Capítulo 3 - Vectores y Movimiento en Dos Dimensiones PDF

Dave Smith, la “bala de cañón humana”, vuela por el aire e...

Dave Smith, la “bala de cañón humana”, vuela por el aire en una trayectoria parabólica, dependiendo de la velocidad inicial correcta y del ángulo del cañón para que lo envíen con seguridad sobre el muro fronterizo entre México y Estados Unidos hacia una red. AP Photo/Denis Poroy Vectores y movimiento en dos dimensiones 3 En nuestro análisis del movimiento en una dimensión en el capítulo 2 utilizamos el concepto de 3.1 Vectores y sus propiedades vectores, solo hasta un alcance limitado. En nuestro estudio adicional del movimiento, cada vez 3.2 Componentes de un vector se vuelve más importante el manejo de cantidades vectoriales, por lo que gran parte de este capítulo se dedica a las técnicas vectoriales. Luego aplicaremos estas herramientas matemáticas 3.3 Desplazamiento, velocidad al movimiento bidimensional, en especial al de proyectiles y en la comprensión del movimiento y aceleración en dos relativo. dimensiones 3.4 Movimiento en dos dimensiones 3.5 Velocidad relativa 3.1 Vectores y sus propiedades Jon Feingersh/Stone/Getty Images OBJETIVOS DE APRENDIZAJE 1. Aplicar las definiciones de escalar y vector para categorizar cantidades físicas diferentes. 2. Utilizar la interpretación geométrica de la suma, resta y multiplicación vectorial para determinar los vectores resultantes de estas operaciones. Cada una de las cantidades físicas que encontraremos en este libro se pueden cate- Figura 3.1 Un vector tal como la velocidad tiene una magnitud, gorizar ya sea como una cantidad vectorial o bien como una cantidad escalar. Como se como se muestra en el velocímetro destacó en el capítulo 2, un vector tiene dirección y magnitud (tamaño). Un escalar de un automóvil de carreras y una se puede especificar por completo por su magnitud con unidades apropiadas; no dirección, directamente a través del tiene dirección. Un ejemplo de cada clase de cantidad se muestra en la figura 3.1. parabrisas frontal del automóvil. La masa del automóvil es una cantidad escalar, como lo es el volumen de gasolina en su tanque. 57 58 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones S y A S S B S  B S R A S S A B S  S R B O x S A Figura 3.2 Estos cuatro vectores a b son iguales ya que tienen longitudes iguales y apuntan en la misma Figura 3.3 S S S dirección. a) Cuando el vector B seSsuma al vector A, laS suma vectorial R es el vector que va desde la cola de A hasta la punta de B. b) En este caso la resultante va S S desde la cola de B hasta la punta de A. Estas construcciones demuestran que S S S S A 1 B 5 B 1 A. Como se describió en el capítulo 2, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración Sugerencia 3.1 Suma vectorial versus son cantidades vectoriales. La temperatura es un ejemplo de cantidad escalar. Si la suma escalar temperatura de un objeto es 25°C, esa información especifica por completo la tempe- S S S A 1 B 5 C difiere de manera ratura del objeto; no se requiere una dirección. Las masas, los intervalos de tiempo y significativa de A 1 B 5 C. La los volúmenes también son escalares. Las cantidades escalares se pueden manejar con primera ecuación es una suma las reglas de la aritmética ordinaria. Los vectores también se pueden sumar y restar vectorial, que se debe manipular entre sí, así como multiplicar; pero existe una variedad de diferencias importantes, de forma gráfica o con compo- como se verá en las secciones siguientes. nentes, en tanto que la segunda es una simple suma aritmética de Cuando se escribe a mano una cantidadS vectorial, con frecuencia se representa números. con una flecha encima de la letra (A). Como se mencionó en la sección 2.1, una cantidad vectorial S en este libro se representará S en negritas con una flecha encima (por ejemplo, A). La magnitud del vector A se representará en cursivas, como A. Las letras cursivas también se emplearán para representar escalares. S S Igualdad de dos vectores Dos vectores A y B son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Esta propiedad permite trasladar un vector para- lelo a sí mismo en un diagrama sin afectar al vector. De hecho, para la mayoría de los fines, cualquier vector se puede mover de manera paralela a sí mismo sin ser afectado (consulte la figura 3.2). Suma de vectores Cuando dos o más vectores se suman, todos deben tener las mismas unidades. Por ejemplo, no tiene sentido sumar un vector velocidad, que lleva unidades de metros por segundo, a un vector desplazamiento, que lleva unidades de metros. Los escalares obedecen la misma regla. De manera similar, no tendría sen- tido sumar temperaturas con volúmenes o masas con intervalos de tiempo. Los vectores se pueden sumar de manera geométrica o algebraica S (esta Súltima se ana- S D liza al final de la sección siguiente). S Para sumar el vector B al vector A de manera geométrica, primero se traza A en una hoja de papel milimétrico a alguna escala, S D como 1 cm 5 1 m, de manera que su dirección C  se especifica respecto a unSsistema de S S coordenadas. Luego se traza el vector B a la misma escala con la cola de B iniciando B  S C S S S en la punta de A, como en la figura 3.3a. El vector B se debe trazar S a lo largo de A  la dirección que forme el ángulo apropiado respecto al vector A. El vectorSresul- S S S S S tante R 5 A 1 B es el vector trazado desde la cola de A hasta la punta de B. Este R  S S B procedimiento se conoce como método del triángulo de la adición. S S Cuando S S dosSvectores se suman, su suma es independiente del orden de la adición: A A 1 B 5 B 1 A. Esta relación se puede observar a partir de la construcción geomé- trica de la figura 3.3b y se denomina ley conmutativa de la adición. Figura 3.4 Construcción geomé- trica para sumar cuatro vectores. El Este mismo método general también se puede usar para sumar más de dos vec- S vector resultante R es el vector que tores, como S S se hace S en laSfigura 3.4 para cuatro vectores. La suma vectorial resul- S completa el polígono. tante R 5 A 1 B 1 C 1 D es el vector trazado desde la cola del primer vector hasta la punta del último. Una vez más, el orden en que se sumen los vectores no es importante.  