Mécanique du Solide - 6 PDF

Corrigés LE-PC ENS CASA AIT AOMAR Mohamed ALLOLYCEE du solide Mécanique  AIT AOMAR Avant-propos Vous venez d'obtenir le...

Corrigés LE-PC ENS CASA AIT AOMAR Mohamed ALLOLYCEE du solide Mécanique  AIT AOMAR Avant-propos Vous venez d'obtenir le bac et vous vous destinez à des études scientiques. Cet ouvrage ne res- semble pas à vos manuels de lycée, ni à ceux que vous utiliserez par la suite. Son objectif est double : assurer les bases qui vous permettront de proter au mieux de l'enseignement que vous allez suivre et vous familiariser avec les problèmes que vous allez aborder et avec les méthodes que vous allez devoir acquérir. Notre expérience d'enseignants, tant au lycée qu'en classes préparatoires,licence , nous a permis de répertorier les principales dicultés sur lesquelles un grand nombre d'étudiants débutants achoppent. Nous y avons porté une attention particulière : il est important d'avoir des idées claires sur les bases d'une discipline avant d'en aborder les aspects plus complexes. Chaque chapitre est découpé en trois parties : ALLOLYCEE Un rappel des connaissances essentielles acquises au cours de vos études secondaires, intitulé " Ce qu'il faut savoir . Il se peut que vous soyez parfois surpris par la forme de ces rappels. Ainsi, avons-nous utilisé la classication des disciplines qui sera celle que vous retrouverez par la suite. De plus, nous avons fortement insisté sur des points qui ont pu vous paraitre secondaires jusqu'ici. Si vous les lisez attentivement, vous vous rendrez compte que ce sont eectivement des rappels. La index placé à la n de l'ouvrage vous permettra de retrouver rapidement le détail qui vous aurait échappé. Une première série d'exercices, intitulée " Pour faire le point . Ces exercices devraient pou- voir être résolus sans grande diculté par un élève qui a correctement assimilé la physique enseignée au lycée. Ils vous permettront de tester vos connaissances de base. Une deuxième série d'exercices, intitulée * Pour aller plus loin *. Bien qu'ils n'utilisent que les connaissances vues au lycée, ces exercices constituent une initiation aux méthodes que vous allez devoir utiliser dans l'enseignement supérieur. Ils demandent en général une plus grande rigueur dans l'analyse du système étudié, une plus grande maitrise des concepts, et parfois une bonne habileté dans les calculs. Il est normal que vous n'arriviez pas à les résoudre tous sans eort ! En vous y * frottant * et en étudiant les solutions, vous vous familiariserez avec les exercices qui vous seront proposés par la suite. Les énoncés sont en général suivis de a Conseils ". Commencez par essayer de résoudre le plus de questions possibles sans regarder les conseils. Ensuite, vous pouvez utiliser ces conseils. Et enn, si vous ne trouvez toujours pas, regardez la solution. L'essentiel n'est pas la solution elle même, mais les méthodes qui ont permis d'y parvenir. Lisez donc très attentivement les solutions et les remarques qui les complètent : il vaut mieux faire peu d'exercices bien compris que d'en survoler beaucoup. Il ne nous reste que vous féliciter de votre choix pour des études scientiques et à vous souhaiter de les mener avec suces.s. 0670899276 2 TABLE DES MATIÈRES AIT AOMAR Table des matières 1 Torseur de vitesse d'un disque 6 1.1 Corrigé torseur de vitesse d'un disque.......................... 6 2 Détermination du centre de masse 6 2.1 Corrigé Détermination du centre de masse....................... 7 3 Deux barres articulées 10 3.1 Corrigé Deux barres articulées............................. 10 4 Roulement sans glissement d'un cylindre 11 4.1 Corrigé roulement sans glissement d'un cylindre.................... 11 5 Cerceau sur un plan horizontal 13 5.1 Corrigé cerceau sur un plan horizontal......................... 14 6 Cinématique d'un système composé 15 6.1 Corrigé cinématique d'un système composé...................... 15 7 Matrice et Moment d'inertie 17 7.1 Solides homogènes de géométries usuelles........................ 17 7.1.1 Corrigé Solides homogènes de géométries usuelles............... 17 7.2 Assemblage d'un cylindre et d'une demi sphère..................... 21 7.2.1 Corrigé assemblage d'un cylindre et d'une demi sphère............ 22 7.3 Moments d'inertie d'un double panneau solaire..................... 22 8 Moment d'inertie minimal 23 8.1 Corrigé moment d'inertie minimal............................ 23 9 Mouvement sur un rail diédrique 24 9.1 Corrigé mouvement sur un rail diédrique........................ 25 10 Translation et rotation d'un cylindre 26 10.1 Corrigé translation et rotation d'un cylindre...................... 27 11 Échelle double 28 11.1 Corrigé échelle double.................................. 28 12 Pendule double 28 12.1 Corrigé pendule double.................................. 29 13 Oscillation d'un demi disque 30 13.1 Corrigé oscillation d'un demi disque........................... 30 0670899276 3 TABLE DES MATIÈRES AIT AOMAR 14 Accélération et freinage dune automobile 31 14.1 Corrigé accélération et freinage d'une automobile................... 34 0670899276 4 TABLE DES FIGURES AIT AOMAR Table des gures 1 Détermination du centre de masse............................ 6 2 Système de coordonnées associé à une étoile dont l'état d'équilibre est de symétrie sphérique......................................... 