Capı́tulo 1 - Vectores PDF

Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn , Vectores en Rn Definición 1.. Sea n ∈ N, a) Llamamos vector de Rn a toda n-úpla ordenada de números reales. b) El c...

Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn , Vectores en Rn Definición 1.. Sea n ∈ N, a) Llamamos vector de Rn a toda n-úpla ordenada de números reales. b) El conjunto de vectores de n componentes reales, es entonces Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn )/∀i = 1, · · · , n; xi ∈ R}. Observaciones: Denotamos los vectores con letras mayúsculas, por ejemplo A, en el caso que se preste a confusión → − colocamos el sı́mbolo → sobre el nombre del vector y escribimos A. Por ejemplo, A ∈ Rn , quiere decir que A es un vector de Rn. Las componentes del vector se denotan con letras minúsculas. Por ejemplo dado A ∈ Rn , se escribe A = (a1 , a2 , · · · , an ). Analı́ticamente el vector A = (a1 , a2 , · · · , an ) se identifica con el punto A(a1 , a2 , · · · , an ) por lo que no haremos distinción a menos que sea necesario. Representación gráfica Para representar graficamente un vector utilizamos una flecha (segmento dirigido) con origen en el ori- gen del sistema de referencia y extremo en el punto cuyas coordenadas coinciden con las componentes del vector. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 1 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn Ejemplo.. Hemos definido vectores de Rn , luego V = (2, 4), es un vector de dos componentes entonces, V ∈ R2. A = (3, 4, 5) es un vector de tres componentes entonces, A ∈ R3. C = (1, −1, 5, 2, −1) es un vector de cinco componentes entonces, C ∈ R5. graficamente: en R2 en R3 Definición 2 (Igualdad de vectores ).. Sean A = (a1 , a2 , · · · , an ), B = (b1 , b2 , · · · , bn ) ∈ Rn A = B ⇔ ∀ i = 1, · · · , n; ai = bi. Es importante que recuerdes que para comparar dos vectores deben tener el mismo número de componentes. Ejercicio.. Dados los vectores U = (2, x2 , −4) y V = (2, 16, x), determine x ∈ R tal que U = V. Resolución. Debemos determinar x ∈ R tal que U = V , por la definición de igualdad de vectores, como los dos pertenecen a R3 , cada componente del vector U debe ser igual a la correspondiente del vector V ,es decir, (2, x2 , −4) = (2, 16, x), si y solo si Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 2 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn   2=2 2=2             x2 = 16 =⇒ x = 4 ó x = −4 =⇒ x = −4         −4 = x  x = −4  Respuesta: U =V si x = −4 Definición 3 (Suma de vectores).. Dados A = (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ Rn y B = (b1 , b2 , · · · , bn ) ∈ Rn , la suma de A y B es el vector A + B = (a1 + b1 , a2 + b2 , · · · , an + bn ) ∈ Rn. Ejemplo.. Dados los vectores de R4 , A = (2, 2, −4, 0) y B = (2, 16, −1, 1), A + B =(2 + 2, 2 + 16, (−4) + (−1), 0 + 1) A + B =(4, 18, −5, 1) Es importante que recuerdes que para sumar vectores, deben tener el mismo número de componentes. Propiedades (de la suma).. 1. La suma de vectores es conmutativa. ∀A, B ∈ Rn , A + B = B + A 2. La suma de vectores es asociativa ∀A, B, C ∈ Rn , (A + B) + C = A + (B + C) 3. Existe elemento neutro para la operación suma de vectores. ∃ θ = (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn : ∀A ∈ Rn , θ + A = A + θ = A 4. Cada vector tiene su opuesto respecto de la operación suma. ∀A ∈ Rn , ∃A0 ∈ Rn : A + A0 = A0 + A = θ Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 3 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn Demostración.. 1. Sean A = (a1 , a2 , · · · , an ), B = (b1 , b2 , · · · , bn ) ∈ Rn A + B = (a1 , a2 ,... , an ) + (b1 , b2 , · · · , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , · · · , an + bn ), por definición de suma de vectores = (b1 + a1 , b2 + a2 , · · · , bn + an ), aplico en c/componente conmutatividad de la suma en R = (b1 , b2 , · · · , bn ) + (a1 , a2 , · · · , an ), por definición de suma de vectores =B+A Probamos que: ∀A, B ∈ Rn , A+B =B+A 2. Queda para los alumnos. 