3.1 | Vectores y sus propiedades 59 S Negativo de un vector S El negativo del vector S A S se define como el vector que da Se trazaría S cero cuando se suma a A. Esto significa que A y 2A tienen la misma magnitud pero B aquí si se S S direcciones opuestas. sumara a A. B S A Resta de vectores La resta S vectorial S utiliza la definición S del negativo S de un vec- tor. Se define la operación A 2 B como el vector 2B sumado al vector A: S 2B A 2 B 5 A 1 1 2B 2 S S S S S S [3.1] A2B S La suma de 2B S La resta vectorial en realidad es un caso especial de la suma vectorial. La construc- a A es equivalente S S ción geométrica para restar dos vectores se muestra en la figura 3.5. a restar B de A. Multiplicación o división de un vector por/entre un escalar La multiplicación S o división de un vector por/entre un escalar da un vector. Por ejemplo, si el vector A se Figura 3.5 Esta construcciónS S muestra cómo restar el vector B del multiplica por el número escalar S 3, el resultado, que se escribe 3A, es un vector con S S vector A. El vector 2B tiene la misma S una magnitud S tres veces la de A y apuntandoSen la misma dirección. Si se multiplica magnitud que el vector B, pero el vector S A por el escalar 23, el resultado es 23A, un vector con una magnitud tres veces apunta en la dirección opuesta. la de A y apuntando en la dirección opuesta (debido al signo negativo). Cuestionario rápido S S 3.1 Las magnitudes de dos vectores A y B son 12 unidades y 8 unidades, respectiva- mente. ¿Cuáles son los valores posibles mayor y menor para la magnitud del vector S S S resultante R 5 A 1 B? a) 14.4 y 4, b) 12 y 8, c) 20 y 4, d) ninguno de estos. EJEMPLO 3.1 Hacer un viaje OB JET I VO Encontrar la suma de dos vectores utili- y (km) zando una gráfica. N S 40 O E PROBLEMA Un automóvil viaja a 20.0 km al norte y B 60.08 S luego 35.0 km en una dirección 60.0° al noroeste, como en la figura 3.6. Usando una gráfica, encuentre la mag- S 20 Figura 3.6 (Ejemplo 3.1) R nitud y la dirección de un vector individual que propor- Método gráfico para determinar el S b A cione el efecto neto del viaje del automóvil. Este vector vector desplazamiento resultante S S S se denomina desplazamiento resultante del automóvil. R 5 A 1 B. x (km) 220 0 ESTR ATEGI A Trace una gráfica y represente los vec- tores desplazamiento como flechas. De manera gráfica ubique el vector resultante a partir de la suma de los dos vectores desplazamiento. Mida su longitud y el ángulo respecto a la vertical. SOLUCIÓN S S Sea A el primer vector desplazamiento, 20.0 km al norte y B el segundo vector desplazamiento, que se extiende S al noroeste. S Con cuidado, traceS los dos vectores, trazando un vector resultante R con su base tocando la base de A y extendiéndose hacia la punta de B. Mida la longitud de este vector, que resulta ser casi 48 km. El ángulo b, medido con un transportador, es aproximadamente 39° al noroeste. COMENTAR IOS Observe que la aritmética ordinaria no funciona aquí: ¡la respuesta correcta de 48 km no es igual a 20.0 km 1 35.0 km 5 55.0 km! PREGUNTA 3.1 Suponga que se suman dos vectores. ¿En qué condiciones sería igual la suma de las magnitudes de los vectores a la magnitud del vector resultante? E JERCICIO 3.1 Determine de forma gráfica la magnitud y dirección del desplazamiento si una persona camina 30.0 km 45° al noreste y luego camina al este 20.0 km. RESPUESTA 46 km, 27° al noreste 60 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones y Ay tan u  Ax 3.2 Componentes de un vector OBJETIVOS DE APRENDIZAJE S A Ay 1. Representar vectores en términos de sus magnitudes y direcciones. u 2. Representar vectores en términos de sus componentes x y y. x O Ax 3. Realizar operaciones aritméticas con vectores usando sus componentes. S Figura 3.7 Cualquier vector A que Un método para sumar vectores se basa en las proyecciones de un vector a lo largo de los se encuentre en el plano xy se puede ejes de un sistema de coordenadas rectangular. Estas proyecciones se denominan com- representar mediante sus componen- ponentes. Cualquier vector se puede describir por completo mediante sus componentes. tes rectangulares Ax y A y. S Considere un vector S A en un sistema de coordenadas rectangular, como S se mues- tra en la figura S 3.7. A se puede expresar como la suma de dos vectores: A x paralelo , al eje x y Ay , paralelo al eje y. De forma matemática esto es, S S S A 5 Ax 1 A y S S S S Sugerencia 3.2 donde Ax y Ay son los vectores componentes S de A. La proyección S de A a lo largo del Componentes x y y eje x, Ax , se denomina componente x de A y la proyección de A a lo largo del eje y, A y, S La ecuación 3.2 para las compo- se denomina componente y de A. Estas componentes pueden ser números positivos nentes x y y de un vector asocia el o bien negativos con unidades. De las definiciones de seno y Scoseno, se observa que coseno con la componente x y el cos u 5 Ax /A y sen u 5 A y /A, por lo que las componentes de A son seno con la componente y, como en la figura 3.8a. Esta asociación Ax 5 A cos u [3.2a] se debe únicamente al hecho de que elegimos medir el ángulo u A y 5 A sen u [3.2b] respecto al eje x positivo. Si el ángulo se midiera respecto al Estas componentes forman dos lados de un triángulo rectángulo queStiene una hipote- eje y, como en la figura 3.8b, las componentes se darían como nusa con magnitud A. Se deduce que la magnitud y la dirección de A están relaciona- Ax 5 A sen u y A y 5 A cos u. das con sus componentes mediante el teorema pitagórico y la definición de la tangente: A 5 "A x2 1 A y2 [3.3] Ay tan u 5 [3.4] Ax Para despejar el ángulo u, que se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje x positivo por convención, se puede tomar la tangente inversa en los dos Sugerencia 3.3 Tangentes lados de la ecuación 3.4: inversas en las calculadoras: correctas la mitad de las Ay veces u 5 tan21 a b La función tangente inversa en Ax las calculadoras da un ángulo ¡Esta fórmula da la respuesta correcta para u solo la mitad de las veces! La función entre 290° y 190°. Si el vector se encuentra en el segundo tangente inversa solo resulta en valores de 290° a 190°, por lo tanto la respuesta en cuadrante o en el tercero, el la pantalla de su calculadora solo será correcta si el vector se encuentra en el primer ángulo, según su medición desde o cuarto cuadrantes. Si se encuentra en el segundo o tercer cuadrantes, sumar 180° el eje x positivo, será el ángulo al número en la pantalla de la calculadora siempre dará la respuesta correcta. El dado por la calculadora mas 180°. ángulo en las ecuaciones 3.2 y 3.4 se debe medir desde el eje x positivo. Es posible definir otras opciones de la línea de referencia, pero entonces deben hacerse ciertos ajustes (consulte la sugerencia 3.2 y la figura 3.8). y y Ax = A sen θ S Ay = A sen θ A Ay = A cos θ S θ A θ x x Figura 3.8 No siempre se necesita 0 A = A cos θ 0 x definir el ángulo u a partir del eje x positivo. a b  3.2 | Componentes de un vector 61 y′ y S S x′ A B x By ′ θ′ S Bx′ B O′ S Figura 3.10 (Cuestionarios rápi- Figura 3.9 Componentes del vector B en dos 3.2 y 3.3) un sistema de coordenadas inclinado. Si se elige un sistema de coordenadas diferente al que se muestra en la figura 3.7, las componentes del vector deben modificarse como corresponda. En muchas apli- caciones es más conveniente expresar las componentes de un vector en un sistema de coordenadas que tenga ejes que no sean horizontalS ni vertical, pero que aún sean perpendiculares entre sí. Suponga que un vector B forma un ángulo Su9 con el eje x9 como se define en la figura 3.9. Las componentes rectangulares de B a lo largo de los ejes de la figura están dados por Bx9 5 B cosSu9 y B y9 5 B sen u9, como en las ecua- ciones 3.2. Luego