7 3 Symétries du cube.................................... 7 4 Symétries du cylindre................................... 8 5 Position du centre de masse G d'un demi-disque.................... 8 6 Position du centre de masse G d'un quart de disque.................. 8 7 Position du centre de masse G de cavité vide..................... 9 8 Position du centre de masse G de côte......................... 10 9 Barres articulées..................................... 11 10 Roulement sans glissement............................... 12 11 Cerceau sur un plan................................... 13 12 Barre et deux disques................................... 15 13 homogènes du sphère.................................. 18 14 homogènes Disque.................................... 18 15 homogènes de Barre................................... 19 16 cylindre plein....................................... 20 17 Cône de hauteur h et de rayon de base R........................ 21 18 Cylindre et demi sphère soudés............................. 21 19 Double panneau solaire.................................. 23 20 Rail diédrique....................................... 25 21 Rotation d'un cylindre.................................. 26 22 pendule double...................................... 29 23 Demi-disque oscillant................................... 30 24 Accélération et freinage d'une voiture.......................... 32 0670899276 5  AIT AOMAR 1 Torseur de vitesse d'un disque → − → − → − Dans un repère R( i , j , k ) on considère un disque de centre O contenu dans le plan xOy. Le disque tourne dans le sens trigonométrique autour de Oz avec une vitesse de rotation ω. → − 1. Par un calcul direct, déterminer la vitesse V (M/R) d'un point M (x; y; 0) du disque. → − 2. Montrer que le champ V (M/R) forme un torseur et déterminer ses éléments de réduction en O. 3. De quel type de torseur s'agit- il ? Quel est son axe central ? 1.1 Corrigé torseur de vitesse d'un disque → − → − → − 1. On a V (M/R) = ω(−y i + x j ) −−−→′ → − → − 2. On a M M.( V (M ) − V (M )) = 0 donc le champ est équiprojectif ⇒il est antisymétrique : ′ → − − → → − donc le champ V (M/R) est un torseur. Les éléments de réduction en O : [V ](o) = [ 0 , ω k ] 3. forment une droite appelée axe central du torseur. Cet axe central existe et est unique pour tout torseur, sauf dans le cas particulier du couple et du torseur nul, où la résultante est nulle. Dans le cas d'un glisseur, les moments sur l'axe central sont nuls. 2 Détermination du centre de masse 1. Donner des symétries permettant de déterminer la position du centre de masse des systèmes homogènes suivants : (a) une boule. (b) un cube. (c) un cylindre de révolution de hauteur nie. 2. Déterminer la position du centre de masse G d'un demi-disque de rayon R et d'un quart de disque de rayon R. 3. Déterminer le centre de masse d'une boule homogène de centre O, de rayon R, dans laquelle on a formé une cavité vide de centre O et de rayon r. On pose OO = d. ′ ′ Figure 1  Détermination du centre de masse 4. Déterminer la position du centre de masse d'un cône de révolution homogène, de masse M , de hauteur h, dont la base est un disque de rayon R. 0670899276 6 2.1 Corrigé Détermination du centre de masse AIT AOMAR 2.1 Corrigé Détermination du centre de masse 1. symétries permettant de déterminer la position du centre de masse (a) boule :Des symétries d'une boule homogène sont par exemple les suivants :  les rotations (d'angle quelconque) autour de tous les axes passant par son centre ;  les symétries planes par rapport aux plans passant par son centre. Le seul point invariant par toutes ces symétries est le centre de la boule, qui constitue donc son centre de masse. Figure 2 Figure 2  Système de coordonnées associé à une étoile dont l'état d'équilibre est de symétrie sphérique (b). Le cube admet comme symétries :  les rotations d'angle π4 et π2 autour des axes passant par son centre et le centre des faces ; les rotations d'angle 2π 3 autour des grandes diagonales du cube ;  les symétries planes par rapport aux plans passant par deux arêtes opposées ou par les centres de quatre arêtes parallèles. Le seul point invariant est le centre du cube. Figure 3 Figure 3  Symétries du cube 0670899276 7 2.1 Corrigé Détermination du centre de masse AIT AOMAR (c) Le cylindre est invariant par toute rotation autour de l'axe de révolution ainsi que par la symétrie plane par rapport au plan qui le coupe en deux parties égales. On en déduit que le centre de masse est l'intersection de l'axe de révolution et de ce plan. Figure 4 Figure 4  Symétries du cylindre 2. La rotation du demi-disque d'aire S engendre une boule de volume V. Le théorème de Guldin stipule que d= V 2π S d'où d = OG = 4 3π R Figure 5  Position du centre de masse G d'un demi-disque De même, la rotation du quart de disque engendre une demi-boule d'où d = 4 3π R puis : √ 4 2 OG = 3π R Figure 6  Position du centre de masse G d'un quart de disque 0670899276 8 2.1 Corrigé Détermination du centre de masse AIT AOMAR 3. Il s'agit d'utiliser ici la propriété d'associativité des centres de masse en utilisant une masse négative. En eet, en superposant deux systèmes de masses volumiques opposées, on en- gendre dans leur intersection une masse nulle, c'est-à-dire une cavité vide. Soit M la masse de la grande boule, dont le centre de masse