5GT6h 2023-24 - UAA5 Fonctions trigonométriques.pdf

5 math 6h – UAA5 Trigonométrie UAA 5 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Compétence à développer Relier la notion de nombre trigonométrique d’un angle à celle de nombres trigonométriques d’un réel. Réinvestir les acquis du calcul algébriqu...

5 math 6h – UAA5 Trigonométrie UAA 5 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Compétence à développer Relier la notion de nombre trigonométrique d’un angle à celle de nombres trigonométriques d’un réel. Réinvestir les acquis du calcul algébrique et de l’analyse dans un contexte trigonométrique Modéliser er résoudre des problèmes à l’aide de fonctions trigonométriques La mesure en radian des angles orientés permet de définir les fonctions trigonométriques. Celles-ci jouent un grand rôle dans l’étude des phénomènes naturels périodiques. Contenu : 1. Le nombre 𝝅 , le radian, les arcs et secteurs angulaires 2. Fonctions trigonométriques et équations trigonométriques simples 3. Fonctions 𝒇(𝒙) = 𝒂. 𝐬𝐢𝐧(𝒃𝒙 + 𝒄) 4. Formules usuelles trigonométriques 5. Equations et inéquations trigonométriques Page | 1  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie Processus CONNAITRE Représenter sur un cercle trigonométrique un point correspondant à un angle donné ainsi que ses nombres trigonométriques. Représenter graphiquement les fonctions trigonométriques. Associer graphiquement les nombres trigonométriques d’un angle et les images d’un réel par une fonction trigonométrique. Interpréter le rôle des paramètres a, b et c de la fonction x → a sin(bx +c) Démontrer les formules usuelles trigonométriques APPLIQUER Calculer une amplitude d’angle, une longueur d’arc de cercle et une aire de secteur. Apparier des graphiques de transformées de fonctions trigonométriques et des expressions analytiques. Trouver l’expression analytique d’une transformée simple d’une fonction trigonométrique à partir de son graphique. Tracer le graphique d’une transformée simple d’une fonction trigonométrique. Utiliser les différentes formules usuelles pour transformer une expression Résoudre des équations, notamment en utilisant la calculatrice, le cercle trigonométrique et les fonctions trigonométriques. Résoudre une inéquation trigonométrique. Déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et les extrémums d’une fonction trigonométrique. TRANSFÉRER Résoudre un problème qui requiert l’utilisation d’une fonction du type f(x) = a sin(bx + c). Vérifier une identité trigonométrique. Page | 2  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie 1. Le nombre 𝝅 , le radian, les arcs et secteurs angulaires 1.1. Découverte du nombre  A) Rappel : la trigonométrie du triangle rectangle. La règle du CAH SOH TOA (« casse-toi ! ») Dans le triangle rectangle, les nombres trigonométriques d ‘un angle aigu ont été définis comme suit : |𝐴𝐵| 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 (CAH) cos 𝐵 = |𝐵𝐶| = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒 |𝐴𝐶| 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é (SOH) sin 𝐵 = |𝐵𝐶| = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒 |𝐴𝐶| 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é (TOA) tan 𝐵 = |𝐴𝐵| = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 sin 𝐵 Remarque : tan 𝐵 = cos 𝐵 Page | 3  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie B) Recherche du nombre  par la méthode d’Archimède. Archimède est né vers 287 av J-C à Syracuse, terre qui est alors objet des convoitises des armées de Rome et de Carthage. On sait assez peu de choses sur sa vie, seuls quelques épisodes sont racontés par Plutarque, écrivain grec très postérieur au scientifique. Tout juste sait-on qu'il est le fils d'un astronome, Phydius, qu'il est ami du roi Hiéron, tyran de Syracuse. On pense aussi qu'il étudia quelques années en Egypte, à Alexandrie, auprès des successeurs