Vibrations L3 - Notes de Cours PDF

2023-2024 Licence de Mécanique - 3ème année VIBRATIONS Notes de Cours Sylvie Le Moyne Merci à F. Ollivier, à l’origine de ce cours, ainsi qu’à S. Régnier qui y...

2023-2024 Licence de Mécanique - 3ème année VIBRATIONS Notes de Cours Sylvie Le Moyne Merci à F. Ollivier, à l’origine de ce cours, ainsi qu’à S. Régnier qui y a ensuite ajouté sa touche personnelle. Mise en texte, mise à jour et enrichissement S. Le Moyne 2 Table des matières 1 Lois de la dynamique des solides et équations de mouvement 11 1.1 Solides rigides - Degrés de liberté - Paramètres généralisés................ 12 1.2 Géométrie des masses.................................... 13 1.2.1 Masse......................................... 13 1.2.2 Inertie......................................... 13 1.3 Solides rigides - Champ de vitesse, quantité de mouvement, quantité d’accélération (rappels)............................................ 16 1.3.1 Outil torseur..................................... 16 1.3.2 Champ de vitesse et torseur cinématique...................... 16 1.3.3 Quantité de mouvement et torseur cinétique.................... 17 1.3.4 Quantité d’accélération et torseur dynamique................... 17 1.4 Solide rigide : actions mécaniques et grandeurs énergétiques............... 18 1.4.1 Action mécanique.................................. 18 1.4.2 Liaisons élastiques.................................. 18 1.4.3 Énergie cinétique................................... 19 1.4.4 Puissance des forces mécaniques.......................... 19 1.4.5 Travail des forces mécaniques............................ 20 1.4.6 Forces conservatives et énergie potentielle..................... 20 1.4.7 Charges dynamiques................................. 22 1.5 Principe fondamental de la dynamique........................... 23 1.6 Conservation de l’énergie.................................. 24 1.6.1 Loi de conservation de l’énergie pour un solide rigide............... 24 1.6.2 Loi de conservation de l’énergie pour un ensemble de solides rigides....... 24 1.6.3 Autre écriture de la loi de conservation de l’énergie................ 25 1.7 Équations de Lagrange.................................... 26 1.8 Équations de mouvement - Vibrations........................... 27 1.8.1 Méthode........................................ 27 1.8.2 Vibrations et position d’équilibre statique. Charges dynamique / charges mortes 27 1.9 Formulaire........................................... 32 2 Système à un degré de liberté (1 ddl) 33 2.1 Modélisation et équation de mouvement.......................... 33 2.1.1 Exemple du système masse-ressort en translation................. 33 2.1.2 Exemple de l’arbre en torsion - 1ddl en rotation................. 34 2.1.3 Exemple du système pendulaire........................... 36 2.2 Résolution de l’équation de mouvement.......................... 37 2.3 1ddl - Vibrations libres non amorties............................ 38 2.3.1 Pulsation, fréquence, période............................ 39 2.3.2 Amplitude et phase des oscillations......................... 39 2.3.3 Déplacement - vitesse - accélération........................ 40 2.3.4 Écritures équivalentes de la réponse du système.................. 41 2.4 Vibrations libres amorties.................................. 42 2.4.1 Résolution de l’équation de mouvement...................... 42 3 2.4.2 Amortissement sur-critique............................. 43 2.4.3 Amortissement critique............................... 44 2.4.4 Amortissement sous-critique............................. 44 2.4.5 Méthodes de mesure du taux d’amortissement ξ................. 46 2.5 Application : analyse impulsionnelle expérimentale.................... 47 2.5.1 Modélisation de l’excitation............................. 47 2.5.2 Détermination de la réponse impulsionnelle.................... 48 2.6 Vibrations forcées harmoniques du système conservatif (non amorti).......... 50 2.6.1 Équation de mouvement et réponse......................... 50 2.6.2 Régime établi..................................... 51 2.7 Vibrations forcées harmoniques du système amorti.................... 53 2.7.1 Régime établi..................................... 54 2.7.2 Méthodes de mesure du taux d’amortissement ξ................. 57 2.8 Admittance et impédance.................................. 59 2.9 Application : transmission et isolation vibratoire..................... 61 2.10 Formulaire........................................... 65 3 Système discret à n degrés de liberté (n ddl) 67 3.1 Modélisation......................................... 67 3.2 Équations de mouvement.................................. 68 3.2.1 Par le PFD...................................... 68 3.2.2 Par la conservation de l’énergie........................... 68 3.2.3 Par les équations de Lagrange............................ 68 3.3 Vibrations en régime libre.................................. 69 3.3.1 régime libre du système 2ddl conservatif...................... 69 3.3.2 Un exemple pour vous entraîner.......................... 71 3.4 Résolution par formulation matricielle........................... 72 3.4.1 Formulation pour un système conservatif à n ddls................ 72 3.4.2 Identification des matrices [M ], [K] et {F }.................... 72 3.4.3 Exemple d’un système 2ddls............................. 72 3.4.4 Détermination des modes propres.......................... 73 3.4.5 Exemple........................................ 76 3.5 Vibrations forcées - excitation harmonique......................... 77 3.5.1 mise en équation et résolution............................ 77 3.5.2 Exemple........................................ 78 3.6 Application : l’absorbeur dynamique accordé....................... 80 3.7 Formulaire........................................... 84 4 Système soumis à une excitation complexe 85 4.1 Principe de superposition.................................. 85 4.2 Fonctions périodiques - Décomposition en série de Fourier................ 86 4.2.1 Exemple d’excitation périodique : fonction signal carré.............. 88 4.2.2 Cas du système 1ddl - Réponse à une excitation périodique........... 89 4.3 Fonctions non périodiques - Transformée de Fourier.................... 91 4.3.1 Du discret au continu................................ 91 4.3.2 Propriétés de la transformée de Fourier...................... 91 4.3.3 Transformées de Fourier de fonctions usuelles................... 92 4.3.4 Exemple : Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle d’un système 1ddl amorti...................................... 94 4.4 Formulaire........................................... 95 4 5 Annexes 97 5.1 Théorème de l’énergie cinétique (TEC) - démonstration................. 97 5.2 Équations de Lagrange - démonstration.......................... 98 5.2.1 Principe des puissances virtuelles (PPV)...................... 98 5.2.2 Torseur de Lagrange................................. 98 5.2.3 Du PPV aux équations de Lagrange........................ 99 6 Bibliographie 103 5 6 Introduction Il s’agit dans ce cours de proposer une première approche des problèmes de vibrations de struc- tures. On entend par vibrations des oscillations d’un système autour d’une position d’équilibre statique (considérée comme la configuration de référence du système). Les problèmes de vibrations sont couramment rencontrés en science de l’ingénieur. Les vibrations peuvent engendrer des problèmes de confort, de tenue mécanique, de sécurité...Elles peuvent aussi être exploitées pour générer des mouvements fonctionnels (tamisage, tri calibré...), ou des sons (tables d’harmonies). Les domaines d’application sont nombreux : transports (confort acoustique et vibra- toire), génie civil (résistance au vent, trafic, séismes...), biomécanique, aéronautique, électroménager, instruments de musique... Un exemple très connu d’une mauvaise estimation d’un problème de vibration est la destruction du pont de Tacoma (USA, 7/11/1940) après seulement 4 mois d’existence (figure 1 , vidéo : https: //www.youtube.com/watch?v=AAo9NOAFLqw). Figure 1 – Destruction du pont de Tacoma 7 Dans la pratique, les vibrations sont un domaine qui fait autant appel à la modélisation (en particulier via des modèles numériques de type éléments finis) qu’à la mesure. Quelques exemples vous sont proposés figure 2 Figure 2 – Vibrations - Exemples d’applications industrielles Il nous a semblé utile de positionner ce cours parmi vos différents cours de mécanique, c’est l’objet de la figure 3. Figure 3 – Afin de modéliser un système vibratoire, différentes familles de modèles peuvent être utilisées : modèles discrets : le système est modélisé par un nombre fini de degrés de liberté (ddls) reliés par des éléments de liaisons élastiques éventuellement dissipatives. modèles continus : le système est modélisé par une structure élémentaire continue (poutres- cordes - plaques). La mise en équation et la résolution du problème est analytique. modèles à éléments finis : le système est modélisé par l’assemblage d’un nombre fini de structures continues élémentaires (les éléments du modèle). L’écriture et la résolution du problème sont numériques. 