est O. Il lui correspond une masse volumique ρ = 4πMR3 Considérons une boule de rayon r centrée en (son centre de masse) et de masse 3 volumique Sa masse m est alors :m = −ρ 4π3r = − Rr 3 M Par associativité du centre de 3 3 masse on peut écrire, en prenant le point O comme origine : −→ −−→′ 3 − −→′ −→ M OO + m OO − Rr 3 OO OG = = 3 M +m 1 − Rr 3 soit −→ r3 −−→′ OG = − OO R3 − r 3 Figure 7  Position du centre de masse G de cavité vide 4. On utilise ici une méthode intégrale. Il faut découper le cône en cylindres d'épaisseur in- nitésimale, de rayon et de masse variables. Paramétrons le cône, en vue du calcul à faire. Prenons l'origine O au sommet du cône et notons Oz son axe de révolution. Chaque tranche du cône à la cote z a un rayon une épais- seur dz et une masse dm Le centre de masse de cette tranche est situé au centre du disque, soit à la côte z. La cote zG du centre de masse du cône est alors donnée par : zG = M1 0h z dm R Pour calculer cette intégrale, il faut exprimer dm en fonction de dz. Soit ρ la masse volu- mique du cône : ρ est donnée par ρ = M V ˆ Le volume du cône est V = 3 R h d'où ρ = π3RM2 h π 2 ˆ Le volume d'une tranche est dV = π r2 (z)dz d'où dm = R3M 2 2 h r (z)dz Il faut encore exprimer le rayon de la tranche en fonction de z. D'après le théorème de Thalès : r(z) R = z H 0670899276 9  AIT AOMAR Figure 8  Position du centre de masse G de côte Il vient alors : Z h Z h 1 3 zG = z dm = 3 z 3 dz M 0 h 0 3 = h 4 On aboutit ainsi à zG = 43 h 3 Deux barres articulées On considère le système ci-dessous Figure 9, formé de deux barres articulées OA et AB de mêmes longueurs et se déplaçant dans le plan (Oxy). 1. Donner l'expression du vecteur rotation instantané de la barre OA en fonction de l'angle α. 2. De même, donner l'expression du vecteur rotation instantané de la barre AB en fonction de l'angle β. 3. Quelle est la relation entre la vitesse en O et celle de A ? 4. Quelle est la relation entre la vitesse en A et celle de B ? 5. Peut-on écrire le même type de relation simple sur les vitesses en O et en B ? 3.1 Corrigé Deux barres articulées 1. La barre [OA] a un mouvement de rotation autour de l'axe Sa vitesse angulaire est α̇. Ainsi, le vecteur rotation instantanée de la barre [OA] est α̇ → − ez. 0670899276 10  AIT AOMAR Figure 9  Barres articulées 2. La barre [AB] a un mouvement de rotation autour de l'axe Sa vitesse angulaire est β̇ Ainsi, le vecteur rotation instantanée de la barre [AB] est ˙β → − ez. 3. La formule de Varignon appliquée au solide [OA] conduit à : → − → − −→ V (A) = V (O) + α̇ → − ez ∧ OA 4. De même La formule de Varignon appliquée au solide [AB] conduit à : → − → − −→ V (B) = V (A) + β̇ → − ez ∧ AB 5. On ne peut pas écrire de formule de Varignon portant sur les points O et B car ils n'appar- tiennent pas au même solide 4 Roulement sans glissement d'un cylindre Un cylindre C2 de rayon R2 roule sans glisser à l'intérieur d'un cylindre creux C1 de rayon R1. Le cylindre C1 est xe dans un référentiel R. La position du cylindre C2 est repérée par deux angles. L'un, θ, correspond à l'angle entre la verticale descendante et (OG) ou O désigne un point de l'axe du cylindre creux et G le centre du cylindre C2. Le second, α, correspond à l'angle entre la verticale descendante passant par G et (GM ) ou M est un point xe sur le cylindre C2. − → 1. Exprimer la vitesse VG du point G par rapport à R. 2. Établir la condition de roulement sans glissement. 4.1 Corrigé roulement sans glissement d'un cylindre − → 1. La vitesse VG du point G − → VG = (R1 − R2 )θ̇ → − eθ 0670899276 11 4.1 Corrigé roulement sans glissement d'un cylindre AIT AOMAR Figure 10  Roulement sans glissement 2. On détermine la vitesse de I2 point du cylindre 2 en contact avec le point I1 du cylindre 1, le cylindre 1 étant immobile. → − → − → − V (I2 ) = V (I1 ) = 0 → − − → −−→ → − V (I2 ) = VG + I2 G ∧ Ω → − V (I2 ) = (R1 − R2 )θ̇ → − eθ − R2 → − er ∧ α̇→− ez → − → − V (I2 ) = (R2 α̇ + (R1 − R2 )θ̇) eθ On en déduit la condition de roulement sans glissement du cylindre en mouvement dans le cylindre creux : R2 α̇ + (R1 − R2 )θ̇ = 0 0670899276 12  AIT AOMAR 5 Cerceau sur un plan horizontal Un cerceau (C) de centre A et de rayon a, dont le plan est perpendiculaire à x0 Oy0 , roule sans glisser sur le plan horizontal (P). L'axe du cerceau reste parallèle à l'axe (OIG) et le point de contact IG décrit un cercle de rayon R avec une vitesse angulaire ! constante. L'angle variable θ caractérise la rotation propre du cerceau autour de son axe. On désigne par R0 (O; x0 ; y0 ; z0 ) le → − repère xe, R1 (O; → −u ;→−v , k0 ) un repère intermédiaire et par R(O, x, y, z) le repère lié à (P ). On suppose que le plan (P ) est xe dans R0. Soient I1 , I2 et IG les points de contact entre le cerceau et le plan (P ) tels que I1 ∈ (C), I2 ∈ (P ) et IG point géométrique. On exprimera les résultats dans → − la base (O, → −u ,→− v , k0 ). Figure 11  Cerceau sur un plan → − 1. Calculer la vitesse V (A/R0 ) et l'accélération → − a (A/R0 ) du point A dans R0 → − 2. Quel est le vecteur instantané de rotation Ω (C/R0 ) 3. Donner les éléments de réduction du torseur cinématique en A → − 4. Calculer la vitesse V (I1 /R0 ) En déduire la condition du roulement sans glissement. → − → − 5. Calculer les vitesses V (I2 /R0 ) et V (IG /R0 ) ainsi que les accélérations → − a (I1 /R0 ),→ − a (I2 /R0 ) → − et a (IG /R0 ).Conclure. → − 6. Calculer les vitesses V (M/R0 ) et accélérations → − a (M/R0 ) du point M situé sur la périphé- rique du cerceau lors de son passage par le point le plus haut de (C). 