Cinématique du solide PDF - Licence Sciences Physiques et Chimiques S3 2024-2025

Licence d'éducation de Sciences Physiques et Chimiques Cours de Mécanique des solides Semestre S3 2024-2025 Durée :.. Cinématique du solide 1 Notion de torseur 1.1 Champ équipro jectif...

Licence d'éducation de Sciences Physiques et Chimiques Cours de Mécanique des solides Semestre S3 2024-2025 Durée :.. Cinématique du solide 1 Notion de torseur 1.1 Champ équipro jectif #» Un champ équiprojectif H est un champ de vecteur qui vérie : → → → → H (A). AB=H (B). AB (1) ∀A et B ∈ ζ (deux points de l'espace) #» #» où H(A) et H(B) sont les vecteurs associés au champ au point A et B. 1.2 Résultante et moment du torseur #» Pour un champ équiprojectif, on peut trouver un vecteur R tel que : #» #» #» # » H(B) = H(A) + R ∧ AB (2) En eet : On a : #» # » #» # » #» # » # » H(B).AB = H(A).AB + ( R ∧ AB).AB #» # » # » or ( R ∧ AB).AB = 0 ∀ A et B d'où : → → → → H (A). AB=H (B). AB #» #» #» Le vecteur R est appelé résultante du torseur associé au champ H et H(A) est le moment du torseur en A. Ainsi le torseur est représenté par ses éléments de réduction en un point A par : #» ! R TA = #» (3) H(A) A 2 Champs de vitesse et d'accélération 2.1 Solide indéformable Considérons un référentiel R = (O, x, y, z) et un solide (S) en mouvement par rapport à R. Un solide est indéformable si la distance entre deux points quelconques du solide est # » constante. C'est à dire ∀A, B ∈ (S) on a : kABk = cte On a : # »# » # » # » d(AB) # » =⇒ AB.( #» v B − #» d(AB.AB) = 0 = 2 AB. v A) = 0 dt dt R R d'où : # » # » #» v (B/R).AB = #» v (A/R).AB Le champ des vitesses est donc un champ équiprojectif. Page 1/5 A.Chakir ENS CASA LEPC S3 2.2 Torseur cinématique #» Puisque le champ des vitesses est équiprojectif, alors il existe un vecteur Ω S/R tel que : #» #» # » v (B) = #» v (A) + Ω S/R ∧ AB (4) Cette relation permet de déterminer la vitesse de tout les points du solide connaissant le #» vecteur Ω et la vitesse d'un point du solide (qui peut le centre de masse du solide ou un point xe par exemple). On introduit donc le torseur des vitesses ou le torseur cinématique par ses éléments de réduction par :  #»  Ω Tc = #» S/R (5) v A/R A On a besoin donc de six paramètres en général pour décrire le mouvement d'un solide. 2.3 Champ des accélérations L'accélération d'un point B du solide est obtenue en dérivant l'équation (4) par rapport au temps : #» #» #» d Ω S/R # » #» #» # » a B/R = a A/R + ∧ AB + Ω S/R ∧ ( Ω S/R ∧ AB) dt #» #» # » En général Ω S/R ∧ ( Ω S/R ∧ AB) n'est pas nul. On ne peut pas donc associer un torseur au champ d'accélération. 2.4 Composition de mouvement On considère un autre référentiel R0 en mouvement par rapport à R. On note O0 son #» origine et Ω R0 /R la vitesse de rotation de R0 par rapport à R. On peut établir 1 , pour un point M du solide, les relations de composition des vitesses et des accélérations.  Pour la vitesse : #» v M/R = #» v M/R0 + #» v M ∈R0 /R (6) avec : # » #» #» v M ∈R0 /R = #» v O0 /R + Ω R0 /R ∧ O0 M est la vitesse d'entraînement au point M.  Pour l'accélération : #» a M/R = #» a M/R0 + #» a M ∈R0 /R + #» aC (7) avec : #» #» #» #» dΩ # » #» #» # » a M ∈R0 /R = a e = a O0 /R + ∧ O0 M + Ω ∧ ( Ω ∧ O0 M ) dt R est l'accélération d'entraînement. et #» #» a C = 2 Ω R0 /R ∧ #» v M/R0 l'accélération de Coriolis. 1. La même démonstration que pour le cas du point matériel. Page 2/5 A.Chakir ENS CASA LEPC S3 3 Exemples de mouvement 3.1 Mouvement de translation Un solide (S) est en translation par rapport à R si pour deux points quelconques de (S) # » on a : AB = Cte. On a donc : # » #» = 0 =⇒ #» v (B) = #» dAB v (A) d'où Ω S/R = 0 dt R Tout les points du solide se déplacent à la même vitesse. On n'a besoin que de trois paramètres pour décrire le mouvement du solide (comme le cas du point matériel). 