8 Quelques exemples de modèles vous sont proposés figure 4. Figure 4 – Dans ce cours, nous nous contenterons d’aborder les modèles discrets à 1 ou 2 degrés de libertés. Les autres modèles seront abordés dans les cours de Master. 9 10 Chapitre 1 Lois de la dynamique des solides et équations de mouvement Nous allons rappeler brièvement dans ce chapitre quelques éléments de mécanique des solides ri- gides qui pourront être utiles pour ce cours. Ces éléments ont normalement été abordés en L1 et L2, nous vous invitons donc à revoir si besoin votre cours de Mécanique-Physique de L1 et celui de Mécanique des Solides rigides de L2. Vous pouvez également consulter l’ouvrage suivant rédigé par un collectif d’enseignants de Sorbonne Université (ouvrage sur lequel repose votre cours de L2) : Introduction à la mécanique des solides, Yves Berthaud & Al, Ed. Dunod, 2022. Cet ouvrage est dis- ponible en bibliothèque Nous verrons ensuite comment mettre en place la ou les équations de mouvement d’un système de solide(s) rigide(s) à partir des lois de la dynamique : Principe fondamental de la dynamique Conservation de l’énergie Équations de Lagrange outil torseur Pour les étudiants n’ayant pas utilisé dans leur cursus l’outil torseur, nous tenons à les rassurer : cet outil mathématique n’est pas indispensable pour suivre ce cours. Les expressions des gran- deurs utiles, en particulier énergétiques, utiles pour la suite du cours, sont systématiquement rappelées avec les deux modes d’écriture : avec et sans l’outil torseur. Ce mode de représen- tation est par contre utilisé dans les démonstrations du théorème de l’énergie cinétique et des équations de Lagrange en annexe. 11 1.1 Solides rigides - Degrés de liberté - Paramètres généralisés Pour décrire le mouvement d’un solide rigide libre dans l’espace, il faut 6 paramètres de déplace- ment (3 translations + 3 rotations). Il en est de même pour décrire les mouvements relatifs de deux solides en liaison. Les degrés de liberté sont ceux de ces mouvements qui sont libres (non bloqués) pour le solide considéré ou pour une liaison entre deux solides. Les mouvements d’un système sont alors décrits par des paramètres généralisés, paramètres indépen- dants qui sont en général liés aux degrés de liberté du système. Exemple - modèle simplifié d’un véhicule Un véhicule est modélisée par une poutre rigide homogène de masse M et de longueur 2L, sup- portée à ses deux extrémités par des suspensions identiques caractérisées par une raideur k et un amortissement c (figure 1.1). Les roues et les pneumatiques sont supposés indéformables et de masse négligeable impliquant que les variations de la route sont intégralement transmises aux suspensions. Figure 1.1 – Modèle simplifié d’un véhicule Ce modèle induit deux degrés de liberté. Différents couples de paramètres généralisés peuvent être choisis pour décrire les mouvements de ce véhicule autour de sa position d’équilibre, par exemple : (zA ; zB ) déplacements verticaux des extrémités A et B de la poutre (zG ; θ) déplacement vertical du centre de masse G de la poutre et angle de pivotement de la poutre par rapport à la position d’équilibre statique. 12 1.2 Géométrie des masses 1.2.1 Masse Masse d’un système discret : la masse d’un système constitué de n points matériels de masse mi n X est la somme des masses : m = mi i=1 Z Z Masse d’un système continu : m = dm(M ) = ρ(M )dv où dv est un élément de volume et V ρ(M ) la masse volumique au point M. Centre de masse : Dans ce cours ~g est considéré comme constant, centre de masse et centre de gravité (=centre d’inertie) sont alors confondus. On appelle centre de masse G d’un solide S le barycentreZ des centres M des éléments de volume dv affectés des coefficients des masses élémentaires : ~ dm(M ) = ~0 GM V ~ = 1 Z Soit : OG ~ dm(M ) OM m V 1.2.2 Inertie Moment d’inertie : Le moment d’inertie par rapport à un axe caractérise la répartition de masse par rapport à cet axe et la difficulté à mettre le solide en rotation autour de cet axe. Moment d’inertie d’un solide S par rapport à un axe ∆ : Z Z 2 I∆ = r (M )dm = ρ(M )r2 (M )dv V V où r est la distance du point M à l’axe ∆. Produit d’inertie : Le produit d’inertie par rapport à un plan caractérise l’asymétrie de la répar- tition de la masse dans ce plan. Matrice d’inertie : moments et produits d’inertie d’un solide sont synthétisés dans la matrice d’inertie : Z Z Z  2 2  S Z (y + z )dm − xydm − xzdm  Z S ZS ¯   Avec : I(O, S) =  − xydm (x2 + z 2 )dm − yzdm      ZS S Z Z S   − xzdm − yzdm (x2 + y 2 )dm S S S où (x, y, z) sont les coordonnées du point M dans le repère (O, ~x, ~y , ~z) (repère lié au solide S, d’origine O point d’expression de la matrice) La figure 1.3 rappelle les expression de matrices d’inertie des solides élémentaires les plus cou- rants, exprimées au centre de masse du solide. 13 Figure 1.2 – On rappellera au passage le théorème de Huygens généralisé qui permet d’exprimer la matrice d’inertie d’un solide de masse m en un point A quelconque à partir de sa matrice exprimée en son centre d’inertie G : ¯ S) = I(G, I(A, ¯ ¯ m en G) S) + I(A, 14 Figure 1.3 – Matrices d’inertie de solides élémentaires 15 1.3 Solides rigides - Champ de vitesse, quantité de mouvement, quantité d’accélération (rappels) 1.3.1 Outil torseur Le torseur est un formalisme mathématique, développé par Robert Stawell Ball en 1876, qui permet de représenter sous la forme de deux vecteurs un champs de vecteurs équiprojectifs. Les deux figures suivantes vous rappellent brièvement les propriétés et opérations principales d’un torseur (extrait du cours de Mécanique des Solides rigides de L2). 1.3.2 Champ de vitesse et torseur cinématique Le torseur cinématique permet de représenter le champ de vitesse d’un solide rigide dans son mou- vement par rapport à un référentiel déterminé. On définit le torseur cinématique exprimé au point A du solide S1 dans son mouvement par rapport au solide S2 (ou au référentiel lié au solide S2 , ce qui revient au même pour un solide rigide) par : ~ S1 /S2 ( ) Ω {V(S1 /S2 )}A = ~ S1 /S2 V A A ~ Ω S1 /S 2 est le vecteur taux rotation (ou vitesse angulaire) du solide S1 dans son mouvement par rapport au solide S2 ~ S1 /S2 est le vecteur vitesse du point A dans le mouvement du solide S1 par rapport au solide V A S2. 16 A partir de ces deux composantes il est possible de reconstruire le champ de vitesse de tous les points du solide considéré dans son mouvement par rapport au référentiel de S2. 1.3.3 Quantité de mouvement et torseur cinétique La quantité de mouvement d’un solide rigide et son champ de moment cinétique peuvent être représentés par le torseur cinétique. On définit le torseur cinétique exprimé au point A du solide S1 dans son mouvement par rapport au solide S2 par : S /S2 ( ) MV ~ 1 {C(S1 /S2 )}A = G S /S ~σA1 2 A G est le centre d’inertie du solide S1 ~ S1 /S2 = ~ S1 /S2 dm(M ) est la quantité de mouvement de S1 dans son mouvement R MV G M ∈S1 VM par rapport à S2. S /S ~ S1 /S2 dm(M ) est le moment cinétique en A de S1 dans son mouvement ~ ∧V ~σA1 2 = M ∈S1 AM R M par rapport à S2 On retiendra juste ici que (démontré dans votre cours de L2) : S /S pour A = G on a : ~σG1 2 = I(G, ¯ ~ S1 /S2 S1 ).Ω pour A tel que V ¯ S ).