7. Soit B un point appartenant à l'axe du cerceau et situé à une distance b de A. Sachant que → − B est lié à (C ), calculer V (B/R0 ).Pour quelle condition cette vitesse devient nulle. 0670899276 13 5.1 Corrigé cerceau sur un plan horizontal AIT AOMAR 8. On suppose maintenant que le plan (P) tourne autour de la verticale avec une vitesse → − angulaire constante ω0.Calculer la vitesse V (A/R0 ) et accélérations → − a (A/R0 ) en utilisant le théorème de composition des mouvements. 5.1 Corrigé cerceau sur un plan horizontal → − 1. la vitesse V (A/R0 ) On a → − → − → − −→ V (A/R) = V (H/R) + Ω (R1 /R0 ) ∧ HA = ωR→ − v → − 2 → − a (A/R) = −ω R u → − 2. le vecteur instantané de rotation Ω (C/R0 ) → − → − Ω (C/R0 ) = −θ̇→ − u +ωk0 3. les éléments de réduction du torseur cinématique → − → − I = 0 et Ω (C/R0 ) ̸= 0 ⇒ un glisseur. → − 4. La vitesse V (I1 /R0 ) l → − v (I1 /R) = (ωR − aθ̇)→ − v donc la condition du roulement sans glissement. → − ⇒→ − v (I1 /R) = 0 ⇒ ωR = aθ̇ → − → − 5. Les vitesses V (I2 /R0 ) et V (IG /R0 ) → − → − v (I2 /R0 ) = 0 et → −v (IG /R0 ) = Rω → − v les accélérations → − ω 2 R2 → − a (I1 /R0 ) = −ω 2 R→ − u + a k0 → − → − a (I2 /R0 ) = 0 → − a (I /R ) = −ω 2 R→ −u G 0 c/c : ˆ Les points ont des vitesses instantanées identiques mais leurs accélérations sont diérents. ˆ Généralement les trois points confondus à t donné ont des accélérations diérentes. 6. → − v (M/R0 ) = 2Rω → − v → − → − a (M/R0 ) = −3ω 2 R→ −u − ωRθ̇ k 0 7. → − v (B/R0 ) = (R − b)ω → − v : cette condition devient nulle si R = b. 8. L'axe central passe par les points H et I1 à t donné. → − → − −→ v (A/R0 ) = → − v (A/R) + Ω (R/R0 ) ∧ OA = (ω + ω0 ) R→ − v → − a (A/R0 ) = → −a (A/R) + → − a e (A) + → − a c (A) → − a (A/R) = −ω 2 R→−u → −a e (A) = −ω 2 R→ −u → − a c (A) = −2ωω0 R→ − u → − → − → − → − et Ω (C/R0 ) = Ω (C/R) + Ω (R/R0 ) = (ω + ω0 ) k 0 − θ̇→ −   u 0670899276 14  AIT AOMAR 6 Cinématique d'un système composé On considère un système mécanique comportant une barre AB, de longueur 2L, et deux disques identiques D1 et D2 , de rayon a. Les centres des disques sont liés aux extrémités A et B de la barre par des liaisons pivots parfaites. Le système est en mouvement dans le plan (Oxy ). La barre et les disques sont homogènes. Le centre de masse G de la barre est donc situé en son milieu. Le disque D1 reste en contact avec l'axe vertical Oy , le disque D2 reste en contact avec l'axe Ox horizontal. Le référentiel d'étude (R) est celui lié aux axes (Ox, Oy ). Pour décrire le mouvement du système, on utilise les grandeurs instantanées suivantes : → − → − → − ˆ V (G) , V (A) , V (B) :vecteurs vitesses de G, de A et de B , respectivement ; − → − → −−−→ ˆ Ω1 , Ω2 , Ωbarre vecteurs rotation instantanés des disques D1 , D2 et de la barre, respective- ment. Figure 12  Barre et deux disques 1. Déterminer le nombre d'inconnues cinématiques scalaires lorsqu'on tient compte des contacts. → − → − 2. Quelle relation lie les vitesses V (A) et , V (B) ? 3. Le disque D1 roule sans glisser sur l'axe Oy. En déduire une relation supplémentaire entre les variables cinématiques. 4. Même question pour le roulement sans glissement de D2 sur Ox. 5. En déduire le nombre d'équations dynamiques qu'il reste à établir. 6.1 Corrigé cinématique d'un système composé 1. Le mouvement étudié est plan. Les vitesses de tous les points du système sont dans le plan Par conséquent, les trois vecteurs rotation instantanés sont portés par Oz , axe per- pendiculaire au plan (oxy ) On oriente Oz de telle sorte que les vecteurs de base unitaires 0670899276 15 6.1 Corrigé cinématique d'un système composé AIT AOMAR (→ − ex , → − ey , → − ez )forment un repère direct. On a ainsi : − → − → −−−→ Ω1 = Ω1 → − ez , Ω2 = Ω2 → − ez , Ωbarre = Ωbarre → − ez Le point A a pour coordonnées (a, yA (t)) car ce point se déplace suivant une droite parallèle à(oy ) De même, B a pour coordonnées (xb (t), a)car il se déplace parallèlement à (oy ) On a ainsi : → − → − V (A) = ẏA → − ey V (B) = ẋB → − ex Le centre d'inertie a pour coordonnées :  x = 1 (x + x ) = 1 (a + x (t)) G 2 A B 2 B yG = 1 (yA + yB ) = 1 (yA (t) + a) 2 2 On en déduit les composantes de sa vitesse  → − ẋ = 1 ẋ (t) G 2 B V (G) = 1 ẏG = ẏA (t) 2 Ainsi, nous sommes partis de 18 scalaires et il n'en reste, après une première analyse des contacts, que 5 :Ω1 , Ω2 , Ωbarre , ẋG , ẏG −−−→ 2. La barre a pour vecteur instantané de rotation Ωbarre = Ωbarre → − ez On a ainsi, l'après la formule de Varignon : → − → − −−−→ −→ V (B) = V (A) + Ωbarre ∧ AB −→ Or, le vecteur AB a pour composantes  → − x − a B V (G) = a − y A d'où : Ωbarre = − a−y ẋB A = − xBẏB−a On obtient ainsi deux nouvelles relations scalaires entre les variables cinématiques. Il ne reste donc plus que trois variables scalaires indépendantes. Il peut s'agir de Ω1 , Ω2 , ẋB ou Ω1 , Ω2 , ẏA → − 3. Appelons le point de contact de D1 avec l'axe Oy. Dans le référentiel R lié à Oy , V (I1 ∈ → − Oy) = 0 Or, la condition de non-glissement s'écrit : → − → − V (I1 ∈ D1 ) = V (I1 ∈ Oy) → − Le disque D1 constituant un solide, on peut exprimer la vitesse V (I1 ∈ D1 ) à partir de → − → − V (A) et Ω 1 : → − → − → − −−→ V (I1 ∈ D1 ) = V (A) + Ω 1 ∧ AI1 On en déduit :0 = ẏA − a Ω1 Il s'agit d'une relation supplémentaire entre les inconnues cinématiques, dont le nombre est à présent réduit à 2. 