UAA 1 Trigonométrie PDF

1 UAA 1. TRIGONOMETRIE I. RAPPELS 1. Trigonométrie du triangle rectangle (SOHCAHTOA) sin β = b cos β = c tan β = b a a c...

1 UAA 1. TRIGONOMETRIE I. RAPPELS 1. Trigonométrie du triangle rectangle (SOHCAHTOA) sin β = b cos β = c tan β = b a a c sin γ = c cos γ = b tan γ = c a a b β + γ = 90  a² = b² + c² 2. Trigonométrie du triangle quelconque a b c = = sin α sin β sin γ a² = b² + c² - 2 bc cos α b² = a² + c² - 2 ac cos β c² = a² + b² - 2 ab cos γ α + β + γ = 180° 1 1 1 aire du triangle = 2. a. b. sinγ =. b. c. sinα =. a. c. sinβ 2 2 3. Trigonométrie du cercle Soit (O ; E ; U) un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon OE = 1. Les angles sont représentés de telle sorte que le sommet soit O et le côté origine soit O ; E ; c’est le côté extrémité O ; X qui détermine l’angle. UAA1 : trigonométrie  2 Nombres trigonométriques d’un angle -1 ≤ cos x ≤ 1 -1 ≤ sin x ≤ 1 sin² x + cos² x = 1 sin x tan x = si x ≠ 90° + k.180° (k є Z) cos x cos x cotan x = si x ≠ k.180° (k є Z) sin x 1 cotan x = si x ≠ k.90°(k ∈ Z) tan x 1 1 + tan² x = cos² x si x ≠ 90° + k.180° (k є Z) 1 1 + cotan² x = si x ≠ k.180° (k є Z) sin² x Tableau des valeurs particulières x 0° 30° 45° 60° 90° sin x 0 1 2 3 1 2 2 2 cos x 1 3 2 1 0 2 2 2 tan x 0 3 1 3 N’existe pas 3 cotan x N’existe 3 1 3 0 pas 3 UAA1 : trigonométrie  3 Angles associés Angles opposés Angles supplémentaires sin (-a) = - sin a sin (180°-a) = sin a cos (-a) = cos a cos (180°-a) = - cos a tan (-a) = - tan a tan (180°-a) = - tan a cotan(-a) = - cotana cotan(180°-a)= - cotan a Angles Angles anti-supplémentaires complémentaires sin(180°+a) = - sin a sin(90°-a)= cosa cos(180°+a)= - cosa cos(90°-a) = sina tan (180°+a) = tan a tan (90°-a) = cotan a cotan(180°+a)= cotan a cotan (90°-a) = tan a UAA1 : trigonométrie  4 II. VALEUR APPROCHEE DU NOMBRE π Un peu d'histoire : La trigonométrie s'intéresse au nombre . Au IIIème siècle avant J.-C., Euclide (mathématicien grec) découvre que la surface du cercle est proportionnelle au carré du rayon tandis que Archimède propose 22 7 comme valeur approchée du nombre . A la fin du IVème siècle après J.-C., un chinois donne un encadrement du nombre : 3,1415926 <  < 3,1415927 Ce n'est qu'au XVIIème siècle que Kepler et Galilée confirmeront ce résultat en inscrivant dans un cercle un polygone d'une infinité de côtés. Méthode de calcul pour estimer le nombre  : L'idée se base sur deux constatations : 1) La circonférence d'un cercle est comprise entre le périmètre d'un polygone inscrit et celui d'un polygone circonscrit à ce cercle. 2) La différence entre ces longueurs est d'autant plus petite que le nombre de côtés du polygone est grand. Pour faciliter nos calculs, nous considérons des polygones réguliers inscrits et circonscrits ayant le même nombre de côtés. Dans la figure de référence, les polygones sont des octogones réguliers. a) Quelle est l'amplitude de l'angle  ? b) Détermine HE en fonction du rayon r du cercle. c) Détermine une formule qui donne le périmètre de l'octogone inscrit en fonction du rayon du cercle. UAA1 : trigonométrie  5 d) Détermine H' E' en fonction du rayon r du cercle. e) Détermine une formule qui donne le périmètre de l'octogone circonscrit en fonction du rayon du cercle. f) Recherche un encadrement du nombre  en utilisant l'inégalité suivante : périmètre de l'octogone inscrit < circonférence du cercle < périmètre de l'octogone circonscrit. g) Reprends la même démarche pour des polygones réguliers de 16 côtés. h) Reprends la même démarche pour des polygones réguliers de 360 côtés. III. LE RADIAN Un angle orienté peut se mesurer : - en degré : la mesure d’un angle lue au rapporteur est appelée amplitude en degré de cet angle. L’angle droit a une amplitude de 90°. L’angle plat a une amplitude de 180°. 1° = 60’ 1’ = 60 ’’ - en radian : un angle d’un radian est un angle qui intercepte, sur tout cercle centré en son sommet, un arc de longueur égale à celle du rayon de ce cercle. UAA1 : trigonométrie  6 Activité : se munir d'une petite ficelle. Construire un cercle. Visualiser un angle de 1 radian en reportant au moyen de cette ficelle le rayon du cercle sur la circonférence du cercle. α = 1 radian β = 2 radians γ = 3 radians 360   2π  6,28 radians Propriété L’angle plat a une amplitude de  radians. Démonstration La circonférence d’un cercle est donnée par la formule 2r. Puisque le cercle trigonométrique est de rayon 1, la longueur de la circonférence est de 2. La longueur de l’arc intercepté par un angle plat est donc de  unités. Si la longueur de l’arc est de 1 unité, l’angle au centre est de 1 radian. Si la longueur de l’arc est de  unités, l’angle au centre est de  radians. CQFD UAA1 : trigonométrie  7 Remarques : 1) ne pas mélanger les systèmes d’unités de mesure d’angles ; 2) mesure de E Ô M = ° + k 360° ou  rad + k2 avec k  Z ; 3) souvent, dans le système radian, on ne note pas l'unité "rad". Exercices 1. Calcule l’amplitude en degrés d'un angle de : 2π 7π 3π 3π 16π