Mécanique Classique - Chapitre 1, PDF

Chapitre 1 Introduction 1.1 Les principes fondamentaux de la mécanique clas- sique (non relativiste) version...

Chapitre 1 Introduction 1.1 Les principes fondamentaux de la mécanique clas- sique (non relativiste) version du 11 juin 2023 La mécanique étudie les mouvements des systèmes matériels et les forces qui provoquent ou modifient ces mouvements. Les systèmes matériels étant très variés, plusieurs "mécaniques" coexistent : — mécanique des solides indéformables (objet de ce cours) ; — mécanique des milieux continus (cf MSS TC1) ; — mécanique statistique, pour les milieux discrets à très grand nombre de composants ; — acoustique, mécanique des fluides ; — mécanique des poutres (cf fin du cours de GM TC1), des plaques, des coques... Ces "mécaniques" s’appuient sur 4 principes fondamentaux : — conservation de la masse ; — principe fondamental de la dynamique (ou principe des puissances virtuelles, abrégé en PPV, ou conservation de la quantité de mouvement) ; — conservation de l’énergie (premier principe de la thermodynamique) ; — second principe de la thermodynamique. La construction d’une théorie mécanique passe par deux grandes étapes : — le choix d’un modèle de mouvement (cinématique) et d’une schématisation des actions mécaniques (efforts) en accord : la notion de puissance virtuelle, associée à celle de mouvement virtuel offre un formalisme général pour cette étape ; — l’expression des principes fondamentaux, qui permet de mettre en relation mou- vements et efforts. Le PPV est un outil puissant pour obtenir ces équations. Cer- taines équations complémentaires, comme les relations de comportement, sont construites de manière à ce qu’elles vérifient le premier et le second principes de la thermodynamique. 5 1.2. Stratégie de construction de la théorie de la mécanique des solides rigides 6 1.2 Stratégie de construction de la théorie de la mécanique des solides rigides Dans le chapitre 2, la démarche est déclinée pour des systèmes de masses ponctuelles. Le PPV est présenté, ainsi que son mode d’emploi. Chapitre 3, les torseurs cinématiques sont introduits pour décrire les mouvements de solides rigides en tenant compte ou pas de liaisons. Chapitre 4, les torseurs d’actions mécaniques sont introduits, en dualité avec les torseurs cinématiques. Certaines lois de comportement bien connues sont rappelées : modèle de liaison parfaite, élastique ou visqueuse, loi de contact (Coulomb)... Chapitre 5, le principe de conservation de la masse permet, via une représentation conden- sée de la distribution de masse dans un solide (notions de centre d’inertie, de matrice d’inertie) d’exprimer les quantités intervenant dans les principes fondamentaux à l’échelle du solide plutôt qu’à l’échelle de l’élément de matière. version du 11 juin 2023 Le chapitre 6 décrit une manière systématique d’exprimer l’énergie cinétique d’un système de solides rigides. Application du théorème de l’énergie cinétique. Chapitre 7, le lien entre PPV, PFD et équations de Lagrange est établi. Le dernier chapitre est une synthèse sur la stratégie de formulation et l’exploitation des équations (notions de linéarisation, d’équilibre, de stabilité...). Chapitre 2 Illustration des lois de la mécanique sur un système de points matériels (solides dégénérés) 2.1 Rappels de cinématique du point version du 11 juin 2023 2.1.1 Paramétrage de la position d’un point, vitesse et accélération par rapport à un référentiel L’association d’un repère d’espace et d’une base de temps constitue un référentiel. Le vecteur position d’un point M lie M à l’origine O du repère R par la relation :  e3 M # »  O OM (t ) = x 1 (t ) e#»1 + x 2 (t ) e#»2 + x 3 (t ) e#»3. (2.1) e1  e2 La vitesse et l’accélération de M par rapport à R sont définies par : # »# #» d OM V (M /R) = = ẋ 1 e#»1 + ẋ 2 e#»2 + ẋ 3 e#»3 (2.2) dt R et #» # #» dV ° (M /R) =. (2.3) dt R " Calculer une vitesse par rapport à un repère ne veut PAS dire "projeter le vecteur vitesse dans la base liée à ce repère" ! 2.1.2 Composition des vecteurs rotation par rapport à plusieurs re- pères C’est une relation de Chasles : #» #» #» ≠ Rn /R1 = ≠ Rn /Rn°1 + · · · + ≠ R2 /R1. (2.4) 7 2.2. Approche classique dans la description des efforts, expression des principes associés 8 2.1.3 Lien entre les dérivées d’un vecteur par rapport à 2 repères mobiles La "formule de la base mobile" est à la base de toutes les relations cinématiques, d’où son grand intérêt pratique : #» # #» # dU dU #» #» = + ≠ R 0 /R ^ U. (2.5) dt dt 0 R R Son utilisation efficace passe par la construction de "figures de travail". ' $ Exercice : étude d’un mouvement circulaire.   v j  M u M se déplace sur un cercle. q(t) #» #» Calculer V (M /R) et ° (M /R).  O i version du 11 juin 2023 & % ' $ Exercice : particule sur un cerceau tournant.   k z  M q eq La position du cerceau est repérée par √,  x la position de la particule M sur le  y u cerceau par µ. Tracer les figures de #» travail ; calculer V (M /R). & % 2.2 Approche classique dans la description des efforts, expression des principes associés 2.2.1 Modélisation des forces par un "champ de vecteurs", torseur d’action mécanique On appelle "action mécanique" tout phénomène physique susceptible de mettre en mou- vement ou de maintenir en place un solide.   Fext i Soit un système ≠ de points matériels M i , on modélise mi #» par un vecteur F ext!i l’action d’une force extérieure à ≠ sur  #» M i et par F j !i l’action d’une force intérieure de M j sur M i. Fj i mj 2.2. Approche classique dans la description des efforts, expression des principes associés 9 #» On peut associer au vecteur F ext!i le torseur Fext!i dont le moment au point Q est noté : #» #» # » Mext!i (Q) = F ext!i ^ Mi Q , (2.6) alors : ( #» ) Ω #» æ F ext!i F ext!i Fext!i = #» = #». (2.7) 0 M Mext!i (Q) i Q #» Le torseur F j !i associé à l’action de la force F j !i est construit de façon analogue. 