Знайти густину розподілу випадкової величини та побудувати графіки функції розподілу та густини розподілу ймовірностей випадкової величини, а також знайти M(X) і P(2<X<5). Знайти густину розподілу випадкової величини та побудувати графіки функції розподілу та густини розподілу ймовірностей випадкової величини, а також знайти M(X) і P(2<X<5).
Understand the Problem
Запитання стосується знаходження густини розподілу випадкової величини та побудови графіків функцій розподілу і ймовірності, а також розрахунків M(X) і P(2<X<5). Необхідно застосувати концепцію теорії ймовірностей.
Answer
Густина розподілу: $$ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{x}{32}, & 0 < x < 8 \\ 0, & x > 8 \end{cases} $$ $M(X) = \frac{16}{3}$, $P(2 < X < 5) = \frac{21}{64}$.
Answer for screen readers
Густина розподілу:
$$ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \ \frac{x}{32}, & 0 < x < 8 \ 0, & x > 8 \end{cases} $$
Математичне сподівання $M(X)$:
$$ M(X) = \frac{16}{3} $$
Ймовірність $P(2 < X < 5)$:
$$ P(2 < X < 5) = \frac{21}{64} $$
Steps to Solve
- Обчислення густини ймовірності Густина розподілу ймовірності визначається як похідна функції розподілу. Для нашого випадку:
$$ f(x) = F'(x) $$
Де:
-
Для $0 < x < 8$: $$ f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{64}\right) = \frac{2x}{64} = \frac{x}{32} $$
-
Для $x \leq 0$: $$ f(x) = 0 $$
-
Для $x > 8$: $$ f(x) = 0 $$
Отже, остаточна функція густини:
$$ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \ \frac{x}{32}, & 0 < x < 8 \ 0, & x > 8 \end{cases} $$
- Побудова графіку функції густини Графік функції густини $f(x)$ можна побудувати на інтервалі від 0 до 8. Поки що функція дорівнює 0 до $x = 0$ і після $x = 8$.
- У точці $x = 0$: $f(0) = 0$
- У точці $x = 8$: $f(8) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$
- Обчислення математичного сподівання M(X) Математичне сподівання визначається як:
$$ M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx $$
З врахуванням області $0 < x < 8$:
$$ M(X) = \int_{0}^{8} x \left(\frac{x}{32}\right) dx = \frac{1}{32} \int_{0}^{8} x^2 dx $$
Обчислимо інтеграл:
$$ \int_{0}^{8} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{8} = \frac{8^3}{3} = \frac{512}{3} $$
Отже:
$$ M(X) = \frac{1}{32} \cdot \frac{512}{3} = \frac{16}{3} $$
- Обчислення ймовірності P(2 < X < 5) Щоб знайти ймовірність, використовуємо інтеграл функції густини:
$$ P(2 < X < 5) = \int_{2}^{5} f(x) dx = \int_{2}^{5} \frac{x}{32} dx $$
Обчислимо інтеграл:
$$ P(2 < X < 5) = \frac{1}{32} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{2}^{5} = \frac{1}{32} \left(\frac{5^2}{2} - \frac{2^2}{2}\right) = \frac{1}{32} \left(\frac{25}{2} - \frac{4}{2}\right) = \frac{1}{32} \cdot \frac{21}{2} = \frac{21}{64} $$
Густина розподілу:
$$ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \ \frac{x}{32}, & 0 < x < 8 \ 0, & x > 8 \end{cases} $$
Математичне сподівання $M(X)$:
$$ M(X) = \frac{16}{3} $$
Ймовірність $P(2 < X < 5)$:
$$ P(2 < X < 5) = \frac{21}{64} $$
More Information
Функція розподілу описує ймовірність значень випадкової величини, а математичне сподівання є середнім значенням усіх можливих значень випадкової величини з відповідними ймовірностями. Ймовірність $P(2 < X < 5)$ допомагає зрозуміти, наскільки ймовірно, що величина потрапляє в певний інтервал.
Tips
- Помилкові обчислення інтегралів: Завжди перевіряйте свої обчислення; можна легко припуститися помилки в межах інтегрування.
- Неувага до умов функції густини: Пам'ятайте, що функція густини повинна бути ненегативною для всіх $x$.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