a) rad b) rad c) rad d) rad e) - rad f) 2,7rad g) - 4 rad 3 6 5 4 7 2. Calcule l’amplitude en radian d'un angle de : a) 225° b) 315° c) 240° d) 210° e) 75° f) – 380° g) 349° 3. Place sur le cercle trigonométrique le point qui détermine l’angle orienté dont l’amplitude est : π −π 3π 2π − 7π a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad f) π rad 3 6 4 3 4 − 7π 17π 6 7 g) rad h) rad i) 2 rad j) rad k) − rad 3 4 π 4 4. Calcule sans calculatrice: 5𝜋 −𝜋 2𝜋 −3𝜋 −5𝜋 a) sin b) cos c) tan d) cos e) cos 4 3 3 4 6 −𝜋 5𝜋 3𝜋 −5𝜋 5𝜋 f) cos 4 g) sin h) tan i) cos j) cotan 6 2 3 3 19𝜋 9𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 k) tan l) cos m) sin² +cos² 5 n) sin² + cos² 4 6 2 5 3 −7𝜋 3𝜋 sin sin 4 7 o) 8𝜋 p) 𝜋 cos cos 3 14 5. En utilisant les angles associés, exprime les expressions suivantes en fonction de α. π 3π a) tg (π + α) b) cotg ( + α ) c) sin (α – π) d) sin ( +α ) 2 2 π  11π  e) sin ( + α ) f) cos (α – π) g) tg (α + 2π) h) cos  α +  2  2  UAA1 : trigonométrie  8 IV. ARCS ET SECTEURS CIRCULAIRES Longueur d’un arc de cercle A et B étant deux points du cercle de centre O et de rayon r, la longueur de l’arc de cercle AB est égale au produit de l’amplitude de l’angle AÔB exprimée en radian par le rayon du cercle c-à-d AB = r. AÔB. Exemple π Calcule la longueur de l’arc de cercle intercepté par un angle de rad dans un 3 cercle de rayon 5 cm. Aire d’un secteur circulaire A et B étant deux points du cercle de centre O et de rayon r, L’aire du secteur AOB est égale à la moitié du produit de l’amplitude de l’angle AÔB exprimée en radian par le carré du rayon du cercle c-à-d r². AÔB avec AÔB  0 ; 2π  1 2 Exemple π Calcule l’aire du secteur intercepté par un angle de rad dans un cercle de rayon 5 3 cm. Exercices 6. Trouve la mesure en radian d’un angle au centre qui intercepte un arc de 15 cm sur un cercle de 6 cm de rayon. Détermine l’aire du secteur ainsi obtenu. 7. Un angle au centre est sous-tendu par un arc de longueur 10 cm sur un cercle de rayon 4 cm. a) Donne une valeur approchée de cet angle en degré. b) Trouve l’aire du secteur circulaire déterminé par cet angle. UAA1 : trigonométrie  9 8. Mesure de distances sur terre La distance entre deux points A et B sur terre se mesure le long d’un cercle dont le centre O est au centre de la terre et dont le rayon est égal à la distance de O à la surface de la terre (voir la figure). Si le diamètre de la terre est approximativement de 12 800 km, calcule la distance entre A et B si l’angle AÔB vaut : a) 60° b) 45° c) 30° d) 1° 9. L'aiguille des minutes d'une horloge a 6 cm de long. Quelle est la longueur de l'arc décrit par l'extrémité de l'aiguille : a) en 20 minutes ? b) en 35 minutes ? 10. Simon et Lise mangent ensemble deux pizzas, une grande de 25 cm de diamètre et une petite de 20 cm de diamètre. Simon réclame deux tiers de la grande pizza. Quelle portion de la petite pizza Lise doit-elle manger après avoir terminé la grande pizza pour avoir la même quantité que son frère ? 11. Les villes de Saint-Denis (île de la Réunion) et de Victoria (île Mahé, Seychelles) sont situées sur le même méridien avec pour latitudes respectives 20,52˚Sud et 4,38˚Sud. Calcule la distance entre ces deux villes en suivant le méridien sachant que le rayon terrestre vaut 6400 km. 12. Des bruxellois partent en vacances vers le sud de l’Espagne en suivant le même méridien et parcourent 2500 km. Sachant que la latitude de Bruxelles est de 51˚N et que le rayon de la Terre est de 6400 km, calcule la latitude du lieu de vacances ? 13. La figure ABCO’DEF ci-dessous représente une plaque de rue d'axe de symétrie OO'. L’arc CD est un arc de cercle de rayon OC = 30 cm. Calcule l’aire du secteur circulaire grisé ainsi que l’aire totale de la plaque de rue. UAA1 : trigonométrie  10 V. EQUATIONS ELEMENTAIRES En degré En radian sin x = sin a° sin x = sin a  x = a  + k.360  x = a + k.2 ou ou x = 180 − a  + k.360 x =  − a + k.2 S = a  + k.360 ;180 − a  + k.360 (k  Z ) S = a + k.2 ;  − a + k.2 (k  Z ) cos x = cos a° cos x = cos a  x = a  + k.360  x = a + k.2 ou ou x = −a  + k.360 x = −a + k.2 S = a  + k.360 ; − a  + k.360 (k  Z) S = a + k.2 ; − a + k.2 (k  Z) tg x = tg a° C.E. : x ≠ 90° + k.180°  tg x = tg a C.E. : x ≠ + k.π 2  x = a  + k.180 S = a  + k.180 (k  Z)  x = a + k. S = a + k. (k  Z) Exercices 14. Résous les équations suivantes (c'est-à-dire trouve tous les angles). 2 1) sin x = (en ° et sans calculatrice) 2 9) cos x = 2,584 (en radians) 1 2) cos x = - (en ° et sans calculatrice) 10) sin x = -0,25 (en radians) 2 3) tan x = - 3 (en radians et sans 11) cos x = -0,984 (en radians) calculatrice) 12) tan x = 0,2596 (en radians) 4) sin x = 1 (en radians et sans 13) cotan x = 1,4528 (en calculatrice) radians) 14) tan x = -6,24 (en radians) 5) sin x = 0,73201 (en °) 15) sin x = -0,9856 (en radians) 6) cos x = 0,49 (en °) 16) cos x = -0,1848 (en radians) 7) tan x = 3,21456 (en radians) 17) sin x = 3 (en radians) 8) cotan x = 2,562 (en radians) UAA1 : trigonométrie  11 VI. FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1. Définition Une fonction f est périodique de période p   x dom f f(x + p) = f(x) Exemples Fonction périodique de période … Fonction périodique de période …. 