2.2.2 Propriétés liées à la masse (centre d’inertie, torseurs cinétique et dynamique) Les principes de la mécanique (Newton, PFD) mettent en relation les forces exercées sur un système et ses mouvements par l’intermédiaire de quantités faisant intervenir sa répartition de masse. version du 11 juin 2023  Le centre d’inertie G de ≠ est défini par : Mi O mi # » X # » G m(≠) OG = m i OM i (2.8) ≠ La quantité de mouvement (= "de vitesse") est décrite par le torseur cinétique : Ω #» æ Ω #» æ m i V (M i /R) m i V (M i /R) CMi /R = #» = #» # » (2.9) 0 Mi m i V (M i /R) ^ M i O O On note æ# »(M /R) le moment cinétique développé par M en O, ce moment traduit une "quan- O i i tité de mouvement de rotation" : Mi V ( M i /R ) #» # » #» æ O (M i /R) = m i V (M i /R) ^ M i O (2.10) mi O La quantité d’accélération est décrite par le torseur dynamique : Ω #» æ Ω #» æ m i ° (M i /R) m i ° (M i /R) DMi /R = #» = #» # » (2.11) 0 Mi m i ° (M i /R) ^ M i O O #» On note ±O (M i /R) le moment dynamique développé par M i en O, ce moment traduit une "quantité d’accélération en rotation" : #» #» # » ± O (M i /R) = m i ° (M i /R) ^ M i O (2.12) 2.2. Approche classique dans la description des efforts, expression des principes associés10 2.2.3 Expression "classique" des principes de la mécanique Les lois de Newton pour le système de points matériels ≠ s’énoncent ainsi : "il existe un référentiel R g dit galiléen tel qu’à chaque instant sont vérifiés 1. le principe de l’action et de la réaction : #» #» # » #» #» 8i , j F i!j = °F j !i et M i M j ^ F i ! j = 0 ; (2.13)  Fi j  F j i mj mi 2. le principe de l’inertie (encore appelé principe de composition des forces ou loi fondamentale de la dynamique) : #» #» X #» m i ° (M i /R g ) = F ext!i + F j !i ". (2.14) i,j version du 11 juin 2023 Le principe fondamental de la dynamique (PFD) s’énonce ainsi : "il existe un référentiel galiléen R g tel que pour tout système matériel ≠, à chaque instant D≠/R g = Fext!≠ ". (2.15) Les lois de Newton et le PFD sont équivalents. ⌫ Exercice :  1. montrer que Newton ) PDF (en sommant les contributions de toutes les particules du système) ; 2. montrer que PFD ) Newton (en isolant m i , m j puis m i + m j ). 2.2.4 Illustration de la conservation de l’énergie, théorème de l’énergie cinétique Le théorème de l’énergie cinétique (TEC) se déduit du PFD en projetant, pour deux particules #» m i et m j , l’équilibre en résultante de m i sur V (M i /R g ) : #» #» #» #» #» #» m i ° (M i /R g ).V i = F ext!i.V i + F j !i.V i , (2.16) | | {z } √ {z 2 ! } #» | {z } #» Vi puissance de F ext!i puissance de F d j !i mi dt 2 #» en projetant celui de m j sur V (M j /R g ) , puis en sommant les équations scalaires obtenues : √ ! d Vi2 V j2 #» #» #» #» #» ≥ #» #» ¥ mi +mj = F ext!i.V i + F ext! j.V j + F j !i. V i °V j , (2.17) dt 2 2 | {z } | {z } | {z } puissance des efforts extérieurs puissance des efforts intérieurs, variation de l’énergie cinétique puissance mutuelle EC du système #» #» il faut bien noter l’inversion des indices i et j entre F j !i et V i / j. 2.3. Approche énergétique de d’Alembert pour la description des efforts 11 Le TEC est un bilan de puissance, il s’énonce ainsi : "la variation d’énergie cinétique d’un système matériel par rapport à un repère galiléen est égale, à tout instant, à la somme des puissances d’efforts intérieurs et extérieurs", ∏ d EC = P ext + P i nt. (2.18) d t Rg Quelques commentaires sont nécessaires car ils introduisent des éléments qui seront repris dans les approches énergétiques qui vont suivre : 1. le TEC donne 1 équation scalaire : — pour un problème 1D elle est équivalente au PDF mais on perd la notion de direction ; — plus tard, les équations de Lagrange pourront être vues, chacune, comme un TEC associé au degré de liberté relatif à l’équation. 2. P i nt peut être interprétée comme associée à : — une déformation élastique, réversible (ressort interne) ; — une dissipation irréversible (frottement) ; version du 11 juin 2023 — c’est la puissance développée par les efforts intérieurs au système. 3. P i nt a deux propriétés intéressantes : #» — elle est indépendante du référentiel puisque seule V i / j compte ; — si le système est indéformable (rigidifiant), P i nt = 0. 4. Cette vision énergétique va inspirer d’Alembert : la présentation de son approche com- mence comme la démonstration du TEC. ⌧ Exercice : TEC appliqué à un pendule simple. l q Exprimer l’équation du mouvement. m 2.3 Approche énergétique de d’Alembert pour la descrip- tion des efforts 2.3.1 Notions de mouvement virtuel et de puissance virtuelle L’introduction de mouvements virtuels pour évaluer des  efforts est assez naturelle : si on veut se rendre compte du V poids d’une valise posée sur un plancher, on la soulève lé- gèrement, ce qui représente son mouvement "virtuel" par opposition à son mouvement "naturel" qui est d’être posée   sur le plancher. Le mouvement virtuel introduit ici vise à P  mg évaluer le poids par le travail qu’on doit développer dans ce mouvement. 2.3. Approche énergétique de d’Alembert pour la description des efforts 12  Si on veut apprécier la tension d’une courroie d’alternateur T1 automobile, on l’éloigne avec le pouce de sa position d’équi- libre, créant ainsi un mouvement "virtuel" permettant de se rendre compte par le travail mis en jeu si la tension est  correcte. Comment traduire formellement cette expérience  T2 V bien courante ? La schématisation des efforts par le concept de puissance virtuelle repose sur une idée de d’Alembert (1750). Mathématiquement, il s’agit de relier une équation vectorielle et une relation fonctionnelle (scalaire) de la manière suivante : #» #» #» #» #» #» #» A = B , A.X = B.X 8X. (2.19) #» L’aspect variationnel de la formulation apparaît dans la nature quelconque de X. Cette idée #» permet de passer de Newton à d’Alembert. Soit une particule matérielle M et une force F qui s’y applique : #» #» — pour Newton, "il existe R g tel que F = m ° (M /R g )" ; version du 11 juin 2023 #» #» — pour d’Alembert on peut multiplier par X quelconque cette équation, si on assimile X à #» #» #» #» #» #» un mouvement virtuel V ? , on a F.V ? = m ° (M /R g ).V ? 8V ?. Le principe de d’Alembert s’énonce ainsi : "il existe R g tel que, pour tout mouvement virtuel, la puissance virtuelle des efforts extérieurs est égale à la puissance virtuelle de la quantité d’accélération de la particule", soit : ? ? #» P ext (≠ ! ≠) = P acc (M /R g ) 8V ?. (2.20) La puissance virtuelle associée à un mouvement virtuel donné est la fonction linéaire, à #» variables scalaires, de V ? qui représente le travail mis en jeu par unité de temps dans les phénomènes excités par le mouvement considéré.  