Cours Maths 3ieme APC Ecole online PDF

Troisième CÔTE D’IVOIRE – ÉCOLE NUMÉRIQUE Mathématiques Code : Thème : CALCULS ALGEBRIQUES LEÇON 1 : CALCUL LITTERAL Durée : 8 heures A. SITUATION D’APPRENTISSAGE Le Lycée Alain Gau...

Troisième CÔTE D’IVOIRE – ÉCOLE NUMÉRIQUE Mathématiques Code : Thème : CALCULS ALGEBRIQUES LEÇON 1 : CALCUL LITTERAL Durée : 8 heures A. SITUATION D’APPRENTISSAGE Le Lycée Alain Gauze de DALOA veut organiser une kermesse sur un terrain de forme carrée. Les principaux sponsors de la fête ont choisi chacun de bâtir leur stand dans un coin du terrain. Le Proviseur du Lycée souhaite que le reste du terrain ait la forme d’un octogone et qu’il soit réservé aux jeux. L’entrepreneur chargé d’aménager le terrain propose la maquette ci-dessous. A I J B P K ABCD est un carré de côté x O L D N M C Intéressés par le projet, les élèves de la troisième décident de calculer le périmètre et l’aire du terrain réservé aux jeux. B. CONTENU DE LA LEÇON I. Quotient Egalité de deux quotients Propriété a, b, c et d sont des nombres tels que b ≠ 0 et d ≠ 0. 𝑎 𝑐 = équivaut à 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 𝑏 𝑑 Exercice de fixation 𝑎 2 𝑎 désigne un nombre différent de zéro. Détermine la valeur de 𝑎 lorsque =5 3 Solution 𝑎 2 = équivaut à 5 × 𝑎 = 3 × 2. 3 5 équivaut à 5𝑎 = 6. 1  6 équivaut à 𝑎 = 5 = 1,2 𝑎 2 = 5 , donc : 𝑎 = 1,2. 3 II. Calcul littéral 1. Puissance à exposant entier relatif a. Notation a est un nombre rationnel différent de 0, n est un nombre entier naturel différent de 0. L’inverse de 𝑎𝑛 est noté 𝑎−𝑛. On a : 1 = 𝑎−𝑛 𝑎−𝑛 × 𝑎𝑛 = 1 𝑎𝑛 Exemple 𝟏 𝟏 5-3 = 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓. b. Propriétés a et b sont des nombres rationnels différents de 0 ; 𝑚 𝑒𝑡 𝑛 sont des nombres entiers relatifs. 𝑎𝑚 𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 = (𝑎 × 𝑏)𝑛 ; 𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 ; (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛 ; 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛. Exercice de fixation Recopie et complète les pointillés. 65 × 62 = 6….. ; (−7)3 × (−7)−5 = (−7)….. ; (8−2 )3 = 8….. ; 33 × 83 = (….× …. )…. = ……. ; 98 =...….. 95 Corrigé 98 65 × 62 = 67 ; (−7)3 × (−7)−5 = (−7)−2 ;(8−2 )3 = 8−6; 33 × 83 = (3 × 8)3=243 ; 95 = 93. 2. Développements et réductions a) Règle de suppression de parenthèses a , b et c sont des nombres ; on a : 𝑎 + (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑎 − (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 𝑎 − (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 b) Règles de priorité La multiplication est prioritaire sur l’addition et sur la soustraction. L’élévation à une puissance est prioritaire sur la multiplication. c) Développement d’un produit 2 Propriétés 𝑎, 𝑏, 𝑥, et 𝑦 sont des nombres rationnels. On a : 𝑎(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 𝑎(𝑥 − 𝑦) = 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 (𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏 + 𝑏𝑦 d) Egalités remarquables 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 sont des nombres rationnels. On a : (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 Exercice de fixation En utilisant les égalités remarquables ci-dessus, complète les pointillés: 1) (1 + 𝑥)2 = ⋯ + ⋯ + ….….. 2) (3𝑥 + 4)(3𝑥 − 4) = …..…. − ….…. 3) (𝑥 − 4)2 = …..…. − ⋯ + ….…. Corrigé 1) (1 + 𝑥)2 = 1 + 2𝑥 + 𝑥 2. 2) (3𝑥 − 4)(3𝑥 + 4) = (3𝑥)2 − 42. 3) (𝑥 − 4)2 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 42. 3. Factorisations a) Mettre en évidence un facteur commun Exemple 3𝑥(2𝑥 + 1) − 17(2𝑥 + 1) = (2𝑥 + 1) (3𝑥 − 17). b) Utiliser des égalités remarquables Exemple 9𝑎2 + 24𝑎 + 16 = (3𝑎)2 +2× 3𝑎 × 4 + 42 = (3𝑎 + 4)2. c) Utiliser plusieurs techniques Exemple 9𝑎2 + 24𝑎 + 16 − 𝑎(3𝑎 + 4) = (3𝑎)2 +2× 3𝑎 × 4 + 42 − 𝑎(3𝑎 + 4) = (3𝑎 + 4)2 − 𝑎(3𝑎 + 4) = (3𝑎 + 4)[(3𝑎 + 4) − 𝑎] = (3𝑎 + 4)(3𝑎 + 4 − 𝑎) = (3𝑎 + 4)(3𝑎 − 𝑎 + 4) 9𝑎2 + 24𝑎 + 16 − 𝑎(3𝑎 + 4) = (3𝑎 + 4)(2𝑎 + 4) = 2(3𝑎 + 4)(𝑎 + 2). 4. Produit nul, nombres de même carré a) Produit nul 3  Propriétés Un produit est égal à zéro lorsque l’un au moins de ses facteurs est égal à zéro. Un produit est différent de zéro lorsque tous ses facteurs sont différents de zéro. 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 sont des nombres rationnels. 𝑎 × 𝑏 = 0 équivaut à 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑏 = 0. 𝑎 × 𝑏 ≠ 0 équivaut à 𝑎 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑏 ≠ 0. Exercice de fixation 𝑎 est un nombre rationnel. Détermine 𝑎 tel que : (𝑎 − 2)(𝑎 + 3) = 0. Corrigé (𝑎 − 2)(𝑎 + 3) = 0 équivaut à 𝑎 − 2 = 0 ou 𝑎 + 3 = 0. équivaut à 𝑎 = 2 ou 𝑎 = −3. b) Nombres de même carré Propriété 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 sont des nombres rationnels. 𝑎2 = 𝑏 2 équivaut à 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 = − 𝑏. Exercice de fixation 𝑥 est un nombre rationnel. Détermine 𝑥 tel que : 𝑥 2 = 49. 𝑥 2 = 49 équivaut à 𝑥 2 = 72. 𝑥 2 = 49 équivaut à 𝑥 = 7 ou 𝑥 = −7. Remarque 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 sont des nombres rationnels positifs. 𝑎2 = 𝑏 2 équivaut à 𝑎 = 𝑏. III. Expressions littérales 1. Polynômes a. Monôme Présentation On considère l’expression littérale : 𝟓𝒙𝟐. C’est un monôme en 𝑥. 5 est le coefficient du monôme. 2 est le degré du monôme. b. Polynôme Présentation On considère l’expression littérale : 22𝑥 9 + 76𝑥 6 − 5. C’est un polynôme en 𝑥 et 9 est le degré du polynôme. 4 Exercices de fixation Exercice 1 Complète le tableau suivant. Monôme Coefficient Degré 7𝑥² 𝑥5 2 − 𝑥4 3 −𝑥 Exercice 2 Complète le tableau suivant. Monôme Degré 6𝑥 − 3𝑥 7 + 4 2 4𝑥 5 − 𝑥 + 2 −𝑥 4 + 𝑥 3 + 2𝑥 8 Exercice 3 Développe, réduis puis ordonne selon les puissances décroissantes de 𝑥, l’expression littérale suivante : (2𝑥 3 − 1)(3𝑥 + 2) − 𝑥(5𝑥 2 − 7) Corrigé Exercice 1 Monôme Coefficient Degré 7𝑥² 7 2 𝑥5 1 5 2 2 − 𝑥4 − 4 3 3 −𝑥 −1 1 Exercice 2 Monôme Degré 6𝑥 − 3𝑥 7 + 4 2 7 4𝑥 5 − 𝑥 + 2 5 −𝑥 4 + 𝑥 3 + 2𝑥 8 8 Exercice 3 (2𝑥 3 − 1)(3𝑥 + 2) − 𝑥(5𝑥 2 − 7) = (2𝑥 3 ) × (3𝑥) + (2𝑥 3 ) × 2 − 1 × (3𝑥) − 1 × 2 − 𝑥 × (5𝑥 2 ) − 𝑥 × (−7) = 6𝑥 4 + 4𝑥 3 − 3𝑥 − 2 − 5𝑥 3 + 7𝑥 = 6𝑥 4 + 4𝑥 3 − 5𝑥 3 − 3𝑥 + 7𝑥 −2 (2𝑥 3 − 1)(3𝑥 + 2) − 𝑥(5𝑥 2 − 7) = 6𝑥 4 − 𝑥 3 + 4𝑥 −2. 5  2. Fractions rationnelles a) Présentation 𝑥 2 +5𝑥 On considère l’expression littérale : 2𝑥 2−1. C’est une fraction rationnelle. 𝑥 2 + 5𝑥 est son numérateur. 2𝑥 2 − 1 est son dénominateur. b) Valeurs pour lesquelles une fraction rationnelle existe Propriété 𝐴 Soit 𝐵 une fraction rationnelle. 𝐴 existe si et seulement si B  0. 𝐵 Exercice de fixation 𝑥+6 Soit la fraction rationnelle K telle que K = 5𝑥+2. Détermine les valeurs de 𝑥 pour lesquelles K existe. Corrigé K existe si et seulement si : 5𝑥 + 2 ≠ 0. Résolvons : l’équation 5𝑥 + 2 = 0. −2 5𝑥 + 2 = 0 équivaut à 𝑥 = 5. 2 Donc, K existe si et seulement si : 𝑥 ≠ − 5. c) Simplifier une fraction rationnelle Méthode Pour simplifier une fraction rationnelle On peut procèder comme suit : - on factorise le numérateur et le dénominateur ; - on détermine la condition d’existence d’une valeur numérique de la fraction rationnelle ; - on simplifie la fraction rationnelle pour chacun des facteurs communs figurant au numérateur et au dénominateur ; - on écrit la fraction rationnelle simplifiée, précédée de la condition d’existence d’une valeur numérique de la fraction rationnelle. Exercice de fixation (𝑥−3)(𝑥+3) On donne la fraction rationnelle F suivante : 𝐹 = (𝑥+3)(𝑥−1). Simplifie F pour 𝑥 ≠ −3 et 𝑥 ≠ 1. Corrigé On simplifie par (𝑥 + 3) le facteur commun figurant au numérateur et au dénominateur. (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) 𝐹= (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) 𝑥−3 Pour 𝑥 ≠ −3 𝑒𝑡 𝑥 ≠ 1; 𝐹 = 𝑥−1. 