Fizika jegyzet - Mechanika (PDF)

Bevezetés. Mechanika: tömegpont kinematikája és dinamikája. Dr. Dóczy-Bodnár Andrea A FIZIKA CÉLJA: A fizika a természetben előforduló jelenségeket megpróbálja a lehető legegyszerűbb modellbe foglalni. Ezzel a fizika célja az emberek számára megfigyelhető dolgok kapcsolása az eredendő okokh...

Bevezetés. Mechanika: tömegpont kinematikája és dinamikája. Dr. Dóczy-Bodnár Andrea A FIZIKA CÉLJA: A fizika a természetben előforduló jelenségeket megpróbálja a lehető legegyszerűbb modellbe foglalni. Ezzel a fizika célja az emberek számára megfigyelhető dolgok kapcsolása az eredendő okokhoz, majd ezen okok összekapcsolása, kísérleteken alapuló elméletek kidolgozásával. Egy fizikai elmélet, általában matematikai formában kifejezve, leírja, hogyan működik egy jelenség, bizonyos előrejelzéseket tesz arra vonatkozóan, amelyeket aztán megfigyelésekkel és kísérletekkel lehet tesztelni. 1900 Klasszikus fizika Modern fizika XVII. Század „Filozófikus” (Galilei, Newton tudományok és mások): kísérletes fizika kialakulása Info Fizikai mennyiségek és mértékegységek  Alapfogalmak Fizikai mennyiségeket vezetünk be a fizikai objektumok és folyamatok kísérletileg vizsgálható tulajdonságainak leírására A fizikai (ill. kémiai) mennyiségek közötti összefüggéseket méréssel állapítjuk meg. Fizikai mennyiség = mérőszám · mértékegység Mértékegység: specifikus egység, az adott fizikai mennyiséget ennek meghatározott többszörösei írják le Standard mértékegység-rendszerek: valamilyen hatóság, általában kormányzati szerv által elfogadott mértékegységek rendszere, amelyek természetes állandókon vagy jól reprodukálható jelenségeken alapulnak → etalon (a mennyiség rögzített egysége, reprodukálható „mérőeszköz”) Alap- és származtatott fizikai mennyiségek SI mértékegység-rendszer: Systéme International (SI, 1960) által meghatározott szabványos mértékegységek 7 SI alapegység, amelyekből minden más SI mértékegység levezethető Továbbfejlesztése a Mennyiségek Nemzetközi Rendszere: gondolkodásmódjában eltérő, de az SI valamennyi mértékegysége változatlan értelmezésű maradt  Fizikai alapmennyiségek és SI mértékegységeik Alapmennyiségek – nem fejezhető ki más fizikai mennyiségekkel Mechanikában használt alapmennyiségek: Info Tömeg – mértékegysége a kilogram, etalonját (“Le Grande Kilo”) a Nemzetközi Súly- és Mértékügyi Hivatalban őrzik Hosszúság - méterben kifejezve, a fény által vákuumban meghatározott idő alatt (1/299 792 456-od másodperc) megtett távolság Idő – másodperc (secundum), az alapállapotú cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9 192 770 periódusának időtartama a kg-ot nem tudjuk másképp leírni, a többit igen A mechanikában előforduló néhány származtatott mennyiség és annak SI mértékegysége erő/felület = nyomás  SI prefixumok (előtagok) 10 hatványai (legtöbb esetben hárommal osztható kitevő) – decimális szorzók specifikus név és rövidítés Példa: 2 mm = 0.002 m = 2 × 10-3 m (→ normálalak, ld. Matematika kurzus)  Skalár- és vektormennyiségek A skaláris/skalár- mennyiségeknek csupán nagyságuk van. út, hőmérséklet, munka, energia,… A vektormennyiségeknek nagyságuk és irányuk van. sebesség, gyorsulás, erő,…  Matematikai alapfogalmak Itt csak néhány kiválasztott témára térünk ki röviden. További, részletesebb magyarázat elérhető a matematika kurzus keretében.  (Síkbeli) Descartes-féle koordináta-rendszer meghatározott (fix) referencia-pont → origó vagy kezdőpont (minden koordinátája nulla) origóból kiinduló, két egymásra merőleges számegyenes a pontokat a tengelyektől mért távolságuk (rendezett számpár, koordináták) határozza meg (ábrázolt fizikai mennyiség egységeiben kifejezve)  Polár koordináta-rendszer origó és az ebből kiinduló irányított számegyenes (polártengely) a sík pontjait az origótól mért távolság és a polártengellyel bezárt szög adja meg (théta) polártengely - origo: referenciapont - r (1. pont): távolság - théta (2. pont): szög Trigonometria alapjai Pitagórász-tétel 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 Szög meghatározása – inverz művelet Pl. θ= sin−1 0.707= 45° Számológép beállítása (fok vs. radián) 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 cos 𝜑𝜑 A pont helyzetét jellemző adatpárok 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 sin 𝜑𝜑 átválthatók egymásba! 𝑟𝑟 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2  Vektorok általában félkövér betűvel és a betű fölötti nyíllal jelöljük Grafikus ábrázolás: nyíl (hossz – vektor nagysága, nyíl helyzete – irány) műveletek vektorokkal: összeadás, kivonás, skalárral történő szorzás (két vektor skaláris és vektorszorzat – itt nem tárgyaljuk) összeadás: A végpontja + B indulópontja azonos vektorok (irány és nagyság azonos)     ( ) A − B = A + −B skalárral szorozzuk a vektort -> megnő (pl. a*3 = 3a)  - vektor komponensei kellenek! Vektorkomponensek - nem kell tudni az egyenleteket Merőleges vektorkomponensek: a vektor x- és y-tengelyre eső merőleges vetülete (egy olyan derékszögű háromszög befogói, amelynek az átfogója maga a vektor)    Ay = A sin θ A Ax + Ay = Vektor nagysága és iránya a komponensekből meghatározható: Ax = A cos θ 𝐴𝐴 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝐴𝐴2𝑦𝑦 és Θ = t𝑔𝑔−1 ( 𝐴𝐴𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦    R= A + B Rx =+ Ax Bx Ry =+ Ay By Ld. trigonometria dia. A szög meghatározásánál legyünk figyelmesek! A fentiek csak akkor érvényesek, ha a szöget a pozitív x-tengelyhez képest adjuk Info meg. Ebben az esetben: az óramutató járásával ellentétes irány – pozitív előjel, megegyező irány – negatív előjel a 2. és 3. kvadránsban lévő vektorok esetében (negatív x komponens) 180°-ot hozzá kell adni a számított szöghöz A szöget gyakran másik másik tengelyhez, például a pozitív y tengelyhez képest adjuk meg. A komponensek kiszámításakor ügyeljünk a megfelelő szögfüggvény használatára!  A mechanika alapjai: pontszerű testek kinematikája Mit nevezünk (klasszikus) mechanikának? A klasszikus vagy newtoni mechanika (görög mechanική) a testek mozgásának leírásával és az azokat okozó törvényekkel foglalkozik. Kinematika: „ Hogyan mozognak a testek? ” Dinamika: „ Miért mozognak a tárgyak? ”  pl. egy kilőtt lövedék/teniszlabda pontszerűnek tekinthető Pontszerű test (tömegpont): A valós tárgy olyan modellje, amelyben a tárgyat egyetlen (tömeggel rendelkező) pontnak tekintik. Nincs térbeli kiterjedése, “nem foglal” helyet. A modellt akkor használható, ha méretei a mozgás pályájának méreteihez képest elhanyagolhatók és mérete, szerkezete, alakja, belső folyamatai nem befolyásolják középpontjának mozgását. Összetett mozgások leírása Info Egy valós test mozgásának leírása általában nagyon bonyolult. Minden egyes időpontban az összes pont mozgását meg kell adni, hogy megkapjuk az egész test mozgását. Egyszerre csak egy pontot veszünk figyelembe. A pontok száma a problémától függ.  Mozgást leíró mennyiségek Bármely mozgást 3 fő jellemzővel írhatunk le elmozdulás sebesség (átlag vs. pillanatnyi) gyorsulás (átlag vs. pillanatnyi) Mindegyik vektormennyiség!  Vonatkoztatási pont, helyvektor, pálya Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk (O pont, origó). Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutató ún. helyvektort (𝑟𝑟). ⃑ Ha minden t időpontra megadjuk a test 𝒓𝒓(𝒕𝒕) helyvektorát, akkor ezzel a tömegpont mozgását teljesen leírtuk. pálya: az a szakasz, amit a test ténylegesen leír helyvektor 𝑟𝑟(𝑡𝑡) ⃑ pálya O viszonyítási pont  Elmozdulás, út Elmozdulás: ∆𝒓𝒓 = 𝑟𝑟⃑ 𝑡𝑡2 − 𝑟𝑟⃑ 𝑡𝑡1 (a helyvektor megváltozása) vektormennyiség mértékegysége: méter (m) csak az adott mozgásszakasz kezdő- és végpontjától függ Út (s): a befutott pályadarab hossza skalár mennyiség matematikailag bonyolultabb definíció mértékegysége: meter (m) Fizikában a két kifejezés nem egymás szinonimája!!! 𝒓𝒓(𝒕𝒕𝟏𝟏) 𝒓𝒓(𝒕𝒕𝟐𝟐)  Egyenes vonalú (egydimenziós) mozgás A mozgás egyenes vonal mentén történik (általában x tengely, szabadesés esetén y). A mozgást leíró vektormennyiségek egy nullától különböző komponenssel rendelkeznek, azaz a "+" és "-" jelek elegendőek az irány meghatározásához. (A fentiek miatt, az egyszerűség kedvéért, a jelen előadásban az 1D mozgásra vonatkozó egyenletekben nem tettük ki a nyilat a vektormennyiségek jelzésére.)  Egyenes vonalú mozgás: elmozdulás egy koordináta (x- vagy y-koordináta) elegendő a tömegpont helyzetének leírására elmozdulás: ∆x ≡ x f − xi SI unit: m f: végpont, i: kezdőpont vektormennyiség független a befutott pályától: csak a kezdő- és a végpont számít egyetlen koordináta mentén történik az elmozdulás ∆y  Átlag- és pillanatnyi sebesség Átlagsebesség: a tárgy helyzetének pozíció megváltozása egységnyi idő alatt ∆𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒇𝒇 − 𝒙𝒙𝒊𝒊 vektormennyiség 𝑣𝑣 = = ∆𝒕𝒕 𝒕𝒕𝒇𝒇 − 𝒕𝒕𝒊𝒊 iránya megegyezik az elmozdulás irányával független a befutott pálya alakjától, csak a kezdő- és végpont számít ti általában 0 SI egység: m/s lehet pozitív vagy negatív ∆t mindig pozitív a sebesség előjelét a mozgás iránya határozza meg (a referenciaponthoz képest) Pillanatnyi sebesség: az átlagsebesség határértéke, amennyiben ∆t végtelenül kicsi (0-hoz közelít) - az elmozdulás idő szerinti deriváltja ∆𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒗𝒗 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = ∆𝒕𝒕→𝟎𝟎 ∆𝒕𝒕 𝒅𝒅𝒅𝒅 Egyenes vonalú egyenletes mozgás: pozíció-idő grafikon átlagsebesség – egyenes meredeksége (20m/10s = 2m/s) ∆𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒇𝒇 − 𝒙𝒙𝒊𝒊 𝑣𝑣 = = ∆𝒕𝒕 