Les efforts sont ainsi parfaitement déterminés par la M F donnée de cette forme linéaire de type puissance sur Rg m l’espace vectoriel des mouvements virtuels consti-  #» tué par les V ?. V 2.3.2 Le principe des puissances virtuelles (PPV) généralisation du principe de d’Alembert Le PPV est illustré ici sur un système de points matériels. Pour chaque particule i , on applique le principe de d’Alembert puis on somme sur ≠ les équations obtenues. — La première étape donne : ? ? #» P ext (M i ! M i ) = P acc (M i /R g ) 8Vi ?. (2.21) — On sépare dans les efforts subis par M i ceux exercés par l’extérieur de ≠ de ceux exercés par les autres particules : 2.3. Approche énergétique de d’Alembert pour la description des efforts 13  mi Rg  #» #» F (M i ! M i ) = F (≠ ! M i )  Fi X #» Fi j + F (M j ! M i ). (2.22) j mj — On développe l’expression de la puissance et on somme sur ≠ : X #» #» X X #» #» X #» #» #» F (≠ ! M i ).Vi ? + F (M j ! M i ).Vi ? = m i ° (M i /R g ).Vi ? 8Vi ? (2.23) i i j i | {z } | {z } | {z } puissance virtuelle des puiss. virtuelle des puiss. virtuelle des efforts ext. à ≠ interefforts dans ≠ quantités d’accélération — Soit : ? ? ? #» P ext (≠ ! ≠) + P int (≠) = P acc (≠/R g ) 8Vi ? (2.24) version du 11 juin 2023 Ce qui précède illustre l’équivalence entre la loi fondamentale de la dynamique et le bilan de puissances virtuelles. mais dans les lois de Newton il y a aussi le principe de l’action et de la réaction : la partie du PPV qui y correspond est l’"axiome d’objectivité" (relation non montrée ici). Enoncé du PPV : "il existe au moins un référentiel R g , dit galiléen, tel qu’à chaque instant et pour tout système (ou sous-système) sont vérifiés 1. l’énoncé fondamental : dans tout mouvement virtuel la puissance virtuelle des quantités d’accélération est égale à la puissance virtuelle développée par tous les efforts, extérieurs et intérieurs, s’exerçant sur le système ; 2. l’axiome d’objectivité : dans tout mouvement virtuel rigidifiant, la puissance virtuelle des efforts intérieurs est nulle". En abrégé : 9R g / 8≠ 8t (2.25) ? ? ? #»? P ext + P int = P acc (≠/R g ) 8V (2.26) ? #»? P int =0 8V rigidifiant (2.27) #» #» #» # » Remarque : pour un mouvement rigidifiant, on a : Vi ? = V j ? + ≠ ? ^ M j M i. La démonstration de cette relation sera donnée plus loin, dans le cadre de la cinématique du solide rigide. 2.3.3 Applications du PPV Intérêt d’une représentation fonctionnelle des efforts. — En passant de Newton (ou du PFD) au PPV, on passe d’une formulation "forte" à une formulation "faible". En effet, la fonctionnelle puissance virtuelle est nulle seulement sur un sous-espace : selon le choix de l’espace vectoriel des mouvements virtuels, on peut obtenir une représentation mathématique plus ou moins fine de la réalité phy- sique qu’on veut représenter. Cela revient à ne retenir des composantes d’une équation #» vectorielle que celles qui nous intéressent selon le choix de V ?. 2.3. Approche énergétique de d’Alembert pour la description des efforts 14 — Rapprochement : dans la démonstration du TEC en 2.2.4, c’est comme si on projetait l’équation vectorielle d’équilibre sur les vecteurs d’une base bien choisie, successivement. — Exploitation du PPV dans la construction de théories : 1. Si la description géométrique du mouvement est assez naturelle, la description des actions mécaniques est moins évidente. Grâce à la dualité mouvements-efforts contenue dans le PPV, la cohérence entre les deux descriptions est assurée. En mécanique du solide rigide, le lien entre torseur cinématique et torseur d’action mécanique est ainsi établi. En mécanique des milieux déformables, c’est le lien entre les structures mathématiques de ≤ et æ, en théorie des poutres (troisième partie de GMtc1), le lien entre torseur des efforts intérieurs et torseur des petits mouvements. 2. Le PPV permet de construire des solutions approchées : la méthode des éléments finis ou la méthode de Rayleigh-Ritz s’appuient sur un formalisme énergétique hérité du PPV. La méthode des puissances virtuelles, qui met en œuvre le PPV se décline en trois points : #» 1. choix de V ? ; version du 11 juin 2023 ? 2. calcul de P int , expression au besoin de l’axiome d’objectivité ; ? ? 3. Calcul de P ext et P acc , expression de l’énoncé fondamental. ' $ Exercice : choix de vitesses virtuelles adaptées à un objectif. A l Déterminer l’équation du mouvement et la q réaction du fil par le PFD puis par le PPV. m  mg & % Chapitre 3 Modélisation du mouvement d’un système de solides rigides 3.1 Cinématique d’un solide isolé, notion de paramétrage primitif version du 11 juin 2023 3.1.1 Définition du solide rigide, construction du torseur cinématique Un solide rigide est un milieu continu indéformable. #» La relation entre la dérivée de AB dans R S (base liée à S) et R est : # »! # »! d AB d AB #» #» = + ≠ S/R ^ AB (3.1) dt dt R RS # »! d AB #» or = 0 à cause de l’indéformabilité de S. On a donc : dt RS #» #» #» #» V (B, S/R) = V (A, S/R) + ≠ S/R ^ AB Formule de Varignon (3.2) Ω #» æ ≠ S/R VS/R = #» est le torseur cinématique de S dans son mouvement par rapport à R V (A, S/R) (3.3) Pour décrire le champ des vitesses d’un solide, 6 paramètres suffisent : — 3 correspondant à la vitesse du solide, — 3 caractérisant son taux de rotation. Ils définissent les paramètres primitifs. Ce sont les paramètres repérant S par rapport à R, sans tenir compte des liaisons (chaque solide est considéré comme libre). 3.1.2 Paramètres de rotation, l’exemple des angles d’Euler, autres exemples L’objectif est de passer d’une base de référence R 0 (x#»1 , y#»1 , z#»1 ) à une base R S (x#»2 , y#»2 , z#»2 ) mobile liée à un solide. Les angles d’Euler constituent une possibilité classique de choix de paramètres. 