d'Euclide. Avant tout, Archimède excelle en géométrie, où il invente des méthodes d'avant- garde. Il calcule notamment la longueur du cercle en l'approchant par des polygones réguliers inscrits et exinscrits. En utilisant des polygones réguliers à 96 côtés, il montre notamment sa célèbre formule d'approximation de pi : Page | 4  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie Détaillons cette méthode : Recherchons le nombre  , rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre Si n = 4 (carré) 360 X Angle  = = x 4 X x x= X= pcarré = PCARRE = Donc < longueur du cercle < long < < 2r <  < Si n = 6 (hexagone) 360 Angle  = =.... X X x x x= X= phexag = PHEXAG = Donc < longueur du cercle < long < < 2r <  < Page | 5  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie Si n = 8 (octogone) 360 Angle  = =.... X x x= X= poctog = POCTOG = Donc < longueur du cercle < long < < 2r <  < Si n est quelconque : 360  Angle  =  =.... 2 X x x= X= ppolygone = PPOLYGONE = Donc long < < 2r <  < Page | 6  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie Si on consigne les encadrements successifs de  dans un tableau, on obtient avec l’aide d’un tableur : n pn Pn 6 3 3,46410162 8 3,06146746 3,3137085 16 3,12144515 3,18259788 32 3,13654849 3,15172491 64 3,14033116 3,14411839 128 3,14127725 3,14222363 256 3,1415138 3,14175037 1024 3,14158773 3,14160251 2048 3,14159142 3,14159512 4096 3,14159235 3,14159327 8192 3,14159258 3,14159281 On obtient une bonne approximation du nombre  = 3,141592… long Et puisque =  , on retrouve la formule du périmètre du cercle : 𝑙𝑜𝑛𝑔 = 2𝜋𝑟 2r Page | 7  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie Quelques vidéos sur le nombre pi : https://www.lumni.fr/video/comment-a-ete-decouvert-le-nombre- pi#:~:text=C'est%20Archim%C3%A8de%2C%20un%20math%C3%A9maticien,et%20c elui%20de%20la%20surface. https://www.youtube.com/watch?v=TcNfC8b4hUg https://www.youtube.com/watch?v=zya6W3YjxYE (0-5min) La notation 𝜋 𝜋 est la première lettre du mot grec  périmètre ou , circonférence, périphérie. Des décimales du nombre 𝜋 Depuis le 31 décembre 2009, il est connu environ 2 700 000 000 000 (environ 2700 milliards !) de décimales du nombre pi... A quoi cela sert-il de connaître tant de décimales de pi ? Le calcul de décimales de pi est un très bon test pour vérifier la précision des calculs des ordinateurs (deux erreurs graves furent ainsi détectées sur les super-ordinateurs IBM 590 et R8000) La recherche de "motifs" de régularité et les calculs de statistiques sur les chiffres du nombre pi nécessitent de connaître de plus en plus de décimales. Mais la motivation la plus importante n'est pas de connaître de plus en plus de décimales de pi mais bel et bien de les calculer. En effet, le calcul d'un si grand nombre de chiffres demande des algorithmes de calculs très perfectionnés et a permis de très grand progrès dans ce domaine. Page | 8  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie Les 100 premières décimales de pi : 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 Les 627 premières décimales de pi Elles sont affichées dans la salle (circulaire) de mathématiques du Palais de la Découverte Des poèmes pour retenir pi Ces poèmes sont des moyens mnémotechniques pour retenir quelques décimales en comptant le nombre de lettre de chaque mot. La longueur de chaque mot donne une décimale (un mot de 10 lettres code zéro). La ponctuation ne code rien. Page | 9  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie 1.2. Le cercle trigonométrique et le radian. A) Rappel sur les angles orientés Tu as vu en 4ème année les définitions suivantes : 1) Un angle est formé par la réunion de deux demi-droites de même origine. 2) Un angle orienté est un angle dont un côté est origine et l’autre est extrémité. Cela induit un sens !   