la magnitud y dirección de B se obtienen de expresiones equiva- lentes a las ecuaciones 3.3 y 3.4. Cuestionario rápido 3.2 En la figura 3.10 se muestran dos vectores queS seSencuentran S S en el plano xy. Determine los signos de las componentes x y y de A, B y A 1 B. 3.3 ¿Qué vector tiene un ángulo respecto al eje x positivo que está en el intervalo de la función tangente inversa? EJEMPLO 3.2 ¡Ya viene la ayuda! OB JET I VO Encontrar las componentes vectoriales, dada y una magnitud y dirección, y viceversa. x PROBLEMA a) Encuentre las componentes horizontal y 30.0 vertical del desplazamiento d 5 1.00 3 10 m de un super- 2 d héroe que vuela desde el techo de un edificio a lo largo del trayecto que se muestra en la figura 3.11a. b) Suponga ahora que el superhéroe vuela en la otra dirección a lo largo de un S vector desplazamiento B hasta la punta de un asta bandera donde las componentes del desplazamiento están dadas por a B x 5 225.0 m y B y 5 10.0 m. Determine la magnitud y direc- y ción del vector desplazamiento. ESTR ATEGI A a) El triángulo formado por el desplaza- Ax x miento y sus componentes se muestra en la figura 3.11b. 30.0 S Con trigonometría simple se obtienen las componentes rela- Ay A tivas al sistema de coordenadas xy estándar: Ax 5 A cos u y A y 5 A sen u (ecuaciones 3.2). Observe que u 5 230.0°, es negativa ya que está medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. b) Aplique las ecuaciones 3.3 Figura 3.11 (Ejemplo 3.2) b y 3.4 para encontrar la magnitud y dirección del vector. SOLUCIÓN S a) Encuentre las componentes vectoriales de A a partir de su magnitud y dirección. Ax 5 A cos u 5(1.00 3 102 m) cos (230.0°) 5 186.6 m Utilice las ecuaciones 3.2 para encontrar las componen- S A y 5 A sen u 5 (1.00 3 102 m) sen (230.0°) 5 250.0 m tes del vector desplazamiento A: (Continúa) 62 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones b) Encuentre la magnitud y la dirección del vector des- S plazamiento B a partir de sus componentes. B 5 "Bx2 1 By2 5 " 1 225.0 m 2 2 1 1 10.0 m 2 2 5 26.9 m S Calcule la magnitud de B a partir del teorema pitagórico: By u 5 tan21 a b 5 tan21 a b 5 221.88 S 10.0 Calcule la dirección de B usando la tangente inversa; recuerde Bx 225.0 sumar 180° a la respuesta en la pantalla de la calculadora, ya que el vector se encuentra en el segundo cuadrante: u 5 158° COMENTAR IOS En el inciso a), observe que cos (2u) 5 cos u; sin embargo, sen (2u) 5 2sen u. El signo negativo de A y refleja el hecho de que el desplazamiento en la dirección y es hacia abajo. PREGUNTA 3. 2 ¿Cuáles otras funciones, si es que las hay, se pueden usar para encontrar el ángulo en el inciso b)? E JERCICIO 3. 2 a) Suponga que el superhéroe hubiera volado 150 m a un ángulo de 120° respecto al eje x positivo. Encuentre las componentes del vector desplazamiento. b) Suponga ahora que el superhéroe hubiera volado con un despla- zamiento que tiene una componente x de 32.5 m y una componente y de 24.3 m. Determine la magnitud y la dirección del vector desplazamiento. RESPUESTAS a) Ax 5 275 m, A y 5 130 m; b) 40.6 m, 36.8° Suma algebraica de vectores El método gráfico para sumar vectores es valioso para comprender cómo se pueden manejar los vectores, pero la mayoría de las veces estos S se S suman S de forma alge- braica en términos de sus componentes. S Suponga que R 5 A 1 B. Entonces las com- ponentes del vector resultante R están dadas por R x 5 Ax 1 B x [3.5a] R y 5 Ay 1 B y [3.5b] Por lo tanto, las componentes x se suman solo a componentes S x y las y solo se suman a componentes y. La magnitud y la dirección de R pueden encontrarse después con las ecuaciones 3.3 y 3.4. La resta de dos vectores funciona de la misma manera ya que se trata de sumar el negativo de un vector a otro vector. Usted debe hacer un esquema al sumar o restar vectores, a fin de obtener una solución geométrica aproximada como verificación. EJEMPLO 3.3 Vaya de paseo OB JET I VO Sumar vectores de forma alge- braica y encontrar el vector resultante. N PROBLEMA Un excursionista inicia un viaje O E primero caminando 25.0 km 45.0° al sureste y (km) S y (km) desde su campamento base. En el segundo día 20 20 camina 40.0 km en una dirección de 60.0° al Torre S S noreste, punto en el cual descubre la torre de 10 R S 10 R R y = 16.9 km B un guardabosque. a) Determine las compo- u 0 x (km) 0 x (km) nentes de los desplazamientos del excursio- Campamento O 10 20 30 40 45.08 20 30 40 nista en el primer y el segundo días. b) Deter- base R x = 37.7 km 210 S 10 mine las componentes del desplazamiento A 60.08 total del excursionista para el viaje. c) Encuen- 220 20 tre la magnitud y la dirección del desplaza- miento desde el campamento base. a b ESTR ATEGI A Este problema solo es una Figura 3.12 (Ejemplo 3.3) a) Trayectoria del excursionista y vector resul- aplicación de la suma vectorial usando com- tante. b) Componentes del desplazamiento total del excursionista desde el campamento base. ponentes, ecuaciones 3.5. Los vectores des- plazamiento en el primer y el segundo días se S S denotan con A y B, respectivamente. Usando el  3.3 | Desplazamiento, velocidad y aceleración en dos dimensiones 63 campamento base como el origen de las coordenadas, se obtienen los vectores que se muestran en la figura 3.12a. Después de determinar las componentes x y y de cada vector, se suman “las componentes respectivas”. Por último, se determinan la S magnitud y la dirección del vector resultante R, usando el teorema pitagórico y la función tangente inversa. SOLUCIÓN S a) Encuentre las componentes de A. S Use las ecuaciones 3.2 para encontrar las componentes de A: A x 5 A cos (245.0°) 5 (25.0 km)(0.707) 5 17.7 km A y 5 A sen (245.0°) 5 2(25.0 km)(0.707) 5 217.7 km S Encuentre las componentes de B: B x 5 B cos 60.0° 5 (40.0 km)(0.500) 5 20.0 km B y 5 B sen 60.0° 5 (40.0 km)(0.866) 5 34.6 km b) Encuentre las componentes del vector resultante, S S S R 5 A 1 B. S S Para encontrar R x sume las componentes x de A y B: R x 5 Ax 1 Bx 5 17.7 km 1 20.0 km 5 37.7 km S S Para encontrar R y sume las componentes y de A y B: R y 5 A y 1 B y 5 217.7 km 1 34.6 km 5 16.9 km S c) Encuentre la magnitud y la dirección de R. Use el teorema pitagórico para obtener la magnitud: R 5 "R x2 1 R y2 5 " 1 37.7 km 2 2 1 1 16.9 km 2 2 5 41.3 km u 5 tan21 a b5 S 16.9 km Calcule la dirección de R usando la función tangente 24.1° 37.7 km inversa: S COMENTAR IOS La figura 3.12b muestra un esquema de los componentes de R y sus direcciones en el espacio. La magni- tud y la dirección de la resultante también se pueden determinar de un esquema como ese. PREGUNTA 3. 3 Un segundo excursionista sigue la misma trayectoria el primer día, pero luego camina 15.0 km hacia el este en el segundo día antes de regresar y llegar a la torre del guardabosque. ¿Es igual el vector desplazamiento resultante del segundo excursionista que el del primero o diferente? E JERCICIO 3. 