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Vorlesung: Grundlagen Mathematik Zusammenfassung  Skript 1: Mathematikdidaktik = Wissenschaft vom Lehren und Lernen von Mathematik. untersucht, ob und unter welchen Bedingungen Lehren und Lernen erfolgreich sein Grundvoraussetzungen dafür entwickelt Konzepte, mit denen Lehren u...

Vorlesung: Grundlagen Mathematik Zusammenfassung  Skript 1: Mathematikdidaktik = Wissenschaft vom Lehren und Lernen von Mathematik. untersucht, ob und unter welchen Bedingungen Lehren und Lernen erfolgreich sein Grundvoraussetzungen dafür entwickelt Konzepte, mit denen Lehren und Lernen von Mathematik gelingen kann. Befasst sich mit Fragen: Was benötigen Kinder, um gut Mathematik lernen zu können? Wie kann man spannend üben? Wie bringe ich Kindern das Subtrahieren bei? Wie sieht guter Mathematikunterricht aus? Allgemeine Ziele des Mathematikunterrichts (Wittmann, 2009) Förderung des: wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens logischen Denkens der Bereitschaft und Fähigkeit zum Argumentieren, Kritisieren und Urteilen geistiger Initiative, Fantasie und Kreativität Anschauungsvermögens sprachlichen Ausdrucksvermögens Fähigkeit, Mathematik anwenden zu könne. Warum wird Mathematik unterrichtet? Lebensvorbereitung: zur Bewältigung realer und in absehbarer Zeit verbreiteten Lebenssituationen, von denen anzunehmen ist, dass sie die Heranwachsenden nicht nebenher erwerben würden. Stiftung kultureller Kohärenz: Mathematik ist Teil unserer Kultur und unseres Alltags (Zahlen im Supermarkt, Symmetrie, geometrische Formen finden wir überall). Aufbau eines Weltbildes: Teilnahme am gesellschaftlichen Leben vorbereiten, Mathematik soll alltägliche Phänomene sichtbar machen und den Urteilshorizont erweitern. kritischen Vernunftgebrauch: Urteile und Behauptungen kritisch hinterfragen, und auf Unstimmigkeiten zu untersuchen. Förderung von Fantasie und Kreativität: konkretes Arbeiten mit Materalien fördert das schöpferische Potential. Wenn zu viel Fokus auf das reine Rechnen gelegt wird, wird Fantasie getötet.  Verantwortungsbereitschaft: wechselseitiger Hilfe, Beratung und Lösungskontrolle bei Partner- und Gruppenarbeit. Wichtig: Übernahme der Verantwortung für den eigenen Lernprozess. Das ist für die Hochschule unverzichtbar, muss in der Schule geübt werden Stärkung des Schüler-Ichs: Vertrauen in die Kraft des eigenen Denkens stärken, ebenso die Fähigkeit zur Selbstkritik. Was ist guter Mathematikunterricht Wie schaut guter Mathematikunterricht aus? Klare Struktur aufweisen: roter Faden Echte Lernzeit: Lernzeit gut und effektiv nutzten Lernförderliches Klima: Gutes Klima zur LP und Klassenklima Inhaltlich klar: Ziele nicht verdeckt, sondern gemeinsam darauf hinarbeiten Sinnstiftendes Kommunizieren Großes Methodenrepertoire Individuelles Fördern: Diagnostik und Defizite erkennen, Inhalte vertiefen und fördern, Transparente Leistungserwartungen: Was ist wichtig? Was wird beurteilt? Wie setzt sich die Note zusammen? Materialien  Lernatmosphäre Vorbereitete Lernumgebung Fachliche Gestaltung: Ergiebige Aufgaben (Bezug zur Intensive Nutzung Lernzeit Lebenswelt der Kinder) Anforderungsniveau passt zum Gutes Lernklima Leistungsniveau, Inhalte passen zu Zielen, Adäquate Medien zur Vermittlung, Partner/Gruppenarbeiten Fachdidaktische Gestaltung Lernumgebung Authentische Aufgaben Lernumgebung und Lernatmosphäre 2. Anforderungsniveau passt zum Leistungsvermögen 9. Vorbereitete Lernumgebung 3. Gestaltung passt zu Inhalten und Zielen 10. Intensive Nutzung der Lernzeit 4. Adäquate Medien 11. Positives pädagogisches Klima 5. Lernzuwachs 6. Förderung der Selbstständigkeit 7. Strukturierte Partner- und Gruppenarbeit Fachliche und Fachdidaktische Gliederung: Authentische Aufgaben: sinnstiftend-motivierende Aufgabenstellungen, tragfähige Alltagsbezüge, sachlogisch aufeinander aufbauende Sequenzen Anforderungsniveau passt zum Leistungsvermögen: differenziert, Vorerfahrungen und Bedürfnisse der Schüler:innen werden berücksichtigt Gestaltung passt zu Inhalten und Zielen: Förderung der inhalts- prozessbezogenen Komponenten, Vermittlung von Lernstrategien, Reflexion. Adäquate Medien Lernzuwachs: Erweiterung des math. Verständnisses, Lernzuwachs sichtbar machen. Selbstständigkeit und Mitverantwortlichkeit Mathematical Literarcy = nicht auswendig zu Lernen. Lernende sollen ein Verständnis für Begriffe und Operationen entwickeln. Rückt die Kontrollierbarkeit und Messbarkeit in den Vordergrund: Überprüfbare Ziele werden formuliert Stellenwertsysthem Mathematik = griechischen, m‘athima. Erlerntes, Gegenstand des Lernens, Kenntnis der Wissenschaft. Mathisis = Erlernen, Lehre, Kenntnis, Wissenschaft. Ishango Knochen eines der ältesten mathematischen Hilfsmittel. Numerische Aufzeichnungen mittels Strichen Er wurde im Jahr 1950 in der Demokratischen Republik Kongo entdeckt und stammt schätzungsweise aus der Zeit zwischen 20.000 und 18.000 v. Chr. Der Knochen ist mit Kerben und Markierungen versehen, die auf eine mögliche erwendung als Rechenhilfe oder Kalender hinweisen. Die Markierungen auf dem Ishango Knochen könnten auch ein früher Hinweis auf ein Stellenwertsytem darstellen, da sie in Gruppen angeordnet sind und möglicherweise für mathematische Berechnungen genutzt wurden. Der Fund des Ishango Knochens zeigt, dass mathematische Konzepte bereits vor tausenden von Jahren in verschiedenen Teilen der Welt entwickelt wurden. Babylonier = Keilschrift Zahlen von 1-59 Mesopotamier: sexagesimales (Basis-60) und dezimales (Basis-10) Zahlensystem haben. Sie waren in der Lage, komplexe algebraische Gleichungen zu lösen, einschließlich quadratischer und kubischer Gleichungen. Ihre mathematischen Kenntnisse und Fähigkeiten sind aus Tontafeln bekannt, die verschiedene mathematische Berechnungen und Probleme enthalten. Anwendung: Praktische Zwecke wie Bauwesen, Landwirtschaft, Handel. Ägypten Entwickelten System, um Alltagsprobleme zu lösen Dezimales Zahlensystem, auf zehn basiert benutzten Hieroglyphen für die Zahlen 1 bis 10 und dann weitere Symbole für höhere Potenzen von 10 bis zu einer Million. Additives System (= größere Zahlen durch die Kombination von Symbolen für 1, 10, 100 usw. dargestellt) Papyrus Rhind Älteste Mathematische Dokument aus Ägypten Besteht aus Sammlung von mathematischen Problemen und Lösungen Arithmetik: Beispiele für Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation  Algebra: Enthält einfache algebraische Gleichungen Geometrie: Enthält Formeln zur Berechnung diverser Flächen, Volumen und Formen Wissen über Bruchrechnungen Griechen Eratosthenes von Kyrene: Berechnung des Erdumfangs (Beobachtete zu Mittag Sonne, während in Syene während Alexandria Schattenwurf war. Durch Messung des Winkels konnte er Umfang gut berechnen) Geografie, Astronomie, Mathematik, Poesie, Geschichte Schrieb "Geographika" Pionier in der Astronomie und Mathematik Leiter der Bibliothek von Alexandria Thales