6  C. SITUATION D’EVALUATION Pendant les grandes vacances, un groupe d’élèves de 3ème d’un lycée décide de vendre au grand marché de la ville des objets fabriqués par une coopérative de femmes. Cette coopérative envisage de vendre un article à 2000 F. Le coût de fabrication journalier de 𝑥 objets est donné par la formule : 𝐶 = 2090𝑥 − 𝑥 2 , où 𝑥 > 0. Soucieuse et très prudente, la présidente de la coopérative souhaite connaitre le nombre d’articles pour lequel les dépenses et la recette s’équilibrent. Ne sachant pas comment s’y prendre, elle te sollicite. 1) Exprime en fonction de 𝑥, la recette R de 𝑥 objets vendus. 2) Sachant que le bénéfice est 𝐵 = 𝑅 − 𝐶, démontre que : 𝐵 = 𝑥(𝑥 − 90). 3) Déduis-en le nombre d’articles pour lequel les dépenses et la recette s’équilibrent. Corrigé 1) Chaque objet est vendu à 2000 F donc la recette R de 𝑥 objets vendus est : R = 2000𝑥. 2) 𝐵 = 𝑅 − 𝐶 = 2000𝑥 − 2090𝑥 + 𝑥 2 = −90𝑥 + 𝑥 2 = 𝑥(−90 + 𝑥) = 𝑥(𝑥 − 90). 3) Les dépenses et la recette s’équilibrent, équivaut à 𝐵 = 0. Alors, 𝐵 = 0 équivaut à 𝑥 = 0 ou 𝑥 − 90 = 0 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 90 ; d’où le nombre d’articles pour lequel les dépenses et la recette s’équilibrent est 90. D. EXERCICES D-1 Exercices de fixation Exercice 1 𝑎 désigne un nombre différent de zéro. 7 2 Détermine la valeur de 𝑎 lorsque 𝑎 = 5. Exercice 2 a et b sont des nombres rationnels différents de 0. 𝑎−3 Ecris plus simplement : 𝑎−4 × 𝑏 −4 ; 𝑎−6 × 𝑎2 ; (𝑎−2 )−3 et. 𝑎 Corrigé 𝑎−3 𝑎−4 × 𝑏 −4 = (a × b)−4 ; 𝑎−6 × 𝑎2 = a−4 ; (𝑎−2 )−3 = 𝑎6 ; = 𝑎−4. 𝑎 Exercice 3 Développe et réduis les expressions littérales suivantes : a) 5𝑥(𝑥 + 3) − 4𝑥(𝑥 − 2) ; b) (2𝑥 − 5)(3𝑥 + 1) ; c) (𝑥 + 7)2. Corrigé a) 5𝑥(𝑥 + 3) − 4𝑥(𝑥 − 2) = 5𝑥 2 + 15𝑥 − 4𝑥 2 + 8𝑥 5𝑥(𝑥 + 3) − 4𝑥(𝑥 − 2) = 𝑥 2 + 23𝑥. b) (2𝑥 − 5)(3𝑥 + 1) = 6𝑥 2 − 13𝑥 − 5. c) (𝑥 + 7)2 = 𝑥 2 + 14𝑥 + 49. 7 Exercice 4 Détermine les valeurs de x pour lesquelles : ( x + 2)(3x − 4) = 0. Corrigé 4 𝑥 = 3 ou 𝑥 = −2. Exercice 5 Détermine les valeurs de x pour lesquelles : 𝑥 2 = 25. Corrigé 𝑥 = 5 ou 𝑥 = −5. Exercice 6 Réponds par vrai ou par faux à chacune des affirmations suivantes : a ) 9𝑥 5 − 48𝑥 2 + 36𝑥 − 4 est un polynôme : 23 b ) 𝑥 4 + 7𝑥 3 − 1 est un polynôme : Corrigé a ) 9𝑥 5 − 48𝑥 2 + 36𝑥 − 4 est un polynôme : Vrai 23 b ) 𝑥 4 + 7𝑥 3 − 1 est un polynôme : Faux Exercice 7 Réponds par vrai ou par faux à chacune des affirmations suivantes. a) 7𝑥 3 − 15𝑥 2 + 1 est une fraction rationnelle. 𝑥2 − 9 b) est une fraction rationnelle. x+3 Corrigé a) 7𝑥 3 − 15𝑥 2 + 1 est une fraction rationnelle : Faux. 𝑥2 − 9 b) est une fraction rationnelle : Vrai. x+3 Exercice 8 𝑥3+ 5 𝑥2 On considère la fraction rationnelle B telle que : 𝐵 = 𝑥 2 −𝑥 Détermine les valeurs pour lesquelles B existe Corrigé B existe pour 𝑥 2 − 𝑥 ≠ 0. Résolvons l’équation 𝑥 2 − 𝑥 = 0. 𝑥(𝑥 − 1) = 0 équivaut à 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 1. Donc B existe pour𝑥 ≠ 0 et 𝑥 ≠ 0. 8 Exercice 9 𝑥2 − 9 On donne la fraction rationnelle F telle que : 𝐹 = (x+3)(x−1). Détermine les valeurs de 𝑥 pour lesquelles F existe. Corrigé F existe pour (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) ≠ 0. Résolvons l’équation (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = 0. (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = 0 équivaut à 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1. Donc F existe pour 𝑥 ≠ −3 et 𝑥 ≠ 1. Exercice 10 𝑥2 − 9 On donne la fraction rationnelle F telle que : 𝐹 = (x+3)(x−1). Simplifie F pour 𝑥 ≠ −3 et 𝑥 ≠ 1. Corrigé 𝑥2 – 9 Pour 𝑥 ≠ −3 𝑒𝑡 𝑥 ≠ 1, 𝐹 = (𝑥+3)(𝑥−1) (𝑥−3)(𝑥+3) = (𝑥+3)(𝑥−1). 𝑥−3 𝐹 = 𝑥−1). D-2 Exercices de renforcement Exercice 11 Q est un polynôme tel que 𝑄 = (3𝑥 + 4)2 − (𝑥 + 4)(5𝑥 + 8) + 4𝑥. 1. a) Justifie que : 𝑄 = 4𝑥 2 − 16. b) Déduis-en la factorisation de Q. 2. Résous l’équation 4(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0 Exercice 12 4𝑥 2 −4𝑥+1 On considère la fraction rationnelle P , telle que 𝑃 = (𝑥+1)(2𝑥−1). 1. Trouve les valeurs de 𝑥 pour lesquelles P existe. 2. a) Montre que : 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = (2𝑥 − 1)2. 1 b) Simplifie P pour 𝑥 ≠ −1 et 𝑥 ≠ 2. 3. Calcule la valeur numérique de P pour 𝑥 = −2. Exercice 13 On donne les expressions littérales A et B suivantes : 𝑥−2 𝐴 = (𝑥 + 1)2 − 9 ; 𝐵 = (𝑥+1)2−9. 1. Justifie que : 𝐴 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 4). 2. a) Détermine les valeurs de 𝑥 pour lesquelles B existe. b) Simplifie B pour 𝑥 ≠ 2 et 𝑥 ≠ 4. Exercice 14 (𝑥−3)2 +(𝑥−3)(2𝑥+1) On donne la fraction rationnelle F telle que : 𝐹 =. (𝑥−5)(3𝑥−2) 1. Justifie que : (𝑥 − 3)2 + (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1) = (𝑥 − 3)(3𝑥 − 2). 9  2. a) Détermine les valeurs de 𝑥 pour lesquelles F existe. 2 𝑥−3 b) Justifie que pour 𝑥 ≠ 5 et 𝑥 ≠ 3, 𝐹 = 𝑥−5. 3. Calcule la valeur numérique de F pour 𝑥 = −3. Exercice 15 On donne les expressions littérales R et T suivantes : 𝑅 = (2𝑥 + 3)2 − 1 ; 𝑆 = 4𝑥 2 + 4𝑥 − 8. 1. a) Vérifie que : 𝑆 = 4(𝑥 − 1)(𝑥 + 2). b) Justifie que : 𝑅 = 4(𝑥 + 1)(𝑥 + 2). 𝑅 2. On considère la fraction rationnelle 𝑇 = 𝑆. a) Détermine les valeurs de 𝑥 pour lesquelles T existe. b) Simplifie T, pour 𝑥 ≠ 1 et 𝑥 ≠ −2. 1 c) Calcule la valeur numérique de T pour 𝑥 = 2. D-3 Exercices d’approfondissement Exercice 16 Sur la figure dessinée ci-dessous, 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré et 𝐴𝐵𝐸𝐹 est un rectangle. On a 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2𝑥 + 1 et 𝐴𝐹 = 𝑥 + 3, où 𝑥 désigne un nombre supérieur à deux. L’unité de longueur est le centimètre. 1. Exprime la longueur 𝐹𝐷 en fonction de 𝑥. 2. Déduis-en que l’aire de 𝐹𝐸𝐶𝐷 est égale à (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2). 3. Exprime en fonction de 𝑥 les aires du carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 et du rectangle 𝐴𝐵𝐸𝐹. 4. Déduis-en que l’aire du rectangle 𝐹𝐸𝐶𝐷 est : (2𝑥 + 1)2 − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3). 5. Justifie que :(2𝑥 + 1)2 − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2). Corrigé 1. 𝐹𝐷 = 𝐵𝐶 – 𝐴𝐹 = (2𝑥 + 1) − (𝑥 + 3) = 2𝑥 + 1 − 𝑥 − 3 = 𝑥 − 2 𝐹𝐷 = 𝑥 − 2. 2. Aire (𝐹𝐸𝐶𝐷) = 𝐶𝐷 x FD = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 3). 3. Aire (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴𝐵× AB = (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) = (2𝑥 + 1)2. Aire (𝐴𝐵𝐸𝐹) = 𝐴𝐵×AF = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3). 4. Aire (𝐹𝐸𝐶𝐷) = Aire (𝐴𝐵𝐶𝐷) − Aire (𝐴𝐵𝐸𝐹) = (2𝑥 + 1)2 − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3). 10  5. 1ère méthode : D’après la question 2. l’aire de FECD est (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2). D’après la question 4. L’aire de FECD est (2𝑥 + 1)2 − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3). Donc, (2𝑥 + 1)2 − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2). 2ème méthode : On a : (2𝑥 + 1)2 − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3). (2𝑥 + 1)2 − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 1)[(2𝑥 + 1) − (𝑥 + 3)]. (2𝑥 + 1)2 − (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2). 11  COLLEGE 3ème CÔTE D’IVOIRE – ÉCOLE NUMÉRIQUE MATHEMATIQUES CODE Thème : Géométrie du plan LEÇON 2 : PROPRIÉTÉS DE THALES DANS LE TRIANGLE Durée :6 heures A. SITUATION D’APPRENTISSAGE Sur la représentation en coupe ci-dessous du toit de l’appâtâmes d’un lycée , on aperçoit le toit, une barre horizontale de 10 mètres et une barre verticale de 3 mètres. 3m 2m 5m 5m Un côté du toit étant défectueux, un charpentier est chargé de le renforcer. Pour ce faire, il doit fixer une barre verticale dont le pied est situé à 2 mètres de la barre verticale initiale. Malheureusement, il a oublié ses instruments de mesure à la maison. Les élèves de la classe de troisième décident de l’aider à calculer la longueur de cette barre. B. CONTENU DE LA LEÇON I. PROPRIETE DE THALES – CONFIGURATIONS DE THALES. Propriété ABC est un triangle. M est un point de droite (AB) et N un point de la droite (AC). 𝐴𝑀 𝐴𝑁 Si (MN) (BC) alors 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Remarque On peut utiliser la propriété de Thalès pour calculer des distances ou justifier une égalité de quotients. Configurations de Thalès (BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A. 