0670899276 16  AIT AOMAR 4. On écrit de la même façon la condition en I2 point de contact de D2 avec l'axe Ox, d'où : → − → − → − V (I2 ∈ D2 ) = V (I1 ∈ ox) = 0 → − → − → − la vitesse V (I2 ∈ D2 ) à partir de V (B) et Ω 2 : → − → − → − −−→ V (I2 ∈ D2 ) = V (B) + Ω 2 ∧ BI2 On en déduit :0 = ȧB + a Ω2 5. Étant donné les équations établies précédemment, il ne reste qu'une seule inconnue cinéma- tique. Il faudra donc une équation (scalaire) dynamique pour la déterminer. 7 Matrice et Moment d'inertie 7.1 Solides homogènes de géométries usuelles 1. Déterminer la matrice d'inertie au centre O des solides suivants de masse m : (a) Sphère de rayon R. (b) Disque de rayon R. (c) Barre AB de longueur l. En déduire la matrice d'inertie au point A (l'une de ses deux extrémités). 2. Déterminer la matrice d'inertie au centre O d'un cylindre de rayon R et de hauteur H. Retrouver les matrices d'inertie de la barre et celle du disque. Conclure. 3. Déterminer la matrice d'inertie en son sommet d'un cône de révolution homogène de hauteur h dont le rayon du cercle de base est R. 7.1.1 Corrigé Solides homogènes de géométries usuelles 1. (a) sphère pleine de rayon R Le solide admet une symétrie sphérique ⇒ A = B = C A+B+C 3 2 IO = = A ⇒ A = IO 2 2 3 élément de volume sphérique dτ = r2 dr sin(θ)dθdφ dIO = r2 dm = ρ r4 dr sin(θ)dθdφ 2 A = mR2 5   1 0 0 2mR2  II(o, S) = 0 1 0  5 0 0 1 0670899276 17 7.1 Solides homogènes de géométries usuelles AIT AOMAR Figure 13  homogènes du sphère (b) Le repère choisi est un repère principal d'inertie. dIoz = r2 dm = 2σ π r3 dr mR2 C = dIoz = 2 C mR2 A=B= = 2 4   1 0 0 mR2  2 1 II(o, S) = 0 2 0  2 0 0 1 Figure 14  homogènes Disque 0670899276 18 7.1 Solides homogènes de géométries usuelles AIT AOMAR (c) la matrice d'inertie   I1 0 0 ΠG (AB) =  0 I2 0  avec I1 = I3.   0 0 I3 Figure 15  homogènes de Barre Comme x = z = 0, il vient : Z Z 2 2 y 2 dm
I1 = y +z dm = AB AB Z x2 + z2 dm = 0
I2 = ΛB Z Z 2 2 y 2 dm
IS = y +y dm = AB AB Les coordonnées de tout point paramètre P appartenant à la barre sont (0, y, 0), donc − → le vecteur déplacement élémentaire vaut dP = dyu2. Si λ est la masse linéique, on Rℓ a : dm = λdy d′ ou m = −2 ℓ λdy = λℓ donc nalement : λ = ml et dm = ml dy 2ℓ 2 R − 2ℓ y 2 mℓ dy mc2 et I2 = 0 R 2 I1 = Ig = ˆ AB y dm = − 2ℓ = 12  2    mℓ 12 0 0 1 0 0 mℓ2 ⇔ ΠG (AB) =  0 0 0 =  0 0 0      12 1nℓ2 0 0 12 0 0 1   1 0 0 la matrice d'inertie au point A ⇔ ΠA (AB) = mℓ2  0 3 0    12 0 0 1 2. cylindre plein de rayon R de hauteur H Le solide admet une symétrie cylindrique ⇒ A = B ̸= C 0670899276 19 7.1 Solides homogènes de géométries usuelles AIT AOMAR Figure 16  cylindre plein R2 dIOz = dm 2 R2 mR2 Z C = IOz = dm = (s) 2 2 C A = IOx = + IxOy 2 mR2 mH 2 A=B= + 4 12  2  mR mH 2 + 12 0 0  4 mR2 2 II(o, S) =  0 + mH 0   4 12 mR2 0 0 2 les matrices d'inertie de la barre R → 0   mH 2 12 0 0 mH 2 II(o, S) =  0 0   12 0 0 0 les matrices d'inertie de la disque H → 0   mR2 4 0 0 mR2 II(o, S) =  0 0    4 mR2 0 0 2 3. L'équation du pourtour du cône est ici décrite par des cercles dont le rayon dépend de sa hauteur selon , qui est l'équation de la génératrice du cône. Les paramètres et dépendent du rayon de base et de la hauteur selon et (tangente du demi angle au sommet). Lors des intégrations sur le volume, les coordonnées cylindriques sont utilisées et l'intégrale s'eectue dans l'ordre suivant : ˆ L'angle varie de 0 à π , 0670899276 20 7.2 Assemblage d'un cylindre et d'une demi sphère AIT AOMAR ˆ Le rayon dans chaque plan parallèle à la base r varie de 0 à l'équation de la génératrice. ˆ La hauteur z varie de 0 à h. Ces bornes d'intégration servent également à déterminer la position du CDM (sur l'axe Oz à 32 du sommet S ) pour une évaluation des axes principaux d'inertie par le théorème de Huygens. Le moment d'inertie selon Oz est alors :Izz = 103 mR2 valable quelle que soit l'origine sur l'axe. Les deux autres moments d'inertie valent :Ixx = 3m ( R + h3 ) et Iyy = 3m 2 2 2 2 10 2 ( R + h3 ) 10 2 Figure 17  Cône de hauteur h et de rayon de base R 7.2 Assemblage d'un cylindre et d'une demi sphère Un solide (S) homogène de masse M est constitué par un cylindre plein de hauteur H , de rayon R et par une demi sphère pleine de rayon R. Le cylindre et la demi sphère sont assemblés par soudure comme l'indique la gure suivante. Figure 18  Cylindre et demi sphère soudés 0670899276 21 7.3 Moments d'inertie d'un double panneau solaire AIT AOMAR 1. Expliquer pourquoi le repère (O, x, y, z ) est principal d'inertie ? 2. Déterminer la position du centre d'inertie G du solide 3. Déterminer la matrice d'inertie en O relativement à la base (→ −x ,→ − y ,→ − z) 4. En déduire, dans la même base la matrice principale et centrale d'inertie du solide. 