3 Un barco de pasajeros sale de puerto y viaja 50.0 km 45° al noroeste luego 70.0 km a un rumbo de 30.0° al noreste. Encuentre a) las componentes del vector desplazamiento del barco y b) la magnitud y la dirección del vector desplazamiento. RESPUESTAS a) R x 5 25.3 km, R y 5 70.4 km; b) 74.8 km, 70.2° al noreste 3.3 Desplazamiento, velocidad y aceleración en dos dimensiones El desplazamiento del y S OBJETIVOS DE APRENDIZAJE objeto es el vector Dr. 1. Definir los vectores desplazamiento en dos dimensiones. 2. Definir los vectores velocidad promedio e instantánea en dos dimensiones.  DSr ti tf 3. Definir los vectores aceleración promedio e instantánea en dos dimensiones. S ri Trayectoria S En el movimiento en una dimensión, como se analizó en el capítulo 2, la dirección rf del objeto de una cantidad vectorial como la velocidad o la aceleración se puede tomar en x O cuenta especificando si la cantidad es positiva o negativa. La velocidad de un cohete, por ejemplo, es positiva si el cohete va hacia arriba y negativa si va hacia abajo. Esta Figura 3.13 Un objeto se mueve solución simple ya no está disponible en dos o tres dimensiones, por lo que se debe a lo largo de alguna trayectoria usar por completo el concepto de vector. curva entre los puntos  y. El S Considere un objeto que se mueve por el espacio como se muestra en la figura 3.13. vector desplazamiento Dr es la Cuando el objeto está en un punto  en el tiempo ti , su posición se describe por el diferencia en los vectores posición S vector posición r i, trazado desde el origen hasta . Cuando el objeto se ha movido a DrS 5 Sr f 2 Sr i. 64 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones algún otro punto en el tiempo tf , su vector posición es Sr f. Del diagrama vectorial en la figura 3.13, el vector posición final es la suma del vector posición inicial y el S S S S desplazamiento Dr : r f 5 r i 1 Dr. A partir de esta relación, se obtiene la siguiente: El desplazamiento de un objeto se define como el cambio en su vector posición, o DrS ; Sr f 2 Sr i [3.6] Unidad SI: metro (m) Ahora se presentan varias generalizaciones de las definiciones de velocidad y ace- leración dadas en el capítulo 2. Velocidad promedio c La velocidad promedio de un objeto durante un intervalo de tiempo Dt es su desplazamiento dividido entre Dt: S DrS v prom ; [3.7] Dt Unidad SI: metros por segundo (m/s) Dado que el desplazamiento es una cantidad vectorial y el intervalo de tiempo es una cantidad escalar, se concluye que la velocidad promedio es una cantidad vecto- rial dirigida a lo largo de DrS. Velocidad instantánea c La velocidad instantánea de un objeto S v es el límite de su velocidad promedio cuando Dt tiende a cero: S DrS v ; lím [3.8] Dt S 0 Dt Unidad SI: metros por segundo (m/s) La dirección del vector velocidad instantánea se presenta a lo largo de una recta que es tangente a la trayectoria del objeto y en la dirección de su movimiento. Aceleración promedio c La aceleración promedio de un objeto durante un intervalo de tiempo Dt es el S cambio en su velocidad Dv dividida entre Dt, o S S Dv a prom ; [3.9] Dt Unidad SI: metros por segundo al cuadrado (m/s2) Aceleración instantánea c El vector aceleración instantánea de un objeto S a es el límite de su vector acele- ración promedio cuando Dt tiende a cero: S S Dv a ; lím [3.10] Dt S 0 Dt Unidad SI: metros por segundo al cuadrado (m/s2) Es importante reconocer que un objeto puede acelerar de varias formas. Pri- mero, la magnitud del vector velocidad (la rapidez) puede cambiar con el tiempo. Segundo, la dirección del vector velocidad tambien puede cambiar con el tiempo aun- que la rapidez sea constante, como puede pasar en una trayectoria curva. Tercero, tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad pueden cambiar al mismo tiempo.  3.4 | Movimiento en dos dimensiones 65 Cuestionario rápido 3.4 ¿Cuál de los objetos siguientes no puede estar acelerando? a) un objeto que se mueve con rapidez constante; b) un objeto que se mueve con velocidad constante; c) un objeto que se mueve a lo largo de una curva. 3.5 Considere los controles siguientes en un automóvil: pedal del acelerador, freno, volante de dirección. Los controles en esta lista que pueden causar una aceleración del automóvil son a) los tres controles, b) el pedal del acelerador y el freno, c) solo el freno o d) solo el pedal del acelerador. 3.4 Movimiento en dos dimensiones OBJETIVOS DE APRENDIZAJE 1. Describir el movimiento de un proyectil en dos dimensiones de forma gráfica. 2. Aplicar las ecuaciones cinemáticas bidimensionales al movimiento con acelera- ción constante cerca de la superficie de la Tierra. En el capítulo 2 estudiamos los objetos que se mueven a lo largo de trayectorias en línea recta, como el eje x. En este capítulo analizamos objetos que se mueven en las dos direc- ciones x y y de forma simultánea en aceleración constante. Un caso especial importante de este movimiento bidimensional se denomina movimiento de proyectiles. b Movimiento de proyectiles Quién haya lanzado cualquier clase de objeto al aire ha observado el movimiento de un proyectil. Si se ignoran los efectos de la resistencia del aire y de la rotación de la Tierra, la trayectoria de un proyectil en el campo gravitacional de la Tierra tendrá la forma de una parábola, como se muestra en la figura 3.14. La dirección x positiva es horizontal y hacia la derecha, y la dirección y es verti- cal y positiva hacia arriba. El hecho experimental más La componente y de la importante acerca del movimiento de proyectiles en velocidad es cero en el dos dimensiones es que los movimientos horizontal y y pico de la trayectoria. vertical son completamente independientes entre sí. S La componente x de Esto significa que el movimiento en una dirección no S vy 5 0 v g v 0x la velocidad tiene efecto en el movimiento en la otra dirección. vy permanece constante v0x Si una pelota de béisbol se lanza en una trayectoria S u con el tiempo. v0 parabólica, como en la figura 3.14, el movimiento en v0x u v0y vy S v la dirección y parecerá justo como el de una pelota que se ha lanzado directamente hacia arriba bajo la u0 v0x influencia de la gravedad. En la figura 3.15 se mues- x v0x u0 tra el efecto de varios ángulos iniciales; observe que los ángulos complementarios tienen el mismo alcance S v0y v horizontal. La figura 3.16 es un experimento que ilustra la Figura 3.14 Trayectoria parabólica de una partícula que sale del origen con una independencia del movimiento horizontal y verti- S velocidad de S v 0. Observe que v cambia con el tiempo. Sin embargo, la cal. La pistola se apunta directamente a la pelota de componente x de la velocidad, vx , permanece constante con el tiempo, blanco y se dispara en el instante en que se libera. Sin igual a su velocidad inicial, v 0x. Además, vy 5 0 en el pico de la trayecto- gravedad, el proyectil daría en el blanco ya que este ria, pero la aceleración siempre es igual a la aceleración en caída libre y no se movería. Sin embargo, el proyectil aún pega en actúa verticalmente hacia abajo. y (m) Figura 3.15 150 Proyectil que se lanza desde el ori- vi 50 m/s Los valores gen con una rapidez inicial de 758 complementarios del 50 m/s en varios ángulos de 100 ángulo inicial u proyección. 