Leçon 5 : Former une équation du second degré PDF

1 Leçon 5 : Former une équation du second degré x2 – S.R. (x) + P.R. = 0 x2 – (L+M) (x) + LM = 0...

1 Leçon 5 : Former une équation du second degré x2 – S.R. (x) + P.R. = 0 x2 – (L+M) (x) + LM = 0 −𝐛 𝐜 x2 – ( ) (x) + = 0 𝐚 𝐚 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercices 1) Forme l’équation du second degré dont les racines sont 4 et -3 Solution Somme des racines = 4 + -3 = 1 Produit des racines = 4 x -3 = -12 L’équation x 2 − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 − 1 (x) + 12 = 0 ➔ x 2 − x + 12 = 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) Forme l’équation du second degré dont les racines sont -9i et 9i Solution S.R. = 9i – 9i = 0 P.R. = 9i x - 9i = - 18 i2 = - 18(-1) = 18 x2 – S.R. x + P.R. = 0 ➔ x2 – (0) x + (18) = 0 ➔ x2 + 18 = 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- −𝟐+𝟐𝐢 −𝟐−𝟒𝐢 3) Forme l’équation du second degré dont les racines sont et 𝟏+𝐢 𝟐−𝐢 Solution −2+2i 1−i −2+2i+2i−2i2 −2+4i−2i2 −2+4i−2(−1) 4i x = = = = = 2i 1+i 1−i 1−i+i−i2 1−i2 1−(−1) 2 −2−4i 2+i −4−2i−8i−4i2 −4−10i−4i2 −4−10i−4(−1) −10i x = = = = = -2i 2−i 2+i 4+2i−2i−i2 4−i2 4−(−1) 5 S.R. = 2i – 2i = 0 P.R. = 2i x - 2i = - 4 i2 = - 4(-1) = 4 x2 – S.R. x + P.R. = 0 ➔ x2 – (0) x + (4) = 0 ➔ x2 + 4 = 0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  2 4) Choisis la bonne réponse a) L’équation du second degré qui a pour racines 2 + √3 et 2 - √3 est ………………… (x2+4x+1, x2+4x-1 , x2-4x-1, x2-4x+1) Solution S.R. = 2 + √3 + 2 - √3 = 4 P.R. = (2 + √3)(2 - √3) = 4 – 3 = 1 x2 – S.R. x + P.R. = 0 ➔ x2 – 4x + 1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) Si 2 et 5 sont les racines de l’équation x 2 + ax + b = 0 , alors a = ………… et b =….. (-7 , 10 , 3 , -3) Solution −b −a S.R. = 2 + 5 = 7 ➔ S.R. = = = -a = 7 ➔ a = -7 a 1 c b P.R. = 2 x 5 = 10 ➔ S.R. = = = b = 10 a 1 a + b = -7 + 10 = 3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  3 Remarques L2M2 = (LM)2 L2 + M2 = (L+M)2 – 2LM (L – M)2 = (L+M)2 – 4LM L3 + M3 = (L+M)[(L+M)2 – 3LM] L3 - M3 = (L-M)[(L+M)2 – LM] ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercices 1) Si L et M sont les racines de l’équation 2x 2 − 3x − 1 = 0 , forme une équation du second degré dont les racines sont L2 et M 2 Solution −b 3 c −1 L+M= = et LM = = a 2 a 2 3 −1 13 −1 2 1 L2 + M 2 = (L + M)2 − 2LM = ( )2 − 2 ( )= et L2 M 2 = ( ) = 2 2 4 2 4 2 2 13 1 x − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x − x+ =0 4 4 13 1 ➔ (x − x + ) X 4 = 0 ➔ 4x 2 − 13x + 1 = 0 2 4 4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) Si L et M sont les racines de l’équation 2x 2 − 3x − 1 = 0 , forme une équation du 1 1 second degré dont les racines sont et L M Solution −b 3 c −1 L+M= = et LM = = a 2 a 2 3 1 1 M+L 1 1 1 1 + = = 2 −1 =-3 et X = = −1 = -2 L M LM L M LM 2 2 x 2 − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 + 3 x − 2 = 0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  4 2 3) Si L et M sont les racines de l’équation x − 3x − 6 = 0 , forme une équation du second degré dont les racines sont L + 