𝒕𝒕𝒇𝒇 − 𝒕𝒕𝒊𝒊 Egyenletes mozgás: a sebesség állandó, azaz sem a sebességvektor nagysága, sem annak iránya nem változik ⇒ a pillanatnyi sebesség minden időpontban azonos ⇒ a pillanatnyi sebesség azonos az átlagsebességgel  Hely-idő grafikon: egyenes vonalú, változó sebességű mozgás ∆𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒇𝒇 − 𝒙𝒙𝒊𝒊 ∆𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒗𝒗 = = 𝒗𝒗 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = ∆𝒕𝒕 𝒕𝒕𝒇𝒇 − 𝒕𝒕𝒊𝒊 ∆𝒕𝒕→𝟎𝟎 ∆𝒕𝒕 𝒅𝒅𝒅𝒅 átlagsebesség = a kezdeti és végső pillanatnyi sebesség adott időpontban = időponthoz tartozó pontokat érintő meredeksége adott pontban (→ összekötő szelők meredeksége hely-idő függvény időszerinti deriváltja, ld. később Matematika kurzus)  Átlagos és pillanatnyi gyorsulás Gyorsulás: sebesség megváltozása Átlagos gyorsulás: Pillanatnyi gyorsulás: ∆t végtelenül kicsi (0-hoz közelít) ∆𝒗𝒗 𝒗𝒗𝒇𝒇 − 𝒗𝒗𝒊𝒊 ∆𝒗𝒗 𝒅𝒅𝒗𝒗 < a >= = 𝒂𝒂 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 = ∆𝒕𝒕 𝒕𝒕𝒇𝒇 − 𝒕𝒕𝒊𝒊 ∆𝒕𝒕→𝟎𝟎 ∆𝒕𝒕 𝒅𝒅𝒅𝒅 sebesség-idő függvény: átlaggyorsulás = a kezdeti és végső időponthoz tartozó pontokat összekötő szelő meredeksége pillanatnyi gyorsulás = érintő meredeksége adott pontban vf: végső vi: kezdeti  Sebesség és gyorsulás kapcsolata Egyenes vonalú mozgás esetén: sebesség és gyorsulás iránya megegyezik ⇒ a sebesség nő az idő függvényében sebesség és gyorsulás ellentétes irányú ⇒ a sebesség csökken az idő függvényében a gyorsulás előjele a vonatkoztatási ponthoz viszonyított irányt mutatja, nem pedig a köznapi értelemben vett "gyorsulást" (sebességnövekedés) vagy "lassulást" (sebességcsökkenés) Info  Egyenes vonalú, egyenletes mozgás x(t) = x0 + vt vagy ∆x=vt idő v(t) = v0 = állandó sebesség a(t) = 0 - konstans: amikor nincs gyorsulás vagy lassulás - sebesség-idő grafikon: a gyorsulás 0  Egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás Kinematikai alapegyenletek Sebesség az idő függvényében Elmozdulás az idő függvényében Sebesség az elmozdulás függvényében A mozgás az x-tengely mentén történik, v0 a kezdeti sebesség.  Szabadesés Kizárólag a gravitáció hatása alatt álló tárgy (a légellenállás elhanyagolható) állandó gyorsulással (gravitációs gyorsulás, g) mozog, függetlenül annak kezdeti mozgásától. (Elejtett tárgy, illetve tágabb értelmezésben a függőlegesen elhajított tárgy mozgása is idetartozik.) Amennyiben a légellenállás elhanyagolható, valamint a gravitációs gyorsulás állandónak tekinthető (bizonyos magasságtartományon belül) ⇒ egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás ⇒ kinematikai egyenletek alkalmazhatók, de (általában) y-t használnak x helyett (függőleges irány), az irány felfelé pozitív. v= y v0 y − gt gyorsulás “lefelé” irányul a Föld felszínéhez közel: g=9,80 m/s2 1 2 ∆y= v0 y t − gt 2 v y 2 = v0 y 2 − 2 g ∆y Galileo Galilei (1564-1642): szabadesés és egyebek  Szabadesés típusai A gyorsulás minden esetben ugyanannyi! (-g) Elejtett tárgy kezdősebesség nulla vo= 0, a = -g gyorsulás: a=-g =- 9.80 m/s2 Függőleges hajítás lefelé vo< 0, a = -g a = -g = -9.80 m/s2 kezdősebesség ≠ 0 (negatív előjel) Függőleges hajítás felfelé v=0 maximális magasságnál pozitív kezdősebesség maximális magasságnál a pillanatnyi sebesség nulla a = -g = -9.80 m/s2 a mozgás minden pontjában vo> 0, a = -g  Kétdimenziós mozgás A mozgás pályájának leírásához mindkét tengely/koordináta szükséges, pl. a pályának görbülete van (lövedék pályája, körmozgás). Azon esetekre összpontosítunk, ahol a gyorsulás állandó (= mindkét komponense állandó). Amennyiben a mozgást jellemző vektorok mindkét komponense különbözik nullától, mindkettőt használni kell a mozgás jellemzéséhez (a "+" és "-" előjelek nem elegendőek). Ha jobbra-balra nem mozdul, akkor az eldobott tárgyat le lehet írni két dimenziós koordináta rendszerben. Kétdimenziós mozgás: elmozdulás, sebesség és gyorsulás Elmozdulás-vektor komponensei: ∆x = x f − xi ∆y = y f − yi Sebesség, vektorkomponensek   ∆ r ∆x ∆y v av ≡ SI unit: m/s=vav, x = and vav, y ∆t  ∆t ∆t  ∆r ∆𝑥𝑥 ∆𝑦𝑦 v ≡ lim 𝑣𝑣𝑥𝑥 = lim 𝑣𝑣𝑦𝑦 = lim ∆t → 0 ∆t ∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡 ∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡 Gyorsulás, vektorkomponensek   ∆v ∆vx ∆vx a av ≡ SI unit: m/s = 2 aav, x = and aav, y ∆t ∆t ∆t   ∆v ∆𝑣𝑣𝑥𝑥 ∆𝑣𝑣𝑦𝑦 a ≡ lim 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = lim ∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡 𝑎𝑎 𝑦𝑦 = lim ∆𝑡𝑡→0 ∆𝑡𝑡 ∆t → 0 ∆t Info  Mikor gyorsul a mozgó objektum? Változik a sebességvektor nagysága Változik a sebességvektor iránya Állandó nagyságú sebesség esetén is! A sebességvektor nagysága és iránya egyaránt változik A tárgy folyamatosan gyorsul, folyamatosan esik a föld felé, de a föld kimozdul alóla.  Hajítás Hajításnak nevezzük az olyan mozgást, amelynél a Föld (vagy valamely más égitest) felszínének közelében leeső test kezdősebessége nullától különbözik. Ferde hajítás – kezdősebesség mindkét komponense különbözik nullától, parabolikus pálya (Galilei) (Függőleges hajítás – kezdeti sebesség vízszintes komponense nulla, egyenes vonalú pálya, egyenletesen változó mozgás (ld. szabadesés)) Ha ugyanaz a sebesség, de változik a szög, akkor változik a távolság. Hajítás kezdeti szögétől függő távolságban “ér földet” különböző magasság komplementer szögek (összegük 90o) – azonos távolság Maximális távolság 45o esetén http://www.walter-fendt.de/ph14hu/projectile_hu.htm  A ferdén elhajított test megy előre és esik. A két Ferde hajítás mozgást (vízszintes és függőleges) egymástól függetlenül lehet vizsgálni. Van egy olyan maximum magasság, ahol már le KELL essen a tárgy. 1. A vízszintes és függőleges irányban történő mozgás egymástól független. 2. vx állandó (egyenleets mozgás, ax=0) 3. ay = –g. 4. vy és y: szabadesés 5. Ferde hajítás: az x- és y-irányú mozgások szuperpozíciója. v0 x 0 cos θ 0 and v0 y v= v0 sin θ 0 Függőleges irányban: Info Vízszintes irányban: =v y v0 sin θ 0 − gt vx v= = v0 cos θ= constant 1 2 0x 0 =∆y ( v0 sin θ0 ) t − gt 2 ∆x= v0 x= t ( v0 cos θ0 ) t ( v0 sin θ0 ) − 2 g ∆y 2 vy 2 = Pillanatnyi sebesség a pálya egyes pontjaiban: v v x + v y2 v = 2 and tan−1 y θ = vx  A mechanika alapjai: pontszerű testek dinamikája  Mit nevezünk (klasszikus) mechanikának? A klasszikus vagy newtoni mechanika (görög mechanική) a testek mozgásának leírásával és az azokat okozó törvényekkel foglalkozik. Kinematika: „ Hogyan mozognak a testek? ” Dinamika: „ Miért mozognak a tárgyak? ” A dinamika megértéséhez szükségesek a kinematikából eddig megtanult alapfogalmak. A dinamika alaptörvényeit Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott mások munkájára is, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika. A mechanika alaptörvényei azóta is a Newton-törvények, melyeket a következőkben tárgyalunk. (Newton nem ebben a formában mondta ki őket, de azóta - 400 éve - is általános érvényűek)  Erő Jele F (force) Vektormennyiség, SI egység: Newton (N) - származtatott mennyiség: 1 N= 1kg/ms2 Mozgásállapot megváltoztató képesség: ha egy test befolyásolja egy másik test mozgásállapotát, azt mondjuk, erőt fejt ki rá. Kontakt (közvetlen érintkezés) vagy mező által közvetített (távolságban ható) erők pl. húzunk egy kötelet pl. elektromosság, mágnesesség - megváltoztatja a sebességet  Alapvető erők/kölcsönhatások Típusai Erős kölcsönhatás atomok együtt maradnak emiatt (protonok, elektronok, neutronok) Elektromágneses erő pl. elektromosság, mágnesesség Gyenge kölcsönhatás atommagok stabilitása Gravitációs erő Jellemzők Mező által közvetített erők Fenti sorrendben csökkenő nagyságúak Mechanikában: csak a gravitációs és az elektromágneses erő fordul elő - fentről lefele az erő csökken - fentről lefele a távolság nő Info  Newton I. törvénye: a tehetetlenség törvénye Minden test megmarad a nyugalom vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgás állapotában, amíg a rá ható erők ennek az állapotnak a megváltoztatására nem kényszerítik (azaz amíg a ráható erők eredője nulla). Csak inerciarendszerben érvényes. Tehetelenség (inercia): A tehetetlenség a fizikai testek azon tulajdonsága, mely ellenállásukat fejezi ki a mozgási vagy nyugalmi állapotuk megváltoztatásával szemben, vagy a testek azon hajlamát, hogy ellenálljon a mozgásállapotában fellépő bármilyen változásnak. Tömeg: A tehetetlenség mértéke, skalár mennyiség, SI egysége: kilogramm (kg) Inerciarendszer: amelyből nézve minden magára hagyott test állandó sebességvektorral mozog. Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, amely nincs kölcsönhatásban más testekkel. Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer.  Newton II. törvénye: dinamika alaptörvénye Egy pontszerű test gyorsulása egyenesen arányos a testre ható (a gyorsulással azonos irányú) erővel és fordítottan arányos a test m tömegével. A második törvény tulajdonképpen az elsőt is magában foglalja, hiszen amennyiben az eredő erő nulla, a gyorsulás is nulla (sebesség állandó). A II. törvény vektoregyenlet, így minden egyes komponensre felírható: Info  Egyensúly Egy nyugalomban lévő vagy állandó sebességgel mozgó tárgy mechanikai egyensúlyban van. A tárgyra ható eredő erő nulla (mivel a gyorsulás nulla).  ∑ F ==0 ∑ Fx 0 = and ∑ Fy 0 Kiterjeszthető 3 dimenzióra is. Info  Gravitációs erő, súly Két tárgy közötti kölcsönös vonzóerő Newton egyetemes gravitációs törvénye fejezi ki: Ez az egyenlet nem kötelező! 