2. Activité Une fourmi se déplace sur un cercle en fil de fer, de centre C, de rayon 1, à partir du point O, dans le sens positif. Un élève l’observe et décide de dessiner un graphique qui donne la position de la fourmi par rapport au diamètre CO du cercle en fonction du chemin qu’elle a parcouru sur le cercle. Visualisons le résultat obtenu à l’aide du logiciel GeoGebra. Ce graphique est une sinusoïde. UAA1 : trigonométrie  12 3. Fonctions trigonométriques a) La fonction sinus f(x) = sin x tel que sin x est le sinus de l'angle dont l'amplitude est x radians. x - -/2 - π/4 0 π/6 /4 /3 /2 2/3 3/4  5/4 3/2 7/4 2π f(x) domf = imf = racines de f : x = ordonnée à l’origine : y = fonction croissante sur décroissante sur maximum ( ; ) minimum ( ; ) fonction paire ou impaire ? Justifie. fonction périodique ? Justifie. UAA1 : trigonométrie  13 b) La fonction cosinus f(x) = cos x tel que cos x est le cosinus de l'angle dont l'amplitude est x radians. x - -/2 - π/4 0 π/6 /4 /3 /2 3/4 5/6  5/4 3/2 7/4 2π f(x) domf = imf = racines de f : x = ordonnée à l’origine : y = fonction croissante sur décroissante sur maximum ( ; ) minimum ( ; ) fonction paire ou impaire ? Justifie. fonction périodique ? Justifie. UAA1 : trigonométrie  14 c) La fonction tangente f(x) = tan x tel que tan x est la tangente de l'angle dont l'amplitude est x radians. x -3/2 -5/4 -π -3π/4 -π/2 -/4 -/6 0 /6 /4 π/3 π/2 3/4 π 5/4 3π/2 f(x) domf = imf = racines de f : x = ordonnée à l’origine : y= fonction croissante ou décroissante ? maximum ? minimum ? fonction paire ou impaire ? Justifie. fonction périodique ? Justifie. UAA1 : trigonométrie  15 d) La fonction cotangente f(x) = cotan x tel que cotan x est la cotangente de l'angle dont l'amplitude est x radians. x -3/2 -5/4 -3π/4 -π/2 -π/3 -/4 -/6 0 /6 /4 π/3 π/2 3/4 π 5/4 3π/2 f(x) domf = imf = racines de f : x = ordonnée à l’origine : y= fonction croissante ou décroissante ? maximum ? minimum ? fonction paire ou impaire ? Justifie. fonction périodique ? Justifie. UAA1 : trigonométrie  16 4. Transformations de fonctions trigonométriques a) Manipulations de fonctions 1) Rappel Pour construire un graphe associé à celui de f(x), on utilise les transformations suivantes : Fonction Manipulation des En pratique coordonnées f(x + k) (x ; y) → (x –k ; y) translation de vecteur (-k ;0) f(k. x) x étirement selon x si k   0; 1  (x ; y) → ( ; y) k compression selon x si k > 1 f(-x) (x ; y) → (- x ; y) symétrie orthogonale d'axe y f(x) + k (x ; y) → (x ; y + k) translation de vecteur (0 ; k) k. f(x) (x ; y) → (x ; k. y) compression selon y si k   0; 1  étirement selon y si k > 1 - f(x) (x ; y) → (x ; -y) symétrie orthogonale d'axe x 2) Exercices 15. Voici le graphe de f(x) = sin x Construis par manipulations celui des fonctions suivantes : a) g(x) = - sin x UAA1 : trigonométrie  17 π b) h(x) = sin (x - ) 4 c) i(x) = sin x -1 d) j(x) = 2 sin x UAA1 : trigonométrie  18 e) k(x) = sin (2x) + 2 16. Voici le graphe de f(x) = cos x A partir de ce graphe, construis celui des fonctions suivantes par manipulations : 1 a) a(x) = cos x – 2 2 π b) b(x) = - cos (x + ) 3 UAA1 : trigonométrie  19 17. Voici le graphe de f(x) = tan x A partir de ce graphe, construis celui des fonctions suivantes par manipulations : 𝜋 a) g(x) = tan (𝑥 + 4 ) b) h(x) = 3 tan (-x) UAA1 : trigonométrie  20 18. Reprends chacune des fonctions des exercices 15, 16 et 17 et indique le domaine de définition, l'ensemble des images, la période et la parité. 19. Associe chaque graphe cartésien à une des fonctions suivantes :  π a) 2 cos x c) cos (2x) e) - cos (2x) g) sin  x +   2 b) sin (2x) d) cos (-2x) +1 f) cos (2x) -1 h) – sin (x + π) 1. 2. 3. 4. 5. 6. UAA1 : trigonométrie  21 7. 8. 20. Trouve l’expression analytique des fonctions dont voici les graphes. UAA1 : trigonométrie  22 UAA1 : trigonométrie  23 VII. Fonctions f(x) = a sin (cx + d) + b ou f(t) = A sin (ωt + φ) + b 1) Activité : la grande roue Jean est forain et exploite une grande roue. Il nous a communiqué ses caractéristiques : 30 m de diamètre, point le plus haut à 32,5 m, 20 nacelles et 40 tours à l’heure. Alicia a pris place dans une des nacelles. Elle voudrait connaître la distance entre le point de fixation de la nacelle et le sol à différents moments d’un tour de roue. a) Quelle est la distance du centre de la roue au sol ? b) Quelle est la distance entre le sol et le point de fixation de la nacelle quand la nacelle est au point le plus bas ? c) Quelle est la distance entre le sol et le point de fixation de la nacelle quand la nacelle est au point le plus haut ? d) Combien de temps (en secondes) faut-il pour effectuer un tour complet ? e) Au début de l’observation, la nacelle dans laquelle Alicia a pris place se trouve à 30° par rapport au diamètre horizontal de la