Matrices Y Determinantes PDF - Universidad Tecnológica Nacional

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario MATRICES Y DETERMINANTES Autor: EDUARDO FONGI ADAPTACIÓN AÑO 2017: Eduardo Gago Año 2017 1. MATRICES 1.1 INTRODUCCIÓN En el desarrollo del tema Sistemas de ecuaciones lineales se ha podido advertir que un...

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario MATRICES Y DETERMINANTES Autor: EDUARDO FONGI ADAPTACIÓN AÑO 2017: Eduardo Gago Año 2017 1. MATRICES 1.1 INTRODUCCIÓN En el desarrollo del tema Sistemas de ecuaciones lineales se ha podido advertir que un sistema queda determinado si se conocen los coeficientes y los términos independientes del mismo. Por ejemplo, sea el sistema: 2𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥4 = −1 { −𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 0 4𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 2 queda determinado por el “cuadro” de números:  2  3 0 1  1    1 1 2 0 0   4 1 1 3 2    o bien, si se separan los coeficientes de los términos independientes, por los cuadros:  2  3 0 1   1     (*) A    1 1 2 0  y B 0   4  1 1 3 2     Tales cuadros de números ordenados en filas y columnas reciben el nombre genérico de “matrices” siendo numerosas e importantes sus aplicaciones en diversas disciplinas. Conceptos básicos Definición: Si m y n son números naturales cualesquiera, se denomina matriz m×n (o, simplemente matriz) a todo conjunto de m×n números reales, dispuestos en m filas y n columnas. Por ejemplo en (*), A es una matriz de 3×4 y B es 3×1. En particular, las matrices de una fila se denominan matrices fila o vectores fila, y las de una columna, matrices columna o vectores columna. Al conjunto de todas las matrices reales se lo simboliza con 𝑅𝑚×𝑛 o con 𝑀𝑚×𝑛 (𝑅). Cada uno de los números que constituyen la matriz se denomina elemento o entrada de la matriz. Al elemento que se encuentra en la fila i y columna j de la matriz dada, se llama elemento “ij” (o de posición “ij”) y se simboliza con una letra (minúscula, en general) subíndexada con los números i y j, en ese orden, es decir: 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖𝑗 , ……….etc. 1 Por ejemplo:  Si A es la primera de las matrices de (*), entonces: 𝑎12 (se lee “a sub uno dos” o “a uno dos” y no “ a sub doce” o “a doce”)= −3, 𝑎24 = 0, 𝑎33 = 1.  Si A es la segunda de las matrices de (*), entonces: 𝑏11 = −1, 𝑏31 = 2. De este modo, una matriz genérica 𝐴𝑚×𝑛 , se simboliza con:  a11 a12  a1n    a a 22  a2n  A   21        a  a mn   m1 am2 o, simplemente: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ), o 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 Se debe tener cuidado en no confundir los símbolos 𝑎𝑖𝑗 y (𝑎𝑖𝑗 ); el primero representa un número real y, el segundo, una matriz. A los elementos 𝑎𝑖𝑖 de una matriz 𝐴 se llaman elementos diagonales de 𝐴 y, al conjunto de todos ellos, diagonal principal de 𝐴. Por ejemplo:  los elementos diagonales de la matriz A de (*) son: 𝑎11 = 2, 𝑎22 = 1, y 𝑎33 = 1.  la diagonal de B tiene un único elemento: 𝑏11 = −1. Una matriz se dice cuadrada si tiene el mismo número de filas y de columnas. Si tal número es n, se dice que la matriz es cuadrada de orden n y se indica con 𝑅𝑛 al conjunto de tales matrices. Por ejemplo:   1 2 0  A2 1  3   R3 1   0 2  2  Finalmente, dos matrices 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑛 y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑝×𝑞 , son iguales, si se cumplen simultáneamente las condiciones: 𝑚=𝑝 𝑦 𝑛=𝑞 𝐴=𝐵⟺{ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ∀ 𝑖 = 1, 2,.... , 𝑚, 𝑗 = 1, 2,.... , 𝑛 2 Por ejemplo si:  2 1 x  1  2 1  1  1 A    y B    0  2 3 1  y 2 3 1  entonces: 𝑥 = −1 𝐴=𝐵⟺{ 𝑦=0 1.2 OPERACIONES CON MATRICES Suma de matrices Dadas 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑛 y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑛 , se llama suma de A y B y se simboliza A+B, a la matriz: 𝑆 = (𝑠𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑛 Tal que: 𝑠𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 +𝑏𝑖𝑗 para 𝑖 = 1, 2,.... , 𝑚, 𝑗 = 1, 2,.... , 𝑛 Por ejemplo, si:  2 1 0   1 2  1 A    y B      1 1  2    4 1 1  entonces:  3 1  1 A  B      1 2  1 Observar que, si 𝐴 ∈ 𝑅𝑚×𝑛 y 𝐵 ∈ 𝑅𝑝×𝑞 , entonces 𝐴 + 𝐵 está definida sí, y sólo sí: 𝑚 = 𝑝 y 𝑛 = 𝑞. Producto de un número real por una matriz Dados 𝛼 𝜖 𝑅, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑛 , se llama producto de 𝛼 por 𝐴 y se simboliza: 𝛼 𝐴 = (𝑡𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑛 , tal que: 𝑡𝑖𝑗 = 𝛼 𝑎𝑖𝑗 para 𝑖 = 1, 2,.... , 𝑚, 𝑗 = 1, 2,.... , 𝑛 3   2 6    Por ejemplo, si: 𝛼 = 2 y A   0 8  , entonces:  4  4    2 6    𝛼𝐴 = 2𝐴   0 8   4  4   Producto de matrices Las definiciones de suma de matrices y de producto de un número por una matriz han resultado bastante naturales, en el sentido de que, para sumar matrices, se suman los elementos homólogos de cada matriz (es decir: 𝑎11 + 𝑏11, 𝑎12 + 𝑏12, ….etc.) y para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada elemento de la matriz. En cambio, el producto de matrices no se define de esta manera “natural” ( es decir, multiplicando entre si los elementos homólogos: 𝑎11. 𝑏11, 𝑎12. 𝑏12 , …..etc.) sino como se verá a continuación. La verdadera razón por la que se da esta definición escapa a los alcances de este curso, aunque luego se podrá advertir su utilidad en la descripción y estudio de los sistemas de ecuaciones. Dadas: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑝 y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑝×𝑛 , se llama producto de A por B y se simboliza AB, a la matriz: 𝐴𝐵 = (𝑡𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑛 donde: p t ij   air brj r 1 para 𝑖 = 1, 2,.... , 𝑚, 𝑗 = 1, 2,.... , 𝑛 𝑡𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 +........ +𝑎𝑖𝑝 𝑏𝑝𝑗 para 𝑖 = 1, 2,.... , 𝑚, 𝑗 = 1, 2,.... , 𝑛 Observaciones: 1) El producto 𝐴𝐵 sólo está definido si el número de columnas del primer factor (matriz de la izquierda o matriz que premultiplica) es igual al número de filas del segundo factor (matriz de la derecha o matriz que postmultiplica). 2) El producto de matrices no es conmutativo, pues estando definido 𝐴𝐵 puede no estarlo 𝐵𝐴 (o vicerversa). Más aún, luego se verá que aún estando definidos ambos productos tampoco es cierto. (en general 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴). 4 3) Para efectuar el producto entre matrices es cómodo proceder como se indica a continuación: a) Para obtener el producto 𝐴𝐵, con 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑝 y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑝×𝑛 , se ubican las matrices 𝐴 y 𝐵 como se indica en el siguiente esquema: b) Los elementos 𝑡𝑖𝑗 de la matriz 𝐴𝐵 se obtienen entonces sumando los productos 𝑎𝑖𝑟. 𝑏𝑟𝑗 , para 𝑟 = 1, 2,..... , 𝑝, como se ilustra en el siguiente esquema para los valores 𝑖 = 2, 𝑗 = 1 (en trazo lleno) e 𝑖 = 𝑚, 𝑗 = 𝑛 (en trazo interrumpido) 𝑡21 𝑡𝑚𝑛 5 Ejemplos:  1 2 0 1  1  1 2   1) Si A    y B    2 0  1 3  , 𝐴 ∈ 𝑅2×3 y 𝐵 ∈ 𝑅3×4 , entonces:   2 3 4  0 1  1 2   ∃ 𝐴𝐵 ∈ 𝑅2×4 1 2 0 1  2 0 1 3 0 1 1 2 1 1 2 1 4 1 2 2 3 4  4 0  7 15 Es decir:  1 4 1 2  AB      4 0  7 15  Observar que ∄𝐵𝐴 1 −1 2 1 2) Si 𝐴 = ( ) y𝐵=( ), entonces: 2 3 1 −1 ∃𝐴𝐵 ∈ 𝑅2×2 2 1 1 −1 1 −1 1 2 2 3 7 −1 1 2 Es decir: 𝐴𝐵 = ( ), mientras que: 7 −1 ∃𝐵𝐴 ∈ 𝑅2×2 1 −1 2 3 2 1 4 1 1 −1 −1 −4 4 1 Es decir: 𝐵𝐴 = ( ) −1 −4 Observar que 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 (aún cuando 𝐴 y 𝐵 son cuadradas y de igual orden) 1.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES Las operaciones de suma de matrices, producto de un número por una matriz y producto de matrices recién definidas verifican importantes propiedades que se enumeran a continuación. 6 Si 𝛼 y 𝛽 son números reales cualesquiera y 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son matrices para las cuales están definidas las operaciones que entre ellas se indican, resulta: (1) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (2) (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) (3) 𝐴 + 𝑶 = 𝑶 + 𝐴 = 𝐴 (donde, con 𝑂, se indica la matriz “nula”, es decir la matriz cuyos elementos son todos nulos) (4) ∃ − 𝐴/ 𝐴 + (−𝐴) = 𝑶 (donde, con −𝐴, se indica la matriz cuyos elementos son los opuestos de los homólogos de la matriz 𝐴) (5) 𝟏. 𝐴 = 𝐴 (6) 𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵 (7) (𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴 (8) 𝛼. (𝛽𝐴) = (𝛼. 𝛽)𝐴 (9) (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) (10) 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶, y (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 (11) 𝛼(𝐴𝐵) = (𝛼𝐴)𝐵 = 𝐴(𝛼𝐵) Observaciones: 1) No se demostrarán estas propiedades, pero es fácil advertir que las mismas son heredadas de las que corresponden a las operaciones de números reales. Por ejemplo, la (1) es una consecuencia inmediata de la propiedad conmutativa de la suma de números reales. 2) La matriz 𝐴 indicada en la propiedad (4) es única (es decir: si 𝐴 + 𝐵 = 𝑶, entonces 𝐵 = −𝐴) y recibe el nombre de “opuesta de 𝐴”. 3) Debido a la existencia y unicidad de la opuesta de cualquier matriz, es posible definir la diferencia de dos matrices 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑅𝑚×𝑛 , 𝐴 − 𝐵, como: 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) Por ejemplo: 1 −2 3 0 3 −2 1 −5 5 ( )−( )=( ) 0 1 −1 1 −2 1 1 3 −2 4) De las propiedades anteriores (o de las definiciones correspondientes) se deducen también:  0𝐴 = 𝑶 7   𝛼𝑶 = 𝑶  (−𝛼)𝐴 = −(𝛼𝐴). (En particular si 𝛼 = −1, se tiene: (−1)𝐴 = −𝐴)  𝛼𝐴 = 𝑶 y 𝛼 ≠ 0 ⟹ 𝐴 = 𝑶  𝛼𝐴 = 𝑶 y 𝐴 ≠ 𝑶 ⟹ 𝛼 = 0 Matriz Identidad La matriz: 1 0 0  0    0 1 0  0 ... . In    Rn... .   ... . 0 0 0  1   A la que se simbolizará con 𝐼, se denomina matriz identidad (de orden n) y es fácil verificar que, cualquiera sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 , resulta: 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 Matriz Inversa Una matriz 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 , se dice inversible si existe una matriz 𝐵 ∈ 𝑅𝑛 , tal que: (*) 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 Si 𝐴 es inversible, la matriz 𝐵 que verifica (*) es única y se llama matriz inversa de 𝐴, y se simboliza 𝐴−1 1.4 TRASPOSICIÓN DE MATRICES Definición: Dada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑚×𝑛 , se llama matriz traspuesta de 𝐴, y se simboliza 𝐴𝑇 , a la matriz 𝐴𝑇 = (𝑎𝑇 𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑛×𝑚 , tal que: 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑇𝑗𝑖 para 𝑖 = 1, 2,.... , 𝑚, 𝑗 = 1, 2,.... , 𝑛 1 −1 1 1 0 2 Así, si: 𝐴 = (0 3 ) y 𝐵 = ( ), entonces: 𝐴𝑇 = ( ) y 𝐵 𝑇 = (1 −2) −2 −1 3 4 2 4 Es fácil advertir que, cualquiera sea 𝐴, las filas (columnas) de 𝐴𝑇 son las columnas (filas) de 𝐴. 8 Asimismo, a partir de esto resulta evidente que, también cualquiera sea 𝐴, resulta que: (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴 La trasposición de matrices verifica importantes propiedades algunas de las cuales se enuncian a continuación:  (𝐴 ± 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 ± 𝐵 𝑇 , cualesquiera sean 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑅𝑚×𝑛  (𝛼𝐴)𝑇 = 𝛼𝐴𝑇 , cualesquiera sean 𝛼𝜖𝑅, 𝐴 ∈ 𝑅𝑚×𝑛  (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴𝑇 , cualesquiera sean 𝐴 ∈ 𝑅𝑚×𝑛 , 𝐵 ∈ 𝑅𝑛×𝑚  si 𝐴 es inversible: (𝐴−1 )𝑇 = (𝐴𝑇 )−1 Definición: Una matriz 𝐴 se dice simétrica si 𝐴𝑇 = 𝐴 De acuerdo a esta definición es claro que para que una matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) sea simétrica, es necesario que sea cuadrada y que, en tal caso, resulta: 𝐴 simétrica ⟺ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , 𝑎𝑖𝑗 , ∀𝑖, ∀𝑗 Por ejemplo: 1 2 −1 𝐴 = ( 2 0 3 ) es simétrica −1 3 4 −3 4 𝐵=( ) no es simétrica 1 0 1.5 EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA El concepto de producto de matrices resulta de utilidad en la descripción y estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. En tal sentido, es fácil ver que cualquier sistema de ecuaciones lineales: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 +... +𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 +... +𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 (𝑆).......... {𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 +... +𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Puede expresarse mediante la ecuación matricial: (*) 𝐴𝑋 = 𝐵 donde: 9   a11 a12  a1n   x1   b1        a a 22  a2n  x  b  A   21 X  2 B 2              a  a mn  x  b   m1 am2  n  m Las matrices 𝐴, 𝑋 y 𝐵 reciben, respectivamente, los nombres de matriz de los coeficientes, matriz o vector (columna) de las incógnitas y matriz o vector (columna) de los términos independientes del sistema (𝑆). Asimismo, a la expresión (*) se denomina expresión matricial del sistema (𝑆) y resulta obvio que las soluciones de (*) son soluciones de (𝑆), y recíprocamente. Ejemplos: 1) Obtener la expresión matricial del sistema 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = 1 (𝑆) { −𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 3𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = −1 Solución: La expresión matricial de (𝑆) es 𝐴𝑋 = 𝐵, donde:  x  2  3 4 1   1    y   A  1 2  2 0  , X   , B  0  0 z  3 1  2    t   1     2 −1 3 2) Obtener el sistema cuya matriz de los coeficientes es: 𝐴 = (1 2 1) y su vector 2 −1 2 0   de términos independientes: B   0  0   Solución El sistema es: 2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 0 (𝑆) { 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 0 2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 0 Observar que en el enunciado de este ejemplo no se ha explicitado el vector de las incógnitas. Esto no da lugar a confusión porque, independientemente de la simbología que se utiliza para representarlo, tal vector queda determinado por el número de 10 incógnitas del sistema y este número es el de columnas de la matriz de coeficientes (de otro modo el producto 𝐴𝐵 no estaría definido). 1.6 RESOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS CUADRADOS La expresión matricial de un sistema cuadrado (𝑆) (*) 𝐴𝑋 = 𝐵 donde la matriz 𝐴 es cuadrada. En tal caso, si existe 𝐴−1 , la matriz: 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 es solución de (*), pues si en ella se reemplaza 𝑋 por 𝐴−1 𝐵, resulta: (**) 𝐴(𝐴−1 𝐵) = (𝐴𝐴−1 )𝐵 = 𝐼𝐵 = 𝐵 Lo que prueba también que 𝐴−1 𝐵 es solución de (𝑆). Más aún, esta es la única solución de (𝑆). En efecto, si 𝑇 es otra solución de (*), resulta: 𝐴𝑇 = 𝐵 y, premultiplicando (es decir: multiplicando por izquierda) ambos miembros de esa igualdad por 𝐴−1 , se tiene: 𝐴−1 (𝐴𝑇) = 𝐴−1 𝐵 (𝐴−1 𝐴)𝑇 = 𝐴−1 𝐵 𝐼𝑇 = 𝐴−1 𝐵 𝑇 = 𝐴−1 𝐵 Lo que prueba lo deseado. De esto modo, se obtiene un método que permite resolver un sistema mediante un producto matricial; lo llamamos “resolución matricial de un sistema”. Se debe tener presente, sin embargo, que este procedimiento de resolución matricial de un sistema cuadrado es factible sólo si la matriz de los coeficientes del sistema, es inversible. Por otra parte, bajo tal condición se tiene que el sistema es compatible determinado (tiene solución única). 11 2. DETERMINANTES 2.1 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE Se llama “determinante” a una función que, a cada matriz cuadrada 𝐴, le hace corresponder un único número real, que se simboliza con 𝑑𝑒𝑡(𝐴) (o con |𝐴|) y que se denomina determinante de 𝑨. Para poder definir este número se necesitan algunos conceptos previos.  Si 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 se dirá que 𝑑𝑒𝑡(𝐴) es de orden n. 1 2 1 2 Por ejemplo, el determinante de 𝐴 = ( ), que se indica | |, es de orden 3 4 3 4 2  Si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑛 se llama cofactor (o menor complementario) del elemento 𝑎𝑟𝑠 y se simboliza 𝑀𝑟𝑠 , al determinante de orden 𝑛 − 1 que se obtiene suprimiendo la fila 𝑟 y la columna 𝑠 de 𝐴. 1 2 3 Por ejemplo, si 𝐴 = (4 5 6), se tiene: 7 8 9 5 6 4 6 4 5 2 3 1 3 𝑀11 = | |, 𝑀12 = | |, 𝑀13 = | |, 𝑀21 = | |, 𝑀22 = | |, 8 9 7 9 7 8 8 9 7 9 1 2 2 3 1 3 1 2 𝑀23 = | |, 𝑀31 = | |, 𝑀32 = | |, 𝑀33 = | | 7 8 5 6 4 6 4 5  Se llama adjunto del elemento 𝑎𝑖𝑗 y se simboliza 𝐴𝑑𝑗(𝑎𝑖𝑗 ) al producto del factor (−1)𝑟+𝑠 por el factor 𝑀𝑟𝑠 , es decir: 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑟𝑠 = (−1)𝑟+𝑠 𝑀𝑟𝑠 Se suele decir: el adjunto “es el cofactor con su signo” Por ejemplo, si 𝐴 es la matriz anterior, se tiene: 5 6 4 6 𝐴𝑑𝑗𝑎11 = (−1)1+1 | | = −3, 𝐴𝑑𝑗𝑎12 = (−1)1+2 | | = 6, 8 9 7 9 4 5 2 3 𝐴𝑑𝑗𝑎13 = (−1)1+3 | | = −3, 𝐴𝑑𝑗𝑎21 = (−1)2+1 | | = 6, 7 8 8 9 1 3 1 2 𝐴𝑑𝑗𝑎22 = (−1)2+2 | | = −12, 𝐴𝑑𝑗𝑎23 = (−1)2+3 | | = 6, 7 9 7 8 2 3 1 3 𝐴𝑑𝑗𝑎31 = (−1)3+1 | | = −3, 𝐴𝑑𝑗𝑎32 = (−1)3+2 | | = 6, 5 6 4 6 12  1 2 𝐴𝑑𝑗𝑎33 = (−1)3+3 | | = −3 4 5  Dada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑛 , se llama adjunta de la matriz 𝐴 (o simplemente adjunta de 𝐴) y se simbolizará 𝐴𝑑𝑗𝐴 a la matriz cuyas entradas son los adjuntos de las entradas de la matriz 𝐴. Más precisamente:  Adja11 Adja12  Adja1n     Adja 21 Adja 22  Adja 2 n  AdjA           Adja  Adja nn   n1 Adja n 2 donde 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑖𝑗 es el adjunto de 𝑎𝑖𝑗 para 𝑖, 𝑗 = 1, 2,.... , 𝑛 Si 𝐴 es la matriz del ejemplo anterior la 𝐴𝑑𝑗 𝐴, es: −3 6 −3 𝐴𝑑𝑗𝐴 = ( 6 −12 6 ) −3 6 −3 Se definirá ahora la función determinante por “recurrencia” Para ello, se procede así:  Se define el determinante de orden 𝟏, y  Supuesto conocido el de orden 𝒏 − 𝟏, se define el de orden 𝒏 De esta forma, conocido el determinante de orden 1, se conoce el de orden 2, conocido éste, se conoce el de orden 3, y así sucesivamente. Definición: a) Si 𝐴 ∈ 𝑅1 , es decir, Dada 𝐴 = (𝑎), se define: 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |𝑎| = 𝑎 b) Supuesto conocido el determinante de orden 𝑛 − 1, si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑛 , se define:  a11 a12  a1n    i n a a22  a2 n  n   n det A   21   a  1 M   ain Adja in    i 1 in in   i 1   a  amn   m1 am 2 13 (Adviértase que, como los 𝑀𝑖𝑛 son los cofactores de los elementos de 𝐴, resultan determinantes de orden 𝑛 − 1 y, consecuentemente, conocidos). Ejemplos: 1) Cálculo del determinante de orden 2 𝑎11 𝑎12 Sea 𝐴 = (𝑎 𝑎22 ), entonces: 21 i 2 det A   ai 2  1 M i 2  a12  1 M 12  a22  1 2 1 2 2 2 M 22  a12 a21  a22 a11 i 1 Es decir: 𝑎11 𝑎12 |𝑎 𝑎22 | = 𝑎11 𝑎22− 𝑎12 𝑎21 21 1 −2 Por ejemplo: | | = 4 − (−6) = 10 3 4 2) Cálculo del determinante de orden 3 Si se procede como en el ejemplo anterior y si se utiliza lo obtenido en él para el cálculo de los cofactores 𝑀𝑖3 (que ahora serán de orden 2), se obtiene que el determinante: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 i 3 𝑎23 |   ai 3  1 M i 3  3 𝑎 | 21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 𝑎33 i 1  a13  113 M13  a23  123 M 23  a33  133 M 33  a21 a22 a11 a12 a11 a12  a13  a23  a33  a31 a32 a31 a32 a21 a22 a13 a21a32  a31a22   a23 a11a32  a31a12   a33 a11a22  a21a12    a13a21a32  a13a31a22  a23a11a32  a23a31a12  a33a11a22  a33a21a12   a11a22 a33  a21a32 a13  a31a12 a23  a13a22 a31  a23a32 a11  a33a12 a21  Esta fórmula puede recordarse fácilmente mediante una regla memotécnica (conocida como regla de Sarrus). Para ello se escribe el determinante dado y, debajo de la tercera fila, se repite la primera y la segunda. Una vez hecho esto, la fórmula anterior se obtiene se toma la suma de los productos indicados con líneas de trazo lleno y restándole la suma de los productos indicados con líneas de trazo interrumpido, como lo muestra el siguiente esquema 14  𝑎11 𝑎12 𝑎13 |𝑎21 𝑎22 𝑎23 | 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 Por ejemplo: 1 −2 3 1 −2 3 |0 4 −3| = | 0 4 −3| = 20 − 6 − (−12 − 6) = 32 −1 2 5 −1 2 5 1 −2 3 0 4 −3 El cálculo de determinantes de órdenes superiores a 3, a partir de la definición correspondiente, resulta engorroso debido a la cantidad de operaciones que requiere. En la siguiente sección se verán importantes propiedades de los determinantes que también permiten simplificar el cálculo de los mismos. (Como ya se ha señalado para los sistemas, cualquier software apropiado resuelve esta cuestión. Sin embargo, nuestros objetivos no se agotan en las simples cuestiones de cálculo, sino que requieren el conocimiento de esas propiedades). 2.2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES Salvo mención en contrario, en todo lo que sigue, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) será una matriz cuadrada de orden 𝑛. Asimismo, tanto en esta sección como en la que sigue, sólo se demostrarán algunas propiedades que se enunciarán. Propiedad 1. n a) det A   aij Adja ij , para j  1, 2,...., n i 1 n b) det A   aij Adja ij , para i  1, 2,...., n j 1 Observaciones: 1) La propiedad 1a) dice que un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier columna, por sus correspondientes adjuntos. Cuando se calcula un determinante de este modo se dice que se ha “desarrollado por la columna j”. 15  2) Análogamente, la propiedad 1b) dice que un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier fila, por sus correspondientes adjuntos. Cuando se calcula un determinante de este modo se dice que se ha “desarrollado por la fila i”. 3) Si se llaman “líneas” de un determinante (o una matriz) a sus filas o columnas, indistintamente, las propiedades 1 a) y b) pueden resumirse del siguiente modo: “El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier línea por sus correspondientes adjuntos”. 4) Puesto que el cálculo de un determinante puede efectuarse mediante el desarrollo por cualquier línea, es obvio que convendrá elegir aquella que más ceros contenga (puede haber más de una en esa condición), pues ello ahorrará cálculos. 1 0 2 1 0 2 3 0 Ejemplo: Para calcular se lo desarrolla por la segunda fila y se obtiene 3 2 1 1 2 1 4 1 1 0 2 1 0 2 3 0 4   a2 j Adja 2 j  a21 Adja 21  a22 Adja 22  a23 Adja 23  a24 Adja 24  3 2 1 1 j 1 2 1 4 1 1 2 1 1 0 1 2  1 1   3  1 2 2 2 3 3 1 3 2 1  44 2 4 1 2 1 1 Más adelante se verá que es posible “construir” ceros en cualquier línea de un determinante dado, sin modificar el valor del mismo, esto permitirá simplificar las cuestiones de cálculo. Como consecuencia inmediata de la propiedad 1, se tiene el: Propiedad 2. Si todos los elementos de una línea de 𝐴 son nulos, entonces 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 Demostración: Basta desarrollar 𝑑𝑒𝑡𝐴 por la línea de ceros Propiedad 3. 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑇 16 Como consecuencia de la propiedad 3, toda propiedad que sea válida para las filas de un determinante, también lo será para las columnas y viceversa. Por esta razón, las siguientes propiedades se enuncian en términos de líneas. Propiedad 4. Si se multiplican todos los elementos de una línea de 𝐴 por un número 𝛼, el determinante de la matriz 𝐴′ así obtenida es igual a 𝛼. 𝑑𝑒𝑡𝐴 (es decir, 𝑑𝑒𝑡𝐴′ = 𝛼. 𝑑𝑒𝑡𝐴 Demostración.  a11 a12  a1n   a11 a12  a1n       a21 a22  a2 n   a 21 a 22  a2n              Sean A    y A'    , entonces, si se calcula  a r1 a r 2  arn    a r1  a r 2  a rn                 a  ann  a  a nn   n1 an 2  n1 an2 el determinante de ambas matrices desarrollándolas por la fila 𝑟, se tiene: n det A   arj Adja rj  ar1 Adja r1  ar 2 Adja r 2 ......  arn Adja rn j 1 n det A'   a'rj Adja 'rj  ar1 Adja r1  ar 2 Adja r 2 ......  arn Adja rn  j 1   ar1 Adja r1  ar 2 Adja r 2 ......  arn Adja rn    det A Propiedad 5. Si se intercambian dos líneas paralelas (es decir, dos filas o dos columnas) de 𝐴, el determinante de la matriz 𝐴′ así obtenida es el opuesto de 𝐴. Ejercicio: Verificar la propiedad, intercambiando las dos primeras columnas de: 1 −1 2 𝐴 = (−2 1 −1) 0 3 1 Propiedad 6. Si 𝐴 tiene dos líneas paralelas iguales, entonces 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 Demostración: Si se intercambian las dos líneas paralelas de 𝐴 (y siendo 𝐴′ la matriz así obtenida), por el propiedad 5, se tiene: 17  𝑑𝑒𝑡𝐴′ = −𝑑𝑒𝑡𝐴 Pero, como ambas líneas son iguales, 𝐴′ = 𝐴, es decir: 𝑑𝑒𝑡𝐴′ = 𝑑𝑒𝑡𝐴 y, de ambas igualdades, se deduce lo deseado 𝛼1 𝛼2 𝛼3 Ejemplo: El determinante |𝛽1 𝛽2 𝛽3 | es nulo, cualesquiera sean 𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 , 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3 𝛼1 𝛼2 𝛼3 Propiedad 7. Si una línea de 𝐴 es igual al producto de otra línea paralela por un número 𝛼, entonces 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 Demostración. Al extraer el factor 𝛼 de la línea en cuestión, por la propiedad 4 resultará que 𝑑𝑒𝑡𝐴 es el producto de 𝛼 por otro determinante que tiene dos líneas paralelas iguales. Puesto que, por la propiedad 6 este determinante es nulo, y queda demostrado. 1 0 2 1 0 2 3 0 Ejemplo. El determinante es nulo, pues la 3ª columna es la 1ª 3 2 1 1 2 1 4 1 multiplicada por 2 Propiedad 8. Si:  a11 a12  a1' j  a1'' j  a1n    a a 22  a ' a ''  a2n  A   21 2j 2j         a  a  a 'nj' '  a nn   n1 a n 2 nj Entonces: a11 a12  a1' j  a1n a11 a12  a1'' j  a1n ' '' a 21 a 22  a  a2n a 21 a 22  a  a2n det A  2j  2j             ' '' a n1 an 2  a nj  a nn a n1 an2  a nj  a nn Cualquiera sea 𝑗 = 1, 2,..... , 𝑛 18 Demostración. Basta desarrollar 𝑑𝑒𝑡𝐴 por la columna 𝑗 −1 2 1 Ejemplo: Descomponer el determinante | 3 1 1 | en la suma de otros dos, de 2 −2 −1 modo que, en uno de ellos, todos los elementos de la segunda columna sean unos. −1 2 1 −1 1 1 −1 1 1 |3 1 1 |=| 3 1 1 |+| 3 0 1| 2 −2 −1 2 1 −1 2 −3 −1 Observar que la propiedad ha sido enunciada para columnas, por la propiedad 3, un resultado similar es también válido para filas. Propiedad 9. Si a cualquier línea de 𝐴 se le suma el producto de otra línea paralela por una constante, su determinante no se modifica. Demostración. Si 𝐴′ es la matriz obtenida al sumar a una línea de 𝐴 el producto de otra línea paralela por la constante 𝛼, la propiedad 8 dice que: 𝑑𝑒𝑡𝐴′ = 𝛼𝑑𝑒𝑡𝐵 + 𝑑𝑒𝑡𝐴 donde 𝑑𝑒𝑡𝐵 es nulo por tener dos líneas paralelas iguales. Como se había adelantado, éste es el resultado que permite construir ceros en cualquier línea de un determinante, simplificando así el cálculo de los mismos. 2 1 0 3 3 0 1 2 Ejemplo: Calcular   1 1  2 1 3 2 4 1 Solución. Debido a que las 1ª y 2ª filas y 2ª y 3ª columnas ya contienen un 0 cada una, conviene efectuar el procedimiento sobre cualquiera de ellas. En particular, conviene también elegir (si es posible), alguna línea que contenga un 1 o un −1, pues ello facilitará los cálculos. Si se elige, por ejemplo, la 2ª columna (que se encuentra en esas condiciones).  Para obtener un 0 en la posición 𝑎12 , se suma a la 1ª fila, la 3ª (1ªf+3ªf) y resulta: 19  1 0 2 2 3 0 1 2  1 1  2 1 3 2 4 1 Para obtener un 0 en la posición 𝑎42 , se suma a la 4ª fila, la 3ª multiplicada por (−2) (4ªf+(−2)3ªf) y resulta: 1 0 2 2 3 0 1 2  1 1  2 1 1 0 8 3 Desarrollando por la 2ª columna, se obtiene: 1 −2 2 ∆= | 3 −1 2| = −49 −1 8 3 Se va a repetir el cálculo eligiendo ahora la 1ª fila (que contiene un 0 y un −1)  Para obtener un 0 en la posición 𝑎11 , se suma a la 1ª columna, la 2ª multiplicada por 2 (1ªc + 2.2ªc); se obtiene: 0 1 0 3 3 0 1 2  1 1  2 1 1 2 4 1  Para obtener un 0 en la posición 𝑎11 , se suma a la 1ª columna, la 2ª multiplicada por 2 (1ªc + 2.2ªc); se obtiene: 0 1 0 0 3 0 1 2  1 1 2 2 1 2 4 7 Observaciones 1) Para construir ceros sobre una columna se han efectuado operaciones sobre filas y viceversa. El motivo es obvio, si se quiere construir ceros sobre una columna, al sumarle líneas paralelas (es decir, columnas), se podría perder los ceros que ya contuviese tal columna. 20  2) Mediante este procedimiento se consigue reducir el cálculo de un determinante de orden 𝑛, al de otro de orden 𝑛 − 1. En la próxima sección – en la que se obtendrá una condición necesaria y suficiente para la existencia de la matriz inversa – se utilizarán dos resultados que se ven a continuación. Propiedad 10. La suma de los productos de una línea de 𝐴 por los adjuntos de una paralela, es nula, es decir: n a) si 𝑗 ≠ 𝑘, entonces:  aij Adja ik i 1 n b) si 𝑖 ≠ 𝑟, entonces:  aij Adja rj i 1 Demostración Se demostrará el apartado b) Sean las matrices  a11 a12  a1 j  a1n   a11 a12  a1 j  a1n                      a ai 2  aij  ain  a ai 2  aij  ain   i1   i1  A        y A'          a ar 2  a rj  a rn  a ai 2  aij  ain   r1  i1                      a n1 a n 21  a nj  a nn   a n1 a n 21  a nj  a nn  Las matrices 𝐴 y 𝐴′ tienen todas sus filas iguales, excepto en la fila 𝑟. Resulta entonces que: 1) 𝑑𝑒𝑡𝐴′ = 0 (pues 𝐴′ tiene dos filas iguales) 2) Para 𝑗 = 1, 2, ….. , 𝑛, los adjuntos 𝐴𝑑𝑗𝑎′𝑟𝑗 de los elementos de la fila 𝑟 de 𝐴′ , son los mismos que los adjuntos 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑟𝑗 de los elementos de la misma fila de 𝐴 (pues 𝐴′ y 𝐴 sólo difieren en esa fila). En consecuencia, desarrollando 𝑑𝑒𝑡𝐴′ por la fila 𝑟, se tiene: n n 0  det A'   aij Adja 'rj   aij Adja rj j 1 j 1 Ejercicio. Verificar la propiedad anterior calculando la suma de los productos de los elementos de la 1ª fila por los adjuntos de la 2ª, para la matriz: 21  1 −2 3 𝐴 = (0 1 −1) 1 −3 1 El restante resultado establece que el determinante de un producto es igual al producto de los determinantes de cada factor. Propiedad 11. Si 𝐴 y 𝐵 son matrices cuadradas del mismo orden, entonces: 𝑑𝑒𝑡(𝐴. 𝐵) = 𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝑑𝑒𝑡𝐵 Es claro que esta propiedad puede extenderse para cualquier producto de 𝑛 factores. En particular, de ello se deduce la propiedad 12 Propiedad 12. Cualquiera sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 , se verifica que: 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑛 ) = (𝑑𝑒𝑡𝐴)𝑛 Ejercicio. Verificar que 𝑑𝑒𝑡(𝐴2 ) = (𝑑𝑒𝑡𝐴)2 , siendo: 1 −1 2 𝐴 = (−2 1 −1) 0 3 1 2.3 EXISTENCIA Y CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Recordar que una matriz 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 se dice inversible (o regular) si existe una matriz 𝐴−1 ∈ 𝑅𝑛 , a la que se llama inversa de 𝐴, tal que: 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼 (donde 𝐼 es la matriz identidad de 𝑅𝑛 ) y que, en tal caso, 𝐴−1 es la única matriz que satisface las igualdades anteriores. En esta sección se obtendrá una condición necesaria y suficiente para la existencia de matriz inversa y una fórmula que permitirá calcular tal inversa cuando ella exista. Se recuerda el concepto de matriz adjunta  Dada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑅𝑛 , se llama adjunta de la matriz 𝐴 (o simplemente adjunta de 𝐴) y se simbolizará 𝐴𝑑𝑗𝐴 a la matriz cuyas entradas son los adjuntos de las entradas de la matriz 𝐴. Más precisamente: 22   Adja11 Adja12  Adja1n     Adja 21 Adja 22  Adja 2 n  AdjA           Adja  Adja nn   n1 Adja n 2 donde 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑖𝑗 es el adjunto de 𝑎𝑖𝑗 para 𝑖, 𝑗 = 1, 2,.... , 𝑛 1 0 −1 Por ejemplo, si 𝐴 = (2 1 1 ), los correspondientes adjuntos son: 0 3 2 1 1 2 1 𝐴𝑑𝑗𝑎11 = (−1)1+1 | | = −1, 𝐴𝑑𝑗𝑎12 = (−1)1+2 | | = −4, 3 2 0 2 2 1 0 −1 𝐴𝑑𝑗𝑎13 = (−1)1+3 | | = 6, 𝐴𝑑𝑗𝑎21 = (−1)2+1 | | = −3, 0 3 3 2 1 −1 1 0 𝐴𝑑𝑗𝑎22 = (−1)2+2 | | = 2, 𝐴𝑑𝑗𝑎23 = (−1)2+3 | | = −3 0 2 0 3 0 −1 1 −1 𝐴𝑑𝑗𝑎31 = (−1)3+1 | | = 1, 𝐴𝑑𝑗𝑎32 = (−1)3+2 | | = −3, 1 1 2 1 1 0 𝐴𝑑𝑗𝑎33 = (−1)3+3 | |=1 2 1 −1 −4 6 𝐴𝑑𝑗𝐴 = (−3 2 −3) 1 −3 1 La matriz adjunta verifica una propiedad para un objetivo actual. Antes de enunciarla en general, se ilustrará con un ejemplo. Sea 𝐴 la matriz anterior, si efectúa el producto de 𝐴. (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 , se obtiene: 1 0 −1 −1 −3 1 −7 0 0 (𝐴𝑑𝑗𝐴) 𝑇 𝐴. = (2 1 1 ). (−4 2 −3) = ( 0 −7 0 ) 0 3 2 6 −3 1 0 0 −7 Y al mismo resultado se arriba si se conmutan los dos factores, es decir: −7 0 0 𝐴. (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 = (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇. 𝐴 = ( 0 −7 0 ) 0 0 −7 Pero esto no es todo, porque además se tiene: 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −7 (verificarlo) Resumiendo, ha resultado que: 1 0 0 𝐴. (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 = (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇. 𝐴 = −7 (0 1 0) = 𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝐼 0 0 1 23  Propiedad 12. Cualquiera sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 , resulta: 𝐴. (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 = (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇. 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝐼 Demostración:  a11 a12  a1n     a21 a22  a2 n  Sean las matrices A   , y su adjunta        a  ann   n1 an 2  Adja11 Adja12  Adja1n     Adja 21 Adja 22  Adja 2 n  AdjA   , y tal que         Adja  Adja nn   n1 Adja n 2  Adja11 Adja 21  Adja n1     Adja12 Adja 22  Adja n 2   AdjA T          Adja Adja 2 n  Adja nn   1n x11  a11 Adja11  a12 Adja12 ....  a1n Adja1n  det A x11 : es el producto de los elementos de la 1ª fila por los adjuntos de la de la 1ª fila de 𝐴 x12  a11 Adja 21  a12 Adja 22 ....  a1n Adja 2n  0 x12 : es el producto de los elementos de la 1ª fila por los adjuntos de la de la 2ª fila de 𝐴 (es el producto de los elementos de una fila por los adjuntos de una paralela) x1n  a11 Adja n1  a12 Adja n2 ....  a1n Adja nn  0 24  x1n : es el producto de los elementos de la 1ª fila por los adjuntos de la de la 𝑛ª fila de 𝐴 (es el producto de los elementos de una fila por los adjuntos de una paralela) x21  a21 Adja11  a22 Adja12 ....  a2n Adja1n  0 x21 : es el producto de los elementos de la 2ª fila por los adjuntos de la de la 1ª fila de 𝐴 (es el producto de los elementos de una fila por los adjuntos de una paralela) x22  a21 Adja 21  a22 Adja 22 ....  a2n Adja 2n  det A x22 : es el producto de los elementos de la 2ª fila por los adjuntos de la de la 2ª fila de 𝐴 x2n  a21 Adja n1  a22 Adja n2 ....  a2n Adja nn  0 x2 n : es el producto de los elementos de la 2ª fila por los adjuntos de la de la 𝑛ª fila de 𝐴 (es el producto de los elementos de una fila por los adjuntos de una paralela), y así sucesivamente. Queda entonces:  det A 0  0     0 det A  0  A AdjA     det A.I T        0  det A   0 Analogamente se demuestra que: (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝐼 Ahora resulta sencillo obener la condición de existencia y la fórmula para el cálculo de 𝐴−1 Propiedad 13. Sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 , entonces: 𝐴 es inversible ⟺ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 y, en tal caso, es: 1 𝐴−1 = (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 𝑑𝑒𝑡𝐴 25 Demostración ⟹) Sea 𝐴 inversible. Entonces, puesto que 𝑑𝑒𝑡𝐼 = 1, resulta: 1 = 𝑑𝑒𝑡𝐼 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴−1 ) = 𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝑑𝑒𝑡𝐴−1 de donde: 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 1 De paso queda demostrado que: 𝑑𝑒𝑡𝐴−1 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 Una parte de la propiedad 12 establece que: (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝐼 1 1 (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 𝐴 = 𝐼 ⟹ 𝐴−1 = (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 Otra parte de dicha propiedad establece que: 𝐴(𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 = 𝑑𝑒𝑡𝐴. 𝐼 1 1 1 𝐴(𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 = 𝐼 ⟹ 𝐴 (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 = 𝐼 ⟹ 𝐴−1 = (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑑𝑒𝑡𝐴 y consecuentemente por la unicidad de la matriz inversa 1 𝐴−1 = (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 𝑑𝑒𝑡𝐴 1 0 −1 Ejemplo. Sea 𝐴 la matriz del ejemplo anterior: 𝐴 = (2 1 1 ) 0 3 2 Ya se vio que 𝑑𝑒𝑡𝐴 = −7 ≠ 0, por lo que 𝐴 es inversible. Su inversa es: 1 3 1 − 7 7 7 1 1 −1 −3 1 4 2 3 𝐴−1 = (𝐴𝑑𝑗𝐴)𝑇 = (−4 2 −3) = − 𝑑𝑒𝑡𝐴 −7 7 7 7 6 −3 1 6 3 1 − ( 7 − ) 7 7 Resolución de ecuaciones matriciales El concepto de matriz inversa puede utilizarse para resolver ecuaciones matriciales (es decir, ecuaciones en las que la incógnita es una matriz). Ejemplos. 1) Hallar la matriz 𝑋 que satisface la ecuación: 𝐴𝑋 + 𝐵 = 𝐶, siendo: 2 −1 1 −1 0 2 1 −1 𝐴=( ), 𝐵 = ( ) ,𝐶=( ) 0 1 1 2 1 0 1 3 26 Solución De la ecuación dada, se deduce que: 𝐴𝑋 = 𝐶 − 𝐵 y de aquí, pre-multiplicando ambos miembros por 𝐴−1 (suponiendo que exista), se obtiene la ecuación equivalente: 𝐴−1 𝐴𝑋 = 𝐴−1 (𝐶 − 𝐵) que, por la asociatividad del producto de matrices y por la definición de 𝐴−1, es equivalente a: 𝐼𝑋 = 𝐴−1 (𝐶 − 𝐵) 𝑋 = 𝐴−1 (𝐶 − 𝐵) Por lo tanto, si existe 𝐴−1 , también existe la matriz del segundo miembro de (*) y ella será la solución de la ecuación planteada. Se deja propuesto como ejercicio para el lector, demostrar que 𝐴−1 existe, que es igual a 1 1 1 1 0 (2 2 ) y que 𝑋 = ( 2 2) 0 1 −1 −1 2 2) Idem 1) para la ecuación: 𝑋𝐴 + 𝐵𝐶 = 0 Solución. Como en el ejemplo anterior, de la ecuación planteada se obtiene: 𝑋𝐴 = −𝐵𝐶 Pero ahora, para despejar 𝑋, se debe post-multiplicar ambos miembros por 𝐴−1 y resulta: 𝑋𝐴𝐴−1 = −𝐵𝐶𝐴−1 ⟺ 𝑋𝐼 = −𝐵𝐶𝐴−1 ⟺ 𝑋 = −𝐵𝐶𝐴−1 Si se efectúan los cálculos correspondientes se obtiene: 1 1 − 𝑋 = (2 2) 3 4 2 Aplicando la resolución de ecuaciones matriciales se puede deducir la siguiente propiedad. Propiedad 14. Sea 𝛼 ∈ 𝑅 − {0} y la matriz 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 , entonces: 1 −1 (𝛼𝐴)−1 = 𝐴 𝛼 27 Demostración. (𝛼𝐴)−1 𝛼𝐴 = 𝐼 Si se post-multiplica ambos miembros de ecuación por 𝐴−1, se tiene: 1 −1 (𝛼𝐴)−1 𝛼𝐴𝐴−1 = 𝐼𝐴−1 ⟺ (𝛼𝐴)−1 𝛼 = 𝐴−1 ⟺ (𝛼𝐴)−1 = 𝐴 𝛼 3. RANGO DE MATRICES Dependencia e independencia lineal Dados los vectores 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , ……., 𝒗𝒏 en 𝑅 𝑚 y considerando la ecuación: (*) 𝛼1 𝒗𝟏 + 𝛼2 𝒗𝟐+........... + 𝛼𝑛 𝒗𝒏 = 𝑶 donde 𝑶 = (0,0,...... ,0), 𝛼1 , 𝛼2 ,………, 𝛼𝑛 ∈ 𝑅. Es claro que tal ecuación siempre admite la solución trivial: 𝛼1 =𝛼2 =........ = 𝛼𝑛 = 0 pero puede admitir otras Ejemplos 1) Sean 𝒖 = (1,0), 𝒗 = (0,1) ∈ 𝑅 2. Si se plantea la ecuación (*), se obtiene: 𝛼1 𝒖 + 𝛼2 𝒗 = 𝑶 ⟺ 𝛼1 (1,0) + 𝛼2 (0,1) = (0,0) ⟺ (𝛼1 , 0) + (0, 𝛼2 ) = (0,0) 𝛼1 = 0 ⟺ (𝛼1 , 𝛼2 ) = (0,0) ⟺ { 𝛼2 = 0 Por tanto, en este caso, (*) admite, únicamente, la solución trivial. 2) Sean 𝒖 = (1,2), 𝒗 = (2,4) ∈ 𝑅 2. Procediendo como en el ejemplo anterior, se obtiene: 𝛼1 𝒖 + 𝛼2 𝒗 = 𝑶 ⟺ 𝛼1 (1,2) + 𝛼2 (2,4) = (0,0) ⟺ (𝛼1 , 2𝛼1 ) + (2𝛼2 , 4𝛼2 ) = (0,0) 𝛼 + 2𝛼2 = 0 ⟺ (𝛼1 + 2𝛼2 , 2𝛼1 + 4𝛼2 ) = (0,0) ⟺ { 1 2𝛼1 + 4𝛼2 = 0 La solución de este sistema es: 𝑆 = {(−2𝛼, 𝛼), 𝛼 ∈ 𝑅} (verificarlo), lo que prueba que, en este caso, (*) soluciones no triviales. Este diferente comportamiento motiva las siguientes: 28  Definiciones. Sean los vectores 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 ,……, 𝒗𝒓 en 𝑅 𝑛. Se dice que el conjunto { 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , ……., 𝒗𝒓 } es: i) Linealmente independiente (l.i.) (O que los vectores 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 ,……, 𝒗𝒓 son l.i.) si la ecuación: (*) 𝛼1 𝒗𝟏 + 𝛼2 𝒗𝟐+........... + 𝛼𝑟 𝒗𝒓 = 𝑶 admite únicamente la solución trivial i) Linealmente dependiente (l.d.) (O que los vectores 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 ,……, 𝒗𝒓 son l.d.) en caso contrario, es decir, si la ecuación (*) admite soluciones no triviales. Ejemplos De acuerdo a lo visto antes, se tiene: {(1,0), (0,1)} es l.i. {(1,2), (2,4)} es l.d. El hecho de que conjunto {(1,2), (2,4)} haya resultado l.d., no es casual. En realidad, surge como consecuencia de un importante que se verá en seguida. Antes, se necesita la siguiente: Definición. Dados 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 ,……, 𝒗𝒓 en 𝑅 𝑛 , se dice que un vector 𝒙 de 𝑅 𝑛 es combinación lineal de 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 ,……, 𝒗𝒓 , si existen escalares 𝛾1, 𝛾2,………, 𝛾𝑟 , tales que: 𝒙 = 𝛾1 𝒗𝟏 + 𝛾2 𝒗𝟐 +...... +𝛾𝑟 𝒗𝒓 Por ejemplo:  Todo vector (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 2 es combinación lineal de (1,0) y (0,1), pues: (𝑎, 𝑏) = 𝑎(1,0) + 𝑏(0,1)  (2,4) es combinación lineal de (1,2), pues: (2,4) = 2(1,2). Además los vectores son paralelos 1 (También (1,2) es combinación lineal de (2,4), pues: (1,2) = 2 (2,4)) El resultado antedicho es el siguiente: Teorema 1. Un conjunto { 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , ……., 𝒗𝒓 } ⊏ 𝑅 𝑛 es l.d.⟺ uno, al menos, de sus elementos es combinación lineal de los restantes. 29 (Esta es la razón por la que los vectores (1,2) y (2,4) resultan l.d. También es la razón por la que (1,0) y (0,1) son l.i., pues ninguno de ellos es combinación lineal del otro). Demostración. ⟹) Puesto que { 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , ……., 𝒗𝒓 } es l.d. , la ecuación: 𝛼1 𝒗𝟏 + 𝛼2 𝒗𝟐+........... + 𝛼𝑟 𝒗𝒓 = 𝑶 tiene soluciones no triviales. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer 𝛼1 ≠ 0, por lo que, de la ecuación anterior, se puede despejar 𝒗𝟏 , obteniendo: −1 𝒗𝟏 = (𝛼 𝒗 + 𝛼𝑟 𝒗𝒓 ) 𝛼1 2 𝟐+........... Lo que prueba que 𝒗𝟏 es combinación lineal de 𝒗𝟐 ,…., 𝒗𝒓. ⟸) Nuevamente, sin perder generalidad, se puede suponer que 𝒗𝟏 es combinación lineal de 𝒗𝟐 ,…., 𝒗𝒓. Consecuentemente, existen escalares 𝛾2,………, 𝛾𝑟 tales que: 𝒗𝟏 = 𝛾2 𝒗𝟐 +....... +𝛾𝑟 𝒗𝒓 Lo que puede escribirse como: 𝒗𝟏 − 𝛾2 𝒗𝟐 −....... −𝛾𝑟 𝒗𝒓 = 𝑶 Esto dice que (𝟏, −𝛾2 ,...... , −𝛾𝑟 ) es una solución no trivial, de la ecuación: 𝛼1 𝒗𝟏 + 𝛼2 𝒗𝟐+........... + 𝛼𝑟 𝒗𝒓 = 𝑶 Por lo que el conjunto { 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , ……., 𝒗𝒓 } es l.d. También como consecuencia de esta propiedad, se puede deducir que cualquier conjunto de vectores que contenga el vector nulo es l.d. Esto es obvio ya que, cualesquiera sean 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , ……., 𝒗𝒓 ∈ 𝑅 𝑛 , se tiene: 𝑶 = 0 𝒗𝟏 + 0𝒗𝟐+........... + 0 𝒗𝒓 Es decir, 𝑶 es combinación lineal de 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , ……., 𝒗𝒓 y, consecuentemente, el conjunto: {𝑶, 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐. ,........., 𝒗𝒓 } es l.d. 3.1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES Dada 𝐴 ∈ 𝑅𝑚×𝑛 , se llama rango por filas de 𝐴 (se simboliza 𝑟𝑓 (𝐴)), al número máximo de filas (es decir, de vectores fila) l.i. de 𝐴. 30  1 2  1 0   Ejemplo 1. Sea A   2 3 4 1   4 7 2 1   Puesto que: 𝑓3 = 2𝑓1 + 𝑓2 El teorema 15 dice que el conjunto es l.d. Por tanto: 𝑟𝑓 (𝐴) ≤ 2 Pero, como 𝑓1 y 𝑓2 no son “proporcionales” (única forma en que uno de los vectores son combinación lineal del otro), nuevamente por el teorema antedicho, resulta que {𝑓1 , 𝑓2 } es l.i., por lo que: 𝑟𝑓 (𝐴) = 2 Análogamente se define el concepto de rango por columnas de 𝐴 (𝑟𝑐 (𝐴)). Con respecto a ambos conceptos vale el siguiente resultado (que se aceptarán sin demostrar). Teorema 2. Cualquiera sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑚×𝑛 , resulta: 𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑟𝑐 (𝐴) Resulta entonces correcta la siguiente: Definición. Se llamará rango de una matriz 𝐴, y se simboliza 𝑟(𝐴), al número máximo de filas, o columnas, l.i. de 𝐴 (Es decir 𝑟(𝐴) = 𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑟𝑐 (𝐴)). Calcular rangos de matrices a partir de la definición es engorrosa. En la práctica se utiliza un procedimiento muchos más expeditivo, que surge como consecuencia de algunas de las importantes propiedades que se ven a continuación. (En todos los casos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son matrices de órdenes adecuados para que estén definidas las operaciones que entre ellas se indican). (I) 𝐴 ∈ 𝑅𝑚×𝑛 ⟹ 𝑟(𝐴) ≤ 𝑚í𝑛{𝑚, 𝑛} (Inmediato, por definición de rango) (II) 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴𝑇 ) (Pues: 𝑟(𝐴) = 𝑟𝑓 (𝐴) = 𝑟𝑐 (𝐴𝑇 ) = 𝑟(𝐴) 31 (III) 𝑟(𝐴𝐵) ≤ 𝑚í𝑛{𝑟(𝐴), 𝑟(𝐵)} (Se acepta sin demostración) (IV) Si 𝐵 y 𝐶 son inversibles, entonces: 𝑟(𝐵𝐴𝐶) = 𝑟(𝐵𝐴) = 𝑟(𝐴𝐶) = 𝑟(𝐴) (Es decir el rango de una matriz no se modifica si se la multiplica por matrices inversibles). (Se acepta sin demostración) (V) Si 𝑎11 , 𝑎22 , …….., 𝑎𝑟𝑟 son no nulos, entonces cualquier matriz 𝑚 × 𝑛 de la forma:  a11 a12 a13  a1r  a1n     0 a22 a23  a2 r  a2 n   0 0 a33  a3r  a3n             A*    0 0  0 arr  arn   0 0  0 0  0              0   0   0 0 0 (en donde, eventualmente, puede ser 𝑟 = 𝑚 o 𝑟 = 𝑛), tiene rango 𝑟. (En efecto; las primeras 𝑟 filas son l.i. porque, por la forma en que están distribuidas los respectivos ceros, ninguna de esas filas puede ser combinación lineal de las restantes y porque, tanto 𝑟 = 𝑚 como si 𝑟 < 𝑚, no hay más filas l.i.) (VI) Invarianza del rango por transformaciones elementales. El rango de una matriz no se modifica si sobre ella se efectúa cualquiera de las siguientes transformaciones (llamadas “elementales”) a) intercambio de filas b) multiplicación de una fila (columna) por un número no nulo. c) sumar a una fila (columna) el producto de otra fila (columna) por un número. Puesto que estas transformaciones son análogas a las que transforman sistemas en sistemas equivalentes, también podrán efectuarse con el algoritmo allí indicado. Así, tal como ocurrió al aplicar el método de eliminación de incógnitas, cualquier matriz 𝐴 puede transformarse en otra de la forma 𝐴∗ indicada en (V) (a la que se llama forma canónica de 𝐴), y cuyo rango – que es el mismo de 𝐴– es evidente. 32 Ejemplo 2. Determinar cuál es el número máximo de vectores fila y columna l.i. que tiene la matriz 𝐴 del Ejemplo 1. Solución. Tal número es 𝑟(𝐴). Mediante el método antedicho se transforma la matriz 𝐴 con el algoritmo de Gauss: 1 2 -1 0 2 3 4 1 4 7 2 1 -1 6 1 -1 6 1 0 0 Entonces: 1 2  1 0   A  0 1 6 1 * 0 0 0 0   Consecuentemente, el número pedido es: 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴∗ ) = 2 Observar que, como sucedía para los sistemas de ecuaciones, el rango de 𝐴 puede obtenerse sin necesidad de explicitar 𝐴∗. Tal rango es el número de elementos no nulos que aparecen en los vértices superiores izquierdos del esquema de cálculo. 3.2 APLICACIONES DEL CONCEPTO DE RANGO Es claro que, para cualquier sistema compatible: (𝑆) 𝐴𝑋 = 𝐵, resulta: 𝑟(𝑆) = 𝑟(𝐴) Pues ambos se obtienen del mismo modo. Por este motivo, las propiedades relativas al rango de sistemas compatibles que se vio en sistemas de ecuaciones, pueden expresarse en términos del concepto de rango de matrices (teniendo en cuenta que el número de incógnitas de un sistema es el número de columnas de su matriz de coeficientes). Así por ejemplo, si la matriz de coeficientes del sistema (𝑆) arriba indicado tiene 𝑛 columnas (es decir, si (𝑆) tiene 𝑛 incógnitas), entonces: 33  (𝑆) tiene infinitas soluciones ⟺ 𝑟(𝐴) < 𝑛 (ó: (𝑆) tiene única solución ⟺ 𝑟(𝐴) = 𝑛) O, para un sistema homogéneo (𝑆𝐻 ) (𝑆𝐻 ) tiene soluciones no triviales ⟺ 𝑟(𝐴) < 𝑛 (ó: (𝑆𝐻 ) tiene únicamente la solución trivial ⟺ 𝑟(𝐴) = 𝑛) El rango y la compatibilidad de un sistema El concepto de rango de matrices también permite obtener una importante caracterización de los sistemas compatibles. Previamente se da una definición útil a los efectos de abreviar el lenguaje. Se llama matriz ampliada del sistema 𝐴𝑋 = 𝐵, y se simboliza (𝐴, 𝐵) a la matriz 𝐴, ampliada con la columna de los términos independientes. Más precisamente, si 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) y 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 ,....... , 𝑏𝑚 )𝑇 , entonces: 𝑚×𝑛  a11 a12  a1n b1    a a22  a2 n b2  ( A, B )   21         a  amn bm   m1 am 2 La caracterización antedicha viene dada por el siguiente resultado. Teorema 3. Teorema de ROCHÉ. Un sistema de ecuaciones lineales es compatible ⟺ el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Lo aceptamos sin demostración. El rango y los determinantes A continuación se verá la estrecha relación que existe entre el concepto de rango y el de determinante y se estudiará sus consecuencias. Sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑚×𝑛 y si se fijan cualesquiera 𝑘 filas y 𝑘 columnas de 𝐴. Se llama menor de orden 𝑘 de la matriz 𝐴 (o, simplemente menor de 𝐴) al determinante constituido por los elementos de 𝐴 que se encuentran en la intersección de las filas y columnas fijadas. 34  1 2  1 0   Ejemplo 3. Si A   2 3 4 1  , se tiene:  4 7 2 1    Menores de orden 1: 1, 2, −1, 0, 2, 3, 4, 1, 4, 7, 2,1 1 2 1 −1 1 0 1 2 2 0 2 3  Menores de orden 2: | |, | |, | |, | |, | |, | |, …… 2 3 2 4 2 1 4 7 3 1 4 7 1 2 −1 1 2 0  Menores de orden 3:|2 3 4 |, |2 3 1|, ……. 4 7 2 4 7 1 La relación entre el rango de una matriz y los determinantes está dada por el siguiente resultado. Propiedad 14. El rango de cualquier matriz 𝐴 es el orden máximo de los menores no nulos de 𝐴.  0 1  1 0 0   1 −1 Ejemplo 4. Si A   0 2 3 0 0  , entonces 𝑟(𝐴) = 2, pues | | ≠ 0 (es decir,  0 0 0 0 0 2 2   hay un menor no nulo de orden 2) y todo menor de orden 3 es nulo por tener una línea de ceros. En realidad, la propiedad que enuncia la propiedad anterior no es útil en la práctica, salvo en casos muy simples como el del ejemplo. Su utilidad reside en algunas importantes e inmediatas consecuencias que se destacan a continuación (y cuyas justificaciones se proponen como ejercicio al lector). Cualquiera sea 𝐴 ∈ 𝑅𝑛 , resulta: 𝑟(𝐴) < 𝑛 ⟺ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 ⟺ 𝐴 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 (ó: 𝑟(𝐴) = 𝑛 ⟺ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 ⟺ 𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒) y, reuniendo esto con lo visto en sistemas de ecuaciones: Si (𝑆) es un sistema cuadrado y compatible, entonces: (𝑆) es indeterminado⟺ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 ⟺ 𝐴 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 (ó: (𝑆) es determinado⟺ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 ⟺ 𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 35 y, en particular, para los sistemas homogéneos (𝑆𝐻𝑐 ) (cuadrados) (𝑆𝐻𝑐 ) tiene soluciones no triviales⟺ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 ⟺ 𝐴 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 (ó: (𝑆𝐻𝑐 ) tiene sólo la solución trivial⟺ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 ⟺ 𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 Así, por ejemplo, este último resultado dice que el sistema: 2𝑥 − 𝑧 = 0 (𝑆) { 𝑥 + 3𝑧 = 0 −𝑥 + 𝑧 = 0 2 0 −1 tiene soluciones no triviales, pues su determinante: | 1 0 3 |, es nulo. −1 0 1 El resultado anterior es útil para determinar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de 𝑛 vectores de 𝑅 𝑛 , porque la misma puede establecerse calculando el determinante cuyas líneas (filas o columnas) son esos vectores. En efecto, si se supone, por ejemplo, que se quiere determinar si los vectores (1,0,2), (0,3,1), (0,2,2), son l.i. o l.d. El planteo de la ecuación: 𝛼(1,0,2) + 𝛽(0,3,1) + 𝛾(0,2,2) = (0,0,0) Conduce a un sistema homogéneo, en las incógnitas 𝛼, 𝛽 y 𝛾, que tendrá soluciones no triviales sí y sólo si su determinante es nulo. Como las columnas de este determinante son los vectores dados (verificar), es decir: 1 0 0 |0 3 2| = 8 ≠ 0 2 −1 2 se deduce que esos vectores son l.i. Puesto que, además, los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales se puede concluir que: Un conjunto de 𝑛 vectores de 𝑅 𝑛 es l.i. (l.d) ⟺ el determinante cuyas líneas paralelas son esos vectores, es distinto de (igual a) 0 Asimismo, dado que un conjunto de vectores es l.d. si y sólo si uno de ellos es combinación lineal de los restantes, de lo anterior se deduce que: 36  Un determinante es nulo ⟺ una de sus líneas es combinación lineal de líneas paralelas 1 0 1 2 0 1 2 1 Por ejemplo: Es nulo porque la 4ª fila es -2 por la fila 1ª más la 3ª. 2 1 1 0 0 3 0 4 𝑎 𝑏 3𝑎 − 𝑏 El determinante: | 𝑐 𝑑 3𝑐 − 𝑑 | es nulo, cualesquiera sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 y 𝑓 ∈ 𝑅. 𝑒 𝑓 3𝑒 − 𝑓 37