𝐴𝑀 𝐴𝑁 Si (BC)//(MN), alors 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. C N M N B N A B C A C M M A B Ces trois figures sont dites configurations de Thalès. Exercices de fixation Exercice 1 Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est vraie. Ecris le numéro suivi de la lettre de l’affirmation vraie. Propositions A B C A C B 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐵𝐶 D = = = E 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐷 (BC)//(ED). La propriété de Thalès permet d’écrire : D A C O 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐷 𝑂𝐴 𝑂𝐶 = = = B 𝑂𝐷 𝑂𝐶 𝑂𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐷 𝑂𝐵 (AB)//(CD). La propriété de Thalès permet d’écrire : E A K F 𝐾𝐸 𝐾𝐹 𝐾𝐴 𝐾𝐵 𝐾𝐸 𝐾𝐹 = = = 𝐸𝐵 𝐾𝐴 𝐾𝐸 𝐾𝐹 𝐾𝐵 𝐾𝐴 B (AB)//(EF). La propriété de Thalès permet d’écrire : Corrigé 1.B ; 2.A ; 3.C. Exercice 2 Calcule 𝑥 dans chacun des cas ci-dessous. 1er CAS 2ème CAS 3ème CAS D A A A E K C B O C F D B E B (BC) // (ED). (BA)// (CD) (BA)//(EF). AE = 6 ; AD = 9 ; AB = 4 ; AC = 𝑥 15 KA = 7 ; KF = 3 ; KE= 6 ; KB = 𝑥 OC= 4 ; OB = 3 ; OA = 8 ; OD = 𝑥 Corrigé 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝑥 1er cas : D’après la propriété de Thalès, 𝐴𝐸 = 𝐴𝐷 équivaut à 𝐴𝐸 = 𝐴𝐷 4 𝑥 =9 6 6𝑥 = 4 × 9 36 𝑥 = 6 = 6. 𝑂𝐴 𝑂𝐵 𝑂𝐴 𝑂𝐵 2ème cas : D’après la propriété de Thalès, 𝑂𝐷 = 𝑂𝐶 équivaut à = 𝑥 𝑂𝐶 8 3 = 15 𝑥 4 15 3𝑥 = 8 × 4 30 𝑥= = 10. 3 𝐾𝐹 𝐾𝐸 𝐾𝐹 𝐾𝐸 3ème cas : D’après la propriété de Thalès, 𝐾𝐴 = 𝐾𝐵 équivaut à 𝑘𝐴 = 𝑥 3 6 =𝑥 7 3𝑥 = 7 × 6 42 𝑥 = 3 = 14. II. RECIPROQUE DE LA PROPRIETE DE THALES Propriété ABC est un triangle, M est un point de la droite (AB) et N est un point de la droite (AC) tels que la position de M par rapport aux points A et B soit la même que celle de N par rapport aux points A et C. 𝐴𝑀 𝐴𝑁 Si 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Remarque La réciproque de la propriété de Thalès permet de montrer que deux droites sont parallèles et s’applique dans les différentes configurations suivantes appelées configurations de Thalès. C N M N B N A B C A C M M A B Exercice de fixation L’unité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle tel que AB = 15 ; AC = 5. Les points M et N appartiennent respectivement aux côtés [AC] et [AB] et sont tels que AM = 3 ; AN =9. Justifie que : (MN) // (CB). Corrigé Justifions que (MN) // (CB) 𝐴𝑀 3 𝐴𝑁 9 3 𝐴𝑀 𝐴𝑁 On calcule : 𝐴𝐶 = 5 ; 𝐴𝐵 = 15 = 5. donc 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵. 𝐴𝑀 𝐴𝑁 ABC est un triangle, M est un point du segment [AB], N est un point du segment [AC] et = 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 D’après la réciproque de la propriété de Thalès, (MN) // (CB).  III. CONSEQUENCE DE LA PROPRIETE DE THALES Propriété : ABC est un triangle, M est un point de la droite (AB) et N est un point de la droite (AC). 𝑀𝑁 𝐴𝑀 𝐴𝑁 Si (𝑀𝑁)//(𝐵𝐶) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 = =. 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Remarques La conséquence de la propriété de Thales s’applique dans les configurations de la propriété directe de Thales. Elle permet de calculer des distances. C N M N B N A B C A C M M A B Exercices de fixation Exercice 1 Entoure la réponse juste parmi les trois réponses 1 ; 2 et 3 ci-dessous. 1 2 3 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝐵 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝑁 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝐵 = = = = = = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑁𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝑁 Dans la figure ci-dessus, on a (BC)//(MN). D’après la conséquence de la propriété de Thalès, on a: Corrigé 1 2 3 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝐵 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝑁 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝐵 = = = = = = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑁𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝑁 Dans la figure ci-dessus, on a (BC)//(MN).  D’après la conséquence de la propriété de Thalès, on a: Exercice 2 On donne le triangle ABK ci-dessous. F∈ [𝐴𝐾] et E ∈ [𝐵𝐾] tel que AK = 8 ; KF = 3 ; EF = 6 et ( AB ) // ( EF ). Calcule AB. A E K F B Corrigé Calculons AB. ABK est un triangle, F est un point de la droite (AK) et E est un point de la droite (BK) ; 𝐾𝐹 𝐾𝐸 𝐸𝐹 et (𝐴𝐵)//(𝐸𝐹) alors, d’après la conséquence de la propriété de Thalès on a : = =. 𝐾𝐴 𝐾𝐵 𝐴𝐵 𝐾𝐹 𝐸𝐹 D’où : = 𝐴𝐵. 𝐾𝐴 Ainsi : 𝐴𝐵 × 𝐾𝐹 = 𝐾𝐴 × 𝐸𝐹. 𝐾𝐴×𝐸𝐹 𝐴𝐵 = 𝐾𝐹. 8×6 𝐴𝐵 = = 16. 3 IV. PARTAGER UN SEGMENT EN DES SEGMENTS DE MEME LONGUEUR Point méthode : Pour partager un segment [AB] en 𝑛 segments de même longueur, on peut procéder comme suit : tracer une demi-droite [AX) (différente de [ AB)) ; choisir un écartement de compas et, en partant du point A, placer sur la demi droite [AX), 𝒏 traits de graduation ; relier à la règle le dernier trait de la graduation et le point B ; puis tracer toutes les parallèles à cette droite qui passent par les traits de graduation. Ces parallèles partagent le segment [AB] en 𝒏 segments de même longueur. Exercice de fixation Partage le segment [AB] en cinq parties égales à l’aide d’une équerre et d’un compas. Corrigé C. SITUATION D’EVALUATION Yéo a dans son jardin un anacardier et un manguier. Il se rappelle que lors de la visite de l’agent de l’agriculture, ce dernier avait déterminé les hauteurs de ces deux arbres mais il ne se rappelle que de la hauteur du manguier qui est 6,7 m. Son neveu qui est votre ami de classe vous sollicite afin de déterminer la hauteur de cet anacardier. Pour le faire, il se place à un endroit où ses yeux Y à 1,6 m du sol sont parfaitement alignés aves les cimes E et O des arbres. Les deux arbres sont distants de 30 mètres et la distance qui sépare le neveu de l’anacardier est de 20 mètres. Sur la figure ci-dessous, les droites (OW) et (EA) sont perpendiculaires à (YW). 1) Justifie que les droites (OW) et (EA) sont parallèles. 2) Calcule la hauteur de l’anacardier. Corrigé 1) Sur la figure, (OW)⊥ (YW) et (EA)⊥ (YW). Donc (OW) // (EA). 2) Calculons la hauteur EA de l’anacardier. Considérons le triangle YOW. E ∈ (YO) ; E ∈ (YW) et (OW) // (EA). D’après la conséquence de la propriété de Thalès, on a : 𝑌𝐴 𝑌𝐸 𝐴𝐸 = 𝑌𝑂 = 𝑊𝑂. 𝑌𝑊 𝑌𝐴 𝐴𝐸 Par conséquent , 𝑌𝑊 = 𝑊𝑂. D’où 𝐴𝐸 × 𝑌𝑊 = 𝑌𝐴 × 𝑊𝑂. 𝑌𝐴×𝑊𝑂 𝐴𝐸 = 𝑌𝑊. On a : 𝑌𝐴 = 20 𝑚 , 𝑌𝑊 = 𝑌𝐴 + 𝐴𝑊 = 20 + 30 = 50 𝑚 et 𝑊𝑂 = 6,7 − 1,6 = 5,1 𝑚. Donc : 20 × 5,1 𝐴𝐸 = 50 𝐴𝐸 = 2,04 𝑚. D. EXERCICES D-1 Exercices de fixation Exercice 1 L’unité de longueur est le centimètre. Sur la figure ci-dessous, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM = 2, BM = 8 et AN = 3. Calculer AC. Corrigé ABC est un triangle, M ∈ (AB), N ∈ (AC) et (MN) // (BC). 𝐴𝑀 𝐴𝑁 D’après la propriété de Thalès, =. 𝐴𝐵 𝐴𝐶 On a : 𝐴𝑀 × 𝐴𝐶 = 𝐴𝑁 × 𝐴𝐵. 𝐴𝑁×𝐴𝐵 𝐴𝐶 =. 𝐴𝑀 Or : 𝐴𝐵 = 𝐵𝑀 − 𝐴𝑀 = 8 − 2 = 6 𝐴𝑁×𝐴𝐵 3×6 Donc : 𝐴𝐶 = = = 9. 𝐴𝑀 2 Exercice 2 L’unité de longueur est le centimètre. Soit ABC un triangle tel que AB = 6; AC = 9 et BC = 3. On place un point D appartenant au segment [AB] tel que AD = 2. et un point E appartenant au segment [AC] tel que AE = 3. Montrons que (DE) et (BC) sont parallèles. Corrigé Montrons que les droites (DE) et (BC) sont parallèles. ABC est un triangle. D ∈ (AB) et E ∈ (AC). La position de D par rapport à A et B est la même que celle de E par rapport à A et C. 𝐴𝐷 𝐴𝐸 Calculons : 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 𝐴𝐷 2 1 𝐴𝐸 3 1 = 6 = 3 et = 9 = 3. 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 , d’après la réciproque de la propriété de Thalès, (DE) // (BC). 𝐴𝐵 Exercice 3 Utilise la propriété de Thalès pour écrire une égalité de quotients dans chacun des cas suivants : Exercice 4 D-2 Exercices de renforcement Exercice 5 L’unité de longueur est le centimètre. Sur la figure ci-contre qui n’est pas en vraie grandeur, BEP est un triangle. On donne : BE = 60 ; EP = 54 ; BK = 40 ; BH = 24 et HP = 12. K H 1. Justifie que les droites (KH) et (EP) sont parallèles. 