Systèmes Linéaires du Premier Ordre PDF

Système 1ier ordre SYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE DEFINITION Entrée : e(t) Système s(t) : Sortie Un système est dit linéaire invariant du premier ord...

Système 1ier ordre SYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE DEFINITION Entrée : e(t) Système s(t) : Sortie Un système est dit linéaire invariant du premier ordre si la réponse s(t) est liée à l’excitation e(t) par une équation différentielle linéaire à coefficients constants du second ordre : ds (t ) a.  b.s (t )  c.e(t ) dt Qu’on mettra sous la forme : a ds (t ) c.  s (t ) .e(t ) b dt b ds (t ) .  s (t )  K 0.e(t ) dt  : constante de temps (s) K0 : coefficient d’amplification statique (unité de la sortir/unité de l’entrée) L’application de la transformée de Laplace, où les conditions initiales sont considérées nulles, permet d'obtenir facilement la forme générale de la fonction de transfert des systèmes du 1ième ordre : S ( p) K0 G( p)   E ( p) 1  . p Etude des pôles Les pôles (ou les racines ou les zéros) d'une fonction de transfert G(p) sont les valeurs de « p » qui annulent le dénominateur de G(p). Ce sont donc les racines de l'équation caractéristique : 1  .P 1 r1    La solution s(t) est obtenue en utilisant la transformée inverse de LAPLACE de : K0 L1 S ( p) .E ( p)  s(t) 1.p REPONSE INDICIELLE La réponse indicielle est la réponse à un échelon défini ainsi : pour t < 0, e(t) = 0 pour t ≥ 0, e(t) = Eo Eo t 0 E0 E ( p)  p K 0 E0 S ( p) . 1.p p Dans ce cas, on obtient par transformation de Laplace inverse de S (p) :  s (t )  K 0.E0. 1  e t /   Le régime est apériodique : 1/6  Réponse indicielle s(∞)=K0E0  t Lorsqu'on observe la réponse d'un système, on peut distinguer deux régimes : le régime transitoire pendant lequel la réponse varie le régime permanent qui correspond à sa stabilisation. Quelles que soient les conditions initiales, le régime permanent d'un système du premier ordre peut être considéré atteint au bout d'un temps t = 5.. Temps de réponse à 5% On appelle temps de réponse à 5 % est le temps au bout duquel s(t) parvient à la valeur K0.E0 à 5% de la différence |K0.E0 –s(0)| Le cas où s(0) = 0 : tr5%=3 Temps de montée Le temps de montée est le temps qui s’écoule entre 10% et 90% de la variation du signal. tm=2.2  SYSTEMES AVEC RETARD Les retards peuvent être de différentes natures : _ Retard physique : il est dû aux éléments physiques qui composent le processus : il provient par exemple du chemin à parcourir pour le transport de l'information, du parcours des fluides entre le point d'introduction et le capteur. _ Le retard de mesure provient du temps que met le capteur pour délivrer la mesure. Dans le cas des débits, pressions, etc..., la mesure se déplace à la vitesse proche du son et le retard est quasiment négligeable. Dans le cas des températures, pH, la mesure se déplace à la vitesse des fluides conducteurs et le retard est plus important... La forme de la fonction de transfert est un premier ordre faisant apparaître un terme exponentiel au dénominateur : S ( p) K 0.e t 0. p F ( p)   E ( p) 1  . p En effet, en se basant sur le théorème du retard, on en déduit la fonction temporelle s(t-t0) qui est bien la fonction retardée d'une valeur t0. 2/3 Exemple 2.1. A titre d'exemple, on peut constater l'effet d'un retard de 2.5s sur la réponse indicielle d'un système de fonction de transfert F(p) = e-2.5p/(p+2) (ce qui pourrait illustrer le fait qu'on allume le radiateur, la pièce ne chauffe pas immédiatement ) : t0=2.5s Réponse indicielle d'un système du premier ordre retardé La réponse est celle d’un système du premier ordre décalé de t0=2.5s.  s (t )  E0. 1  e  (t  t 0 ) /   avec K 0  1 REPONSE HARMONIQUE Fonction de transfert L’excitation e(t) est alors sinusoïdale : e(t) = E.sin(wt) En passant à la notation complexe et en supposant K positif, on obtient S ( jw) K0 K0 H ( p  jw)    E ( jw) 1  j.w 1  j w w0 K0 Qui a pour module : H ( jw)  2 w 1     w0  w Et pour argument :    arctan   w0  3/3