15 3.1. Cinématique d’un solide isolé, notion de paramétrage primitif 16 Si z#»1 est différent de z#»2 , le vecteur nodal se définit par exemple par : #» z#»1 ^ z#»2 n = #» #» (3.4) kz ^ z k 1 2 Une première rotation autour de z#»1 , la précession, permet de définir #» n. version du 11 juin 2023 Une rotation autour de #» n , la nutation, permet de définir l’angle (z#»1 , z#»2 ). Une rotation autour de z#»2 , la rotation propre, permet de définir les positions de x#»2 et y#»2. #» ≠ S/R = ¡˙ z#»2 + µ̇ #» ˙ z#»1 n +√ (3.5) 3.1. Cinématique d’un solide isolé, notion de paramétrage primitif 17 On montre qu’à toute valeur de l’ensemble (√, µ, ¡) correspond une orientation et une seule de S ' $ #» Exercices : Construire le vecteur taux de rotation ≠ S/R Le tachymètre de Watt. S 1 est dans le plan ( #» y , z#»0 ) & ' % $ Chariot à 3 roues version du 11 juin 2023 & ' % $ & % 3.1.3 Composition des torseurs cinématiques Dans le calcul du vecteur vitesse d’un point d’un solide par rapport à un repère, il est souvent plus facile de passer par l’intermédiaire d’autres repères dont les mouvements sont plus simples à caractériser Ω #» æ Ω #» æ Ω #» æ ≠ S/R0 ≠ S/R ≠ R/R0 #» = #» + #» (3.6) V (P, S/R 0 ) P V (P, S/R) P V (P 2 R/R 0 ) P La composition des taux de rotation pour les solides se pratique comme pour les bases associées à ces solides (cf 2.4) La composition des vitesses doit considérer un même point d’un solide comme mobile successivement par rapport à différentes bases. 3.1. Cinématique d’un solide isolé, notion de paramétrage primitif 18 #» V (P 2 R/R 0 ) est la vitesse du point P coïncident dans R avec P 2 S à l’instant considéré : sa vitesse se calcule comme si P était fixe dans R (on adopte parfois des noms différents pour désigner chacun des points P selon le repère par rapport auquel on considère que ce point est fixe). ' $ Exercice : cinématique d’un bras de robot Paramétrer la position de P #» Calculer V (P, 3/R) en utilisant les propriétés de la composition de mouvement Retrouver ce résultat par dérivation directe & % version du 11 juin 2023 3.1.4 Construction de champs de vitesses virtuelles rigidifiants par- ticuliers, en vue de l’établissement du formalisme général des torseurs de Lagrange Notons q i (t ) les paramètres primitifs (ou coordonnées généralisées) définissant la position de S à l’instant t. Pour chaque point M de S on a # » # » OM = OM (q i , t ) qui définit le mouvement réel i (3.7) # » X @OM # » #» @OM V (M , S/R) = q̇ i + (3.8) i @q i @t #» Dans l’espace des q i (espace des configurations) la vitesse est représentée par un vecteur q̇ à 6 composantes tangent à la trajectoire (à une correction près éventuelle, liée à la dépendance # » explicite de OM en temps). Les q i sont indépendants. Dans un mouvement virtuel quelconque, le champ de vitesses virtuelles sera associé à un #» vecteur #» q ? quelconque. Pratiquement, on calcule V (M , S/R) et on remplace les points ˙ par des § # » X @OM ? #» V ? (M , S/R) = qi (3.9) i @q i On travaille à temps constant Illustration de l’intérêt de ce choix sur un cas de solide dégénéré : 3.1. Cinématique d’un solide isolé, notion de paramétrage primitif 19 — Le cerceau est dans le plan ( #» u , #» z) #» — On a montré que V (M /R 0 ) = a µ̇ e#»µ + a √ ˙ sin µ #» u En règle générale, ces vitesses ne sont pas tangentes au cerceau, or la tangente en P au cerceau joue un rôle important dans l’identification des efforts s’exerçant sur M : il serait intéressant de former des vecteurs vitesse virtuelle ayant la direction de cette tangente. — Dans le cas le plus général de vitesse virtuelle construite sur le paramétrage primitif, on a version du 11 juin 2023 # » # » # » #» @OM ? @OM ? @OM ? V ? (M , S/R) = r + √ + µ (3.10) @r @√ @µ expression adaptée au paramétrage retenu et qui permettra de découper les contributions de chaque paramètre aux puissances en jeu dans le PPV Propriété fondamentale : le champ de vitesses ainsi contruit est rigidifiant, il a une structure de torseur #» @V — première étape pour le montrer : calculer @q˙i Si les q i sont indépendants et si q˙i ne dépend pas des q i (hypothèse) alors #» # » @V @OM = (3.11) @q˙i @q i En effet les q i et les q˙i ne sont liés qu’une fois les conditions initiales posées : l’exemple du pendule l’illustre, à la verticale (q i = 0) la vitesse q˙i dépend de l’impulsion initiale seulement. — deuxième étape : utiliser la formule de distribution des vitesses, dérivée. Soient M et N deux points du solide : @ ≥ #» # »¥ #» #» @V (N , S/R) @V (M , S/R) = + ≠ S/R ^ M N (3.12) @q˙i @q˙i @q˙i # » or M N ne dépend pas des q˙i , donc #» #» #» @V (N , S/R) @V (M , S/R) @ ≠ S/R # » = + ^MN (3.13) @q˙i @q˙i @q˙i d’où la forme générale de V? : 8 #» 9 X< @ ≠ S/R @q˙i = X V? = #» q i? = Vi qi? (3.14) i : @ V (M ) ; i @q˙i M 3.2. Cinématique des systèmes de solides, notion de liaison entre solides 20 On définit ainsi le vecteur taux de rotation virtuelle : #» #» @ ≠ S/R ? ≠? = qi (3.15) @q˙i Les Vi sont appelés torseurs de Lagrange. Cette forme de la vitesse aura une grande utilité ? dans le calcul de P acc à partir de l’énergie cinétique galiléenne réelle. ' $ Exemple : Construction de champs de vitesses virtuelles pour un système roulant - proposer V? tige en M - proposer V? roue en C & % version du 11 juin 2023 3.2 Cinématique des systèmes de solides, notion de liai- son entre solides 3.2.1 Typologie des liaisons En général, le paramétrage primitif est surabondant, les paramètres étant liés par les équa- tions de liaison. On distingue — les liaisons géométriques, issues de l’interprétation de conditions géométriques de contact entre solides. Elles sont dites holonomes et se traduisent par des relations du type f (q i , t ) = 0 (3.16) — les liaisons cinématiques, issues de conditions portant sur les vitesses (non glisse- ment par exemple). Elles sont dites non-holonomes et se traduisent par des relations non intégrables du type f (q i , q˙i , t ) = 0 (3.17) " dans le cas où une équation de ce type est intégrable on la ramène à une équation holonome ! " toutes ces liaisons peuvent être unilatérales ou bilatérales, les transitions entre états du système dans le cas de liaisons unilatérales sont gérées par des in- équations faisant intervenir les efforts de contact Important : les équations de liaison holonomes permettent de réduire le paramétrage du système, c’est à dire de réduire le nombre d’inconnues de position ou d’orientation. 3.2. Cinématique des systèmes de solides, notion de liaison entre solides 21 3.2.2 Démarche d’identification des équations de liaison Analyse des liaisons usuelles : la somme du nombre de degrés de liberté et du nombre d’équations de liaison vaut 6. 