von Milet: Vater der griechischen Geometrie Thaleskreis Beiträge zur Vermessung von Dreiecken und Kreisen Mögliche Berechnung der Höhe der Cheops-Pyramide Früher Vordenker der westlichen Philosophie Sokrates und Platon: Menon-Dialog (= Seelenlehre und Ideenlehre Theorie der Erkenntnis als Erinnerung Philosophie als Vorbereitung auf den Tod Kritik an der Sophistik und Relativismus Suche nach dem Wesen der Gerechtigkeit und des Guten) Diskussion über die Erlernbarkeit der Tugend Verwendung von mathematischen Konzepten in philosophischen Diskussionen Entwicklung der Sokratischen Methode in der Philosophie. Römer – Abakus Abakus = Rechenbrett, auf dem mit Hilfe von Steinen („Rechenpfennigen“) die Rechenoperationen durchgeführt werden. Es gibt verschiedene Formen des Abakus. Abakus wird seit Tausenden von Jahren zur Durchführung von arithmetischen Operationen verwendet Abakus besteht aus einem Rahmen mit Stäben oder Drähten, auf denen Kugeln oder Perlen gleiten können Position der Kugeln auf den Stäben repräsentiert Zahlenwerte Durch Bewegen der Kugeln können verschiedene mathematische Operationen durchgeführt werden, einschließlich Addition und Subtraktion Addition auf Abakus: Stäbe repräsentieren verschiedene Stellenwerte, Kugeln für beide Zahlen platzieren und Überträge von einer Stelle zur nächsten berücksichtigen Subtraktion auf Abakus: Kugeln entfernen, Ausleihen, Endergebnis ablesen Richtiges Ausführen der Ausleihoperationen wichtig für korrektes Endergebnis Mit Übung können Subtraktionen auf einem Abakus schnell und effizient durchgeführt werden. Sprache im Mathematikunterricht Ohne Sprache, ist Unterricht nicht möglich Sprachregister Alltagssprache Unterrichtssprache Bildungssprache = erwächst aus dem Zusammenspiel zwischen Alltags-, Unterrichts- und Fachsprache ▪ hat Funktion, zwischen Wissenschaft bzw. speziellem Fachwissen und Alltag zu vermitteln ▪ ermöglicht kognitiv anspruchsvolle Sinnzusammenhänge sprachlich zu durchdringen und Informationen zu verarbeiten Fachsprache Alltagssprache Bildungssprache Einfache, unvollständige Sätze Komplexe, vollständige Sätze Viele Füllwörter Keine Füllwörter Grammatikfehler Keine Grammatikfehler Wiederholungen Keine Wiederholungen Gedankensprünge Keine Gedankensprünge Bekannte Sprechsituationen Unbekannte Sprechsituationen Persönlich Unpersönlich Über Erfahrungen gesprochen Abstraktes Wissen vermittelt Dimensionen der Lesekompetenz: Kompetenzmodell des Lenesn in didaktischer Perspektive (Rosebrok/Nix) Prozessebene: individuelle kognitive Verarbeitung von Texten. Dazu gehören unter anderem das Lesen, Verstehen, Interpretieren und Reflektieren von Texten. Subjektebene: bezieht sich auf die individuellen Fähigkeiten, Erfahrungen und Motivationen der Lesenden. Hier spielen unter anderem das Vorwissen, die Lesemotivation, die Lesestrategien und die Lesegewohnheiten eine Rolle. Soziale Ebene: sozialen und kulturellen Bedingungen betrachtet, die die Lesekompetenz beeinflussen. Dazu gehören etwa der familiäre Hintergrund, die Bildungsinstitutionen, das gesellschaftliche Umfeld und die Medienlandschaft. Auch die Interaktion mit anderen Personen beim Lesen, wie etwa Diskussionen über gelesene Texte. Sprache und Sprachbildung im Mathematikunterricht? Warum? wesentlich beim Aufbau von mathematischen Grundvorstellungen Fachbegriffsbildung funktioniert nicht ohne Sprache Textaufgaben erfordern Transformation von Text in Symbolsprache Mit Mathematik auch reflektiert arbeiten, nicht nur mechanisch Bildungsstandards fordern Sprache im Mathematikunterricht Motivation erfolgt über Sprache Arbeitsaufträge müssen entschlüsselt und verstanden werden Sprachsensibler Unterricht hilft Schüler:innen über sprachliche Hürden hinweg Sprachlich kompetente Kinder müssen mathematische Fachsprache erlernen. Sprachebenen Alltagssprache: Kontextgebunden, kurze und unvollständige Sätze, geringer Wortschatz. Bildungssprache: Verständlich ohne Kontext, komplexe Sätze, umfangreicher Wortschatz, Schulsprache Fachsprache: Präzise, abstrakt, viele Fachbegriffe, wissenschaftliche Sprache. Darstellungsformen Mittel zur Verbalisierung fachlicher Sachverhalten tragen zur Sprachförderung bei. -Wechsel kann dabei helfen, das fachliche Verständnis zu vertiefen. - sollten im Fachunterricht integriert und wechselseitig genutzt werden, um die fachsprachliche Kommunikation zu fördern. - Im sprachbewussten Fachunterricht wird sowohl rezeptives als auch produktives Sprachverständnis trainiert, fachbezogene Aufgabenstellungen werden mit sprachlichen Aspekten verknüpft. - Der Unterricht sollte individualisiert und differenziert sein, die kognitive und sprachliche Entwicklung der SchülerInnen berücksichtigen und ein gestuftes Lernentwicklungskonzept beinhalten. Sprachbewusster Fachunterricht rezeptives Sprachverständnis im mündlichen und schriftlichen Bereich trainiert (Hörverständnis – sinnentnehmendes Lesen) ▪ produktive Spracharbeit im mündlichen und schriftlichen Bereich geleistet. (Sprechen/Diskutieren/ Präsentieren – Schreiben) ▪ werden fachbezogene und sprachbezogene Aufgabenstellungen eng miteinander vernetzt. (Integriertes Sprach- und Sachlernen) ▪ werden fachdidaktische und sprachdidaktische Prinzipien miteinander vereint. ▪ arbeiten die SchülerInnen eigenständig. ▪ werden individuelle Begabungen gefördert und individuelle Schwächen ausgeglichen. (Individualisierung und Differenzierung) ▪ altersadäquate Aufgaben und Materialien eingesetzt, und die kognitive und sprachliche Entwicklung der SchülerInnen wird berücksichtigt. ▪ erfolgt eine gestufte Lernentwicklung (Scaffolding). ▪ ist eine Feststellung des Kompetenzniveaus und der Lernfortschritte der SchülerInnen möglich. ▪ Ein sprachbewusster Sach-/Fachunterricht knüpft an authentischen Problemen an und beinhaltet anregende Fragestellungen. („Situiertes Lernen“) Adam Ries - deutscher Mathematiker im 16. Jahrhundert - Sein bekanntestes Werk "Rechenung auf der lenge" - behandelte Themen wie Grundrechenarten, Bruchrechnung, Prozentrechnung und Zinsrechnung - Buch war eines der ersten populären Lehrbücher in deutscher Sprache - führte die "Riesenschreibweise" zur Darstellung von Potenzen ein Dezimales/Hexales/Binäres Zahlensysthem - Das dezimale Stellenwertsystem basiert auf der Basis 10 und repräsentiert Zahlen mit den Ziffern 0-9 - Das System zur Basis 6 (Hexalsysthem) repräsentiert Zahlen mit den Ziffern 0-5 - Beim Rechnen im Hexalsystem empfinden viele Menschen das Lösen von Aufgaben mit Material (Steckwürfel) als einfacher - Der Binärcode basiert auf dem System von Nullen und Einsen, auch bekannt als Binärzahlen. Didaktische Prinzipien = Didaktische Prinzipien sind Formulierungen von Grundsätzen und Empfehlungen für didaktisches Handeln. Prinzipien Spiralprinzip Genetisches Prinzip Sokratisches Prinzip Exemplarisches Prinzip Operatives Prinzip Integrationsprinzip Prinzip des vorwegnehmenden Lernens intermodalen Transfers (gelenkten) Entdeckenden