2. Calcule la distance KH. E P Exercice 6  On tient un bâton verticalement à bout de bras de telle sorte que son extrémité supérieure soit alignée avec le haut de l’arbre et son extrémité inférieure avec le pied de l’arbre. D-3 Exercice d’approfondissement EXERCICE 7 Document 1 Extrait de la liste alphabétique des élèves de la 3e F et d’informations relevées en E.P.S. pour préparer des épreuves d’athlétisme Document 2 Le croquis ci-dessous représente Vaiana élève de 3e F. Vaiana a d'abord posé sur le sol, à partir du cocotier, des noix de coco régulièrement espacées à chacun de ses pas, puis il s'est ensuite placé exactement comme indiqué sur le croquis, au niveau de la septième noix de coco et constate que le sommet de sa tête, la dixième noix de coco et le sommet de l’arbre sont alignés. Il s’écrit : « je peux calculer la hauteur du cocotier » A l’aide des informations qui proviennent des documents : 1. Représente la figure du document 2, en prenant : BC, la hauteur du cocotier ; PT la taille de Vaiana ; AB et AP représente respectivement 10 pas et 3 pas de Vaiana. 2. Justifie que la hauteur du cocotier est de 5,7 m. Corrigé 1. BC représente la hauteur du cocotier, PT la taille de Vaiana, AB et AP représente respectivement 10 pas et 3 pas de Vaiana. C T A B P 2. Dans le triangle ABC, on a (BC)// (PT). D’après la conséquence de la propriété de Thalès : 𝐴𝑃 𝐴𝑇 𝑃𝑇 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶. 𝐴𝐵 D’où 𝐵𝐶 × 𝐴𝑃 = 𝐴𝐵 × 𝑃𝑇 𝐴𝐵×𝑃𝑇 𝐵𝐶 = 𝐴𝑃 D’après le document 1, un pas de Vaiana mesure 1,25 m. D’où 𝐴𝐵 = 10 × 1,25m = 12,5 m et 𝐴𝑃 = 3 × 1,25 m = 3,75 m. PT désigne la taille de Vaiana d’où 𝑃𝑇 = 1,71 m. 12,5 x 1,71 Ainsi 𝐵𝐶 = = 5,7 m. 3,75 La hauteur du cocotier est de 5,7 m.  COLLEGE 3ème MATHEMATIQUES CÔTE D’IVOIRE – ÉCOLE NUMÉRIQUE Code : THEME: CALCULS ALGEBRIQUES LEÇON 3 : RACINES CARREES Durée : 6 heures A- SITUATION D’APPRENTISSAGE La ferme d’un agriculteur dans le village de Foula est de forme carrée et d’aire égale à 500 m 2. Il veut savoir la longueur de grillage nécessaire pour clôturer sa ferme. Le grillage devra couvrir le portail. Il se confie au téléphone à son neveu qui est en classe de troisième au Collège Moderne de BOUNDIALI. Ce dernier collabore avec ses camarades de classe pour calculer la longueur du côté de la ferme et son périmètre. B- CONTENU DE LA LEÇON I- RACINES CARREES 1. Définition a désigne un nombre positif. La racine carrée de a est le nombre positif, noté √𝑎, dont le carré est égal à a. Le symbole ‘’ √ ‘’ est appelé radical. Exemples 52 =25 , d’où √25 = 5. √25 se lit racine carrée de 25 ou radical de 25. Conséquences Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on a : √𝑎 ≥ 0 et (√𝑎)2 = 𝑎 √𝑎 = b équivaut à a = 𝑏 2 Exemple √3 ≥ 0 ; √0 = 0 ; √1 = 1 ; (√7)2 = 7. √36 = 6 équivaut à 36 = 62. 2. Ensemble des nombres réels Définitions Les nombres qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. L’ensemble formé de tous les nombres rationnels et irrationnels est appelé ensemble des nombres réels, noté ℝ. Exemples 2 ; −5 ; 12 ; √2 ; −√11 ; 2 + √5 ; 𝜋 sont des nombres réels. 7 3. Valeur absolue d’un nombre réel Définition a désigne un nombre réel. On appelle valeur absolue de a, la distance à zéro du nombre a. On la note : | a | Exemples 1  | 21| = 21 ; |-5| = 5 ; | -√7| = √7 ; | 0 | = 0. Conséquences Pour tout nombre réel a positif, | a | = a. Pour tout nombre réel a négatif, | a | = −𝑎. Propriété La racine carrée du carré d’un nombre est égale à la valeur absolue de ce nombre. Pour tout nombre réel a, √𝑎2 = |𝑎|. Exercice de fixation Donne une écriture sans radical de chacun des nombres ci-dessous : a) √(−2,3)2 b) √(6,1)2 c) √(−𝜋)2 Corrigé a) √(−2,3)2 = |−2,3| = 2,3 b) √(6,1)2 = |6,1| = 6,1 c) √(−𝜋)2 = |−𝜋| = 𝜋 II- OPERATIONS ET RACINES CARREES 1. Produit et racines carrées Propriété a et b désignent des nombres positifs. On a : √𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏. Exercice de fixation Ecris chaque nombre ci-dessous sans le symbole √. a) √49 × 100 b) √25 × 16 c) √8 × √2 d) √12 × √3 Corrigé a) √49 × 100 = √49 × √100 = 7×10 = 70. b) √25 × 16 = √25 × √16 = 5 × 4 = 20. c) √8 × √2 = √8 × 2 = √16 = 4. d) √12 × √3 = √12 × 3 = √36 = 6. 2.Quotient et racines carrées Propriété 𝑎 √𝑎 a et b désignent des nombres positifs et b non nul. On a : √𝑏 = √𝑏. Exercice de fixation Ecris chaque nombre ci-dessous sans le symbole √. 25 √75 a) √ b) 9 √3 Corrigé 25 √25 5 √75 75 a) √ 9 = =3 b) = √ 3 = √25 = 5 √9 √3 Remarques En général, pour des réels positifs a et b, √𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏. De plus si 𝑎 > 𝑏, √𝑎 − 𝑏 ≠ √𝑎 − √𝑏. 3. Puissances et racines carrées Propriété a désigne un nombre réel strictement positif et 𝑛 un nombre entier relatif. On a : √𝑎2𝑛 = 𝑎𝑛 et √𝑎2𝑛+1 = 𝑎𝑛 √𝑎. Exercice de fixation Complète les pointillés par les nombres qui conviennent. 2 √38 = √32×… = 3… ; √711 = √72×…+1 = 7… √7. Corrigé √38 = √32×4 = 34 ; √711 = √72×5+1 = 75 √7. 4. Méthodes d’écriture d’un quotient sans radical au dénominateur 𝑎 Pour écrire un quotient de la forme sans radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et √𝑏 le dénominateur par √𝑏. Exemple 4 Ecrivons sans radical au dénominateur. √15 4 4×√15 4√15 = =. √15 √15×√15 15 𝑎 Pour écrire un quotient de la forme sans radical au dénominateur, on multiplie le numérateur 𝑏+𝑐√𝑑 et le dénominateur par 𝑏 − 𝑐√𝑑. On dit que 𝑏 − 𝑐√𝑑 est l’expression conjuguée de 𝑏 + 𝑐√𝑑. Exemple 3 Ecrivons sans radical au dénominateur. 3+√5 3 3×(3−√5) 9−3√5 9−3√5 = (3+ = =. 3+√5 √5)(3−√5) 9−5 4 C- SITUATION D’EVALUATION M A N L’unité de longueur est le mètre. A Monsieur TIENE a un champ de forme carrée, de côté 30 5 m, représenté par MNPQ comme l’indique la figure ci-contre. Il a fait nettoyer une partie de forme carrée représentée par ABCM. C B Il dispose de 32000 F CFA pour le nettoyage du reste du champ (partie coloriée sur la figure). x Un manœuvre lui propose de nettoyer toute la partie restante à 10 F CFA le mètre carré. Q P Monsieur TIENE se demande si la somme dont il dispose sera suffisante pour le nettoyage du reste de son champ. 1) Justifie que MC = ( 30 5 − x ) 2) Démontre que l’aire en m2 de la partie restante à nettoyer est : Ar = 60 5x − x 2 m2. ( ) 3) Sachant que x = 30 m et 2,23 < 5 < 2,24. Justifie qu’un encadrement de l’aire de la partie restante est : 31142 < Ar < 3132 m2. 4) En argumentant, réponds à la préoccupation de monsieur TIENE. Corrigé 1) MC= MQ – MC = ( 30√5 – x)m 2) Soit A l’aire de la partie nettoyée. A = MC2 = ( 30√5 – x)2m2 =[(30√5) 2 −60√5 x + x 2 ]m2 ( A = 4500 − 60 5x + x 2 m2. ) On a : Ar = aire(MNPQ) – A ( = MN2 − 4500 − 60 5x + x 2 ) ( = (30√5)2 − 4500 − 60 5x + x 2. ) 3  ( = 4500 − 4500 − 60 5x + x 2 ) ( Ar = 60 5x − x 2 m2) 3) x = 30m, donc Ar = 1800√5 – 900 m2. On a 2,23 < 5 < 2,24 1800x 2,23 < 1800 5 < 1800x2,24 4014 − 900 < 1800 5 − 900 < 4032 − 900 3114 < 1800 5 − 900 < 3132 D’où : 3114 m2 < Ar < 3132 m2. 4) Un encadrement du montant qu’il faut pour nettoyer la partie restante est. 31140F < Montant < 31320F M.TIENE dispose de 32000F qui est supérieur à 31320F. Donc il pourra nettoyer toute la partie restante. D- EXERCICES D-1. Exercices de fixation Exercice 1 Ecris les nombres réels ci-dessous sous la forme a√𝑏, où a et b sont des entiers naturels avec b le plus petit possible. 1) √125 2) √80 3) √164 4) √75 + √48 5) 3√8 - 5√18 6) 3√27 × 2 √15 Corrigé 1) √125 = √25 × 5 = 5√5 2) √80 = √16 × 5 = 4√5 3) √164 = √4 × 41 = 2√41 4) √75 + √48 = 5√3 + 4√3 = 9√3 5) 3√8 − 5√18 = 6√2 − 15√2 = −9√2. 6) 3√27 × 2√15 = 9√3 × 2√3 × √5 = 9 × 3 × 2√5 = 54√5. Exercice 2 Ecris plus simplement : a. √4 × 64 b. √9 × 16 c. √2 × √32 d. √3 × √27 e. 2√7 × 5 √28 Corrigé a. √4 × 64 = √4 × √64 = 2 × 8 = 16 b. √9 × 16 = √9 × √16 = 3 × 4 = 12. c. √2 × √32 = √64 = 8 d. √3 × √27 = √81 = 9. 