Álgebra: Matrices y Determinantes PDF

Álgebra 2.1 MATRICES Y DETERMINANTES Carles Cardó ([email protected])1 1 Departamento de Cièncias Básicas Universitat Intenacional de Catalunya 13 de setembre de 2022 Outline 1 Matrices 2 Matrices cuadradas 3 Determinantes 4 Matriz inversa 5...

Álgebra 2.1 MATRICES Y DETERMINANTES Carles Cardó ([email protected])1 1 Departamento de Cièncias Básicas Universitat Intenacional de Catalunya 13 de setembre de 2022 Outline 1 Matrices 2 Matrices cuadradas 3 Determinantes 4 Matriz inversa 5 Rango Denición de matriz Llamamos matriz M a un conjunto de m × n elementos distribuidos en m las y n columnas:   a11 a12 · · · a1n i = 1, 2,... , m  a21 a22 · · · a2n  M=.......  = (aij ) donde   .....  j = 1, 2,... , n am1 am2 · · · amn El conjunto de las matrices con m las y n columnas se simboliza por Mm×n. Algunos tipos de matrices Matriz cuadrada: A ∈ Mm×n es cuadrada si y sólo si m = n. Algunos tipos de matrices cuadradas importantes son: Matriz triangular inferior Matriz triangular superior Matriz diagonal Matrid identidad, se simboliza por I Matriz rectangular: A ∈ Mm×n es estrictamente rectangular si y sólo si m 6= n Algunos tipos de matrices rectangulares importantes son: Vector la: m = 1 Vector columna: n = 1 Álgebra de matrices suma de matrices Condición necesaria para la suma de matrices Para que dos matrices A, B se puedan sumar (o restar) deben coincidir en orden, es decir, deben tener el mísmo número de las y de columnas ∃ A + B ⇐⇒ A, B ∈ Mm×n Dadas A, B ∈ Mm×n su suma es igual a: ··· ···     a11 a12 a1n b11 b12 b1n  a21 a22 ··· a2n   b21 b22 ··· b2n  .......  + ........  =     .....  ....  am 1 am 2 ··· amn bm1 bm2 ··· bmn ···   a11 + b11 a12 + b12 a1n + b1n  a21 + b21 a22 + b22 ··· a2n + b2n  =........  ....    am1 + bm1 am2 + bm2 ··· amn + bmn Álgebra de matrices Producto de una matriz por un escalar Para multiplicar una matriz por un escalar k se multiplican todos sus elementos por dicho escalar. Dada una matriz A ∈ Mm×n y un escalar k ∈ R   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  k ·A=k ·......  =   ......  am1 am2 · · · amn   k · a11 k · a12 · · · k · a1n  k · a21 k · a22 · · · k · a2n  =........  ....    k · am1 k · am2 · · · k · amn Álgebra de matrices Producto de matrices Condición necedsaria para el producto de matrices Para multiplicar dos matrices se debe cumplir que el número de columnas de la primera sea igual al número de las de la segunda La matriz producto resultante tiene tantas las como la primera y columnas como la segunda. Dadas las matrices A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p su producto es igual ··· ··· ···      a11 a12 a1n b11 b12 b1p c11 c12 c1p  a21 a22 ··· a2n   b21 b22 ··· b2p   c21 c22 ··· c2p  ....... ·........  = ........       ..... ....  ....  am 1 am 2 ··· amn bn1 bn2 ··· bnp cm 1 cm 2 ··· cmp Cada elemento cij de la matriz producto es el resultado de la suma de los productor de cada uno de los elementos de la la i por los de la columna j : n X cij = aik · bkj = ai 1 · b1j + ai 2 · b2j + · · · + ain · bnj k=1 Álgebra de matrices Propiedades del producto de matrices Siempre y cuando se puedan realizar los siguientes productos, se tiene que: (i) Asociativa: A · (B · C ) = (A · B) · C (ii) No conmutativa (en general): A · B 6= B · A (iii) Distributiva respecto la suma: A · (B + C ) = A · B + A · C (iv) Elemento neutro: A · I = I · A = A Dado que la suma de matrices es siempre un grupo, en particular se tiene que: Proposición La estructura (Mn×n , +, ·) es un anillo (no conmutativo). Matriz traspuesta Sea A ∈ Mm×n ; denimos como matriz traspuesta de A la matriz que resulta de intercambiar en la matriz A las por columnas, y la denominamos At. Sea A ∈ Mm,n su matriz traspuesta es   a11 a21 · · · am1  a12 a22 · · · am2  At = .......   .....   a1n a2n · · · amn Propiedades 1 ∀ A, B ∈ Mm×n , (A + B)t = At + B t 2 A ∈ Mm×n , B ∈ Mn,p , (A · B)t = B t · At 3 ∀ A ∈ Mm×n , ∀k ∈ R, (k · A)t = k · (At ) 4 ∀A ∈ Mm×n , (At )t = A Matriz escalonada Diremos que una matriz A ∈ Mm×n es escalonada si cumple las siguientes características: El primer elemento de la matriz a11 debe ser igual a 1. El primer coeciente no nulo de cada la es 1, y se llama el pivote de la la. El pivote de cada la (a partir de la segunda) se encuentra estrictamente a la derecha del pivote de la la anterior. Las las enteramente formadas por 0 se encuentran en la parte inferior de la matriz. Una matriz escalonada se dice reducida si los elementos de arriba del pivote también son ceros. 1 0 0 23 1 9 1 1 1 2 3 4        0 1 0 1   0 1 3 2   0 3 7 2  2 0 0 1 0 0 0 1 3 0 2 0 0 Matriz escalonada Toda matriz A ∈ Mm×n puede llevarse por operaciones elementales de las a la forma escalonada. Operaciones elementales (GAUSS) 1 Intercambio de las Fi ↔ Fj 2 Multiplicación de una la por un escalar k ∈ R ⇒ k · Fi 3 Sumarle a la la i la la j multiplicada por un escalar k ∈ R ⇒ Fi + k · F j Ejercicio: Encontrar la forma escalonada y la forma escalonada reducida de la siguiente matriz 1 3 5 3    0 2 3 1  0 0 3 0 Matrices cuadradas Tipos de matrices cuadradas MATRIZ SIMÉTRICA: A ∈ Mn es simétrica si A = At , es decir, si coincide con su traspuesta: aij = aji MATRIZ ANTISIMÉTRICA: A ∈ Mn es antisimétrica si At = −A, es decir, si verica que aji = −aji , con lo cual los elementos de la diagonal principal son nulos. Determinante de una matriz cuadrada Determinante El determinante es un número que se assigna a una matriz cuadrada y que nos da información algebraica de la matriz. Dada la matriz A se denota el determinante indistintamente como det(A) o bien |A| Atención! cuando el orden de la matriz es grande no es fácil calcularlo. Vamos a ver la fórmula general y luego algunos casos particulares. Determinante de una matriz cuadrada Menor complementario Dada A ∈ Mn×n una matriz cuadrada y aij un elemento de dicha matriz, denominamos submatriz complementaria A∗ij del elemento aij de A a la submatriz que resulta de suprimir la la i y la columna j de la matriz A. Se denomina menor complementario al determinante de la submatriz complementaria. Ejemplo: Dada la submatriz A calcula el menor complementario del elemento a22 (solo la matriz) 3 1 0 2    2 3 0 2 1 5 3  A=  5 det(A22 ) = 5 2 6 0 2 6   −1 4 3 −1 2 4 3 Determinante de una matriz cuadrada Adjunto Sea A ∈ Mn una matriz cuadrada y aij un elemento de dicha matriz; denominamos adjunto αij de aij al valor que resulta de multiplicar el menor complementario del elemento aij por (−1)i+j αij = (−1)i+j det(A∗ij ) Ejemplo: Calcular el adjunto del elemento a22 de la matriz del ejemplo anterior 3 0 2 2+2 α22 = (−1) · 5 2 6 −1 4 3 Determinante de una matriz cuadrada Caso general El determinante de una matriz cuadrada de orden n se obtiene a partir de la suma de los elementos de una la (o columna) multiplicados cada uno de ellos por sus respectivos adjuntos, es decir, dada una matriz cuadrada A: Fórmula de Laplace n n aij · (−1)i+j det(A∗ij ) X X |A| = aij · αij = i=1 i=1 Determinante de una matriz cuadrada Casos particulares Determinante de matrices de orden 1 × 1 |a11 | = a11 Determinante de matrices de orden 2 × 2 a11 a12 = a11 · a22 − a21 · a12 a21 a22 Determinante de matrices de orden 3 × 3 (Regla de Sarrus) a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 ·a22 ·a33 +a21 ·a32 ·a13 +a31 ·a23 ·a12 − a31 a32 a33 − (a13 · a22 · a31 + a23 · a32 · a11 + a33 · a21 · a12 ) Determinante de una matriz cuadrada Propiedades de los determinantes Sea A una matriz cuadrada: 1 Su determinante coincide con el de su traspuesta 2 Al intercambiar dos las o columnas el determinante de la matriz que resulta cambia de signo 3 Si multiplicamos una la o columna por un escalar k ∈ R, el determinante queda multiplicado por k 4 Si todos los elementos de una la o columna de una matriz son nulos, el determinante de la matriz es cero. 5 Si tiene dos las o columnas iguales el determinante es cero 6 Si tiene dos las o columnas proporcionales el determinante es cero 7 Si una la y/o columna es combinación lineal de otras las o columnas el determinante es nulo Determinante de una matriz cuadrada Propiedades de los determinantes Sea A una matriz cuadrada: 8 Si todos los elementos de una la o columna son suma de dos sumandos, el determinante se puede escribir como suma de dos determinantes 9 El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de dichas matrices: |A · B| = |A| · |B| 10 El determinante del producto de un escalar k ∈ R por una matriz cuadrada A se obtiene del siguiente modo: |k · A| = k n · |A| 11 Si a una la o columna de la matriz cuadrada le sumamos una combinación lineal de las otras las o columnas el determinante no varía. Matriz inversa Denición Dada una matriz cuadrada A, denominamos matriz inversa de A y la simbolizamos por A−1 , aquella matriz que verica la siguiente igualdad: A−1 · A = A · A−1 = I Condiciones Para que una matriz A tenga inversa se debe cumplir que: 1 A debe ser cuadrada 6 0, y entonces a la matriz A se le llama regular. 2 |A| = Matriz inversa Cálculo mediante las operaciones elementales o GAUSS Dada una matriz regular A ∈ Mn×n , podemos obtener su inversa A−1 mediante las operaciones elementales Colocamos nuestra matriz A y la matriz identidad de orden n de la siguiente forma a11 a12 · · · a1n 1 0 · · · 0    a21 a22 · · · a2n 0 1 · · · 0  ................    ........  am1 am2 · · · amn 0 0 · · · 1 Mediante las operaciones elementales tenemos que obtener el siguiente resultado, siendo la matriz de la derecha la inversa A−1. 1 0 ··· 0   b11 b12 ··· b1n  0 1 ··· 0 b21 b22 ··· b2n ................   ........    0 0 ··· 1 bm1 bm2 · · · bmn Matriz inversa Cálculo mediante determinantes Matriz adjunta: Sea A una matriz cuadrada; llamamos matriz adjunta de A a aquella que resulta de sustituir cada elemento aij de A por su adjunto, y la simbolizamos como A∗ Matriz conjugada: Dada A una matriz cuadrada, llamamos matriz conjugada de A a la traspuesta de la matriz adjunta (A∗ )t PROPIEDAD: (A∗ )t · A = A · (A∗ )t = |A| · In A partir de la propiedad anterior podemos deducir: (A∗ )t · A A · (A∗ )t |A| · I (A∗ )t · A A · (A∗ )t = = ⇒ = =I |A| |A| |A| |A| |A| (A∗ )t Por lo tanto A−1 = |A| Matriz inversa Cálculo mediante determinantes Consejo: Dado que calcular determinantes requiere de muchas operaciones es altamente aconsejable utilizar el método de Gauss. Matriz inversa Propiedades de la matriz inversa 1 Dada una matriz regular A, su matriz inversa es única 2 ∀ A, B ∈ Mn regulares, (A · B)−1 = B −1 · A−1 3 ∀ A ∈ Mn regular y ∀ k ∈ R 1 (k · A)−1 = · A−1 k 4 (A−1 )−1 = A 5 (At )−1 = (A−1 )t 1 6 |A−1 | = |A| Rango de una matriz Denición Sea A ∈ Mm×n ; denominamos rango de dicha matriz A y lo simbolizamos por Rg(A) es el orden de la mayor submatriz cuadrada de A cuyo determinante sea distinto de cero (el determinante de dicha submatriz se denomina menor). el rango de una matriz Rg(A) también es el numero de pivotes que tiene una matriz. Observación El rango de una matriz no podrá ser mayor que el menor valor entre m y n del orden de la matriz, es decir, cómo máximo igual al mayor orden de la mayor submatriz cuadrada que podamos obtener a partir de la matriz dada. Rg(A) ≤ min{m, n} Rango de una matriz Cálculo mediante determinantes 1 Tomamos una submatriz cuadrada de A cuyo determinante sea distinto de cero, siendo r el orden de dicha submatriz. 2 Calculamos los determinantes de todas las submatrices de orden superior (r + 1) que se pueden formar como resultado de añadir una nueva la y una nueva columna de la matriz A a la submatriz anterior del apartado uno (esto se denomina orlar una submatriz) si son todo nulos, el rango de la matriz A es r si existe un determinante de una submatriz de orden r +1 distinto de cero repetiremos el proceso, y así sucesivamente hasta que no podamos obtener una submatriz cuadrada de orden mayor Rango de una matriz Cálculo mediante GAUSS Sea A ∈ Mm×n sabemos que mediante las operaciones elementales o GAUSS la podemos llevar a su forma escalonada reducida. Operaciones elementales (GAUSS) 1 Intercambio de las Fi ↔ Fj 2 Multiplicación de una la por un escalar k ∈ R ⇒ k · Fi 3 Sumarle a la la i la la j multiplicada por un escalar k ∈ R ⇒ Fi + k · F j El rango de la matriz A es igual al número de pivotes de la matriz escalonada reducida. Rango de una matriz Cálculo mediante GAUSS Consejo! Depende de la forma en que tengamos la matriz, para calcular su rango será mejor uno u otro método. Pero para muchos ejercicios es muy útil el cálculo mediante determinates.