1. tömeg: Föld 2. tömeg: 1kg krumpli 3. érték: Föld középpontjától mért érték pl. a Holdon kevesebb/kisebb tömegű lesz az 1kg, mint a Földön Az m tömegű tárgyra ható gravitációs erő nagyságát a Föld felszíne közelében a tárgy súlyának (W) nevezzük. W = mg, Newton II. törvényének egy speciális esete, g a gravitáció okozta gyorsulás. g az egyetemes gravitációs törvényből is megállapítható Ellentétben a tömeggel, a súly nem eredendő tulajdonság, a helyzet/pozíció függő. Minden test között van vonzóerő.  Newton III. törvénye: hatás – ellenhatás Két test kölcsönhatása során mindkét testre azonos nagyságú, azonos hatásvonalú, de egymással ellentétes irányú erő hat. Ez egyenértékű azzal, mintha azt mondanánk, hogy egyetlen elszigetelt erő nem létezhet.   F12 = −F21 hatás/erő ellenhatás/ellenerő F12 hatás/erő, F21 ellenhatás/ellenerő A két erő különböző objektumra hat. A problémától függ, hogy melyiket nevezzük hatásnak/ellenhatásnak. Ha két test kölcsönhatásban van egymással, akkor mindkettő hat egymásra (ha A hat B-re, akkor B is hat A-ra)  Nyomóerő (normál erő) Nyomóerőnek nevezzük a testek felületei által egymásra kifejtett erők felületre merőleges komponensét. A nyomóerő a felületre merőleges.  Kötélerő (K vagy T – az angol tension szóból) Ha a kötél/zsinór stb. tömege elhanyagolható ⇒ a kötél/zsinór mentén kifejtett erő (húzóerő) a kötél/zsinór minden pontján azonos.  csúszási súrlódási erő a sebességgel egyenesen arányos (ez kisebb Súrlódási erő sebességeknél érvényes; nagyobbaknál megnő, nagyobb lesz) Két érintkező felület között fellépő erő (vagy az az erő, mellyel egy közeg fékezi a benne mozgó tárgyat). Mindig az elmozdulás ellen dolgozik. A tárgy és környezete (vele érintkező felület, közeg) közötti kölcsönhatás következménye. A tapadási súrlódási erő (nyugalomban lévő tárgy esetén, az elmozdulást akadályozza) általában nagyobb, mint a csúszási súrlódási erő (a mozgásban lévő objektumra hat), Súrlódási együttható (µ) az érintkező felületektől függ. A súrlódási erő iránya a mozgás irányával ellentétes. A súrlódási együttható praktikusan független a kontakt felszín nagíságától. tapadási súrlódási erő > csúszási súrlódási erő ƒk = µn  Az erőhatások függetlenségének elve Az anyagi pont több erő (𝐹𝐹⃑1 , 𝐹𝐹⃑2 … 𝐹𝐹⃑𝑛𝑛 ) együttes hatására úgy mozog, mint ezen erők ⃑ hatására. vektori eredője (𝐹𝐹) 𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑎𝑎⃑ = 𝐹𝐹⃑1 + 𝐹𝐹⃑2 + ⋯ + 𝐹𝐹⃑𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑎𝑎⃑ = 𝐹𝐹⃑𝑖𝑖 = 𝐹𝐹⃑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ő 𝑖𝑖=1 𝐹𝐹⃑1 +𝐹𝐹⃑ 2 𝐹𝐹⃑1 𝐹𝐹⃑2 Info OLKDA Fizika előadás II. Energia- és lendület-megmaradás A munka és az energia A munka (jele:W, work) Skalármennyiség Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint hétköznapi értelemben: akkor történik munkavégzés, ha egy testre erő hat, és ennek hatására a test az erő irányába elmozdul. Mértékegysége: Joule Ha egy testre állandó 𝐹𝐹⃑ erő hat, miközben elmozdulása ∆𝑟𝑟⃑ , akkor az erőnek a testen végzett munkája alatt értjük a 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹⃑ ∆𝑟𝑟⃑ skaláris szorzatot. 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹⃑ ∆𝑟𝑟⃑ = 𝐹𝐹 ∆𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Tehát ha az erő és az elmozdulás egymással 𝛼𝛼 szöget zár be, akkor az erőnek az elmozdulás irányába eső komponense végez munkát ∆𝑟𝑟⃑ ∆𝑟𝑟⃑ ∆𝑟𝑟⃑ 𝐹𝐹⃑ 𝐹𝐹⃑ 𝐹𝐹⃑  A mechanikai munkavégzés, példák Emelési munka: egy m tömegű testet függőlegesen emeljünk fel állandó v sebességgel h magasságig Ilyenkor az emelőerő és a gravitációs erő ugyanolyan nagyságúak kell, hogy legyenek Az emelőerő munkája: W = F∙h = m ∙g ∙h Ilyenkor a gravitációs erő is végez munkát: W = − m ∙g ∙h (hiszen az erő és elmozdulás ellentétes irányú) Femelő Fg A munka Megjegyzések: W = 0, ha az erő és elmozdulás vektorai merőlegesek egymásra (valamit tartunk függőlegesen és sétálunk vele, ilyenkor sem a tartóerő, sem pedig a gravitációs erő nem végez munkát) nincs erőkifejtés nincs elmozdulás W> Vblock Vblock  Vice < Vwater ice: 0.9168 g/cm3 A folyadékok áramlása  A mozgó folyadék – áramvonalak A mozgás áramvonalakban történik: minden részecske, amely egy adott ponton áthalad, azon az útvonalon mozog, amelyen az ugyanezen ponton előtte áthaladó részecskék mozogtak tovább Ekkor az áramlás lamináris A különböző áramvonalak nem keresztezik egymást Az áramvonal bármely ponton egybeesik a folyadék sebességének irányával az adott ponton  A mozgó folyadék – turbulens áramlás A mozgás szabálytalanná válik, ha A sebesség meghalad egy kritikus értéket A sebesség hirtelen megváltozik Az örvényáram jellegzetes példája a turbulens áramlásnak  A folyadék áramlása – viszkozitás A viszkozitás a folyadékban a belső súrlódás mértékét jellemzi A belső súrlódás a folyadék két szomszédos, egymáshoz képest mozgó rétege közötti ellenállással függ össze  Ideális folyadékok tulajdonságai A folyadék nem viszkózus Nincs belső súrlódás a szomszédos rétegek között A folyadék összenyomhatatlan Sűrűsége állandó A folyadék mozgása egyenletes Sebessége, sűrűsége és nyomása nem változik az idő függvényében A folyadék turbulencia nélkül áramlik Nincsenek örvényáramok A részecskék középpontjuk körüli szögsebessége nulla  A kontinuitási egyenlet A1 v 1 = A2 v 2 A cső keresztmetszetének és a folyadék áramlási sebességének szorzata állandó A sebesség magas, ahol a cső szűk és a sebesség alacsony, ahol a cső átmérője nagy Az Av szorzatot térfogati áramerősségnek (IV) nevezzük A tömegmegmaradás és a stacionárius áramlás következménye Ez egyenértékű azzal, hogy a cső egyik végébe egy adott időintervallumban belépő folyadék mennyisége megegyezik a csőből ugyanezen időintervallumban távozó folyadék mennyiségével. Feltéve, ha a folyadék összenyomhatatlan és nincs szivárgás  Bernoulli törvénye A nyomás, az áramlási sebesség és a magasság közötti kapcsolatot írja le Az energiamegmaradás ideális folyadékokra történő alkalmazása Feltételezi, hogy a folyadék összenyomhatatlan, nem viszkózus és turbulencia nélkül, egyenletesen áramlik A nyomás, a térfogategységre jutó mozgási energia és a térfogategységre jutó potenciális energia összege az áramvonal minden pontján azonos 𝟏 𝟐 𝑷 + 𝝆𝒗 + 𝝆𝒈𝒚 = á𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅ó 𝟐  Bernoulli törvényének alkalmazása – A Venturi-cső A folyadék vízszintesen áramlik egy szűkített csőben Az áramlási sebesség megváltozik az átmérő változásának függvényében A folyadék áramlási sebessége mérhető Gyorsan áramló folyadék esetén a nyomás alacsony, míg lassan áramló folyadék esetén magas  Bernoulli törvényének alkalmazása – Áramló folyadékban mozgó test Sokféle gyakori jelenség megmagyarázható Bernoulli törvénye alapján Legalábbis részben Általánosságban elmondható, hogy egy áramló folyadékon keresztül mozgó tárgyra felfelé irányuló eredő erő hat, amely bármely olyan hatás eredménye, amely a folyadékot irányváltoztatásra készteti, miközben az elhalad a tárgy mellett  Bernoulli törvényének alkalmazása – A golflabda A gödröcskék a golflabdában segítik a levegő mozgását a labda felületén A forgó labda lefelé nyomja a levegőt Newton harmadik törvénye alapján emiatt a levegő felfelé nyomja a labdát A forgó golyó messzebbre jut, mintha nem forogna  Bernoulli törvényének alkalmazása – A repülőgép szárnya Az áramló levegő sebessége nagyobb a szárny felett, mint alatta Ezáltal a levegő nyomása a szárny felett alacsonyabb, mint alatta Ez felfelé irányuló eredő erőt eredményez Más tényezők is szerepet játszanak Felületi feszültség, kapillaritás Felületi feszültség I. A belső folyadékrészecskékre (pl. A pontban) ható eredő erő nulla Minden irányból azonos erő hat a részecskékre, ezek eredője nulla A folyadék felszínén levő molekulákra (B pont) ható eredő erő nem nulla Kevesebb szomszédos molekula veszi körül Felette nincsenek molekulák, ebből az irányból nem hat rá erő A részecskékre a folyadék belseje felé irányuló eredő erő hat Felületi feszültség II. A felszínen levő részecskékre ható eredő erő (kohéziós erő) miatt minden részecske a folyadék belsejébe szeretne kerülni Ez azt jelenti, hogy a felszín a lehető legkisebbre igyekszik összehúzódni Pl. vízcseppek esetén a cseppek gömb alakot vesznek fel, aminek adott térfogat mellett a legkisebb a felszíne Felületi feszültség III. Definíció: A felületi feszültséget a felszín egységnyi hosszú szakaszára merőlegesen ható erőként definiálják (N/m). Felületi feszültség IV. Tiszta folyadékok esetén a felületi feszültség az a munka, amely egységnyi új felület létrehozásához szükséges (J/m2). A felületi feszültség függ a hőmérséklettől, az anyag tisztaságától, koncentrációjától. Felületaktív anyagok: felületi feszültséget csökkentő anyagok (mosószerek, alkoholok) Kapillár inaktív anyagok: növelik a felületi feszültséget ( cukrok, erős elektrolitok) A felületi feszültség mérése Pl. leszakításos módszer: azt az erőt mérik, amely meghatározott vastagságú és átmérőjű platina gyűrűnek a kérdéses folyadékból való kiszakításához szükséges 𝐹 𝛾= 2𝐿 A 2L a gyűrű belső és külső részére ható erő miatt kell. Tűre ható felületi feszültség A felületi feszültség miatt a tű annak ellenére lebeg a folyadék felszínén, hogy sűrűsége nagyobb a folyadékétól. Az erő függőleges irányú komponensei ellensúlyozzák a súlyerőt. Erőhatások a folyadékban Kohézió: azonos molekulák közötti vonzóerő Adhézió: különböző molekulák közötti vonzóerő Nedvesítő anyagok esetén: kohézió < adhézió (pl. víz-víz < víz-üveg) Nem nedvesítő anyagoknál: kohézió > adhézió (pl. Hg-Hg > Hg-üveg) Nedvesítő anyagok Az adhéziós erők nagyobbak, mint a kohéziós erők A folyadék részecskéi felkapaszkodnak az edény falára A folyadék „nedvesíti” a