0 𝑦≤0 0 𝐴 −𝐹 0 ⟹ 𝐼 𝑂, 𝑆 𝑧 = 0 = 𝐶𝑧 = 𝐼33 𝑧 ⟹ 𝐼 𝑂, 𝑆 = −𝐹 𝐵 0 𝐶 0 0 𝐶 ⟹ tout axe de symétrie matérielle est un axe principal d’inertie. 31 Propriété 2 : Tout axe perpendiculaire à un plan de symétrie 𝑧 matérielle est un axe principal d’inertie. 𝑥 𝑦 ′ 𝑷 (𝒙, 𝒚, −𝒛) 𝐸= 𝑥𝑧 𝑑𝑚 = 0 puisque 𝑥𝑧 𝑑𝑚 = − 𝑥𝑧 𝑑𝑚 𝑆 𝑧≥0 𝑧≤0 De même 𝐷= 𝑦𝑧 𝑑𝑚 = 0 puisque 𝑦𝑧 𝑑𝑚 = − 𝑦𝑧 𝑑𝑚 𝑆 𝑧≥0 𝑧≤0 0 𝐴 −𝐹 0 ⟹ 𝐼 𝑂, 𝑆 𝑧 = 0 = 𝐶𝑧 = 𝐼33 𝑧 ⟹ 𝐼 𝑂, 𝑆 = −𝐹 𝐵 0 𝐶 0 0 𝐶 (𝑖 ,𝑗 ,𝑘 ) Donc l’axe (𝑂𝑧) est un axe principal d’inertie. 32 Propriété 3 : Si un solide admet une symétrie matérielle de révolution autour de 𝑂𝑧 alors le repère (𝑂𝑥𝑦𝑧) est un repère principal d’inertie dans lequel la matrice d’inertie est de la forme : 𝐴 0 0 𝐶 𝐼(𝑂, 𝑆) = 0 𝐵 0 avec 𝐴 = 𝐵 = + 𝑧 2 𝑑𝑚 2 0 0 𝐶 ( , ,𝑘 ) (𝑂𝑧) est un axe de symétrie de révolution matérielle, alors tout plan contenant l’axe (𝑂𝑧) est un plan de symétrie matérielle. Par conséquent, les plans (𝑥𝑂𝑧) et (𝑦𝑂𝑧) sont deux plans de symétries matérielles. 𝐴 −𝐹 −𝐸 On déduit donc que : −𝐹 𝐵 −𝐷 −𝐸 −𝐷 𝐶 𝐷=𝐹=0 𝐸=𝐹=0 33  𝜋 En plus, si on considère une rotation d’angle autour de 2 𝒋 l’axe (𝑂𝑧) , alors : 𝜋 ⋅ 𝑷′ (−𝒚, 𝒙, 𝒛) 𝑦′ rotation d ′ angle 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 2 ′ 𝑃 (−𝑦, 𝑥, 𝑧) 𝑦 𝑥 ⋅𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝑥′ 𝒊 Or : 𝐴= 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚 ; 𝐵 = 𝑥 2 + 𝑧 2 𝑑𝑚; 𝐶 = 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑚 𝑆 𝑆 𝑆 ⟹𝐴=𝐵 𝐶 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 2 𝑧 𝑑𝑚 ⟹ 𝐴 = 𝐵 = + 𝑧 2 𝑑𝑚 2 𝑆 2 𝑆 La matrice d’inertie du solide au point 𝑂, relativement à la base (𝑖, 𝑗, 𝑘 ), s’écrit : 𝐴 0 0 𝐶 𝐼 𝑂, 𝑆 = 0 𝐴 0 avec 𝐴 = 𝐵 = + 𝑧 2 𝑑𝑚 2 𝑆 0 0 𝐶 34 Ce qui prouve que (𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘 ) est un repère principal d’inertie. Remarque : Cette matrice a la même forme dans toute base orthonormée ayant 𝑘 comme troisième vecteur. En conséquence :  𝑂𝑥 est un axe principal d’inertie ⟺ 𝐸 = 𝐹 = 0.  