Sucesiones 2023 PDF

FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INFORMATICA LICENCIATURA EN SISTEMAS MATEMATICA DISCRETA APUNTES DE CÁTEDRA SUCESIÓN E INDUCCIÓN MATEMÁTICA Ing. Adelina García 21/03/2023  MATEMATICA DISCRETA 2023...

FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INFORMATICA LICENCIATURA EN SISTEMAS MATEMATICA DISCRETA APUNTES DE CÁTEDRA SUCESIÓN E INDUCCIÓN MATEMÁTICA Ing. Adelina García 21/03/2023  MATEMATICA DISCRETA 2023 SUCESIÓN e INDUCCIÓN MATEMÁTICA Una de las tareas más importantes de la matemática es descubrir y caracterizar patrones regulares, tales como los rela- cionados con los procesos que se repiten. La estructura matemática que se utiliza en estos procesos es la sucesión y la herramienta matemática que se utiliza para comprobar suposiciones acerca de las sucesiones es la inducción matemá- tica. SUCESIÓN Definición 1: Una sucesión es una función que a cada número natural le hace corresponder un número real bien definido 𝑓: 𝑁 → 𝑅 / 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) Definición 2: Sucesión es un conjunto infinito ordenado de números reales, repetidos o no, que están en correspondencia con los números naturales. En una sucesión de números, hay un primer elemento (o término), un segundo elemento, un tercer elemento, etc. O sea que después de cada término sigue otro bien determinado. Obtenemos asi un conjunto ordenado de elementos Por ejemplo 1 , −2 , 3 , −4 , 5 , −6,... es una sucesión dónde el 1º término es 1, el segundo término es –2, el tercer término es 3, el cuarto término es – 4, etc. En general una sucesión se simboliza por : {𝑎𝑛 } 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , … , 𝑎𝑗−1 , 𝑎𝑗 , 𝑎𝑗+1 , … , 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛+1 , … dónde el subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. Así : a2 es el 2º término de la sucesión a5 es el 5º término de la sucesión aj es el j- ésimo término de la sucesión an es el n-enésimo término de la sucesión.................................................... aj+1 es el término que sigue a aj aj-i es el término que precede a aj En la sucesión dada como ejemplo tendríamos 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1. 𝑛 2  MATEMATICA DISCRETA 2023 Verificación: 𝑎3 = (−1)3+1. 3 = (−1)4. 3 = 3 𝑎4 = (−1)4+1. 4 = (−1)5. 4 = −4 La expresión 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) recibe el nombre de término general y es la fórmula que permite calcular cualquier término de la sucesión dada. Cuando se estudian sucesiones, se puede encontrar dos situaciones : 1) Conocer el término general de la sucesión y que se pida el término para un número n cualquiera. Ejemplo: Dado el término general encuentre a 10 , o sea el décimo término de la sucesión 2𝑛 + 3 𝑎𝑛 = 𝑛3 En esta expresión, reemplazamos n por 10, obteniéndo: 2.10 + 3 23 𝑎10 = 3 = 10 1000 2) Tener una sucesión de números reales y a partir de ellos encontrar el término general de ésta. Ejemplo 7 9 11 13 Sea la sucesión: 5, 8 , 27 , 64 , 125 , … ¿Cuál es el término general? Al observar los numeradores de los términos, se encuentra que ellos son: 5, 7, 9, 11, 13,... es decir, los números impares a partir del 5. Esos numeradores pueden calcularse usando la expresión 2n+3, reemplazando n sucesivamente por 1, 2, 3, 4, etc. Los denominadores son 1, 8, 27, 64, 125 o sea 13, 23, 33, 