3. Sean A = (a1 , a2 , · · · , an ) , θ = (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn A + θ = (a1 , a2 , · · · , an ) + (0, 0, · · · , 0) = (a1 + 0, a2 + 0, · · · , an + 0), por definición de suma de vectores = (a1 , a2 , · · · , an ), 0 es neutro para la suma en R =A probamos que: A + θ = A Como la suma de vectores es conmutativa, θ + A = A + θ = A Por lo tanto queda probado que: ∃ θ ∈ Rn : ∀A ∈ Rn , A + θ = θ + A = A. 4. Sea A = (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ Rn y θ ∈ Rn. Queremos determinar la existencia de A0 = (a01 , a02 , · · · , a0n ) ∈ Rn tal que A + A0 = θ = A0 + A. A + A0 = θ (a1 , a2 , · · · , an ) + (a01 , a02 , · · · , a0n ) = (0, 0, · · · , 0) (a1 + a01 , a2 + a02 , · · · , an + a0n ) = (0, 0, · · · , 0), por definición de suma de vectores. Por definición de igualdad de vectores ∀i = 1, 2, · · · , n; ai + a0i = 0 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 4 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn por existencia de opuesto de un número real ∀i = 1, 2, · · · , n; a0i = −ai hemos obtenido las componentes del vector A0 , por lo tanto: A0 = (a01 , a02 , · · · , a0n ) = (−a1 , −a2 , · · · , −an ) ∈ Rn y cumple que, A + A0 = θ y como la suma de vectores es conmutativa A0 + A = A + A0 = θ. Como se puede probar que A0 = (−a1 , −a2 , · · · , −an ) es el único vector con esta propiedad, se lo denomina opuesto de A ∈ Rn y se denota −A , ( A0 = −A ). Queda probado que: ∀A = (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ Rn , ∃ − A = (−a1 , −a2 , · · · , −an ) ∈ Rn : (−A) + A = A + (−A) = θ Interpretación geométrica de la suma. Para vectores de R2 Sean V = (x1 , y1 ) y U = (x2 , y2 ), el vector suma V + U = (x1 + x2 , y1 + y2 ) Gráficamente se cumple la Regla del paralelogramo Podemos generalizar para vectores de Rn y concluir, gráficamente, que la suma de los vectores V y U , pertenecientes a Rn , es el vector diagonal del paralelogramo de lados V y U , con origen en el origen del sistema de coordenadas y extremo en el punto V + U. La existencia y unicidad del vector opuesto para cada vector de Rn nos permite definir la diferencia entre dos vectores Definición 4 (Diferencia de vectores).. Sean A, B ∈ Rn , A − B = A + (−B) Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 5 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn Ejemplo.. Dados los vectores A = (2, 2, −4, 0), B = (2, 16, −1, 1) ∈ R4 , A − B =(2 − 2, 2 − 16, (−4) − (−1), 0 − 1) A − B =(0, −14, −3, −1) Interpretación geométrica de la resta Como A − B = A + (−B), por la interpretación geométrica de la suma de vectores A − B es la diagonal del paralelogramos de lados A y −B, que por igualdad de vectores es el vector diagonal, con origen en B y extremo en A, del paralelogramo de lados A y B. −−→ Llamamos al vector BA, Vector Localizado −−→ BA = A − B. Si el origen del vector es el punto A y el extremo es el punto B el vector es, −−→ AB = B − A, −−→ que es el opuesto del vector BA. Ejemplo.. −−→ −−→ Dados A = (1, 2) y B − (3, 1).Determinemos los vectores, BA y AB −−→ BA = A − B = (1, 2) − (3, 1) = (−2, 1). Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 6 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn −−→ AB = B − A = (3, 1) − (1, 2) = (2, −1). Definición 5 (Producto de un escalar por un vector).. Sean λ ∈ R y A = (a1 , a2 ,... , an ) ∈ Rn , el producto del escalar λ por el vector A es el vector λA = (λa1 , λa2 ,... , λan ) ∈ Rn. Ejemplo.. Sean λ = −2 y A = (1, −2, 3) ∈ R3 λA = (−2)(1, −2, 3) = ((−2) · 1, (−2) · (−2), (−2) · 3) = (−2, 4, −6). Propiedades (del producto por escalar).. 1. ∀λ, µ ∈ R, ∀A ∈ Rn , λ(µA) = µ(λA) = (µλ)A. 2. ∀λ, µ ∈ R, ∀A ∈ Rn , (λ + µ)A = λA + µA. 3. ∀λ ∈ R, ∀A, B ∈ Rn , λ(A + B) = λA + λB. Demostración. Quedan para el alumno. Consecuencias. 1. ∀A ∈ Rn , 1A = A. 2. ∀A ∈ Rn , (−1)A = −A. 3. Dados λ ∈ R y A ∈ Rn , λA = θ ⇔ λ = 0 o A = θ. Demostración.. 1. y 2. Queda para el alumno. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 7 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn 3. Sean λ ∈ R , A = (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ Rn λA = θ ⇔ λ(a1 , a2 , · · · , an ) = (0, 0, · · · , 0) ⇔ (λa1 , λa2 , · · · , λan ) = (0, 0, · · · , 0), por def. de producto de escalar por vector ⇔ ∀i = 1, 2, · · · , n; λai = 0, por def. de igualdad de vectores ⇔ ∀i = 1, 2, · · · , n; λ = 0 o ai = 0, por producto de dos num. reales igual a 0 ⇔ λ = 0 o ∀i = 1, 2, · · · , n; ai = 0 ⇔ λ = 0 o A = (0, 0, · · · , 0) ⇔ λ = 0 o A = θ. Definición 6 (Producto escalar o producto interno en Rn ).. Dados A = (a1 , a2 , · · · , an ), B = (b1 , b2 , · · · , bn ) ∈ Rn el producto escalar de A y B, que denotamos A · B, es el número real que se obtiene de la siguiente manera: A · B = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ∈ R, usando la notación abreviada para la suma: n X A·B = ai bi. i=1 Cuando multiplicas escalarmente dos vectores obtienes como resultado un número real. Re- cuerda que sólo puedes multiplicar vectores con igual número de componentes. La notación para indicar el producto escalar de vectores es el punto “ · ”. Ejemplo. Dados los vectores A = (2, 2, −4, 0) y B = (2, −6, −1, 1), A · B =2 · 2 + 2 · (−6) + (−4) · (−1) + 0 · 1 A · B =4 − 12 + 4 + 0 A · B = − 4. Propiedades (del producto escalar).. 1. ∀A, B ∈ Rn , A · B = B · A. 2. ∀A, B, C ∈ Rn , A · (B + C) = A · B + A · C. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 8 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn 3. ∀λ ∈ R, ∀A, B ∈ Rn , (λA) · B = A · (λB) = λ (A · B). 4. ∀A ∈ Rn , A·A≥0 y (A · A = 0 ⇔ A = θ). Demostración.. 1. Sean A = (a1 , a2 , · · · , an ), B = (b1 , b2 , · · · , bn ) ∈ Rn A · B = (a1 , a2 , · · · , an ) · (b1 , b2 , · · · , bn ) = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn , por la definición de producto escalar de vectores = b1 a1 + b2 a2 + · · · + bn an , el producto de números reales es conmutativo = (b1 , b2 , · · · , bn ) · (a1 , a2 , · · · , an ) por la definición de producto escalar de vectores = B · A. Por lo tanto: ∀A, B ∈ Rn , A · B = B · A. 2. Sean A = (a1 , a2 , · · · , an ), B = (b1 , b2 , · · · , bn ), C = (c1 , c2 , · · · , cn ) ∈ Rn A · (B + C) = (a1 , a2 , · · · , an ) · [(b1 , b2 ,... , bn ) + (c1 , c2 , · · · , cn )] = (a1 , a2 ,... , an ) · (b1 + c1 , b2 + c2 ,... , bn + cn ), por la definición de suma de vectores = a1 · (b1 + c1 ) + a2 · (b2 + c2 ) + · · · + an · (bn + cn ), por la definición de producto escalar = a1 b1 + a1 c1 + a2 b2 + a2 c2 + · · · + an bn + an cn , prop. distributiva del producto respecto de la suma en R,en cada sumando = (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) + (a1 c1 + a2 c2 + · · · + an cn ), por prop. conmuti. y asociat. de + en R = (a1 , a2 ,... , an ) · (b1 , b2 ,... , bn ) + (a1 , a2 ,... , an ) · (c1 , c2 ,... , cn ), por la definición de producto escalar = A · B + A · C. Queda probado que: ∀A, B, C ∈ Rn , A · (B + C) = A · B + A · C. 3. La demostración queda como ejercicio. 4. Sea A = (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ Rn , n X A · A = a1 a1 + a2 a2 + · · · + an an = a2i (∗3) (∗1) (∗2) i=1 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 9 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn (∗1) por definición de producto escalar. (∗2) por definición de potencia en R. Pn Como ∀i = 1, · · · , n; ai ∈ R ⇒ ∀i = 1, · · · , n; a2i ≥ 0, luego 2 i=1 ai ≥ 0, n X de (∗3), A·A= a2i ≥ 0 ⇒ A · A ≥ 0. i=1 Probaremos ahora que A · A = 0 ⇔ A = θ n X A·A=0⇔ a2i = 0 de (∗3) i=1 ⇔ ∀i = 1, · · · , n; a2i = 0, por suma de números reales no negativos ⇔ ∀i = 1, · · · , n; ai = 0 ⇔ (a1 , a2 , · · · , an ) = (0, 0, · · · , 0) ⇔ A = θ. Definición 7 (Norma de un vector).. Sea A ∈ Rn llamaremos norma de A al número real √ kAk = A · A. Observación: √ kAk está bien definida pues A · A ≥ 0 y tiene sentido calcular, en R, A · A. √ kAk = A · A ⇐⇒ kAk2 = A · A. s Pn n 2 a2i. P Si A = (a1 , a2 , · · · , an ), A · A = i=1 ai y por lo tanto kAk = i=1 Ejemplo.. Sea A = (2, −1, 5), aplicando la tercera observación p √ √ kAk = 22 + (−1)2 + 52 = 4 + 1 + 25 = 30. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 10 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn Interpretación geométrica de la norma de un vector en R2 Sean A = (a, b) y Q = (a, 0). Los puntos A, Q, O determinan un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden |a| y |b|, por el teo- rema de Pitágoras sabemos que la longitud de la p √ hipotenusa es |a|2 + |b|2 = a2 + b2. Por observación de la definición de norma p kAk = a2 + b2 , por lo tanto kAk es la longitud de la hipotenusa del triángulo es decir, la longitud del vector A. Podemos generalizar este resultado para Rn y concluir que kAk es la longitud del vector A, o lo que es lo mismo, la distancia del punto A al origen del sistema de referencia. Propiedades.. 1. ∀A ∈ Rn , kAk ≥ 0 y ( kAk = 0 ⇔ A = θ ). 2. ∀A ∈ Rn y ∀λ ∈ R, kλAk = |λ| kAk. 3. Desigualdad Triangular ∀A, B ∈ Rn , kA + Bk ≤ kAk + kBk. Demostración.. 1. La demostración queda para los alumnos. Se sugiere utilizar las propiedades del producto escalar. 2. Sean λ ∈ R, y A ∈ Rn p kλAk = (λA) · (λA), por definición de norma de un vector p = (λλ)(A · A), por propiedades del producto escalar p = λ2 kAk2 , por definición de norma de un vector √ p = λ2 kAk2 , propiedad de la raı́z cuadrada para números reales no negativos = |λ| | kAk |, propiedad de valor absoluto = |λ| kAk, por ser kAk ≥ 0 , | kAk | = kAk. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 11 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn 3. Aceptamos sin demostración para Ingenierı́as, PU. , Lic. en Informática y Lic. en Fı́sica Un vector se dice unitario si su norma es 1. Definición 8 (Distancia en Rn ).. Dados A, B ∈ Rn , la distancia entre A y B es el número real no negativo −−→ dist(A, B) = kABk. Propiedades.. 1. ∀ A, B ∈ Rn , dist(A, B) > 0 ∧ dist(A, B) = 0 ⇔ A = B. 2. ∀ A, B ∈ Rn , dist(A, B) = dist(B, A). 3. ∀ A, B, C ∈ Rn , dist(A, B) ≤ dist(A, C) + dist(C, B). Las propiedades son consecuencia de la definición de norma, por lo tanto las aceptamos sin demostración.( Los alumnos de Lic. y Prof. en Matemática deben hacer las demostra- ciones). Definición 9 (Vectores paralelos).. Dados A, B ∈ Rn , A k B ⇐⇒ ∃ λ ∈ R − {0} : A = λB Dado B ∈ Rn , si θ k B, por la definición de vectores paralelos ∃ λ ∈ R − {0} : θ = λB como λ 6= 0 podemos asegurar que B = θ. Concluimos que: el vector nulo es paralelo sólo a sı́ mismo. Ejemplos.. Dados los vectores A = (2, 4, −1), B = (1, 8, −2) y C = (1, 2, − 12 ) ¿ El vector A es paralelo al vector B?. Para responder esta pregunta vamos a utilizar la definición de vectores paralelos, A k B ⇐⇒ ∃ λ ∈ R − {0} / A = λB. Vamos a averiguar si existe un escalar λ diferente de 0 que verifique la igualdad A = λB Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 12 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn (2, 4, −1) = λ(1, 8, −2) por la definición de producto de escalar por vector (2, 4, −1) = (λ, 8λ, −2λ) por definición de igualdad de vectores    2=λ λ=2 λ=2                   4 = 8λ ⇐⇒ λ = 4 ⇐⇒ λ = 1 =⇒ no existe λ   8  2       λ = −1    −1 = −2λ   λ = 1  −2 2 Respuesta: No existe λ ∈ R − {0} : A = λB, por lo tanto A no es paralelo a B. ¿ El vector A es paralelo al vector C?. A = (2, 4, −1) = 2(1, 2, − 21 ) = 2C por lo tanto ; ∃ λ = 2 ∈ R − {0} : A = λC Respuesta: AkC Importante Geométricamente dos vectores,no nulos, son paralelos si tienen la misma dirección. Decimos que dos vectores paralelos, no nulos, tienen el mismo sentido si el escalar que los relaciona es mayor que 0 y tienen sentido contrario si el escalar es menor que 0. En el gráfico: A k B k C A y B tienen la misma dirección y sentido contrario, ∃λ ∈ R − {0} / A = λB, con λ < 0 C y B tienen la misma dirección y el mismo sentido , ∃γ ∈ R − {0} / C = γB, con γ > 0 Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 13 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn La relación de paralelismo cumple las siguientes propiedades que aceptaremos sin de- mostración ( Los alumnos de Lic. y Prof. en Matemática deben hacer las demostraciones). Propiedades.. 