3) Le cercle trigonométrique est, dans un repère orthonormé du plan, le cercle : dont le centre est l’origine du repère 1 +  dont le rayon vaut 1  dont l’origine est le point de coordonnée (1,0) 0 1 orienté positivement dans le sens anti-horloger et négativement dans l’autre sens 4) Dans le cercle trigonométrique, tout angle orienté a pour origine la demi- droite partie positive de l’axe x et, inversement chaque point du cercle définit un angle orienté. Le cercle et le repère définissent quatre quadrants Page | 10  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie B) Une nouvelle mesure : le radian. B Définition : Un angle au centre qui AB = intercepte un arc de cercle dont la longueur est égale à celle de son rayon O A AOˆB = sera un angle mesurant 1 RADIAN A partir de ce cercle, complète le tableau suivant en utilisant ce nouveau système de mesure : Arc de cercle Longueur de l’arc Angle au centre (rad) AB Cercle entier 1 cercle 2 1 cercle 4 3 cercle 4 1 cercle 8 1 cercle 9 1 cercle n Une autre approche : https://www.youtube.com/watch?v=-fu9bSBKM00 (0-8min) Une approche historique : https://www.youtube.com/watch?v=2-uyOoWrRs4&t=322s Une explication détaillée : https://www.youtube.com/watch?v=9_XfAr0_Wfc Page | 11  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie Voici douze points régulièrement espacés sur le D E C + cercle de centre O et de rayon 1. Un cycliste roule le long du cercle à partir du F B point A dans le sens positif et ne dépasse pas G A le tour complet. O A chaque point d’arrivée, on convient de faire H L correspondre un réel qui est la longueur de I K l’arc parcouru. J 1 𝜋 Par exemple, s’il parcourt l’arc AD de longueur. 2𝜋. 1 𝑜𝑢 ; 4 2 alors on associe le réel π au point D. 2 Complète : Point A B C D E F G H I J K L Longueur de l’arc parcouru Place les réels de la deuxième ligne sur le cercle de départ. L’arc parcouru correspond au réel : De A à D après un tour complet De A à H après deux tours complets De A à J après cinq tours complets De A à A après neuf tours complets Le réel marque le point du cercle : 5π + 2π 3 4π + 18π 3 17 π 3 Page | 12  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie 1.3. Les mesures d’un angle En degré En radian Définition : Définition : Un angle d’une amplitude de 1 degré Un angle d’une amplitude de 1 radian intercepte un arc de cercle de longueur intercepte un arc de cercle de longueur égale au 360ème du cercle complet. égale au rayon du cercle. Un angle orienté possède une infinité d’amplitudes, en d° ou en rad ; deux d’entre elles diffèrent par un nombre entier de tours complets, c’est-à-dire par un multiple entier de 360° ou de 2π radians. Exemple : La mesure quelconque d’un angle α̂ est : α̂ + k.360 α̂ + 2kπ Page | 13  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie La mesure principale d’un angle est positive si l’angle est situé dans le premier ou deuxième quadrant et négative si l’angle est situé dans le troisième ou quatrième quadrant. Elle sera toujours comprise : entre -180° et 180° entre - et  Propriétés Passage du degré au radian et inversement https://www.youtube.com/watch?v=-fu9bSBKM00 Puisque l’angle plein a une amplitude de 360° ou de 2 radians, on peut écrire : ̂° 𝛼 ̂ 𝑟𝑎𝑑 𝛼 ̂° 𝛼 ̂ 𝑟𝑎𝑑 𝛼 = ou = 360° 2𝜋𝑟𝑎𝑑 180° 𝜋𝑟𝑎𝑑 Exemples : Si 𝑎̂° = 30° alors 7𝜋 𝑟𝑎𝑑 Si 𝑎̂𝑟𝑎𝑑 = alors 4 Si 𝑎̂𝑟𝑎𝑑 = 2𝑟𝑎𝑑 En particulier : 1 radian vaut Exercices : 1. Convertis la mesure des angles dans l’autre unité (degré vers radian et inversement) 2𝜋𝑟𝑎𝑑 7𝜋𝑟𝑎𝑑 −5𝜋 𝑟𝑎𝑑 a) b) c) d) 225° e) 145° f) -54° 3 4 6 Page | 14  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie 2. Donne la mesure principale, 3 mesures positives, 3 mesures négatives des angles indiqués dans les 2 tableaux suivants. Place-les ensuite dans le cercle. Suis la procédure décrite pour les exemples en respectant l’unité. 