43, 53. En general n3. Entonces, el término general de la sucesión dada será: 2𝑛+3 𝑎𝑛 = 𝑛3 Cuando se busca el término general algunas reglas para tener en cuenta son: a) Si es una sucesión de números pares su término general es 2n. b) Si es una sucesión de números impares su término general es de la forma 2n + 1 o también puede ser de la forma 2n - 1 , depende en que término comienze la sucesión c) Si la sucesión tiene signos negativos intercalados, en su término general habrá una expresión que contenga el factor (−1)𝑛 si el primer término tiene signo negativo ó el factor(−1)𝑛+1 si el primer término es positivo. 3  MATEMATICA DISCRETA 2023 Tipos de sucesiones Sucesiones explícitas Cuando se logra conocer el término general de la misma y se puede obtener cualquier término de la sucesión a partir de la misma. Ejemplo: 2𝑛+3 𝑎𝑛 = 𝑛3 Si reemplazamos a n por los valores de 1 , 2 y 3 tendremos la sucesión de los siguientes números 7 9 5, 8 , 27 , … Sucesión finita Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo: Ejemplo: 50, 49, 48,... , 1, 0. Sucesión constante Se dice que una sucesión es constante si todos los términos tienen un mismo valor, es decir, un mismo número real cualquiera. Ejemplo: si queda como 3, 3, 3, 3,... ,3 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 3. Sucesiones crecientes o decrecientes Las sucesiones crecientes son aquellos en las cuales los términos van en aumento Ejemplo: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,... 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,... Las sucesiones decrecientes son aquellas en las cuales los términos van decreciendo paulatinamente. Ejemplo: 15, 12, 9, 6, 3, 0, -3,... Sucesiones recurrentes(recursivas) o implícitas Cuando no es posible encontrar un término general para una sucesión, una manera de resolver la situación es el uso de la recursividad. Para ello es necesario dar una ecuación, llamada relación de recurrencia, que define cada término más adelante en la sucesión en funcion de términos anteriores y también en función de uno o más valores iniciales de la sucesión 4  MATEMATICA DISCRETA 2023 El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores. Ejemplos de sucesiones recurrentes o recursivas son las sucesiones aritmética y geométrica. Ejemplo: Dada la siguiente sucesión de números 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... conocida como sucesión de Fibonacci Si observamos la sucesión de números vemos que el tercer término es igual a la suma de los dos términos anteriores y así sucesivamente. Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 para n= 2,3,4,5,… Partiendo de los primeros valores predeterminados: 𝑎0 = 0 y 𝑎1 = 1 se obtienen los siguientes números: 𝑎2 = 1 , 𝑎3 = 2, 𝑎4 = 3 , 𝑎5 = 5, 𝑎6 = 8, … Esta sucesión ha sido estudiada ampliamente y tiene mútiples aplicaciones y también se conoce su término general en forma explícita que esta dado en función del número áureo. 