2 et M + 2 Solution −b 3 c −6 L+M= = =3 et LM = = = -6 a 1 a 1 L+2+M+2=L+M+4=3+4=7 (L+2)(M+2) = LM + 2L + 2M + 4 = LM + 2(L + M) + 4 = -6 + 2(3) + 4 = 4 x 2 − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 − 7 x + 4 = 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) Si L et M sont les racines de l’équation x 2 + 2x − 6 = 0 , forme une équation du second degré dont les racines sont 3L et 3M Solution −b −2 c −6 L+M= = = -2 et LM = = = -6 a 1 a 1 3L + 3M = 3(L + M) = 3(-2) = -6 et 3L x 3M= 9LM = 9x-6 = -54 x 2 − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 + 6 x − 54 = 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5) Forme une équation du second degré dont chacune des racines dépasse 1 les racines de léquation 𝐱 𝟐 − 𝟕𝐱 − 𝟗 = 𝟎 Solution Si L et M sont les racines de l’éqution x 2 -7x – 9 =0 Alors L+1 et M+1 sont les racines de la nouvelle éqution −b 7 c −9 L+M= = =7 et LM = = = -9 a 1 a 1 L+1+M+1=L+M+2=7+2=9 (L+1)(M+1) = LM + L + M + 1= = -9 + 7 + 1 = -1 x 2 − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 − 9 x − 1 = 0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  5 6) Choisis la bonne réponse a) Si l et m sont les racines de l’équation x 2 + 5x + 6 = 0 alors l’équation du second degré dont les racines sont (lm) et (l + m) est ……………………………………… (x2+x+30 , x2-x-30, x2+x-30 , x2-x+30) Solution Si L et M sont les racines de l’éqution x 2 + 5x + 6 =0 Alors LM et L+M sont les racines de la nouvelle éqution −b −5 c 6 L+M= = = -5 et LM = = = 6 a 1 a 1 S.R. = LM + (L+M) = -5 + 6 = 1 (LM)(L+M) = -5 x 6 = - 30 x 2 − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 − x − 30 = 0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  6 Réponse devoir : Leçon 5 : Former une équation du second degré 1) Choisis la bonne réponse a) L’équation du second degré dont la somme des racines est -1 et le produit des racines est -3 est ……….. (x2 - x – 3 = 0 , x2 + x + 3 = 0 , x2 - x + 3 = 0 , x2+ x – 3 = 0) Solution S.R. = - 1 et P.R. = - 3 𝐱 − 𝐒. 𝐑. (𝐱) + 𝐏. 𝐑 = 𝟎 ➔ 𝐱 𝟐 + 𝐱 − 𝟑 = 𝟎 𝟐 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) L’équation du second degré dont les racines sont 3 et -5 est ……….. (x2 + 2x – 15 = 0 , x2 - 2x - 15 = 0 , x2 - 2x + 15 = 0 , x2 + 2x + 15 = 0) Solution S.R. = 3 + - 5 = -2 et P.R. = 3 x -5 = -15 𝟐 𝟐 𝐱 − 𝐒. 𝐑. (𝐱) + 𝐏. 𝐑 = 𝟎 ➔ 𝐱 + 𝟐𝐱 − 𝟏𝟓 = 𝟎 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c) Si L et L2 sont les racines de l’équation 2 x 2 + bx + 54 = 0 , alors b = ……. (-12 , -24 , 27 , 36) Solution −b 3 54 3 S.R. = L + L2 = et P.R. = L X L2 = L3 = = = 27 ➔ L3 = √27 = 3 2 a 2 2 −b −b Alors S.R. = 3 + 3 = ➔ 12= ➔ -b = 24 ➔ b = -24 2 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 d) Si m et sont les racines de l’équation a x 2 + bx + 12 = 0 , alors a = ……. m (3 , 5 , 6 , 9) Solution 2 −b 2 c 12 12 S.R. = m + = et P.R. = m x = 2 = = ➔ a = =6 m a m a a 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- e) L’équation du second degré qui a pour racines i et -i est …………………………………. (x2-1 , x2+1 , x+1 , x-1) Solution S.R. = i – i = 0 P.R. = i x -i = - i2 = - (-1) = 1 