1365° -280° 700° 2408° -1283° -1440° (-4tours) Mesure principale -75° On ajoute des tours (360°) 3 mesures positives -75° ; 285° ; 645° ; 1005° On retire des tours (360°) 3 mesures négatives -75° ; -435° ; -795° ; -1155° Conversion de la −75° 𝑎̂𝑟𝑎𝑑 = mesure 180° 𝜋 principale en −5𝜋 radians = 𝑎̂𝑟𝑎𝑑 ̂ 12 𝑎° 𝑎̂𝑟𝑎𝑑 = 180° 𝜋 Page | 15  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie 27𝜋 25𝜋 −16𝜋 −145𝜋 48𝜋 5 8 3 13 5 La mesure −5𝜋 5𝜋 principale est ≤ 𝑀𝑃 ≤ 5 5 comprise entre Un tour complet 10𝜋 2𝜋 = 5 Mesure 27𝜋 10𝜋 −3𝜋 principale − 3. = 5 5 5 On ajoute des tours (10𝜋 5 ) 3 mesures −3𝜋 7𝜋 17𝜋 27𝜋 ; ; ; positives 5 5 5 5 On retire des tours (10𝜋 5 ) 3 mesures négatives −3𝜋 ; −13𝜋 ; −23𝜋 ; −33𝜋 5 5 5 5 Conversion de la mesure −3.180° principale en 𝑎̂° = = 108° 5 degrés Page | 16  5 math 6h – UAA5 Trigonométrie Tableau 1 Tableau 2 Page | 17  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie https://www.youtube.com/watch?v=BODMdi2S3rY 𝜋 3. Soit +2𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) ; l’ensemble de toutes les mesures d’un angle Â. 6 Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont une mesure en radians de l’angle  ? 7𝜋 13𝜋 −11𝜋 73𝜋 −57𝜋 a) 𝑟𝑎𝑑 b) 𝑟𝑎𝑑 c) 𝑟𝑎𝑑 d) 𝑟𝑎𝑑 e) 𝑟𝑎𝑑 6 6 6 6 6 Page | 18  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie 1.4. Longueur d’arc de cercle et aire de secteur angulaire 1) Longueur d’un arc de cercle Pour un cercle de rayon r (dont la circonférence est 2r) la longueur l d’un arc de cercle intercepté par un angle de α̂  ou α̂ rad , se calcule par la formule de proportionnalité suivante : ℓ ̂° 𝛼 ̂ 𝑟𝑎𝑑 𝛼 = = 2𝜋𝑟 360° 2𝜋 y 1 -2 -1 0 1 2 x -1 Exemple : Quelle est la longueur d’un arc intercepté par un angle de 34° dans un cercle de 4 cm de rayon ? Page | 19  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie 2) Aire d’un secteur angulaire Pour un disque de rayon r (dont l’aire est r²) l’aire A d’un secteur angulaire, intercepté par un angle de α̂  ou α̂ rad , se calcule par la formule de proportionnalité suivante : A 𝛼̂° 𝛼̂ 𝑟𝑎𝑑 = = 𝜋𝑟 2 360° 2𝜋 y 1 -2 -1 0 1 2 x -1 rad 7π Exemple : Quelle est l’aire d’un secteur angulaire intercepté par un angle de dans 5 un cercle de 3 cm de rayon ? Page | 20  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie Exercices 1. Un cercle a une circonférence de 8 cm. Quelle est la longueur de l'arc sous-tendu par un angle de 90° ? 2. Un cercle a un rayon de 3 cm. Quelle est la longueur de l'arc sous-tendu par un angle de π/3 rad ? 3. Un arc sous-tendu par un angle de 30° a une longueur de 2 cm. Quel est le rayon du cercle ? 4. Un arc sous-tendu par un angle de π/4 a une longueur de 4 cm. Quelle est la circonférence du cercle ? 5. Un cercle a un rayon de 3 cm. Quel angle sous-tend un arc de longueur de 1 cm ? 6. Sur un vélodrome, un cycliste parcourt 90 m sur la piste circulaire. Le commissaire de course placé au centre voit qu'il balaie un angle de 48°. Calcule le rayon de la piste. 7. Un cercle a un rayon de 2 cm. Quelle est l'aire du secteur formé par un angle au centre de 120° ? 8. Un cercle a un rayon de 4 cm. Un secteur est formé par un arc avec une longueur de 2 cm. Quelle est l'aire du secteur ? 9. Un cercle a un rayon de 8 cm. Quel angle au centre sous-tend un secteur avec un aire de 16π cm2 ? Quelle est la longueur d'arc de ce secteur ? 10. Un pare-brise plan, de forme rectangulaire, est équipé d'un essuie-glace comme le montre la figure ci-dessous. Quelle est l'aire de la zone balayée par l'essuie-glace ? 