Ω ~ S1 /S2 = ~0 : ~σ S1 /S2 = I(A, ~ S1 /S2 A A 1 1.3.4 Quantité d’accélération et torseur dynamique La quantité d’accélération d’un solide rigide et son champ de moment dynamique peuvent être représentés par le torseur dynamique. On définit le torseur dynamique exprimé au point A du solide S1 dans son mouvement par rapport au solide S0 par : S /S ( ) M ~ΓG1 0 {D(S1 /S0 )}A = ~δS1 /S0 A A ~ S1 /S0 R ~ S1 /S0 M ΓG = M ∈S1 ΓM dm(M ) est la quantité d’accélération du solide S1 dans son mouve- ment par rapport à S0 ~δS1 /S0 = R ~ ~ S1 /S2 dm(M ) est le moment dynamique en A de S1 dans son mouvement A M ∈S1 AM ∧ ΓM par rapport à S0 On retiendra juste ici (démonstration dans votre cours de L2) que : S /S d S /S pour A = G on a : ~δA1 0 = ~σ 1 0 dt /R0 A ~ S1 /S0 = ~0 on a : ~δS1 /S0 = d pour V S /S ~σ 1 0 A A dt /R0 A où R0 est un référentiel lié au solide S0 référence du mouvement considéré. 17 1.4 Solide rigide : actions mécaniques et grandeurs énergétiques 1.4.1 Action mécanique Une action mécanique, ponctuelle ou répartie (champ de force), peut être caractérisée, d’un point de vue mécanique, par un torseur. Le torseur représentant l’action mécanique Ac sur le solide S s’écrit : ( ) F~ Ac−>S {A(Ac− > S)}A = ~ Ac−>S M A A F~ Ac−>S = R ~ M df (M ) est la force résultante ~ Ac−>S = ~ (M ) est le moment résultant en A. ~ ∧ df R M A M AM 1.4.2 Liaisons élastiques Dans les applications de ce cours, nous rencontrerons souvent des liaisons élastiques entre solides. Nous rappelons ici les torseurs d’action des liaisons élastiques élémentaires. Liaison élastique assurée par un ressort en traction-compression : soit k la raideur du ressort, l0 sa longueur à vide (figure1.4) Figure 1.4 – ressort en traction-compression ( ) F~ S2 −>S1 = −k(l − l0 )~x {A(S2 − > S1 )}P = ~ S2 −>S1 = ~0 M P ∀P ∈(A,~ x) Liaison élastique assurée par un ressort en torsion : soit kT la raideur de torsion du ressort, θ0 son orientation à vide (figure1.5) Figure 1.5 – ressort de torsion ( ) F~ S2 −>S1 = ~0 {A(S2 − > S1 )}P = S ~ 2 −>S M P 1 = −kT (θ − θ0 )~z ∀P ∈(O,~ z) Nous rappelons également les raideurs équivalentes de combinaisons de ressorts en traction/compression (ces formules ont été démontrées en L1) : 1 1 1 = + keq = k1 + k2 keq = k1 + k2 keq k1 k2 18 1.4.3 Énergie cinétique L’énergie cinétique d’un système matériel S dans son mouvement par rapport à un référentiel R 1 S/R est défini par : Ec (S/R) = M ∈S V~2 M dm R 2 Energie cinétique d’un solide indéformable Pour un solide indéformable l’énergie cinétique peut s’écrire comme 1/2 du comoment du torseur cinématique et du torseur cinétique : 1 Ec (S/R) = {V(S/R)}A {C(S/R)}A ∀A 2 avec A=G : 1 ~ S/R ||2 + 1 ~ S/R ~ S/R EC (S/R) = m||V G Ω.I(G, S).Ω 2 2 ~ S/R = ~0 : avec A tq V A 1 ~ S/R ~ S/R EC (S/R) = Ω.I(A, S).Ω 2 Toutes les expressions de cet encadré ont été démontrées en cours de solides rigides en L2. On retiendra que choisir A = G ou A point de vitesse nulle permet d’obtenir une expression simplifiée de l’énergie cinétique. Les deux expressions aboutissent bien sûr au même résultat. On prendra dans les deux cas bien soin d’exprimer la matrice d’inertie correctement (ne pas se tromper de point d’ex- pression). Si on écrit les deux torseurs au centre de masse G de S pour simplifier l’écriture du torseur cinétique, on obtient : 1 ~ S/R ||2 + 1 Ω ~ S/R.I¯G (S).Ω ~ S/R Ec (S/R) = m||V G 2 | {z } | 2 {z } Translation Rotation On remarque deux contributions à l’énergie cinétique : la première correspond au mouvement de translation du centre de masse la seconde correspond au mouvement de rotation du solide observé dans un repère dont l’origine est au centre de masse. Énergie cinétique d’un ensemble de solides P P Pour un ensemble de solides rigides Σ = Si : Ec (Σ) = Ec (Si ) 1.4.4 Puissance des forces mécaniques Puissance des actions mécaniques La puissance des actions mécaniques exercées sur un solide indéformable S en mouvement par rapport à un repère R est égale au comoment du torseur cinématique et du torseur des actions mécaniques : P(F − > S/R) = {V(S/R)}M {A(F − > S)}M ∀M Soit : ~ S/R + M P(F − > S/R) = F~.V ~ S/R (F~ ).Ω ~ S/R ∀M M M 19 1.4.5 Travail des forces mécaniques Le travail est une grandeur qui permet de rendre compte de l’énergie fournie par un champ de forces lors du déplacement du système d’une position initiale à une position finale. Il permet par exemple d’estimer l’énergie nécessaire au déplacement d’un objet d’un point A à un point B. Lorsque le travail fourni par une force est positif, on dit qu’il est moteur Lorsque le travail fourni par une force est négatif, on dit qu’il est résistant Le travail est une quantité scalaire, son unité dans le système international est le Joule (1J = 1N.m = 1kg.m2.s−2 ). 1Joule représente le travail d’une force de 1N sur une distance de 1m. Mécanique du point Le travail d’une force constante F~ sur un parcours AB s’écrit :WAB (F~ ) = F~.AB ~ Le travail qu’exerce une force non constante F~R sur un point matériel M lors de son déplacement de A vers B s’écrit : WAB (F − > M ) = A δW = AB F~ (M )dl RB ~ ~ où δW est le travail élémentaire fourni lors du déplacement élémentaire dl ~ Le travail peut également être défini dans l’espace temporel : Définition Le travail élémentaire δW fourni pendant la durée élémentaire dt est le produit de la puissance P(t) et de la durée élémentaire dt : δW = P(t).dt Mécanique des solides rigides ( S soumis Soit un solide rigide ) à des forces extérieures de torseur résultant : ~ F ext−>S {A(ext− > S)}A = ~ ext−>S M A R tB On peut alors déterminer le travail par intégration temporelle de la puissance : WAB = tA P(t)dt Travail des forces mécaniques Le travail des forces mécaniques extérieures exercées sur un solide indéformable S en mouve- ment par rapport à un repère R peut s’obtenir par intégration temporelle de la puissance : Z tB Z tB S/R S/R ~ S/R )dt WAB (F~ext/S ) = P(t)dt = (F~ext/S.V ~ M ~ +M M.Ω tA tA 1.4.6 Forces conservatives et énergie potentielle Le travail d’une force conservative entre deux points A et B ne dépend pas du chemin suivi : WCAB = WC 0 AB = −∆Ep = −(EpB − EpA ) Le travail est alors défini comme une variation d’énergie potentielle Ep. On dit dans ce cas que la force dérive d’un potentiel : ~ F~cons = −gradEp où Ep est l’énergie potentielle. La puissance d’une force conservative peut alors s’écrire : d P(F~cons ) = − Ep dt 20 Exemples de forces conservatives : poids ; force élastique (ressort) ; charges constantes. Exemple de forces non conservatives (ne dérivent pas d’un potentiel) : forces de pression ; forces de frottement. Nous détaillons ci-après quelques exemples que vous rencontrerez couramment dans les applica- tions et exercices de ce cours. Énergie potentielle d’actions mécaniques conservatives courantes Force de pesanteur : Ep (m~g ) = mgz + cte Force de rappel élastique : 1 Ep (−kx~ex ) = kx2 + cte 2 Moment de rappel élastique : 1 Ep (−kθ~ez ) = kθ2 + cte 2 Démonstrations : Force de pesanteur : Le travail de la forceR de pesanteur exercée sur un point matériel de masse m s’écrit : WAB (~g − > M/R = AB m~g.dl ~ où dl ~ est le déplacement élémentaire. RB Soit : WAB (~g − > M/R = A mg~z.dl ~ = −mg R B dz = −mg(zB − zA ) = −∆AB Ep ~ où dl A On en déduit : Ep (m~g ) = mgz + cte Force de rappel élastique : RB ~ = RB 1 WAB = A −kx~ex.dx A−kx.dx = − k(x2B − x2A ) = −∆AB Ep 2 1 2 On en déduit : Ep (−kx~ex ) = kx + cte 2 Moment de rappel élastique : ( ) F~ S2 −>S1 = ~0 Torseur d’action : {A(S2 − > S1 )}P = ~ S2 −>S1 = −kθ~z M P ∀P ∈(O,~ z) 21 ~ S2 −>S1.Ω R tB Travail (par intégration temporelle de la puissance) : WAB = M ~ S2 −>S1 dt tA P R tB 1 −kθ~z.θ̇~zdt = ttAB −kθ.