608 resultan en el mismo 458 valor del alcance R. 50 308 158 x (m) 50 100 150 200 250 66 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones La velocidad del proyectil (flechas color rojo) cambia en dirección y magnitud, pero su aceleración (flechas y color púrpura) permanece constante. Cañón S Blanco v0 Línea de visión. Charles D. Winters/Cengage Learning Punto de 0 choque x Figura 3.16 Una pelota se dispara hacia un blanco Figura 3.17 Fotografía multiflash de la demostración del proyectil-blanco. en el mismo instante en que este se libera. Los dos Si el cañón se apunta directamente hacia el blanco y se dispara en el mismo caen verticalmente a la misma razón y chocan. instante en que el blanco comienza a caer, el proyectil dará en el blanco. el blanco con la gravedad presente. Esto significa que el proyectil cae con el mismo desplazamiento vertical que el blanco a pesar del movimiento horizontal. El expe- rimento también funciona cuando se establece, como en la figura 3.17, que la velo- cidad inicial tiene una componente vertical. En general, las ecuaciones de aceleración constante desarrolladas en el capítulo 2 se Sugerencia 3.4 Aceleración en el punto más alto deducen por separado tanto para la dirección x como para la dirección y. Una dife- La aceleración en la dirección y no rencia importante es que la velocidad inicial ahora tiene dos componentes, no solo es cero en la parte superior de la una como en ese capítulo. Suponemos que en t 5 0 el proyectil sale del origen con trayectoria de un proyectil. Solo una velocidad inicial S v 0. Si el vector velocidad forma un ángulo u0 con la horizontal, la componente y de la velocidad donde u0 se denomina ángulo de lanzamiento, entonces de las definiciones de las fun- es cero allí. Si la aceleración fuera ciones seno y coseno y de la figura 3.14 tenemos cero, también, ¡el proyectil nunca descendería! v 0x 5 v 0 cos u0 y v 0y 5 v 0 sen u0 donde v 0x es la velocidad inicial (en t 5 0) en la dirección x y v 0y es la velocidad ini- cial en la dirección y. Ahora, las ecuaciones 2.6, 2.9 y 2.10 desarrolladas en el capítulo 2 para el movimiento con aceleración constante en una dirección se transfieren al caso bidimensional; hay un conjunto de tres ecuaciones para cada dirección, con las velocidades iniciales modifica- das como apenas se analizó. En la dirección x, con ax constante, se tiene vx 5 v 0x 1 axt [3.11a] Dx 5 v 0x t 1 12a x t 2 [3.11b] vx2 5 v 0x2 1 2ax Dx [3.11c] donde v 0x 5 v 0 cos u0. En la dirección y, se tiene vy 5 v 0y 1 ayt [3.12a] Dy 5 v 0y t 1 12a y t 2 [3.12b] vy2 5 v 0y2 1 2a y Dy [3.12c] donde v 0y 5 v 0 sen u0 y ay es constante. La rapidez del objeto v se puede calcular a partir de las componentes de la velocidad usando el teorema pitagórico: v 5 "v x 2 1 v y 2 El ángulo que el vector velocidad forma con el eje x está dado por vy u 5 tan21 a b vx  3.4 | Movimiento en dos dimensiones 67 Esta fórmula para u, como se explicó antes, se debe usar con cuidado, dado que la función tangente inversa proporciona valores solo entre 290° y 190°. Es necesario sumar 180° para los vectores que se encuentren en el segundo y el tercer cuadrantes. Las ecuaciones cinemáticas se adaptan y simplifican con facilidad para proyecti- les cerca de la superficie de la Tierra. En este caso, suponiendo que la fricción del aire es despreciable, la aceleración en la dirección x es 0 (ya que se ignoró la resis- tencia del aire). Esto significa que ax 5 0 y que la componente de la velocidad del proyectil a lo largo de la dirección x permanece constante. Si el valor inicial de la componente de la velocidad en la dirección x es v 0x 5 v 0 cos u0, entonces este tam- bién es el valor de v en cualquier tiempo posterior, por lo tanto vx 5 v 0x 5 v 0 cos u0 5 constante [3.13a] en tanto que el desplazamiento horizontal es simplemente Dx 5 v 0xt 5 (v 0 cos u0)t [3.13b] Para el movimiento en la dirección y, hacemos las sustituciones a y 5 2g y v 0y 5 v 0 sen u0 en las ecuaciones 3.12, lo que da vy 5 v 0 sen u0 2 gt [3.14a] Dy 5 1 v0 sen u 0 2 t 2 12g t 2 [3.14b] vy2 5 (v 0 sen u0)2 2 2g Dy [3.14c] Los hechos importantes del movimiento de proyectiles se pueden resumir así: 1. Si la resistencia del aire es despreciable, la componente horizontal de la velocidad vx permanece constante dado que no hay componente horizontal de la aceleración. 2. La componente vertical de la aceleración es igual a la aceleración en caída libre 2g. 3. La componente vertical de la velocidad vy y el desplazamiento en la dirección y son idénticos a los de un cuerpo en caída libre. 4. El movimiento de proyectiles se puede describir como una superposición de dos movimientos independientes en las direcciones x y y. EJEMPLO 3.4 Movimiento de proyectiles con diagramas OB JET I VO Aproximar respuestas en el movimiento de pro- S v yectiles empleando un diagrama de movimiento. S PROBLEMA Una pelota se lanza de manera que sus compo- a nentes iniciales vertical y horizontal de la velocidad son 40 m/s y 20 m/s, respectivamente. Utilice un diagrama de movimiento para estimar el tiempo total de vuelo de la pelota y la distancia que viaja antes de golpear el suelo. ESTR ATEGI A Use el diagrama, tomando la aceleración de la gravedad como 210 m/s2. Por simetría, la pelota sube y baja al suelo con la misma velocidad y que cuando salió, excepto que con signo opuesto. Con este hecho y tomando en cuenta que la aceleración de la gravedad disminuye la velocidad en la direc- ción y en 10 m/s cada segundo, podemos encontrar el tiempo Figura 3.18 (Ejemplo 3.4) Diagrama de movimiento para un total de vuelo y luego el alcance horizontal. proyectil. SOLUCIÓN En el diagrama de movimiento en la figura 3.18, todos los vectores aceleración son iguales, apuntando hacia abajo con magnitud de casi 10 m/s2. Por simetría, sabemos que la pelota golpeará el suelo con la misma velocidad en la dirección y que cuando se lanzó; por lo tanto, la velocidad en la dirección y va de 40 m/s a 240 m/s en pasos de 210 m/s cada segundo; de aquí, transcurren aproximadamente 8 segundos durante el movimiento. (Continúa) 68 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones El vector velocidad cambia de manera constante de dirección, pero la velocidad horizontal nunca cambia dado que la aceleración en la dirección horizontal es cero. Por lo tanto, el desplazamiento de la pelota en la dirección x está dado por la ecuación 3.13b, Dx < v 0xt 5 (20 m/s)(8 s) 5 160 m. COMENTAR IOS Este ejemplo enfatiza la independencia de las componentes x y y en los problemas de movimiento de proyectiles. PREGUNTA 3.4 ¿La magnitud del vector velocidad en el instante del impacto es mayor que, menor que o igual que la magnitud del vector velocidad inicial? ¿Por qué? E JERCICIO 3.4 Determine la altura máxima en este mismo problema. RESPUESTA 80 m Cuestionario rápido 3.6 Suponga que usted lleva una pelota y corre con rapidez constante; desea lanzar la pelota y atraparla cuando baje. Ignorando la resistencia del aire, usted debe a) ¿lanzar la pelota con un ángulo de aproximadamente 45° por encima de la horizontal y mantener la misma rapidez, b) lanzar la pelota directamente hacia arriba en el aire y mantener la misma rapidez? 