𝑛 𝑛 1 1 + √5 1 − √5 1 + √5 𝑎𝑛 = [( ) −( ) ] 𝜑= = 1,6180 … √5 2 2 2 1 1 𝑛 𝑎𝑛 = √5 [𝜑𝑛 −( ) ] 𝜑 Suma de los términos de una sucesión Definición Cuando los sumandos de una suma se deducen todos de una misma expresión dándole los valores sucesivos a una indeterminada (o índice) que aparece en ella, la suma se puede expresar en forma más abreviada, anteponiéndole a dicha expresión el símbolo  (sigma mayúscula), colocando por debajo y por arriba de éste, el primero y el último valor que toma dicho índice. Dada una sucesión puede ocurrir, a veces, que se desee calcular la suma de algunos de los términos de la sucesión. ∑𝑛𝑘=𝑚 𝑎𝑘 = 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 + 𝑎𝑚+2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 Llamamos a k el subíndice de la suma, a m el límite inferior de la suma y a n el límite superior de la suma. Por ejemplo en la sucesión que se dió como ejemplo en la página 1, se quiere calcular la suma del 3º, 4º y 5º términos. Esa suma será: 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 = 3 + (−4) + 5 = 4 Sintéticamente se podría haber expresado esta suma usando el símbolo  (suma) acompañado del término general. 5  MATEMATICA DISCRETA 2023 ∑5𝑛=3(−1)𝑛+1. 𝑛 que se lee: “Suma desde n = 3 hasta 5 de (−1)n+1. n” ∑5𝑛=3(−1)𝑛+1. 𝑛 = (−1)3+1. 3 + (−1)4+1. 4 + (−1)5+1. 5 ∑5𝑛=3(−1)𝑛+1. 𝑛 = (−1)4. 3 + (−1)5. 4 + (−1)6. 5 = 3 − 4 + 5 = 4 Ejemplo 2𝑛+3 Calcular la suma de los ocho primeros términos de la sucesión cuyo término general es 𝑎𝑛 = 𝑛3 8 2𝑛 + 3 2.1 + 3 2.2 + 3 2.3 + 3 2.4 + 3 2.5 + 3 2.6 + 3 2.7 + 3 2.8 + 3 ∑ = + + + + + + + 𝑛3 13 23 33 43 53 63 73 83 𝑛=1 8 2𝑛 + 3 7 9 11 13 15 17 19 ∑ =5+ + + + + + + 𝑛3 8 27 64 125 216 343 512 𝑛=1 Propiedades de la sumatoria 𝑘 𝑘 1°) ∑ 𝜆. 𝑎𝑛 = 𝜆 ∑ 𝑎𝑛 𝜆 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛=1 𝑛=1 Demostración: ∑𝑘𝑛=1 𝜆. 𝑎𝑛 = 𝜆 𝑎1 + 𝜆𝑎2 + 𝜆𝑎3 + ⋯ + 𝜆𝑎𝑘−1 + 𝜆𝑎𝑘 Desarrollamos la sumatoria ∑𝑘𝑛=1 𝜆. 𝑎𝑛 = 𝜆 (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘 ) sacando factor común λ ∑𝑘𝑛=1 𝜆. 𝑎𝑛 = 𝜆 ∑𝑘𝑛=1 𝑎𝑛 que es lo que se quería demostrar. 𝑗 2º) ∑𝑘𝑛=1 𝑎𝑛 = ∑𝑛=1 𝑎𝑛 + ∑𝑘𝑛=𝑗+1 𝑎𝑛 1 1 Suma de una sucesión aritmética 8  MATEMATICA DISCRETA 2023 Teorema: La suma de n términos de una Sucesión Aritmética es igual a la semisuma del primero y el último término, multiplicada por el número de términos. 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 𝑺𝒏 = ( ).𝒏 𝟐 Demostración 𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 (1) Se invierte ahora el orden de los sumandos: 𝑆 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋯ + 𝑎3 + 𝑎2 +𝑎1 (2) Sumando miembro a miembro las igualdades (1) y (2) 2𝑆 = (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + ( 𝑎2 + 𝑎𝑛−1 ) + (𝑎3 + 𝑎𝑛−2 ) + ⋯ + (𝑎𝑛−2 + 𝑎3 ) + (𝑎𝑛−1 + 𝑎2 ) + (𝑎𝑛 + 𝑎1 ) Pero (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) = ( 𝑎2 + 𝑎𝑛−1 ) = (𝑎3 + 𝑎𝑛−2 ) = ⋯ = (𝑎𝑛−2 + 𝑎3 ) = (𝑎𝑛−1 + 𝑎2 ) = (𝑎𝑛 + 𝑎1 ) ⇒ 2𝑆 = (𝑎1 + 𝑎𝑛 ). 𝑛 (𝑎1 +𝑎𝑛 ) ⇒𝑆= 2.𝑛 que es lo que se quería demostrar (𝑎1 +𝑎𝑛 ).𝑛 También podemos expresar la sumatoria como ∑𝑛𝑖=1[𝑎1 + 𝑑(𝑖 − 1)] = 2 Sucesiones cuadráticas Es una sucesión de términos cuyas primeras diferencias no son constantes, pero si sus segundas diferencias son cons- tantes, su término general es de la forma 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐 Ejemplo: 2 , 7 , 14 , 23 , … Primer nivel de diferencias 5, 7, 9 Segundo nivel de diferencias 2 2 Para encontrar su término general o fórmula explícita, se realizan los siguientes pasos para determinar los coeficientes de la expresión 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐 1°) La suma de los coeficientes 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 = 𝑎1 2°) El triplo del primer coeficiente más el segundo coeficiente es igual al primer elemento de las diferencias del primer nivel. Es decir 3𝑎 + 𝑏 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 3°) El duplo del primer coeficiente es igual a la diferencia constante del segundo nivel de diferencias. Es decir 2𝑎 = 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠. 