7.2.1 Corrigé assemblage d'un cylindre et d'une demi sphère 1. (O, → − x ,→ −z ) et (O, → − y ,→ − z ) sont deux plans de symétrie matérielle → − → − ⇒ (O, x ) et (O, y ) sont deux axes principaux d'inertie Le troisième axe :overrightarrowx ∧ overrightarrowy = overrightarrowz ⇒ (O, → − z ) est le → − → − 3 ème axe principal ⇒ la base (O, y , z ) est une base principale d'inertie 2. La position du centre d'inertie G du solide : −→ 3 (2R2 H 2 − R4 ) → − OG = 2 3 z 4 (3R H + 2R ) 3. La matrice d'inertie en 0, relativement à la base (→− x ,→ −y ,→ − z)   A 0 0 Π(S) =  0 B 0  = Π1 + Π2   0 0 C   2 3 3   3M HR + 4R + H3 0 0  3H+2R 4 15  2   3M HR 4R3 H3 Π(S) =  0 + + 0   3H+2R 4 15 3      3M HR2 4R3 0 0 3H+2R 2 + 15 4. La matrice centrale d'inertie du solide :     AG 0 0 AG = A − MG2 0 0 Π(S) =  0 BG 0  =  0 BG = B − MG2 0      0 0 CG 0 0 CG = C 7.3 Moments d'inertie d'un double panneau solaire On modélise chaque panneau par un rectangle de cotés b et c et de masse M. Trouver les moments d'inertie principaux du double panneau solaire en son centre O. 0670899276 22  AIT AOMAR Figure 19  Double panneau solaire 8 Moment d'inertie minimal 1. Deux masses ponctuelles m1 et m2 sont reliées par une tige rigide de longueur L et de masse négligeable. Exprimer le moment d'inertie J de ce système par rapport à un axe perpendiculaire à la tige, croisant la tige et se trouvant à une distance x de m1. Pour quelle valeur de x, J est il minimal ? Donner la valeur minimale de J. Tracer J(x). 2. Reprendre les mêmes questions dans le cas d'une tige homogène de masse m et de longueur L sans masse `a ses extrémités. 8.1 Corrigé moment d'inertie minimal 1. J(x) = m1 x2 + m2 (L − x)2 dJ(x) m2 L = 2m1 x + 2m2 (L − x) = 0 ⇒ x = dx m2 − m1 m1 m22 + m2 m21 Jmin = L (m1 − m2 )2 On m1 = 100 gm et m2 = 200 gm et L = 1 m donc xmin = 1m et Jmin = 0.6 kg.m2 0670899276 23  AIT AOMAR Moment d'inertie minimal 35 30 25 J(x)/kg.m2 20 15 10 5 0 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x/m 2. J(x) = m 3L (x3 − (L − x)3 ) dJ(x) m L = (x2 − (L − x)2 ) = 0 ⇒ xmin = dx L 2 m = 100 gm et L = 1 m Moment d'inertie minimal d'une tige 60 40 20 J(x)/kg.m2 0 −20 −40 −60 −80 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x/m 9 Mouvement sur un rail diédrique Une bille homogène de rayon R, de masse M roule sans glisser dans un rail diédrique incliné d'un angle α par rapport à l'horizontale. L'angle du dièdre est droit. 0670899276 24 9.1 Corrigé mouvement sur un rail diédrique AIT AOMAR Le référentiel (R) lié au rail est galiléen. On utilisera les deux repères dénis sur la gure (21). La position du centre de masse G de la bille est repérée par l'abscisse X. On note JG le moment d'inertie de la bille par rapport à un axe qui passe par G. Figure 20  Rail diédrique 1. Exprimer la vitesse du centre de masse G de la bille → − v (G)R , puis celle des points de contact I et J de la bille avec le rail, dans le référentiel R. → − 2. En déduire l'expression du vecteur vitesse angulaire instantané Ω de la bille. → − 3. Exprimer le moment cinétique L ∗ de la bille dans le référentiel barycentrique. → − → − 4. En déduire le moment cinétique L o′(R) de la bille dans R en O′ puis L o(R) en O. 9.1 Corrigé mouvement sur un rail diédrique 1. Les vecteurs (→−e x→ − e z ) peuvent être complétés par → −e y de façon à ce que (→ −e x→ − e y, → − e z ) soit → − → − → − → − → − orthonormée directe. On pose e Y = e y et on complète ( e X , e Y ) par e Z de façon à avoir une base orthonormée directe. Dans le référentiel lié au dièdre, G a un mouvement de translation selon l'axe (O′ X). On en déduit sa vitesse →− v (G) = Ẋ → − ex 2. Cependant : La sphère roulant sans glisser sur le dièdre et ce dernier étant xe dans le référentiel d'étude, la vitesse des points de contact I et J appartenant à la sphère est nulle. Le mouvement de rotation de la sphère s'eectue autour de l'axe (GY ). On pose ainsi → − Ω = Ω→ − e Y le vecteur rotation instantané de la sphère. D'après la formule de Varignon appliquée aux points G et I de la sphère : → − → − −→ v (I) = → − v (G) + Ω ∧ GI −→ √ √ √ GI = 2 (− e Y − e Z ). On en déduit v (I) = Ẋ − 2 RΩ → → − → − → − −   2 2 e X , d'où : Ω = 2 Ẋ R De 0670899276 25  AIT AOMAR même : −→ → − v (I ∈ plateau ) = Ω→ −e z ∧ OI = Ω→ −e z ∧ (a→ − e x) = aΩ→− e y On en déduit la vitesse de glissement : → − v g = a(ω − Ω)→ − ey → − 3. le moment cinétique L ∗ de la bille √ → −∗ → − 2 2Ẋ L =JΩ = M R→−eY 5 → − → − 4. le moment cinétique L o′(R) de la bille dans R en O′ puis L o(R) en O. √ → − 2 2Ẋ √ Ẋ − L o′(R) = M R→− e Y + M X2 2 → eY 5 R → − √ √ → √ Ẋ → et L o(R) = 2 52Ẋ M R→ − e Y + M X 2 2 ẊR − e Y + M h 2 2R− eY 10 Translation et rotation d'un cylindre Soit un système constitué d'une tige letée (OA) liée au repère R1 (O, → −x 1, → − y 1, → − z 1 ). La tige de masse négligeable tourne autour de l'axe avec une vitesse de rotation α̇ constante. Un cylindre de masse m, de hauteur h et de centre d'inertie G, lié au repère R3 (G, → −x 3, → − y 3, → − z 3) s'enroule autour de cette tige et il a deux mouvements : - Un mouvement de translation de son centre d'inertie G lié au repère R3 (Gr , → −x 2, → − y 2, → −z 2 ), suivant l'axe de la tige →− x1 = → −x 2 avec une vitesse linéaire ẋ t). - Un mouvement de rotation autour de l'axe (O, x2 ) avec une vitesse de rotation ′ ψ̇ constante et telle que : ψ = (→− y 2, → − y 3 ) = (→−z 2, → − z 3) On prendra R2 comme repère relatif et de projection. Déterminer : Figure 21  Rotation d'un cylindre 0670899276 26 10.1 Corrigé translation et rotation d'un cylindre AIT AOMAR 1. Le tenseur d'inertie du cylindre au point G par rapport aux repères R2 et R3 2. La vitesse de rotation instantanée du cylindre par rapport au repère R0 3. La vitesse et l'accélération du point M par composition de mouvement. 