1. Exemples de liaisons ponctuelles : Cas plus compliqué, où il faut connaître l’équation de la came : version du 11 juin 2023 # » #» 2. Exemple de la liaison rotule, réalisée si O 1O 2 = 0 : 3. Etc pour toutes les liaisons de la première partie du cours. Équations de nature géométrique. — Si le mécanisme est en boucle ouverte (bras de robot), les paramètres cinématiques sont indépendants, et il n’y a PAS d’équation de liaison. — Si le graphe de liaison présente des boucles, il faut recenser le nombre de boucles indé- pendantes (nombre cyclomatique = ∞ = nombre de liaisons - nombre de solides + 1) et pour chacune écrire les équations de fermeture de chaîne vectorielle et/ou angulaire (loi d’entrée-sortie). # Exercice. Cas du système bielle-manivelle : établir les relations géométriques entre les paramètres du système (on se place en 2D) " ! 3.2. Cinématique des systèmes de solides, notion de liaison entre solides 22 Equations de nature cinématique. — Le plus souvent, elles expriment une condition de roulement sans glissement au point de contact I de deux solides S 1 et S 2 , on a alors : #» #» V (I 2 S 1 /S 2 ) = 0 (3.18) " Dans l’expression des vitesses au point de contact, penser à exprimer la cinéma- tique de chaque solide considéré au niveau d’un point dont le solide d’appartenance ne pose pas d’ambiguïté (point d’un axe par exemple) : c’est la problématique des points coïncidents ' $ Exercice. Cas du variateur à plateau : déterminer la relation entre les vitesses version du 11 juin 2023 angulaires des deux plateaux & % 3.2.3 Mouvements virtuels compatibles avec une liaison Définition : un mouvement virtuel est dit licite, ou compatible, s’il respecte les équations de liaison. Pour une liaison holonome : @f @f f (q i , t ) = 0 ) q˙i + =0 (3.19) @q i @t @f ? Les q i? doivent vérifier q =0 (3.20) @q i i Pour une liaison non holonome : f (q i , q˙i , t ) = 0 se met souvent sous la forme a i (q j , t )q˙i + b i (q j , t ) = 0 linéaire en q˙i (3.21) @f ? les q i? doivent vérifier a i (q j , t )q i? = 0 ou q =0 @q˙i i @f Remarque : si les équations de liaison dépendent du temps (cf @t , b), on a des obstacles mobiles. La liaison est rhéonome ; si les obstacles sont fixes les liaisons sont scléronomes. Dans le cas d’obstacles mobiles, le mouvement réel n’est pas un mouvement virtuel particulier compatible avec la liaison... 3.2. Cinématique des systèmes de solides, notion de liaison entre solides 23 Dans l’espace des q i (espace des configurations) une liaison holonome est représentée par une surface d’équation f (q i , t ) = 0. Un point de cette surface (position du système respectant la liaison) est repéré par : — les q i tels que f (q i , t ) = 0 #» — des q i0 représentant un paramétrage réduit, interne à la surface, alors V ? (M , S/R) = # » @OM 0 ? q respecte la liaison. @q i0 i Concrètement : après réduction du paramétrage par des liaisons holonomes, les mouve- ments virtuels construits sur les paramètres respectent les liaisons. Attention : restreindre le PPV aux mouvements licites limite l’accès à certaines informations, des inconnues de liaison par exemple. version du 11 juin 2023 Chapitre 4 Modélisation des efforts intérieurs et extérieurs s’exerçant sur un système de solides rigides 4.1 Vision énergétique de la modélisation des actions mé- version du 11 juin 2023 canique par un torseur 4.1.1 Puissance virtuelle des efforts extérieurs et dualité V§ $ Fext!S Soit un solide S : les efforts exercés par l’extérieur sur S peuvent être décrits par la forme § linéaire P ext définie sur l’espace des mouvements virtuels de S (cf 2.3.1), ainsi Ω #»§ æ § ! § # » #» # » #»§ VS/R = #»§ S/R est associée à P ext = R A.V § (A, S/R) + M A. ! S/R (4.1) V (A, S/R) A #» # » à ce stade, les quantités R A et M A sont de simples objets mathématiques dont on cherche à caractériser les propriétés. § En supposant que P ext est intrinsèque, c’est à dire qu’elle ne dépend pas du point où on l’exprime, on a : § # » #» # » P ext = R B.V § (B, S/R) + M B. ! #»§ S/R (4.2) # » #»§ # » # » #»§ #»§ ^ AB = R B.(V (A, S/R) + ! S/R ) + M B. ! S/R (4.3) # » #»§ # » #»§ = R A.V (A, S/R) + M A. ! S/R (4.4) #» #» quels que soient V § (A, S/R) et V § (B, S/R), donc #» #» R A = RB (4.5) # » # » #» #» #»§ M A = M B + AB ^ R A (double permutation dans le produit mixte pour isoler ! S/R ) (4.6) La structure de torseur du torseur d’action mécanique est donc héritée, via le concept de puissance virtuelle de la cinématique choisie, on note : Ω #» æ Ω #» æ R ext!S R ext!S Fext!S = #» = #» #» #» (4.7) M (A, ext ! S) A M (A, ext ! S) + R ext!S ^ AB B Remarque : tout modèle plus raffiné est inutile, ce n’est pas le détail des efforts qui va compter pour l’équilibre, mais le torseur résultant. 24 4.1. Vision énergétique de la modélisation des actions mécanique par un torseur 25 4.1.2 Notion de force généralisée, associée aux actions mécaniques extérieures Définition : la puissance virtuelle des efforts extérieurs apparaît comme le comoment du torseur des efforts et du torseur cinématique virtuel § #» #» #» P ext = FS!R ≠ V§S/R = R ext!S.V § (A, S/R) + M (A, ext ! S).!§S/R (4.8) En écrivant les vitesses virtuelles sous leur forme générique faisant intervenir les paramètres q i§ (3.1.4), la puissance apparaît comme une forme linéaire des q i§. Ceci est vrai pour tous les torseurs virtuels, mais dans le cas des torseurs virtuels de Lagrange, soit X @O A # » #»§ V (A, S/R) = q i§ (4.9) i @q i et #» #»§ X @≠ ! S/R = q i§ (4.10) i @q˙i version du 11 juin 2023 § P ext devient √ # » #» ! § X #» @O A #» @ ≠ P ext = R ext!S. + M (A, ext ! S). q §. (4.11) i @q i @q˙i i X = Q i qi § (4.12) i Les Q i sont appelés "coefficients énergétiques associés à q i§ ", ou "forces généralisées". Les # » Q i apparaissent comme une projection des efforts sur les fonctions O A, adaptée au paramétrage retenu. Les contributions de chaque paramètre aux puissances d’efforts extérieurs sont ainsi découplées. Les efforts extérieurs imposés se cachent dans les Q i. 4.1.3 Et les efforts intérieurs ? Les mouvements virtuels d’un solide étant rigidifiants, l’axiome d’objectivité (du PPV) impose que la puissance virtuelle associée aux efforts intérieurs soit nulle. § P int =0 (4.13) Les efforts intérieurs au solide, ou efforts de cohésion, n’apparaîtront pas dans les équa- tions et resteront donc indéterminés dans ce cours consacré aux solides rigides. — Dans la partie "Théorie des poutres" du cours de GMtc1, des cinématiques de milieu déformable seront construites pour "faire travailler" et calculer les efforts assurant la résistance des poutres. 