θ̇dt = − k(θB 2 − θ 2 ) = −∆ R WAB = tA A AB Ep 2 1 On en déduit : Ep = kθ2 + cte 2 1.4.7 Charges dynamiques On appelle charge dynamique une action exercée sur le système qui varie avec sa configuration au cours du temps. Par opposition une charge non dynamique (parfois appelée charge morte) est une action exercée sur un système de façon indépendante de sa configuration. Quand le système change de configuration au cours du temps, la charge non dynamique suit le point d’application sans changer ni de direction, ni d’intensité. Prenons l’exemple du poids pour les deux cas de la figure 1.6. Dans le cas du système masse-ressort, le poids est ici une charge non dynamique pour ce système : la direction et l’intensité du vecteur m~g sont invariant dans un repère lié à la masse. Dans le cas du pendule, le vecteur poids m~g change de direction par rapport au système, c’est une charge dynamique pour ce système. Figure 1.6 – Charges "mortes" et charges dynamiques. Exemple du poids 22 1.5 Principe fondamental de la dynamique Le principe fondamental de la dynamique peut s’énoncer sous la forme suivante : Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) Pour un solide ou un système isolé ou pseudo-isolé S : {D(S/Rg )}A = {A(Ext− > S)}A ∀A (1.1) | {z } | {z } T orseur dynamique T orseur des actions mécaniques où Rg est un repère galiléen Cette écriture à l’aide de l’outil torseur permet de condenser dans une même expression les équi- libres en translation et en rotation du système isolé : La résultante de cette équation traduit l’équilibre dynamique en translation de S. Le moment de cette équation traduit l’équilibre dynamique en rotation de S. Afin de simplifier les expression, on choisit en général d’exprimer les torseurs de cette équation au centre d’inertie A = G du solide, ou en un point A de vitesse nulle dans le mouvement S/Rg. On obtient alors : S/R   MS ~ΓG g (P ) ( )   F~ Ext−>S Équilibre en T ranslation (N ewton) ¯ S) Ω d = P ~ Ext−>S => (1.2) I(A, ~ S/Rg  MA Équilibre en Rotation (Euler) dt PFD : équilibre dynamique en translation et rotation Pour un solide ou un système isolé ou pseudo-isolé S : S/Rg Equilibre en translation : MS ~ΓG P ~ Ext−>S = F ¯ S) d Ω Equilibre en rotation : I(A, ~ S/Rg = P M ~ S/Rg = ~0 ~ Ext−>S pour A = G ou V A A dt 23 1.6 Conservation de l’énergie 1.6.1 Loi de conservation de l’énergie pour un solide rigide L’équation de conservation de l’énergie n’est rien d’autre que la version énergétique du PFD. Elle peut d’ailleurs en être déduite : Rappelons l’expression du PFD pour un solide rigide S : {D(S/Rg )}A = {A(Ext− > S)}A Si l’on "multiplie" (comoment) chacun des termes par le torseur cinématique : {V(S/Rg )} {D(S/Rg )}A = {V(S/Rg )} {A(Ext− > S)}A | {z } | {z } dEc =puissance des Actions M écaniques (Ec : énergie cinétique) dt (voir démonstration détaillée en annexe et dans votre cours de L2). Finalement, pour un solide rigide S, on a : Loi de conservation de l’énergie pour un solide rigide S dEc (S/Rg ) = P (ext− > S) dt Ec (S/Rg ) : énergie cinétique de S dans son mouvement par rapport au repère galiléen Rg P (ext− > S) : puissance des action extérieures appliquées à S 1.6.2 Loi de conservation de l’énergie pour un ensemble de solides rigides P Soit un ensemble de solides rigides Σ = i Si. Pour cet ensemble, la loi de conservation de l’énergie devient : dEc X X (Σ/Rg ) = P (ext− > Si ) = P (ext− > Σ) + P (Sj − > Si ) dt i ij P X (ext− > Σ) = Pext est la puissance des forces extérieures exercées sur l’ensemble Σ P (Sj − > Si ) = Pint est la puissance des inter-efforts entre solides Si de Σ ij On notera que pour une liaison parfaite la puissance des forces de liaison en nulle ( P (Sj − > Si ) = 0 pour une liaison parfaite entre Si et Sj ). Loi de conservation de l’énergie pour un ensemble de solides rigides Σ dEc (Σ/Rg ) = Pext + Pint (1.3) dt Pext : puissance des forces extérieures exercées sur l’ensemble Σ Pint : puissance des inter-efforts entre solides Si de Σ 24 1.6.3 Autre écriture de la loi de conservation de l’énergie Cette équation de conservation peut également s’écrire en faisant intervenir les énergies potentielles. Il suffit pour cela de décomposer les forces considérées en forces conservatives et non conservatives : On peut alors réécrire l’équation de conservation de l’énergie : Loi de conservation de l’énergie pour un ensemble de solides rigides Σ d 0 0 (Ec + Ep int + Ep ext )(Σ/Rg ) = Pext + Pint (1.4) dt | {z } | {z } énergie mécanique du système puissance des f orces non conservatives 25 1.7 Équations de Lagrange Les équations de Lagrange sont très pratiques et très utilisées pour obtenir les équations de mouve- ment, notamment dans le cas de systèmes à plusieurs degrés de liberté. C’est une autre façon d’exprimer le PFD sous forme énergétique, cette fois en faisant apparaître explicitement les paramètres généralisés du système. Ces équations seront démontrées dans la partie du cours intitulé "Équilibre - Stabilité". Une démons- tration vous est également proposée en annexe. Le Lagrangien d’un système est défini par : L = Ec − Ep Équations de Lagrange On montre que pour un système Σ dont le mouvement est défini par n paramètres généralisés xi d ∂L ∂L − = Qi ∀i (1.5) dt ∂ ẋi ∂xi L = Ec − Ep Lagragien du système Σ Q : forces généralisées (issue du principe des puissances virtuelles P∗ = Qt q̇ ∗ ) ou encore d ∂L ∂L ∂D ∂Pe − + = ∀i (1.6) dt ∂ ẋi ∂xi ∂ ẋi ∂ ẋi Pour un système à n ddls, on obtient ainsi un système de n équations de mouvement couplées. Les forces généralisées étant constituées des forces dissipatives Qdi et des forces d’excitation Qei , avec : ∂Pe - pour les forces d’excitation indépendantes de la vitesse ("forçage") : Qi = Qei = ∂ ẋi ∂D - pour les forces dissipatives (frottement intere ou externe) : Qi = Qdi = − , avec D la fonction de ∂ ẋi dissipation. Par exemple pour des forces de frottement visqueuses (force proportionnelle à la vitesse), on a : 1 1 ∂D D = q̇ t C q̇, ce qui donne pour un système à un degré de liberté xi : D = cẋ2i et Qi = − = −C ẋi 2 2 ∂ ẋi 26 1.8 Équations de mouvement - Vibrations 1.8.1 Méthode L’objet de ce cours est l’étude des vibrations de systèmes plus ou moins complexes (systèmes à un ou plusieurs degrés de liberté). Nous entendons par vibrations des mouvements oscillants (dynamique) de petite amplitude d’un système autour de sa position d’équilibre statique. Pour étudier ces mouvements, la première étape consiste à écrire la ou les équations de mouvement du système considéré. Ceci en considérant le mouvement du système autour de sa position d’équilibre statique (la détermination de la position d’équilibre et l’étude de sa stabilité sont l’objet de la partie du cours intitulé "Équilibre - Stabilité"). Les équations de mouvement peuvent être écrites : à partir du PFD à partir de la loi de conservation de l’énergie à partir des équations de Lagrange Les trois méthodes aboutissant aux mêmes équations de mouvement. Des exemples sont traités au début du chapitre 1ddl et au début du chapitre 2ddl. 1.8.2 Vibrations et position d’équilibre statique. Charges dynamique / charges mortes Dans ce cours, on s’intéresse aux phénomènes vibratoires, c’est à dire à des mouvements oscillants de faible amplitude. L’écriture des équations de mouvement des systèmes considérés se fera donc avec cette hypothèse de mouvements de petites amplitudes. Équations de mouvement et position d’équilibre statique Dans l’hypothèse de mouvements de faible amplitude, lorsque l’on écrit les équations de mou- vement à partir de la position d’équilibre statique du système, seules interviennent les actions dynamiques pour le système, les charges non dynamiques ou "charges mortes" n’interviennent pas dans les équations de mouvement. Les charges non dynamiques permettent par contre en amont de déterminer la position d’équilibre statique. Pour déterminer les équations de mouvement, le mouvement est décrit à partir de la position d’équi- libre statique et le bilan d’efforts ne prend en compte que les forces dynamiques. Nous vous proposons quelques exemples pour illustrer ce propos. Exemple 1 : Système 1ddl en translation verticale Figure 1.7 – système 1ddl en translation verticale Un considère un système masse-ressort vertical. Le ressort a pour raideur k et pour longueur à vide l0. La masse est supposée ponctuelle de masse m. 27 On note x la position de la masse par rapport au support fixe et on pose x = xstat + xdyn (t) où xstat est la position de la masse à l’équilibre statique. Les actions mécaniques appliquées à la masse sont : le poids : mg~x la force de rappel élastique : −k(x − l0 )~x m/R L’équilibre dynamique en translation de la masse s’écrit : m~ΓM 0 = mg~x − k(x − l0 )~x Soit : mg − k(x − l0 ) = mẍ Avec x = xstat + xdyn (t), cette équation d’équilibre devient : mg − k(xstat + xdyn (t) − l0 ) = mẍdyn (car ẍstat = 0) A l’équilibre statique : xdyn = 0 et ẍdyn = 0. L’équation d’équilibre s’écrit alors : mg − k(xstat − l0 ) = 0 Si l’on injecte ce résultat dans l’équation d’équilibre dynamique, on obtient finalement : −kxdyn = mẍdyn On trouve ici que le poids et la composante constante (−k(xstat − l0 )~x) de la force de rappel, qui ne sont pas des forces dynamiques pour la masse, déterminent la position d’équilibre statique. L’équation de mouvement finalement obtenue montre que lorsque la masse est en mouvement, elle est en mouvement autour de sa position d’équilibre. Si l’on écrit l’équation de mouvement avec un paramètre de déplacement à partir de la position d’équilibre statique, seule la composante dynamique de la force de rappel (−kxdyn ~x) intervient. Pour obtenir directement l’équation de mouvement il convient donc : - de déterminer le paramètre généralisé du mouvement à partir de la position d’équilibre statique : xdyn - de ne prendre en compte dans le bilans des actions mécaniques que les actions dynamiques : ici la composante dynamique de la force de rappel élastique (−kxdyn ~x). De cette manière on obtient directement l’équation de mouvement : −kxdyn = mẍdyn. Exemple 2 : Système 1ddl en translation horizontale Figure 1.8 – système 1ddl en translation horizontale On considère le système masse-ressort horizontal de la figure 1.8. Le ressort a pour raideur k et pour longueur à vide l0. La masse est supposée ponctuelle de masse m. On note x la position de la masse par rapport au support fixe et on pose x = xstat + xdyn (t) où xstat est la position de la masse à l’équilibre statique. On suppose que le contact roue/sol est sans frottement. Les actions mécaniques appliquées au mobile sont : le poids : −mg~y la force de rappel élastique : −k(x − l0 )~x l’action du sol sur la roue : R~y (pas de frottement) L’équilibre dynamique en translation (PFD sur la résultante) du mobile s’écrit : −k(x − l0 )~x − mg~y + R~y = mẍdyn ~x La projection de cette équation vectorielle sur l’axe vertical donne : R = mg ∀t. 28 On en déduit que l’action du sol n’est ici pas une force dynamique pour le mobile. La projection du PFD sur l’axe horizontal donne : −k(x − l0 ) = mẍdyn soit −k(xstat + xdyn − l0 ) = mẍdyn A l’équilibre statique (xdyn = 0 et ẍdyn = 0) on obtient : −k(xstat − l0 ) = 0 Cette équation permet de déterminer la position d’équilibre statique. En réinjectant ce résultat dans l’équation d’équilibre dynamique horizontal on obtient : −kxdyn = mẍdyn On voit cette fois encore que si l’on écrit l’équation de mouvement avec un paramètre de dépla- cement à partir de la position d’équilibre stable (c’est à dire si l’on choisit xdyn ), seules les actions dynamiques pour le système interviennent dans l’équation de mouvement. Ici la seule action dynamique est la composante (−kxdyn ~x) de la force de rappel élastique. Exemple 3 : Système 1ddl pendulaire horizontal Figure 1.9 – système pendulaire horizontal On considère le système pendulaire horizontal de la figure 1.9. Une poutre homogène de longueur 2L est liée à un support fixe par une articulation de raideur de torsion kT , de position angulaire à vide θ0. Le mouvement angulaire de la poutre est décrit par la position angulaire θ, on choisit l’orientation de ~x0 de manière à ce qu’à l’équilibre statique θ = θstat = 0. On fera l’hypothèse de mouvements de faible amplitude : θ(t) faible. La poutre est soumise : ~ O (ressort− > poutre) = −kT (θ − θ0 )~z au moment de rappel élastique : M à son poids, de moment en O : M~ O (m~g ) = −mgL cos θ~z L’hypothèse de mouvements angulaires de petite amplitude permet de faire l’approximation suivante : cos θ ≈ 1 Le moment en O du poids peut alors s’écrire : M~ O (m~g ) ≈ −mgL~z Le moment dynamique en O de la poutre vaut : ~δO = IOzz θ̈~z L’équilibre en rotation de la poutre s’écrit (avec l’hypothèse de petits mouvements) : IOzz θ̈ = −mgL − kT (θ − θ0 ) A l’équilibre statique : −kT θ0 − mgL = 0 Si l’on injecte ce résultat dans l’équation de mouvement on obtient : −kT θ = IOzz θ̈ En choisissant un paramètre généralisé à partir de la position d’équilibre statique ( c’est ce que l’on fait ici avec θ(t) avec l’origine angulaire à la position d’équilibre statique) et en faisant l’hypothèse de mouvements de petite amplitude, seules les actions dynamiques pour le système interviennent dans l’équation de mouvement. Ici la seule action dynamique est la composante (−kT θ) du moment de rappel élastique. 29 Avec les hypothèses de mouvements de petite amplitude, le poids n’est ici pas dynamique pour le ~ O (m~g ) = −mgL cos θ~z ≈ −mgL~z. système car son moment n’est pas dynamique : M Exemple 4 : Système 1ddl pendulaire vertical Figure 1.10 – système pendulaire vertical On considère le système pendulaire vertical de la figure 1.10. Une poutre homogène de longueur 2L est liée à un support fixe par une liaison pivot parfaite. Le mouvement angulaire de la poutre est décrit par la position angulaire θ, on choisit l’orientation de ~x0 vertical de manière à ce qu’à l’équilibre statique θ = θstat = 0. On fait l’hypothèse de mouvements de faible amplitude : θ(t) faible. La poutre est soumise : à l’action de liaison en O, de moment nul en O (liaison parfaite). à son poids, de moment en O : M ~ O (m~g ) = −mgL sin θ~z L’hypothèse de mouvements angulaires de petite amplitude permet de faire l’approximation suivante : sin θ ≈ θ Le moment en O du poids peut alors s’écrire : M ~ O (m~g ) ≈ −mgLθ~z Le moment dynamique en O de la poutre vaut : ~δO = IOzz θ̈~z L’équilibre en rotation de la poutre s’écrit (avec l’hypothèse de petits mouvements) : IOzz θ̈ = −mgLθ Pour ce système, le poids est une action dynamique, son moment en O, M~ O (m~g ) ≈ −mgLθ(t)~z est dynamique. Cette action doit donc être prise en compte dans le bilan des actions dynamiques appliquées au système. 30 31 1.9 Formulaire Formulaire chapitre 1   IAxx −IAxy −IAxz matrice d’inertie : I(A, S) = −IAxy IAyy −IAyz    −IAxz −IAyz IAzz Huygens généralisé : I(A, S) = I(G, S) + I(A, m en G) (G centre de masse) ~ S/R }A ~ S/R ; V Torseur cinématique : {V(S/R)} = {Ω A ~ S/R ; ~σ S/R }A si A = G ou V Torseur cinétique : {C(S/R)} = {mV ~ S/R = ~0, ~σ S/R = I(A, S).Ω ~ S/R G A A A Torseur dynamique : {D(S/R)} = {mΣ ~ S/R ; ~δS/R }A G A S/R S/R d ~ si A = G ou V A = ~0, ~δA = I(A, S). Ω ~ S/R dt Torseur d’action mécanique : {A(S0 /S1 )} = {F~ (S0 − > S1 ; M ~ A (S0 − > S1 }A {A(S1 /S2 )} = {−k(x − l0 )~x; ~0}∀M ∈(A~x) {A(S1 /S2 )} = ~0; −k(θ − θ0 )~z}∀M ∈(O~z) Raideurs équivalentes : 1 1 1 = + keq = k1 + k2 keq = k1 + k2 keq k1 k2 1 Énergie cinétique : EC (S/R) = {V(S/R)}A {C(S/R)}A ∀A P P EC ( Si /R) = EC (Si /R) 2 1 ~ S/R 2 1 ~ S/R ~ S/R avec A=G : EC = m||VG || + Ω.I(G, S).Ω 2 2 avec A tq V~ S/R = ~0 : EC = 1 Ω~ S/R.I(A, S).Ω~ S/R A 2 Puissance : P(F − > S/R) = {V(S/R}{A(F R tB − > S} Travail : WAB (F − > S/R) = tA P(F − > S/R)dt d Énergie potentielle : pour une force conservative : P(Fcons − > S/R) = − Ep dt 1 1 Ep = kx2 + cte Ep = kθ2 + cte Ep = mgz + cte 2 2 PFD : {D(S/R} } = {A(ext− > S)}, Rg galiléen dEc (S/R) TEC : = P(ext− > S/R) P dt dEc ( Si /R) = P(ext− > Si /R) + Pint P P dt d ∂L ∂L Équations de Lagrange : L = EC − Ep − = Qi ∀i dt ∂ q̇i ∂qi Établissement des équations de mouvement de petites amplitudes : Lorsque l’on écrit les équations de mouvement à partir de la position d’équilibre statique, seules interviennent les actions dynamiques pour le système, seules les charges dynamiques interviennent dans les équations de mouvement. 