CALCULS NUMÉRIQUES PDF

1 CALCULS NUMERIQUES Tout le cours sur les fractions en vidéo : https://youtu.be/a0Qb812W75c Tout le cours sur les puissances en vidéo : https://youtu.be/IxCzv5FPJ3s Partie 1 : Nombres relatifs et priorités (Rappels) 1) Règles de calculs avec les nombres relatifs Additions et soustractions −3–4=−7 +...

1 CALCULS NUMERIQUES Tout le cours sur les fractions en vidéo : https://youtu.be/a0Qb812W75c Tout le cours sur les puissances en vidéo : https://youtu.be/IxCzv5FPJ3s Partie 1 : Nombres relatifs et priorités (Rappels) 1) Règles de calculs avec les nombres relatifs Additions et soustractions −3–4=−7 +3–4=−1 Multiplications et divisions (La règle des signes) 2×3=6 (−2) × (−3) = 6 2 × (−3) = −6 −2 × 3 = −6 − 3 et − 4 ont le même signe : Garder le signe « − ». Faire 3 + 4. + 3 et − 4 ont des signes contraires : Prendre le signe du plus grand « – ». Faire 4 – 3. Méthode : Effectuer des calculs sur les nombres relatifs (1) Vidéo https://youtu.be/3rXse_lbAKk Calculer les expressions suivantes : A = − 8 − 10 B = 12 − 20 C = 4 × (−5) D= −12 −3 Correction 𝐴 = − 8 − 10 = − 18 𝐵 = +12 − 20 = − 8 ← Mêmes signes : garder le « − » et additionner ← Signes contraires : prendre le signe du plus grand donc le « − » du 20 et soustraire 𝐶 = 4 × (−5) = − 20 ← Règle des signes : + − → − −12 𝐷 = −3 = 4 ← Règle des signes : − − → + 2) Priorités de calculs Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2 La 1re lettre de chaque opération forme le mot PEMDAS. Il suffit donc de mémoriser le mot PEMDAS pour se souvenir à tout moment des priorités dans les calculs. Méthode : Effectuer des calculs sur les nombres relatifs (2) Vidéo https://youtu.be/p_-4EYjsOiA Calculer les expressions suivantes. 𝐴 = 7 − 4 × (− 8) 𝐵 = −10 + 3! 𝐶 = 5 + (−12 + 8) 𝐷 = 15 ÷ 3 × 4 Correction 𝐴 = 7 − 4 × (−8) = 7 + 32 = 39 𝐵 = −10 + 3! = −10 + 9 = −1 ← La multiplication est prioritaire sur la soustraction. ← L’expression avec exposant est prioritaire sur l’addition. 𝐶 = 5 + (−12 + 8) ← Les parenthèses sont prioritaires sur l’addition. = 5 + (−4) ← Deux signes se suivent, on utilise la règle des signes : + − → − = 5– 4 = 1 𝐷 = 15 ÷ 3 × 4 =5×4 = 20 ← La division et la multiplication sont au même niveau de priorité : On effectue les calculs de gauche à droite. Partie 2 : Les fractions (Rappels) 1) Additions et soustractions Propriétés : 𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 + = 𝐷 𝐷 𝐷 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 − = 𝐷 𝐷 𝐷 Remarque : Si les dénominateurs sont différents, il faut modifier au moins une fraction pour avoir le même dénominateur. Méthode : Effectuer des additions et soustractions de fractions Vidéo https://youtu.be/nsc675xcjPc Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée : 𝐴 = % + ' 𝐵= % − ' & (' ) % Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 3 Correction % ' 𝐴= + & (' %×& ' = + &×& (' -. ' = + (' (' -. 1 ' = (' -' = (' () = / 𝐵= % − ' ) % 5×5 − 6×3 = 3×5 5×3 -% (/ = = = − (% (% -% 2(/ 3 (% (% 2) Multiplications et divisions Propriétés : 𝑎 𝑐 𝑎×𝑐 × = 𝑏 𝑑 𝑏×𝑑 𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 : = × 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 Méthode : Effectuer des multiplications et divisions de fractions Vidéo https://youtu.be/7_hZWOoMBSA Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée : 𝐴= 2 −5 × −3 11 𝐵 =7× 2 3 𝐶= 3 −5 ∶ 4 8 Correction 2 −5 × −3 11 2 × (−5) = (−3) × 11 −10 = −33 10 = 33 𝐴= 2 3 7 2 = × 1 3 7×2 = 1×3 14 = 3 𝐵 =7× 3 −5 ∶ 4 8 3 8 = × 4 −5 3×8 = 4 × (−5) 24 = −20 6 =− 5 𝐶= Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 4 3) Calculs mêlés Méthode : Effectuer des calculs mêlés de