4  e. 2√7 × 5√28 = 10√196 = 10 × 14 = 140. Exercice 3 Ecris plus simplement : 16 a. √25 49 b. √ 81 5 c. √5 × √49 3 100 d. √4 × √147 49×16 e. √ 25 Corrigé 16 √16 4 a. √25 = =5 √25 49 √49 7 b. √ = =9 81 √81 5 √5×√5 √25 5 c. √5 × √49 = = =7 √49 7 3 100 √3 √100 √3 10 5 d. √ ×√ = × = × 7√3 = 7. 4 147 √4 √147 2 49×16 √49×√16 7×4 28 e. √ = = = 25 √25 5 5 D-2. Exercices de renforcement Exercice 4 Développe, puis écris simplement : a = √3(4 + 2√3) b = ( 2√7 - 4)2 c = ( 3√2 -√3) ( 3√2 + √3) Corrigé a = √3(4 + 2√3)=4√3 + 2√9 = 4√3 + 6. b = ( 2√7 - 4)2=(2√7)2 − 2 × 2√7 × 4 + 42 = 28 − 16√7 + 16 = 44 − 16√7. 2 c= ( 3√2 -√3) ( 3√2 + √3)=(3√2)2 − (√3) = 18 − 3 = 15. Exercice 5 Factorise les expressions littérales ci-dessous : a) 𝑥 2 -25 b) 𝑥 2 - 11 4 c) 𝑥 2 - 9 d) 4𝑥 2 -4√3𝑥 +3 e) 4𝑥 2 + 4√5𝑥 + 5 f) (𝑥 + 2)2 – 4 g) (𝑥 − 2)2 – 5 Corrigé 5  a) 𝑥 2 − 25 = 𝑥 2 − 52 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 5). 2 b) 𝑥 2 − 11 = 𝑥 2 − √11 = (𝑥 − √11)(𝑥 + √11). 4 2 2 2 2 c) 𝑥 2 - 9 = 𝑥 2 − (3) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3). 2 d) 4𝑥 2 − 4√3𝑥 + 3 = (2𝑥)2 − 2 × 2𝑥 × √3 + (√3) = (2𝑥 − √3)2 2 e) 4𝑥 2 + 4√5𝑥 + 5 = (2𝑥)2 + 2 × 2𝑥 × √5 + (√5) = (2𝑥 + √5)2. f) (𝑥 + 2)2 − 4 = (𝑥 + 2)2 − 22 = (𝑥 + 2 − 2)(𝑥 + 2 + 2) = 𝑥(𝑥 + 4). 2 g) (𝑥 − 2)2 − 5 = (𝑥 − 2)2 − (√5) = (𝑥 − 2 − √5)(𝑥 − 2 + √5). D.3- Exercices d’approfondissement Exercice 6 L’unité de longueur est le cm. ABC est un triangle tel que : AB =3+2√3 ; AC = 3√3 - 2 et BC = 2√13. Démontre que le triangle ABC est rectangle. Corrigé On a : AB2 = (3 + 2√3)2 = 32 + 2x3x2√3 +(2√3)2 = 9 + 12√3 + 22 x3 = 21 + 12√3 ; AC2 = (3√3 − 2)2 = (3√3)2 − 2x3√3x2 + 22 = 32 x3 − 12√3 + 4 = 31 − 12√3 ; BC2 = (2√13)2 = 22 x13 = 52 AB2 + AC2 = 21 + 12√3 +31 − 12√3 = 52 On a : AB2+AC2 = BC2. D’après la réciproque de la propriété de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A. Exercice 7 Ecris les nombres réels ci-dessous sans le symbole √ au dénominateur : 2 √5− 2 et 3− √5 √5+2 Corrigé 2 2(3+√5) 6+2√5 6+2√5 6+2√5 3+√5 =(3− = 32−(√5)2 = = =. 3− √5 √5)(3+√5) 9−5 4 2 √5− 2 (√5− 2)(√5−2) (√5)2 −2x√5x2+22 5−4√5+4 9−4√5 = = = = = 9 − 4√5. √5+2 (√5+2)(√5−2) (√5)2 −22 5−4 1 Exercice 8 L’unité de longueur est le centimètre. Un rectangle a pour longueur 2√3 + 2 et pour largeur 2√3 − 2. a) Calcule le périmètre de ce rectangle. b) Calcule son aire. Corrigé a) Le périmètre P de ce rectangle est : 𝑃 = 2(2√3 + 2 + 2√3 − 2) = 8√3. Donc le périmètre est 8√3 cm. b) Calculons l’aire A de ce rectangle 𝐴 = (2√3 + 2)(2√3 − 2) = (2√3)2 − 22 = 12 − 4 = 8. Donc l’aire de ce rectangles est 8 cm2. 6  Troisième CÔTE D’IVOIRE – ÉCOLE NUMÉRIQUE Mathématiques Code : Thème : Géométrie du plan Leçon 4 : TRIANGLE RECTANGLE Heure : 10 heures A. SITUATION D’APPRENTISSAGE Pour marquer leur participation à la kermesse du Lycée Moderne de Mankono, les élèves du niveau 3ème dudit établissement se proposent de fabriquer un grand cerf- volant dont la maquette IJKL réalisée par un professeur de mathématiques est ci-contre. Pour une bonne production, ils décident de déterminer les dimensions des côtés du cerf-volant et la mesure de chacun de ses angles. B. CONTENU DE LA LEÇON I. PROPRIÉTÉS DE PYTHAGORE 1. La propriété de Pythagore Propriété Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Exemple ABC est un triangle rectangle en A. D’après la propriété de Pythagore ; 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶². Exercices de fixation Exercice 1 Choisis la bonne réponse parmi les propositions suivantes. EFG est un triangle rectangle en E. D’après la propriété de Phytagore: a) 𝐸𝐹 2 = 𝐸𝐺² + 𝐺𝐹² b) 𝐸𝐺 2 = 𝐸𝐹² + 𝐹𝐺² c) 𝐹𝐺 2 = 𝐹𝐸² + 𝐸𝐺². Corrigé a). Exercice 2 L’unité de longueur est le centimetre. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=4 et AC=3. Calcule AB. Corrigé ABC est un triangle rectangle en A. D’après la propriété de Pythagore, 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶². Donc 𝐵𝐶² = 4² + 3² ; 𝐵𝐶² = 16 + 9 ; Alors, 𝐵𝐶² = 25. D’où 𝐵𝐶 = √25 = 5. 2. La réciproque de la propriété de Pythagore Propriété Dans un triangle, si le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Exemple ABC est un triangle. B 𝐵𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² ABC est un triangle rectangle en A A C Exercice de fixation L’unité de longueur est le centimetre. ABC est un triangle tel que : 𝐴𝐵 = 10 ; 𝐴𝐶 = 10 𝑒𝑡 𝐵𝐶 = 6. Justifie que le triangle ABC est rectangle en C. Corrigé On a: 𝐴𝐵 2 = (10)2 = 10 ; 𝐴𝐶 2 = (8)2 = 64 𝑒𝑡 𝐵𝐶 2 = (6)2 = 36. Comme 100 = 64 + 36, alors 𝐴𝐵² = 𝐴𝐶² + 𝐵𝐶² donc, d’après la réciproque de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C. II. CONSTRUCTION D'UN SEGMENT DE LONGUEUR √𝒂 , 𝒂 > 𝟎 Programme de construction Exemple 1 Pour construire un segment [BC] de longueur √13 cm sachant que 13 = 9 + 4, on peut procéder comme 2 suit : (En remarquant que (√13) = 13 ; 3² = 9 et 2² = 4) on construit deux demi-droites de même origine A et de supports perpendiculaires ; sur l’une de ces deux demi-droites, on place le point B tel que AB=3 cm et sur l’autre demi-droite, on place le point C tel que AC=2 cm ; on trace le segment [BC] cherché. Exemple 2 Pour construire un segment [BC] de longueur √7 cm sachant que 7 = 16 − 9, on peut procéder comme suit : 2 (En remarquant que (√7) = 7 ; 3² = 9 et 4² =16) on construit un demi-cercle de diamètre AB=4 cm ; sur ce demi-cercle, on place le point C tel que AC=3 cm ; on trace le segment [BC]. Exercices de fixation Exercice 1 L’unité de longueur est le centimètre. Sachant que 58 = 32 + 72 , construis un segment [MP] de longueur √58. Donne ta méthode de construction que tu justifieras. Corrigé On sait que 58 = 32 + 72 d’où (√58)2 = 32 + 72 Construire un segment de longueur √58 revient à construire un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent respectivement 3 et 7. Programme de construction Construction ♦ On trace un segment [EP] de longueur 7. ♦ On trace une droite passant par le point E et perpendiculaire à la droite (EP). ♦ Sur cette droite, on place le point M tel que EM = 3. ♦ On trace le segment [MP] cherché. Justification Le triangle MEP est rectangle en E. Donc, d’après la propriété de Pythagore : MP 2 = EM 2 + EP 2 MP 2 = 32 + 72 MP 2 = 58 MP = √58. Exercice 2 Sachant que 65 = 92 − 42 , construis un segment [NQ] de longueur √65. Donne ta méthode de construction que tu justifieras. Corrigé On sait que 65 = 92 − 42. D’où 92 = (√65)2 + 42. Construire un segment de longueur √65 revient à construire un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 9 et l’un des côtés de l’angle droit mesure 4. Programme de construction Construction ♦ On trace un segment [NA] de longueur 9. ♦ On trace le demi-cercle de diamètre [NA]. ♦ Sur cet demi-cercle et à l’aide du compas, on place le point Q tel que AQ = 4. ♦ On trace le segment [NQ] cherché. Justification Le point Q appartient au cercle de diamètre [NA]. Donc le triangle NAQ est rectangle en Q. D’après la propriété de Pythagore : NA2 = AQ2 + NQ2 92 = 42 + NQ2 NQ2 = 92 − 42 NQ2 = 65 NQ = √65. III. PROPRIETE METRIQUE DEDUITE DE L'AIRE Propriété Dans un triangle rectangle, le produit des côtés de l’angle droit est égal au produit de l’hypoténuse et de la hauteur passant par le sommet de l’angle droit. Exemple ABC est un triangle rectangle en B et H est le pied de la hauteur issue du point B. D’après la propriété métrique déduite de l’aire : 𝐴𝐵 × BC = BH × AC. Exercices de fixation Exercice 1 Choisis la bonne réponse parmi les propositions suivantes. MOP est un triangle rectangle en P. K est le pied de la hauteur issue du point P. D’après la propriété métrique déduite de l’aire: a) MK × OP = MP × OK b) MP × OP = MO × PK c) MO × MP = KO × MK Corrigé b). Exercice 2 FIP est un triangle rectangle en P et K est la hauteur issue du sommet P. On donne : FP = 4cm ; PI = 2cm et FI =2√5cm. 4√5 Justifie que PK=. 5 Corrigé FIP est un triangle rectangle en P. K est le pied de la hauteur issue du sommet P. D’après la propriété métrique déduite de l’aire, on a : FP× 𝑃𝐼 = 𝑃𝐾 × 𝐼𝐹. 𝐹𝑃×𝑃𝐼 Donc 𝑃𝐾 = 𝐼𝐹. 4×2 4 4√5 𝑃𝐾 = 2√5 = =. √5 5 IV. SINUS ET COSINUS D'UN ANGLE AIGU DANS UN TRIANGLE 1. Sinus d’un angle aigu Dans un triangle rectangle, on appelle sinus d’un angle aigu (ou de sa mesure), le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse. ̂ 𝐶ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝐴𝐵𝐶 ̂= 𝑠𝑖𝑛 𝐴𝐵𝐶 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 Exemple ̂ = BC. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : sin 𝐵𝐴𝐶 AC Exercices de fixation Exercice 1 Choisis la bonne réponse parmi, les propositions suivantes. ̂ est égal à : IJK est un triangle rectangle en J, alors sin 𝐼𝐾𝐽 𝐼𝐽 𝐼𝐽 𝐽𝐾 a) 𝐾𝐽 b) 𝐼𝐾 c) 𝐼𝐾 Corrigé b). Exercice 2 ABC est triangle rectangle en B tels que : 𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚; 𝐴𝐶 = 5 𝑐𝑚 𝑒𝑡 𝐵𝐶 = 3 𝑐𝑚. ̂. Calcule 𝑠𝑖𝑛 𝐵𝐶𝐴 Corrigé ABC est triangle rectangle en B. ̂ = 𝐴𝐵 = 4. Alors, 𝑠𝑖𝑛 𝐵𝐶𝐴 𝐴𝐶 5  2. Cosinus d’un angle aigu Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d’un angle aigu (ou de sa mesure), le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur l’hypoténuse. ̂ 𝐶ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝐴𝐵𝐶 ̂= 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝐵𝐶 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 Exemple AB ̂=. Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : cos 𝐵𝐴𝐶 AC Exercices de fixation Exercice 1 Choisis la bonne réponse parmi, les propositions suivantes. ̂ est égal à : OPQ est un triangle rectangle en O, alors cos 𝑂𝑃𝑄 𝑂𝑃 𝑃𝑄 𝑂𝑃 a) 𝑂𝑄 b) 𝑂𝑄 c) 𝑃𝑄 Corrigé c). Exercice 2 ABC est triangle rectangle en B tels que : 𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚; 𝐴𝐶 = 5 𝑐𝑚 𝑒𝑡 𝐵𝐶 = 3 𝑐𝑚 ̂. Calcule 𝑐𝑜𝑠 𝐵𝐴𝐶 Corrigé ̂ = 𝐴𝐵 = 4. ABC est triangle rectangle en B. Alors, on a 𝑐𝑜𝑠 𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐶 5 3. Propriétés a. Propriétés du sinus et cosinus d’un angle Pour tout angle aigu de mesure 𝑎°, on a : 0 < 𝑠𝑖𝑛 𝑎° < 1 ; 0 < 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ° < 1 ; 𝑠𝑖𝑛² 𝑎° + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎° = 1. b. Sinus et cosinus de deux angles complémentaires Propriété Lorsque deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre. Autrement dit, si 𝐴̂ et 𝐵̂ sont deux angles tels que 𝑚𝑒𝑠𝐴̂ + 𝑚𝑒𝑠𝐵̂ = 90° alors : 𝑠𝑖𝑛 𝐴̂ = 𝑐𝑜𝑠 𝐵̂ et 𝑐𝑜𝑠 𝐴̂ = 𝑠𝑖𝑛 𝐵̂. Exercice de fixation On donne 𝑐𝑜𝑠 23° = 0,9205 et 𝑠𝑖𝑛 51° = 0,771. Détermine une valeur approchée de 𝑠𝑖𝑛 67° 𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑠 39°. Corrigé On a: 23° + 67° = 90° donc, 𝑠𝑖𝑛 67° = 𝑐𝑜𝑠 23° = 0,9205. De même 𝑐𝑜𝑠 39° = 𝑠𝑖𝑛 51° = 0,771.  V. TANGENTE D'UN ANGLE AIGU 1. Définition Dans un triangle rectangle, on appelle tangente d’un angle aigu (ou de sa mesure), le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur le côté adjacent à cet angle. A Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : ̂ ̂ = 𝐶ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝐵𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 𝑡𝑎𝑛 𝐵𝐴𝐶 ̂ 𝐶ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵 C B 2. Propriété La tangente d’un angle aigu est égale au quotient du sinus de cet angle par son cosinus. 𝑠𝑖𝑛Â Autrement dit ; si 𝐴̂ est un angle aigu, on a : 𝑡𝑎𝑛 𝐴̂=. 𝑐𝑜𝑠Â Exercices de fixation Exercice 1 Choisis la bonne réponse parmi, les propositions suivantes. ̂ est égal à : RST est un triangle rectangle en R, alors tan 𝑅𝑆𝑇 𝑅𝑆 𝑇𝑅 𝑇𝑆 a) 𝑆𝑇 b) 𝑅𝑆 c) 𝑇𝑅 Corrigé b). Exercice 2 ABC est un triangle rectangle en B. Calcule 𝑡𝑎𝑛 𝐴̂ lorsque : 1 3√2 3 4 a) 𝑠𝑖𝑛 𝐴̂ = et 𝑐𝑜𝑠 𝐴̂ =. b) 𝑠𝑖𝑛 𝐴̂ = 5 et 𝑐𝑜𝑠 𝐴̂ = 5. 3 3 Corrigé 1 3 𝑠𝑖𝑛𝐴̂ 1 √2 𝑠𝑖𝑛𝐴̂ 3 a) 𝑡𝑎𝑛 𝐴̂ = 𝑐𝑜𝑠𝐴̂ = 3 3√2 = 3√2 =. b) 𝑡𝑎𝑛 𝐴̂ = 𝑐𝑜𝑠𝐴̂ = 5 4 = 4. 6 3 5 VI. UTILISATION DE LA TABLE TRIGONOMETRIQUE On utilise la table trigonométrique pour: trouver le sinus, le cosinus ou la tangente d’un angle donné. Extrait de la table trigonométrique Exemple On lit dans la table trigonométrique au millième près, sin 12° ≈ 0,208, cos 71 ° ≈ 0,326 et tan 15° ≈ 0,268. Exercice de fixation Utilise la table trigonométrique pour donner un arrondi au millième près de : cos 10° ; sin 32° ; sin 72° et cos 53°. Corrigé cos 10°≈0,985 ; sin 32° ≈0,540 ; sin 72°≈0,951 et cos 53°≈0,602..  encadrer la mesure d’un angle par deux mesures d’angle consécutives connaissant soit son sinus, soit son cosinus ou sa tangente. Exemple A l'aide de la table trigonométrique, donne un encadrement de mes 𝐹̂ sachant que cos 𝐹̂ = 0,302. A partir de la table trigonométrique, on a : 0,292 < 0,302 < 0,309. Alors, ̂ cos 73° < cos 𝐹 < cos 72° , donc 72° < mes 𝐹̂ < 73°. C. SITUATION D’EVALUATION Pour participer à un tournoi communal de basketball organisé par le maire, le président des jeunes veux installer un panier de basket pour l’entrainement de l’équipe du quartier. Le président des jeunes veut fixer le panier de basquet sur un mur à 6 m du sol. Il dispose d’une échelle qui mesure 6,5 m de long. Un maçon indique que le panier sera bien placé si l’angle formé par l’échelle et le sol est compris entre 60° et 70°. 1. Détermine la distance entre le pied du mur et le point d’appui de l’échelle. ̂ ). 2. Calcule le sinus de l’angle formé par l’échelle et le sol (sin 𝐴𝐶𝐵 3. Dis si le panier sera bien placé. Corrigé 1. Considérons le triangle ABC rectangle en B. D’après la propriété de Pythagore 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵² + 𝐵𝐶². d’où 𝐵𝐶² = 𝐴𝐶² – 𝐴𝐵² = 6,5²– 6² = 6,25 Donc 𝐵𝐶 = √6,25 = 2,5. D’où la distance entre le pied du mur et le point d’appui de l’échelle est de 2,5 m.  2. Considérons le triangle ABC rectangle en B. ̂ = 𝐴𝐵 Alors, sin 𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 6 = ≈ 0,923. 6,5 ̂ par entire consécutifs. Encadrons 𝑚𝑒𝑠 𝐴𝐶𝐵 ̂ < sin 68°. On a 0,921 < 0,923 < 0 ,927, donc sin 67°< sin 𝐴𝐶𝐵 D’où 67°< mes 𝐴𝐶𝐵̂ < 68°. Comme 67°< mes 𝐴𝐶𝐵 ̂ < 68°, alors l’angle formé par l’échelle et le sol est compris entre 60° et 70°. Donc, le panier sera bien placé. D. EXERCICES D-1 EXERCICES DE FIXATION Exercice 1 Recopie puis complète les propriétés suivantes. 1. « Si …….., alors 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶²». 2. « Si un triangle RST est rectangle en S, alors ……. ». 3. « Si ……, alors 𝐴𝐵 2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐴𝐶² ». Corrigé 1. « Si un triangle ABC est rectangle en A, alors 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶²». 2. « Si un triangle RST est rectangle en S, alors 𝑅𝑇 2 = 𝑅𝑆 2 + 𝑆𝑇² ». 3. « Si un triangle ABC est rectangle en C, alors 𝐴𝐵 2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐴𝐶² ». Exercice 2 L’unité de longueur est le centimetre. DEF est un triangle rectangle en D, tel que: DE=5 et DF=12. Calcule EF. Corrigé DEF est un triangle rectangle en D. D’après la propriété de Pythagore, 𝐸𝐹 2 = 𝐸𝐷² + 𝐷𝐹². Donc 𝐸𝐹² = 5² + 12² ; 𝐸𝐹² = 25 + 144 ; Alors, 𝐸𝐹² = 169. D’où 𝐸𝐹 = √169 = 13. Exercice 3 L’unité de longueur est le centimetre. MNP est un triangle rectangle en M, tel que: NP=10 cm et MP=8 cm. Calcule MN. Corrigé MNP est un triangle rectangle en M. D’après la propriété de Pythagore, 𝑁𝑃2 = 𝑀𝑁² + 𝑀𝑃². Donc 𝑀𝑁 2 = 𝑁𝑃2 − 𝑀𝑃² ; 𝑀𝑁 2 = 102 − 8² ; 𝑀𝑁 2 = 100 − 64. Alors, 𝑀𝑁² = 36. D’où 𝑀𝑁 = √36 = 6. Exercice 4 Recopie puis complète les propriétés suivantes. 1. « Si 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶², alors le triangle...... est rectangle en ……. ». 2. « Si 𝐿𝑁 2 = 𝐿𝑀2 + 𝑁𝑀2 , alors le triangle ….. est rectangle en …… ». 3. « Si 𝐷𝐹 2 = 𝐹𝐸 2 + 𝐷𝐸 2 , alors le triangle ……. Est rectangle en …… ». Corrigé 1. « Si 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶², alors le triangle ABC est rectangle en A ». 2. « Si 𝐿𝑁 2 = 𝐿𝑀2 + 𝑁𝑀2 , alors le triangle LMN est rectangle en M ». 