3.7 Conforme un proyectil se mueve en su trayectoria parabólica, los vectores veloci- dad y aceleración son perpendiculares entre sí a) ¿en todas partes a lo largo de la tra- yectoria del proyectil, b) en el pico de su trayectoria, c) en ninguna parte a lo largo de su trayectoria o d) no se da información suficiente? ESTRATEGI A PARA RESOLVER PROBLEMAS Movimiento de proyectiles 1. Seleccione un sistema de coordenadas y bosqueje la trayectoria del proyectil, incluyendo sus posiciones, velocidades y aceleraciones inicial y final. 2. Descomponga el vector velocidad inicial en componentes x y y. 3. Trate el movimiento horizontal y el vertical de manera independiente. 4. Siga las técnicas para resolver problemas con velocidad constante para analizar el movimiento horizontal de un proyectil. 5. Siga las técnicas para resolver problemas con aceleración constante para analizar el movimiento vertical de un proyectil. EJEMPLO 3.5 Exploradores varados OB JET I VO Resolver un problema de movimiento de un proyectil en dos dimensiones en y el que un objeto tiene una velocidad horizontal inicial. 40.0 m/s x PROBLEMA Un avión de rescate en Alaska deja caer un paquete de raciones de emer- gencia para unos excursionistas varados, como se muestra en la figura 3.19. El avión viaja horizontalmente a 40.0 m/s a una altura de 1.00 3 102 m por encima del suelo. Ignore la resistencia del aire. a) ¿Dónde golpea el suelo el paquete respecto a su punto de liberación? 100 m b) ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad del paquete justo antes de que golpee el suelo? c) Encuentre el ángulo del impacto. ESTR ATEGI A En este caso simplemente tomamos las ecuaciones 3.13 y 3.14, introdu- ciendo las cantidades conocidas y despejando las cantidades desconocidas restantes. Haga un esquema del problema usando un sistema de coordenadas como en la figura 3.19. En el Figura 3.19 (Ejemplo 3.5) inciso a) establezca la componente y de las ecuaciones del desplazamiento igual a 21.00 3 Desde el punto de vista de un 102 m, el nivel del suelo donde cae el paquete, y resuelva para el tiempo que toma al paquete observador en el suelo, un llegar al suelo. Sustituya este tiempo en la ecuación del desplazamiento para la componente paquete liberado del avión de x a fin de encontrar el alcance. En el inciso b), sustituya el tiempo encontrado en el inciso b) rescate viaja por la trayectoria en las componentes de la velocidad. Observe que la velocidad inicial solo tiene una compo- que se muestra. nente x, lo que simplifica las operaciones matemáticas. La solución del inciso c) requiere la función tangente inversa.  3.4 | Movimiento en dos dimensiones 69 SOLUCIÓN a) Encuentre el alcance del paquete. Use la ecuación 3.14b para determinar el desplazamiento y: Dy 5 y 2 y0 5 v0y t 2 12g t 2 Sustituya y 0 5 0 y v 0y 5 0 y establezca y 5 21.00 3 102 m, y 5 2(4.90 m/s2)t 2 5 21.00 3 102 m la posición vertical final del paquete respecto al avión. t 5 4.52 s Resuelva para el tiempo: Use la ecuación 3.13b para encontrar el desplazamiento x: Dx 5 x 2 x 0 5 v 0x t Sustituya x 0 5 0, v 0x 5 40.0 m/s y el tiempo: x 5 (40.0 m/s)(4.52 s)5 181 m b) Encuentre las componentes de la velocidad del paquete en el instante del impacto: Encuentre la componente x de la velocidad en el tiempo vx 5 v 0 cos u 5 (40.0 m/s) cos 0° 5 40.0 m/s del impacto: Encuentre la componente y de la velocidad en el tiempo vy 5 v 0 sen u 2 gt 5 0 2 (9.80 m/s2) (4.52 s) 5 244.3 m/s del impacto: c) Determine el ángulo de impacto. vy 244.3 m/s Escriba la ecuación 3.4 y sustituya los valores: tan u 5 5 5 21.11 vx 40.0 m/s Aplique las funciones tangente inversa en los dos lados: u 5 tan21 (21.11) 5 248.0° COMENTARIOS Observe cómo el movimiento en la dirección x y el movimiento en la dirección y se manejan por separado. PREGUNTA 3. 5 Ignorando los efectos de la resistencia del aire, ¿qué trayectoria recorre el paquete según el punto de vista del piloto? Explique. E JERCICIO 3. 5 Un cantinero desliza un tarro con cerveza a 1.50 m/s hacia un cliente que está al final de una barra sin fricción cuya altura es de 1.20 m. El cliente hace el intento de atrapar el tarro y no lo logra, y el tarro sale del extremo de la barra. a) ¿Qué tan lejos del extremo de la barra el tarro golpea el suelo? b) ¿Cuál es la rapidez y la dirección del tarro en el instante del impacto? RESPUESTAS a) 0.742 m; b) 5.08 m/s, u 5 272.8° EJEMPLO 3.6 El salto de longitud OB JET I VO Resolver un problema de movimiento de un proyectil en dos dimensiones que comprende un objeto que inicia y termina a la misma altura. PROBLEMA Un saltador de lon- gitud (figura 3.20) deja el suelo con un ángulo de 20.0° respecto a technotr/iStockphoto.com la horizontal y a una velocidad de 11.0 m/s. a) ¿Cuánto tiempo le toma alcanzar su altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima? c) ¿Cuánto salta? (Suponga que su movimiento es equivalente al de una partícula, Figura 3.20 (Ejemplo 3.6) Esta toma de exposición múltiple de un saltador de longitud muestra ignorando el movimiento de sus que en realidad su movimiento no es el equivalente del movimiento de una partícula. El centro de brazos y piernas.) d) Utilice la ecua- masa del saltador forma una parábola, pero para extender la longitud del salto antes del impacto ción 3.14c para encontrar la altura sube los pies de manera que golpea el suelo más tarde de lo que hubiera sido de otra manera. máxima que alcanza. (Continúa) 70 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones ESTR ATEGI A Una vez más, se toman las ecuaciones para proyectiles, se introducen las cantidades conocidas y se despe- jan las incógnitas. A la altura máxima, la velocidad en la dirección y es cero, por lo que al establecer la ecuación 3.14a igual a cero y resolver resulta el tiempo que le toma alcanzar su altura máxima. Por simetría, dado que su trayectoria inicia y termina a la misma altura, al duplicar este tiempo se obtiene el tiempo total del salto. SOLUCIÓN a) Encuentre el tiempo tmáx que toma alcanzar la altura máxima. Establezca vy 5 0 en la ecuación 3.14 y despeje y resuelva para tmáx: vy 5 v 0 sen u0 2 gt máx 5 0 v0 sen u 0 1) t máx 5 g 1 11.0 m/s2 1 sen 20.08 2 5 5 0.384 s 9.80 m/s2 b) Encuentre la altura máxima que alcanza. Sustituya el tiempo tmáx en la ecuación para el desplazamiento y, y máx 5 (v 0 sen u0)tmáx 2 12g (tmáx)2 ecuación 3.14b: y máx 5 (11.0 m/s)(sen 20.0°)(0.384 s) 2 12 1 9.80 m/s2 2 1 0.384 s 2 2 y máx 5 0.722 m c) Encuentre la distancia horizontal que salta. Primero encuentre el tiempo del salto, el cual es el doble de tmáx: t 