9  MATEMATICA DISCRETA 2023 En el ejemplo dado sería: 𝑎+𝑏+𝑐 = 2 3𝑎 + 𝑏 = 5 2𝑎 = 2 Resolviendo a = 1, b = 2 y c = -1, con lo que el término general o fórmula explícita es 𝑎𝑛 = 𝑛2 + 2𝑛 − 1 Sucesiones cúbicas Es una sucesión de términos cuyas primeras diferencias no son constantes, las segundas diferencias no son constantes pero si sus terceras diferencias son constantes, su término general es de la forma 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛3 + 𝑏𝑛2 + 𝑐𝑛 + 𝑑 Ejemplo: 8 , 53 , 170 , 395 , 764, … Primer nivel de diferencias 45, 117 , 225, 369 Segundo nivel de diferencias 72 108 144 Tercer nivel de diferencias 36 36 Para encontrar su término general o fórmula explícita, se realizan los siguientes pasos para determinar los coeficientes de la expresión 𝒂𝑛3 + 𝒃𝑛2 + 𝒄𝑛 + 𝒅 1°) Igualar 6a a la diferencia constante del tercer nivel 2°) Igualar 12a + 2b a la primera diferencia del segundo nivel 3°) Igualar 7a + 3b + c a la primera diferencia del primer nivel 4°) Y por último igualar a + b + c +d al primer término de la sucesión (𝑎1 ) En el ejemplo dado sería: 6𝑎 = 36 12𝑎 + 2𝑏 = 72 7𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 45 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=8 Resolviendo a = 6, b = 0 , c = 3 y d = -1 con lo que el término general o fórmula explícita es 𝑎𝑛 = 6𝑛3 + 3𝑛 − 1 Sucesión Geométrica Es una sucesión de términos, dónde cada término es igual al término anterior multiplicado por un número fijo “ q” llamado razón. 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , … , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 , … Dónde: 𝑎2 = 𝑎1 𝑞 𝑎3 = 𝑎2 𝑞 = 𝑎1 𝑞𝑞 = 𝑎1 𝑞 2 𝑎4 = 𝑎3 𝑞 = 𝑎1 𝑞 2 𝑞 = 𝑎1 𝑞 3    𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 𝑞 = 𝑎1 𝑞𝑛−1 En consecuencia, el término general es: 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑞 𝑛−1 Nota: 10  MATEMATICA DISCRETA 2023 Algunos autores expresan el término general como: 𝑎𝑛 = 𝑎0 𝑞 𝑛 Es importante señalar que depende de la situación planteada se puede utilizar cualquiera de las dos expresiones. Ejemplo: Un tanque contiene 16.000 litros de agua. Cada día se usa la mitad del agua en el tanque y no se sustituye. ¿Cuánta agua queda en el tanque al final de 7 días? Del análisis, observamos que el contenido inicial del tanque es de 16000 litros de agua, al finalizar el primer día tendre- mos 8.000 litros de agua y así sucesivamente. 8.000;4.000;2000;1000;500;250; 125 La expresión que utilizaremos para resolver el problema será 𝑎𝑛 = 𝑎0 𝑞 𝑛 1 Considerando el término inicial 𝑎0 = 16.000 𝑦 𝑞 = 2 1 7 Así para el séptimo día quedara en el tanque 𝑎7 = 16.000 (2) = 125 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 Puede suceder en la práctica que se desee calcular la depreciación o los intereses acumulados en determinadas situacio- nes problemáticas se usa la sucesión geométrica, pero se va a tener en cuenta la progresividad de estas situaciones por medio de la siguiente expresión dónde 𝑞 = 1 ± 𝑟 𝑎𝑛 = 𝑎1 (1 ± 𝑟)𝑛−1 El signo depende de la situación problemática si se trata de inflación o intereses será positiva, si es depreciación o cualquier situación que reduce la razón q será un signo negativo. Ejemplo: Se predice que la matriculación en la Universidad X aumentará a la tasa de 10% anual. Si la matriculación durante 2001 fue de 5.000 estudiantes, encuentre la matriculación predicha para 2005. Exprese su respuesta al número entero positivo más cercano. En el enunciado se alude a una tasa de crecimiento del 10% anual, es decir todos los años crece un 10% del valor anterior. 