32 Chapitre 2 Système à un degré de liberté (1 ddl) 2.1 Modélisation et équation de mouvement 2.1.1 Exemple du système masse-ressort en translation Nous prendrons comme exemple le système masse-ressort en translation représenté figure 2.1. La masse m est en translation suivant l’axe x, elle est reliée à un bâti fixe par un ressort modélisé par une raideur k et un amortissement visqueux c. La masse est soumise à une force extérieure F~ suivant l’axe x Figure 2.1 – Système 1 ddl en translation L’équation de mouvement de ce système peut être déterminée grâce à l’application du principe fondamental de la dynamique, par la conservation de l’énergie , ou par l’équation de Lagrange. Le paramètre généralisé choisi pour décrire le mouvement est x, déplacement suivant ~x de la masse autour de sa position d’équilibre statique. Principe fondamental de la dynamique Bilan des forces dynamiques appliquées à la masse : Force d’excitation F~ = F (t)~x Force de rappel élastique : −k.x(t)~x Force de frottement visqueux : −cẋ(t)~x Le poids et la force de contact roue/sol ne sont pas des actions dynamique pour ce système (voir chapitre précédent). L’équilibre dynamique en translation du système s’écrit : F~ext = mẍ~x P La projection de cette équation sur l’axe horizontal aboutit à l’équation de mouvement : mẍ + cẋ + kx = F (t) 33 Conservation de l’énergie Bilan énergétique du système (on ne prend en compte que les actions dynamiques pour le système) : 1 Énergie cinétique Ec = mẋ2 2 1 Energie potentielle élastique : Ep = kx2 2 Puissance dissipée par les forces de frottement : Pi = −cẋ2 Puissance de la force extérieure dynamique F~ : Pe = F ẋ d d Le principe de conservation de l’énergie s’écrit alors pour ce système : Ec + Ep = Pe + Pi dt dt Ce qui aboutit à l’équation de mouvement : mẍ + cẋ + kx = F (t) Équation de Lagrange Bilan énergétique du système : 1 Énergie cinétique Ec = mẋ2 2 1 Energie potentielle élastique : Ep = kx2 2 1 Fonction de dissipation (forces de frottement) : D = cẋ2 2 ∂D (on a bien − = −cẋ = Fd ) ∂ ẋ Puissance de la force d’excitation F~ : Pe = F ẋ 1 1 Lagrangien : L = Ec − Ep = mẋ2 − kx2 2 2 d ∂L ∂L Equation de Lagrange : ( ) − = F + Fd dt ∂ ẋ ∂x d ∂L ∂L ∂D ∂Pe ou encore : ( ) − + = dt ∂ ẋ ∂x ∂ ẋ ∂ ẋ Ce qui aboutit à l’équation de mouvement : mẍ + cẋ + kx = F (t) Quelle que soit la méthode choisie, nous aboutissons bien entendu à la même équation de mouve- ment pour ce système élémentaire : Équation de mouvement du système 1ddl en translation mẍ + cẋ + kx = F (t) (2.1) 2.1.2 Exemple de l’arbre en torsion - 1ddl en rotation Nous prendrons comme exemple le système représenté figure 2.2. Un disque de moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation IOxx = I peut pivoter d’un angle θ autour d’un axe horizontal x, il est relié au bâti fixe par un arbre de torsion d’axe (O~x) de masse négligeable, de raideur de torsion kt et d’amortissement visqueux de torsion ct. Il est soumis à un couple dynamique extérieur ~Γ(t). Le paramètre généralisé choisi pour décrire le mouvement est le déplacement angulaire θ autour de la position d’équilibre statique. Principe fondamental de la dynamique Bilan des actions mécaniques dynamiques appliquées au système : 34 Figure 2.2 – Système 1 ddl en rotation couple extérieur : Γ(t)~x moment de résistance élastique : −kt θ~x moment de frottement visqueux : −ct θ̇~x P ~ ext L’équilibre en rotation du système s’écrit : M O = I θ̈~ x Ce qui aboutit à l’équation : I θ̈ + ct θ̇ + kt θ = Γ(t) Conservation de l’énergie Bilan énergétique : 1 Énergie cinétique : Ec = I θ̇2 2 1 Energie potentielle : Ep = kt θ2 2 Puissance interne dissipée : Pi = −ct θ̇2 Puissance extérieure : Pe = Γθ̇ d d Le principe de conservation de l’énergie s’écrit alors pour ce système : Ec + Ep = Pe + Pi dt dt Ce qui aboutit à l’équation de mouvement : I θ̈ + ct θ̇ + kt θ = Γ(t) Équation de Lagrange Bilan énergétique : 1 Énergie cinétique : Ec = I θ̇2 2 1 Énergie potentielle : Ep = kt θ2 2 1 Fonction de dissipation : D = − ct θ̇2 2 Puissance extérieure : Pe = Γθ̇ 1 1 L = Ec − Ep = I θ̇2 − kt θ2 2 2 d ∂L ∂L ∂D ∂Pe Equation de Lagrange : ( ) − + = dt ∂ ẋ ∂x ∂ ẋ ∂ ẋ Ce qui aboutit à l’équation de mouvement : I θ̈ + ct θ̇ + kt θ = Γ(t) Quelle que soit la méthode choisie, nous aboutissons bien entendu à la même équation de mouve- ment pour ce système élémentaire : Équation de mouvement du système 1ddl en rotation I θ̈ + ct θ̇ + kt θ = Γ(t) (2.2) 35 2.1.3 Exemple du système pendulaire voir le TD 36 2.2 Résolution de l’équation de mouvement Pour la suite de ce chapitre, nous travaillerons sur l’équation de mouvement du système à 1ddl en translation : mẍ + cẋ + kx = F (t) Nous avons vu que pour les autres système à 1ddl, nous obtenons une équation du mouvement (équa- tion différentielle) similaire. Pour résoudre cette équation, nous considérerons deux états de vibrations possibles : Les vibrations libres : le système n’est soumis à aucune force d’excitation entretenue (F (t) = 0 ∀t > 0). Le système est soumis à des conditions initiales (déplacement et/ou vitesse et/ou accélération), puis laissé libre de toute intervention extérieure. Les vibrations forcées : le système est soumis à une excitation extérieure entretenue Ces deux états vibratoires sont résumés dans la figure 2.3, la réponse du système (solution de l’équation de mouvement) sera détaillée dans les paragraphes suivants : Figure 2.3 – Deux états de vibration des structures 37 2.3 1ddl - Vibrations libres non amorties Nous considérons ici le modèle d’un système 1ddl conservatif (ie sans force de dissipation). L’équation du mouvement de ce système s’écrit alors : mẍ(t) + kx(t) = F (t) En régime libre, le système n’est soumis à aucune excitation extérieure, on a alors : mẍ(t) + kx(t) = 0 k Cette équation peut se réécrire : ẍ(t) + x(t) = 0 m Cette équation différentielle linéaire du second ordre admet une solution harmonique que l’on peut écrire sous la forme : x(t) = Xcos(ω0 t − φ) Cette expression traduit un mouvement oscillant dont : X est l’amplitude ω0 estrla pulsation des oscillations libres, c’est la pulsation propre du système, elle vaut k ω0 = m φ est la phase On remarquera que : r k la pulsation propre ω0 = ne dépend que des caractéristiques du système, elle est indépen- m dante des conditions initiales, c’est la "carte d’identité" vibratoire du système l’amplitude et la phase des oscillations dépendent des conditions initiales. Oscillations d’un système 1ddl non amorti en régime libre mẍ + kx = 0 (2.3) ẍ + ω02 x = 0 (2.4) x(t) = Xcos(ω0 t − φ) (2.5) r k ω0 = : pulsation propre de l’oscillateur m ) X amplitude des oscillations dépendent des conditions initiales φ phase 38 2.3.1 Pulsation, fréquence, période L’évolution temporelle du déplacement x de la masse du système 1ddl s’écrit : Pulsation - Fréquence - Période 2π x(t) = Xcos(ω0 t − φ) = Xcos(2πf t − φ) = Xcos( t − φ) T la pulsation des oscillations est ω0 (USI : le rad.s−1 ) 2π la période des oscillations est T0 = (USI : la s) ω0 1 ω0 la fréquence des oscillations est f0 = = , (USI : le Hz) T0 2π c’est la "rapidité" avec laquelle la masse oscille autour de sa position d’équilibre La période se mesure directement sur le signal temporel de la réponse du système. La pulsation permet l’écriture mathématique la plus simple de la forme de la réponse du système, c’est cette écriture qui sera privilégiée pour développer les calculs. La fréquence est la grandeur couramment utilisée pour les applications numériques tant pour les applications concrètes en vibration qu’en acoustique. L’animation suivante (cliquer sur le lien) illustre les oscillations libres de trois oscillateurs conservatifs de pulsation propre respective ω0 = ω1 , ω0 = 2ω1 et ω0 = 3ω1 : Figure 2.4 – Oscillations libres de trois systèmes 1ddl conservatifs. https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/SHO/mass.html On remarque que ce modèle 1ddl conservatif produit une oscillation permanente non amortie, à une fréquence constante (la fréquence propre du système). C’est un mouvement perpétuel...qui n’est bien sûr pas réaliste...il faudra ajouter une source de dissipation d’énergie au modèle pour le rendre plus réaliste 2.3.2 Amplitude et phase des oscillations L’amplitude X et la phase φ des oscillations peuvent être déterminées à partir des conditions ini- tiales. 