120° Page | 21  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie 2. Les fonctions trigonométriques 2.1. Les nombres trigonométriques d’un angle orienté 1) Rappel des définitions Dans un repère orthonormé du plan, si le point M est l’unique point du cercle trigonométrique déterminé par l’angle orienté, alors : Le COSINUS de 𝑥, noté 𝑐𝑜𝑠 𝑥 est Le SINUS de 𝑥, noté 𝑠𝑖𝑛 𝑥 est La TANGENTE de x, notée 𝑡𝑎𝑛 𝑥 est CE : La COTANGENTE de x, notée 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 est CE : Page | 22  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie 2) Propriétés et relations fondamentales Pour tout angle orienté x : -1  cos x  1 -1  sin x  1 En effet tout point du cercle a une En effet tout point du cercle a une abscisse comprise entre -1 et 1 puisque ordonnée comprise entre -1 et 1 puisque le le rayon vaut 1 rayon vaut 1 Signes du cosinus : Signes du sinus : tan x  R cotan x  R CE : si x  CE : si x  Signe de la tangente : Signe de la cotangente : 𝜋 1 ∀𝑥 ≠ 𝑘. 2 , on a 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 = et inversement tan x Page | 23  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie La relation fondamentale de Pythagore : Pour tout angle 𝑥, cos²𝑥 + sin² 𝑥 = 1 De cette relation, on en déduit 2 autres 1 1 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 = et 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 Exercice : Détermine en valeur exacte les autres nombres trigonométriques de l’angle 𝛼 sans déterminer son amplitude 2 a) si sin 𝛼 = 3 et que 𝛼 est un angle du 2 ème quadrant −5 b) si tan 𝛼 = 6 et que 𝛼 est un angle du 4 ème quadrant. Représente le tout dans le cercle trigonométrique. 3) NT et valeurs particulières Les valeurs particulières du 1er quadrant Page | 24  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie Les angles associés à ceux du 1er quadrant et les valeurs particulières du cercle 2 angles supplémentaires ont leur somme égale à 𝑥 𝑒𝑡 (𝜋 − 𝑥)𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑙é𝑚é𝑛𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 Leurs sinus sont Leurs cosinus sont Leurs (co)tangentes sont 2 angles opposés ont leur somme égale à 2 angles anti supplémentaires ont leur 𝑥 𝑒𝑡 (−𝑥) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é𝑠 différence égale à 𝑥 𝑒𝑡 (2𝜋 − 𝑥) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é𝑠 𝑥 𝑒𝑡 (𝑥 ± 𝜋)𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑎𝑛𝑡𝑖 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑙é𝑚é𝑛𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 Leurs sinus sont Leurs sinus sont Leurs cosinus sont Leurs cosinus sont Leurs (co)tangentes sont Leurs (co)tangentes sont Page | 25  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie Exercice : Après réduction au premier quadrant et avec l’aide du cercle, calcule la valeur exacte de l’expression ou simplifie-la en fonction de x : tan 210° + sin 600° 1) = cos (-60°) 2) tan 225°. sin150° - cos²(-600°) = cos (135°). sin225° - tan(-945°) 3) = sin(-30°). cos²(120°) cotan (90°- x). sin (180°- x) 4) = cos (x + 360°). tan (360°- x) 1 tan 120. sin(-60) 5) 2 ( cos 225° + )- = sin 675° 3.cos(-390) cos( - x).sin(-x) 6) =  cotan( − x).sin( + x) 2 3 4  tan + sin( − ) 7) 2 3 6 = 11  4. cos + cot an 6 4 3 sin 210 + tan 600 8) 2 = 4 cos(-60) - cotan 135 𝜋 3𝜋 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 (𝑥 − 2 ). sin ( 2 − 𝑥 ) 9) = tan(𝜋−𝑥).cos (−𝑥) 4 8 − cos  + tan sin 10) 3 − 3 = 3 14 sin cos 2 3 Page | 26  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie 2.2. Les fonctions trigonométriques. Préliminaire : Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques. Une fonction 𝑓(𝑥) est périodique ssi il existe un nombre P positif (la période) tel que : 𝑓(𝑥 ± 𝑃) = 𝑓(𝑥) pour tout valeur 𝑥 du domaine de définition de la fonction On appelle cycle d'une fonction trigonométrique la partie d'un graphique qui correspond à la plus petite portion de la courbe associée à un motif qui se répète. On appelle période l'écart entre deux abscisses situées aux extrémités d'un même cycle. Exemple de fonction périodique https://www.youtube.com/watch?v=0bBp_A2xPzM https://www.geogebra.org/m/UUEQANT5#material/XQFqjhfd Page | 27  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie A) La fonction sinus Définition : 𝑠𝑖𝑛 : ℝ → ℝ 𝑥 → 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) qui est le sinus de l’angle dont 𝑥 est une amplitude en radian Tableau de valeurs : Graphe : Page | 27  