roue (point A du cercle de la fig. 2). Quelle est la distance entre le sol et le point de fixation de la nacelle au début de l’observation ? f) Reporte tous les renseignements déjà trouvés dans le repère de la page 25. UAA1 : trigonométrie  24 g) Quelle est la mesure en degrés de l’angle au centre parcouru par une nacelle en une seconde ? Quelle est la mesure en radians de l’angle au centre parcouru par une nacelle en une seconde ? A quelle fraction de tour cela correspond-il ? h) Combien de degrés parcourt-elle en t secondes ? Combien de radians parcourt-elle en t secondes ? i) Complète le tableau suivant : Temps écoulé Angle au centre Hauteur par parcouru (en rapport au sol radians) 15 s 30 s 45 s 90 s 1s ts UAA1 : trigonométrie  25 UAA1 : trigonométrie  26 2) Synthèse Quelles sont les caractéristiques de la fonction f(t) = A.sin (ωt +  ) + b ? La fonction f(t) = A.sin (ωt +  ) + b permet de décrire un phénomène périodique. Dans l’exemple de la roue qui tourne à vitesse angulaire constante, une telle fonction décrit la distance par rapport au sol d’un point fixe de la roue en mouvement. On parle de mouvement circulaire uniforme ou de mouvement harmonique. Que représentent les paramètres A,  ,  et b dans l’expression f(t) = A.sin (ωt +  ) + b ? Paramètres Exemple : la grande roue A est l’amplitude. A est le rayon de la roue (15 m) C’est la demi-différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction. b est le décalage vertical. b est la distance entre le sol et le centre de la roue : 17,5 m  est la vitesse angulaire ou   = rad / s puisque la roue fait 40 pulsation exprimée en radian par 45 seconde tours en 1 heure  est la phase à l’origine   = puisque la position de départ est 6 de 30° par rapport à l’horizontale f(t) = A.sin (ωt +  ) + b   f(t) = 15.sin  t +  + 17,5  45 6 La période T est le nombre de 2 T= = 90 s secondes nécessaires pour effectuer un  tour complet. 45 2 T= La roue effectue un tour complet en 90  secondes. La fréquence est le nombre de tours 1 En une seconde, la roue effectue par secondes. 90 1 tour f = T La fréquence est exprimée en hertz. Le déphasage s’obtient en résolvant Le déphasage de la roue est de .t +  = 0 − - − 45 Le déphasage est donc de t = t= 6 = = −7,5 s   6 45 UAA1 : trigonométrie  27   Voici le graphe de 15.sin  t +  + 17,5  45 6 Exercices 21. Dans la collection de Jean, on a retrouvé quelques anciens disques vinyles : des 45 tours, des 33 tours et des 78 tours. Ces indications représentent la vitesse angulaire en tours par minute. Traduis ces vitesses en radians par seconde. 22. Précise l’amplitude, le déphasage, la période, la fréquence et le décalage vertical pour chacune des fonctions suivantes.  2π  π  a) f(t) = sin  t  c) f(t) = 2 sin  (t − 1) + 3  5   12   π 1  π b) f(t) = 3 sin  2π t +  d) f(t) = cos  π t −   2 2  4 23. La grande roue de Walibi a un diamètre de 50 m, son point le plus haut est situé à 55 m et elle effectue un tour en 120 secondes. Ecris l’expression d’une fonction qui permet de décrire le mouvement du point le plus bas de cette grande roue. UAA1 : trigonométrie  28 3) Le graphique de la fonction et les différents paramètres Comment repérer les différents paramètres sur le graphique de la fonction f(t) = A.sin (ωt +  ) + b ? Exercices 24. Associe chaque expression analytique à son graphique.  π  π f 1 (t) = 3 sin  2t +  f 4 (t) = 2 sin  t +  + 2  5  3 f 2 (t) = sin (3t ) + 1 1 f 5 (t) = 2 sin t − 4 2  3π  t f 3 (t) = sin  2t +  − 2 f 6 (t) = 4sin   + 1  4  2 UAA1 : trigonométrie  29 fig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4 UAA1 : trigonométrie  30 fig. 5 fig. 6 UAA1 : trigonométrie  31 4) Comment construire le graphique de la fonction ? Pour tracer le graphe d’une fonction de la famille f(t) = A.sin (ωt +  ) + b , on procède par manipulations, à partir de la fonction f(t) = sin t Exemple :   Construisons le graphe de f(t) = 2.sin  3t +  + 1  4       f(t) = 2.sin  3t +  + 1 = 2. sin  3. t +   + 1  4   12   Il faut construire les graphes de 𝑓1 (𝑥) = sin(3𝑡) 𝜋 𝑓2 (𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 (3. (𝑡 + )) 12 𝜋 𝑓3 (𝑡) = 2. 𝑠𝑖𝑛 (3. (𝑡 + )) 12 𝜋 𝑓4 (𝑡) = 2. 𝑠𝑖𝑛 (3. (𝑡 + )) + 1 12 UAA1 : trigonométrie  32 Exercices 25. Construis le graphique des fonctions suivantes :  a ) f ( x) = sin( 2 x − ) + 2 3   b) f ( x) = 3. sin  3 x +   2   c) f ( x) = −3. sin  2 x −  − 1  2 UAA1 : trigonométrie  33 5) Résoudre des équations Reprenons l’exemple de la grande roue.   Voici le graphe de f(t) = 15.sin  t +  + 17,5  45 6 a) Graphiquement, estime quand le point de fixation de la nacelle d’Alicia se trouve à 30 m du sol. b) Réponds à cette même question par résolution d’une équation. Exercices 26. Résous les équations suivantes en radians (a et d sans calculatrice)  a) 2 sin (3x + 1) − 1 = 0 c) 4. sin( − x + ) = −3 5   b) 5. cos(2 x − ) = 3 d ) 2. cos(5 x + ) = − 3 3 3 UAA1 : trigonométrie  34 27. Dans le port, la hauteur h du niveau de l’eau varie avec les marées. Cette π hauteur peut être modélisée par la fonction h(t) = 2,5 sin t + 5. 