39 Considérons le cas où, à l’instant initial t = 0 les conditions initiales sont les suivantes : x(t = 0) = x0 ẋ(t = 0) = v0 Avec des oscillations de la forme x(t) = Xcos(ω0 t − φ) on a : ẋ(t) = −ω0 Xsin(ω0 t − φ) ( x(t = 0) = x0 = Xcosφ Les conditions aux limites donnent donc : ẋ(t = 0) = v0 = ω0 Xsinφ On ensdéduit : 2 v0 v0 X= + x20 et tan φ = ω0 ω0 x0 Figure 2.5 – 1ddl conservatif en régime libre - Caractéristiques du signal de déplacement 2.3.3 Déplacement - vitesse - accélération Les relations de phase entre les grandeurs de déplacement, de vitesse et d’accélération sont parti- culières dans le cas des vibrations libres du système 1ddl conservatif. Cela vaut la peine de s’y attarder un peu. Reprenons l’expression du déplacement de la masse x : x(t) = Xcos(ω0 t − φ) On a donc (figure 2.6) : π ẋ(t) = −ω0 Xsin(ω0 t − φ) = ω0 Xcos(ω0 t − φ + ) 2 déplacement et vitesse sont en quadrature de phase ẍ(t) = −ω02 Xcos(ω0 t − φ) = ω02 Xcos(ω0 t − φ + π) déplacement et accélération sont en opposition de phase Figure 2.6 – 1ddl conservatif en régime libre - déplacement/vitesse/accélération 40 2.3.4 Écritures équivalentes de la réponse du système La solution de l’équation de mouvement mẍ + kx = 0 peut en fait s’écrire sous différentes formes, qui sont toutes équivalentes. Selon les applications, l’une ou l’autre est privilégiée pour des raisons pratiques : x(t) = Xcos(ω0 t − φ) x(t) = Asin(ω0 t) + Bcos(ω0 t) x(t) = X1 e−jω0 t + X2 ejω0 t x(t) = Re X̃ejω0 t Les couples de constantes (X, φ), (A, B) et (X1 , X2 ) se déterminent à partir des conditions initiales. √ A On notera au passage les équivalences : X = A2 + B 2 ; tanφ = et X̃ = Xe−jφ B 41 2.4 Vibrations libres amorties On remarque que le modèle 1ddl conservatif produit une oscillation permanente non amortie, à une fréquence constante (la fréquence propre du système). C’est un mouvement perpétuel...qui n’est bien sûr pas réaliste...il faut ajouter une source de dissipation d’énergie au modèle pour le rendre plus réaliste. C’est ce que nous faisons en ajoutant un amortissement visqueux au modèle précédent. Figure 2.7 – Système masse-ressort dissipatif en régime libre En régime libre, le système n’est soumis à aucune excitation extérieure, on a alors : mẍ(t) + cẋ + kx(t) = 0 c Cette équation peut se réécrire : ẍ(t) + ẋ(t) + ω02 x(t) = 0 m 2.4.1 Résolution de l’équation de mouvement L’équation de mouvement du système 1ddl amorti en régime libre s’écrit : c ẍ(t) + ẋ(t) + ω02 x(t) = 0 m ou encore : Équation de mouvement du système 1ddl amorti en régime libre ẍ(t) + 2ξω0 ẋ(t) + ω02 x(t) = 0 (2.6) c où : ξ = est le facteur d’amortissement du système, il est sans dimension 2mω0 On cherche une solution à cette équation différentielle sous la forme : x(t) = Xest L’équation du mouvement s’écrit alors : (s2 + 2ξω0 s + ω02 )Xest = 0 ∀t Il faut donc vérifier l’équation caractéristique associée : s2 + 2ξω0 s + ω02 = 0 (2.7) 42 p qui a pour racines : s = −ξω0 ± ξ2 − 1 Mouvement du système 1ddl amorti en régime libre La forme de la réponse du système va alors dépendre de la valeur du facteur d’amortissement ξ: si ξ > 1 : l’amortissement est dit sur-critique, le système n’oscille pas si ξ = 1 : l’amortissement est dit critique, le système n’oscille pas si ξ < 1 : l’amortissement est dit sous-critique, le système oscille Ces trois cas sont traités plus en détails dans les paragraphes suivants. Dans le cadre d’un cours de vibrations, c’est bien sûr le troisième cas qui va nous intéresser le plus (c’est le seul pour lequel le système est mis en vibration). 2.4.2 Amortissement sur-critique p est sur-critique (ξ > 1), les racines de l’équation caractéristique 2.7 sont Lorsque l’amortissement réelles : s1,2 = −ξω0 ± ω0 ξ 2 − 1 La réponse du système (solution générale de l’équation homogène) s’écrit alors : h i x(t) = Ae−αt + Beαt e−ξω0 t (2.8) avec : p α = ω0 ξ 2 − 1 A et B dépendent p des conditions initiales : x0 ω0 (−ξ + ξ 2 − 1) − v0 A= p 2ω0p ξ 2 − 1 x0 ω0 (ξ + ξ 2 − 1) + v0 B= p 2ω0 ξ 2 − 1 La forme de cette réponse est illustrée figure 2.8. Le système revient à sa position d’équilibre sans oscillations. Figure 2.8 – Mouvement libre d’un système 1ddl amorti - amortissement sur-critique ξ > 1 43 2.4.3 Amortissement critique Lorsque l’amortissement est critique (ξ = 1), l’équation caractéristique 2.7 admet une racine réelle unique : s = −ξω0 = ω0 La réponse du système (solution générale de l’équation homogène) s’écrit alors : x(t) = (A + Bt)e−ω0 t (2.9) où A et B dépendent des conditions initiales : A = x0 et B = x0 ω0 + v0 La forme de cette réponse est illustrée figure 2.9. Le système revient à sa position d’équilibre sans oscillations. Figure 2.9 – Mouvement libre d’un système 1ddl amorti - amortissement critique ξ = 1 2.4.4 Amortissement sous-critique sous-critique (ξ < 1), les C’est le cas où l’amortissement est faible. Lorsque l’amortissement est p racines de l’équation caractéristique 2.7 sont complexes : s1,2 = −ξω0 ± jω0 1 − ξ 2 La réponse du système (partie réelle de la solution générale de l’équation homogène) s’écrit alors : x(t) = Xe−ξω0 t cos(ωd t − φd ) Le système est mis en vibrations, ses oscillations sont amorties de pseudo-pulsation ωd , d’amplitude X. La forme de cette réponse est illustrée figure 2.10. Figure 2.10 – Mouvement libre d’un système 1ddl amorti - amortissement sous-critique ξ < 1 p La pseudo-pulsation des oscillations vaut ωd = ω0 1 − ξ 2. On l’appelle parfois la pulsation na- turelle du système amortis. Elle est de valeur plus faible que la pulsation propre du système non amorti ω0. Dans la pratique ces deux valeurs sont souvent très proches et il est courant que l’on assimile ωd à ω0. Il est bien entendu indispensable de vérifier la validité de cette approximation lorsqu’elle est 44 adoptée. Comme la pulsation propre ω0 , la pseudo-pulsation ωd ne dépend pas des conditions initiales. On remarquera que l’enveloppe du signal x(t) est exponentielle, c’est une caractéristique d’un amor- tissement de type visqueux (force de dissipation proportionnelle à la vitesse). L’animation illustrée par la figure 2.11 montre le mouvement oscillant (et le signal de déplacement correspondant) d’un système masse-ressort avec ou sans amortissement (ici l’amortissement est sous-critique). On remarque que la différence de période propre n’est pas perceptible dans cet exemple (ce qui est réaliste pour la plupart des applications en mécanique) et que la prise en compte de l’amortissement rend le résultat plus réaliste (le mouvement n’est plus perpétuel !). Figure 2.11 – Effet de l’amortissement sur la réponse libre https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/SHO/damp.html L’amplitude X et la phase φd de la réponse du système se déterminent à partir des conditions initiales : La réponse du système est de la forme : x(t) = Xe−ξω0 t cos(ωd t − φd ) Par dérivation on peut écrire l’expression de la vitesse vibratoire : ẋ(t) = Xe−ξω0 t [−ωd sin(ωd t − φd ) − ξω0 cos(ωd t − φd )] A l’instant initial ( t = 0, on pose : x(t = 0) = x0 et ( ẋ(t = 0) = v0. x0 = X cos(−φd ) = X cos φd x0 = X cos(−φd ) = X cos φd On a donc : => v0 = Xωd sin φd − ξω0 X cos φd v0 = Xωd sin φd − ξω0 x0 v0 + ξω0 x0 2   X cos φ = x0 X 2 = x20 +    soit : v0 + ξω0 x0 =>  ωd X sin φ = v0 + ξω0 x0 tan φ =  ωd  x0 ωd Vibrations libres d’un système 1ddl amorti - amortissement sous-critique ( ξ < 1) x(t) = Xe−ξω0 t cos(ωd t − φd ) (2.10) p ("pulsation naturelle") : ωd = ω0 1 − ξ 2 pseudo-pulsation s v0 + ξω0 x0 2 amplitude : X = x0 +2 ωd v0 + x0 ξω0 phase : tanφd = ωd x0 45 2.4.5 Méthodes de mesure du taux d’amortissement ξ Il est possible de déterminer expérimentalement la pulsation propre ωd et le facteur d’amortissement ξ d’un système assimilable à un système 1ddl amorti à partir du relevé temporel des vibrations de déplacement. Fréquence propre La fréquence propre se déduit de la pseudo-période que l’on peut relever simplement sur le signal 1 temporel (voir encadré) : fd = Td On assimile en général la fréquence propre f0 à fd (dans la grande majorité des applications en mécanique vibratoire ξ est très faible) : f0 ≈ fd. Cette approximation peut ensuite être vérifiée une fois le taux d’amortissement ξ mesuré. Facteur d’amortissement - méthode du "décrément logarithmique" Cette méthode exploite le fait que l’enveloppe théorique du signal temporel x(t) est une expo- nentielle décroissante. Si l’on mesure les amplitudes de deux extrema successif Xn et Xn+1 (voir encadré) Xn x(t1 ) Xe−ξω0 t1 On a alors : = = = eξω0 Td. Xn+1 x(t1 + Td ) Xe−ξω0 (t1 +Td ) Xn On introduit le "décrément logarithmique" : δ = ln Xn+1 ω0 2πξ On a alors : δ = ξω0 Td = 2πξ =p ωd 1 − ξ2 δ On en déduit alors le facteur d’amortissement : ξ = √ 4π + δ 2 2 Dans la pratique, le signal n’étant pas toujours parfaitement assimilable à une sinusoïde amortie d’enveloppe exponentielle, on mesure!