3.2 Solide en rotation autour d'un axe On considère un solide (S) en rotation par rapport à l'axe (Oz) xe dans R. L'angle de rotation est noté ϕ(t). La vitesse d'un pont A du solide est donnée par : # » # » # » # » #» v A/R = d(OA) = d(OH) d(HA) + = d(HA) dt dt dt dt où H est la projection de A sur l'axe (Oz) xe dans R. Le point A eectue un mouvement circulaire de rayon HA à la vitesse angulaire ϕ̇. On a : # » # » = ϕ̇ #» d(HA) e z ∧ HA dt En faisant de même pour un autre point B du solide, on obtient : #» # » v B/R = #» v A/R + ϕ̇ #» e z ∧ AB #» On identie donc la résultante du torseur cinématique Ω S/R au vecteur vitesse de rotation du solide par rapport à R. 3.3 Angles d'Euler Dans le cas ou le solide a un point xe A dans R, la vitesse d'un autre points quelconque du solide est donné par : #» #» # » v M/R = Ω S/R ∧ AM Il est commode d'utiliser les angles d'Euler dénis comme suit (Figures (1) et (2)) : Figure 1  Angle d'Euler Page 3/5 A.Chakir ENS CASA LEPC S3 #» #» #» #» #» #» En introduisant les repères intermédiaires R1 ( u , v , k ) et R2 ( u , w, k 0 ), on peut avoir : #» #» #» #» ψ̇ #» ( i , j , k ) −→ ( #» k u , #» #» θ̇ u#» v , k ) −→ ( #» #» k#»0 ) −→ u , w, φ̇k0 #» #» #» ( i0 , j 0 , k 0 ) | {z } | {z } R R0 lié à S L'angle ψ est appelée angle de précession, θ l'angle de nutation et φ l'angle de rotation propre. Figure 2  Relations de passage On obtient donc : #» #» #» Ω S/R = ψ̇ k + θ̇ #» u + φ̇k 0 (8) Il est plus commode, dans le cas où le solide présente une symétrie de révolution, d'expri- #» #» #» #» mer Ω S/R dans la base ( u , w, k 0 ). #» #» #» puisque k = sin θ w + cos θ k 0 , on obtient : #» Ω S/R = θ̇ #» #» + (ψ̇ cos θ + φ̇)k#»0 u + ψ̇ sin θ w (9) Exemple : L'exemple le plus simple pour illustrer les angles d'Euler est celui du mouve- ment d'une toupie. Lorsque la toupie est verticale, elle tourne avec une vitesse propre φ̇ importante. Dans cette phase du mouvement, θ = 0 et ψ = 0. Dans une deuxième phase ou la rotation propre diminue relativement, la toupie s'incline d'un angle de nutation θ, on a donc un mouvement de précession de vitesse ψ̇ autour de la verticale (Oz) en plus du mouvement de rotation propre autour de son axe de symétrie (Oz 0 ). La toupie nit par tomber par terre lorsque θ devient important. 4 Contact entre solides 4.1 Vitesse de glissement Soient (S1 ) et (S2 deux solides en mouvement par rapport à R. On suppose que les deux solides restent en contact au point I. On peut distinguer trois points : Le point I1 du solide (S1 ) dont la vitesse est calculé par le torseur cinématique de (S1 ), Le point I2 du solide (S2 ) dont la vitesse est calculé par #» #» le torseur cinématique de (S2 ) et le point géométrique de vitesse : v I/R = (d(OI)/dt)R. Les trois points coïncident à l'instant t mais les vitesses correspondantes sont diérentes. La vitesse de glissement en I de (S1 ) par rapport à S2 est donnée par : #» v g = #» v I∈S1 /S2 (10) Page 4/5 A.Chakir ENS CASA LEPC S3 C'est la vitesse calculée en utilisant le torseur cinématique de S1 par rapport au référentiel lié à (S2 ). On peut aussi l'écrire sous la forme équivalente, faisant intervenir le point géométrique I : #» v g = #» v I/S2 − #» v I/S1 (11) En eet : La composition des vitesse entre les repères liés aux deux solides donne : #» v I/S2 = #» v I/S1 + #» v I∈S1 /S2 d'où #» v I∈S1 /S2 = #» v I/S2 − #» v I/S1 4.2 Liaisons entre solides Degré de liberté Le degré de liberté est le nombre de variables indépendantes nécessaires pour décrire le mouvement d'un système. On a vu que pour un solide, on a besoin de six variables : trois pour la translation et trois pour la rotation. Dans le cas d'un système de N solide, le degré de liberté est de 6N. Cependant, ce nombre est réduit dans le cas des liaisons entre ces solides. Une liaison entre deux solides est une relation de contact entre deux solides qui lie entres elles, deux ou plus de variables indépendantes. Exemples de liaison L'étude des liaisons entre les diérentes pièces d'un système est diciles à cause des défauts entre les surfaces de contact. Cependant en peut introduire des modèles simples de liaisons comme :  Liaison pivot : La vitesse du point de contact 2 est nulle et l'angle de rotation est suivant un axe. Le torseur cinématique du mouvement relatif de (S1 ) par rapport à S2 est donnée par :  #» θ̇ k TvS2 /S1 = 0 I Ce qui réduit de cinq le nombre de degré de liberté.  Liaison glissière : Le mouvement relatif se réduit à une translation, :   0 TvS2 /S1 = #» ẋ i I #»  Liaison rotule : La vitesse du point 3 de contact est nulle et le vecteur vitesse Ω S2 /S1 est quelconque :  #»  Ω S2 /S1 TvS2 /S1 = 0 I On peut utiliser dans ce cas les angles d'Euler pour étudier le mouvement relatif de (S1 )/(S2 ). 2. Il s'agit, en réalité d'un point de la surface de contact. 3. De même, il s'agit d'un point immobile du volume de contact. Page 5/5 A.Chakir