1. Propiedad reflexiva ∀A ∈ Rn , A k A. 2. Propiedad simétrica ∀A, B ∈ Rn , A k B ⇒ B k A. 3. Propiedad transitiva ∀A, B, C ∈ Rn , (A k B ∧ B k C ⇒ A k C). Enunciaremos un teorema que aceptaremos sin demostración Teorema 1 (Desigualdad de Cauchy Schwarz).. ∀A, B ∈ Rn , |A · B| ≤ kAkkBk ∧ ( |A · B| = kAkkBk ⇐⇒ A k B ó A = θ ó B = θ ). Definición 10 (Vector unitario en una dirección dada o Versor en una dirección dada).. Dado un vector A ∈ Rn − {θ}, llamamos vector unitario o versor, en la dirección de A al vector E ∈ Rn tal que EkA y kEk = 1 Es importante que recuerdes que el vector A debe ser diferente del vector nulo, θ, de no ser ası́ no tienes dirección para determinar versor. Obtención de la fórmula para determinar versor en una dirección dada Sea A ∈ Rn − {θ}, por la definición, el versor de A, E ∈ Rn , verifica que E k A y kEk = 1. Por definición de vectores paralelos, E k A ⇔ ∃λ ∈ R − {0} : E = λA. Para determinar el vector E debemos obtener el valor del escalar λ, Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 14 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn como E = λA kEk = kλAk por hipótesis kEk = 1 por lo tanto 1 = kλAk por propiedad de norma 1 = |λ| kAk La kAk = 6 0 porque A 6= θ, podemos dividir ambos miembros por el número kAk, resultando 1 1 |λ| = ⇒ λ=±. kAk kAk Determinado dos valores para el escalar λ, obtenemos dos versores en la dirección del vector A: 1 E1 = A por ser el escalar positivo, E1 tiene la dirección y el sentido de A, kAk −1 E2 = A por ser el escalar negativo, E2 tiene la dirección y sentido contrario de A. kAk Ejemplo.. Dado el vector A = (6, −8), p √ la norma de A es, kAk = 62 + (−8)2 = 36 + 64 = 10 los versores en la dirección de A son:   1 1 3 −4 E1 = A= (6, −8) = , kAk 10 5 5   −1 −1 −3 4 E2 = A= (6, −8) = ,. kAk 10 5 5 Versores fundamentales En R2 , hay dos versores fundamentales (también se los llama vectores canónicos): → − e1 = (1, 0) (también se denota i ), es el versor fundamental en la dirección del ejex, → − e2 = (0, 1) (también se denota j ), es el versor fundamental en la dirección del ejey. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 15 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn En R3 , hay tres versores fundamentales (también se los llama vectores canónicos): → − e1 = (1, 0, 0) (también se denota i ), es el versor fundamental en la dirección del ejex, → − e2 = (0, 1, 0) (también se denota j ), es el versor fundamental en la dirección del ejey, → − e3 = (0, 0, 1) (también se denota k ), es el versor fundamental en la dirección del ejez. Definición 11 (Vectores perpendiculares).. Dados A, B ∈ Rn , A⊥B ⇔ A · B = 0. Teorema 2 (Teorema de Pitágoras en Rn ).. Dados A, B ∈ Rn , A ⊥ B ⇔ kA + Bk2 = kAk2 + kBk2 Demostración. Sean A, B ∈ Rn Observemos que: kA + Bk2 = (A + B) · (A + B), por def. de norma = A · A + A · B + B · A + B · B, por prop. distribut. del producto escalar respecto de la suma de vectores = kAk2 + A · B + A · B + kBk2 , por def. de norma y prop. conmutativa del prod. escalar = kAk2 + 2A · B + kBk2. Por lo tanto kA + Bk2 = kAk2 + 2A · B + kBk2 (∗∗). Para demostrar el teorema debemos probar la condición necesaria y la suficiente i) (⇒) Hipótesis: A ⊥ B Tesis: kA + Bk2 = kAk2 + kBk2 kA + Bk2 = kAk2 + 2A · B + kBk2 por (∗∗) por hipótesis A ⊥ B y por definición de vectores perpendiculares A · B = 0, reemplazando kA + Bk2 = kAk2 + 2 · 0 + kBk2 kA + Bk2 = kAk2 + 0 + kBk2 Por lo tanto: Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 16 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn kA + Bk2 = kAk2 + kBk2 ii) (⇐) Hipótesis: kA + Bk2 = kAk2 + kBk2 Tesis: A ⊥ B por hipótesis kA + Bk2 = kAk2 + kBk2 Reemplazando kA + Bk2 por (**) kAk2 + 2A · B + kBk2 = kAk2 + kBk2 por existencia de elemento neutro para la suma de números reales 2A · B = 0 ⇒ A · B = 0 por la definición de vectores perpendiculares A·B =0 ⇒ A⊥B De I) y II), queda demostrado el teorema. Definición 12 (Proyección vectorial ortogonal de un vector sobre otro).. Dados A, B ∈ Rn , con B 6= θ. La proyección vectorial ortogonal de A sobre B es el vector P ∈ Rn : P = λB, con λ ∈ R −→ PA ⊥ B Es importante que recuerdes que el vector B debe ser diferente del vector nulo, θ, de no ser ası́ no tienes dirección donde proyectar el vector A. Obtención del vector P , proyección vectorial ortogonal de A sobre B Sean A, B ∈ Rn con B 6= θ, el vector P cumple (1) P = λB, con λ ∈ R y −→ (2) P A ⊥ B Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 17 