5.000; 5.500; 6.050 ; 6655; 7321 Utilizaremos la expresión 𝑎𝑛 = 𝑎1 (1 ± 𝑟)𝑛−1 Dónde utilizaremos el signo positivo porque es un incremento de matrícula del 10%, por lo que la expresión nos queda de la siguiente manera 𝑎𝑛 = 5000(1 + 0,10)𝑛−1. Calculada para el año 2005 nos da como resultado 𝑎5 = 5000(1 + 0,10)4 = 7.320,5 ≅ 7.321alumnos Suma de una sucesión geométrica Teorema: La suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica es igual a 11  MATEMATICA DISCRETA 2023 (1−𝑞𝑛 ) 𝑆= 𝑎1 (1−𝑞) 𝑞≠1 Demostración 𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 Desarrollando la sumatoria 𝑆 = 𝑎1 + 𝑎1 𝑞 + 𝑎1 𝑞2 + ⋯ + 𝑎1 𝑞 𝑛−2 + 𝑎1 𝑞 𝑛−1 (1) Se multiplican ambos miembros de (1) por q y se obtiene 𝑞𝑆 = 𝑎1 𝑞 + 𝑎1 𝑞 2 + 𝑎1 𝑞 3 + ⋯ + 𝑎1 𝑞 𝑛−1 + 𝑎1 𝑞 𝑛 (2) Ahora se resta la expresión (1) menos la expresión (2) 𝑆 − 𝑞𝑆 = (𝑎1 + 𝑎1 𝑞 + 𝑎1 𝑞2 + ⋯ + 𝑎1 𝑞𝑛−2 + 𝑎1 𝑞𝑛−1 ) − (𝑎1 𝑞 + 𝑎1 𝑞 2 + 𝑎1 𝑞3 + ⋯ + 𝑎1 𝑞 𝑛−1 + 𝑎1 𝑞 𝑛 ) Eliminando paréntesis y reduciendo los términos semejantes que tenga distinto signo, se obtiene 𝑆 − 𝑞𝑆 = (𝑎1 + 𝑎1 𝑞 + 𝑎1 𝑞2 + ⋯ + 𝑎1 𝑞𝑛−2 + 𝑎1 𝑞𝑛−1 ) − 𝑎1 𝑞 − 𝑎1 𝑞 2 − 𝑎1 𝑞 3 − ⋯ − 𝑎1 𝑞 𝑛−1 − 𝑎1 𝑞 𝑛 (1−𝑞𝑛 ) 𝑆(1 − 𝑞) = 𝑎1 − 𝑎1 𝑞 𝑛 ⇒ 𝑆 = 𝑎1 (1−𝑞) 𝑞≠1 que es lo que se quería demostrar. (1−𝑞𝑛 ) O también ∑𝑛𝑖=1 𝑎1 𝑞𝑖−1 = 𝑎1 (1−𝑞) Ejemplo: Sea 2, 6, 18, 54, 162,... una sucesión geométrica donde cada término es igual al anterior multiplicado por 3, es decir que a1  2 y q  3. Entonces el término general de esa sucesión es: 𝑎𝑛 = 2. 3𝑛−1 Si se quiere calcular la suma de los 5 primeros términos de esa sucesión 5   2 1  35 21  243  2.3i 1  i 1 1 3  2  242 Verificación 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 Se pueden usar las fórmulas de las sucesiones geométricas para calcular la suma de las primeras n potencias de un número b. En ese caso el primer término es b y la razón también es b. (1−𝑏𝑛 ) ∑𝑛𝑖=1 𝑏 𝑖 = ∑𝑛𝑖=1 𝑏. 𝑏 𝑖−1 = 𝑏 (1−𝑏) (1−𝑏𝑛 ) También se puede usar ∑𝑛−1 𝑖 𝑖=0 𝑏. 𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑎0 = 1 𝑦 𝑞 = 𝑏 ∑𝑛−1 𝑖 𝑖=0 𝑏 = (1−𝑏) Ejemplo Calcular la suma de las 5 primeras potencias de 3. (1−35 ) 3 ∑5𝑖=1 3𝑖 = 3 (1−3) = − 2 (1 − 243) = 3.121 = 363 Verificación: 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363 12  MATEMATICA DISCRETA 2023 Otro ejemplo Calcular la suma de: 30 , 31 , 32 𝑦 33 (1−34 ) 1−81 ∑3𝑖=0 3𝑖 = = = 40 (1−3) −2 Verificación: 30 + 31 + 32 + 33 = 1 + 3 + 9 + 27 = 40 Productoria Cuando los factores de un producto son números que se deducen de una expresión única, en la cual figura una indeter- minada i, dándole a ésta valores sucesivos, se representa el producto más brevemente utilizando el símbolo  (pi mayúscula), que representa el producto de los términos de la sucesión en la cual se coloca un subíndice inferior y otro superior que marcan el inicio y el fin de la productoria. En la sucesión: 1, – 2, 3, – 4, 5, – 6,... el producto del 3º, 4º y 5º término es 𝑎3 ∗ 𝑎4 ∗ 𝑎5 = 3 ∗ (−4) ∗ 5 = −60 Sintéticamente se podría haber simbolizado ese producto usando el símbolo Π (producto) 5 ∏(−1)𝑛+1. 