lim x→1- (ln x / (x - 1))^(1/(1 - x)) limitinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Steps to Solve

1. Limit ifadesini yeniden düzenleme

Verilen limit ifadesini $x \to 1^{-}$ olarak değerlendireceğiz. İlk adımda, bu ifadeyi limitin formunu daha kolay hale getirecek biçimde düzenleyelim:

$$ y = \left(\frac{\ln x}{x - 1}\right)^{\frac{1}{1 - x}} $$

2. Logaritmik dönüşüm kullanma

Limit ifadesinde $1 - x$ şeklinde bir kesir olduğundan, bu durumu daha iyi anlamak için logaritma alarak dönüşüm yapabiliriz. Logaritma özelliği gereği:

$$ \ln y = \frac{1}{1 - x} \ln\left(\frac{\ln x}{x - 1}\right) $$

3. Limit içindeki bileşenlerin durumu

Şimdi, $x \to 1^{-}$ için $\ln x \to \ln 1 = 0$ ve $x - 1 \to 0^{-}$ olacaktır. Buradan yola çıkarak, limit ifadesinin iki bileşenine bakmalıyız:

• $\ln x = \ln(1 + (x-1)) \to 0$
• $x - 1 \to 0^{-}$

Bunları birleştirerek:

$$ \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\ln x}{x - 1} $$

Bu limitin L'Hôpital kuralı ile hesaplanması gerekir:

4. L'Hôpital kuralı kullanma

L'Hôpital kuralına göre limitimizi hesaplayalım:

$$ \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\ln x}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x - 1)} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \frac{1}{1} = 1 $$

5. Sonuç olarak logaritmaya geri dönme

Şimdi, bu sonucu kullanarak:

$$ \ln y = \frac{1}{1-x} \ln(1) = 0 $$

Bu durumda $y = e^0 = 1$ olur.

6. Son limitin hesaplanması

Şimdi bu değeri kullanarak asıl limitimize dönebiliriz:

$$ y \to 1 $$

Bu yüzden limitin sonucu:

$$ \lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} 1 = 1 $$