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn De (2), por definición de vectores perpendiculares −→ PA · B = 0 por vector localizado (A − P ) · B = 0 por la propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma de vectores A·B−P ·B =0 por (1) P = λB, reemplazando A · B − λB · B = 0 por propiedades del producto escalar y definición de norma A · B − λkBk2 = 0 por hipótesis B 6= θ por lo tanto kBk2 6= 0, luego, de la ecuación anterior A·B λ= kBk2 Determinado el valor del escalar, queda determinado el vector P = λB A·B P = B. kBk2 Notación: Para indicar proyección del vector A sobre B, recuerde que B 6= θ, escribimos: A·B PA,B = B. kBk2 Si la proyección es del vector B sobre A, recuerde que A 6= θ, escribimos: A·B PB,A = A. kAk2 Ejemplo.. Dados A = (1, −1) y B = (3, 4), el vector proyección vectorial ortogonal de A sobre B es   A·B (1, −1) · (3, 4) −1 −3 −4 PA,B = 2 B= 2 (3, 4) = (3, 4) = ,. kBk k(3, 4)k 25 25 25 Definición 13 (Proyección escalar de un vector sobre otro).. Dados A, B ∈ Rn , con B 6= θ. Proyección escalar de A sobre B es la norma del vector proyección vectorial ortogonal de A sobre B. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 18 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn Obtención de la proyección escalar de A sobre B Sean A, B ∈ Rn con B 6= θ, por proyección vectorial ortogonal de A sobre B A·B P = B kBk2 aplicando norma al vector se tiene: A·B A·B |A · B| |A · B| kP k = 2 B = kBk = kBk = kBk (1) kBk2 (2) kBk 2 kBk A·B (1) Por propiedad de norma , kλAk = |λ|kAk, pues es un número real. kBk2 (2) Por propiedad de valor absoluto y kBk2 > 0. Por lo tanto: |A · B| kP k = es la proyección escalar del vector A sobre B kBk Definición 14 (Ángulo determinado por dos vectores).. Dados A y B ∈ Rn − {θ}. El ángulo que determinan los vectores A y B, ϕ, es el que cumple las siguientes condiciones: 0≤ϕ≤π A·B cos ϕ = kAk kBk Es importante que recuerdes que los vectores A y B deben ser diferentes del vector nulo. Cuando hablamos del ángulo entre A y B denotamos, ^(A, B). Ejemplo.. Dados A = (1, −2, 1) y B = (1, 1, 2), determinar ϕ = ^(A, B). A·B (1, −2, 1) · (1, 1, 2) 1 1 cos ϕ = =p √ =√ √ = kAk kBk 12 + (−2)2 + 12 12 + 12 + 22 6 6 6 Por la definición de ángulo entre vectores: ϕ = arc cos 61 con 0 ≤ ϕ ≤ π Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 19 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn Podemos mostrar que el ángulo entre vectores paralelos y perpendiculares esta en concordancia con la definición de paralelismo y perpendicularidad de vectores. Proposiciones. 1. Equivalencia de la definición de vectores paralelos. Dados A, B ∈ Rn − {θ} ^(A, B) = 0 ó ^(A, B) = π ⇔ A k B. Demostración Sean A, B ∈ Rn − {θ}, si ϕ = ^(A, B) A·B |A · B| ϕ=0 ó ϕ = π ⇔ cos ϕ = ±1 ⇔ = ±1 ⇔ =1 (∗1) (∗2) kAk kBk (∗3) kAk kBk ⇔ |A · B| = kAk kBk ⇔ AkB (∗4) (∗5) (*1) (⇐) Por 0 ≤ ϕ ≤ π (⇒) pues cos 0 = 1 y cos π = −1. (*2) Por definición de ángulo en Rn. (*3) Aplicando valor absoluto en ambos miembros. (*4) (⇐) Por la hipótesis kAk = 6 0, kBk = 6 0 luego kAkkBk = 6 0. (*5) Por la hipótesis A 6= θ, B 6= θ entonces, por la desigualdad de C-S A k B. 2. Equivalencia de la definición de vectores perpendiculares. Dados A, B ∈ Rn − {θ} π ^(A, B) = ⇔ A ⊥ B. 2 Demostración Sean A, B ∈ Rn − {θ}, si ϕ = ^(A, B), π π A·B A·B ϕ= ⇔ cos = ⇔ 0= ⇔ A·B =0 ⇔ A⊥B 2 (∗∗1) 2 kAk kBk (∗∗1) kAk kBk (∗∗2) (∗∗3) (**1) Por definición de ángulo entre vectores. (**2) (⇐) Por la hipótesis kAk = 6 0, kBk = 6 0 luego kAkkBk = 6 0. (**3) Por definición de vectores perpendiculares. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 20 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn Los productos que definiremos a continuación sólo se pueden aplicar en R3. Definición 15 (Producto Vectorial).. Dados A = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 y B = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 , el producto vectorial de A y B en ese orden, es el vector: A × B = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) ∈ R3. Regla práctica A × B = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) Ejemplo. Dados A = (1, −1, −3), B = (2, −1, 0) Regla práctica: A × B = ((−1) · 0 − (−3) · (−1) , (−3) · 2 − 1 · 0 , 1 · (−1) − (−1) · 2) A × B = (−3, −6 , 1). Ejemplos. Realice los cálculos y compruebe los resultados. A = (2, 1, −3) , B = (3, −1, 2), A × B = (−1, −13, −5). Para los vectores canónicos de R3 e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) e1 × e2 = (0, 0, 1) = e3 , e2 × e3 = (1, 0, 0) = e1 , e3 × e1 = (0, 1, 0) = e2 e2 × e1 = (0, 0, −1) = −e3 , e1 × e2 6= e2 × e1 podemos concluir que el producto vectorial no es conmutativo. (e1 × e2 ) × e2 = e3 × e2 = −e1 y e1 × (e2 × e2 ) = e1 × θ = θ, luego (e1 × e2 ) × e2 6= e1 × (e2 × e2 ) podemos concluir que el producto vectorial no es asociativo. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 21 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn Propiedades (del producto vectorial).. 1. El producto vectorial es anticonmutativo ∀A, B ∈ R3 , A × B = −B × A. 2. Distributividad del producto respecto de la suma ∀A, B, C ∈ R3 , A × (B + C) = A × B + A × C, (A + B) × C = A × C + B × C. 3. Asociatividad mixta. ∀λ ∈ R, ∀A, B ∈ R3 , (λA) × B = A × (λB) = λ(A × B). 4. ∀A, B ∈ R3 , A×B ⊥A y A × B ⊥ B. 5. ∀A, B ∈ R3 , kA × Bk2 = kAk2 kBk2 − (A · B)2. 6. ∀A, B ∈ R3 , A × B = θ ⇔ A k B ∨ A = θ ∨ B = θ. 7. ∀A, B ∈ R3 − {θ}, kA × Bk = kAk kBk sen ϕ con ϕ = ^(A, B). 8. Sean A, B ∈ R3 − {θ} lados de un paralelogramo: Área del paralelogramo de lados A, B es igual a kA × Bk. Demostración.. 1. Sean A = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 y B = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3. A × B = (a1 , a2 , a3 ) × (b1 , b2 , b3 ) por la definición de producto vectorial = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) sacando factor común -1 en cada componente = (−1(−a2 b3 + a3 b2 ) , −1(−a3 b1 + a1 b3 ) , −1(−a1 b2 + a2 b1 )) por definición de producto de escalar por vector = (−1)(−a2 b3 + a3 b2 , −a3 b1 + a1 b3 , −a1 b2 + a2 b1 ) en cada componente conmuto los sumandos = (−1)(a3 b2 − a2 b3 , a1 b3 − a3 b1 , a2 b1 − a1 b2 ) Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 22 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn en cada componente, conmuto los productos de números reales = (−1)(b2 a3 − b3 a2 , b3 a1 − b1 a3 , b1 a2 − b2 a1 ) por definición de producto vectorial = (−1)((b1 , b2 , b3 ) × (a1 , a2 , a3 )) = (−1)(B × A) = − B × A. 2. Queda para el alumno. La demostración se puede hacer de manera sencilla resolviendo cada miembro por separado y aplicando transitividad de la igualdad. 3. Queda para el alumno. La demostración se puede hacer de manera sencilla resolviendo cada miembro por separado y aplicando transitividad de la igualdad. 4. Sean A = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 y B = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3. A × B · A = (a1 , a2 , a3 ) × (b1 , b2 , b3 ) · (a1 , a2 , a3 ) = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) · (a1 , a2 , a3 ), por la definición de producto vectorial = (a2 b3 − a3 b2 )a1 + (a3 b1 − a1 b3 )a2 + (a1 b2 − a2 b1 )a3 , por la definición de producto escalar = a2 b3 a1 − a3 b2 a1 + a3 b1 a2 − a1 b3 a2 + a1 b2 a3 − a2 b1 a3 , por distrib. del prod. respecto de la + en R = a2 b3 a1 − a3 b2 a1 + a3 b1 a2 − a1 b3 a2 + a1 b2 a3 − a2 b1 a3 , cancelando términos iguales | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } (1) (2) (3) (1) (2) (3) = 0. Probamos que A×B·A=0 y por la definición de vectores perpendiculares A × B ⊥ A. Queda para el alumno probar que: A × B ⊥ B. 5. Queda para el alumno. La demostración se pueden hacer de manera sencilla resolviendo cada miembro por separado y aplicando transitividad de la igualdad. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 23 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn 6. Para demostrar esta propiedad utilizaremos 5) y desigualdad de Cauchy Shwarz. A × B = θ ⇔ kA × Bk = 0, por propiedad de norma de un vector ⇔ kA × Bk2 = 0 ⇔ kAk2 kBk2 − (A · B)2 = 0, por propiedad 5)kA × Bk2 = kAk2 kBk2 − (A · B)2 ⇔ kAk2 kBk2 = (A · B)2 , ambos miembros son no negativos, puedo aplicar raı́z cuadrada p p ⇔ (kAk kBk)2 = (A · B)2 ⇔ | kAk kBk | = |A · B|, por propiedad de valor absoluto ⇔ kAk kBk = |A · B|, el producto de normas es un número real no negativos ⇔ A k B ∨ A = θ ∨ B = θ, por la desigualdad de C-S. 7. Sean A, B ∈ R3 − {θ}, si ϕ = ^(A, B). Por la definición de ángulo entre vectores A · B = kAk kBk cos ϕ y por la propiedad 5) kA × Bk2 = kAk2 kBk2 − (A · B)2 reemplazando A · B se tiene: kA × Bk2 = kAk2 kBk2 − (kAk kBk cos ϕ)2 kA × Bk2 = kAk2 kBk2 − kAk2 kBk2 cos2 ϕ kA × Bk2 = kAk2 kBk2 (1 − cos2 ϕ), por identidad trigonométrica sen2 ϕ + cos2 ϕ = 1 por lo tanto 1 − cos2 ϕ = sen2 ϕ, remplazando kA × Bk2 = kAk2 kBk2 sen2 ϕ, aplicando raı́z cuadrada en ambos miembros que son números no negativos y por propiedad de valor absoluto kA × Bk = kAk kBk | sen ϕ| por definición de ángulo entre vectores 0 6 ϕ 6 π y en ese intervalo sen ϕ > 0, por lo tanto | sen ϕ| = sen ϕ reemplazando queda probado que: kA × Bk = kAk kBk sen ϕ Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 24 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn 8. Dado el paralelogramos de lados A y B, el área, que denotamos con Área (A, B), es igual a la longitud de la base b, por la longitud de la altura h. Área (A, B) = b · h Si consideramos como base del paralelogramo el lado A como se indica en el dibujo, la longitud de la base es kAk b = kAk (∗1) Para determinar la altura h, consideremos lo siguiente: si α = ^(A, B), por definición de ángulo entre vectores, 0 6 α 6 π y por lo tanto, sen α > 0. h Luego: sen α = ⇒ h = kBk sen α (∗2) kBk Reemplazando (*1) y (*2) en Área (A, B) = b · h Área (A, B) = kAk kBk sen α, por propiedad del producto vectorial: kA × Bk = kAk kBk sen α. Por lo tanto Área (A, B) = kA × Bk. Definición 16 (Triple producto escalar o doble producto mixto).. Sean A, B y C ∈ R3 se define triple producto escalar al número real: (A B C) = A × B · C ∈ R. Propiedades (triple producto escalar).. 1. ∀A, B, C ∈ R3 , (A B C) = (B C A) = (C A B) (propiedad cı́clica) 2. ∀A, B, C ∈ R3 , (A B C) = −(B A C) 3. Sean A, B, C ∈ R3 − {θ} aristas de un paralelepı́pedo, |(A B C)| es el volumen de dicho paralelepı́pedo. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 25 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn 4. Sean A, B, C ∈ R3 , (A B C) = 0 si y solo si los vectores son coplanares (Vectores coplanares son vectores tales que los puntos que los identifican pertenecen a un plano que pasa por el origen.) Demostración. 1. Sin demostración. 2. Sean A, B, C ∈ R3 (A B C) = A×B·C (por def. de triple producto escalar) = −(B × A) · C (por propiedad antisimétrica del producto vectorial) = −(B × A · C) (por propiedad del producto escalar) = −(B A C) (por def. de triple producto escalar) Luego probamos que: (A B C) = −(B A C) 3. Sean A, B, C ∈ R3 − {θ} aristas de un paralelepı́pedo. el volumen, que denotamos con V ol (A, B, C), es igual a área de la base por la longitud de la altura. V ol (A, B, C) = área de la base · h (1) Si consideramos la base del paralelepı́pedo al paralelogramo de lados A y B, el área está dada por ||A × B||, por propiedad del producto vectorial (notar que ||A × B|| ≥ 0 ). La altura del parale- lepı́pedo es el segmento perpendicular a la base trazado desde un vértice, de la cara opuesta, hasta Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 26 Álgebra y Geometrı́a Analı́tica Vectores en Rn dicha base. Es decir, el vector altura H = PC,A×B y su longitud, es la altura del paralelepı́pedo de base A y B, en consecuencia |C · A × B| ||H|| = ||PC,A×B || = ||A × B|| Por lo tanto, reemplazando en (1) V ol (A, B, C) = ||A × B|| |C·A×B| ||A×B|| = |C · A × B| = |A × B · C)|, por propiedad conmutativa del producto escalar = |(A B C)|, por def. de triple producto escalar. Luego V ol (A, B, C) = |(A B C)|. 4. Sin demostración. Ejercicios teóricos de integración 1. 1. Califique con verdadero o falso las siguientes proposiciones: ∀A, B ∈ Rn , kA + Bk = kAk + kBk ∀A, B ∈ Rn , |A · B| = kAkkBk 2. Sean A, B, C ∈ Rn. a) Demuestre que: kA + Bk2 = kAk2 + 2A · B + kBk2 b) Utilizando el apartado a) obtenga una expresión general para: kA−Bk, kA+2Ck y k3A − B + 2Ck. Mg. I. Lomas - Mg. E. Fernández FACET - UNT 27