4.1.4 Adaptation du formalisme energétique aux actions mécaniques de liaison Le besoin : les liaisons introduisent une limitation du mouvement, ceci est pris en compte par les équations de liaison introduites au chapitre 3.2. Leur réalisation technologique va induire différents types d’efforts, dépendant : 4.1. Vision énergétique de la modélisation des actions mécanique par un torseur 26 — des surfaces de contact (efforts de réaction entre les solides) ; — des matériaux en contact (frottements) ; — des mouvements relatifs (frottement, traînée visqueuse, effet ressort...) ; —... Les lois de comportement de liaison vont préciser ces dépendances Le torseur de liaison le plus quelconque, Ω #» æ R 1!2 F1!2 = #» qui a 6 composantes scalaires M (A, 1 ! 2) A verra ainsi son nombre d’inconnues d’effort diminué du nombre de lois de comportement introduites (on fera le parallèle avec le passage du paramétrage cinématique primitif au paramétrage strict ou réduit). La puissance virtuelle des efforts de liaison, ou inter-efforts entre deux solides, s’exprime, quand on isole l’ensemble des deux solides 1 et 2, par version du 11 juin 2023 § P 1$2 = F1!2 ≠ V§2/R + F2!1 ≠ V§1/R. (4.14) Le principe de l’action / réaction s’écrit, pour un système de solides (anticipation sur les cha- pitres suivants) par la relation entre torseurs suivante F1!2 = °F2!1 d’où § P 1$2 = F1!2 ≠ V§2/1. (4.15) Propriété : la puissance mutuelle des actions de liaison est indépendante du référentiel. Comme en 4.1.2 avec les efforts extérieurs, on définit des forces généralisées de liaison, ou coefficients énergétiques de liaison : § X P 1$2 = L i q i§. (4.16) i C’est dans les L i que se cachent les inconnues d’efforts de liaison. 4.1.5 Fonctions de force et de dissipation § § Pour certains type d’efforts, il existe une façon simplifiée de calculer P ext ou P 1$2 , en particulier les actions associées au champ de pesanteur, ou exercées par un ressort ou un amortisseur. Définition : un champ de forces donné dérive de la fonction de force U (q i , t ) si la puissance virtuelle qu’il développe peut s’écrire X @U (q i , t ) P§ = q i§ (4.17) i @q i @U (q i , t ) alors Q i = (4.18) @q i 4.2. Modélisation des actions mécaniques localisées au voisinage d’un point d’un solide 27 Des exemples seront développés dans la partie 4.2 4.2 Modélisation des actions mécaniques localisées au voisinage d’un point d’un solide 4.2.1 Cas d’une action à distance : la pesanteur, modélisée par une force volumique Sous certaines hypothèses (l’effet centrifuge de la rotation de la terre est négligeable, la vitesse des solides considérés reste "faible", les solides se déplacent peu par rapport au rayon de la terre...), l’effet de la pesanteur sur uneparticule de masse d m située en M est modélisable par Ω #» æ g dm d Fpes!d m = #» (4.19) 0 M La somme des contributions de toutes les particules d’un solide s’écrit : version du 11 juin 2023 Z Ω R #» æ g dm Fpes!S = d Fpes!d m = R #»S # » (4.20) S S g d m ^ MQ Q et puisque #» g est constant, il vient Z #» g d m = m #» g m masse totale de S (4.21) S Z #» # » # » g d m ^ MQ = m #» g ^ GQ avec G défini en 2.2.2 (4.22) S G est le centre de masse (ou centre d’inertie) de S, pour de "petits" objets G est confondu avec le centre de gravité, point d’application du poids. D’où la version utilisée en pratique : Ω æ m #» g Fpes!S = #». (4.23) 0 G Le poids est associé à la fonction de force # » U pes = m #» g.O 0G +U0 (4.24) avec O 0 point fixe du repère galiléen et U0 constante arbitraire. (4.25) Dans ce cas la fonction de force peut être identifiée à l’opposée de l’énergie potentielle (de pensanteur) ' $ Exercice : Soit une tige de masse M en rotation dans le plan. Calculer le coefficient énergétique associé au paramètre Æ § — directement par P ext — en utilisant la fonction de force & % 4.2. Modélisation des actions mécaniques localisées au voisinage d’un point d’un solide 28 4.2.2 Classification des liaisons ponctuelles en fonction de leur loi de comportement Liaisons parfaites § Par définition une liaison parfaite entre deux solides 1 et 2 est telle que P 1$2 = 0 pour tout mouvement virtuel compatible avec la liaison. Liaison ponctuelle parfaite #» #» ici V § (O, 1/2) est compatible avec la liaison si V § (O, 1/2). #» n =0 Ω #» æ Ω #» æ § R 2!1 ≠§ P 1$2 = #» ≠ #» 1/2 § =0 M (O, 2 ! 1) O V (O, 1/2) O Ω #» æ ≠§ La 8 #» 1/2 § compatible (4.26) V (O, 1/2) O #» #» #» entraîne R (2 ! 1) = N (2 ! 1) #» n et M (O, 2 ! 1) = 0 version du 11 juin 2023 Ω æ N (2 ! 1) #» n F2!1 = #» (4.27) 0 O loi de comportement a permis d’éliminer cinq inconnues d’effort de liaison (il y a en fait ici 5 lois scalaires). Par exemple, le contact entre dents d’un engrenage est souvent modélisé par une liaison ponctuelle parfaite : Liaison ponctuelle non parfaite, lois de frottement de Coulomb. Les lois de Coulomb établissent des relations entre la force de réaction normale au contact N (2 ! 1) #» n et les autres composantes du torseur F2!1 en fonction des cinématiques de contact. Différents cas sont envisageables : — glissement / non glissement, #» — roulement ( ≠(1/2) dans le plan tangent au contact), #» — pivotement ( ≠(1/2) porté par #» n ). 4.2. Modélisation des actions mécaniques localisées au voisinage d’un point d’un solide 29 #» #» — s’il y a glissement V (O, 2/1) , 0 #» alors T (2 #» ! 1) = V (O,2/1) ° f d yn |N (2 ! 1)| ∞∞ #» ∞ ∞ V (O,2/1) #» #» — s’il n’y∞ a pas glissement ∞ V (O, 2/1) = 0 ∞ #» ∞ alors ∞ T (2 ! 1)∞ 6 f st at |N (2 ! 