Cours Fractions, Puissances, Racines Carrées PDF

1 sur 9 FRACTIONS, PUISSANCES, RACINES CARRÉES Tout le cours sur les fractions en vidéo : https://youtu.be/a0Qb812W75c Tout le cours sur les puissances en vidéo :...

1 sur 9 FRACTIONS, PUISSANCES, RACINES CARRÉES Tout le cours sur les fractions en vidéo : https://youtu.be/a0Qb812W75c Tout le cours sur les puissances en vidéo : https://youtu.be/XA-JkXirNz4 Tout le cours sur les racines carrées en vidéo : https://youtu.be/8Atxa6iMVsw Partie 1 : Fractions 1. Calcul avec les fractions (Rappels) Propriétés : 𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑎 𝑐 𝑎×𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 + = − = × = : = × 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝑏 𝑑 𝑏×𝑑 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 Méthode : Effectuer des calculs de fractions Vidéo https://youtu.be/1yV5scwCwvg 5 6 5 6 2 −5 3 −5 8 4 5 𝐴= + 𝐵= − 𝐶= × 𝐷= ∶ 𝐸= − × 4 16 3 5 −3 11 4 8 7 7 3 Correction ! # ! # & '! % '! 𝐴= + 𝐵= − 𝐶= × 𝐷= ∶ " $# % ! '% $$ " ( 5×4 # 5×5 6×3 2×(−5) % ( = 4×4 + = 3×5 − 5×3 = (−3)×11 = × $# " '! &3 # 25 18 '$3 &" = + = 15 − 15 = = $# $# '%% '&3 20 + 6 &!' $( $3 # = 16 = = =− $! %% ! &# 8 = = $# $! 13 = 8 8 4 5 𝐸= − × 7 7 3 8 20 = − 7 21 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  2 sur 9 24 20 = − 21 21 4 = 21 2. Réduire des expressions au même dénominateur Propriété : 9 ; 9< ;: 9 F√𝑎 + 𝑏G car 2√𝑎𝑏 > 0 Et donc √𝑎 + √𝑏 > √𝑎 + 𝑏 Méthode : Effectuer des calculs sur les racines carrées Vidéo https://youtu.be/CrTjK3Qa72s Écrire le plus simplement possible : 𝐴 = √32 × √2 𝐵 = √3 × √27 𝐶 = √3 × √36 × √3 √?( √!3 ! √%&×√$3 𝐷= 𝐸= 𝐹 = !4√5% 𝐺= √& √8& √(3 Correction 𝐴 = √32 × √2 = √32 × 2 = √64 = 8 𝐵 = √3 × √27 = √3 × 27 = √81 = 9 𝐶 = √3 × √36 × √3 = √3 × 3 × √36 = √9 × √36 = 3 × 6 = 18 √?( ?( 𝐷= = & = √49 = 7 √& & √!3 !3 &! √&! ! 𝐸= =& = & = = √8& 8& %# √%# # ! ! 𝐹 = !4√5% = 4! × !√5% = 16 × 5 = 80 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  7 sur 9 "32×"10 %&×$3 𝐺= "80 = & = √4 = 2 (3 3. Extraire un carré parfait Méthode : Extraire un carré parfait Vidéo https://youtu.be/cz27kb_qTy4 Écrire sous la forme 𝑎√𝑏, avec 𝑎 et 𝑏 entiers et 𝑏 étant le plus petit possible : 𝐴 = √72 𝐵 = √45 𝐶 = 3√125 Correction 𝐴 = √72 = √36 × 2 ← On fait « apparaître » dans 72 le carré parfait 36 = √36 × √2 ← On extrait cette racine en appliquant une formule = 6√2 ← On simplifie la racine du carré parfait Pour que 𝑏 soit le plus petit possible, 𝑏 ne doit pas « contenir » de carré parfait. 𝐵 = √45 = √9 × 5 = √9 × √5 = 3√5 𝐶 = 3√125 = 3√25 × 5 = 3√25 × √5 = 3 × 5 × √5 = 15√5 Curiosité : Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  8 sur 9 4. Simplifier les écritures contenant des racines carrées Méthode : Simplifier une écriture contenant des racines carrées Vidéo https://youtu.be/8pB5pq2MyDM Vidéo https://youtu.be/MXJYntzumDo 1) Écrire le plus simplement possible : 𝐴 = 4√3 − 2√3 + 6√3 𝐵 = 7√2 − 3√5 + 8√2 − √5 𝐶 = F3 − 2√3G − F4 − 6√3G 2) Écrire les expressions suivantes sous la forme 𝑎√𝑏, où 𝑎 et 𝑏 sont des entiers et 𝑏 le plus petit possible : 𝐷 = √12 + 7√3 − √27 𝐸 = √125 − 2√20 + 6√80 Correction 1) On regroupe les membres d’une même « famille de racines carrées » pour réduire l’expression. Les différentes familles de racines carrées sont : √2, √3, √5, √6, √7, … 𝐴 = 4√3 − 2√3 + 6√3 = 8√3 𝐵 = 7√2 − 3√5 + 8√2 − √5 = 15√2 − 4√5 𝐶 = F3 − 2√3G − F4 − 6√3G = 3 − 2√3 − 4 + 6√3 = −1 + 4√3 2) On fait apparaître des racines carrées d’une même famille. Pour cela, il faut extraire des carrés parfaits. 𝐷 = √12 + 7√3 − √27 ← √12 et √27 sont des « √3 déguisées » = √4 × 3 + 7√3 − √9 × 3 ← Elles sont maintenant « démasquées » ! = 2√3 + 7√3 − 3√3 ← On peut alors réduire l’expression = 6√3 𝐸 = √125 − 2√20 + 6√80 = √25 × 5 − 2√4 × 5 + 6√16 × 5 = 5√5 − 2 × 2√5 + 6 × 4√5 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr  9 sur 9 = 5√5 − 4√5 + 24√5 = 25√5 5. Racines carrées et développements Méthode : Effectuer des développements avec des racines carrées Vidéo https://youtu.be/xmtZS0GwV_Y Développer et réduire les expressions suivantes : % % 𝐴 = F√3 − 4G 𝐵 = F3 + √5G 𝐶 = F√2 − √5GF√2 + √5G 𝐷 = F3 + √3GF1 − √2G Correction On applique les règles classiques de développement d’une expression comme on peut le faire en calcul littéral. Les racines sont alors « traitées » comme une inconnue. % 𝐴 = F√3 − 4G ← On applique la 2e identité remarquable % = F√3G − 2 × √3 × 4 + 4% = 3 − 8√3 + 16 = 19 − 8√3 % 𝐵 = F3 + √5G ← On applique la 1ère identité remarquable % = (3)% + 2 × 3 × √5 + F√5G = 9 + 6√5 + 5 = 14 + 6√5 𝐶 = F√2 − √5GF√2 + √5G ← On applique la 3e identité remarquable % % = F√2G − F√5G =2−5 = −3 𝐷 = F3 + √3GF1 − √2G ← On applique la double distributivité = 3 − 3√2 + √3 − √3 × √2 = 3 − 3√2 + √3 − √6 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr