Résistance des matériaux - Systèmes isostatiques PDF

 Résistance des matériaux SYSTEMES ISOSTATIQUES SOLLICITATIONS SIMPLES SYSTEMES ISOSTATIQUES RESUME DU COURS ET EXERCICES CORRIGES METHODES SIMPLES AVEC FORMULAIRES DE CALCUL MOHAMED ELKHADARY Première édition...

 Résistance des matériaux SYSTEMES ISOSTATIQUES SOLLICITATIONS SIMPLES SYSTEMES ISOSTATIQUES RESUME DU COURS ET EXERCICES CORRIGES METHODES SIMPLES AVEC FORMULAIRES DE CALCUL MOHAMED ELKHADARY Première édition INGENIEUR FORMATEUR  Résistance des matériaux SYSTEMES ISOSTATIQUES SOLLICITATIONS SIMPLES L’Auteur : MOHAMED ELKHADARY MOHAMED ELKHADARY, est un ingénieur d’état en génie civil et en génie Cet ouvrage est la première partie du cours sur la urbain de l’Ecole résistance des matériaux (RDM) avec exercices Mohammedia des corrigés et avec tous les détails pour une bonne ingénieurs, et Formateur assimilation et maitrise des calculs RDM. des techniciens spécialisés L’ouvrage est destiné pour les formateurs comme un en génie civil et des support complet du cours et pour les étudiants conducteurs de travaux à débutants en RDM. l’Institut Spécialisé dans les métiers de bâtiment et Cet ouvrage contient un résumé précis du cours en se Travaux publics OFPPT à basant sur les différents ouvrages réalisés par des CASABLANCA. Il a élaboré grands auteurs et aussi un nombre très important plusieurs cours pour les d’exercices et d’exemples d’application, avec corrigés techniciens spécialisés en complets, en utilisant des méthodes simples et des génie civil. formulaires de calcul démontrés. La maitrise de ces calculs en résistance des matériaux est un grand pas vers la maitrise des calculs de structures hyperstatiques. La maitrise de ces calculs est indispensable pour mener les calculs des poutres en béton armé et en métaux. L’Auteur : MOHAMED ELKHADARY, La deuxième partie attendue prochainement traitera est un ingénieur d’état en les calculs des poutres hyperstatiques en utilisant des méthodes simples avec des exercices pratiques. Première édition  Résistance des matériaux SYSTEMES ISOSTATIQUES SOLLICITATIONS SIMPLES RESUME DU COURS ET EXERCICES CORRIGES Résistance des matériaux SYSTEMES ISOSTATIQUES SOLLICITATIONS SIMPLES RESUME DU COURS ET EXERCICES CORRIGES METHODES SIMPLES AVEC FORMULAIRES DE CALCUL Mohamed ELKHADARY Introduction Cet ouvrage est la première partie du cours sur la résistance des matériaux (RDM) avec des exercices corrigés et avec tous les détails nécessaires pour une bonne assimilation et maitrise des calculs RDM des poutres isostatiques. L’ouvrage est destiné pour les formateurs comme un support complet du cours et pour les étudiants débutants en RDM. Cet ouvrage contient un résumé précis du cours en se basant sur les différents ouvrages réalisés par des grands auteurs, et aussi un nombre très important d’exercices et d’exemples d’application, avec corrigés complets, en utilisant des méthodes simples et des formulaires de calcul démontrés. La maitrise de ces calculs en résistance des matériaux est un grand pas vers la maitrise des calculs de structures hyperstatiques. Ces calculs sont indispensables pour mener les calculs des poutres en béton armé et en métaux. Les méthodes adoptées dans ce livre sont simples pour éviter les calculs complexes. C’est pour cela, nous avons travaillé sur l’utilisation des formulaires simples à utiliser. La chronologie des chapitres a été conçu d’une manière pédagogique pour que le lecteur ne se perde pas. Nous allons d’abord commencer par les notions de la statique avant de passer à l’étude d’équilibre statique des poutres. Ensuite, nous traiterons le calcul des efforts internes par des méthodes simples en intégrant un nombre très important d’exemples et d’exercices. Avant d’étudier les différentes sollicitations simples, nous déterminerons d’abord les caractéristiques géométriques des sections avec des exercices types en utilisant des méthodes simples à pratiquer. Ce modeste travail est un outil pour découvrir la résistance des matériaux d’une façon méthodique et pédagogique que nous jugeons simple et pratique. Mohamed ELKHADARY J’ai le plaisir de recevoir vos remarques, vos questions et vos propositions sur mon adresse e-mail : [email protected] Sommaire I) Rappel sur les unités usuelles :........................................................................................................ 9 1) Distances-longueurs :.................................................................................................................. 9 2) Surfaces-Aires- Sections :............................................................................................................ 9 3) Forces-poids :.............................................................................................................................. 9 4) Pressions contraintes :................................................................................................................ 9 II) Différents types des charges et surcharges :................................................................................. 10 1) Charges permanentes et variables............................................................................................ 10 2) Charges concentrées et charges réparties................................................................................ 10 3) Comment convertir une charge répartie en charge concentrée ?............................................ 12 III) Calcul des réactions aux appuis des poutres isostatiques........................................................ 13 1) Différents types d’appuis.......................................................................................................... 13 a) Appui simple ou libre :........................................................................................................... 13 b) Appui double ou à rotule :..................................................................................................... 13 c) Appui triple ou encastrement:.............................................................................................. 14 2) Systèmes de forces.................................................................................................................... 15 a) Système hypostatique :......................................................................................................... 15 b) Système isostatique:............................................................................................................. 15 c) Système hyperstatique :........................................................................................................ 15 3) Equations de la statique............................................................................................................ 16 4) Rappel : Moment d’une force par rapport à un point :............................................................. 16 5) Exemples de calcul des réactions aux appuis des poutres isostatiques.................................... 18 IV) Calcul des efforts internes dans une poutre :........................................................................... 24 1) Forces extérieures :................................................................................................................... 24 2) Efforts internes.......................................................................................................................... 24 a) Effort Normal......................................................................................................................... 24 b) Efforts tranchants................................................................................................................ 24P c) Moments Fléchissants........................................................................................................... 25 3) METHODE DES SECTIONS POUR CALCULER LES EFFORTS INTERNES........................................ 25 4) DIAGRAMMES DES EFFORTS ET DES MOMENTS M,N,T............................................................ 26 5) EXEMPLES DE CALCUL DES EFFORTS INTERNES DANS DES POUTRES ISOSTATIQUES............... 26 a) Exemple 1 : cas d’une charge concentrée............................................................................. 26 b) Formulaire de calcul des efforts internes : méthode simplifiée........................................... 31 6) Exercices d’application sur le calcul des réactions aux appuis et les efforts internes dans les poutres isostatiques.............................................................................................................................. 64 V) Caractéristiques géométriques des sections................................................................................. 85 1) Centre de gravité........................................................................................................................... 85  a) Généralités................................................................................................................................ 85 b) Définition................................................................................................................................... 85 c) Centre de gravité des sections simples..................................................................................... 85 d) Détermination du centre de gravité des sections composées.................................................. 87 e) Exercices d’application.............................................................................................................. 89 2) Moment d’inertie ou moment quadratique.................................................................................. 93 a) Définition................................................................................................................................... 93 b) Moments d’inertie des sections simples................................................................................... 94 c) Théorème de HYGENS :............................................................................................................. 97 d) Détermination du moment d’inertie des sections composées................................................. 99 e) Module d’inertie d’une section............................................................................................... 102 3) Exercices d’application : Détermination des caractéristiques géométriques des sections........ 103 VI) Différentes sollicitations simples............................................................................................. 111 1) Compression et traction.............................................................................................................. 111 a) Définition................................................................................................................................. 111 b) Contrainte normale de compression/traction........................................................................ 112 c) Condition de résistance à la compression/ traction................................................................ 112 d) Essai de Traction...................................................................................................................... 112 e) Exercices d’application :.......................................................................................................... 115 4) Cisaillement................................................................................................................................. 118 a) Contrainte tangentielle de cisaillement.................................................................................. 118 b) Déformation............................................................................................................................ 118 c) Condition de résistance au cisaillement.................................................................................. 119 d) Exemple :................................................................................................................................. 119 5) Flexion simple.............................................................................................................................. 121 a) Définition................................................................................................................................. 121 b) Contrainte normale de flexion................................................................................................ 121 c) Condition de résistance :......................................................................................................... 122 d) Exercices d’application............................................................................................................ 122 Bibliographie........................................................................................................................................ 134 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY I) Rappel sur les unités usuelles : 1) Distances-longueurs : Km hm dam m dm cm mm 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 mm = 0, 1 cm = 10-3 m 1 cm = 0,01 m = 10 mm 2) Surfaces-Aires- Sections : m² dm² cm² dm² 1 m² = 10² dm² = 104 cm² = 106 mm² 1 cm² = 10² mm² = 10-4 m² 1 mm² = 10-2 cm² = 10-6 m² 3) Forces-poids : MN t KN daN= Kg N 1MN = 100 t = 10 3 KN = 10 5 Kg = 10 5 daN = 106 N daN = 10 N =10-5 MN 4) Pressions contraintes : MPa bar KPa Pa 1 MPa = 10 bars = 10 3 KPa = 10 6 Pa MPa = MN/m² = N/mm² 9  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY II) Différents types des charges et surcharges : 1) Charges permanentes et variables. Classification des charges et surcharges Charges permanentes : Charges variables : Charges accidentelles : Poids propre des Charges d’exploitation Séismes superstructures et des Vent Chocs équipements fixes (Cloisons, revêtement de Neige sol…) 2) Charges concentrées et charges réparties a) Charges concentrées. ❖ Une charge est dite concentrée si sa surface d’application est limitée. ❖ Cette surface peut être considérée comme un point. ❖ Les charges concentrées sont exprimées en N, MN, daN… Exemples : ✓ Une poutre reposant sur un poteau. ✓ Un poteau sur une poutre. ✓ Un poteau reposant sur une semelle. 10 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY b) Charges réparties. ❖ Une charge est dite répartie si sa surface d’application est étalée sur une longueur ou sur une surface importante. ❖ La charge peut être répartie sur une longueur ou sur une surface. Charge répartie sur la Charge répartie sur la longueur = charge linéaire surface = charge surfacique exprimée en N/m exprimée en N/m² Exemples : Exemple : ❖ Mur sur une poutre Poids du revêtement sur une ❖ Dalle reposant sur une poutre ou dalle sur un voile Une charge répartie peut être uniforme ou non. La charge répartie sur la longueur est schématisée comme suit : q en N/m L 11  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY 3) Comment convertir une charge répartie en charge concentrée ? Type de charge Schéma de la charge Charge concentrée Schéma final répartie équivalente et son Point d’application q Q Q = q.L Charge rectangulaire a = b = L/2 L a b q Q q. L 𝑄= Charge triangulaire 2 Type 1 L a = 2L/3 a b b = L/3 Q q q. L 𝑄= Charge triangulaire 2 a = L/3 Type 2 L b = 2L/3 a b (q1 + q2 )x L Q Charge trapézoïdale q1 q2 𝑄= 2 (q1 +2q2 )x L a b a= 3( q1 +q2 ) L (q2 +2q1 )x L b= 3( q1 +q2 ) Remarque : 12  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY III) Calcul des réactions aux appuis des poutres isostatiques 1) Différents types d’appuis On distingue dans la pratique des constructions 3 types fondamentaux d’appuis : a) Appui simple ou libre :  Un tel appui est réalisé dans les ouvrages importants tels que les ponts ou dans les constructions (bâtiments).  Ce genre d’appuis donne lieu à une réaction R normale à la surface d’appui et ne s’oppose pas à un effort s’exerçant suivant l’axe longitudinal de la poutre  On n’aura donc qu’une seule inconnue à déterminer par appui d’où le nom d’appui simple L’appui correspond donc à :  Suppression d’un degré de liberté en translation (perpendiculaire à l’appui)  1 force (perpendiculaire à l’appui dans la majorité des cas)  1 inconnue dans les équations d’équilibre Dans la pratique, les appuis simples sont réalisés pour laisser libre cours aux dilatations (resp. Rétractations) thermiques des éléments de structure afin de ne pas générer d’efforts de compression (resp. Traction) supplémentaires. b) Appui double ou à rotule :  Une rotule est une articulation sphérique qui permet une rotation en tous sens de l’une des pièces par rapport à l’autre.  Un tel appui donne lieu à une réaction R de direction quelconque que l’on peut décomposer en une composante verticale Rv et une composante horizontale RH  Il y a donc dans ce cas 2 inconnues à déterminer RH et Rv d’où le nom d’appui double qui se représente comme suit : L’appui correspond donc a :  Suppression de 2 degrés de liberté en translation  2 réactions d’appui : 2 forces  2 inconnues dans les équations d’équilibre 13 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY c) Appui triple ou encastrement:  Un tel appui donne lieu à une réaction de direction quelconque présentant une réaction verticale et une réaction horizontale et un moment d’encastrement MA.  On a donc 3 inconnues à déterminer par appui d’où le nom d’appui triple qui se représente comme suit : L’appui correspond donc à : ❖ Suppression des trois degrés de liberté ❖ 3 réactions d’appui : 2 forces + 1 moment ❖ 3 inconnues dans les équations d’équilibre 14  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY 2) Systèmes de forces a) Système hypostatique : Si le nombre d’inconnues d’appuis est inférieur au nombre d’équation d’équilibre statique, la construction risque de s’écrouler. Exemple : poutre appuyant sur 2 appuis simples et recevant des charges de direction quelconques. Nombre d’inconnues = 2 Nombre d’équation d’équilibre statique = 3 23 15  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY 3) Equations de la statique. Pour calculer les réactions d’appuis, on considère la pièce à étudier comme un solide libre en remplaçant ces appuis par les forces de réactions. On écrit alors que cette pièce est en équilibre sous l’action des forces directement appliquées que l’on connaît et des réactions d’appuis qui sont inconnues par les équations d’équilibre statique : On peut simplifier les équations de la statique après la décomposition des forces inclinées en écrivant : EQUATION N°1 ∑𝐹 →= ∑𝐹 ← 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀(𝐹/𝐴 ) = 0 4) Rappel : Moment d’une force par rapport à un point : Moment d’une force par rapport à un point A = ± Force x Distance perpendiculaire entre la force et le point Par convention, un moment est considéré positif si la force tend à tourner dans le sens des aiguilles d’une montre. Support de F Il est négatif dans le cas contraire F G d M(F/A) = + F x d d’ A 4 M(G/A) = - G x d’ Le moment est exprimé en N.m ( KN.m ou MN.m…) 16  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Exemples : F2= 15 KN F3 = 20 KN F5 = 12 KN F1 = 10 KN D A A B C E F4 = 5 KN A A A A 2m 2m 2m 1m Calculer les moments de toutes les forces par rapport à tous les points en remplissant le tableau suivant : Force F1 = 10 KN F2= 15 KN F3 = 20 KN F4 = 5 KN F5 = 12 KN Point A = 10x0 = + 15x2 =20x4 =-5x6 =12x7 =0 = + 30 = + 80 = - 30 = + 84 B = -10x2 =15x0 =20x2 =-5x4 =12x5 = -20 =0 = + 40 = - 20 = + 60 C = -10x4 =-15x2 =20x0 =-5x2 =12x3 = - 40 = - 30 =0 = -10 = + 36 D = - 10x6 =-15x4 =-20x2 = 5x0 =12x1 = - 60 = - 60 = - 40 =0 = + 12 E = - 10x7 =-15x5 = -20x3 =5x1 =12x0 = - 70 = - 75 = - 60 =5 =0 F = 3000 Kg M(F/A) = - F x d = - 3000 x 1 A 1m = - 3000 Kg.m 17 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY 5) Exemples de calcul des réactions aux appuis des poutres isostatiques. Exemple 1 : Calculer les réactions aux appuis de la poutre isostatique représentée sur la figure suivante : La poutre reçoit une charge répartie q et une charge concentrée F. A B Etape 1 : Convertir les charges réparties en charges concentrées : On a : Q = q x L = 24 x 5 = 120 KN Point d’application : a = b = L /2 = 5/2 = 2,5 m Etape 2 : Représentation des réactions aux appuis et des charges concentrées : Q = 120 KN RB RA F = 32 KN HA A B 2,5 m 2,5 m 3m 2m Etape 3 : Equations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← HA = 0 EQUATION N°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = Q + F = 120 + 32 = 152 KN RA + RB = 152 KN 18 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Cherchons une deuxième équation pour déterminer les deux inconnues : NB : On peut aussi écrire cette 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 équation par rapport à B. On a : Force RA HA Q F RB Moment de la RA x 0 HA x 0 +Q x 2,5 +F x 3 -RB x 5 force /A =0 =0 = 300 = 96 = - 5 RB En KN.m D’où : 0 + 0 + 300 + 96 - 5 RB = 0 5 RB = 396 RB = 396 / 5 RB = 79,2 KN Puisque : RA + RB = 152 KN, alors : RA = 152 - RB = 152 -79,2 = 72,8 KN RA = 72,8 KN Conclusion : HA = 0 RA = 72,8 KN RB = 79,2 KN Si on écrit la troisième équation par rapport à B , on trouvera : Force RA HA Q F RB Moment de la +RA x 5 HA x 0 - Q x 2,5 -F x 2 RB x 0 force /B = 5 RA =0 = -300 = -64 =0 En KN.m D’où : 5 RA + 0 - 300 - 64 + 0 = 0 5 RA = 364 RA = 364 / 5 RA = 72,8 KN Puisque : RA + RB = 152 KN, alors : RB = 152 – RA = 152 -72,8 = 79,2 KN On trouvera bien évidemment les RB = 79,2 KN mêmes résultats 19 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Exemple 2 : Calculer les réactions aux appuis de la poutre isostatique représentée sur la figure suivante :charge inclinée. La poutre reçoit une charge répartie q et une charge concentrée F inclinée d’un angle 60°. Etape 0 : Décomposer la charge inclinée en deux composantes verticale et horizontale : La charge inclinée peut être décomposée en deux forces filles : Composante verticale : Fy 𝑭𝒚 = 𝑭 𝐬𝐢𝐧 𝜶 Application numérique : 𝑭𝒚 = 𝟑𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎 = 27,71 KN Composante horizontale : Fx 𝑭𝒙 = 𝑭 𝐜𝐨𝐬 𝜶 Application numérique : 𝑭𝒙 = 𝟑𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎 = 16 KN Fy F 𝜶 Fx Etape 1 : Convertir les charges réparties en charges concentrées : On a : Q = q x L = 24 x 5 = 120 KN Point d’application : a = b =L/2 = 5/2 = 2,5 m 20  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Etape 2 : Représentation des réactions aux appuis et les charges concentrées : RB RA Q = 120 KN F y = 27,71 KN HA A B Fx = 16 KN 2,5 m 2,5 m 3m 2m Etape 3 : Equations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← HA = Fx = 16 KN 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = Q + Fy = 120 + 27,71 = 147,71 KN RA + RB = 147,71 KN Cherchons une deuxième équation pour déterminer les deux inconnues : 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 On a : Force RA HA Q Fx Fy RB Moment de la RA x 0 HA x 0 +Q x 2,5 Fx x 0 +Fy x 3 -RB x 5 force /A =0 =0 = 300 =0 = 83,13 = - 5 RB En KN.m D’où : 0 + 0 + 300 + 83,13 - 5 RB = 0 5 RB = 383,13 RB = 383,13 / 5 RB = 76,63 KN Puisque : RA + RB = 147,71 KN, alors : RA = 147,71 - RB = 147,71 -76,63 = 71,08 KN RA = 71,08 KN 21  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Conclusion : HA = 16 KN RA = 71,08 KN RB = 76,63 KN Exemple 3 : Calculer les réactions aux appuis de la poutre encastrée représentée sur la figure suivante : Etape 1 : Convertir les charges réparties en charges concentrées : On a : Q1 = q1 x L1 = 10 x 2 = 20 KN On a : Q2 = q2 x L2 = 8 x 1 = 8 KN Point d’application : a1 = b1 = 2/2 = 1 m Point d’application : a2 = b2 = 1/2 = 0,5 m Etape 2 : Représentation des réactions aux appuis et les charges concentrées : RA Q1 = 20 KN Q2 = 8 KN HA H = 6 KN MA 1m 1m 0,5 m 0,5 m NB : On peut aussi représenter le moment d’encastrement dans le sens inverse. Il sera donc pris positif dans les calculs. 22  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Etape 3 : Equations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← HA = H = 6 KN 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA = Q1 + Q2 = 20 + 8 = 28 KN RA = 28 KN 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 On a: Force RA HA Q1 Q2 Le moment d’encastrement Moment de la RA x 0 HA x 0 +Q 1x 1 +Q2 x 2,5 est négatif (sens contraire force /A =0 =0 = 20 = 20 En KN.m -MA des aiguilles d’une montre) D’où : 0 + 0 + 20 + 20 -MA = 0 MA = 40 KN.m MA = 40 KN.m Conclusion : HA = 6 KN RA = 28 KN MA = 40 KN.m NB : Si on prend le moment d’encastrement dans le sens des aiguilles d’une montre, on trouvera : MA = - 40 KN.m 23 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY IV) Calcul des efforts internes dans une poutre : 1) Forces extérieures :  On appelle forces extérieures ou charges les forces appliquées connues sur une structure donnée.  Ces charges peuvent-être : ▪ Réparties avec une densité donnée de volume (poids propre d'une structure) ▪ Ou concentrées en un certain nombre de points.  Dans cette catégorie de forces extérieures figurent aussi les réactions d'appuis.  La poutre se trouve en équilibre sous l’effet de ces forces extérieures. Cet équilibre nous permet de déterminer les réactions aux appuis en écrivant les équations d’équilibre statique (voir chapitre précédent). 2) Efforts internes  Sous l'effet des charges extérieures, les forces entre les particules d'un corps (élément) en équilibre varient.  En Résistance des Matériaux (RDM), on appelle souvent cette variation des forces efforts internes. a) Effort Normal  La composante N de la résultante F représente la somme des projections de toutes les forces intérieures agissant suivant la normale de la section (ou suivant l'axe longitudinal de l'élément).  L'effort normal provoque une déformation longitudinale de l'élément.  N est considéré positif s'il s'agit d'une traction et négatif dans le cas contraire (compression) b) Efforts tranchants  Les forces transversales Tz, et Ty sont les sommes des projections de toutes les forces intérieures dans la section sur les axes centraux principaux de cette dernière. 24 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY c) Moments Fléchissants  Les composantes My, et Mz du vecteur moment résultant représentent les sommes des moments de toutes les forces intérieures dans la section, par rapport aux axes d'inertie principaux de cette dernière Y et Z respectivement. 3) METHODE DES SECTIONS POUR CALCULER LES EFFORTS INTERNES  Pour déterminer les forces intérieures qui apparaissent dans un élément soumis à une sollicitation, on se sert, en résistance des matériaux, de la méthode des sections.  Cette méthode est basée sur le fait que si un élément est en équilibre, sous l'action des forces extérieures, alors n'importe quelle partie de cet élément sous l'action des forces qui lui sont appliquées, est équilibré par un système de forces intérieures agissant dans la section.  On considère l'élément AB plan, soumis à l'action d'un système de forces extérieures  Pour calculer les efforts et moments dans n'importe quelle section, on coupe à l'endroit voulu l'élément AB en deux parties.  Les valeurs numériques des efforts N, T, et M sont égaux aux sommes algébriques des projections et des moments des forces extérieures agissant sur une des parties (gauche ou droite) de l'élément sectionné, généralement sur celle où les projections et moments se calculent plus facilement. 25 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY 4) DIAGRAMMES DES EFFORTS ET DES MOMENTS M,N,T  En général, les efforts et moments agissant dans différentes sections varient le long de la poutre. Entre autres les valeurs maximales et minimales de ces efforts et moments sont d'une grande importance pour la sécurité de la poutre, on s'intéresse donc à tracer des courbes qui montrent comment changent les efforts et les moments d'une section à une autre, on appelle ces courbes les diagrammes des efforts et des moments.  On se limite dans cette section à l'étude des diagrammes des efforts et des moments dans les poutres à deux dimensions (plan XOY), ce qui réduit le nombre des efforts et des moments à trois, à savoir un effort normal N, un effort tranchant Ty, et un moment fléchissant Mz 5) EXEMPLES DE CALCUL DES EFFORTS INTERNES DANS DES POUTRES ISOSTATIQUES a) Exemple 1 : cas d’une charge concentrée Considérons, sur la figue suivante, une poutre isostatique chargée par une force concentrée F. RA RB F = 15 KN B AA HA 3m 2m Travail demandé : Etablir les équations des efforts internes le long de la poutre et tracer leurs diagrammes pour en déduire leurs valeurs extrêmes. Etape 1 : Calcul des réactions aux appuis : Avant de calculer les efforts internes dans une poutre, il est indispensable de calculer d’abord les réactions aux appuis. EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← HA = 0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = F = 15 KN RA + RB = 15 KN 26 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Cherchons une deuxième équation pour déterminer les deux inconnues : 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 On a : Force RA HA F RB Moment de la RA x 0 HA x 0 +F x 3 -RB x 5 force /A =0 =0 = 45 = - 5 RB En KN.m D’où : 0 + 0 + 45 - 5 RB = 0 5 RB = 45 RB = 45 / 5 RB = 9 KN Puisque : RA + RB = 15 KN, alors : RA = 15 - RB = 15 -9 = 6 KN RA = 6 KN Etape 2 : Calcul des efforts internes dans la poutre. Dans cette poutre, deux coupes à prévoir : La première coupe avant la force F et la deuxième après F. En général, on détermine les bornes d’un intervalle dans les points d’application des forces concentrées et le début ou la fin d’une charge répartie. RA = 6 KN RB =9 KN F = 15 KN 6 B A Coupe 1 Coupe 2 3m 2m x= 0 x= 3 x= 5 Intervalle [0,3] Intervalle [3,5] 27 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Nous avons donc deux intervalles : ❖ Intervalle [0,3] ❖ Intervalle [3,5] a) Si x appartient à [0,3] On coupe avant la force F, et on obtient le schéma suivant : RA Effort tranchant T Effort Normal N C Moment fléchissant M x Nous écrivons, à nouveau, les équations de la statique EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← N=0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA = T T(x) = 6 KN L’effort tranchant est constant dans l’intervalle [0,3] On écrit la troisième équation par rapport à C : 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐶 = 0 C : Point de coupe d’abscisse x On a : Force RA T N Moment de la force /C RA. x Tx 0 Nx0 En KN.m =6x =0 =0 -M D’où : 6 x + 0 + 0 - M = 0 M=6x M(x) = 6 x Le moment fléchissant varie en fonction de x M(0) = 6 x 0 = 0 KN.m ❖ Intervalle [3,5] dans l’intervalle [0,3] M(3) = 6 x 3 = 18 KN.m 28 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY b) Si x appartient à [3,5] On coupe après la force F, et on obtient le schéma suivant : RA = 6 KN Effort tranchant T F = 15 KN Effort Normal N C 3m x-3 Moment fléchissant M x Nous écrivons, à nouveau, les équations de la statique EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← N=0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA = T + F T = RA - F T(x) = - 9 KN L’effort tranchant est constant dans l’intervalle [3,5] On écrit la troisième équation par rapport à C : 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐶 = 0 C : Point de coupe d’abscisse x On a : Force RA F T N Moment de la RA. x - F ( x – 3) Tx 0 Nx0 force /C =6x = -15 x + 45 =0 =0 -M En KN.m D’où : 6 x - 15 x + 45 - M = 0 M = -9 x + 45 M(x) = -9 x + 45 Le moment fléchissant varie en fonction M(3) = - 9 x 3 + 45 = 18 KN.m de x dans l’intervalle [3,5] M(5) = - 9 x 5 + 45 = 0 KN.m 29 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Remarques importantes : L’effort tranchant n’est pas toujours une fonction continue. Un point peut avoir deux images différentes dans deux intervalles différents. (Point d’application d’une charge concentrée). La fonction M(x) est continue. Les images d’un point commun entre deux intervalles sont identiques. Le moment fléchissant est nul dans les extrémités de la poutre : M(0) = 0 KN.m M(5) = 0 KN.m La dérivée de la fonction M(x) n’est que la fonction T(x) : 𝒅𝑴(𝒙) = T(x) 𝒅𝒙 ❖ Intervalle [0,3] M(x) = 6 x ; T(x) = 6 KN ❖ Intervalle [3,5] M(x) = -9 x + 45 ; T(x) = - 9 KN Diagrammes des efforts internes : a) Effort tranchant TMAX = 6 KN 6 -9 TMIN = - 9 KN 30  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY a) Moment fléchissant : 18 MMAX = 18 KN.m b) Formulaire de calcul des efforts internes : méthode simplifiée Pour éviter d’établir à chaque fois les mêmes équations des efforts internes, on peut traiter le cas général et établir un formulaire simple à utiliser pour tous les cas. i) Cas d’une charge concentrée. Si on coupe après une charge concentrée, on se trouvera dans le cas suivant : F a : Abscisse du point d’application de la force F Effort tranchant T Effort Normal N X=a C X=0 Moment fléchissant M a x-a x 31 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY On écrit les équations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← N=0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ 0=T+F T =- F T(x) = - F On écrit la troisième équation par rapport à C : 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐶 = 0 On a : Force F T N Moment de la - F ( x – a) Tx 0 Nx0 force /C =0 =0 -M En KN.m D’où : - F ( x – a) - M = 0 M(x) = - F ( x – a) Conclusion : Si on réalise une coupe après une charge concentrée, cette charge intervient dans l’effort tranchant par une valeur ( ± F ) et dans le moment fléchissant par (± F ( x- a) ). Conclusion : Conclusion : D 32 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Exemple d’application : Soit à calculer les efforts internes dans la poutre représentée sur la figure suivante : F1 = 18 KN RA RB F2 = 10 KN B A HA 2m 1m 2m a) Calcul des réactions aux appuis EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← HA = 0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = F1 + F2 = 18+10 = 28 KN RA + RB = 28 KN 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 On a : Force RA HA F1 F2 RB Moment de la RA x 0 HA x 0 +F1 x 2 +F2 x 3 -RB x 5 force /A =0 =0 = 36 = 30 = - 5 RB En KN.m D’où : 0 + 0 + 36 + 30 - 5 RB = 0 5 RB = 66 RB = 66 / 5 RB = 13,2 KN Puisque : RA + RB = 28 KN, alors : RA = 28 - RB = 28 -13,2 = 14,8 KN RA = 14,8 KN 33  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY b) Calcul des efforts internes en utilisant le formulaire établi. F1 = 18 KN F2 = 10 KN RA = 14,8 KN RB RB = 13,2 KN 14,8 B A 2m 1m 2m x=0 x=2 x=3 x=5 [0,2] Intervalle [2,3] Intervalle [3,5] Schéma Effort tranchant = + RA = + RA – F 1 = + RA– F1– F2 T(x) = 14,8 = + 14,8 – 18 = + 14,8 – 18 - 10 = -3,2 = -13,2 ( KN ) Moment fléchissan = + RA ( x -0) = RA( x -0) – F1( x -2) =RA( x -0) – F1( x -2) – F2 ( x -3) t M(x) = 14,8 x = 14,8(x -0) – 18( x -2) = + 14,8 x – 18( x -2) -10( x -3) = -3,2 x + 36 = -13,2 x + 66 M( 0)= 0 M( 2)=29,6 M( 3)= 26,4 ( KN.m ) M( 2)=29,6 M( 3)= 26,4 M( 5)= 0 34 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY c) Diagrammes des efforts internes : i) Effort tranchant TMAX = 14,6 KN 14,6 -3,2 -13,2 TMIN= - 13,2 KN ii) Moment fléchissant : 26,4 MMAX = 29,6 KN.m 29,6 35 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY ii) Cas d’une charge uniformément répartie (Rectangulaire). Deux cas à traiter : a) Si on coupe au niveau de la charge répartie, donc une partie de la charge à prendre en considération. q a : Point de commencement de la charge répartie q. L : la longueur x=0 x=a x = a+L d’application de la charge répartie q. L b) Si on coupe après la charge répartie q, on prendra en compte la totalité de la charge. q x=0 x=a x = a+L. L Cas 1 : si x appartient à l’intervalle [a, a + L] Effort tranchant T q x=0 Effort Normal N C a x -a Moment fléchissant M x On convertit la charge répartie en charge concentrée : Qx = q ( x – a ) 36 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Qx = q ( x – a ) Effort tranchant T Effort Normal N X=a C X=0 Moment fléchissant M a 𝒙−𝒂 𝒙−𝒂 𝟐 𝟐 x On écrit les équations de la statique : N=0 EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ 0 = Qx + T T = - Qx T(x) = -Qx = - q ( x – a ) On écrit la troisième équation par rapport à C : 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐶 = 0 Force Qx T N Moment de la - Qx ( x – a)/2 Tx 0 Nx0 force /C =0 =0 -M En KN.m = 𝒒(𝒙 − 𝒂)² − 𝟐 𝒒(𝒙−𝒂)² D’où : -(q(x-a)²)/2 - M = 0 M(x) = − 𝟐 37 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Conclusion : Si on réalise une coupe dans l’intervalle [a, a + L] , la charge q est prise partiellement dans l’équation de T et M avec les valeurs suivantes : Conclusion : Conclusion : D Si x appartient à [a, a + L] Si x appartient à [a, a + L] 𝐪 𝐱² 𝟐 - 𝟐 Exemple d’application : Reprenons la poutre de l’exemple de la page 12 Le calcul des réactions aux appuis a donné : HA = 0 RA = 72,8 KN RB = 79,2 KN 38  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Calculons maintenant les efforts internes en utilisant le formulaire établi. On a deux intervalles : [ 0 ; 3] et [ 3,5 ] RA = 79,2 KN RA = 72,8 KN x=0 x=3 x=5 Intervalle [0,3] Intervalle [3,5] Dans cet intervalle, on laisse à gauche Mêmes équations de [0,3] pour RA et q. la réaction RA et on coupe la charge On laisse la force F à gauche. Elle sera répartie q introduite dans cet intervalle. Effort tranchant = + RA - q ( x – 0) = + RA - q ( x – 0)- F = 72,8 – 24 x = 72,8 – 24 x - 32 T(x) = 40,8 – 24 x ( KN ) T( 0)= 72,8 T( 3)= -31,2 T( 3)=0,8 T( 5)= -79,2 Moment fléchissan = + RA( x – 0) – q/2 ( x – 0)² =RA( x – 0) – q/2 ( x – 0)²- F( x – 3) t M(x) = 72,8 x– 12 x² = 72,8 x– 12 x²- 32( x – 3) = 40,8 x – 12x²+96 M( 0)= 0 ( KN.m ) M( 3)=110,4 M( 3)= 110,4 M( 5)= 0 On vérifie à chaque fois et pour tous les intervalles que la dérivée de la fonction M(x) n’est que la fonction T(x). On vérifie aussi que la fonction M(x) est continue. 39 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Diagrammes des efforts internes : ❖ Effort tranchant TMAX = 72,8 KN 72,8 0,8 -31,2 -79,2 TMIN = -79,2 KN ❖ Moment fléchissant : MMAX = 110,4 KN.m 110,4 40 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Cas 2 : si x ≥ a + L ; on laisse à gauche la totalité de la charge Effort tranchant T q x=0 Effort Normal N a L x-(a+L) Moment fléchissant M x On convertit la charge répartie en charge concentrée : Q = q. L Q = q. L Effort tranchant T Effort Normal N X=0 X=a C Moment fléchissant M a 𝑳 x – a – (L/2) 𝟐 x On écrit les équations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← N=0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ 0=Q+T T =- Q T(x) = - q. L 41 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY On écrit la troisième équation par rapport à C : 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐶 = 0 On a : Force Q T N Moment de la - Q.( x – a – (L/2) ) Tx 0 Nx0 force /C = - q.L ( x – a – (L/2) ) =0 =0 -M En KN.m 𝑳 D’où : - q.L ( x – a – (L/2) ) - M = 0 M(x) = - q.L ( x – a – ) 𝟐 Conclusion : Si on réalise une coupe après la charge q , cette dernière est prise totalement dans l’équation de T et M avec les valeurs suivantes : Conclusion : Conclusion : D 𝑳 𝑳 – ) – ) 𝟐 𝟐 42 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Exemple d’application : Soit à calculer les efforts internes dans la poutre chargée suivante : Calcul des réactions aux appuis : On a : Q = q x L = 10 x 3 = 30 KN Point d’application : a = b = L/2 = 3/2 = 1,5 m Q = 30 KN RA RB HA 1,5 m 1,5 m Equations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← HA = 0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = Q + F = 30 + 12 = 42 KN RA + RB = 42 KN Pour calculer RA et RB , on aura besoin d’une deuxieme équation. On écrit alors la 3ème équation de la statique par rapport à A. La somme des moments par rapport à A doit être égale à 0. Sinon, la poutre pivotera par rapport au point A. (Même principe par rapport à B) 43 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 On a : Force RA HA Q F RB Moment de la RA x 0 HA x 0 +Q x 1,5 +F x 3 -RB x 4 force /A =0 =0 = 45 = 36 = - 4 RB En KN.m D’où : 0 + 0 + 45 + 36 - 4 RB = 0 4 RB = 81 RB = 81/ 4 RB = 20,25 KN Puisque : RA + RB = 42 KN, alors : RA = 42 - RB = 42 -20,25 = 21,75 KN RA = 21,75 KN Calculons maintenant les efforts internes en utilisant le formulaire établi. On a deux intervalles : [ 0 ; 3] et [ 3 ; 4 ] RA = 21,75 KN RA = 20,25KN x=0 x=3 x=4 Les bornes des intervalles se situent : Aux appuis de la poutre. A chaque point d’application d’une charge concentrée. Au début ou à la fin d’une charge répartie 44  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Intervalle [0,3] Intervalle [3,4] Dans cet intervalle, on laisse à gauche la réaction RA et on coupe la charge On laisse les forces F et VA à gauche ainsi répartie q que la totalité de la charge q. Effort tranchant = + RA - q ( x – 0) = + RA – q. L - F = 21,75 – 10 x = 21,75 – 10 x 3 - 12 T(x) = -20,25 ( KN ) T( 0)= 21,75 T( 3)= -20,25 T( 3)= -8,25 T( 4)= -20,25 Moment fléchissan = + RA( x – 0) – q/2 ( x – 0)² =RA( x – 0)– q. L ( x –0- L/2)- F( x – 3) = 21,75 x– 5 x² = 21,75 x– 30 (x - 1,5) - 12( x – 3) t M(x) = -20,25 x + 81 M( 0)= 0 ( KN.m ) M( 3)= 20,25 M( 3)= 20,25 M( 4)= 0 Dans l’intervalle [0,3], la fonction T(x) change de signe, c’est-à-dire que T s’annule dans cet intervalle. Or, T(x) est la dérivée de la fonction M(x), donc la dérivée de M(x) s’annule. C’est- à-dire qu’elle admet une valeur maximale dans cet intervalle. Dans [0,3] 𝒅𝑴 21,75 – 10 x = 0 = T(x) = 0 𝒅𝒙 x = 2,175 m Le moment fléchissant admet une valeur maximale dans l’intervalle [0,3] au point d’abscisse x = 2,175 m M(2,175) = 21,75 * 2,175– 5 (2,175)² = 23,66 KN.m 45 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Diagrammes des efforts internes : ❖ Effort tranchant 21,75 TMAX = 21,75 KN X = 2,175 0,8 -8,25 -20,25 TMIN = -20,25 KN ❖ Moment fléchissant : x = 2,175 20,25 23,66 MMAX = 23,66 KN.m 46 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY iii) Cas d’une charge répartie non uniforme (Triangulaire) croissante. Deux cas à traiter: a) Si on coupe au milieu de la charge répartie, donc une partie de la charge à prendre en considération. q a : Point de commencement de la charge répartie q. L : la longueur x=0 x=a x = a+L d’application de la charge répartie q. L b) Si on coupe après la charge répartie q, on prendra en compte la totalité de la charge.. q x=0 x=a x = a+L. L Cas 1 : si x appartient à l’intervalle [a, a + L] On obtient le système suivant : qx Effort tranchant T x=0 Effort Normal N a x -a C Moment fléchissant M x Calcul de la charge qx qx =( q ( x-a )) /L On a : tang (Angle que fait q avec l’horizontal) = q/L = qx /( x-a ) 47 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY On convertit la charge répartie qx en charge concentrée : Qx = (qx ( x – a ))/2 = (q ( x – a )²) /2L Qx = (q ( x – a )²) /2L Effort tranchant T Effort Normal N X=a C X=0 Moment fléchissant M a 𝟐(𝒙 − 𝒂) (𝒙 − 𝒂) 𝟑 𝟑 x On écrit les équations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← N=0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ 0 = Qx + T T = - Qx 𝐪 ( 𝐱 – 𝐚 )𝟐 T(x) = - 𝟐.𝑳 On écrit la troisième équation par rapport à C : 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐶 = 0 Force Qx T N = - Qx ( x – a)/3 𝐪 ( 𝐱 – 𝐚 )𝟐 Tx 0 Nx0 -M Moment de =- ( x – a)/3 =0 =0 la force /C 𝟐.𝑳 𝒒(𝒙−𝒂)𝟑 =- 𝟔𝑳 48 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY D’où : -(q(x-a)3) /6L - M = 0 𝒒(𝒙−𝒂)𝟑 M(x) = - 𝟔𝑳 Conclusion : Si on réalise une coupe dans l’intervalle [a + L] , la charge q est prise partiellement dans l’équation de T et M avec les valeurs suivantes : Charge triangulaire croissante Conclusion : Conclusion : D Si x appartient à [a, a + L] 𝐪 ( 𝐱 – 𝐚 )𝟐 𝐪 𝐱² 𝟏 - - 𝟐.𝑳 𝟐.𝑳 Si x appartient à [a, a + L] 𝐪 𝐱 𝟑 -(q(x-a) 𝟑 𝐪 ( 𝐱 – 3𝐚) )/6L - - 𝟔.𝑳 𝟔.𝑳 Exemple d’application : Soit à établir les équations des efforts internes dans la poutre isostatique soumise à une charge triangulaire croissante (Voir schéma mécanique suivant): 49 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Calcul des réactions aux appuis de la poutre : On a : Q = (q x L)/2 = (24 x 3)/2 = 36 KN Point d’application : a =2L/3 = 2m et b = L /3 = 1 m Q = 36 KN RA RB HA 1,5 m 2m 1,5 m Equations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← HA = 0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = Q = 36 KN RA + RB = 36 KN 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 On a : Force RA HA Q RB Moment de la RA x 0 HA x 0 +Q x 2 -RB x 3 force /A =0 =0 = 72 = - 3 RB En KN.m D’où : 0 + 0 + 72 - 3 RB = 0 3 RB = 72 RB = 72/ 3 RB = 24 KN Puisque : RA + RB = 36 KN, alors : RA = 36 - RB = 36 -24 = 12 KN RA = 12 KN 50 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Calculons maintenant les efforts internes dans la poutre en utilisant le formulaire établi. On a un seul intervalle : [ 0 ; 3] RA=12 KN RB=24 KN x=0 x=3 [0,3] Dans cet intervalle, on laisse à gauche la réaction RA et on coupe la charge répartie q Effort tranchant = + RA - (q (x – 0 )²) /2L = 12 – 4 x² T(x) T( 0)= 12 T( 3)= -24 ( KN ) Moment fléchissant = + RA( x – 0) -(q(x-0)3) /6L = 12 x – 1,333 x3 M(x) M( 0)= 0 M( 3)= 0 ( KN.m ) Dans l’intervalle [0,3], la fonction T(x) change de signe, c’est-à-dire que T s’annule dans cet intervalle. Or, T(x) est la dérivée de la fonction M(x), donc la dérivée de M(x) s’annule. C’est- à-dire que M admet une valeur maximale dans cet intervalle. Dans [0,3] 𝒅𝑴 12 – 4 x²= 0 = T(x) = 0 𝒅𝒙 x = 1,732 m 51 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Le moment fléchissant admet une valeur maximale dans l’intervalle [0,3] au point d’abscisse x = 1,732 m M(1,732) = = 12* 1,732 – 1,333 (1,7323 )= 13,86 KN.m Diagrammes des efforts internes : ❖ Effort tranchant TMAX = 12 KN x = 1,732 m 12 -24 TMIN = -24 KN ❖ Moment fléchissant : x = 1,732 m 13,86 MMAX =13,86 KN.m 52 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Cas 2 : si x ≥ a + L ; on laisse la totalité de la charge à gauche Effort tranchant T q x=0 Effort Normal N a L x-(a+L) Moment fléchissant M x On convertit la charge répartie en charge concentrée : Q = (q. L)/2 Q = q. L/2 Effort tranchant T Effort Normal N X=0 X=a C Moment fléchissant M a 𝟐𝑳 x – a – (2L/3) 𝟑 x On écrit les équations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← N=0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ 0=Q+T T =- Q T(x) = - q. L/2 53 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY On écrit la troisième équation par rapport à C : 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐶 = 0 On a : Force Q T N Moment de la - Q.( x – a – (2L/3) ) Tx 0 Nx0 force /C = (- q.L/2) ( x – a – (2L/3) ) =0 =0 -M En KN.m M(x) = (- q.L/2) ( x – a – (2L/3) ) D’où : (- q.L/2) ( x – a – (2L/3) ) - M = 0 Conclusion : Si on réalise une coupe après la charge q , cette dernière est prise totalement dans l’équation de T et M avec les valeurs suivantes : Conclusion : Conclusion : D 𝑳 -q. 𝑳 𝟐 -q. 𝟐 𝑳 𝟐.𝑳 𝑳 - q (x – a – 𝟐.𝑳 ) -q (x– ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 )) 54 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Exemple d’application : Soit à calculer les efforts internes dans la poutre chargée suivante : Calcul des réactions aux appuis : On a : Q = (q x L)/2 = (10 x 3)/2 = 15 KN Point d’application : a =2L/3 = 2m et b = L /3 = 1 m Q = 15 KN RA RB HA 2m 1m Equations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← HA = 0 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = Q + F = 15 + 12 = 27 KN RA + RB = 27 KN 55 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 On a : Force RA HA Q F RB Moment de la RA x 0 HA x 0 +15x 2 +12 x 3 -RB x 4 force /A =0 =0 = 30 = 36 = - 4 RB En KN.m D’où : 0 + 0 + 30 + 36 - 4 RB = 0 4 RB = 66 RB = 66/ 4 RB = 16,5 KN Puisque : RA + RB = 27 KN, alors : RA = 27 - RB = 27 -16,5 = 10,5 KN RA = 10,5 KN Calculons maintenant les efforts internes en utilisant le formulaire établi. On a deux intervalles : [ 0 ; 3] et [ 3 ; 4 ] RA = 10,5 KN RA = 16,5KN x=0 x=3 x=4 56  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY [0,3] Intervalle [3,4] Dans cet intervalle, on laisse à On laisse les forces F et RA à gauche gauche la réaction RA et on coupe la ainsi que la totalité de la charge q. charge répartie q Effort tranchant = + RA - (q ( x – a )²) /2L = + RA – (q. L/2) - F = 10,5 – 1,667 x² = 10,5 – (10 x 3/2) - 12 T(x) = -16,5 T( 0)= 10,5 ( KN ) T( 3)= -4,5 T( 3)= -16,5 T( 4)= -16,5 Moment fléchissan = + RA( x – 0) –(q(x-a) 3) /6L =RA( x – 0)– (q.L/2)( x –0- (2L/3))- F( x – 3) = 10,5 x– 0,556 x3 = 10,5 x– 15 (x - 2) - 12( x – 3) t M(x) = -16,5 x + 66 M( 0)= 0 M( 3)= 16,5 ( KN.m ) M( 3)= 16,5 M( 4)= 0 Dans l’intervalle [0,3], la fonction T(x) change de signe, c’est-à-dire que T s’annule dans cet intervalle. Or, T(x) est la dérivée de la fonction M(x), donc la dérivée de M(x) s’annule. C’est- à-dire qu’elle admet une valeur maximale dans cet intervalle. Dans [0,3] 𝒅𝑴 10,5 – 1,667 x²= 0 = T(x) = 0 𝒅𝒙 x = 2,51 m Le moment fléchissant admet une valeur maximale dans l’intervalle [0,3] au point d’abscisse x = 2,51 m M(2,51) = 10,5 *2,51– 0,556 (2,51)3 = 17,56 KN.m 57 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Diagrammes des efforts internes : ❖ Effort tranchant TMAX = 10,5 KN 10,5 x = 2,51 -4,5 -16,5 TMIN= -16,5 KN ❖ Moment fléchissant : x = 2,51 16,5 17,56 MMAX = 17,56 KN.m 58  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY iv) Cas d’une charge répartie non uniforme (Triangulaire) décroissante. Deux cas à étudier : i) Si on coupe au milieu de la charge répartie, une partie trapèzoidale de la charge q à prendre en considération. q x=0 x=a x = a+L L ii) Si on coupe après la charge répartie q, on prendra en compte la totalité de la charge.. q x=0 x=a x = a+L. L Astuce : On peut facilement remarquer que ce type de charge n’est qu’une combinaison entre une charge rectangulaire et une charge triangulaire croissante : q q q = - L L L On utilisera donc le formulaire établi pour les deux charges pour en déduire celui de la charge décroissante. (Voir tableau suivant) 59  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY EFFORT TRANCHANT 𝐪 ( 𝐱 – 𝐚 )𝟐 𝒒.𝑳 T(x) -q (x – a) + - 𝟐.𝑳 𝟐 Si a = 0 -q x + (q x²) /2L MOMENT FLECHISSANT −𝐪 ( 𝐱 – 𝐚 )𝟐 𝐪 ( 𝐱 – 𝐚 )𝟑 𝑳 𝑳 M(x) + - q (x – a - ) 𝟐 𝟔.𝑳 𝟐 𝟑 Si a = 0 Si a = 0 −𝒒 𝒙² 𝐪𝐱𝟑 𝑳 𝑳 + -q (x– ) 𝟐 𝟔.𝑳 𝟐 𝟑 Exemple d’application : Soit à calculer les efforts internes dans la poutre chargée suivante : q = 12 KN/m 3m 1m Calcul des réactions aux appuis : On a : Q = (q x L)/2 = (12 x 3)/2 = 18 KN Point d’application : a =L/3 = 1m et b = 2L /3 = 2 m 60 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Q = 18 KN RA RB HA 1m 2m 1m Equations de la statique : EQUATION N°1 ∑𝐹 → = ∑𝐹 ← 0 = HB 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°2 ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = Q = 18 KN RA + RB = 18 KN 𝐸𝑄𝑈𝐴𝑇𝐼𝑂𝑁 𝑁°3 ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 On a : Force RA HB Q RB Moment de la RA x 0 HB x 0 +18x 1 -RB x 4 force /A =0 =0 = 18 = - 4 RB En KN.m D’où : 0 + 0 + 18 - 4 RB = 0 4 RB = 18 RB = 18/ 4 RB = 4,5 KN Puisque : RA + RB = 18 KN, alors : RA = 18 - RB = 18 - 4,5 = 13,5 KN RA = 13,5 KN 61  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Calculons maintenant les efforts internes en utilisant le formulaire établi. On a deux intervalles : [ 0 ; 3] et [ 3 ; 4 ] RA = 13,5 KN q = 12 KN/m RB = 4,5 KN 3m 1m Intervalle [0,3] Intervalle [3,4] Dans cet intervalle, on laisse à gauche la On laisse à gauche la réaction RA et on coupe la charge répartie q totalité de la charge q. Effort tranchant = + RA - q (x – a) + (q (x – a)²) /2L = + RA – (q. L/2) T(x) = 13,5 – 12 x + 2 x² = 13,5 – (12 x 3/2) T( 0)= 13,5 = - 4,5 ( KN ) T( 3)= -4,5 T( 3)= -4,5 T( 4)= - 4,5 Moment = + RA( x – 0) –(q (x – a)²) /2 + (q (x – a)3) /6L =RA x– (q.L/2)( x –0- (L/3))) fléchissan = 13,5 x– 18 (x - 1) t M(x) = - 4,5 x + 18 = 13,5 x– 6 x² + 0,667 x3 M( 0)= 0 M( 3)= 4,5 ( KN.m ) M( 3)= 4,5 M( 4)= 0 Dans l’intervalle [0,3], la fonction T(x) change de signe, c’est-à-dire que T s’annule dans cet intervalle. Or, T(x) est la dérivée de la fonction M(x), donc la dérivée de M(x) s’annule. C’est- à-dire qu’elle admet une valeur maximale dans cet intervalle. 𝒅𝑴 = T(x) = 0 13,5 – 12 x + 2 x² = 0 𝒅𝒙 Dans [0,3] x = 1,5 m 62 Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Le moment fléchissant admet une valeur maximale dans l’intervalle [0,3] au point d’abscisse x = 1,5 m M(1,5) = 13,5 * 1,5 – 6 (1,5) ² + 0,667 *(1,5)3= 9 KN.m Diagrammes des efforts internes : ❖ Effort tranchant TMAX = 13,5 KN 13,5 X = 1,5 -4,5 TMIN = -4,5 KN ❖ Moment fléchissant : x = 1,5 4,5 9 MMAX = 9 KN.m 63  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY 6) Exercices d’application sur le calcul des réactions aux appuis et les efforts internes dans les poutres isostatiques Exercice 1 : Une poutre droite avec console de section rectangulaire, en équilibre appuyée sur deux appuis simples, supporte deux charges uniformément réparties q1 et q2 : On vous demande de : a) Calculer les réactions aux appuis de la poutre A et B. b) Etablir les équations du moment fléchissant M(x) et l’effort tranchant T(x) le long de la poutre c) Tracer les diagrammes de M(x) et T(x) et déduire les valeurs extrêmes Mmax et Tmax A B Solution (EXERCICE 1) a) Calcul des réactions aux appuis de la poutre A et B. On a: Q1 = (q1 x L) = (20 x 4) = 80 KN ; a = b = L/2 = 2m Q2 = (q2 x L’) = (16 x 1) = 16 KN ; a’ = b’ = L’/2 = 0,5 m ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = Q1 + Q2 = 96 KN ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 2 x Q1 + 4,5 x Q2 – 4 RB = 0 RB=(2 x Q1 + 4,5 x Q2)/4 RB = 58 KN RA + RB = 96 KN RA = 38 KN 64  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY b) Etablir les équations du moment fléchissant M(x) et l’effort tranchant T(x) le long de la poutre Intervalle [0,4] Intervalle [4,5] On laisse à gauche la réaction On laisse à gauche les réactions RA et RB ainsi que la RA et on coupe la charge totalité de q1 et on coupe la charge répartie q2 qui répartie q1 qui commence à x commence à x = 4 =0 Effort = RA – q1 ( x – 0) = RA + RB – q1.L – q2 ( x – 4) tranchant = 38 – 20 x = 38+58 - 80 – 16 x +64 T(x) = 80 – 16 x T( 0) = 38 T( 4)= 16 ( KN ) T( 4) = - 42 T( 5)= 0 Moment = RA( x – 0) – q1/2 ( x – 0)² =RA.x + RB ( x – 4) – q1.L (x-0-L/2)- (q2 /2) ( x – 4)² fléchissan = 38 x– 10 x² = 38x +58(x-4) – 80( x-2) – 8( x -4)² t M(x) = 80 x – 8x² - 200 M( 0)= 0 M( 4)= - 8 M( 4)= - 8 ( KN.m ) M( 5)= 0 Dans l’intervalle [0,4], la fonction T(x) change de signe, c’est-à-dire que T s’annule dans cet intervalle. 𝒅𝑴 38 – 20 x = 0 = T(x) = 0 𝒅𝒙 x = 1,9 m Le moment fléchissant admet une valeur maximale dans l’intervalle [0,3] au point d’abscisse x = 1,9 m M(1,9) = 38 *1,9– 10 (1,9) ² = 36,1 KN.m Si le diagramme de T(x) coupe l’axe horizontal dans un point, le moment féchissant admet une valeur extrême dans ce point. 65  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY c)Diagrammes de M(x) et T(x) : Tmax =38 KN.m Mmin =-8 KN.m 38 x = 1,9 m x = 1,9 m 16 -8 36,1 Mmax =36,1 KN.m -42 Tmin= - 42 KN.m Exercice 2 : Une poutre droite avec console de section rectangulaire, en équilibre appuyée sur deux appuis simples, supporte une charge uniformément répartie q et une charge concentrée F : On vous demande de : a) Calculer les réactions aux appuis de la poutre A et B. b) Etablir les équations du moment fléchissant M(x) et l’effort tranchant T(x) le long de la poutre c) Tracer les diagrammes de M(x) et T(x) et déduire les valeurs extrêmes Mmax et Tmax A B 66  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Solution (EXERCICE 2) b) Calcul des réactions aux appuis de la poutre A et B. On a: Q = (q x L) = (20 x 5) = 100 KN ; a = b = 5/2 = 2,5m F = 14 KN ∑ 𝐹 ↑= ∑ 𝐹 ↓ RA + RB = Q + F = 114 KN ∑ 𝑀𝐹/𝐴 = 0 -F x 1 + 2,5 x Q – 5 RB = 0 RB=(-F x 1 + 2,5 x Q)/5 RB = 47,2 KN RA + RB = 114 KN RA = 66,8 KN b) Etablir les équations du moment fléchissant M(x) et l’effort tranchant T(x) le long de la poutre Intervalle [0,1] Intervalle [1,6] On laisse à gauche la force F On laisse à gauche la réaction RA et la force F et on coupe la charge répartie q qui commence à x = 1 Effort = –F = RA – F – q ( x – 1) tranchant = – 14 = 66,8 - 14 – 20 x +20 T(x) = 72,8 – 20 x T( 0) = - 14 T( 1)= 52,8 ( KN ) T( 1) = - 14 T( 6)= -47,2 Moment = -F ( x – 0) =RA( x – 1) – F ( x – 0)- (q /2) ( x – 1)² fléchissan = -14 x = 66,8 (x-1) – 14 x – 10( x -1)² t M(x) = 72,8 x – 10x² - 76,8 M( 0)= 0 M( 1)= - 14 M( 1)= - 14 ( KN.m ) M( 6)= 0 67  Résistance des matériaux Cours et exercices corrigés Mr ELKHADARY Dans l’intervalle [1,6], la fonction T(x) change de signe, c’est-à-dire que T s’annule dans cet intervalle. 𝒅𝑴