felszínt Nem nedvesítő anyagok A kohéziós erők nagyobbak, mint az adhéziós erők A folyadék felszíne lefelé görbül A folyadék „nem nedvesíti” a felszínt  Illeszkedési szög Az illeszkedési szög a folyadékfelszínnek a fallal való érintkezési pontján átfektetett érintősíkjának a fal érintősíkjával bezárt szöge Ha φ > 90°, a kohéziós erők nagyobbak Ha φ < 90°, az adhéziós erők nagyobbak  Kapillaritás I. A kapillaritás a felületi feszültség és az adhéziós erők létezésének következménye Ha az adhéziós erők nagyobbak, mint a kohéziós erők, a folyadék felkúszik a csőben Kapillaritás II. Ha a kohéziós erők nagyobbak, mint az adhéziós erők, a kapillárisban levő folyadékszint alacsonyabban van, mint a környezetben levő folyadék szintje Kapillaritás III. A folyadék emelkedési magassága:  Első évközi dolgozat Az első évközi dolgozatot a 8. oktatási héten, október 27-én írják 18 órától Témakörök: az első 7 hét anyaga Feladattípusok: igaz-hamis, relációanalízis, esszé, definíciók, többszörös választás, kiegészítős A termodinamika alapjai A diffúzió  Bevezetés, állapothatározók Mi a termodinamika? – kölcsönható rendszerek energiaviszonyait tanulmányozó tudomány. (Termodinamikai rendszer: környezetétől valóságos vagy képzeletbeli fallal elválasztott részecskék halmaza.) Termodinamikai állapothatározók: – A rendszer makroszkopikus állapotát leíró fizikai mennyiségek. – Pl. hőmérséklet, nyomás, térfogat, tömeg, energia  Az állapothatározók jellemzése Extenzív: a rendszer részei közt összeadódik. – pl. térfogat (V), tömeg (m), elektromos töltés (Q), energia (E). Intenzív: anyagmennyiségtől független, a rendszer részei közt nem adódik össze, a rendszer különböző pontjai közt kiegyenlítődésre törekszik. – Valódi intenzívek: Pl. nyomás (p), hőmérséklet (T), elektromos potenciál (φ) – Fajlagos mennyiségek (extenzívek hányadosai): pl. koncentráció (n/V), sűrűség (m/V), móltérfogat (V/n).  Empirikus hőmérséklet Mi a hőmérséklet? – Az egyik kiemelkedően fontos termodinamikai állapothatározó. – SI alapmennyiség, Kelvinben (K) mérjük. – Termikus kölcsönhatás: termodinamikai rendszerek közötti hőátadás, mely a termikus egyensúly eléréséig folytatódik. – Az empirikus hőmérséklet olyan állapothatározó, mely egymással termikus egyensúlyban lévő rendszereknél megegyezik. (Ha a rendszerek között termikus kölcsönhatás lehetséges, akkor ennek során a hőmérséklet kiegyenlítődik.)  A nulladik főtétel, a hőmérséklet mérése ha az A rendszer egyensúlyban van C-vel, C pedig B-vel, akkor A egyensúlyban van B-vel is! – Tehát A és B hőmérsékletét össze tudjuk hasonlítani C segítségével  C nem más, mint egy hőmérő. – A hőmérőnek, mint rendszernek bármely állapothatározóját használhatjuk mérésre, ha ismerjük annak a hőmérséklettől való függését. – Leggyakrabban a térfogatot használjuk (használható még pl. az elektromos ellenállás v. az infravörös sugárzás is).  Hőtágulás I. Szilárd testeknél a hosszméretek, folyadékoknál és gázoknál a térfogat változik a hőmérséklettel. – Általában növexik, de vannak kivételek (pl. a víz!). – Szilárd testeknél és folyadékoknál a melegítés hatására bekövetkező térfogat növekedést a testet alkotó molekulák, atomok rezgőmozgásának amplitúdó növekedése okozza.  Hőtágulás II. Szilárd testeknél: lineáris hőtágulás – Függ az anyagi minőségtől, a kezdeti hosszúságtól (l0) és a hőmérsékletváltozástól (ΔT): ∆𝑙~𝑙0∆𝑡  ∆𝑙 = 𝛼𝑙0∆𝑇 α: lineáris hőtágulási együttható – Folyadékoknál: térfogati hőtágulás: ∆𝑉 = 𝛽𝑉0∆𝑇 β: térfogati hőtágulási együttható Hőtágulás III.  Hőmérsékleti skálák Termodinamikai számításoknál a hőmérséklet mindig Kelvinben értendő! – Átszámolás: TK=TC + 273.15 Fahrenheit ↔ Celsius: TF=9/5TC + 32 TC=5/9(TF - 32)  Termodinamikai rendszerek és kölcsönhatásaik: Termodinamikai rendszer: környezetétől valóságos vagy képzeletbeli fallal („szigetelés”) elválasztott részecskék halmaza...Rendszer....................... Hőcsere (QE)...... Munka (W).... ds... Környezet Anyagcsere (ΔNi) Nyílt: környezetével anyag- és energiacserét folytat Az élőlények nyílt rendszerek! Zárt: környezetével csak energiacserét folytat, anyagcserét nem. Izolált: sem anyag-, sem energiacserét nem folytat környezetével  Termodinamikai rendszerek és kölcsönhatásaik: Zárt:környezetével csak energiacserét folytat, anyagcserét nem. A Föld (és a bioszféra) jó közelítéssel zárt rendszernek tekinthető.  