δ plus précisément avec des maxima séparés de plusieurs 1 Xn pseudo-période pTp : δ = ln p Xn+p Détermination expérimentale du facteur d’amortissement - Décrément logarithmique ! Xn 1 Xn δ = ln = ln Xn+1 p Xn+p δ ξ=√ 4π 2 + δ 2 Relevé expérimental 46 2.5 Application : analyse impulsionnelle expérimentale La force impulsionnelle est un cas très fréquemment rencontré, en particulier en mécanique vi- bratoire expérimentale : pour déterminer les caractéristiques vibratoires d’une structure, le système initialement au repos est excité ponctuellement à l’aide d’un "marteau de choc" en général équipé d’un capteur d’effort. Une fois la structure ainsi excitée, ses vibrations en régime libre sont mesurées par un capteur de vibrations (le plus souvent un accéléromètre). Figure 2.12 – Analyse impulsionnelle expérimentale. Exemples d’applications en travaux pratiques 2.5.1 Modélisation de l’excitation L’impact exercé par le marteau de choc est très bref, la figure 2.13 montre le signal temporel de l’effort mesuré lors d’un tel impact. Pour pouvoir calculer la réponse théorique d’un système à une telle excitation, il est nécessaire de proposer un modèle à cette excitation. L’impact peut Rêtre modélisé par une impulsion transmettant une quantité de mouvement initiale au système p0 = F (t)dt, le temps d’intégration étant choisi comme le court instant où le niveau de l’effort mesuré est significatif. Figure 2.13 – Signal temporel de la force d’impact et sa quantité de mouvement Le temps d’impact étant très bref, on peut le supposer infiniment court et modéliser la force impulsive par une distribution de Dirac : f (t) = F0 δ(t). Z L’impulsion de Dirac vérifie : lim δ(t)dt = 1 (rq : cette expression a la dimension d’un temps) →0 0 La quantité de mouvement transmise par l’impact vaut alors : Z Z p0 = f (t)dt = lim F0 δ(t)dt = F0 0 →0 0 On a alors : p0 = F0 = mẋ0 47 Figure 2.14 – Modélisation de la force d’impact par une fonction de Dirac Figure 2.15 – Impulsion de Dirac 2.5.2 Détermination de la réponse impulsionnelle La réponse du système peut alors être déterminée en considérant la réponse en régime libre avec F0 une condition de vitesse initiale v0 = ẋ0 =. m −ξω0 t p d’un système sous-amorti, la forme de la solution est : x(t) = Asin(ωd t − φ).e Dans le cas 2 avec ωd = ω0 1 − ξ la pseudo-pulsation.  Les conditions initiales sont les suivantes : x0 = 0 ẋ0 = F0 m Ces conditions initiales permettent la détermination de l’amplitude A et de la phase φ de la ré- ponse. x(t = 0) = A sin(−φ) = 0 => φ = 0 On a donc : x(t) = Asin(ωd t).e−ξω0 t ẋ = Aωd cos(ωd t).e−ξω0 t − Aξω0 sin(ωd t).e−ξω0 t F0 F0 A l’instant initial : ẋ(t = 0) = Aωd = => A =. m mωd F0 Finalement la réponse impulsionnelle de la structure s’écrit : x(t) = sin(ωd.t).e−ξω0 t. mωd La même démarche peut être adoptée pour déterminer la réponse du système avec un amortisse- ment critique ou sur-critique. 48 Réponse impulsionnelle  x 0 = 0 C.I. ẋ0 = F0 m  F0 −ξω0 t   e sin(ωd t) si ξ < 1  mω0       F0  x(t) = te−ω0 t si ξ = 1   m  F0 −ξω0 t   e sh(αt) si ξ > 1    mα   p p avec : ωd = ω0 1 − ξ 2 et α = ω0 ξ 2 − 1 49 2.6 Vibrations forcées harmoniques du système conservatif (non amorti) 2.6.1 Équation de mouvement et réponse Figure 2.16 – Système masse-ressort conservatif en régime forcé harmonique On rappelle l’équation de mouvement du système en régime forcé : mẍ(t) + kx(t) = F (t) Pour un excitation harmonique, on pose : F (t) = F0 cos(Ωt) où Ω est la pulsation de l’excitation. La réponse du système est la superposition : du régime libre xt (t), qui est la solution générale de l’équation différentielle sans second membre. C’est la réponse vue précédemment : xt (t) = Xt cos(ω0 t − φt ), oscillations à la pulsation propre ω0 du système. Xt et φt sont déterminés à partir des conditions initiales (voir paragraphes précédents). du régime établi, qui est la solution particulière de la forme xp (t) = Xp cos(Ωt), oscillations à la pulsation de l’excitation Ω. En substituant la forme de la solution particulière (régime établi) dans l’équation de mouvement F0 F0 /m on trouve : Xp = = 2 k − mΩ2 ω0 − Ω2 Démonstration : On cherche la réponse en régime établi sous la forme xp (t) = Xp cos(Ωt). On a alors : ẍp (t) = −Ω2 Xp cos(Ωt) En remplaçant dans l’équation de mouvement, on a : −mΩ2 Xp cos(Ωt) + kXp cos(Ωt) = F0 cos(Ωt) F0 On en déduit : Xp = k − mΩ2 k F0 /m Avec ω02 = cette expression devient Xp = 2 m ω0 − Ω2 50 Vibrations forcées harmoniques du système 1ddl conservatif (non amorti) mẍ(t) + kx(t) = F0 cosΩt (2.11) ⇓ x(t) = xt (t) + xp (t) = Xt cos(ω0 t − φt ) + Xp cos(Ωt) (2.12) | {z } | {z } régime libre régime établi En réalité l’amortissement n’étant pas nul (on n’est plus alors avec un système conservatif), la réponse due aux conditions initiales disparaît au bout d’un certain temps (c’est en fait un régime transitoire). Pour cette raison, on ne s’intéresse dans ce qui suit qu’au régime établi (ou permanent), qui correspond à la partie de la réponse uniquement due à l’excitation extérieure. 2.6.2 Régime établi Le mouvement forcé permanent (régime établi) s’écrit : F0 /m F0 1 xp (t) = 2 cos(Ωt) = cos(Ωt) ω0 − Ω 2 k 1 − (Ω/ω0 )2 On fait ainsi apparaître la solution statique du système à une force d’amplitude F0 : xstat = F0 /k. Ce qui nous permet d’écrire la réponse du système sous une forme adimensionnelle : xp (t) 1 = cos(Ωt) = H(Ω)cos(Ωt) xstat 1 − (Ω/ω0 )2 H(Ω) est la fonction de réponse en fréquence du système. La figure 2.17 représente l’influence de la fréquence d’excitation sur l’amplitude et la phase de la réponse du système. Figure 2.17 – Régime établi du système 1ddl conservatif - Réponse adimentionnelle 51 Ω > 1 : Lorsque la fréquence d’excitation est très grande devant la fréquence propre, l’ampli- ω0 tude des oscillations tend vers 0. Ceci peut s’expliquer par le fait que l’excitation change de sens (de signe) tellement rapidement que le système n’a pas le temps de répondre aussi rapidement à cause de son inertie m. Ω ≈ 1 : Lorsque la fréquence d’excitation s’approche de la fréquence propre, on voit apparaître ω0 le phénomène de résonance pour lequel l’amplitude de la réponse permanente devient infinie (pour un système non amorti) Dans la pratique, ce diagramme de gain est la plupart du temps tracé en décibels (20logH(Ω)), il est appelé diagramme de Bode. Le diagramme de phase montre que la phase entre l’excitation et la réponse est de : 0◦ pour Ω < ω0 : le système vibre en phase avec l’excitation 180◦ pour Ω > ω0 : le système vibre en opposition de phase avec l’excitation 52 2.7 Vibrations forcées harmoniques du système amorti Figure 2.18 – Système masse-ressort amorti en régime forcé harmonique On rappelle l’équation de mouvement du système en régime forcé : mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = F (t) ou encore : F (t) ẍ(t) + 2ξω0 ẋ(t) + ω02 x(t) = m Pour un excitation harmonique, on pose : F (t) = F0 cosΩt où Ω est la pulsation de l’excitation et F0 son amplitude constante. La réponse du système est la superposition : de la réponse transitoire xt (t), qui est la solution générale, celle en régime libre. C’est la réponse vue précédemment : xt (t) = Xt e−ξω0 t cos(ωd t − φt ), oscillations amorties à la pseudo-pulsation ωd du système. Xt et φt sont déterminés à partir des conditions initiales (voir paragraphes précédents). de la réponse permanente (régime établi), qui est la solution particulière de la forme xp (t) = Xp cos(Ωt − φp ), oscillations à la pulsation de l’excitation Ω. En substituant la forme de la solution permanente dans l’équation de mouvement 2.13 on trouve : F0 1 Xp (Ω) = q m (ω 2 − Ω2 )2 + [2ξω Ω)2 0 0 et 2ξω0 Ω tanφp (Ω) = ω02 − Ω2 Démonstration : Il est plus simple ici de travailler dans le domaine des nombres complexes, en cherchant une solution à l’équation de mouvement sous la forme : x̃p (t) = Xp ej(Ωt−φp ) , la solution physique étant xp (t) = Re(x̃p (t)) On a alors : ˜ = jΩXp ejφp ejΩt ẋ ˜ = −Ω2 Xp ejφp ejΩt ẍ L’équation de mouvement s’écrit alors : F0 jΩt Xp ejφp ejΩt −Ω2 + 2jξω0 Ω + ω02 = e m F0 On en déduit : Xp ejφp = + 2jξω0 Ω + ω02 m −Ω2 53 Nombres complexes - petit formulaire utile x̃ = a + jb = Xejφ = X(cos φ + i sin φ) √ b => X = a2 + b2 et tan φ = a 1 a − jb ỹ = = 2 a + ib a + b2 Vibrations forcées harmoniques du système 1ddl dissipatif (amorti) F0 ẍ(t) + 2ξω0 ẋ(t) + ω02 x(t) = cosΩt (2.13) m ⇓ x(t) = xt (t) + xp (t) = [Xt cos(ωd t

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