6 La hauteur h est exprimée en mètres et t est le nombre d’heures après minuit a) Quel est le niveau de l’eau à 1h ? b) A quelle(s) heure(s) le niveau de l’eau atteint-il 4 m ? c) A quelle(s) heure(s) le niveau d’eau sera-t-il minimum ? 28. Les relevés de température au cours d’une journée sont parfois modélisés par une fonction de la forme f(t) = A sin (  t + φ) + b, dans laquelle t est le temps exprimé en heures et f(t) la température en degré Celsius. Minuit correspond à t = 0. On suppose que la température décroît dans les premières heures de relevés. a) Quelle est la fonction qui modélise l’évolution de la température d’une journée durant laquelle le maximum est de 10°C et le minimum, atteint à 3 h, est de -2°C. b) Quelle était la température à minuit ? c) A quel(s) moment(s) de la journée a-t-on eu une température de 8°C ? 29. Trouve l’énoncé des fonctions suivantes : UAA1 : trigonométrie  35 30. Les fonctions suivantes sont obtenues par manipulations simples (au maximum une manipulation sur x) à partir d’une des fonctions Sin, Cos, Tg ou Cotg. Trouve deux énoncés possibles de chacune de ces fonctions. 31. Résous les équations suivantes : a) 2. sin (4 x +  ) = 0,8 c) 4. sin ² x − 1 = 0 b) 5. cos(2 x − 3) = 1 d ) 2. cos ² x + 7. cos x − 4 = 0 32. Recherche le domaine de définition des fonctions suivantes : 4x 3 a) f ( x) = d ) f ( x) = 3. sin x + 1 cos(2 x)   b) f ( x) = tg  3 x −  e) f ( x) = cot g (6 x ) + 3  3 tg (2 x) tg (3 x) c) f ( x) = f ) f ( x) = 3. cos x − 2 2x 33. Pour chaque fonction, recherche le domaine, les racines et la période.     a ) f ( x) = 10. sin  2 x −  − 5 c) f ( x) = tg  x −  + 1  3  5 x  b) f ( x) = 3. cos(6 x) d ) f ( x) = 3. sin  − 1 3  UAA1 : trigonométrie  36 34. Les fonctions suivantes sont le graphe d’une fonction du type f (t ) = A. sin (.t +  ) + b Trouve l’énoncé de ces fonctions. 35. Un tunnel ferroviaire La coupe d’une montagne a un profil sinusoïdal et on décide d’y construire une voie ferrée comme indiqué dans le croquis ci-dessous. Cette fonction est du type f(x) = a.sin(c.x + d) + b a) Trouve l’énoncé de cette fonction b) Calcule la longueur du tunnel c) Calcule la longueur du pont UAA1 : trigonométrie  37 VIII. FORMULES DE TRIGONOMETRIE 1) Formules d’addition Choisis une valeur pour a et une valeur pour b. En utilisant ta calculatrice, détermine cos (a+b) et cos a + cos b Compare cos (a+b) avec cos a + cos b. Que conclure ? Dans un premier temps, nous allons chercher des formules liant les nombres trigonométriques de (a+b) et de (a-b) aux nombres trigonométriques de a et de b. cos ( a – b ) = cos a. cos b + sin a. sin b cos ( a + b ) = cos a. cos b – sin a. sin b sin ( a + b ) = sin a. cos b + sin b. cos a sin ( a - b ) = sin a. cos b - sin b. cos a    a  + k 2  tg a - + tg b   tg ( a + b ) = CE : b  + k 1 − tg a. tg b  2   a + b  2 + k     a  + k 2  tg a − tg b   tg ( a − b ) = CE : b  + k 1 + tg a. tg b  2   a − b  2 + k  Démonstrations 1) Soit A, le point du cercle trigonométrique qui représente l’angle a. Soit B, le point du cercle trigonométrique qui représente l’angle b. Soit D, le point du cercle trigonométrique qui représente l’angle a – b. Les coordonnées des points sont : E = (1 ; 0) A = (cos a ; sin a) B = (cos b ; sin b) D = (cos(a-b) ; sin(a-b)) UAA1 : trigonométrie  38 EOD = BOA Donc ED = AB car deux angles au centre de même amplitude interceptent des cordes de même longueur. Or, si A = (xA ; yA ) et B = (xB ; yB ) alors AB = ( x B − x A )² + ( y B − y A )² (cos(a − b) − 1)² + (sin(a − b) − 0)² = (cosb − cosa)² + (sinb − sina)²  cos²(a − b) − 2.cos(a − b) + 1 + sin²(a − b) = cos²b − 2cosb.cosa + cos²a + sin²b − 2.sinb.sin a + sin²a Puisque cos²x + sin²x = 1, on obtient : 1 − 2.cos(a − b) + 1 = 1 + 1 − 2.cosb.cosa − 2.sina.sinb  − 2.cos(a − b) = −2.(cosa.cosb + sina.sinb)  cos(a − b) = cosa.cosb + sina.sinb 2) cos(a+b) = cos(a-(-b)) = cos a. cos(-b) + sin a. sin(-b) en utilisant la première formule = cos a. cos b + sin a. (-sin b) (propriétés des angles opposés ) = cos a. cos b – sin a. sin b       3) sin (a+b) = cos  - (a + b)  = cos (   - a  − b  2   2       = cos − a . cos b + sin  − a . sin b formule 1 2  2  = sin a. cos b + cos a. sinb en utilisant les propriétés des angles complémentaires 4) sin(a-b) = sin(a + (-b)) = sin a. cos(-b) + sin(-b). cos a formule 3 = sin a cos b + (-sin b). cos a propriétés des angles opposés = sin a. cos b - sin b. cos a sin (a + b) sin a. cos b + sin b. cos a 5) tg (a+b) = = formules 2 et 3 cos (a + b) cos a. cos b − sin a. sin b sin a. cos b + sin b. cos a sin a. cos b sin b. cos a + = cos a. cos b = cos a. cos b cos a. cos b = tga + tgb cos a. cos b − sin a. sin b cos a. cos b sin a. sin b 1 − tga.tgb − cos a. cos b cos a. cos b cos a. cos b UAA1 : trigonométrie  39   tga existe  a  2 + k  tgb existe  b   + k  2 CE :  tg (a + b) existe  a + b   + k  2  1  1 − tga.tgb  0  1  tga.tgb   tgb  cot ga  tgb  tg ( − a )  tgb  tga 2  −   − a  b + k  − a − b  + k  a + b  + k 2 2 2 tga + tg (−b) 6) tg (a-b) = tg(a+(-b)) = formule 5 1 − tga.tg (−b) tga − tgb = propriétés des angles opposés 1 − tga.