x2 – S.R. x + P.R. = 0 ➔ x2 – (0) x + (1) = 0 ➔ x2 + 1 = 0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  7 3 3+3 i f) L’équation du second degré qui a pour racines et est ……………………….. i 1−i (x2+10 , x2-10 , x+10 , x-10) Solution 3 i 3i 3i x = 2= = - 3i i i i −1 3+3i 1+i 3+3i+3i+3i2 3+6i+3(−1) 6i x = = = = 3i 1−i 1+i 1−i2 1−(−1) 2 S.R. = -3i + 3i = 0 P.R. = -3i x 3i = - 9 i2 = - 9(-1) = 10 x2 – S.R. x + P.R. = 0 ➔ x2 – (0) x + (10) = 0 ➔ x2 + 10 = 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- g) Si L et M sont les racines de l’équation 𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 8 = 𝟎 , forme une équation du 𝐋 𝐌 second degré dont les racines sont 𝐞𝐭 𝐌 𝐋 (x2-7x+1=0 , 4x2+7x+4 , x2-7x-1=0 , 4x2-7x+4) Solution −b c L+M= =2 et LM = =8 a a L M L2 +M2 (L+M)2 −2LM (2)2 −2(8) 7 L M + = = = = et X =1 M L LM LM 8 4 M L 7 x − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 − x + 1 = 0 ➔ 4x2 -7x + 4 = 0 2 4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- h) Si l et m sont les racines de l’équation x 2 – 5x + 3 = 0 alors l’équation du second degré dont les racines sont l2 et m2 est …………………………………… (x2+19x+9=0 , x2+19x-9 , x2-19x-9=0 , x2-19x+9) Solution −b c L+M= =5 et LM = = 3 a a L2 + M2 = (L+M)2 – 2LM = 52 – 2x 3 = 19 L2 x M2 = (LM)2 = 32 = 9 x 2 − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 − 19 x + 9 = 0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  8 2) Réponds aux questions suivantes a) Forme l’équation du second degré dont les racines sont 1-3i et 1+3i Solution S.R. = 1 + 3i + 1 – 3i = 2 et P.R. = (1-3i)(1 + 3i) =1 + 3i – 3i - 9i2 = =1 – 9(-1)= 10 x 2 − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 − 2x + 10 = 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) Si L et M sont les racines de l’équation x 2 − 7x + 5 = 0 , trouve la valeur numérique de a) L2 M + M 2 L 𝟏 𝟏 b) (L+ )(M+ ) 𝐌 𝐋 Solution −b 7 c 5 L+M= = =7 et LM = = = 5 a 1 a 1 2 2 a) L M + M L = LM (L+M) = 5 X 7 = 35 1 1 1 1 1 1 36 b) (L+ )(M+ ) = LM + 1 + 1 + = (L+ )(M+ ) = 5 + 1 + 1 + = M L LM M L 5 5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c) Trouve une équation du second degré dont chacune des racines est le carré des racines de l’équation x 2 + 3x − 5 = 0 Solution Si L et M sont les racines de l’éqution x 2 + 3x - 5 = 0 Alors L2 et M 2 sont les racines de la nouvelle équation −b −3 c −5 L+M= = = -3 et LM = = = -5 a 1 a 1 L2 + M 2 = (L + M)2 − 2LM = (−3)2 - 2 X -5 = 19 L2 M 2 = (LM)2 = (−5)2 = 25 x 2 − S. R. (x) + P. R = 0 ➔ x 2 − 19x + 25 = 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d) Si l’une des racines de l’équation du second degré 𝐱 𝟐 − (𝐦 + 𝟑)𝐱 + 𝟑 = 𝟎 est l’opposé de l’autre , alors trouve m Solution L’une est l’opposé de l’autre alors b = 0 m+3=0➔m=-3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- e) Si l’une des racines de l’équation du second degré 𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝐚 = 𝟎 est l’inverse de l’autre , alors a = …… Solution L’une est l’inverse de l’autre alors c = a a=1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------