3. « Si 𝐷𝐹 2 = 𝐹𝐸 2 + 𝐷𝐸 2 , alors le triangle DEF Est rectangle en E ». Exercice 5 Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est juste. Recopie le numéro de la ligne et la letter correspondante à l’affirmation juste. Réponses N° Affirmations a b c 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵 1 𝐴𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 ̂ est égal à sin 𝐵𝐴𝐶 𝐸𝐹 𝐹𝐺 𝐸𝐹 2 𝐸𝐺 𝐸𝐺 𝐹𝐺 ̂ est égal à cos 𝐹𝐸𝐺 𝑀𝑁 𝑀𝑁 𝑁𝑃 3 𝑀𝑃 𝑁𝑃 𝑀𝑁 ̂ est égal à tan 𝑁𝑀𝑃 Corrigé 1-b ; 2-a ; 3-c. Exercice 6 L’unité de longueur est le centimetre. ABC est un triangle rectangle en A, tel que AB=6, AC=8 et BC=10. Calcule: sin 𝐵̂ ; cos 𝐵̂ ; tan 𝐵̂. Corrigé ABC est triangle rectangle en A. Alors, on a: 𝐴𝐶 8 4 𝑠𝑖𝑛 𝐵̂ = 𝐵𝐶 = 10 = 5. 𝐴𝐵 6 3 𝑐𝑜𝑠 𝐵̂ = 𝐵𝐶 = 10 = 5. 𝐴𝐶 8 4 𝑡𝑎𝑛 𝐵̂ = 𝐴𝐵 = 6 = 3. D-2 EXERCICES DE RENFORCEMENT Exercice 7 L’unité de longueur est le centimètre. ̂ = 30°. MNP est un triangle rectangle en P tel que : MN = 8 et mes MNP √3 1 √3 On donne cos 30° = ; sin 30° = 2 et tan 30° =. 2 3 Calcule 𝑀𝑃 𝑒𝑡 𝑃𝑁. Corrigé MNP est un triangle rectangle en P. ̂ = 𝑀𝑃 , d’où 𝑀𝑃 = 𝑀𝑁 × sin 𝑀𝑁𝑃 Alors, on a sin MNP ̂. 𝑀𝑁 1 Donc, 𝑀𝑃 = 8 × sin 30° = 8 × 2 = 4. ̂ = 𝑁𝑃 , d’où 𝑃𝑁 = 𝑀𝑁 × cos 𝑁𝑀𝑃 On a cos 𝑁𝑀𝑃 ̂. 𝑀𝑁 √3 Donc, 𝑃𝑁 = 8 × cos 30° = 8 × = 4√3. 2 Exercice 8 L’unité de longueur est le centimètre. Sur la figure ci-contre qui n’est pas en vraie grandeur, ABC est un triangle inscrit dans le cercle (C ) de centre O et de diamètre [AC]. 1 √3 On donne : 𝐴𝐵 = 4√3 ; 𝐴𝐶 = 8 ; sin 30° = cos 60° = 2 ; cos 30° = sin 60° =. 2 1. Justifie que ABC est un triangle rectangle en B. √3 ̂= 2. Justifie que sin 𝐴𝐶𝐵. 2 3. Déduis-en la mesure de l’angle ̂ 𝐴𝐶𝐵. Corrigé 1. Le triangle ABC est inscrit dans le cercle (C ) et son côté [AC] est un diamètre du cercle (C ), donc ABC est un triangle rectangle en B. 2. Considérons le triangle ABC, rectangle en B. ̂ = 𝐴𝐵 = 4√3 = √3. Alors on a : sin 𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 8 2 √3 ̂= 3. Comme sin 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 60°. alors, mes 𝐴𝐶𝐵 2 Exercice 9 L’unité de longueur est le centimètre. On considère la figure ci-contre qui n’est pas en vraie grandeur : On donne MN=8 ; ML=4,8 et LN=6,4. 1. Démontre que LMN est un triangle rectangle en L. 2. K est le pied de la hauteur issue du sommet L. Calcule LK. D-3 Exercices d’approfondissement Exercice 10 L’unité de longueur est le centimètre. Sur la figure ci-dessous qui n’est pas en vraie grandeur, ABCD est un rectangle. M est un point de [AB]. On donne AB=18,4 ; AD=7,2 et DM=7,8. 1. Justifie que AM=3 et que MC=7,8. 2. Le triangle DMC est-il rectangle ? Justifie ta réponse. Exercice 11 Pour mieux éclairer devant la salle des professeurs, monsieur YEO l’électricien, veut fixer une ampoule devant la porte. Pour cela, il dispose d’une échelle de 4m et la porte a une hauteur de 2m. En vu de prendre des précautions, il veut savoir la mesure de l’angle formé par l’échelle et le sol. A quelle distance du pied de la porte doit-il placer l’échelle pour que son sommet soit juste au niveau de la porte ? Détermine l’angle formé par l’échelle et le sol. I Echelle Porte L U Sol  Mathématiques classe 3ème 3ème CÔTE D’IVOIRE – ÉCOLE NUMÉRIQUE Mathématiques Code : Thème : CALCULS ALGEBRIQUES Leçon 5 : CALCUL NUMERIQUE Durée : 10h A. SITUATION D’APPRENTISSAGE Dans une grande ville de la Côte d’Ivoire, un commerçant souhaite acheter un terrain dont l’aire est comprise entre 230 m² et 300 m² pour y construire un magasin. A cet effet, il contacte un propriétaire terrien. Celui-ci possède un terrain dont il ne retrouve pas l’extrait topographique. Cependant, il se rappelle que la longueur de son terrain est comprise entre 17 m et 18 m et la largeur entre 14 m et 15 m. Pour savoir si son terrain répond aux critères du commerçant, il s’adresse à sa fille qui est en classe de troisième dans un collège de la ville. Arrivée en classe, la fille du commerçant soumet à ses camarades la préoccupation de son père. Intéressés, tous les élèves décident d’effectuer des recherches sur les intervalles, la comparaison des nombres réels et les encadrements. B. CONTENU DE LA LECON I - INTERVALLES 1. Nouvelles Inégalités Soit 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels. Ecriture Lecture Signification 𝑎 ≥ 𝑏 𝑎 est supérieur ou égal à 𝑏 𝑎 ≥ 𝑏 équivaut à 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 > 𝑏 𝑎 ≤ 𝑏 𝑎 est inférieur ou égal à 𝑏 𝑎 ≤ 𝑏 équivaut à 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 < 𝑏 Exercice de fixation Réponds par Vrai ou par Faux à chacune des affirmations suivantes. 2 a) 0,2 ≥ 10 b) 4,1 > 2,53 c) 7,4 < −119 d) 8 ≤ 8 e) 0,065 ≥ 0,09 f) 81 < 81. Corrigé a) V b) V c) F d) V e) F f) F 1 / 17 Mathématiques classe 3ème 2. Vocabulaire et représentation 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels tel que : 𝑎 < 𝑏. Les nombres 𝑎 et 𝑏 sont les bornes de chacun des intervalles suivants : [a ; b] ; [ a ; b [ ; ] a ;b ] et ] a ;b [. La distance |𝑎 − 𝑏| des nombres 𝑎 et 𝑏 est appelée l’amplitude de ces intervalles. À tout élément 𝑥 de chacun de ces intervalles, on peut associer respectivement l’encadrement : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 ; 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 ; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏. |𝑎 − 𝑏| est aussi l’amplitude de ces encadrements. 𝑎+𝑏 Le nombre est le centre de ces intervalles. 2 Tableau récapitulatif Ecriture Lecture Ensemble des Représentation graphique 𝒙 tels que : ]𝑎; 𝑏[ Intervalle ouvert 𝑎, 𝑏 𝑎 2,3 équivaut à 𝑥 ∈ ]2,3; →[ ; −1 < 𝑥 ≤ 6 équivaut à 𝑥 ∈ ]−1; 6]. Exercice 3 𝑥 ∈ ]0; 7] équivaut à 0 < 𝑥 ≤ 7 ; 𝑥 ∈ ]←; 3[ équivaut à 𝑥 < 3. 𝑥 ∈ [−2; →[ équivaut à 𝑥 ≥ −2. 3. Réunion et intersection d’intervalles a. Réunion et intersection d’ensembles Définitions Soit A et B deux ensembles. L’intersection des ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartement à la fois à A et à B. On la note : 𝑨 ∩ 𝑩. On lit : A inter B. 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 équivaut à 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑥 ∈ 𝐵. La réunion des ensembles A et B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B. On la note : 𝑨 ∪ 𝑩. 4 / 17 Mathématiques classe 3ème On lit: A Union B. 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 équivaut à 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵. Exemple 𝐸 ∪ 𝐹 = {𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒; 𝑓; 𝑔}. 𝐸 ∩ 𝐹 = {𝑐; 𝑒}. b. Réunion et intersection d’intervalles Exemples Dans chacun des cas suivants, représentons sur une même droite les intervalles : 𝐴 , 𝐵 , 𝐴 ∪ 𝐵 et 𝐴 ∩ 𝐵. a) 𝐴 = [−3 ; 5[ 𝑒𝑡 𝐵 = [3 ; 7]. b) 𝐴 = [−3 ; 1[ 𝑒𝑡 B = [4 ; 7]. Intersection Réunion a) 5 / 17 Mathématiques classe 3ème -3 5 -3 5 3 7 3 7 [-3 ; 5[∩ [3 ; 7] = [3 ; 5[ [-3; 5[ U [3 ; 7] = [-3 ; 7] b) -3 1 -3 1 4 7 4 7 Les intervalles [-3 ; 1[ et [4; 7] n’ont pas d’éléments La réunion des intervalles [-3 ; 1[et [4; 7] n’est communs, on dit qu’ils sont disjoints. pas un intervalle. On écrit : [-3 ; 1[ ∩ [4 ; 7] = Ø (ensemble vide) Exercice de fixation Représente sur une droite graduée et écris plus simplement : ] ;2 [ U ] -1 ;4] ; [-1 ; [ ∩ ] -4; 0] ; ]-3 ; 2] U ] 2 ; 5 [ ; ]-2;2] ∩ [3 ; 6]. Corrigé ] ; 2 [ U ] -1 ; 4 ]= ] ; 4] [-1 ; [ ∩ ] -4; 0]= [-1; 0] 6 / 17 Mathématiques classe 3ème ]-3 ; 2] U ] 2 ; 5 [= ]-3; 5 [ ]-2;2] ∩ [3 ; 6]=∅ II – COMPARAISON DE NOMBRES REELS 1. Rappels Soient 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 trois nombres réels. 𝑆𝑖 𝑐 > 0 𝑒𝑡 𝑎 < 𝑏 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐. 𝑆𝑖 𝑐 < 0 𝑒𝑡 𝑎 < 𝑏, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐. 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐. 2. Inégalités et opérations a. Inégalités et addition Propriété Lorsqu’on ajoute membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une nouvelle inégalité de même sens. 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑒𝑡 𝑑 étant des nombres réels, 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑. 