1)| — dans le cas du roulement ou du pivotement, des lois analogues peuvent être définies — ces lois sont à la base de la construction de lois plus complexes relatives à des contacts surfaciques frottants, on peut ainsi élaborer, selon la géométrie , des lois de comportement de rotules ou de pivots, etc, non parfaits 4.2.3 Actions mécaniques exercées par les ressorts et les amortis- version du 11 juin 2023 seurs Remarque : ce sont les seuls éléments déformables introduits dans cette partie du cours, néanmoins leur prise en compte est un pas vers une formulation couplée entre solides rigides et solides déformables (comme ceux issus du cours d’éléments finis ou de MMC). Restriction : les éléments agissant en traction compression sont les seuls traités ici, mais leur formulation peut être généralisée aux ressorts et amortisseurs de torsion. Ressort de traction compression Ω æ °k(l ° l 0 ) #» n Fr ess!1 = #» avec l = I 1 I 2 , l 0 longueur à vide 0 I1 (4.28) Fr ess!2 = °Fr ess!1 (ressort non pesant) (4.29) La puissance virtuelle développée par l’effort du ressort sur le système contenant 1 et 2 s’écrit § P 1$2 = Fr ess!1 ≠ V§1/0 + Fr ess!2 ≠ V§2/0 (4.30) # » X @O 0 I 1 § # » X @O 0 I 2 § = °k(l ° l 0 ) #» n q i + k(l ° l 0 ) #» n qi (4.31) i @q i i @q i X X @I 1 I 2 # » = k(l ° l 0 ) #» n q i§ (4.32) i i @q i # » #» @I 1 I 2 1 @ ° ¢2 1 @k(l ° l 0 )2 or k(l ° l 0 ) n = k (l ° l 0 ) #» n = @q i 2 @q i 2 @q i 4.3. Modélisation des actions mécaniques dans les liaisons usuelles 30 ce qui permet d’identifier la fonction de force Ur ess , opposée au potentiel élastique 1 Ur ess = ° k(l ° l 0 )2 +U0 (4.33) 2 Généralisation à un ressort de torsion... Amortisseur de traction compression Ω æ °d l˙#» n Fmor !1 = #» (4.34) 0 I1 On définit une fonction de dissipation ©am , de "dissipation visqueuse" par 1 ©am = d l˙2 + ©0 (4.35) version du 11 juin 2023 2 @©am "attention, ici Q i = ° @q̇ i Exemple d’application : en supposant la déformabilité localisée aux frontières d’un solide, on peut définir des modèles de suspensionsue "lit de ressorts". En génie civil, c’est le cas du modèle de fondation de Winckler. Les lois de comportement élastiques (ou visqueuses) lient les forces de liaison à la ciné- matique (en déplacement ou en vitesse) selon des lois linéaires (dans le cas de l’élasticité linéaire) 4.3 Modélisation des actions mécaniques dans les liaisons usuelles 4.3.1 Liaisons usuelles parfaites Leurs torseurs d’actions transmissibles sont complémentaires du torseur cinématique au sens de la puissance virtuelle mutuelle. Exemple de la liaison rotule : Ω #»§ æ ≠ 2/1 V§1/2 = #» (4.36) 0 O Ω #» æ R 1!2 F1!2 = #» (4.37) 0 O Plus de détails dans le tableau de la première partie du cours de GMtc1. 4.3.2 Liaisons non parfaites ? Attention ! Même si le mouvement est compatible avec la liaison, P 1$2 est non nul car la liaison dissipe. Exemple vu en TD : toupie avec frottement visqueux. 4.4. Éléments de stratégie dans la modélisation des efforts de liaison 31 4.4 Éléments de stratégie dans la modélisation des efforts de liaison 4.4.1 Sur le rôle des lois de comportement de liaison Ce lois permettent de préciser une partie des inconnues de liaison, qui deviennent en quelque sorte des efforts donnés (en fonction d’autres inconnues...). Le choix de ces lois fait partie intégrante du modèle du système. 4.4.2 Sur le lien entre le paramétrage cinématique (primitif ou réduit) et les efforts de liaison Il est inutile d’expliciter les efforts de liaison dont on sait d’avance qu’ils ne vont pas travailler : c’est le cas des liaisons parfaites compatibles avec les champs virtuels retenus ; c’est aussi le cas des liaisons ponctuelles avec frottement de Coulomb quand il y a roulement sans glissement dans le champ virtuel. Leur contribution aux coefficients énergétiques sera nulle. version du 11 juin 2023 Au contraire, il faudra expliciter les efforts intervenant dans des liaisons non parfaites ou brisées volontairement par la cinématique virtuelle afin justement de les évaluer. 4.4.3 Traitement d’inéquations éventuelles Elles peuvent être issues des lois de Coulomb par exemple. Elles servent à définir les do- maines de validité du modèle après résolution : par exemple pour détecter la transition entre un régime de non glissement et un régime de glissement dans un contact frottant. Exemple (revu en TD) : Cylindre roulant sur un autre 4.5 Bilan intermédiaire ? ? ? — On sait calculer P ext , P int , P liaison. — Il faut maintenant tenir compte du lien entre masse et mouvement pour obtenir : — le torseur dynamique, ? — P acc. Chapitre 5 Conservation de la masse - Formules de cinétique pour les solides rigides 5.1 Expression du torseur cinétique exploitant la cinéma- version du 11 juin 2023 tique de corps rigide et la conservation de la masse 5.1.1 Pourquoi un torseur cinétique ? Noté CS/R Dans le cas des systèmes de masses ponctuelles (2.2) on a vu que les torseurs d’action mécanique équilibraient un torseur représentatif de la quantité d’accélération. Il est donc intéressant de construire un torseur analogue pour les solides rigides, par intégration des contributions de chaque particule du solide. Une étape vers la construction de ce torseur est la construction d’un torseur associé aux quantités de mouvement. Par ailleurs, l’énergie cinétique peut être vue comme le produit pour chaque particule matérielle de sa vitesse par sa quantité de mouvement : le torseur cinétique sera construit pour que son comoment avec le torseur cinématique donne l’énergie cinétique du solide considéé, d’où son nom. 5.1.2 Justification de la structure de torseur, héritée de celle de VS/R On cherche à caractériser #» æ A (S/R) moment cinétique en A de S/R sachant que la quantité de mouvement de S vaut : Z #» #» p (S/R) = V (M /R) d m. (5.1) S Ω #» æ Ω #» æ 1 p (S/R) ≠(S/R) 1 ≥ #» #» #» ¥ Ec(S/R) = #» ≠ #» = p (S/R)V (A, S/R) + #» æ (S/R) ≠(S/R) (5.2) 2 æ (S/R) A V (A, S/R) A 2 est imposé. Z 1 #» #» Ec(S/R) = V (M , S/R)V (M , S/R)d m par définition. (5.3) 2 S 32 5.1. Expression du torseur cinétique exploitant la cinématique de corps rigide et la conservation de la masse 33 #» #» #» # » Or comme S est un solide, V (M , S/R) = V (A, S/R) + ≠(S/R) ^ AM. En injectant cette expres- sion dans 5.3 et en égalant les seconds termes de 5.2 et la nouvelle 5.3, on a, vu que l’égalité doit #» être valable pour tout ≠(S/R) : Z #» #» # » æ A (S/R) = V (M , S/R) ^ M A d m. (5.4) S # » # » #» La relation de transport vers un point B se démontre en posant M A = M B + B A dans la définition de #» æ A (S/R). 