Lernens Prinzip der Fortsetzbarkeit Vereinfachung Variation Adäquaten Visualisierung Variation der Veranschaulichungsmittel Spiralprinzip (Jerome Brunner) Jerome Bruner fordert, dass der Unterricht in jedem Fach auf die fundamentalen Ideen der jeweiligen Fachwissenschaft ausgerichtet sein sollte Spiralprinzip besagt, dass Ideen in mehreren Durchgängen mit steigendem Niveau behandelt werden sollen Das Prinzip des vorwegnehmenden Lernens: besagt, dass die Behandlung eines Wissensgebietes bereits auf früheren Stufen in einfacher Form einzuleiten ist Das Prinzip der Fortsetzbarkeit: besagt dass die Auswahl und Behandlung eines Themas an einer bestimmten Stelle des Curriculums so erfolgen soll, dass ein Ausbau auf höherem Niveau möglich wird Das Prinzip der Vereinfachung: besagt, dass durch Vereinfachung in der Sprache, dem Verzicht auf Fachbegriffe und die Reduktion der Komplexität mathematische Sachverhalte in reduziertem Ausmaß dargestellt und bearbeitet werden können Das Integrationsprinzip: besagt, dass neue Wissenselemente in bereits vorhandenen Strukturen verankert werden sollen und dabei die Zusammenhänge zwischen den Lernstoffen erarbeitet werden sollen. Es sollte auch Beziehungen zu anderen Bereichen hergestellt werden. Genetische Prinzip: - Das genetische Prinzip im Mathematikunterricht orientiert sich an den natürlichen erkenntnistheoretischen Prozessen der Erschaffung und Anwendung von Mathematik. - Martin Wagenschein: Lernenden ins Zentrum des Lernens gestellt werden. - folgt dem Dreischritt genetisch – sokratisch – exemplarisch. - Durch Fragen, Problemlösungsorientierung und exemplarisches Lernen sollen die Lernenden Zugang zu den Lerninhalten erhalten. - Wissen soll nicht starr unterrichtet, sondern im Unterricht entstehen. Mathematik soll von Problemen her entwickelt werden. - Das Nachvollziehen des Entstehungsprozesses von Mathematik und ein Einblick in diese Entwicklung sind zentrale Anliegen des genetischen Prinzips. - Merkmale eines genetischen Unterrichts sind u.a. der Anschluss an das Vorwissen der Lernenden, die Einbettung in ganzheitliche Problemkontexte und die informelle Einführung von Begriffen aus dem Kontext heraus. Sokratisches Prinzip - Sokratisches Prinzip: Lehrkraft initiiert Problemlöseprozess durch Fragen - Ziel: Schüler:innen sollen lernen, mathematische Fragen zu stellen und beantworten - Effektive Fragen: fördern kognitive Prozesse und Anregung zum Denken und Argumentieren - Alle Schüler:innen einbeziehen: verschiedene Antwortmöglichkeiten, keine Bewertung - Wartezeit lassen: Schüler:innen Zeit zum Nachdenken geben - Vermeiden von wertenden Kommentaren: fördert Ausdauer und Beharrlichkeit - Auf Antworten eingehen: tieferes Verständnis durch Nachfragen fördern, Denkprozesse anregen. Exemplarisches Prinzip - Die Mathematik der Grundschule lässt sich exemplarisch anhand von drei wichtigen Bereichen ordnen: Ziffern von 1 bis 9 und 0, Zahlensystem (Zehnersystem) und grundlegende Operationen (Addition, Multiplikation, Subtraktion, Division). - Diese drei Bereiche bilden die Plattformen, von denen aus alles andere in der Grundschulmathematik erarbeitet werden kann. - Das Verständnis des Zehnersystems ermöglicht den Kindern, ihren Zahlenraum unendlich zu erweitern und Operationen mit großen Zahlen zu bilden. - Das exemplarische Prinzip legt Wert auf das Staunen und Interesse der Kinder, die Fragen stellen und durch entdeckendes und erforschendes Lernen lernen sollen. - Ein wichtiger Aspekt des exemplarischen Unterrichts ist die Einbeziehung von Personen, die mehr Wissen in bestimmten Bereichen haben als die Lehrer, um das Finden des Allgemeingültigen, Beispielhaften und Übertragbaren zu unterstützen. - Ziel des exemplarischen Unterrichts ist es, die Kinder so zu lehren, dass sie mit dem Gelernten etwas anfangen können, und nach Persönlichkeits- und Themenorientierung zu streben. Operatives Prinzip - Das operative Prinzip basiert auf realen Handlungen an konkreten Objekten, die durch Bildern, Zeichen und Symbole erweitert werden und schließlich abstrakte Denkoperationen bilden. - Operatives Prinzip umfasst sieben didaktische Regeln, die darauf abzielen, die Aktivität der Lernenden anzuregen und gezielte Veränderungen zu ermöglichen - Darunter fallen Problemstellung, Anwendung, Interiorisation, Abstraktion, Klärung, Durcharbeiten und Systemgedanke: Denk- und Lernprozesse beginnen mit Bedürfnissituationen Produkte des Denkens und Lernens müssen auf konkrete Bedürfnisse angewendet werden Praktische Handlungen und Wahrnehmungen werden zu Vorstellungen verinnerlicht Abstraktion erfolgt durch Betrachtung praktischer Handlungen und Vorgänge Klärung und Rekonstruktion von Begriffen mit vorhandenen Mitteln Beweglichkeit von Operationen und Begriffen durch vielfältige Transformationen Einsicht in Zusammenhänge und Systeme innerhalb von Operationen und Begriffen. - Es geht darum, Objekte mit ihren Eigenschaften durch Handlungen und Operationen zu erforschen und zu verändern. - Beispiele für die Anwendung des operativen Prinzips sind die Aufgaben mit Zahlenmauern, Faltexperimenten und geometrischen Figuren. - Es gibt verschiedene Zugänge zum operativen Prinzip, die von Objekten, Operationen oder Beziehungen ausgehen können. - Weitere operative Prinzipien bei der Aufgabenerstellung sind Prinzip der Reversibilität, Kompositionsfähigkeit, Assoziativität, Transitivität und Variationsfähigkeit: Prinzip der Reversibilität: Denke an die Umkehrung von Operationen und Denkrichtungen und wende sie an. Prinzip der Kompositionsfähigkeit: Verbinde Einzelbestandteile/Begriffe/Rechenoperationen sinnvoll miteinander zu einer Komposition. Prinzip der Assoziativität: Suche andere Lösungswege. Prinzip der Transitivität: Übertrage eine Regel/Strategie/Denkweise auf einen anderen Sachverhalt. Prinzip der Variationsfähigkeit: Verändere einen Sachverhalt/eine Aufgabe in sinnvoller Weise. (Geschickt arrangierte Aufgabensequenzen an Stelle isolierter Einzelaufgaben. Prinzip des Intermodalen Transfers. = Begriffe und Wissensinhalt können auf drei Weisen dagestellt werden (enaktiv, ikonisch, symbolisch - Mathematische Begriffe und Wissensinhalte können in enaktive, ikonische und symbolische Formen dargestellt werden. - Das EIS Prinzip betont die Verbindung aller Darstellungsebenen für ein tiefes Verständnis. - Verschiedene Übergänge zwischen den Darstellungsebenen sind wichtig für die Denkentwicklung. Darstellungsform Vorteile Nachteile Enaktiv: weckt Interesse/Neugier vermittelt intuitives Verständnis wenig präzise ikonisch: anschaulich, Zusammenhänge können einfach aufgezeigt werden wenig kompakt Symbolisch: präzise, kompakt meist schwerer verständlich, überdeckt u. U. die Semantik Entdeckendes Lernen - fördert aktives Tun und eigenes Erfahren in der Mathematik. - Durch entdeckendes Lernen sollen inhaltliche mathematische Kompetenzen sowie generelle mathematische Fähigkeiten gefördert werden. - Forschender Mathematikunterricht ermöglicht Schüler:innen, Muster und Strukturen zu entdecken und zu beschreiben, sowie ihre Entdeckungen zu hinterfragen und zu begründen. - Die drei Bausteine des forschenden Unterrichts sind das Entdecken mathematischer Phänomene, das Beschreiben von Entdeckungen und das Hinterfragen und Begründen von Entdeckungen. Baustein 1: Mathematische Phänomene entdecken durch produktives Auseinandersetzen mit mathematischen Situationen Baustein 2: Entdeckungen beschreiben durch sprachliche Äußerungen oder Darstellungen Baustein 3: Entdeckungen hinterfragen und begründen durch das Erkennen von Begründungsnotwendigkeiten und das Testen von Vermutungen - Entdeckendes Lernen bedeutet, dass Mathematik durch aktives Tun und eigenes Erfahren wirkungsvoller gelernt wird als durch Belehrung. - Es fördert das Verstehen als individuell bestimmten Vorgang, den jedes Kind konstruktiv hervorbringt. - Schülerinnen und Schüler sollen aktiv Wissen aneignen, indem sie nicht zu stark vorstrukturierte Probleme bearbeiten. - Ziel ist eine tiefere Verarbeitung, nachhaltigeres Behalten, Förderung von Lernstrategien und selbstgesteuertes Lernen. - Durch entdeckendes Lernen sollen mathematische Kompetenzen wie Mustererkennung, Verständnis der Grundrechenarten, Messen von Größen und Beziehungen bei geometrischen Figuren erreicht werden. - Der Unterricht soll vielfältige Aktivitäten bieten, Interesse, Motivation und Kreativität wecken und fördern. - Schülerinnen und Schüler sollen Beispiele generieren, Vermutungen äußern, argumentieren, beweisen, generalisieren und neue Fragestellungen formulieren. - Entdeckendes Lernen umfasst die Entdeckung mathematischer Phänomene, das Beschreiben von Entdeckungen und das Hinterfragen und Begründen von Entdeckungen. - Es ist wichtig, ein reichhaltiges, verknüpfungsfähiges Wissensnetz aufzubauen, Vermutungen verbal zu äußern und mathematische Aussagen zu hinterfragen. - Die Entwicklung einer Kultur des Hinterfragens und Begründens von mathematischen Aussagen sollte angestrebt werden. Herausforderungen beim entdeckenden Lernen Mathematiklernen ohne Einsicht ist nicht nachhaltig Wissensstruktur erlaubt eigenständiges Erkunden Bessere Identifikation und Transfer des Wissens Besseres Behalten und Erinnern durch emotionale Besetzung der Lösungsfindung Entdeckendes Lernen unterstützt die Idee des Lernens als Prozess Schwierigkeiten bei Stoffauswahl, Lernzeit, Neugier der Lernenden Natürliche Neugier muss auf Mathematik gelenkt werden Unterschied zwischen Entdecken in Forschung und im Mathematikunterricht Schwierigkeiten bei Unterrichtsplanung und -verlauf Polarisierung zwischen Lernen durch Entdeckenlassen und Belehren bzw. Frage- Antwort-Struktur. Motivation = Bereitschaft einer Person, sich intensiv und anhaltend mit einem Gegenstand auseinanderzusetzen. Prozess, bei dem Handlungsalternativen ausgewählt werden Motiviertes Handeln ist von zwei universellen Charakteristiken bestimmt: Streben nach Wirksamkeit und Zielengagement dem Streben nach Wirksamkeit: Der Mensch strebt danach Kontrolle und Einfluss auf die ihn umgebende physische und soziale Umwelt zu haben. Zielengagement: Organisiertes Verhalten, Fertigkeiten, Emotionen und Aktivitäten werden in koordinierter Weise eingesetzt, um ein Ziel zu erreichen. (Heckhausen & Heckhausen, 2018, S 2f) - Psychische Grundbedürfnisse nach Deci und Ryan sind Autonomie, Kompetenzerleben und Soziale Eingebundenheit =>Motivationssteigerung - Es gilt Schüler:innen im Lernprozess im Erleben und Erreichen der psychischen Grundbedürfnisse zu unterstützen, um Motivation zu nutzen und ein erfülltes Leben in der Gemeinschaft zu legen. Motivation im Mathematikunterricht - Motivation im Mathematikunterricht wird durch verschiedene Anreize geprägt, die sowohl intern als auch extern betrachtet werden - Das Rahmenmodell der Lernmotivation nach Krapp zeigt den Prozess der Motivation im Mathematikunterricht - Lehrpersonen sollten die Anzeichen für motiviertes Handeln bei Schülerinnen und Schülern erkennen - Merkmale motivierten Handelns sind unter anderem die Auswahl einer Tätigkeit, Beharrlichkeit, Intensität und Handlungserleben - Motivierte Lernende zeigen Engagement, Interesse und haben "Aha-Erlebnisse" im Mathematikunterricht Modell der Lernmotivation (Krapp) drei Hauptbereiche unterteilt: Antezedenzien, Lernmotivation und Konsequenzen. 1. Antezedenzien (Vorausgehende Bedingungen): umfasst die Faktoren, die die Lernmotivation beeinflussen, bevor der Lernprozess beginnt. drei Hauptantezedenzien: Frühere Entwicklungsbedingungen: beinhalten die bisherigen Erfahrungen und Entwicklungen, die eine Person durchgemacht hat. Diese Faktoren prägen die Ausgangsbasis der Motivation. Person des Lerners: individuelle Merkmale wie Persönlichkeit, Fähigkeiten, Interessen und Einstellungen des Lernenden. Soziales Umfeld: Umfeld des Lernenden, einschließlich der Unterstützung durch Familie, Freunde und Lehrer sowie der kulturellen und sozialen Einflüsse. Zusätzlich wird der Unterricht als Lernumfeld, Lernmaterial und Lerngegenstand betrachtet, die ebenfalls als aktuelle Bedingungsfaktoren fungieren und die Lernmotivation beeinflussen. Motivation als Disposition: Die grundsätzliche Bereitschaft oder Neigung eines Lernenden, motiviert zu sein. Motivation als aktueller Zustand: Der momentane Zustand der Motivation während der Lernhandlung. Motivation als Ergebnis und Ziel: Die Motivation, die als Ergebnis des Lernprozesses entsteht und zukünftige Lernhandlungen beeinflusst. Konsequenzen (Folgen) Diese Kategorie beschreibt die Auswirkungen der Lernmotivation auf den Lernprozess und die Ergebnisse: Prozess während der Lernhandlung: Art und Weise, wie der Lernende während des Lernens agiert und sich engagiert, wird direkt von der Lernmotivation beeinflusst. Unmittelbare Effekte und Ergebnisse: Kurzfristige Resultate des Lernprozesses, wie zum Beispiel das Verständnis eines bestimmten Themas oder das Erreichen eines Lernziels. Mittel- und langfristige Folgen: Langfristige Auswirkungen der Lernmotivation, die zukünftige Lernprozesse und die allgemeine Lernhaltung beeinflussen. Fazit Die Grafik zeigt, dass eine hohe Übereinstimmung zwischen den Eigenschaften des Lernenden, dem Kontext und der Situation die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass der Lernende motiviert ist und erfolgreich lernt. Durch das Verständnis der verschiedenen Faktoren und ihrer Wechselwirkungen kann der Lernprozess effektiver gestaltet werden. Merkmale motivierten Handelns Auswahl einer Tätigkeit: Lernende lassen sich aktiv auf gestellte Mathematikaufgaben ein, sind bereit sich auch über die Mathematikstunde hinaus mit dem Thema zu beschäftigen Beharrlichkeit, Durchhaltevermögen: Lernende geben nicht gleich auf, wenn ein Lösungsversuch misslingt Intensität: Lernende lassen sich nicht leicht ablenken, ignorieren Störungen, fokussieren ihre Aufmerksamkeit auf ein Problem und stellen inhaltsbezogene Fragen Handlungserleben: Lernende zeigen Engagement, Interesse und haben „Aha- Erlebnisse“ Selbstwirksamkeit - Menschen mit hoher Selbstwirksamkeit trauen sich mehr zu und haben Vertrauen in ihre Fähigkeiten - Erfolgserlebnisse sind treibende Kraft für Selbstwirksamkeit - Beobachtung von Erfolgen anderer kann motivierend wirken - Angemessenes Feedback und Ermutigung sind wichtig für Selbstwirksamkeit - Physiologische und emotionale Zustände können Selbstwirksamkeit beeinflussen 4 Quellen der Selbstwirksamkeit Bewältigungserfahrung durch Erfolgserlebnisse: Erfahrungen durch Erfolgserlebnisse spielen eine wichtige Rolle, da sie das Selbstvertrauen und die Überzeugung in die eigenen Fähigkeiten stärken. Stellvertretende Erfahrung durch Beobachtung ähnlicher Personen: - Durch die Beobachtung von erfolgreichen Menschen in ähnlichen Situationen können wir lernen, dass auch wir erfolgreich sein können. Verbale Ermutigung durch Feedback und Unterstützung: - Verbale Unterstützung, Feedback und Ermutigung von anderen Menschen können dazu beitragen, dass wir an unsere eigenen Fähigkeiten glauben und unsere Selbstwirksamkeit steigern. Physiologische und emotionale Zustände wie Krankheit oder Angst: Physiologische und emotionale Zustände wie Krankheit oder Angst können die Selbstwirksamkeit beeinflussen, deshalb ist es wichtig, diese Zustände zu erkennen und gegebenenfalls zu beeinflussen, um die Selbstwirksamkeit nicht zu beeinträchtigen. Mindsets = Überzeugungen, die Mensch bezüglich ihrer intellektuellen Fähigkeiten haben. Fixed Mindset: Intelligenz wird als angeborene Eigenschaft und als unveränderbar betrachtet. Menschen mit einem Fixed Mindset glauben, dass sie entweder intelligent sind oder nicht und dass sie nichts tun können, um ihre Fähigkeiten zu verbessern. Growth Mindset: bezieht sich auf die Überzeugung, dass die intellektuellen Fähigkeiten einer Person durch Anstrengung, Lernen und Ausdauer verbessert werden können. Menschen mit einem Growth Mindset sind bereit, Herausforderungen anzunehmen, aus Fehlern zu lernen und hart zu arbeiten, um ihre Ziele zu erreichen. Sie glauben an ihr eigenes Potenzial und die Kraft des Lernens. Mathematische Resilienz: Mathematik wird als etwas Wichtiges erlebt für sich selbst und für die Gesellschaft, haben eine Wachstumsmentalität und wissen, dass Fortschritt mit Anstrengung, Wissensdurst und Ausdauer verbunden ist. 8. Methoden zur Motivationsförderung. 1. Wissenslücken aufzeigen 2. Schrittweise Aneignung 3. Herausforderungen präsentieren 4. Nützlichkeiten eines Gebietes aufzeigen 5. Unterhaltsame Mathematik nutzen 6. Passende Geschichte erzählen 7. Reiz mathematischer Kuriositäten 8. Von LP vorbereitete Materialien. Motivationsprobleme und Lösungsvorschläge - Schwierigkeiten bei der Einhaltung von Disziplin und Konzentration im Unterricht - Probleme wie Langeweile, Isolation, Auswendiglernen, Elitismus und Depersonalisierung können auftreten - Lösungsvorschläge: - Verwendung von abwechslungsreichen Unterrichtsmethoden - Förderung von Diskussionen und Gruppenarbeit - Vermittlung von Mathematik als alltagsrelevantes Thema - Unterstützung der individuellen Lernwege der Schüler:innen - Schaffung einer positiven Lernumgebung und Wertschätzung der Schüler:innen Angst und erlernte Hilflosigkeit - Viele Menschen haben Angst vor Mathematik, was ihr Selbstbewusstsein und ihre Fähigkeit zum Lernen beeinträchtigen kann. - Erlernte Hilflosigkeit entsteht durch negative Erfahrungen und führt zu motivatorischen, kognitiven und emotionalen Defiziten. - Im Mathematikunterricht kann erlernte Hilflosigkeit dazu führen, dass Schüler:innen sich für unfähig halten und das Fach meiden. - Lehrpersonen können erlernte Hilflosigkeit durch das Bewusstmachen von Selbstwirksamkeit und positivem Denken durchbrechen, um den Schüler:innen zu helfen, ihre Fähigkeiten wieder anzuerkennen und zu steigern Wachstumsmodell - Angst vor Mathematik kann durch das Wachstumsmodell bekämpft werden, das zwischen Komfort-, Wachstums- und Angstzone unterscheidet. - Komfortzone fühlt man sich wohl, zu lange in Komfortzone => Langweile. Wachstumszone findet Herausforderung statt, neue Ideen, Herausforderungen, positiver Stress Angstzone ist normales Denken nicht mehr möglich. - Schüler:innen mit Mathematikangst können durch das Wachstumsmodell lernen, wie sie ihre Ängste überwinden und in die Wachstumszone zurückkehren können.. Was kann Lehperson dagegen unternehmen? zeigen, dass Fehler normal sind und dass man aus ihnen lernen kann.genügend Zeit und Raum zu geben, um neue Konzepte zu verstehen und zu üben, damit sie sich sicherer fühlen. Positives Feedback und Lob für Fortschritte können dabei helfen, das Selbstbewusstsein aufzubauen. unterstützende Lernumgebungen schaffen, in denen Kinder ihr volles Potenzial auszuschöpfen. über ihre Ängste und Bedenken zu sprechen und ihnen individuelle Unterstützung und Hilfestellungen anzubieten. Vermittlung von Selbstregulations- und Problemlösestrategien Dyskalkulie und Hochbegabung Dyskalkulie = (begrenzte) Entwicklungsstörung schulischer Fertigkeiten. Diese Störung lässt sich nicht durch allgemeine Intelligenzminderung, kein Mangel an Lerngelegenheiten und keine erworbene Hirnschäden erklären. Betrifft hauptsächlich Grundrechnungsarten. Dyskalkulie liegt demnach vor, wenn keine allgemeine Intelligenzminderung kein Mangel an Lerngelegenheiten keine erworbene Hirnschädigung gegeben ist. Triple-Code-Modell nach Dehaene: Drei Bereiche 1.Visuell arabischen Zahlencodes: Verarbeitung ist in beiden Gehirnhälften angesiedelt. Der erste Bereich ist der visuell-arabische Zahlencode, bei dem Zahlen in Form von arabischen Ziffern visuell wahrgenommen und verarbeitet werden. Diese Verarbeitung findet in beiden Gehirnhälften statt. 2. Verbal phonologische Zahlencodes: Der zweite Bereich ist der verbal- phonologische Zahlencode, bei dem Zahlen in verbaler Form - also in Wörtern ausgesprochen oder gehört werden. Dieser Prozess findet eher in der linken Gehirnhälfte statt, die für die Sprachverarbeitung zuständig ist. 3.Analoge Größenrepräsentation: Der dritte Bereich ist die analoge Größenrepräsentation, bei der Zahlen als Größen oder Mengen in unserem Gehirn repräsentiert werden. Diese Verarbeitung findet in verschiedenen Teilen des Gehirns statt, die für das Erfassen und Verarbeiten von Größen zuständig sind. Module, die bei Zahlenverarbeitung aktiv sind Auditiv-sprachliche Repräsentation ( 4+3 ) Zahlwortlexikon, Zählen, kleines 1+1, 1x1 Fakten, Zahlwörter hören, sprechen, schreiben. Analoge Größenrepräsentation ( 71;79;81 ) Mengen schätzen, innerer Zahlenstrahl, Ergebnisse überschlagen. Visuell-arabische Repräsentation (13, 67, 897) Ziffern, Stellenwertsystem, Rechnungen mit mehrstelligen Zahlen, Zahlen lesen und schreiben. Mögliche Ursachenfelder für Rechenstörung abseits des Triple-Code_Modells Abhängig von familären und sozialen Umfeld. Unterrichtlicher Ansatz Rechenschwierigkeiten werden nicht als Störung oder Krankheit wahrgenommen. Bezieht sich auf nicht gelungenen Lern- und Vermittlungsprozess Fehler werden auf Nichtverstehen zurückgeführt. Symptome einer Rechenschwäche Woran erkennt man rechenschwaches Kind? Schwierigkeiten beim Zählen Vorwärts- und Rückwärtszählen Zählendes Rechnen Typisch sind dabei Zählfehler um eins (plus oder minus), weil das Arbeitsgedächtnis zu stark belastet wird. Die Kinder verstecken ihre Hände unter den Oberschenkeln, hinter dem Rücken, unter dem Tisch, … Fenster im Klassenraum, die Blumentöpfe auf den Fensterbänken, die Stifte im Mäppchen, … – werden als Zählmaterialien benutzt. Fehlerhaftes Lesen und Schreiben von mehrstelligen Zahlen unterschiedliche Sprachkulturen und Stellenwert Falsches/kein Anwenden von Rechenprozeduren keine Vorstellung der räumlichen Gestaltung und des schrittweisen Vorgehens bei schriftlichen Rechenverfahren. Begleiterscheinungen des verfestigten zählenden Rechnens. 