𝑂𝑦 est un axe principal d’inertie ⟺ 𝐷 = 𝐹 = 0.  𝑂𝑧 est un axe principal d’inertie ⟺ 𝐷 = 𝐸 = 0.  Tout repère qui possède pour éléments de symétrie matérielle du système deux axes de symétrie est un repère principal d’inertie.  Tout repère qui possède pour éléments de symétrie matérielle du système deux plans de symétrie est un 35 repère principal d’inertie. Exemple : Déterminer la matrice d’inertie d’une tige pleine de longueur 𝐿 et de masse 𝑚. Les axes 𝑂𝑥 et 𝑂𝑦 sont des axes de symétrie matérielle, donc ℛ 𝑂, 𝑥𝑦𝑧 muni de 𝑖, 𝑗, 𝑘 est un repère principal d’inertie. La tige est linéique confondue avec 𝑂𝑧 donc : 𝑥=𝑦=0⟹𝐶=0 𝐴=𝐵= 𝑧 2 𝑑𝑚 puisque 𝑂𝑧 est un axe de symétrie de révolution 𝑆 𝐿 3 2 2 𝐿 𝑚𝐿 ⟹𝐴=𝐵=𝜆 𝑧 2 𝑑𝑧 = 𝜆 = − 𝐿 12 12 2 𝑚𝐿2 1 0 0 ⟹ 𝐼 𝑂, 𝑆 = 0 1 0 12 0 0 0 (𝑖 ,𝑗 ,𝑘 ) 36  𝒥𝑂𝑆 𝑢 = 𝑂𝑃 ∧ 𝑢 ∧ 𝑂𝑃 𝑑𝑚 𝑆 ii- Théorème de Kœnig relatif à l’opérateur d’inertie: 𝐺(𝑚 ) 𝒥𝑂𝑆 𝑢 = 𝒥𝑂 𝑢 + 𝒥𝐺𝑆 𝑢 𝑂𝐺 ∧ 𝑢 ∧ 𝑂𝐺 𝑑𝑚 = 𝑂𝐺 ∧ 𝑢 ∧ 𝑂𝐺 𝑑𝑚 = 𝑚 𝑂𝐺 ∧ 𝑢 ∧ 𝑂𝐺 𝑆 𝑆 𝑂𝐺 ∧ 𝑢 ∧ 𝐺𝑃 𝑑𝑚 = 𝑂𝐺 ∧ 𝑢 ∧ 𝐺𝑃 𝑑𝑚 = 0 𝑆 𝑆 𝐺𝑃 ∧ 𝑢 ∧ 𝑂𝐺 𝑑𝑚 = 0 𝑆 𝐺𝑃 ∧ 𝑢 ∧ 𝐺𝑃 𝑑𝑚 = 𝒥𝐺𝑆 𝑢 𝑆 qu’on peut écrire sous la forme matricielle suivante : 𝐼 𝑂, 𝑆 = 𝐼 𝐺, 𝑆 + 𝐼 𝑂, 𝐺 𝑚 37 Remarques : 1°- Les matrices d’inertie doivent être exprimées dans la même base. 2°- Si 𝐼 𝐺, 𝑆 est exprimée dans (𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ) et si 𝑥𝐺 , 𝑦𝐺 , 𝑧𝐺 sont les coordonnées de 𝐺 dans (𝑂, 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 ), alors : 𝑚 𝑦𝐺2 + 𝑧𝐺2 −𝑚𝑥𝐺 𝑦𝐺 −𝑚𝑥𝐺 𝑧𝐺 𝐼 𝑂, 𝐺 𝑚 = −𝑚𝑥𝐺 𝑦𝐺 𝑚 𝑥𝐺2 + 𝑧𝐺2 −𝑚𝑦𝐺 𝑧𝐺 −𝑚𝑥𝐺 𝑧𝐺 −𝑚𝑦𝐺 𝑧𝐺 𝑚 𝑥𝐺2 + 𝑦𝐺2 𝐼11 = 𝑦𝐺2 + 𝑧𝐺2 𝑑𝑚 𝐼12 = − 𝑥𝐺 𝑦𝐺 𝑑𝑚 𝐺(𝑚 ) 𝐺(𝑚 ) 38  iii- Application : Théorème d’Huygens : Le moment d’inertie d’un solide 𝑆 par rapport à une droite ∆ est égale au moment d’inertie du