5.1.3 Comment la conservation de la masse conduit à une expression condensée de CS/R s’appuyant sur de nouveaux concepts (centre de masse, opérateur d’inertie) Définition de principe : la masse d’un système Zmatériel S que l’on suit dans son mouvement est constante au cours du temps, avec m(S, t ) = ΩdV = cte, Ω densité volumique S version du 11 juin 2023 dm @Ω #» = 0 implique + divΩ V = 0 , équation de continuité. dt @t Conséquence pour l’intégration de fonction génériques h(M , t ) relativement à la densité volumique : Z H (t ) = h(M , t )Ωd v, (5.5) S Z dH @hΩ #» alors = + divhΩ V et en développant pour faire apparaître l’équation de continuité, dt S @t il vient Z Z dH d @h = hΩd v = Ωd v. (5.6) dt dt S S @t Cette formule de dérivation sous le signe somme est très utile pour simplifier les quantités élémentaires intégrées sur S : énergie cinétique, quantité de mouvement, moment cinétique etc. En bref, la conservation de la masse est cachée dans toutes les expressions condensées associées à un solide. La forme condensée de la résultante du torseur cinétique est : Z Z # »! Z #» d OM d # » V (M /R)d m = dm = OM d m, (5.7) S S d t d t S R or le centre d’inertie G de S est défini par Z # » # » OM d m = m OG, (5.8) S d’où Z #» #» V (M /R)d m = m V (G/R). (5.9) S Connaissant la masse de S et la vitesse de son centre d’inertie, on a facilement la résultante de CS/R. 5.2. Description de la répartition de masse dans un solide 34 Forme condensée du moment cinétique Z #» #» # » æ A (S/R) = V (M , S/R) ^ M Ad m (5.10) ZS ≥ #» #» # »¥ # » = V (A, S/R) + ≠(S/R) ^ AM ^ M Ad m (5.11) ZS Z≥ #» # » #» # »¥ # » = V (A, S/R) ^ M Ad m + ≠(S/R) ^ AM ^ M Ad m (5.12) S S µZ ∂ Z # » #» # » ≥ #» # »¥ = AM d m ^ V (A, S/R) + AM ^ ≠(S/R) ^ AM d m (5.13) S S #» # » #» #» æ A (S/R) = m AG ^ V (A, S/R) + IS (A) ≠(S/R) (5.14) avec IS (A) l’opérateur d’inertie de S exprimé au point A, introduit sous forme matricielle #» car le second membre de 5.13 est une fonction linéaire de ≠(S/R) Pratiquement on calculera #» æ A (S/R) soit en un point fixe, soit au centre d’inertie pour simplifier les calculs. IS (A) étant intrinsèque au solide sera calculé par ailleurs (en 5.2). version du 11 juin 2023 Pour avoir le moment cinétique au point souhaité on utilisera alors la formule de transport du torseur cinétique. 5.2 Description de la répartition de masse dans un solide 5.2.1 Centre d’inertie L’obtention de la position de G fait intervenir des intégrales de volume (formule de Fubini), les théorèmes de Guldin ainsi que les propriétés liées à l’additivité ou aux symétries. Plus de détail dans : — le formulaire technique Gieck, — Mécanique du solide - P. Agati, Y. Brémont, G. Delville, — dans le menu "propriétés du solide" de votre logiciel de CAO préféré. 5.2.2 Opérateur d’inertie d’un solide L’interprétation de la matrice IS (A) se fait en disposant dans les colonnes de IS (A) les transformées des vecteurs de base #» #» #» #» R # » — notons ≥ J A (S, u ) l’opérateur qui à tout vecteur u fait correspondre I S (A) u = S AM ^ #» # »¥ u ^ AM d m # » — AM = x #» x + y #» y + z #» z — alors Z #» # » ≥ # »¥ J A (S, #» x)= AM ^ #» x ^ AM d m (5.15) S 0 1 00 1 0 11 Z x 1 x = @ y A ^ @@0A ^ @ y AA d m (5.16) S z 0 z 0 1 0 1 0 1 Z x 0 Z y 2 + z2 = @ y A ^ @°z A d m = @ °x y A d m (5.17) S S z y °xz 5.3. Calcul du torseur dynamique à partir du torseur cinétique 35 d’où 0 R ° 2 2 ¢ R ° ¢ R 1 SR y° + z¢ d m S R ° 2 °y x d m ¢ (°zx)¢ d m RS ° IS (A) = @ RS °x y d m 2 SR x° + z¢ d m °z y d m A. R °S 2 ¢ (5.18) 2 S (°xz) d m S °y z d m S x + y dm A Les termes diagonaux sont les moments d’inertie de S (par rapport à la droite (A, #» x ) par R ° 2 ¢ exemple pour le terme S y + z 2 d m). #» ≥ #»¥ #» #» On note I ¢ = ±. IS (A) ± le moment d’inertie de S par rapport à la droite ¢(A, ± ) avec ± unitaire quelconque. I ¢ caractérise la répartition des masses de S autour de ¢ et la difficulté à le mettre en rotation. Les opposés des termes extra diagonaux sont les produits d’inertie caractérisant l’absence de symétrie dans la répartition des masses et les effets de balourd : la rotation autour de #» x R engendre ainsi des effets selon #» y caractérisés par S x yd m, ainsi que selon #» z. Des nombreux outils existent pour passer de IS (A) à IS (P ) (théorèmes de Huygens), changer version du 11 juin 2023 de base ou jouer des symétries matérielles pour simplifier les calculs. Pour plus de détails, on pourra se reporter — au cours d’ H. Magoariec. — dans CATIA, qui donne l’opérateur dans les propriétés du solide sélectionné. 5.3 Calcul du torseur dynamique à partir du torseur ciné- tique 5.3.1 Définition de DS/R Le torseur dynamique hérite sa structure de VS/R. On peut le montrer via la puissance des quantités d’accélération. On obtient : Ω R #» æ ° (M /R)d m DS/R = R #»S # ». (5.19) S ° (M /R) ^ M Ad m A 5.3.2 Passage de CS/R à DS/R La résultante de DS/R est la dérivée de celle de CS/R : Z #» #» d #» ° (M /R)d m = m ° (G/R) = m V (G/R). (5.20) S dt d #» æA Pour les moments, on montre en dérivant #» æ A (S/R) qu’un terme complémentaire à #» dt est nécessaire pour obtenir ± A (S/R) : Z ∂ #» #» # » d #» æA #» #» ± A (S/R) = ° (M /R) ^ M Ad m = + m V (A, S/R) ^ V (G, S/R). (5.21) S dt R #» Pratiquement, on obtiendra une expression simplifiée de ± A (S/R) en se plaçant en un point fixe ou au centre d’inertie avant d’utiliser la formule de transport pour se placer au point souhaité. 5.4. Remarque générale 36 5.4 Remarque générale Les torseurs cinétique et dynamique d’un système de solides s’obtiennent par addition EN UN MÊME POINT des torseurs de chaque solide. 5.5 Bilan intermédiaire — On peut maintenant calculer : 1 — Ec = VS/R ≠ CS/R , 2 ? — P acc = DS/R ≠ V? S/R. — Et utiliser le PFD pour un système de solides : — DS/R = Fext !S. version du 11 juin 2023 Chapitre 6 Conservation de l’énergie 6.1 Théorème de l’énergie cinétique 6.1.1 Expression et démonstration L’expression de l’énergie cinétique pour un solide S est donnée en 5.1 : version du 11 juin 2023 1 Ec = VS/R ≠ CS/R. (6.1) 2 Le théorème de l’énergie cinétique pour un système ≠ constitué de solides S i s’écrit : d Ec(≠/R g ) X = P ext !≠ + Pi $ j. (6.2) dt i,j Le terme de droite correspond à la puissance des efforts extérieurs exercés sur ≠ dans son mouvement par rapport à R g à laquelle on ajoute la puissance des interefforts entre solides (remarque : la puissance des efforts interieurs à chaque solide est nulle car on a une cinématique rigidifiante pour chaque solide). Le terme de gauche correspond à la puissance développée par les quantités d’accélération dans le mouvement réel, en effet : La puissance virtuelle des quantités d’accélération est définie pour un solide S par § P acc = DS/R ≠ V§S/R. (6.3) Dans le mouvement réel : P acc = DS/R ≠ VS/R (6.4) Z Z #» #» #» #» # » = V (A, S/R). Ω ° (M , S/R)dV + ≠(S/R) Ω ° (M , S/R) ^ M AdV (6.5) S S Z≥ #» #» # »¥ #» = V (A, S/R) + ≠(S/R) ^ AM ° (M , S/R)ΩdV (6.6) S Z #» ! #» d V (M , S/R) = V (M , S/R) ΩdV (6.7) S dt