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UNIVERSIDAD DEL VALLE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS GUÍA TALLER No 4 DE ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES. Álvaro Garzón R. Septiembre 2 de 2024 MATRICES: FILAS, COLUMNAS Y ENTRADAS Sea   a11 a12 ··· a1j ··· a1n    a21 a22 ··· a2j ··· a2n    ......  . . ···.   ∈ Mm×n. a ai2 ··· aij ··· ain   i1  .....  .  .. ···.  am1 am2 ··· amj ··· amn una matriz de dimensión m × n. Denotaremos por Ai := (ai1 , ai2 , · · · , aij, · · · , ain ) a la fila i-ésima de la matriz A, por   a1j .  .  .  j   A :=   aij  a la columna j-ésima de la matriz A y por  .  ..    amj aij a la entrada ij de la matriz A Observción 1 1. Algunas veces usaremos la notación A = (aij ) para denotar la matriz A ∈ Mm×n. Tenga en cuenta que este sı́mbolo no debe confundirse con e número aij el cual se obtiene al intersectar  la fila i-ésima de la matriz A con la columna j-ésima. 2. Si A y B ∈ Mm×n son matrices de dimensión m × n entonces, puesto que la suma de matrices y la multiplicación por un escalar λ ∈ R se realiza componente a componente, se deduce que tanto, A + B ∈ Mm×n como λ.A ∈ Mm×n , (1) es decir; la suma de matrices de igual dimensión y la mutiplicación de una matriz por un escalar cualquiera, no afectan la dimensión de las matrices en cuestión. 3. Recuede que (a) Solo es posible sumar y restar matrices de igual dimensión. (b) Solo se pueden multiplicar las matrices A y B siempre y cuando se cumplan las siguientes reglas de dimensión: A ∈ Mm×p y B ∈ Mp×n (2) para obtner una matriz C ∈ Mm×n cuya entrada cij se obtiene como resultado del producto punto entre la fila i-ésima de la matriz A y la columna j-ésima de la matriz B, más precisamente:   b1j    b 2j   cij = Ai · B j = ai1 , ai2 , · · · aip ·  ..  = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + · · · + aip bpj.   . bpj Ejemplo 1. Un caso particular del producto de matrices es el siguiente: Dadas dos matrices A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×1 , el producto A · B está bien definido y su resultado es una matriz C ∈ Mm×1.       a11 a12 ··· a1n b1 a11 b1 + a12 b2 + a13 b3 + · · · + a1n bn        a21 a22 · · · a2n   b2   a21 b1 + a22 b2 + a23 b3 + · · · + a2n bn  ............  · ..  =      ..  ∈ Mm×1    . .  am1 am2 · · · amn bn am1 b1 + am2 b2 + am3 b3 + · · · + amn bn 2   (c) En general el producto de matrices no es conmutativo. Ejemplo 2. Si A, B ∈ Mn×n , pruebe que (A + B)(A − B) = A2 − B 2 si y solo si A y B conmutan. Solución. (A + B)(A − B) = A(A − B) + B(A − B) = A2 − AB + BA − B 2 y por lo tanto A2 − B 2 = (A + B)(A − B) si y solo si A2 − B 2 = A2 − AB + BA − B 2 si y solo si AB − BA = 0, es decir, A y B conmutan.  De acuerdo con el Ejemplo 1, si denotamos por Rn al conjunto Mn×1 y por Rm al conjunto Mm×1 entonces toda matriz A ∈ Mm×n induce una función que denotaremos por TA : Rn −→ Rm la cual actúa por multiplicación de la siguiente forma. TA Rn / Rm     x1 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn      x2   a21 b1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn  X=  ..  7−→ A·X = ..   . .  xn am1 b1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn Debe entenderse que la acción de TA sobre un vector X ∈ Rn consiste en multiplicar la matriz A por el vector X. El siguiente ejemplo ilustra la situación que estamos describiendo. 3 Ejemplo 3 Consideremos la matriz A ∈ M3×4 dada por   2 −1 1 0   A = −3 1 1 2 −1 2 −1 3 y describamos la función TA inducida por dicha matriz A. Primero que todo observemos que la función TA tendrá como dominio el conjunto de vectores X para los cuales el producto A · X tenga sentido y de acuerdo con la ecuación (2) el vector X debe pertenecer a R4. Ahora el producto A · X será un vector de dimensión 3 × 1, por lo tanto podemos ver que la matriz A induce una función TA : M4×1 ≡ R4 −→ R3 ≡ M3×1 dada por A · X la cual describimos en detalle a continuación. TA : R4 −→ R3   a     2a − b + c  b    X=   c  7−→ TA (X) =  −3a + b + c + 2d    −a + 2b − c + 3d d El estudiante debe verificar que la imagen TA (X) no es otra cosa que el producto de la matriz A por el vector X. Veamos que por ejemplo el vector X = (−1, 1, 3, −2) tiene como imagen al vector Y = (0, 3, −6), mientras que el vector X = (0, 1, −2, 0) tiene como imagen a Y = (−3, −1, 4). Finalmente, por ahora, el vector nulo O ∈ R4 y el vector el vector X = (−4, −17, −9, 7) son enviados por la función TA al vector nulo O ∈ R3 , verifique esto.  Ejercicio 1 Considere la matriz ! −2 −4 0 A=. 0 4 4 1. Determine la función TA inducida por A. 2. Encuentre la imagen del vector X = (2, 2, 3) bajo la función TA. 3. Pruebe que X = (−2, 3/4, 0) es enviado al vector nulo.  4 Vamos a explorar algunas propiedades intrı́nsecas de la función TA. Para ello recordemos que del álgebra de matrices, siempre y cuando los productos que citemos a continuación esten definidos (ecuación (2), tenemos A · (B + C) = A · B + A · C y A · (λB) = λ (A · B) (3) Ahora, puesto que la suma X + Y de dos vectores X y Y ∈ Rn se “queda” en Rn y, A ∈ Mm×n , entonces el producto A · (X + Y ) está bien definido y por la ecuación (3) se tiene que Definición de T A z }| { TA (X + Y ) = A · (X + Y ) = A · X + A · Y = TA (X) + TA (Y ) , (4) esto es, La imagen de la suma, es la suma de las imágenes TA (X + Y ) = TA (X) + TA (Y ) , (5) De manera análoga, para todo λ ∈ R, Definición de T A z }| { TA (λ.X) = A · (λ.X) = λ. (A · X) = λ.TA (X), (6) esto es; La imagen de un múltiplo de X, es el múltiplo de la imagen de X TA (λ.X) = λ.TA (X) (7) Funciones que satisfagan las propiedades expuestas en las ecuaciones (5) y (7) serán tratadas a pro- fundidad más adelante en este curso. Por ahora nos proponemos exhibir dos conjuntos asociados a la función TA los cuales poseen propiedades excepcionales que hacen de estos conjuntos ejemplos impor- tantes en la teorı́a de espacios vectoriales que se desarrollará en breve. Puesto que la función TA es 5 inducida por la matriz A ∈ Mm×n , denotaremos estos conjuntos haciendo referencia a la matriz que induce la función más que a la misma TA. Los conjuntos, N (A) = {X ∈ Rn | A · X = TA (X) = 0} y Im(A) = {Y ∈ Rm | Y = TA (X) para algún X ∈ Rn } (8) son cerrados para la suma y multiplicación por un escalar. Ser cerrado significa que: 1. Si X1 , X2 ∈ N (A) y λ ∈ R, entonces X1 + X2 y λ.X1 son elementos de N (A). 2. Si Y1 y Y2 ∈ Im(A) y λ ∈ R, entonces Y1 + Y2 y λ.Y1 son elementos de Im(A). En efecto, supongamos por ejemplo que X1 , X2 ∈ N (A), entonces TA (X1 + X2 ) = A · (X1 + X2 ) = A · X1 + A · X2 = 0 + 0 = 0 por definición del conjunto N (A), esto significa que X1 + X2 ∈ N (A). De manera similar se prueban las otras afirmaciones. Intente hacerlo. El siguiente ejemplo muestra la forma en que podemos caracterizar estos conjuntos para una matriz dada. Se advierte que para seguir este ejemplo es necesrio una buena dosis de paciencia y perseverancia por cuanto involucra una buena parte de los conceptos desarrollados en elcurso hasta ahora. Ejemplo 4 Considere la matriz ! 1 −1 0 A=. 2 1 −1 1. Determine la función TA inducida por A. 2. Caractrice los conjuntos N (A) e Im(A). Solución. 1. Puesto que A ∈ M2×3 , entonces la función TA inducida por la matriz A tiene como dominio a R3 y codominio a R2. La acción de TA sobre cualquier vector X ∈ R3 será la de multiplicar la 6  matriz A por el vector X, esto es TA (X) = A · X. En consecuencia la función TA luce ası́: TA : R3 −→ R2   a !   a−b X= b  7−→ TA (X) = 2a + b − c c 2. Para determinar el conjunto N (A), debemos entender, qué propidad deben tener los elementos que pertenecen a este conjunto. Por definición X ∈ N (A) si y solo si A · X = TA (X) = 0. Ahora, la igualdad TA (X) = 0 nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones ( a−b =0 , 2a + b − c = 0 el cual tiene como solución a = b y c = 3b. Por lo tanto,       a b 1       X =  b  ∈ N (A) si y solo si X =  b  = b ·  1 . c 3b 3 La última igualdad nos dice entonces que:   a   x y z X =  b  ∈ N (A) si y solo si X pertenece a la recta = = 1 1 3 c Haga una pausa, tómese su tiempo y convénzase de lo anterior. En resumen podrı́amos decir que la función TA se anula sobre la recta que pasa por el origen y tiene como vector director a v = (1, 1, 3). Para calcular el conjunto Im(A), debemos observar con atención cual es el efecto de la función TA sobre un vector X ∈ R3. Inicialmente hemos dicho que TA actúa sobre un vector X ∈ R3 simplemente multiplicando la matriz A por este vector, analicemos un poco más qué es lo que realmente sucede. Para ello plantearemos una secuencia de igualdades que irán mostrándonos qué es lo que pasa en el fondo de esta operación que parece simple pero que esconde sus secretos. 7    ! a ! 1 −1 0   a−b TA (X) = A · X = · b = 2 1 −1 2a + b − c c ! ! ! a −b 0 = + + 2a b −c ! ! ! 1 −1 0 = a· +b· +c·. 2 1 −1 Se puede concluir que al multiplicar la matriz A por el vector X lo que se obtiene como resultado es una combinación lineal de las columnas de A ( observe con atención). Más aún, los escalares que intervienen en esta combinación lineal son precisamente las componentes del vector X. Ahora puesto que los escalares a, b y c son arbitrarios entonces podemos afirmar que, * ! ! !+ * ! !+ 1 −1 0 1 0 Im(A) = , , = , (9) 2 1 −1 2 −1 Queda como ejercicio comprobar la última igualdad.  Ejercicio 2 Considere la matriz ! −1 −1 1 A=. 2 2 −1 1. Determine la función TA inducida por A. 2. Caractrice los conjuntos N (A) e Im(A). 8