5 2tmáx 5 2(0.384 s) 5 0.768 s Sustituya este resultado en la ecuación para el desplaza- 2) Dx 5 (v 0 cos u0)t miento x: 5 (11.0 m/s)(cos 20.0°)(0.768 s) 5 7.94 m d) Use un método alterno para determinar la altura máxima. Use la ecuación 3.14c, despejando Dy: vy2 2 v 0y2 5 22g Dy v y 2 2 v 0y 2 Dy 5 22g 0 2 3 1 11.0 m/s 2 sen 20.08 4 2 Sustituya vy 5 0 a altura máxima, y el hecho de que Dy 5 5 0.722 m v 0y 5 (11.0 m/s) sen 20.0°: 22 1 9.80 m/s2 2 COMENTAR IOS Si bien modelar el movimiento del saltador de longitud como el de un proyectil es una simplificación exagerada, los valores obtenidos son razonables. PREGUNTA 3.6 Cierto o falso: dado que la componente x del desplazamiento no depende de forma explícita de g, la dis- tancia recorrida no depende de la aceleración de la gravedad. E JERCICIO 3.6 Un saltamontes salta una distancia horizontal de 1.00 m desde el reposo, con una velocidad inicial a un ángulo de 45.0° respecto a la horizontal. Encuentre a) la rapidez inicial del saltamontes y b) la altura máxima alcanzada. RESPUESTAS a) 3.13 m/s; b) 0.250 m EJEMPLO 3.7 La ecuación del alcance OB JET I VO Encontrar una ecuación para el desplazamiento máximo horizontal de un proyectil disparado desde el nivel del suelo. PROBLEMA Un atleta participa en una competencia de salto de longitud, saltando en el aire con una velocidad v 0 a un ángulo u0 con la horizontal. Obtenga una expresión para la longitud del salto en términos de v 0, u0 y g. ESTR ATEGI A Utilice los resultados del ejemplo 3.6, eliminado el tiempo t de las ecuaciones 1) y 2).  3.4 | Movimiento en dos dimensiones 71 SOLUCIÓN 2v0 sen u 0 Use la ecuación 1) del ejemplo 3.6 para encontrar el t 5 2tmáx 5 g tiempo de vuelo, t: 2v0 sen u 0 Sustituya esa expresión para t en la ecuación 2) del Dx 5 1 v0 cos u 0 2 t 5 1 v0 cos u 0 2 a b g ejemplo 3.6: 2v02 cos u 0 sen u 0 Simplifique: Dx 5 g v 0 2 sen 2u 0 Sustituya la identidad 2 cos u0 sen u0 5 sen 2u0 para 1) Dx 5 g reducir la expresión anterior a una simple función trigonométrica. COMENTAR IOS El uso de una identidad trigonométrica en el paso final no es necesario, pero facilita responder la pre- gunta 3.7. PREGUNTA 3.7 ¿Qué ángulo u0 produce el salto más largo? E JERCICIO 3.7 Obtenga una expresión para el desplazamiento máximo del atleta en la dirección vertical Dy máx en tér- minos de v 0, u0 y g. v02 sen2 u 0 RESPUESTA Dy máx 5 2g EJEMPLO 3.8 Este sí que es un brazo fuerte OB JET I VO Resuelva un problema cinemático bidimensional con una veloci- y v0  20.0 m/s dad inicial no horizontal, iniciando y terminando con alturas diferentes. (0, 0) 30.0 x PROBLEMA Una pelota se lanza hacia arriba desde el techo de un edificio con un ángulo de 30.0° por encima de la horizontal y con una rapidez inicial de 20.0 m/s, como en la figura 3.21. El punto de lanzamiento es 45.0 m arriba del suelo. a) ¿Cuánto tiempo toma a la pelota golpear el suelo? b) Encuentre la rapidez de la pelota en el instante del impacto. c) Determine el alcance hori- 45.0 m zontal de la pelota. Ignore la resistencia del aire. ESTR ATEGI A Elija las coordenadas como en la figura, con el origen en el punto de liberación. a) Introduzca las constantes de la ecuación 3.14b para el desplazamiento y y establezca el desplazamiento igual que 245.0 m, el des- (x, – 45.0 m) plazamiento y cuando la pelota golpea el suelo. Utilizando la fórmula cuadrá- x tica calcule el tiempo. Para resolver el inciso b), sustituya el tiempo del inciso a) en las componentes de la velocidad y sustituya el mismo tiempo en la ecuación Figura 3.21 (Ejemplo 3.8) para el desplazamiento x para resolver el inciso c). SOLUCIÓN a) Encuentre el tiempo de vuelo de la pelota. Determine las componentes iniciales x y y de la velocidad: v 0x 5 v 0 cos u0 5 (20.0 m/s)(cos 30.0°) 5 117.3 m/s v 0y 5 v 0 sen u0 5 (20.0 m/s)(sen 30.0°) 5 110.0 m/s Encuentre el desplazamiento y, tomando y 0 5 0, Dy 5 y 2 y0 5 v 0y t 2 12g t 2 y 5 245.0 m y v 0y 5 10.0 m/s: 245.0 m 5 (10.0 m/s)t 2 (4.90 m/s2)t 2 Reorganice la ecuación en forma estándar y utilice la t 5 4.22 s fórmula cuadrática (consulte el apéndice A), para encontrar la raíz positiva: b) Encuentre la rapidez de la pelota en el instante del impacto. Sustituya el valor de t encontrado en el inciso a) en la ecuación vy 5 v 0y 2 gt 5 10.0 m/s 2 (9.80 m/s2)(4.22 s) 3.14a para determinar la componente y de la velocidad en el ins- 5 231.4 m/s tante del impacto: (Continúa) 72 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones Use este valor de vy, el teorema pitagórico y el hecho de v 5 "v x 2 1 v y 2 5 " 1 17.3 m/s 2 2 1 1 231.4 m/s 2 2 que vx 5 v 0x 5 17.3 m/s para encontrar la rapidez de la 5 35.9 m/s pelota en el instante del impacto: c) Encuentre el alcance horizontal de la pelota. Sustituya el tiempo de vuelo en la ecuación del alcance: Dx 5 x 2 x 0 5 (v 0 cos u)t 5 (20.0 m/s)(cos 30.0°)(4.22 s) 5 73.1 m COMENTAR IOS El ángulo con el que se lanza la pelota afecta el vector velocidad en todo su movimiento subsiguiente, pero no afecta la rapidez a una altura dada. Esto es una consecuencia de la conservación de la energía, la cual se describe en el capítulo 5. PREGUNTA 3.8 Cierto o falso: con todos los datos iguales que antes, si la pelota se lanza a la mitad de la rapidez dada, viajará la mitad de la distancia. E JERCICIO 3.8 Suponga que la pelota se lanza desde la misma altura como en el ejemplo a un ángulo de 30.0° debajo de la horizontal. Si la pelota golpea el suelo a una distancia de 57.0 m, encuentre a) el tiempo de vuelo, b) la rapidez inicial y c) la rapidez y el ángulo del vector velocidad respecto a la horizontal en el instante del impacto. (Sugerencia: en el inciso a) utilice la ecuación para el desplazamiento x a fin de eliminar v 0t de la ecuación para el desplazamiento y). RESPUESTAS a) 1.57 s; b) 41.9 m/s; c) 51.3 m/s, 245.0° Aceleración constante bidimensional Hasta este punto únicamente hemos estudiado problemas en los que un objeto con una velocidad inicial sigue una trayectoria determinada solo por la aceleración de la gravedad. En el caso más general, otros agentes, como la resistencia al avance del aire, la fricción superficial o los motores, pueden causar aceleraciones. Estas acele- raciones, tomadas en conjunto, forman una cantidad vectorial con componentes ax y a y. Cuando las dos componentes son constantes, se pueden utilizar las ecuaciones 3.11 y 3.12 para estudiar el movimiento, como en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 3.9 El cohete OB JET I VO Resolver un problema que comprende aceleraciones en dos direcciones. v0x = 1.00  102 m/s PROBLEMA Un avión a reacción que viaja de manera horizontal a 1.00 3 10 m/s deja 2 caer un cohete desde una altura considerable (consulte la figura 3.22). El cohete de inmediato enciende sus motores, acelerando a 20.0 m/s2 en la dirección x mientras cae bajo la influencia de la gravedad en la dirección y. Cuando el cohete haya caído 1.00 km, y  1.00  103 m encuentre a) su velocidad en la dirección y, b) su