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie Propriétés : dom sin = Tableau de signes : x im sin = sin x rac sin = Tableau de variation : max sin = x min sin = sin x parité : période sin = Une animation : https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_fr.html Page | 28  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie B) La fonction cosinus Définition : 𝑐𝑜𝑠 : ℝ → ℝ 𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) qui est le cosinus de l’angle dont 𝑥 est une amplitude en radian Tableau de valeurs : Graphe : Propriétés : dom cos = Tableau de signes : im cos = x cos x rac cos = max cos = Tableau de variation : min cos = x parité : cos x période cos = Page | 29  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie C) La fonction tangente Définition : 𝑡𝑎𝑛 : ℝ → ℝ 𝑥 → 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛(𝑥) ; qui est la tangente de l’angle dont 𝑥 est une amplitude en radian CE : 𝑥 ≠ Tableau de valeurs : Graphe : Page | 30  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie Propriétés : dom tan = Tableau de signes : im tan = x tan x rac tan = extrema = Tableau de variation : AV  x tan x parité : période tan = Page | 31  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie Exercices. Animation Geogebra pour manipuler la fonction sinus : http://www.macformath.net/math/trigo/manip_sinx/manip_sinx.html 1) On donne 6 graphiques et des expressions analytiques de fonctions trigonométriques associées. Faire les bonnes associations. Rappelle-toi les manipulations de fonctions vues en 4ème (page suivante). 𝜋 𝜋 𝐴. sin 𝑥 𝐵. sin (𝑥 + 4 ) 𝐶. sin (2 + 𝑥) 𝐷. sin 3𝑥 Page | 32  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie Rappel sur les manipulations (à lire en préparation) https://www.youtube.com/watch?v=N3SQ26Ejhjw Au départ du graphe Le point de Le graphe a subi la transformation suivante : de 𝒇(𝒙), on veut coordonnée construire celui de : (𝒙, 𝒚) devient : T Une translation verticale de 𝑘 unités R A 𝑓(𝑥) + 𝑘 (𝑥 ; 𝑦 + 𝑘) - Vers le haut si 𝑘 > 0 N S - Vers le bas si 𝑘 < 0 L A Une translation horizontale de 𝑘 unités T I 𝑓(𝑥 + 𝑘) (𝑥 − 𝑘 ; 𝑦) - Vers la gauche si 𝑘 > 0 O N On touche aux x  contraire - Vers la droite si 𝑘 < 0 S Y − 𝑓(𝑥) (𝑥 ; −𝑦) Une symétrie orthogonale d’axe 𝑥 M E T R I (−𝑥 ; 𝑦) Une symétrie orthogonale d’axe 𝑦 E 𝑓(−𝑥) Une déformation verticale : - Etirement si |𝑘| > 1 D E 𝑘. 𝑓(𝑥) (𝑥 ; 𝑘. 𝑦) - Compression si 0 < |𝑘| < 1 F O De plus, si 𝑘 < 0, la déformation est suivie R M d’une symétrie orthogonale d’axe 𝑥. A T I Une déformation horizontale : O N - Compression, si |𝑘| > 1 𝑥 ( ; 𝑦) - Etirement si 0 < |𝑘| < 1 𝑓(𝑘. 𝑥) 𝑘  contraire De plus, si 𝑘 < 0, la déformation est suivie d’une On touche aux x symétrie orthogonale d’axe 𝑦. Page | 33  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie 2) En utilisant les manipulations des fonctions de référence trigonométriques, trace le graphe des fonctions suivantes. Pour chacune, donne le domaine, l’ensemble image, les racines et la période. Quelle conclusion tires-tu concernant la période par rapport à la manipulation effectuée ? Page | 34  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie Conclusion sur le changement de période : Page | 35  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie 3) Résous les équations en n’oubliant pas de poser les CE éventuelles Travaille à l’aide des graphiques et des cercles trigonométriques. cos 𝑥 = 0 sin 𝑥 − 1 = 0 Page | 36  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie tan( 𝑥) − √3 = 0 ⇔ tan(𝑥) = √3 1 2 cos(𝑥) + 1 = 0 ⇔ cos(𝑥) = − 2 Page | 37  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie 4) Résous et utilise ta calculatrice pour donner les solutions des équations suivantes, l’unité étant le radian. Représente les solutions dans le cercle trigonométrique. a) 3. cos(𝑥) = 2 ⇔ cos(𝑥) = b) 4 sin(𝑥) + 1 = 0 ⇔ sin(𝑥) = Page | 38  5 math 4h – UAA5 Trigonométrie