UAA5-1 Equations du 2d Degré - PDF

UAA5-1-Equations du 2d degré UAA 5 : Second degré 5.1. Equations L'élève sera capable de : …  Processus 1 : CONNAITRE Comprendre les mots racine, racine double, résoudre, factoriser,…...

UAA5-1-Equations du 2d degré UAA 5 : Second degré 5.1. Equations L'élève sera capable de : …  Processus 1 : CONNAITRE Comprendre les mots racine, racine double, résoudre, factoriser,… Connaître la méthode de résolution complète (delta) Connaître le théorème de Viète (produit-somme) En utilisant différentes propriétés, justifier l'adéquation des racines avec le problème ou l'équation.  Processus 2 : APPLIQUER Résoudre une équation du second degré par la méthode du delta, par produit-somme, ainsi que les cas particuliers Résoudre une équation se ramenant à du second degré (mise en évidence, a²- b², a²=b², bicarrée, produit nul,…) Savoir factoriser et résoudre des expressions du second degré et plus, en utilisant la méthode la plus appropriée.  Processus 3 : TRANSFÉRER Modéliser et résoudre un problème se ramenant à une équation du deuxième degré, un problème faisant appel à une fonction du deuxième degré par voie algébrique. Modéliser un phénomène issu de situations diverses par une fonction du deuxième degré. 1. Résolution de l’équation du second degré 1.1. Définition : Une équation du second degré, appelée aussi trinôme, s'écrit sous la forme ax² + bx + c = 0 où a  IR0 , b  IR , c  IR. 1.2. Equations particulières du second degré a) pas de terme indépendant, c = 0 ax² + bx = 0 Exemple : 4x² + 7x = 0 ;  x.(4x+7) = 0 car mise en évidence  x = 0 ou 4x + 7 = 0 car produit nul –7 –7  x = 0 ou x = S = {0 ; } 4 4 Exercices : −4𝑥 + 𝑥 = 0  … −3𝑥 + 𝑥² = 0  … −3𝑥 − 𝑥 = 0  … 𝑥 + 𝑥 = 0 … 𝑥 − 2𝑥 = 0  … Conclusion : -1-  UAA5-1-Equations du 2d degré b) Pas de terme en x, b = 0 ax² + c = 0 b = 0 ; a et c sont de même signe Exemples : x² + 1 = 0 – x² – 3 = 0 Conclusion : b = 0 ; a et c de signe contraire Exemples : x² – 4 = 0 9x² – 1 = 0 –1 + 2x² = 0 4x² – 7 = 0 Conclusion : c) Complet, produit remarquable On factorise la forme trinôme carré parfait, puis on résout l'équation 4x² + 12x + 9 = 0 9x² - 6x + 1 = 0 - x² + 6x - 9 = 0  (2x + 3)² = 0  2x + 3 = 0 x= S= 1.3. Equation générale du second degré Soit l’équation, appelée aussi trinôme, ax² + bx + c = 0 où a  IR0 , b IR, c IR. Donnons une équation équivalente (condition a  0) : Démonstration :... Résumé : Equation : ax² + bx + c = 0 (a  0) Discriminant:  = b² – 4ac  b  1. si  > 0 2 racines distinctes x  2a b 2. si  = 0 1 racine double x  2a 3. si  < 0 pas de racine Remarque : b² – 4ac se note , se lit delta, s’appelle le discriminant ; ou , rho, réalisant. Exemples :  5 x² + x – 130 = 0  x² – 6x + 13 = 0  - x² + 6x – 9 = 0 -2-  UAA5-1-Equations du 2d degré Exercice : Classer, rejeter, choisir... Explique quelle technique utilisée pour résoudre rapidement ces équations. 2. Théorème de Viète (produit - somme) Lorsque l’équation du second degré ax² + bx + c = 0 admet des racines réelles, –b leur somme S est égale à ; a c leur produit P est égal à. a On peut alors écrire ax² + bx +c = a. (x² – Sx + P) Démonstration : … Exemples 1) En utilisant les formules du produit et de la somme, résous dans IR : x² – 5x + 6 = 0 2x² – 6x – 8 = 0 2) Soient les équations suivantes et leurs solutions. Celles-ci sont-elles correctes. Justifie. a) x² – 4x – 21 = 0 S = {-3;7} b) x² – 5x + 4 = 0 S = {-4;-1} c) 2x² + 12x – 80 = 0 S = {4;10} 3) Soit l'équation : 4x² - 3x - 1 = 0. x= 1 est une solution de cette équation, trouve l'autre. 3. Factorisation des trinômes du second degré Propriété : Le trinôme ax² + bx + c = 0 où a IR0 ; b, c  IR se factorise sous la forme :  a.(x – x1).(x – x2) = 0 si  >0 , x1, x2 étant ses deux racines  a.(x – x1)² = 0 si  = 0 , x1 étant sa racine double  ne se factorise pas si 