𝑛 𝑛=3 En efecto 5 ∏(−1)𝑛+1. 𝑛 = [(−1)3+1. 3] ∗ [(−1)4+1. 4] ∗ [(−1)5+1. 5] 𝑛=3 5 ∏(−1)𝑛+1. 𝑛 = 3 ∗ (−4) ∗ 5 = −60 𝑛=3 Ejemplo ∏4𝑖=2(2𝑖 − 1) = (22 − 1) ∗ (23 − 1) ∗ (24 − 1) = 3 ∗ 7 ∗ 15 = 315 Factorial de n(n!) Definición Para cada número natural n , la cantidad n factorial que se denota por n!, se define como el producto de todos los enteros de 1 a n. El factorial se simboliza: n! 𝑛! = ∏𝑛𝑖=1 𝑖 = 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) ∗ … ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 Ejemplo: 5 ! = 5.4.3.2.1 = 120 13  MATEMATICA DISCRETA 2023 Propiedad 1) Dados dos números naturales n y r, tales que r < n 𝑛! = 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) ∗ … ∗ [𝑛 − (𝑛 − 𝑟) + 1] ∗ 𝑟! Por ejemplo, siendo n = 15 y r = 10 15! = 15. 14. 13. 12. 11. 10! Esta propiedad se utiliza para simplificar los factoriales Ejemplo: 2) (∏𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 ) ∗ (∏𝑛𝑖=1 𝑏𝑖 ) = (∏𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 ∗ 𝑏𝑖 ) Convención Por convención los matemáticos aceptan 0! = 1 Principio de inducción completa El principio de inducción completa (también llamado Inducción Matemática) aparece en un rol de fundamental importancia en las más importantes teorías de los números naturales. Particularmente en las teorías de R. Dedekind, en la teoría de conjuntos y en la axiomática de los números naturales de Guiseppe Peano, fundada en la noción de ordenación. En esta última teoría, el principio de inducción completa es el 5º axioma o postulado. Recordemos que los axiomas o postulados son leyes que se admiten como verdaderas sin ser demostradas. Enunciado del Principio de Inducción Completa “Si una propiedad de los números naturales se verifica para el número 1, y si, admitido que se verifique para un número natural cualquiera, se verifica también para el siguiente, entonces dicha propiedad se verifica para todos los números naturales”. En consecuencia el principio implica 4 pasos o etapas. 1. Verificar para n = 1 2. Admitir la validez de la propiedad para un cierto número natural. Esto se llama hipótesis inductiva. 3. Demostrar que la propiedad es verdadera para el siguiente número natural. O sea demostrar la tesis inductiva. 4. Concluir, entonces, que la propiedad es verdadera para todos los números naturales. Ejemplos 𝑛(𝑛+1) 1) Demostrar que la suma de los n primeros números naturales es igual a 2 𝑛(𝑛+1) Es decir, ∑𝑛𝑖=1 𝑖 = que es la proposición P(n) 2 Demostración: 14  MATEMATICA DISCRETA 2023 Para demostrar esta propiedad por el principio de inducción completa se seguirán los cuatro pasos detallados ante- riormente. 1. Verificar para n = 1 1° 𝑀𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜: ∑1𝑖=1 𝑖 = 1 1(1+1) 2 } ⇒ 𝑃(1) 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 2°𝑀𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜: 2 =2=1 2. Hipótesis inductiva: Se admite que la proposición es verdadera para un cierto número natural h. ℎ(ℎ+1) ∑ℎ𝑖=1 𝑖 = 2 2. Demostrar que la propiedad es verdadera para el número natural siguiente h+1. O sea que hay que demostrar que: (ℎ+1)(ℎ+2) ∑ℎ+1 𝑖=1 𝑖 = 2 Demostración: ∑ℎ+1 ℎ ℎ+1 𝑖=1 𝑖 = ∑𝑖=1 𝑖 + ∑𝑖=ℎ+1 𝑖 Por la 2º propiedad de las sumatorias ℎ(ℎ+1) Se reemplazó el 1º término por su igual, según la Hi- ∑ℎ+1 𝑖=1 𝑖 = + (ℎ + 1) 2 pótesis Inductiva y se desarrolló la 2º suma. ℎ(ℎ+1)+2(ℎ+1) ∑ℎ+1 𝑖=1 𝑖 = se suma ambos términos y se saca factor común (h +1) y nos queda 2 (ℎ+1)(ℎ+2) ∑ℎ+1 𝑖=1 𝑖 = que es lo que se quería demostrar. 2 4. En conclusión P(n) es verdadera para todo número natural 𝑛(𝑛+1) ∑𝑛𝑖=1 𝑖 = ∀𝑛 ∈𝑁 2 Nota Puede suceder que una propiedad sea válida para todos los naturales o sólo a partir de uno dado. En este caso la verificación del punto 1) no debe hacerse para 1 sino para el primer valor posible de n. 2) Demostrar por inducción completa: 2𝑛 < 𝑛2 − 1 ∀ 𝑛 ≥ 3 1. El primer valor posible para n es 3, entonces la verificación del primer paso del desarrollo debe hacerse para ese número. Verificar para n = 3 1° 𝑀𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜: 2.3 = 6 } 6 < 8 ⇒ 𝑃(3) 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 2° 𝑀𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜: 32 − 1 = 8 2. Hipótesis Inductiva Se supone que la propiedad es verdadera para un cierto natural h. 2ℎ < ℎ2 − 1 3.Tesis Inductiva 15  MATEMATICA DISCRETA 2023 Se demostrará la verdad de la propiedad para el siguiente número natural, h + 1. O sea que se demostrará que 2(ℎ + 1) < (ℎ + 1)2 − 1 Demostración: 2(h + 1) = 2h + 2 < (h2 − 1) + 2 Por Hipótesis Inductiva < h2 + 1 El valor de una suma no cambia si se suma < h2 + 2h + 1 – 2h y se resta un mismo número. < (h + 1)2 – 2h < (h + 1)2 – 1 + 1 – 2h < [(h + 1)2 – 1] – (2h – 1) < (h + 1)2 – 1 que es lo que se quería demostrar1 4.En conclusión, la propiedad es verdadera para todo número natural mayor igual a 3. 2n < n2 – 1 n  3 3°) Demostrar por Inducción completa 3 es divisor de 𝑛3 + 2𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 Primer paso: n = 1 13 + 2.1 = 3 = 3̇ Segundo paso: n = h ̇ 𝑉 ℎ3 + 2ℎ = 3̇ 𝑒𝑠 Tercer paso: n = h + 1 (ℎ + 1)3 + 2(ℎ + 1) = 3̇ Demostración: (ℎ + 1)3 + 2(ℎ + 1) = ℎ3 + 3ℎ2 + 3ℎ + 1 + 2ℎ + 2 Desarrollamos el cubo del binomio (ℎ + 1)3 + 2(ℎ + 1) = (ℎ3 + 2ℎ) + 3ℎ2 + 3ℎ + 3 = (ℎ3 + 2ℎ) + 3(ℎ2 + ℎ + 1) (ℎ + 1)3 + 2(ℎ + 1) = 3̇ + 3̇ =̇ 3̇ Por hipótesis inductiva es divisor de 3 Cuarto paso: Queda demostrado que 𝑛3 + 2𝑛 es divisor de 3 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ∈ 𝑁 BIBLIOGRAFÍA MATEMATICAS DISCRETAS. Kenneth A Ross y Charles R. B. Wright. Prentice Hall. 1990. 1 El último paso se funda en una propiedad de los números naturales que dice que si un número natural es menor que la diferencia entre dos números naturales,entones es menor que el primero de ellos. Siendo a, b, c y d números naturales. Si c  a  b y d  c  d  a 16  MATEMATICA DISCRETA 2023 MATEMATICA DISCRETA Y COMBINATORIA. Ralph Grimaldi. Addison- Wesley Iberoamericana. 1998. MATEMATICA DISCRETA Y SUS APLIACIONES. Kenneth H. Rosen. Mc Graw Hill. España. 2004 MATEMATICA DISCRETAS CON TEORIA DE GRAFICAS Y COMBINATORIA. Veerarajan T.México McGraw-Hill 2008 PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMATICA DISCRETA. Feliz García Merayo, G.Peñalver,A.LunaEditorial Thomson 2007 MATEMATICAS PARA LA COMPUTACION, José A. Jiménez Murillo. Alfaomega Grupo Editor.México.2009 MATEMATICAS DISCRETAS,Ramón E.Armenta,Alfaomega Grupo Editor.México.2010 MATEMATICAS DISCRETAS CON APLICACIONES. Susanna S.Epp.Mexico Cengage Learning.2011 ALGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES. David C. Lay.Pearson Educación.Mexico.2012 17