c) tan(𝑥) = 3,5 Page | 39 5 math 4h – UAA5 Trigonométrie Page | 40  Trigonométrie – 5tr 4h https://www.youtube.com/watch?v=NlV2zKJtvc8 https://www.youtube.com/watch?v=FChmUolhDpg https://www.youtube.com/watch?v=rc3S2_LnCw8 (jusque 8 minutes 30) Exemples supplémentaires : 𝜋 1) sin (3𝑥 − ) = 1 4 3𝜋 2) cos (2𝑥 + ) = −1 4 5𝜋 3) tan (3𝑥 − )=0 6 Exercice: Résous les équations suivantes et représente les solutions dans le cercle 1 3 1) cos 𝑥 = 2 9) sin 𝑥 = 5 13 2) sin 𝑥 = − √2 10) tan 𝑥 = − 2 4 3) tan 𝑥 = −1 11) 2. cos 5𝑥 = −√3 4) 2 sin(𝑥) + 1 = 0 𝜋 12) 2. cos (3𝑥 + 2 ) + 1 = 0 5) tan(𝑥) − √3 = 0 𝜋 13) 2. sin (6 − 2𝑥) = √3 6) sin 𝑥 = 5 𝜋 14) 3. tan (2𝑥 − 6 ) = √3 7) 2. cos 𝑥 = −√3 2 8) cos 𝑥 = − 7 15) tan ² 𝑥 = 3 Page | 41  Trigonométrie – 5tr 4h 3. Fonction 𝒇(𝒕) = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝝋) + 𝒃 Activité introductive : La grande roue Jean est forain et exploite une grande roue. Il nous a communiqué ses caractéristiques : 30 m de diamètre Point le plus haut à 32,5m 20 nacelles 40 tours à l’heure dans le sens anti-horlogique. Alicia a pris place dans une des nacelles. Elle voudrait connaître la distance entre le point de fixation de la nacelle et le sol à différents moments d’un tour de roue. a) Quelle est la distance du centre de la roue au sol ? b) Combien de temps faut-il pour effectuer un tour complet ? c) Quelle est la mesure en degrés et en radians de l’arc parcouru par une nacelle en une seconde ? A quelle fraction du tour cela correspond-il ? d) Combien de degrés ou radians parcourt-elle en t secondes ? Page | 42  Trigonométrie – 5tr 4h e) Au début de l’observation, la nacelle dans laquelle Alicia a pris place se trouve à 30° par rapport au diamètre horizontal. Où se trouve-t-elle après 15 secondes ? après 25 sec ? après 45 sec ? f) A quelle distance du sol se trouve-t-elle à chacun de ces moments ? g) A quelle distance du sol se trouve-t-elle après t secondes ? Page | 43  Trigonométrie – 5tr 4h Synthèse : les caractéristiques de la fonction 𝒇(𝒕) = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝝋) + 𝒃 La fonction 𝑓(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑏 permet de décrire un phénomène périodique. Dans l’exemple de la grande roue qui tourne à vitesse angulaire constante, une telle fonction décrit la distance au sol d’un point fixe de la roue en mouvement et la variable est le temps. On parle alors de mouvement harmonique. Que représentent les paramètres 𝐴, 𝑏, 𝜔 et 𝜑 dans l’expression 𝑓(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑏 ? Paramètres Exemple : La grande roue 𝑏 est le décalage vertical A est l’amplitude maximum L’amplitude est la demi-différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction. 𝜔 est la vitesse angulaire ou la pulsation, exprimée en rad/s ou en d°/s. 𝜑 est la phase à l’origine. Page | 44  Trigonométrie – 5tr 4h La période T est le nombre de secondes nécessaires pour effectuer un tour. La période est liée à la vitesse angulaire par la relation 2𝜋 𝑇= (en secondes) 𝜔 La fréquence f est le nombre de tours par secondes ; elle est liée à la période par la relation 1 𝑓 = 𝑇 (en hertz (hz)) Le déphasage s’obtient en résolvant 𝜔𝑡 + 𝜑 = 0, ce qui donne −𝜑 𝑡= 𝜔 Comment calculer les valeurs des différents paramètres et les repérer sur le graphique de la fonction 𝒇(𝒕) = 𝑨 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 + 𝝋) + 𝒃 ? 