fractions Vidéo https://youtu.be/Z86gfJOKgBg Vidéo https://youtu.be/1yV5scwCwvg Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée : 8 −4 5 −3 −2 4 5 3 𝐴= − × 𝐵= 𝐶=B + C:B + C 5 7 7 3 3 9 2 −14 2+2 Correction 8 −4 5 𝐴= − × 7 7 3 8 −20 − 7 21 8 20 = + 7 21 24 20 = + 21 21 44 = 21 = 𝐵= −3 5 2+2 5 = −3 ∶ B2 + C 2 4 5 = −3 ∶ B + C 2 2 9 = −3 ∶ 2 2 = −3 × 9 6 =− 9 2 =− 3 −2 4 5 3 𝐶=B + C:B + C 3 9 2 −14 −6 4 5 3 + C:B − C 9 9 2 14 2 35 3 = − :B − C 9 14 14 2 32 =− : 9 14 2 14 =− × 9 32 2 7 =− × 9 16 14 =− 144 7 =− 72 =B Partie 3 : Les puissances 1) Rappel : 𝑎$ = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 De façon générale : 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎 𝑛 fois Exemples : Vidéo https://youtu.be/IKmReDkNGp8 2 × 2 × 2 = 2# 11 × 11 × 11 × 11 × 11 = 11$ Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 5 𝑎 est un nombre non nul et 𝑛 un entier non nul : 𝑎% = 𝑎 𝑎& = 1 0' = 0 1' = 1 Exemples : 15% = 15 153& = 1 0( = 0 1%! = 1 Méthode : Effectuer des calculs de puissances avec des nombres relatifs Vidéo https://youtu.be/4CEYTrvUP0I Calculer : 𝐴 = 2( 𝐵 = (−3)# 𝐶 = (−5)! 𝐷 = −5! Correction 𝐴 = 2( = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 𝐵 = (−3)# = (−3) × (−3) × (−3) = 9 × (−3) = −27 𝐶 = (−5)! = (−5) × (−5) = 25 𝐷 = − 5! = − 5 × 5 = −25 Sans parenthèses, c’est 5 qui est au carré et non pas –5. 2) Puissances d’exposant négatif On dit que : 𝑎)% = ( 4 est l’inverse de 𝑎. De façon générale : 𝑎)' = ( 4! Méthode : Utiliser les puissances d’exposant négatif Vidéo https://youtu.be/5miQxq30zhY Vidéo https://youtu.be/_iwHYbuZ4N8 1) Écrire sous forme de fractions les puissances suivantes : 𝐴 = 2)( 2) Écrire les quotients sous la forme 𝑎)' : 1 1 1 𝐶= 𝐷= 𝐸= (−6) × (−6) × (−6) 5 3×3×3×3×3 𝐵 = 9)! 𝐹= 1 (−6)* × (−1)* Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 6 Correction 1) 𝐴 = 2)( = 1 1 1 = = 2( 2 × 2 × 2 × 2 16 𝐵 = 9)! = 1 1 1 = = 9! 9 × 9 81 1 = 5)% 5 1 1 𝐷= = $ = 3)$ 3×3×3×3×3 3 2) 𝐶 = 𝐸= 1 1 = = (−6))# (−6) × (−6) × (−6) (−6)# 𝐹= 1 1 1 = = = 6)* (−6)* × (−1)* 6* × 1* 6* 3) Rappel : la notation scientifique Définition : La notation scientifique : 7,328 × 105 Nombre entre 1 et 10 (10 exclu) x une puissance de 10 Exemples : 3,45 × 10( est une notation scientifique car 3,45 est bien compris entre 1 et 10 (10 exclu). 11,3 × 10+ n’est pas une notation scientifique car 11,3 est plus grand que 10. 0,42 × 10)+ n’est pas une notation scientifique car 0,42 est plus petit que 1. Attention à ne pas se tromper avec le signe des exposants : 34 000 = 3,4 × 10( car 3,4 × 10000 = 34 000 )( 0,00034 = 3,4× 10 car 3,4 × 0,0001 = 0,00034 Méthode : Effectuer des calculs de puissances et présenter le résultat en notation scientifique Vidéo https://youtu.be/tzhNCpLRtCY Écrire les nombres suivants sous forme scientifique : A = 8 300 000 B = 0,00231 C = 204,5 x 10$ 𝐷 = 7,5 × 10$ × 4 × 8,2 × (10)% )! 𝐸 = 8 × 10! + 85 × 10)! 𝐹= )×(." ×3×(.# Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr %.×(. 7 Correction 𝐴 = 8,3 × 10+ B = 2,31 × 10)# C = 2,045 × 10$,! = 2,045 × 10- 𝐷 = 7,5 × 10$ × 4 × 8,2 × (10)% )! = 7,5 × 4 × 8,2 × 10$ × (10)% )! = 246 × 10$ × (0,1)! = 246 × 10$ × 0,1 × 0,1 = 246 × 100 000 × 0,01 = 246 × 1000 = 246 000 (Notation décimale) = 2,46 × 10$ (Notation scientifique) 𝐸 = 8 × 10! + 85 × 10)! = 800 + 0,85 = 800,85 (Notation décimale) = 8,0085 × 10! (Notation scientifique) 𝐹= )×(." ×3×(.# %.×(. 3 × 7 10# × 10! = × 50 10 1000 × 100 = 0,42 × 10 = 0,42 × 10 000 = 4 200 (Notation décimale) = 4,2 × 10# (Notation scientifique) Activité de groupe : La légende de Sessa http://www.maths-et-tiques.fr/telech/SESSA.pdf Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr