Matemáticas: Notación y Operaciones de Matrices
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Questions and Answers

¿Cómo se denota la fila i-ésima de una matriz A?

  • Ai = (aij)
  • Ai = (aij, aji)
  • Ai = (a1i, a2i, · · ·, ami)
  • Ai = (ai1, ai2, · · ·, ain) (correct)

¿Qué representa aij en una matriz A?

  • La entrada en la fila i y columna j (correct)
  • La fila i-ésima de la matriz A
  • La columna j-ésima de la matriz A
  • El número total de entradas en la matriz A

¿Qué sucede con la dimensión de las matrices cuando se suman o se multiplica por un escalar?

  • La dimensión cambía a un número mayor.
  • Las dimensiones deben ser diferentes.
  • La dimensión se vuelve indefinida.
  • La dimensión permanece igual. (correct)

¿Dónde se debe cumplir la regla de dimensión para multiplicar matrices A y B?

<p>A debe ser de tamaño m x p y B de tamaño p x n. (C)</p> Signup and view all the answers

Si A es una matriz de dimensiones m × n, ¿cuántas columnas tiene?

<p>n (C)</p> Signup and view all the answers

Si se utiliza la notación A = (aij), ¿qué se está denotando?

<p>La matriz A y sus elementos (D)</p> Signup and view all the answers

Para el producto de matrices A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×1, ¿qué forma tendrá el resultado C?

<p>C ∈ Mm×1. (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué condición se debe cumplir para sumar dos matrices?

<p>Deben tener exactamente la misma dimensión. (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa sobre las matrices?

<p>Las columnas están representadas por A (D)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la entrada cij en el producto de matrices definidas por el producto punto?

<p>cij = ai1 * bi1 + ai2 * bi2 + ... + aip * bip. (A)</p> Signup and view all the answers

Si A tiene dimensiones 3 × 4, ¿cuántas entradas tendrá A?

<p>12 (D)</p> Signup and view all the answers

Si A es una matriz de tamaños 3x2, ¿cuál es la dimensión máxima de una matriz B que se puede multiplicar por A desde la derecha?

<p>2x3. (B), 2x3. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué indica la dimensión de una matriz A denotada como m × n?

<p>La cantidad de filas y columnas (B)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes notaciones se refiere a una columna de la matriz A?

<p>Aj (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta sobre la multiplicación de matrices?

<p>El resultado de A·B tiene como dimensiones m x n si A es m x p y B es p x n. (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué implica la operación A+B cuando A y B tienen dimensiones diferentes?

<p>La operación no está definida. (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué condición se cumple para que se tenga la igualdad (A + B)(A − B) = A² − B²?

<p>A y B conmutan. (A)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el resultado de multiplicar la matriz A por el vector X en el contexto descrito?

<p>Un vector en Rm. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué significa que el producto de matrices no es conmutativo en general?

<p>A × B puede ser diferente de B × A. (C)</p> Signup and view all the answers

En la expresión A(A − B) + B(A − B), ¿qué se está representando?

<p>La multiplicación de matrices. (D)</p> Signup and view all the answers

El término AB − BA se utiliza para probar que A y B conmutan. ¿Qué representa este término?

<p>La diferencia entre los productos de matrices. (A)</p> Signup and view all the answers

¿Qué ocurre con los elementos de la matriz al transformar un vector en Rn mediante la matriz A?

<p>Se combinan mediante suma y multiplicación. (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la forma general de expresar la acción de la matriz A sobre el vector X?

<p>A · X = Rm. (C)</p> Signup and view all the answers

Si A y B no conmutan, ¿qué se puede afirmar sobre la relación (A + B)(A − B) = A² − B²?

<p>Es siempre falsa. (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la propiedad que describe cómo se comporta la imagen de la suma mediante la función $T_A$?

<p>$T_A(X + Y) = T_A(X) + T_A(Y)$ (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué significa que un conjunto es cerrado bajo suma y multiplicación por un escalar?

<p>La combinación de elementos de ese conjunto siempre resulta en un elemento dentro del conjunto. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la definición de $N(A)$ en relación con la función $T_A$?

<p>El conjunto de todos los vectores $X$ tales que $A imes X = 0$. (A)</p> Signup and view all the answers

¿Qué representa el conjunto $Im(A)$?

<p>El conjunto de vectores que son la imagen de la multiplicación de cualquier vector por la matriz $A$. (B)</p> Signup and view all the answers

¿Cómo se comporta la función $T_A$ con respecto a un múltiplo escalar?

<p>$T_A(λX) = λT_A(X)$ (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué indica la ecuación $T_A(X + Y) = T_A(X) + T_A(Y)$ sobre la función $T_A$?

<p>Indica que $T_A$ es lineal. (C)</p> Signup and view all the answers

Cuando dos vectores $X_1$ y $X_2$ pertenecen a $N(A)$, ¿qué se puede afirmar sobre $λX_1$?