4. Les torseurs, cinétique et dynamique, an point O par rapport au repère R0. 5. L'énergie cinétique du système. 10.1 Corrigé translation et rotation d'un cylindre 1. Le tenseur d'inertie du cylindre mR2 mh2   4 + 12 0 0 mR2 mh2 Π(G, S) =  0 + 0   4 12  mR2 0 0 2 R2 2. La vitesse de rotation instantanée du cylindre → − Ω = α̇→ − z0 3. La vitesse et l'accélération du point M → − → − → − V = Ve+Vr → − V e = Ẋ → −x 1 + X α̇→ −y1 → − V r = Rψ̇ → −y3 → −a =→ −ar+→ −ae+→ −ac → − → − → − a e = Ẍ → − x 1 + Ω ∧ ( Ω ∧ R→−z 3 ) = Ẍ → − x 1 + α̇→ − z 0 ∧ α̇→ − z 0 ∧ R→ − z 3) → − a = Ẍ →−x − Rα̇2 →− z et → −z = cos ψ → − z + sin ψ →−y et → −x =→ − x e 1 3 3 2 2 1 2 → − a e = Ẍ → − x 2 − Rα̇2 cos ψ → − z 2 − Rα̇2 sin ψ → − y2 → − → − → − a = 2Ω ∧ Vc r → − a c = 2α̇→ − z 0 ∧ Rψ̇ → − y3 → − a = −2α̇Rψ̇ → − z c 3 → − a r = −Rψ̇ 2 → − z3 4. Le torseur cinétique mR2 mh2     4 + 12 + mX 2 0 0 0 → − mR2 mh2 Lo =  0 + 0. 0      4 12  mR2 0 0 2 R0 α̇ Le torseur dynamique → − − → d Lo δO = dt 5. L'énergie cinétique du système. 1→−t → − m−→ Ec = Ω Π(O, S) Ω + VG 2 2 2 0670899276 27  AIT AOMAR 11 Échelle double On modélise une échelle double par deux barres AB et AC articulées en A, sans frottement en A. Les deux barres sont homogènes, de même masse m et de même longueur h. Initialement, l'échelle est posée fermée (B et C presque confondus), sans vitesse initiale, A se trouvant sur l'axe (Oz) à la distance h du sol, B et C étant sur le sol. On suppose que l'échelle se met à glisser parfaitement (pas de frottement sur le sol en B ni C ). Soit D le milieu de [A, C], on repère la −→ position de l'échelle par l'angle θ entre le sol et le vecteur AC. Le moment d'inertie d'une barre homogène, de masse m, de longueur l, par rapport à un axe perpendiculaire passant par son centre est J = ml2 /12. 1. Montrer que le mouvement de D est sur un cercle de centre O et de rayon h/2. 2. Déterminer l'énergie cinétique de l'échelle. 3. En déduire l'équation diérentielle du mouvement vériée par θ. 4. Calculer en fonction de h, la vitesse de l'extrémité A quand elle arrive en contact avec le sol. 11.1 Corrigé échelle double voire les site ALLOLYCEE 12 Pendule double Dans le plan vertical (Ox, Oy) d'un repère xe orthonormé direct galiléen R0 (0, x, y, z) où Ox est la verticale ascendante, on considère le mouvement d'un pendule double (S) constitué de deux tiges rectilignes homogènes (OA) et (AB), respectivement de masses m1 et m2 , de longueurs l1 et l2 , et de centres de gravités G1 et G2 , articulées en A, où nous avons une articulation parfaite. 0670899276 28 12.1 Corrigé pendule double AIT AOMAR Figure 22  pendule double 1. Déterminer le moment cinétique et le moment dynamique en O de la tige (OA) par rapport à R0. 2. Donner l'expression de l'énergie cinétique de (AB) par rapport à R0. 3. Déterminer le moment cinétique en G2 de la tige (OA) par rapport à R0. 4. Déterminer le moment dynamique en G2 de la tige (AB) par rapport à R0. 5. Donner l'expression de l'énergie cinétique de (AB) par rapport à R0. 6. Écrire, à l'aide des théorèmes généraux, les équations du mouvement. 12.1 Corrigé pendule double 1. Le moment cinétique − → m1 ℓ21 ˙ → LO (OA) = θ1 − ez 3 le moment dynamique − → m1 ℓ21 ¨ → δO (OA) = θ1 − ez 3 2. énergie cinétique m2 ℓ22 ˙ 2 Ec = θ2 24 3. le moment cinétique −−→ m1 ℓ21 m1 ℓ22 ˙ → LG2 (OA) = ( + )θ1 − ez 3 4 4. Déterminer le moment dynamique −→ m2 ℓ22 ¨ → δG2 (AB) = θ2 − ez 12 0670899276 29  AIT AOMAR 5. Énergie cinétique de (AB) m2 ℓ22 ˙ 2 Ec = θ2 24 6. les équations du mouvement. − → X −−−−−−→ → δO (OA) = MG1 ( F ) − → X −−−−−−→ → δO (AB) = MG1 ( F ) 6g θ̈1 + sin θ1 = 0 ℓ1 ℓ2 12(ℓ1 + 2 )g θ̈2 + sin θ2 = 0 ℓ22 13 Oscillation d'un demi disque Un demi disque de rayon r, de masse m et de centre d'inertie G peut osciller sans glissement au point de contact I , avec un angle θ, dans le plan xe (O, x0 , y0 ). Le repère R (C, → − u ,→ − v ,→ − z0 ) est −→ → − lié au solide tel que CG = λ u (voir Figure 23). Écrire l'équation du mouvement en utilisant le théorème de l'énergie cinétique. Figure 23  Demi-disque oscillant 13.1 Corrigé oscillation d'un demi disque Dans un mouvement de roulement sans glissement, les forces de frottement ne travaillent pas et l'énergie mécanique se conserve (intégrale première du mouvement) 1 2 1 mvG + JGz θ̇2 + mg(r − b cos θ) = Cte = mg (r − λ cos θ0 ) 2 2 Condition de roulement sans glissement : → − −→ → − vI = − v→ → − → − C + IC ∧ α̇ e z = ẋ + r θ̇ ex = 0 0670899276 30  AIT AOMAR − v→ → −→ − ˙ → − → − → − → − G = vC + GC ∧ θez = (ẋ + λθ̇ cos θ) ex + λθ̇ sin θ ey = Rθ̇ (λ cos α − 1) ex + λθ̇ sin θ ey  2  r JGz = JCz − mλ2 = m − λ2 2 1 2 r2   2 mθ̇ − λ cos θ − λmgR cos θ = −λmgR cos θ0 2 2 Pour les petites oscillations : cos θ ≈ 1 et sin θ ≈ θ g On dérive l'équation et on obtient : θ̈ + θ=0 (2λ − 2r) q La période des oscillations est : T = 2π (2λ−2r) g 14 Accélération et freinage dune automobile On considère le référentiel terrestre (R) associé au repère (Oxyz) comme étant galiléen. On note (O, → −e x, → − e y, → − e z ) le trièdre associé. On considère que la voiture (gure ci-dessous) est composée de 3 systèmes notés (S1 ) , (S2 ) et (S). On appelle (R∗ ) le référentiel du centre de masse de la voiture. Le système (S1 ) de masse m1 est constitué par l'essieu de longueur L et les deux roues avant de la voiture. On note J1 son moment d'inertie par