velocidad en la dirección x y c) la mag- nitud y dirección de su velocidad. Ignore la resistencia del aire al avance y la sustenta- ción aerodinámica. ESTR ATEGI A Debido a que el cohete mantiene una orientación horizontal (digamos, Figura 3.22 (Ejemplo 3.9) h través de los giroscopios), las componentes x y y de la aceleración son independientes una de otra. Use la ecuación independiente del tiempo para la velocidad en la dirección y para encontrar la componente y de la velocidad después de que el cohete cae 1.00 km. Luego calcule el tiempo de la caída y use ese tiempo para encontrar la velocidad en la dirección x. SOLUCIÓN a) Encuentre la velocidad en la dirección y. Use la ecuación 3.14c: vy2 5 v 0y2 2 2g Dy Sustituya v 0y 5 0, g 5 29.80 m/s2 y vy2 2 0 5 2(29.8 m/s2)(21.00 3 103 m) Dy 5 21.00 3 103 m y resuelva para vy : vy 5 21.40 3 102 m/s b) Encuentre la velocidad en la dirección x. Encuentre el tiempo que toma al cohete caer 1.00 3 103 m vy 5 v 0y 1 ay t utilizando la componente y de la velocidad: 21.40 3 10 m/s 5 0 2 1 9.80 m/s 2 2 t 2 S t 5 14.3 s  3.5 | Velocidad relativa 73 Sustituya t, v 0x y ax en la ecuación 3.11a para encontrar la vx 5 v 0x 1 axt 5 1.00 3 102 m/s 1 (20.0 m/s2)(14.3 s) velocidad en la dirección x: 5 386 m/s c) Encuentre la magnitud y la dirección de la velocidad. Encuentre la magnitud usando el teorema pitagórico y v 5 "v x 2 1 v y 2 5 " 1 21.40 3 102 m/s 2 2 1 1 386 m/s 2 2 los resultados de los incisos a) y b): 5 411 m/s vy 21.40 3 102 m/s Use la función tangente inversa para encontrar el ángulo: u 5 tan21 a b 5 tan21 a b 5 219.9° vx 386 m/s COMENTAR IOS Observe la similitud: las ecuaciones cinemáticas para las direcciones x y y se manejan exactamente de la misma manera. Tener una aceleración diferente de cero en la dirección x no aumenta de manera significativa la dificultad del problema. PREGUNTA 3.9 Cierto o falso: Ignorando la fricción del aire y los efectos de la sustentación, un proyectil con una acelera- ción horizontal siempre permanece en el aire más tiempo que uno en caída libre. E JERCICIO 3.9 Suponga que una motocicleta propulsada por un cohete se lanza partiendo del reposo a través de un cañón de 1.00 km de ancho. a) ¿Qué aceleración constante mínima en la dirección x debe proporcionar el cohete de manera que la motocicleta cruce con seguridad al lado opuesto del cañón, si este se encuentra 0.750 km más abajo que el punto de partida? b) ¿A qué rapidez aterriza la motocicleta si mantiene esta componente horizontal constante de la acele- ración? Ignore la resistencia al avance del aire, pero recuerde que la gravedad aún actúa en la dirección y negativa. RESPUESTAS a) 13.1 m/s2; b) 202 m/s En una maniobra de riesgo similar a la descrita en el ejercicio 3.9, el atrevido motociclista Evel Knievel intentó saltar por el Hells Canyon, parte del sistema Snake River, en Idaho, en su “Motocicleta aérea” Harley-Davidson X-2 impulsada por un cohete. Perdió la conciencia en el despegue y liberó una palanca, que desplegó de manera prematura su paracaídas, y cayó antes de llegar al otro lado. Sin embargo, aterrizó sano y salvo en el cañón. 3.5 Velocidad relativa OBJETIVOS DE APRENDIZAJE 1. Deducir la ecuación de la velocidad relativa. 2. Resolver problemas que comprendan la velocidad relativa. La velocidad relativa consiste en relacionar las mediciones de dos observadores distintos, uno que se mueve respecto al otro. La velocidad medida de un objeto depende de la velocidad del observador respecto al objeto. Por ejemplo, en la carre- tera los automóviles que se mueven en la misma dirección con frecuencia lo hacen a una rapidez alta en relación con la Tierra, pero en relación entre ellos casi no se mueven. Para un observador en reposo a un costado del camino, un automóvil podría viajar a 60 mi/h, pero para otro que se encuentra en un camión que viaja en la misma dirección a 50 mi/h, el automóvil parecería viajar a solo 10 mi/h. Por lo tanto, las mediciones de la velocidad dependen del marco de referencia del observador. Los marcos de referencia solo son sistemas de coordenadas. La mayoría de las veces se usa un marco de referencia estacionario respecto a la Tierra, pero en ocasiones se usa un marco de referencia móvil asociado con un autobús, un auto- móvil o un avión con velocidad constante respecto a la Tierra. En dos dimensiones los cálculos de la velocidad relativa pueden ser confusos, por lo que es importante y útil hacer un método sistemático. Sea E un observador, que 74 CAPÍTULO 3 | Vectores y movimiento en dos dimensiones y A se supone estacionario respecto a la Tierra. Considere dos automóviles que se han identificado como A y B, e introduzca la notación siguiente (consulte la figura 3.23): S r AE 5 la posición del automóvil A medida por E (en un sistema de coordenadas E rAS S S S fijo respecto a la Tierra). rAB  r AE  r BE S r BE 5 la posición del automóvil B medida por E. S E rB S x r AB 5 la posición del automóvil A medida por un observador en el automóvil B. E B De acuerdo con la notación anterior, la primera letra nos indica hacia dónde señala el vector y la segunda letra nos indica dónde inicia el vector. Los vectores posición de S S los automóviles A y B respecto a E, r AE y r BE se dan en la figura. ¿Cómo encontramos S r AB , la posición del automóvil A según su medición por un observador en el automó- Figura 3.23 La posición del vil B? Simplemente trazamos una flecha apuntando del automóvil B al A, lo que se automóvil A respecto al automóvil B se puede determinar mediante puede obtener restando Sr BE de Sr AE: una sustracción vectorial. La razón S de cambio del vector resultante r AB 5 Sr AE 2 Sr BE [3.15] respecto al tiempo es la ecuación de la velocidad relativa. Ahora, la razón de cambio de estas cantidades con el tiempo nos da la relación entre las velocidades asociadas: S v AB 5 S v AE 2 S v BE [3.16] El sistema de coordenadas del observador E no necesita estar fijo a la Tierra, si bien con frecuencia lo está. Observe con atención el patrón de los subíndices; en lugar de memo- rizar la ecuación 3.16, es mejor estudiar la deducción breve basada en la figura 3.23. También observe que la ecuación no funciona para los observadores que viajen a una fracción considerable de la rapidez de la luz, cuando entra en acción la teoría especial de la relatividad de Einstein. ESTRATEGI A PARA RESOLVER PROBLEMAS Velocidad relativa 1. Identifique cada objeto involucrado (por lo general son tres) con una letra que le recuerde qué es (por ejemplo, T para la Tierra). 2. Analice el problema para ver si hay frases como “La velocidad de A respecto a B” y escriba las velocidades como S v AB. Cuando se menciona una velocidad pero no se enuncia de manera explícita respecto a algo, casi siempre es respecto a la Tierra. 3. Tome las tres velocidades que haya encontrado e intégrelas en una ecuación como la 3.16, con subíndices en un orden análogo. 4. Habrá dos componentes desconocidas. Resuélvalas con las componentes x y y de