𝜋 𝜋 Soit la fonction de l’introduction ℎ(𝑡) = 15 sin ( 6 + 45 𝑡) + 17,5 dont voici le graphique : y 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x Page | 45  Trigonométrie – 5tr 4h Autres exemples : 1) Soit la fonction 𝑓(𝑡) = 2 sin(3𝑡 + 𝜋⁄3) y 2 Amplitude = y=f(x) 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -2 Déphasage = Période = 2𝜋 2𝜋 -3 Période = = 𝜔 3 𝜋 −𝜋 Le déphasage est la solution de l’équation 3𝑡 + 3 = 0, ce qui donne 𝑡 = ≈ −0,35𝑠. 9 2) Soit la fonction 𝑓(𝑡) = 5 sin(4𝑡 + 𝜋⁄4) − 3 y Période = Amplitude = 2 -1 0 1 2 3 4 x -2 -4 -6 -8 Déphasage = Décalage vertical = -10 Période : Déphasage : -12 Page | 46  Trigonométrie – 5tr 4h Comment tracer le graphe d’une fonction de type 𝒇(𝒕) = 𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝝋) + 𝒃 ? On utilise les différents paramètres 𝑏, 𝐴, 𝜔 𝑒𝑡 𝜑; et leur implication sur la transformation du graphe de la sinusoïde :  La sinusoïde 𝑓(𝑡) est symétrique par rapport à la droite 𝑦 = 𝑏 𝑦 = sin (𝑥) est symétrique par rapport 𝑦 = 0 a subi une translation verticale de 𝑏 unités  La sinusoïde 𝑓(𝑡) admet pour ensemble image 𝑖𝑚𝑓 = [𝑏 − 𝐴 ; 𝑏 + 𝐴] le graphe de 𝑦 = sin (𝑥) a subit un étirement vertical (sans retournement) et s’étend de 𝐴 unités de part et d’autre de son axe de symétrie horizontal 𝑦 = 𝑏 2𝜋  La sinusoïde 𝑓(𝑡) admet pour période 𝑇 = 𝜔 le graphe de 𝑦 = sin (𝑥) a subi une compression (ou un étirement) horizontal de facteur 𝜔 −𝜑  La sinusoïde 𝑓(𝑡) admet pour déphasage =𝐷 𝜔 le graphe de 𝑦 = sin (𝑥) a subi une translation horizontale de 𝐷 unités.  Conséquence de la période et du déphasage : Une période complète de 𝑦 = sin (𝑥) qui s’étendait sur [0; 2𝜋] devient pour la sinusoïde 𝑓(𝑡) une période complète qui s’étend sur [𝐷; 𝐷 + 𝑇] et sur cet intervalle se trouve un max et un min qui vont être déterminés assez facilement. Page | 47  Trigonométrie – 5tr 4h 𝜋 Exemple : tracer le graphe de 𝑓(𝑥) = 3 sin (2𝑥 + ) + 1 4 Analyse des paramètres : 1) 𝑏 = 1 : le graphe est symétrique par rapport à la droite 𝑦 = 1 et va donc osciller de part et d’autre de cette droite. 2) 𝐴 = 3 : le graphe a été étiré verticalement (sans retournement) et s’étend de 3 unités de part et d’autre de la droite 𝑦 = 1 ; donc l’ensemble image de 𝑓(𝑥) est compris entre 1 − 3 𝑒𝑡 1 + 3 c’est-à-dire 𝑖𝑚𝑓 = [−2; 4] 2𝜋 3) 𝜔 = 2 : la période est 𝑇 = = 𝜋 et le graphe subit une compression 2 horizontale de facteur 2 𝜋 −𝜑 − −𝜋 −𝜋 4) 𝐷 = = 4 = : le déphasage vaut et le graphe subit une translation 𝜔 2 8 8 −𝜋 horizontale de unités et donc une période complète 8 −𝜋 7𝜋 de 𝜋 s’étend sur l’intervalle [ 8 ; ] 8 Page | 48  Trigonométrie – 5tr 4h 5) les max et min ? Pour 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) on a sur une période complète [0; 2𝜋] −𝜋 7𝜋 Cette situation se transforme pour 𝑦 = 𝑓(𝑥) sur l’intervalle [ 8 ; ] qu’il faut 8 diviser en 4 pour identifier le maximum et le minimum présents sur cette période, 0 𝜋 −𝜋 −𝜋 𝑒𝑛 𝑥 = , on a le point ( 8 ; 1) car situé sur l’axe de symétrie 𝑦 = 𝑏 8 𝜋 𝜋 𝑒𝑛 𝑥 = se trouve un max de coordonnée ( 8 ; 4) 𝑐𝑎𝑟 4 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑚𝑎𝑥 𝑑𝑒 𝑖𝑚 𝑓 = [−2; 4] 8 3𝜋 3𝜋 𝑒𝑛 𝑥 = , on a le point ( 8 ; 1) car situé sur l’axe de symétrie 𝑦 = 𝑏 8 5𝜋 5𝜋 𝑒𝑛 𝑥 = 8 se trouve un min de coordonnée ( 8 ; −2) 𝑐𝑎𝑟 −2 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑛 𝑑𝑒 [−2; 4] 7𝜋 7𝜋 𝑒𝑛 𝑥 = , on a le point( 8 ; 1) car situé sur l’axe de symétrie 𝑦 = 𝑏 8 y 4 3 2 1 -2 - 0 2 x -1 -2 -3 Page -4| 49 -5  Trigonométrie – 5tr 4h Exercices 1. Complète le tableau suivant pour chacune des fonctions : 2π π f(t) = 2 sin ( t) f(t) = 3 sin(2πt + π⁄2) f(t) = 2 sin ( (t − 1)) + 3 5 12 Amplitude 𝐴 Déphasage 𝐷 Période 𝑇 Intervalle sur une période Décalage vertical 𝑏 Ens image extrémums Page | 50  Trigonométrie – 5tr 4h 2. Associe chaque expression analytique à son graphique. Justifie. π 1 3π f(t) = 3 sin (2t + ) g(t) = sin(3t) + 1 h(t) = sin (2t + )− 2 5 2 4 π t i(t) = 2 sin (t + 3 ) + 2 j(t) = 2 sin t − 2 k(t) = 4 sin (2) + 1 Page | 51  Trigonométrie – 5tr 4h 3. Dans un circuit électrique, l’intensité du courant en ampères est donnée par : 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚𝑎𝑥 sin(100𝜋𝑡 + 𝜑) où t est le temps (en sec) a) En observant le graphique de la fonction donné ci-dessous, détermine 𝐼𝑚𝑎𝑥 , la période et 𝜑. Montre ton raisonnement et tes calculs. b) A quels moments a-t-on une intensité égale à 3A ? Donne ta réponse graphiquement. Page | 52