solide par rapport à la droite ∆𝐺 passant par 𝐺 et parallèle à ∆ augmenté du moment d’inertie qu’aurait toute la masse de 𝑆 si elle était concentrée en 𝐺 : ∆𝐺 𝑑 𝐼∆ = 𝐼∆𝐺 + 𝑚𝑑2 𝑂 𝑢 𝑮 ∆ 𝑆 39 III- Torseur cinétique, torseur dynamique et énergie cinétique : 1°- Quantité de mouvement d’un solide 𝑆 : La quantité de mouvement notée 𝑃(𝑆/ℛ) d’un solide 𝑆 de masse 𝑚 par rapport à un repère ℛ est : 𝑃 𝑆/ℛ = 𝑉𝑀 ℛ 𝑑𝑚 = 𝑚𝑉𝐺 ℛ 𝑆 La quantité de mouvement d’un solide 𝑆 est égale à celle de son centre de masse 𝐺 affectée de la masse totale 𝑚. Remarque : La quantité de mouvement d’un solide par rapport à ℛ𝐺 est nulle : 𝑃 𝑆/ℛ𝐺 = 0 40  2°- Moment cinétique d’un solide 𝑆 : Le moment cinétique de 𝑆 % à 𝑂 dans ℛ est défini par : 𝜍𝑂 𝑆/ℛ = 𝑂𝑀 ∧ 𝑉𝑀 ℛ 𝑑𝑚 𝑆 Le moment cinétique de 𝑆 par rapport à ∆(𝐴, 𝑢) dans ℛ est : 𝜍∆ 𝑆/ℛ = 𝑢 ⋅ 𝜍𝐴 𝑆/ℛ Propriété : 𝜍𝐺 𝑆 ℛ = 𝜍𝐺 𝑆 ℛ𝐺 Propriété : Le moment cinétique du solide 𝑆 par rapport au référentiel ℛ𝐺 noté 𝜍𝐴 𝑆 ℛ𝐺 est indépendant du point par rapport auquel il est calculé. Ainsi, ∀ 𝐴 et 𝐵: 𝜍𝐴 𝑆 ℛ𝐺 = 𝜍𝐵 𝑆 ℛ𝐺 = 𝜍𝐺 𝑆 ℛ𝐺 = 𝜍 ∗ 𝑆 ℛ𝐺 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝜍𝐺 𝑆 ℛ = 𝜍 ∗ 𝑆 ℛ𝐺 i- Théorème de Koenig relatif au moment cinétique : 𝜍𝐴 𝑆 ℛ = 𝜍𝐴 𝐺(𝑚) ℛ + 𝜍𝐺 𝑆 ℛ𝐺 (moment cinétique interne) 42  3°- Quantité d’accélération d’un solide 𝑆 : La quantité d’accélération notée 𝑎(𝑆/ℛ) d’un solide 𝑆 de masse 𝑚 par rapport à un repère ℛ est : 𝑎 𝑆/ℛ = 𝛾𝑀 ℛ 𝑑𝑚 = 𝑚𝛾𝐺 ℛ 𝑆 La quantité d’accélération d’un solide 𝑆 est égale à celle de son centre de masse 𝐺 affectée de la masse totale 𝑚. Remarque : La quantité d’accélération d’un solide par rapport à ℛ𝐺 est nulle : 𝑎 𝑆/ℛ𝐺 = 0 43  4°- Moment dynamique d’un solide 𝑆 : Le moment dynamique de 𝑆 % à 𝑂 dans ℛ est défini par : 𝛿𝑂 𝑆/ℛ = 𝑂𝑀 ∧ 𝛾𝑀 ℛ 𝑑𝑚 𝑆 Le moment dynamique de 𝑆 par rapport à ∆(𝐴, 𝑢)dans ℛ est : 𝛿∆ = 𝑢 ⋅ 𝛿𝐴 𝑆/ℛ Propriété : 𝛿?