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 < 𝑑 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑. Exercice de fixation 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels tels que : 1,5 < 𝑎 < 1,6 et 2,2 < 𝑏 < 2,3. Encadre 𝑎 + 𝑏 par deux nombres décimaux. Corrigé On a :1,5 < 𝑎 < 1,6 et 2,3 < 𝑏 < 2,4. 7 / 17 Mathématiques classe 3ème Donc : 1,5 + 2,2 < 𝑎 + 𝑏 < 1,6 + 2,3. Donc : 1,7 < 𝑎 + 𝑏 < 3,9. b. Inégalités et multiplication Propriété Lorsqu’on multiplie membre à membre des inégalités de même sens entre nombre positifs, on obtient une nouvelle inégalité de même sens. 𝑎, 𝑏 𝑐 𝑒𝑡 𝑑 étant des nombres réels. 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 < 𝑑 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑. 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 ≤ 𝑑 , 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑑. Exercice de fixation 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels tels que : 1,5 < 𝑎 < 1,6 et 2,2 < 𝑏 < 2,3. Encadre 𝑎𝑏 par deux nombres décimaux d’ordre 2. Corrigé On a : 1,5 < 𝑎 < 1,6 et 2,2 < 𝑏 < 2,3. Donc : 1,5 × 2,2 < 𝑎𝑏 < 1,6 × 2,3. Donc : 3,30 < 𝑎𝑏 < 3,68. 3. Comparaison de carrés et de racines carrées a) Comparaison des carrés Propriété  Nombres positifs Propriété Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels positifs. 𝑎 < 𝑏 équivaut à 𝑎2 < 𝑏 2 𝑎 ≤ 𝑏 équivaut à 𝑎2 ≤ 𝑏 2 Nombres négatifs Deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs carrés. 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels négatifs. 𝑎 < 𝑏 équivaut à 𝑎2 > 𝑏 2 𝑎 ≤ 𝑏 équivaut à 𝑎2 ≥ 𝑏 2 Exercice de fixation 1. Compare 2 3 et 3 2. 2. Compare −9 et −4√5. Corrigé 1. (2√3)2 = 12 et (3√2)2 = 18. 8 / 17 Mathématiques classe 3ème On a : 12 < 18 (2√3)2 < (3√2)2 Donc : 2 3 < 3 2. 2 2. (−9)2 = 81 et (−4√5) = 16 × 5 = 80. On a : 81 > 80. 2 (−9)2 > (−4√5) Donc : −9 < −4√5. b) Comparaison de racines carrées Propriété Deux nombres réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées. a et b sont des nombres réels positifs. a < b équivaut à a < b a ≤ b équivaut à a≤ b Exercice de fixation Compare √7 et √11. Corrigé On a : 7 𝑏. 1 1 a ≤ b équivaut à 𝑎 ≥ 𝑏. Exercice de fixation 1 1 Compare et. √7 √5 Corrigé On a : 7 > 5. D’où : √7 > √5. 1 1 Donc : < √7 √5 Remarque Pour comparer des nombres réels, on peut : Comparer leurs carrés ou leurs racines carrées. Comparer leurs inverses. Etudier le signe de leur différence. III. ENCADREMENT 9 / 17 Mathématiques classe 3ème 1. Encadrement d’une somme Exemple On donne : 1,41 < 2 12,5 Interprétons le résultat. La résolution de l’inéquation donne : 𝑥 > 12,5. A partir de 13 cassettes louées, il est plus avantageux de choisir la première proposition. C. SITUATION D’EVALUATION Page 5 sur 10 Pour la fête de la promotion 3ème d’un collège, le comité d’organisation ne sachant pas la somme à faire cotiser par chaque élève, sollicite des propositions. Le Président du comité d’organisation affirme que : « si 250 élèves cotisent et que la coopérative donne 55 000 F, la somme totale peut excéder 130 000F ». Le Trésorier dit : « si 205 élèves cotisent et qu’on retient 12 000F pour la sonorisation, cette somme ne dépasse pas 90 500F ». Pour ne pas désavouer les deux responsables, il est question de trouver des solutions qui satisfassent tous les deux. 1. Traduis chacune des propositions sous forme d’inéquations. 5𝑥 + 1100 > 2600 2. Résous dans ℝ, le système suivant : {. 41𝑥 − 2400 < 18 100 3. Trouve le montant des cotisations qui satisfait le Président et Trésorier. Corrigé 1. Soit 𝑥 la somme que doit cotiser chaque élève. « si 250 élèves cotisent et que la coopérative donne 55 000 F, la somme totale peut excéder 130 000F » se traduit par : 250 𝑥 + 55000 > 130000. « si 205 élèves cotisent et qu’on retient 12 000F pour la sonorisation, cette somme ne dépasse pas 90 500F » se traduit par : 205 𝑥 – 12000 < 90500. 5𝑥 + 1100 > 2600 2. Résolvons le système : {. 41𝑥 − 2400 < 18 100 5𝑥 + 1100 > 2600 équivaut à 𝑥 > 300. 41𝑥 – 2400 < 18100 équivaut à 𝑥 < 500. L’ensemble des solutions du système ]300 ; 500[. 250𝑥 + 55000 > 130000 3. A partir de la question 1) , on obtient le système : {. 205𝑥 − 12000 < 90500 5𝑥 + 1100 > 2600 Ce système est équivalent au système : {. 41𝑥 − 2400 < 18 100 L’ensemble des solutions du système est l’intervalle ]300 ; 500[. Le montant des cotisations qui satisfait le Président et le Trésorier doit être compris entre 300 F et 500 F. D. EXERCICES Page 6 sur 10 D-1 Exercices de fixation Exercice1 Associe chaque équation à ses solutions Equations Solutions (2𝑥 + 3)(1 − 4𝑥) = 0 1 3 − 4 et − 2 (4𝑥 − 1)(−2𝑥 + 3) = 0 1 3 (3 − 2𝑥)(−1 − 4𝑥) = 0 4 et 2 (4𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) = 0 0 et 2 1 3 −3𝑥(4 − 2𝑥) = 0 − 4 et 2 1 3 et − 4 2 Corrigé Equations Solutions (2𝑥 + 3)(1 − 4𝑥) = 0 1 3 − 4 et − 2 (4𝑥 − 1)(−2𝑥 + 3) = 0 1 3 (3 − 2𝑥)(−1 − 4𝑥) = 0 4 et 2 (4𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) = 0 0 et 2 1 3 −3𝑥(4 − 2𝑥) = 0 − 4 et 2 1 3 et − 2 4 Exercice 2 Pour chaque affirmation trois réponses sont proposées et une seule est juste. Entoure la réponse correcte. Proposition Proposition Proposition Affirmation a b c 1 La solution de 6𝑥 − 2 = 4 est 2 -1 1 2 La solution de l’équation 7x – 13 = 15 4 3 5 La solution et l’ensemble de solution de Pas de 3 1 ℝ L’équation 3(𝑥 − 1) + 2 = 1 + 3𝑥 est : solution La solution et l’ensemble de solution de Pas de 4 3 ℝ L’équation : 5𝑥 − 11 = 5(𝑥 − 3) + 4 est : solution Corrigé Page 7 sur 10  Proposition Proposition Proposition Affirmation a b c 1 La solution de 6𝑥 − 2 = 4 est : 2 -1 1 2 La solution de l’équation 7x – 13 = 15 4 3 5 La solution et l’ensemble de solution de Pas de 3 1 ℝ L’équation 3(𝑥 − 1) + 2 = 1 + 3𝑥 est : solution La solution et l’ensemble de solution de Pas de 4 3 ℝ L’équation : 5𝑥 − 11 = 5(𝑥 − 3) + 4 est : solution D-2 Exercices de renforcement Exercice 3 On donne l'inéquation (I) 𝑥 + 5 ≤ 4(𝑥 + 1) + 7 1. Explique pourquoi chacun des nombres suivants est ou n'est pas une solution de l'inéquation (I) : −5 ; −3 ; 0 ; 3. 2. Résous l'inéquation (I). 3. Représente l'ensemble des solutions de l’inéquation (I) sur une droite graduée. Corrigé 1. En remplaçant 𝑥 par – 5 dans l’inéquation (I), l’inégalité n’est pas vérifiée, donc – 5 n’est pas solution de (I). -3 ne vérifie pas (I) donc -3 n’est pas solution de (I). 0 vérifie (I) donc 0 est solution de (I). 7 vérifie (I) donc 7 est solution de (I). 2. Résolvons (I). 𝑥 + 5 ≤ 4(𝑥 + 1) + 7 équivaut à 𝑥 + 5 ≤ 4𝑥 + 4 + 7 équivaut à 3𝑥 ≥ − 6 équivaut à 𝑥 ≥ − 2 L’ensemble des solutions de (I) est l’intervalle [-2 ; + ∞ [ 3. Représentation graphique de l’ensemble des solutions de l’inéquation (I). -5 -4 -3 -2 Exercice4 1. Résous chacune des équations suivantes : a) (3 – 4x) - (2x- 1) = 0 ; b) (3 – 4x) (2x- 1) = 0. 2. Résous l'inéquation : 3 − 4𝑥 > 2𝑥 − 1. Représente l'ensemble des solutions sur une droite graduée. Corrigé 1. Résolvons les équations : a) (3 – 4𝑥) – (2𝑥 – 1) = 0 équivaut à 3 – 4𝑥 – 2𝑥 + 1 = 0 équivaut à - 6x + 4 = 0 2 équivaut à 𝑥 = 3. 2 Donc, la solution de l’équation est : 3 Page 8 sur 10  b) (3 – 4x) (2x- 1) = 0 équivaut à 3 – 4𝑥 = 0 𝑜𝑢 2𝑥 – 1 = 0 3 1 équivaut à 𝑥 = 4 𝑜𝑢 𝑥 = 2 3 1 Donc, les solutions de l’équation sont : 4 et 2. 2) Résolvons l’inéquation : 3 – 4𝑥 > 2𝑥 – 1 L’inéquation est équivalente à : 2𝑥 + 4𝑥 < 3 + 1 6𝑥 < 4 2 𝑥 < 3 2 Donc, l’ensemble des solutions est l’intervalle ]- ∞ ; 3 [ Représentation de l’ensemble des solutions sur une droite graduée 2 3 ⊸ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 D-3 Exercices d’approfondissement Exercice 5 On considère l'expression A suivante : 𝐴 = (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 2)(3𝑥 + 1) 1. Développe et réduis A. 2. Factorise A. 3. Résous l'équation : (x – 2 ) ( 4x – 1 ) = 0. 1 4. Calcule A pour 𝑥 = − 2 Corrigé 1. Développons 𝐴 = (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 2)(3𝑥 + 1) 𝐴 = 𝑥 2 – 4𝑥 + 4 + 3𝑥 2 + 𝑥 – 6𝑥 – 2 A = 4x2 – 9x + 2 2. Factorisons 𝐴 = (𝑥 − 2)2 + (𝑥 − 2)(3𝑥 + 1) 𝐴 = ( 𝑥 – 2 )( 𝑥 – 2 + 3𝑥 + 1 ) 𝐴 = ( 𝑥 – 2 )( 4𝑥 – 1 ). 3. Résolvon