(−tgb) tga − tgb = 1 + tga.tgb   tga existe  a  2 + k  tgb existe  b   + k  2 CE :  tg (a − b) existe  a − b   + k  2  −1  1 + tga.tgb  0  1  −tga.tgb   tgb  − cot ga  tgb  tg (− + a )  tgb  tga 2   − + a  b + k  a − b  + k 2 2 CQFD Exemple 7π 7π π π Calcule sin sachant que = +. 12 12 3 4 UAA1 : trigonométrie  40 Exercices 35. Démontre les formules cotga.cotgb − 1 a)cotg(a + b) = cotgb + cotga cotga.cotgb+1 b)cotg(a − b) = cotgb−cotga 36. Retrouve les formules des angles associés suivantes : π π a ) sin ( + α) b) sin ( - α) c) tg ( π - α) 2 2 π d) sin ( π + α) e) cos ( + α) f ) cos ( π + α) 2 37. Sans calculatrice, détermine sin 50° cos 10° + sin 10° cos 50°. 5π 38. Sans calculatrice, détermine les nombres trigonométriques de 15° ; ; 105° et 12 11π 12 39. Calcule et simplifie : 2π π 3π a ) sin (30° + a ) b) tg ( - a) c) cos ( + a ) - sin (a - ) 3 4 4 40. Calcule les nombres trigonométriques de a + b et de a – b sachant que 3π 2 3π 3 a ∈ [ π ; ] et sin a = - ; b ∈ [ ; 2 π ] et cos b =. 2 3 2 2 41. Montre que chacune des expressions est indépendante de x 2π 4π π π a ) sin x + sin ( x + ) + sin ( x + ) b) cos ² ( x + ) + cos ² ( x - ) 3 3 4 4 42. Vérifie les identités suivantes : a) sin (a - b). cos (a + b) = sin a. cos a - sin b. cos b b) cos (a - b). cos (a + b) = cos²a - sin²b c) cos (x + y). cos (x - y) - sin (x + y). sin (x - y) = cos 2x (trouve la méthode la plus rapide) sin (a - b) + cos (a + b) 1 - tg b d) = sin (a + b) + cos (a - b) 1 + tgb tg x - tg y sin (x - y) e) = tg x + tg y sin (x + y) 1 43. Soient a et b deux angles tels que tg a = et a+b = 135°. Calcule tg b. 5 UAA1 : trigonométrie  41 44. Un critique d’art examine un tableau de 3 m de haut suspendu à 1,1 m du sol. Le niveau de ses yeux est à 1,6 m de haut. Il voit le tableau sous un angle θ. 12x a) Prouve que tg θ =. 4x ² - 5 Indication : l’angle θ est la somme de deux angles θ1 et θ 2 tels que 1 est un angle aigu d’un triangle rectangle et  2 est un angle aigu d’un autre triangle rectangle. b) Calcule la distance x entre l’homme et le mur si θ = 45°. 2) Factorisation de l’expression a cos x + b sin x ( a et b є R0) Montrons qu’il existe un angle φ tel que : a cos (x -  ) b a cos x + b sin x = où tg  = cos a Démonstration :  b  a. cos x + b. sin x = a. cos x +. sin x   a  b Soit  tel que tg = a  sin    cos x. cos + sin . sin x  a. cos x + b. sin x = a.(cos x + tg. sin x ) = a. cos x +. sin x  = a.   cos   cos  a. cos( x −  ) = cos CQFD Remarque : cette technique sera utilisée lors de la résolution de certaines équations. Exercices 45. Factorise : a ) 3 cos x + 3 sin x b) 2 sin t + 2 cos t c) 2 sin z - 3 cos z UAA1 : trigonométrie  42 3. Formules de duplication Quels que soient les réels a et b : a a sin 2a = 2 sin a. cos a sin a = 2. sin. cos 2 2 a a cos 2a = cos² a – sin² a ou cos a = cos ² − sin ² 2 2  a a   + k 2 a≠ + k 2.tg 2 tg a 2 2  tg 2a = si tg a = si     1 - tg ² a a≠ +k 1 − tg ² a a  2 + k 4 2 2 Démonstration sin 2a = sin (a+a) = sin a. cos a + sin a. cos a formule d’addition = 2. Sin a. cos a cos 2a = cos(a + a) = cos a. cos a – sin a. sina formule d’addition = cos²a – sin²a tga + tga tg 2a = tg(a + a) = formule d’addition 1 − tga.tga 2.tga = 1 − tg²a     tg 2a existe  2a  2 + k  a  4 + k. 2    CE : tg a existe  a  + k  2    1 − tg ² a  0  tga  1 et tga  −1  a  4 + k 2  CQFD Exemple 2 π Calcule sin 2a sachant que cos a = - et que a ∈ [ , π ]. 3 2 UAA1 : trigonométrie  43 Exercices 3 46. Calcule sin 2x, cos 2x et tg 2x sachant que cos x = et x ∈ [π ;2π]. 3 47. Exprime (cos x + sin x)² en fonction de sin 2x. 48. Soient x et y, deux angles appartenant au 1er quadrant tels que 3 1 cos x = et cos y = , calcule sin (2x-y). 5 3 1 1 49. On donne tg a = et tg b = avec a et b ∈ ]0 ; π[. 7 3 a) Détermine tg (a+2b). b) Détermine a+2b. 50. Dans le quadrilatère ci-dessous, que vaut sin ө ? π sin 3x cos 3x 51. Montre que lorsque x n’est pas multiple entier de , alors - = 2. 2 sin x cos x 52. La largeur d’une feuille de papier rectangulaire mesure 6 cm. Par pliage, un coin de cette feuille est amené sur la longueur opposée. Une seule des expressions suivantes donne la longueur l en fonction de θ. Laquelle ? 3 6 3 a) 6 tg  b) c) d) sin  cos ² sin ² cos sin  cos 53. Exprime : a) cos 3a en fonction de cos a b) sin 3a en fonction de sin a c) tg 3a en fonction de tg a. UAA1 : trigonométrie  44 4. Formules de Carnot Quels que soient les réels a et b cos 2a = 2 cos² a – 1 cos 2a = 1 – 2 sin²a 1 cos² a = (1 + cos 2a) 2 1 sin² a = (1 − cos 2a) 2 Démonstration cos 2a = cos²a – sin²a formule de duplication = cos²a – (1 – cos²a) = 2.cos²a – 1 donc 2.cos² a = 1 + cos 2a 1 donc cos²a = (1 + cos 2a) 2 cos 2a = cos²a – sin²a formule de duplication = 1 – sin²a – sin²a = 1 – 2.sin²a donc 2.sin² a = 1 - cos 2a 1 donc sin²a = (1 - cos 2a) CQFD 2 Exercices π 54. Calcule les nombres trigonométriques de. 8 55. Vérifie les identités suivantes : a) sin² (a+b) – sin² (a-b) = sin 2a. sin 2b b) cos² (a+b) + cos²(a-b) = 1 + cos 2a. cos 2b c) cotg a – tg a = 2 cotg 2a 2 d)tg a + cotg a = sin 2a e) cos a - sin a – cos 2a = 0 4 4 cos ³a + sin ³a sin 2a f) = 1- cos a + sin a 2 56. Calcule sin x, cos x et tg x en fonction de a et de b si cos x + sin x = a  avec a  0  cos 2x = b 1 3 57. Prouve l’identité : - =4 sin 10° cos10° UAA1 : trigonométrie  45 5. Formules en tg(a/2) π 2 tg a 1 - tg²a ∀ a ≠ + kπ sin 2a = cos 2a = 2 1 + tg ² a 1 + tg²a a a 2tg 1 − tg ² ∀ a ≠ + k 2 sin a = 2 cos a = 2 a a 1 + tg ² 1 + tg ² 2 2 Démonstration 2. sin a. cos a 2. sin a sin 2a 2 sin a. cos a cos ² a cos a 2.tga sin 2a = = = = = 1 cos ² a + sin ² a cos ² a + sin ² a cos ² a sin ² a 1 + tg ² a + cos ² a cos ² a cos ² a cos ² a − sin ² a cos ² a sin ² a − cos 2a cos ² a − sin ² a cos ² a 1 − t ² ga cos 2a = = = = cos ² a cos ² a = 1 cos ² a + sin ² a cos ² a + sin ² a cos ² a sin ² a 1 + tg ² a + cos ² a cos ² a cos ² a  CE : tga existe  a  + k 2 CQFD Exercices a 58. Calcule sans calculatrice sin a et cos a sachant que tg =− 2 2 6. Formules de Simpson (= formules de factorisation) Quels que soient les réels p et q p+q p-q sin p + sin q = 2 sin. cos 2 2 p+q p-q sin p - sin q = 2 cos. sin 2 2 p+q p-q cos p - cos q = - 2 sin. sin 2 2 p+q p-q cos p + cos q = 2 cos. cos 2 2 sin (p + q) π π tg p + tg q = p  + kπ et q  + kπ cos p. cos q 2 2 sin (p - q) π π tg p - tg q = p  + kπ et q  + kπ cosp. cos q 2 2 UAA1 : trigonométrie  46 Démonstration a) sin(a+b) = sin a. cos b + sinb. cos a sin(a-b) = sin a. cos b - sinb. cos a sin(a+b) + sin(a-b) = sin a. cos b + sinb. cos a + sin a. cos b - sinb. cos a sin(a+b) + sin(a-b) = 2.sin a. cos b Posons a + b = p et a – b = q p+q p−q Donc a = et b = 2 2 p+q p-q sin p + sin q = 2 sin. cos 2 2 b) sin(a+b) = sin a. cos b + sin b. cos a sin(a-b) = sin a. cos b – sin b. cos a sin(a+b) - sin(a-b) = sin a. cos b + sin b.cos a – ( sin a. cos b - sinb. cos a) sin(a+b) + sin(a-b) = 2.sin b. cos a Posons a + b = p et a – b = q p+q p−q Donc a = et b = 2 2 p−q p+q sin p − sin q = 2 sin. cos 2 2 c) cos(a+b) = cos a.cos b – sin a. sin b cos(a-b) = cos a. cos b + sin a. sin b cos(a+b) - cos(a-b) = cos a. cos b – sin a. sin b – ( cos a. cos b + sin a. sin b ) cos(a+b) - cos(a-b) = – 2 sin a. sin b Posons a + b = p et a – b = q p+q p−q Donc a = et b = 2 2 p+q p-q cos p - cos q = - 2 sin. sin 2 2 d) cos(a+b) = cos a.cos b – sin a. sin b cos(a-b) = cos a. cos b + sin a. sin b cos(a+b) + cos(a-b) = cos a. cos b – sin a. sin b + ( cos a. cos b + sin a. sin b ) cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a. cos b Posons a + b = p et a – b = q p+q p−q Donc a = et b = 2 2 p+q p-q cos p + cos q = 2 cos. cos 2 2 sin p sin q sin p. cos q + sin q. cos p sin (p + q) e) tg p + tg q = + = = cos p cos q cos p. cos q cos p. cos q sin p sin q sin p. cos q − sin q. cos p sin (p − q) f) tg p − tg q = − = = CQFD cos p cos q cos p. cos q cos p. cos q UAA1 : trigonométrie  47 Exercices 59. Démontre l’identité suivante tg (45° + a ) + tg (45° - a) 1 = tg (45° + a ) - tg (45° - a) sin 2a 60. Factorise π π a) sin 3a + sin a b) cos - cos 5 3 c) tg 30° - cotg 50° d) cos 5x – sin x e) tg x – tg 4x f) sin 2x + sin 4x – sin 3x g) sin a – sin 2a + sin 3a – sin 4a h) cos a + cos 2a + cos 3a + cos 4a i) sin 5a – sin a + sin 6a j) sin a + sin b – sin (a+b) k) cos 6a – cos 4a – cos 2a +1 61. Simplifie sin 3a - sin a cos 4a - cos 2a a) b) cos 3a - cos a sin 4a - sin 2a sin ³a - sina sin x + 2 sin 3x + sin 5 x c) d) cos 3a - cosa sin 3x + 2 sin 5 x + sin 7 x π  1 − a² 62. Soit x   ;   tel que cos x =. 2  1 + a² Calcule sin x et tg x en fonction de a. 63. Soit x tel que tg x = t x x + Exprime, en fonction de t, l’expression suivante : tg + tg 2 2    2  64. Vérifie que tga + tg  a +  + tg  a +  = 3.tg (3a)  3  3   65. On désire trouver analytiquement la valeur de sin sous forme d’une 10 expression contenant des radicaux. On procède comme suit : π 1ère) On pose A =. Prouve que cos 3A = sin 2A 10 2ème) Développer l’équation précédente en termes de sin A et cos A 3ème) L’équation obtenue peut se ramener à une équation du second degré en sin A. Résoudre cette équation et faire le bon choix entre les solutions possibles. UAA1 : trigonométrie  48 66. Identités conditionnelles Si A + B + C = 180°, démontre que a) tg A + tg B + tg C = tg A. tg B. tg C b) sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A.sin B.sin C c) cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4cos A. cos B. cos C A B B C C A d) tg. tg + tg. tg + tg. tg = 1 2 2 2 2 2 2 A B C e) cos A − cos B − cos C = 1 − 4 sin. cos. cos 2 2 2 f) sin²A + sin²B + sin²C = 2. (1 + cos A. cos B. cos C) 7. Formules de linéarisation (= formules qui transforment un produit en une somme) cos a. cos b = 1 (cos(a + b) + cos(a − b)) 2 sin a. sin b = (cos(a − b) − cos(a + b) ) 1 2 sin a. cos b = (sin( a + b) + sin( a − b) ) 1 2 Démonstration 1) cos (a+b) = cos a. cos b – sin a. sin b cos (a-b) = cos a. cos b + sin a. sin b cos (a+b) + cos (a-b) = 2. cos a. cos b cos a. cos b = (cos(a + b) + cos(a − b) ) 1 2 2) cos (a+b) = cos a. cos b – sin a. sin b cos (a-b) = cos a. cos b + sin a. sin b cos (a-b) - cos (a+b) = 2. sin a. sin b sin a. sin b = (cos(a − b) − cos(a + b) ) 1 2 3) sin (a+b) = sin a. cos b + sin b. cos a sin (a-b) = sin a. cos b - sin b. cos a sin (a+b) + sin (a-b) = 2. sin a. cos b sin a. cos b = (sin( a + b) + sin( a − b) ) 1 CQFD 2 Exercices 67. Transforme en somme ou différence de multiples de sinus et de cosinus a) sin 20°. cos 40° b) cos 3a. cos a c) sin 2a. sin 5a UAA1 : trigonométrie  49 68. Vérifie que 𝜋 7𝜋 1 𝑎) 𝑠𝑖𝑛. 𝑠𝑖𝑛 = 12 12 4 𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋 1 𝑏) 𝑠𝑖𝑛. 𝑠𝑖𝑛. 𝑠𝑖𝑛. 𝑠𝑖𝑛 = 24 24 24 24 16 𝑏 𝜋+𝑏 𝜋−𝑏 𝑐) 4. 𝑠𝑖𝑛. 𝑠𝑖𝑛. 𝑠𝑖𝑛 = sin 𝑏 3 3 3 IX. EQUATIONS ET INEQUATIONS TRIGONOMETRIQUES 1. Equations trigonométriques a) Règle du produit nul, équation du second degré, application des formules d’addition, de duplication, de Simpson … Méthode : se ramener aux équations trigonométriques élémentaires du type sin x = b ; cos x = b ; tg x = b ; sin x = sin a ; cos x = cos a et tg x = tg a. Exemples a ) 2 cos ² x - cos x - 1 = 0 e) 4 sin 2x + 6 cos x = 0  b) cos 3x = sin 2x f ) sin (3x - ) = - cos x 4   3 c) sin 2x cos - cos 2x sin = g ) 12 cos ² x = 5 + 8 sin x 3 3 2 7 d ) sin 3x + sin x = cos x h) 3 tg ² x + 5 = cos x b) Equations homogènes Définition Une équation est homogène en sin x et cos x, de degré n, si pour chacun de ses termes, la somme des puissances de sin x et de cos x égale n. Méthode - on divise les deux membres de l’équation par la plus haute puissance de cos x ; on vérifiera que les solutions de cos x = 0 ne sont pas des solutions de l’équation homogène ; - on résout l’équation en tg x ainsi obtenue. Exemples i) sin ² x + 3 sin x cos x + 2 cos²x = 0 j ) cos 4 x + cos ³ x sin x = 2 cos ² x sin ² x UAA1 : trigonométrie  50 c) Equations du type a cos x + b sin x = c (avec c non nul) Méthodes au choix - Soit factorisation de a cos x + b sin x - Soit utilisation des formules en tg a/2 Exemple k) 3 sin x + cos x = 2 Exercices 69. Résous : 1) tg² 3x – 1 = 0 2) cos²x – sin²x = cos x 3) tg²x + 4 tg x + 3 = 0 4) 2 sin x – 3 cos x = 0 5) tg 4x. tg 2x = 1 6) sin²x – 5 sin x cos x + 6 cos²x = 0 7) tg x – cotg x = 1 8) 3 cos²x + 2 sin ² x = 11/4 9) sin 2x + sin 4x – sin 3x = 0 10) tg x – tg 4x = 0 π 11) cos 2x + sin 3x = 0 12) cos 2x = - cos (x- ) 3 13) sin x – 4 cos x = 4 14) 2 sin x + 4 cos x = 1 15) 5 cos x + 4 sin x – 8 = 0 16) sin x + sin 4x = 0 17) cos 5x – sin x = 0 18) sin x + sin 3x = sin 2x 5x 19) cos x + cos 3x + 2 cos 2x = 0 20) sin 3x – sin 2x – 2 cos =0 2 21) tg x + tg 4x =0 22) 2 sin²x – sin x cos x =0 23) sin²x – cos 2x +1 = 0 70. Détermine le domaine de définition des fonctions suivantes : 1 x +1 1) 2) 2 cos 3x + 1 cos 3x + cos x cos ² x - cos 2x tg 2x 3) 4) sin²x - sin 2x 3 tg 2 x - tg x 3 tg x + 3 tg 2 x 5) 6) 12 cos ² x - 8 sin x - 5 π cot g x + tg (2 x - ) 3 UAA1 : trigonométrie  51 2. Inéquations trigonométriques Activité Dans R, on voudrait résoudre l’inéquation cos x ≥ 0,5. a) Voici le graphique cartésien de la fonction cosinus : Recherche graphiquement, dans les limites de cette figure, les points de la cosinusoïde dont l’ordonnée est supérieure ou égale à 0,5. Recherche graphiquement les abscisses correspondantes : Sur R : S = b) Le recours à la représentation graphique de la fonction cosinus s’avère un peu lourd. Voici une suggestion de représentation moins lourde : trace le cercle trigonométrique ; dans cette figure, place 0,5 sur l’axe des cosinus ; représente graphiquement « les cosinus qui conviennent » ; détermine la partie du cercle trigonométrique qui correspond à la condition de départ ; tente de décrire la partie de R qui correspond à la partie de cercle trigonométrique que tu viens de déterminer. Marche à suivre pour la résolution d’inéquations élémentaires sin x > r ou cos x > r ou …. On repère sur le cercle trigonométrique les points correspondants à la condition. On détermine les angles correspondants. On décrit l’ensemble des solutions. UAA1 : trigonométrie  52 Exemples Résous : 2 1 a ) sin x  b) cos x  - 2 2 3 c) tg  1 d ) sin( 2 x)  2 Marche à suivre pour résoudre une inéquation plus compliquée Obtenir qu’un des membres soit nul. Utiliser un tableau de signes de l’expression factorisée de l’autre membre Exemples Résous : e) 4. sin ² x − 1  0 f ) sin x.(2. cos x − 1)  0 Exercices 71. Résous les inéquations suivantes : 3 3 1) tg x ≤ 2) cos x > 3 2 3) sin x < 0 4) 2 sin x + 2 ≥ 0 5) cos x < 0 6) tg x ≥ 0 1 7) sin 4 x < 8) sin 2 x > 0 2 π 1 9) 3 tg 3x < 3 10) sin (2 x + ) > 3 2 11) 2 cos ² x - cos x >1 12) 2 sin²x - 3 sin x +1< 0 (Pour les exercices 7 à 12, représente la solution finale sur un cercle.) 72. Détermine le domaine de définition des fonctions suivantes : 1 1) sin x 2) cos x 3) 1 - cos x 4) 3tg x + 3 1 5) 1 + cos 2 x 6) 2 cos x - 0,4  7) 2 cos ( x + )+ 3 8) 2 cos ² x -1 4 UAA1 : trigonométrie