rapport à l'axe G1y où G1 est le centre d'inertie de (S1 ). Les roues avant, assimilées à deux disques de rayon a de centre O1 et O1′ sont motrices et donc soumises pendant la phase d'accélération à un couple de forces dont le moment résultant en → − G1 est assimilable à Γ = Γ→ −e y avec Γ > 0. On considère que la résultante des actions de contact du sol sur (S1 ) est représentée par : − → F1 = T1 → − e x + N1 → − ez s'exerçant sur chaque roue en I1 et I1′. On appelle (R1∗ ) le référentiel du centre de masse de (S1 ). (S1 ) est animé dans (R1∗ ) d'un mouvement de rotation autour de G1y à la vitesse angulaire ω Le système (S2 ) de masse m2 est constitué par l'essieu et les deux roues arrière de la voiture. On note J2 son moment d'inertie par rapport à l'axe G2y où G2 est le centre d'inertie de (S2 ). Les roues arrière sont également assimilées à deux disques de rayon a de centre O2 et O2′. On considère que la résultante des actions de contact du sol sur (S2 ) est représentée par : − → F2 = T2 → − e x + N2 → − ez s'exerçant sur chaque roue en I2 et I2′. On appelle (R2∗ ) le référentiel du centre de masse de (S2 ). (S2 ) est animé dans (R2∗ ) d'un mouvement de rotation autour de G1y à la vitesse angulaire ω. Le système (S) de masse M , est constitué du reste de la voiture. On néglige les mouvements de (S) par rapport à (S1 ) et (S2 ) considérés comme faibles et on ne prend pas en compte les déformations de la suspension. Le centre d'inertie G de l'ensemble du véhicule se trouve à une hauteur h du sol, une distance ℓ1 de G1 et une distance ℓ2 de G2 suivant l'axe Ox. 0670899276 31  AIT AOMAR Figure 24  Accélération et freinage d'une voiture Le coecient de frottement de glissement, noté f0 entre une roue et le sol est identique pour les quatre roues. On considère que les forces de frottement de l'air sur le véhicule sont équivalentes à une force → − unique Fair appliquée en G avec : F air = − 12 ρcx v 2 → − e x lorsque la voiture se déplace d'un mouve- ment de translation rectiligne suivant l'axe Ox et où : - ρ est la masse volumique de l'air avec ρ = 1, 23 kg · m−3 ; - cx est le coecient de traînée qui dépend du prol de la voiture avec cx = 0, 3 : - v est la vitesse de la voiture , - S est la plus grande section transversale de la voiture avec S = 1, 93 m2. −→ On note OG = x(t)→ − e x Données numérique : ℓ1 = 1, 3 m; ℓ2 = 1, 7 m; h = 0, 8 m; a = 0, 3 m; M = 1370 kg et g = 9, 81 m · s−2. 21.1 Étude de la phase d'accélération 1. Écrire le théorème du centre d'inertie dans (R) pour la voiture. En déduire deux relations notées (1) et (2). 2. Écrire le théorème du moment cinétique en G pour la voiture dans (R∗ ) ; la relation obtenue est notée (3). 3. Écrire le théorème du moment cinétique respectivement en G1 et G2 pour le système (S1 ) dans (R1∗ ) et (S2 ) dans (R2∗ ). En déduire deux relations notées (4) et (5). 4. (a) Écrire la relation de non-glissement des roues liant la vitesse linéaire v(t) = ẋ(t) de la voiture et la vitesse angulaire ω des roues. (b) Donner alors l'équation diérentielle du mouvement relative à x(t). On ne fait aucune supposition sur la nature du mouvement des roues dans les questions suivantes et on considère pour la suite du problème que la masse de (S1 ) et celle de (S2 ) sont très petites devant celle de (S) ce qui revient à poser m1 = m2 = 0 et J1 = J2 = 0 dans les relations des questions 1,2 et 3. 0670899276 32  AIT AOMAR 5. (a) Que deviennent les relations (1), (2) et (3) ? Donner alors l'expression de T1 , T2 , N1 et N2 en fonction de ℓ1 , ℓ2 , h, a, M, g et Γ. Comparer N1 et N2. Quel est le sens de T1 et T2 ? (b) Déterminer la valeur maximale de Γ, notée Γmax , qui assure un roulement sans glis- sement des roues de la voiture. Comment varie Γmax en fonction de ℓ2 , de h et de f0 ? Quel est le sens physique de ces dépendances ? Application numérique : calculer les valeurs de Γmax pour f0 = 0, 7 (pneus en bon état et route sèche), pour f0 = 0, 4 (route mouillée) et pour f0 = 0, 1 (route verglacée). (c) Pour Γ < Γmax , la roue avant peut-elle décoller ? La roue arrière peut-elle décoller ? 6. Le fonctionnement à la limite du roulement sans glissement n'étant jamais atteint en raison d'une puissance moteur insusante, on considère une valeur de Γ inférieure à Γmax (a) Donner l'expression de la vitesse limite, notée vlim atteinte par la voiture ainsi que sa valeur numérique en km−1 h−1. Application numérique : Γ = 300 N.m (b) Intégrer alors l'équation du mouvement an de donner la vitesse instantanée v(t) en fonction de v lim enconsidérant v(0) = 0. On posera α = Γ/ (aM v ). lim (c) Estimer et calculer le temps τ tel que pour t 0 ? 3. (a) Donner l'expression des valeurs maximales des valeurs absolues de Γ1 et Γ2 , notées Γ1M et Γ2M , pour que le freinage s'eectue sans glissement. On fera l'hypothèse que l'on atteint la limite de glissement simultanément sur les deux roues. (b) Exprimer le rapport Γ1M /Γ2M en fonction de ℓ1 , ℓ2 , f0 et h. Quelles sont les roues qui se bloquent en premier ? (c) Application numérique : calculer Γ1M et Γ2M pour f0 = 0, 7, f0 = 0, 4 et f0 = 0, 1. 0670899276 33 14.1 Corrigé accélération et freinage d'une automobile AIT AOMAR 14.1 Corrigé accélération et freinage d'une automobile 21.1 1. Les actions extérieures qui s'exercent sur la voiture sont : - les poids (liés aux masses m1 , m2 et M ) → − →