1) Die Zerlegungen der Zahlen bis 10 sind nicht memorisiert: 2) Verfestigte zählende Rechner zeigen insgesamt nur ein geringes Repertoire an auswendig gewussten Aufgaben. 3) Das Zahlenrechnen wird durch ein Ziffernrechnen ersetzt. 4) Fehlendes Verständnis wird durch regelhaftes Vorgehen ersetzt. 5) Bei zählenden Rechnern ist die Einsicht in Strukturen bzw. die Fähigkeit, diese zu nutzen, häufig nur gering ausgeprägt. Intermodalitätsprobleme = Mathematik lässt sich in drei verschiedenen Formen (Modi) darstellen, durch Handlungen (enaktiv), durch Bilder (ikonisch) und durch Sprache und Symbole (symbolisch). EIS-Prinzip Enaktive Darstellungsebene: Erfassen von Sachverhalten durch eigene Handlungen, ich mache etwas mit meinen Händen. Ikonische Darstellung: Erfassen von Sachverhalten durch Bilder. Symbolische Darstellung: Erfassung von Sachverhalten durch verbale Mitteilung oder Zeichensysthem. Der Begriff „Intermodalitätsprobleme“ beschreibt dabei die Schwierigkeiten von Kindern, zwischen diesen drei Darstellungsformen zu übersetzen. Pränumerischen Bereich: Sichtbarer Bereich: Kind kennt Gesetzmäßigkeiten nicht (Fördermöglichkeit: Material (Kastanien, Plättchen, Muggelsteine) nach bestimmten Kriterien sortieren). Kind bringt Zahlen und Bildfolgen nicht in die richtige Reihenfolge Fördermöglichkeit: Bildgeschichten in die richtige Reihenfolge bringen. Zahlenkarten in Reihenfolge bringen, Anleitungen befolgen Materialien: Zahlenkarten, Bildkarten mit Ausschnitten aus einer Geschichte, Faltbücher, Anleitungen… Kind erkennt nicht, dass Mächtigkeit mit neuer Anordnung gleichbleibt (Kardinalprinzip). Fördermöglichkeiten: Legematerial unterschiedlich anordnen und abzählen lassen. Kind erkennt gleiche Mengen in unterschiedlicher Darstellungsform nicht. Fördermöglichkeit: verschiedene Darstellungsmöglichkeiten einer Menge zuordnen. Übungsmaterial: Umschüttversuche nach Piaget, Bauklötze und welcher Turm ist höher. Numerischer Bereich Sichtbarer Bereich Kind sagt nicht die Zahl, die es bei Menge gezählt hat Fördermöglichkeit: Dinge beim Zählen auf die Seite schieben, Kind weiterzählen lassen, Übungsspiele Material: Plättchen, Kastanien, Muggelsteine, Kind erkennt richtige Reihenfolge der Zahlen nicht Fördermöglichkeiten: Zählspiele, Schritte zählen, Reime, Lieder Materialien: Zahlenlieder, Zahlenbuch. Kind fehlt Mengenvorstellung Fördermöglichkeiten: Schätzübungen, Würfelspiele Materialien: Würfel, Legematerial, Kind löst Aufgaben zählend Fördermöglichkeit: Rechenstrategien entwickeln, Tauschaufgaben, Aufgaben finden lassen. Hochbegabung = Kinder erbringen in einem bestimmten Zeitraum über einen längeren Zeitraum überdurchschnittliche Leistungen. Was kennzeichnet Grundschulkinder mit einer besonderen mathematischen Begabung? Merkmalsysthem (Käpnick) 2. Bereiche Mathematischspezifische Merkmale Fähigkeit zum Speichern mathematischer Sachverhalte im Kurzzeitgedächtnis unter Nutzung erkannter mathematischer Strukturen, mathematische Fantasie, Fähigkeit im Strukturieren mathematischer Sachverhalte, Fähigkeit im selbstständigen Transfer erkannter Strukturen, Fähigkeit im selbstständigen Wechseln der Repräsentationsebenen und im selbst-ständigen Umkehren von Gedankengängen beim Bearbeiten mathematischer Aufgaben, mathematische Sensibilität (Gefühl für Zahlen und geometrische Figuren) Begabungsstützende allgemeine Persönlichkeitseigenschaften: hohe geistige Aktivität, intellektuelle Neugier, Anstrengungsbereitschaft, Freude am Problemlösen, Konzentrationsfähigkeit, Beharrlichkeit, Selbstständigkeit, Kooperationsfähigkeit. Welche generellen Probleme erschweren das Erkennen einer besonderen mathematischen Begabung bei einem Grundschulkind? Potenzial nicht immer sofort zeigen, da sie sich in unterschiedlichen Entwicklungsstadien befinden Schwierigkeiten, zwischen einer tatsächlichen Begabung und vorübergehenden Interessen oder Fähigkeiten zu unterscheiden Begabung kann nicht erkannt werden, wenn sie sich nicht ausreichend mit dem Thema auseinandersetzen verstecken ihre Begabung oder Anpassung an allgemeinen Leistungsniveau an, um nicht aufzufallen Gute Vorbereitung durch die Eltern kann mit Begabung verwechselt werden Begabung oft sehr fachspezifisch, andere Bereiche werden vernachlässigt =>Underachiever. Wie kann man Talente sinnvoll im Mathematikunterricht fördern? Besonders begabte Kinder sinnvoll miteinbeziehen Aufgaben, die natürliche Differenzierung ermöglichen aufgeben Absicherung der notwendigen Kenntnisse, damit Chancengleichheit besteht und die Kinder sich gleichermaßen mit der Aufgabe auseinandersetzen können. Fermi-Aufgaben und offene Aufgabenstellungen IKMPLUS und Bildungsstandards Bildungsstandards - Bildungsstandards in Mathematik wurden 2009 verordnet - Überprüfung auf der 8. Schulstufe - Konzept der mathematischen Grundbildung basiert auf Winter (1995) - drei Grunderfahrungen im Mathematikunterricht machen (Erscheinungen der Welt um uns, mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, Problemlösefähigkeiten) - Lernergebnisse basieren auf grundlegenden Kompetenzen am Ende der 4. Schulstufe - Mathematische Inhaltsbereiche und allgemeine mathematische Kompetenzen als Gerüst - Bildungsstandards werden vom Lehrplan aufgegriffen und umgesetzt. IKMPLUS Erstmalige Durchführung in der 4. Klasse. Deutsch: Papierbasiert mit Aufgabenheft Mathematik: 45 Minuten Zeit Vorteile für Lehrpersonen von IKMPLUS Instrument zu pädagogischen Diagnostik Kurze Testdauer Rasche Ergebnisrückmeldung Beobachtung des Lernfortschritts Blick auf Kompetenzentwicklung Kritisch zu Betrachten (IKMPLUS) Ergebnisse brauchen Interpretation und Blick aufs Ganze Daten allein verändern noch nichts Daten lassen sich nicht generalisieren Offene Aufgaben - nicht nur eine Lösung bzw. einen Lösungsweg - häufiger im Unterricht erscheinen und Kompetenzen überfachliche Kenntnisse hinaus fördern - Größere Zeitabschnitte für das Lösen offener Aufgaben erforderlich - Die Problemstellungen in "15-Minuten-Aufgaben" von Sinus-Transfer sind zeitlich begrenzt und bereits ab der 4. Schulstufe einsetzbar - stellen eine Herausforderung für Lehrende dar, erfordern didaktische Überlegungen und hohe fachliche Kompetenz - Fachwissen, Vorbereitung der Unterrichtssequenz und das Zulassen von Kreativität sind wichtige Aspekte für spannenden Unterrichtsstunden Fermi Aufgaben = Unbestimmte offene Aufgaben mit klarem Endzustand aber unklarem Anfangszustand. Problemstellungen aus dem Alltag Kurze und prägnante Aufgabe. Ohne Zahlen, mithilfe von Worten Auf den ersten Blick nicht lösbar. - Benannt nach Enrico Fermi, einem italienischen Kernphysiker - Abschätzung über Probleme ohne augenscheinliche Daten - Bekanntestes Beispiel: Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago? - Scheinen am Anfang unlösbar, keine eindeutige Lösung - Gefundene Lösungswege müssen begründet und erklärt werden - Realitätsbezogen, zugänglich, herausfordernd, offen - Fördern Kompetenzen, erfordern Vergleichen und Überprüfen - Regen zum Weiterfragen an - Öffnen den Blick für die Mathematik der Welt Kompetenzen durch Fermi-Aufgaben - Förderung von Kompetenzen wie Erforschen, Überschlagen, Schätzen, Beobachten und Messen - Hervorhebung von Vermutungen und Annahmen - Nachschlagen und Recherchieren fehlender Informationen - Finden verschiedener Lösungswege und Erläutern des Ergebnisses - Training des Denkens, keine richtigen oder falschen Lösungen - Gruppenarbeit zur Bearbeitung und Lösung der Aufgaben - Fragestellung erfordert zusätzliche Daten zur Lösung - Überlegen, welche Daten benötigt werden - Schätzen, recherchieren oder messen, um an die Daten zu gelangen - Hochrechnen und Umwandeln der recherchierten Zahlen Lösung einer Fermi-Aufgabe - Verstehen der Aufgabe/Frage - Treffen von Annahmen - Informationen suchen und ordnen - Recherche und Suche nach Informationen - Überlegung der benötigten Schritte und Informationen - Berechnung der Lösung - Begründung der Lösung - Nutzung von Alltagswissen - Rechnen mit großen Zahlen und Umrechnungen - Rechnungen überschlagen und argumentieren - Richtiges Stellen von Fragen - Überprüfung und Bewertung der Ergebnisse - Zusammenarbeit in Gruppen - Erklärung und Darstellung der Lösungswege - Kommunikation und Diskussion der Lösungen in der Gruppe. Strategien Fermi-Aufgaben - Schritt für Schritt zur großen Zahl: Ermittle kleinere Einheiten, die du gut schätzen oder zählen kannst, und multipliziere sie, um zu einem Gesamtergebnis zu gelangen. - Vergleiche nutzen: Schätze die Größe von Objekten, indem du sie mit Objekten vergleichst, deren Größe du kennst. - Durchschnitt berechnen: Bestimme einen Mittelwert, um mit Zahlen weiterrechnen zu können, indem du Stichproben nimmst und sie addierst, bevor du durch die Anzahl der Stichproben teilst. Kritik - Fermi-Aufgaben können bei Schüler:innen den Eindruck erwecken, dass sie nur dazu dienen, um bei Lehrpersonen Eindruck zu machen, ohne tatsächlichen Lerneffekt - Klassische mathematische Inhalte müssen eventuell für Fermi-Aufgaben zurückgestellt werden, da Unterrichtszeit begrenzt ist - Es sollte hinterfragt werden, ob Fermi-Aufgaben wirklich zum Verständnis der Fachstruktur beitragen und fachlich weiterführen - Echte Sachaufgaben erfordern Modellbildung, während unechte Sachaufgaben alle relevanten Daten und Fragen vorgeben. Modellierungskreislauf bei Fermi-Aufgaben Modellieren = Modellieren meint das Übertragen einer Sachsituation in ein mathematisches Modell Modellierungskreislauf Bei Fermiaufgabe wird bei objektive Ausgangssituation begonnen -> Situationsmodell wird erstellt (Vorerfahrungen, kindliche Interpretation der Ausgangssituation, subjektiv) -> Mathematisieren (Aus Situationsmodell wird ein mathematisches Modell durch Modell (Mathematisch relevante Aspekte werden herausgearbeitet, Informationen hinzugefügt) -> Mathematisches Modell -> mathematisches Modell lösen (verschiedene Rechenoperationen werden verwendet) -> Plausibilität des Ergebnisses überlegen. Differenzierung = individuellen Anpassung des Unterrichts an die unterschiedlichen Lernvoraussetzungen, Interessen und Lerngeschwindigkeiten der Schülerinnen und Schüler. Heterogenität = Jedes Kind hat anderes Vorwissen, Vorerfahrung aus dem Alltag, Lesefähigkeit, Motivation, Interessen, Begabung Individuelle Förderung = Anspruch möglichst jedem Schüler und seinen Lernvorraussetzungen gerecht werden. Denkanalyse - Mathematisches Denken der Kinder ernst nehmen - Anerkennen, dass Kinder falsche Lösungen aufgrund eigener Überlegungen finden - Kinder dazu bringen, über ihre Überlegungen Auskunft zu geben - Lösungswege durch Vorzeigen verdeutlichen - Schlüsse aus Fachwissen und Erfahrung ziehen 4 Differenzierunsbereiche Kompetenzen: Wo stehen meine Schüler? Wo will ich hin? Bei Differenzierung: Wie unterschiedlich sind die Kinder? Auf welche unterschiedliche Arten kann ich meine Ziele erreichen. Nicht alle Kinder müssen das Ziel erreichen: Minimumziele und Ziele die darüber hinausgehe. Aufgabe Strukturen Phasen Wie berücksichtigt man die unterschiedlichen Kompetenzen? Natürliche Differenzierung = ganzheitliche Erarbeitung von Themen abhebt, bei der sich Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsniveaus in natürlicher Weise ergeben. Es ergeben sich Fragestellungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades. Kind kann den Schwierigkeitsgrad selbst wählen. Lösungswege, Hilfsmittel, Darstellungsweisen, manchmal sogar die Problemstellung sind freigestellt Hilfestellungen Flexible Hilfestellungen sind angepasst an Situation Erhöht Eigeninitiative der Kinder Kritik: Ab wann braucht ein Kind Hilfestellungen (Wenn Kind selbst danach fragt) Lernumgebungen = Stützangebote für Kinder, große, flexible Aufgabe, die mit mehreren kleinen Aufgaben verbunden sein kann. Bieten gutes Maß für Differenzierung Lösungen können simpel oder anspruchsvoll sein. sind anregend, mathematisch gehaltvoll. Differenzierung bei Aufgaben Paralleldifferenzierende Aufgaben Aufgaben sollten für leistungsstarke Schüler nicht nur noch komplizierter gemacht werden Offener Sollen zum Weiterdenken anregen Bei Schwächeren: Schwierigkeit herausnehmen, Sprache vereinfachen, Bilder, Lösungsbeispiele Vorteil Parallelaufgaben: Entdeckungen können im Gespräch über die Aufgaben benutzt werden. Jeder kann einen Beitrag leisten. Gestufte Aufgaben Bewusste einfache Einstiegsaufgaben (für alle Zugänglich) Werden nach hinten anspruchsvoller. Auch Blütenaufgaben genannt Selbstdifferenzierende Aufgaben Aufgabenstellung für alle gleich Kinder können Beispiele selbst finden, der ihrem Niveau entspricht Unterfragen: Was fällt dir auf? Lernende können später Erfahrungen austauschen. Kritik: Verliert Kontrolle, was Schüler tun. Differenzierung durch Struktur Unterrichtsformen Klassenunterricht: Alle Lernenden lernen dasselbe Kooperativer Unterricht: Arbeitsteilung Differenzierter Unterricht: Unterschiedliche Aufgaben, Lernende können wählen. Individualisierter Unterricht: Lernende lernen individuell. Ich-Du-Wir Ich-Phase: Kinder arbeiten individuell an ihrer Aufgabe und versuchen, sie zu lösen. Sie können dabei verschiedene Ansätze und Lösungswege ausprobieren. Du-Phase: Kinder tragen ihre Aufgabe zusammen und betrachten Ergebnisse.Verständnis und Rechenfehler können erkannt und korrigiert werden. Es können verschiedene Entdeckungen gemacht werden Wir-Phase: Ergebnisse der Gruppen werden zusammengetragen, verbaler Austausch, Vorgehensweisen in geschützten Rahmen besprochen. Wenn Kind keine Entdeckung gemacht hat, hat es die Möglichkeit jene der anderen Kinder nachzuvollziehen. Veranschaulichungen als Lösungshilfe Nutzen der Finger Abzählen Plättchen Taschenrechner (in höherer Schule) Muss nach gewisser Zeit ohne Veranschaulichungen möglich sein 4 Phasiges Vorgehen Handeln am Material und Versprachlichung der Handlung: Es wird gesichert, dass Kind weiß, wie man das Material nutzt. Materialhandlung beschreiben/ Material sichtbar: Handlung wird vom Kind beschrieben von anderer Person ausgeführt. Materialhandlung beschreiben/ Material nicht sichtbar: Handlung wird vom Partner mit verdecktem Material ausgeführt. Ergebnis wird überprüft. Materialhandlung nur in der Vorstellung beschreiben: Handlungszusammenhang soll symbolisch ohne Material beschrieben werden. Fragen bei Auswahl des Materials Struktur: Welches Thema? Werden wichtigste Aspekte durch Material betont? Handlungsmöglichkeit: Welche Strategien soll Kind entwickeln? Vielseitigkeit Handhabbarkeit/Haltbarkeit Ökonomie: Preis Ästhetik: Aussehen Ökologie: Wird Umwelt durch Entsorgung belastet Daten und Wahrscheinlichkeit Daten Phasen bei statistischen Untersuchungen: Problemstellung, Planung, Datenerhebung, Darstellung/Analyse, Interpretation Umsetzung in der Primarstufe Kinder lernen Daten strukturiert darzustellen und interpretieren Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit befasst sich mit dem Zufall und der Vorhersage von Ereignissen. - Ziel des Unterrichts ist es, Kindern dabei zu helfen, ihre subjektiven Vorstellungen über Wahrscheinlichkeiten zu quantifizieren. - Begriffe zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten sollten an die Alltagssprache angelehnt sein, z.B. sicher, möglich, unmöglich. - Zu Beginn kann es sinnvoll sein, die Anzahl der Begriffe zu reduzieren, z.B. auf sicher, möglich, unmöglich. - Einfache Spielsituationen können genutzt werden, um Kindern ein intuitives Verständnis von Wahrscheinlichkeiten zu vermitteln. Kombinatorik - Kombinatorik ist die Kunst des geschickten Abzählens. - Ziel ist die Ermittlung von Kombinationsmöglichkeiten und die Bestimmung ihrer Anzahl. - erfordert fachliches Verständnis, besondere Zählprinzipien und strukturiertes Denken. - Kinder nutzen verschiedene Lösungsstrategien (von zufällig bis systematisch). - Konkretes Material erleichtert jungen Kindern das strukturierte Herangehen an kombinatorische Aufgaben. - Kombinatorische Aufgaben lassen unterschiedliche Herangehensweisen und Lösungsmöglichkeiten zu, was Differenzierung ermöglicht. - Ziele sind u.a. Entwicklung der Problemlösefähigkeit, geistigen Beweglichkeit, Kreativität, Kommunikations- und Argumentationsfähigkeit sowie Rechenfertigkeiten. - Kombinatorische Aspekte können bei Multiplikationsaufgaben angewendet werden, z.B. bei der Berechnung von Möglichkeiten. - Weitere geeignete Aufgabenstellungen für Kombinatorik sind die Bildung von Gruppen, das Ermitteln von Wegen, Codes, oder das Bekleiden von Figuren. Entdeckendes Lernen und produktives Üben Zusammenhang: Erlernen neuer Dinge sowohl durch Entdecken als auch durch Üben erfolgen. Kinder können nicht nur durch das aktive Erforschen ihrer Umgebung neues Wissen erlangen, sondern auch durch Üben und Festigen von bereits Gelerntem. Dabei wird betont, dass der Entdeckungsprozess auch Übungscharakter haben kann und umgekehrt, dass beim Üben auch Neues entdeckt werden kann. Dies unterstreicht die Bedeutung von handlungsorientiertem Lernen. Zum Operationsverständnis für das Multiplizieren Thomas Royar: Interviews mit 130 Drittklässler*innen stellte fest, dass etwa ein Viertel der Kinder ein eingeschränktes oder problematisches Verständnis von Multiplikation hatten. Kinder haben Schwierigkeiten, die Operationen der Multiplikation vollständig zu verstehen und anzuwenden. (Einmaleins wird auswendig gelernt anstatt verstanden) Es werden keine Fragen gestellt (Vorgehensweise ist klar) Ziele Nicht nur auswendig gelernte Rechenschritte anwenden Tieferes Verständnis Entwicklung von Kompetenzen (Problemlösen und Argumentieren) Eigene Ideen Phasen des Mathematiklernens Erkunden: Lernender entdeckt neues Wissen und Konzepte, erste Auseinandersetzung mit dem Thema. Ordnen: neu endecktes Wissen wird strukturiert und in logische Reihenfolge gebracht. Zusammenhänge verstehen. Vertiefen: Wissen wird weiter ausgebaut und vertieft. Entdecken: Gleiche wie Erkunden-Phase, wobei Informationen zum ersten Mal wahrgenommen werden. Systhematisieren: Entspricht Ordnen-Phase Üben: Wissen wird durch Wiederholung gefestigt. Phasen greifen ineinander über. Phasen gewährleisten effektiven Lernprozess Expositorisches Lernen Wesentliche Kennzeichen: Deduktion (Ableitung von Aussagen mithilfe logischer Schlussregeln aus anderen, allgemeineren Aussagen) Lehrerdominanz Frontalunterricht Lehrervortrag (LV) Fragend-entwickelndes Verfahren (FEV) Lehrer-Demonstration – Schüler hören, sehen zu kurzschrittiges Verfahren Entdeckendes Lernen Kennzeichen: - basiert auf angebotenen, nicht vorstrukturierten Beispielen, Phänomenen, Situationen oder Problemen - Lernender erarbeitet sich Wissen in Form von Konzepten oder Zusammenhängen selbst - Aktive Konstruktion führt zu tieferer Verarbeitung und nachhaltigem Behalten - Fördert Lernstrategien, Selbstregulation und intrinsische Motivation - Findet in konkreten Kontexten statt, um "träges Wissen" zu verhindern - Soll sich günstig auf Transferfähigkeit auswirken - Adäquatheit von Lernumgebungen nach diesem Prinzip wurde häufig in Frage gestellt. Einwände Lernende müssen den Lernprozess selbstständig zu steuern (nicht nur auf externe Anleitungen zu verlassen) Bereich zu arbeiten, der für sie neu und unstrukturiert ist, Hypothesen aufstellen, um Probleme zu lösen und neue Erkenntnisse zu gewinnen. Hohes Maß an Selbstregulierung und kognitive Flexibilität seitens der Lernenden. Was soll entdeckendes Lernen bewirken? Selbstgesteuertes Lernen…. Lernstrategien fördern Besser und länger anhaltend merken Tiefer durchdrungen sein. Was und wobei kann entdeckt werden? Geometrische Formen Flächen Algorithmen? Konventionen? Unterschiedliche Strategien Anknüpfen an Bekanntes Mehr als Üben: Kompetenzen entwickeln: Problemlösen, Argumentieren, Beweisführung… Was bietet produktives Üben? Produktive Aufgaben regen zum Nachdenken an Sind selbstdifferenzierend Erlauben Entdeckungen Sie sind sinnstiftend