<p>$λX_1$ siempre pertenece a $N(A)$, sin importar el valor de $λ$. (D)</p> Signup and view all the answers

¿Qué conclusión se puede extraer de que $T_A$ sea inducida por la matriz $A$?

<p>La representación de $T_A$ se basa en las operaciones de matrices. (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué representa el conjunto N(A) en relación a la matriz A?

<p>Conjunto de vectores que se multiplican para dar cero (C)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es la condición necesaria para que un vector X esté en N(A)?

<p>A · X = TA(X) = 0 (C)</p> Signup and view all the answers

Al calcular TA(X) = A · X, ¿cuál es el resultado de aplicar TA a un vector X en R3?

<p>Un vector en R2 (B)</p> Signup and view all the answers

¿Qué sistema de ecuaciones se deriva de TA(X) = 0?

<p>a − b = 0, 2a + b − c = 0 (B)</p> Signup and view all the answers

Si X pertenece a N(A), ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

<p>Los valores de a, b y c son todos iguales (A)</p> Signup and view all the answers

¿Cuál es el dominio de la función TA inducida por la matriz A?

<p>R3 (C)</p> Signup and view all the answers

Al calcular la imagen de la matriz A, ¿qué se debe considerar?

<p>Las transformaciones resultantes de TA aplicadas a R3 (C)</p> Signup and view all the answers

¿Qué significa que TA(X) = A · X = 0?

<p>El vector X es el vector nulo (D)</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Notación de Matrices

  • Una matriz de dimensión m x n se denota como:
    • A = (aij) donde (aij) representa la entrada de la matriz en la fila i y columna j.
  • Fila i-ésima de la matriz A se denota como Ai = (ai1, ai2, ..., aij, ..., ain).
  • Columna j-ésima de la matriz A se denota como   a1j . . . j   A =   aij   . ..   amj

Suma y Multiplicación de Matrices

  • La suma de matrices A y B de dimensión m x n se realiza componente a componente.
  • La multiplicación de una matriz A por un escalar λ ∈ R, se realiza componente a componente.
  • Reglas de Dimensión para Multiplicación de Matrices:
    • A ∈ Mm×p y B ∈ Mp×n para obtener una matriz C ∈ Mm×n.
    • La entrada cij de la matriz C se obtiene como el producto punto entre la fila i-ésima de A y la columna j-ésima de B.
    • cij = Ai · B j = ai1, ai2, ..., aip ·   b1j  b 2j  .... = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + · · · + aip bpj.   bpj

Producto de Matrices y la Función TA

  • Si A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×1, el producto A · B resulta en una matriz C ∈ Mm×1.
  • Una matriz A ∈ Mm×n puede ser vista como una función TA: Rn → Rm que actúa mediante la multiplicación de la matriz A por un vector X ∈ Rn.
  • TA(X) = A · X.

Propiedades Importantes de TA

  • Linealidad: TA satisface las siguientes propiedades:
    • TA(X + Y) = TA(X) + TA(Y)
    • TA(λ.X) = λ.TA(X)

Conjuntos N(A) e Im(A)

  • N(A): Espacio nulo o núcleo de A, es el conjunto de todos los vectores X ∈ Rn que son mapeados a 0 por A, es decir, aquellos que cumplen A · X = 0.
    • N(A) = {X ∈ Rn | A · X = TA(X) = 0}
  • Im(A): Espacio columna o rango de A, es el conjunto de todos los vectores Y ∈ Rm que son la imagen de algún vector X ∈ Rn, es decir, aquellos que se pueden escribir como Y = TA(X).
    • Im(A) = {Y ∈ Rm | Y = TA(X) para algún X ∈ Rn}

Propiedades de N(A) e Im(A)

  • Ambos son cerrados con respecto a la suma y la multiplicación por un escalar.
  • Esto significa que la suma de dos elementos de N(A) o Im(A) también pertenece al conjunto, y la multiplicación de un elemento por un escalar también pertenece.

Ejemplo de N(A) e Im(A)

  • Ejemplo 4:
    • Considera la matriz A = ! 1 −1 0 . 2 1 −1
    • TA : R3 → R2, donde TA(X) = A · X para cualquier vector X ∈ R3.
    • Para hallar N(A), encuentra las soluciones del sistema de ecuaciones: a−b = 0 2a + b − c = 0
    • Soluciones: a = b y c = 3b, entonces, X =   a   ∈ N(A) si y solo si X=  b  = b ·  1 . c 1 3

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Description

Este cuestionario cubre la notación de matrices y las operaciones básicas, como la suma y la multiplicación. Aprenderás cómo se representan las matrices y las reglas importantes para trabajar con ellas. Ideal para estudiantes que deseen reforzar sus conocimientos en álgebra lineal.

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