Hőközlés Hőközlés állandó térfogaton A hőmérséklet és a belső energia megváltozása arányos egymással. DE = QE = n Cv DT, ha V = áll. (W =0) Cv: állandó térfogaton mért moláris fajhő, n: mólszám Hőközlés állandó nyomáson QE = n Cp DT, ha p = áll. Cp: állandó nyomáson mért moláris fajhő QE = DE - W = DE + pDV = D(E + pV) = DH Entalpia: H = E + pV A termodinamika I. főtétele (energiamegmaradás) A rendszer energiájának megváltozása: ΔE = QE + W QE: hő formájában felvett energia W: a rendszeren végzett munka Nincs elsőfajú örökmozgó, mely energia befektetése nélkül folyamatosan munkát végez. A gázon végzett térfogati munka:..................... dW = Fds = (pA)ds = p (Ads) = -pdV.................. F=pA........... V2 W    p(V )dV (p: nyomás, V: térfogat) ds V1 p p A munka nem állapotfüggvény! W W V V Ezt sajnos nem engedi az első főtétel   Molekula energiája, belső energia Molekula energiája: E = Ekin + Erot + Evib + Eel + Eegyéb Ekin: kinetikus energia Evib: vibrációs energia Erot: rotációs energia Eel: elektronállapotok energiája Eegyéb: pl. kölcsönhatási energia, nyugalmi energia (E=m0c2) Szabadsági fokok: egymástól független energiatároló mozgásformák (transzlációs, rotációs, vibrációs) Ekvipartíció tétele: termikus egyensúlyban a rendszer minden szabadsági fokára időátlagban ½kT energia jut. Az egy molekulára jutó átlagos energia: Eátl = f/2 kT (k: Boltzmann-állandó, T: abszolút hőmérséklet) 1 mól ideális gáz teljes belső energiája: E = f/2 × NA× kT = f/2 × RT = CvT (Cv: moláris hőkapacitás állandó térfogaton)  Az ideális gáz tulajdonságai Az ideális gáz egy modell, mely szerint a gázok törvényszerűségei leírhatók a mozgó testekre vonatkozó fizikai törvényekkel. Ehhez a következő kritériumoknak kell teljesülniük: A gázmolekulák saját térfogata elhanyagolható a gáz által betöltött térfogathoz képest (tehát szinte kiterjedés nélküliek) A gázmolekulák egymásra sem vonzó, sem taszító hatást nem fejtenek ki, az ütközésektől eltekintve A gázmolekulák egymással illetve az edény falával való ütközése teljesen rugalmas A gázmolekulák átlagos sebességét és kinetikai energiáját kizárólag a gáz hőmérséklete adja meg Azonos hőmérsékleten, azonos számú gázmolekula kinetikai energiája megegyezik, és független a gáz anyagi minőségétől  Az ideális gáz állapotegyenletei p1V1 = p2V2 (Boyle-Mariotte törvény) V1/T1 = V2/T2 (Gay-Lussac I. törvénye) p1/T1 = p2/T2 (Gay-Lussac II. törvénye) pV = nRT or pV = kNT 1. Állandó hőmérsékleten és nyomáson a gáz térfogata egyenesen arányos a molekulák számával. 2. Állandó hőmérsékleten és térfogaton a gáz nyomása egyenesen arányos a molekulák számával. 3. Ha a molekulák száma és a hőmérséklet állandó, a nyomás fordítottan arányos a térfogattal. 4. Ha a hőmérséklet változik és a molekulák száma állandó, akkor a nyomás vagy a térfogat (vagy mindkettő) egyenes arányban változik a hőmérséklettel..  A spontán folyamatok iránya Tapasztalat: vannak folyamatok, melyek csak egy irányban játszódnak le: gáz kitágul, ha megnő a rendelkezésre álló térfogat a szén elég C → CO2 a leejtett labda pattog, majd elveszti összes kinetikus energiáját az elpusztult szervezet lebomlik A fenti folyamatok képzeletbeli megfordítása: a gázmolekulák bezsúfolódnak ez eredeti térfogatba a magas hőmérsékletű CO2 gáz összegyűlik, leadja az oxigént, és összeáll széndarabbá a labda összegyűjti a környezetbe szétszórt energiát, és felpattan a földről egyszerű molekulákból „magától” élőlény keletkezik Valószínűség ~ 0, bár az energia-megmaradásnak nem mondanak ellent. A rendszerek egyre rendezetlenebbek lesznek, az energia egyre inkább szétszóródik spontán folyamatok során. A spontán folyamatok iránya A rendezetlenség spontán módon nő A rendezettség növelése energia befektetést igényel  Irreverzibilitás Az ábrasorozaton golyók ütközése Két golyó ütközése. látható. Meg tudjuk-e mondani, hogy Megállapítható-e a képek időrendi időrendben vagy pedig fordított sorrendje? sorrendben követik egymást az ábrák? A folyamatok mikroszkopikus szinten (az egyedi molekulák szintjén) reverzibilisek. Miért irreverzibilis makroszkopikus szinten a rendezetlenebbé válás folyamata? Mert a rendezetlen állapotok száma magas, a rendezett állapotoké pedig alacsony, így valószínűtlen, hogy a rendszer visszataláljon egy rendezett állapotba. Az irreverzibilitás nem abszolút, elvi jellegű, csak statisztikus.  Rendszer mikroállapotai és makroállapota Rendszer mikroállapotai: a rendszer mikroszkopikus részletességgel leírt állapotai (megadják az egyes részecskék helyét és energiáját). A mikroállapotok egyenlő valószínűséggel fordulhatnak elő. adott makroszkopikus paraméterekkel (E, p, T, V, Makroállapot: stb.) jellemezhető állapot. Több, egymástól makroszkopikusan megkülönböztethetetlen mikroállapot valósíthat meg egy adott makroállapotot. Egy makroállapot termodinamikai valószínűsége, Ω: Az adott makroállapotot megvalósító mikroállapotok száma. Ω≥1  Termodinamikai valószínűség I. makroállapot II. makroállapot Mikroállapot megadása (a példa kedvéért leegyszerűsítve): az egyes 2p0 p=0 p0 részecskék melyik térfélen vannak V1 = V2 Összes lehetséges mikroállapot száma: 2N I. makroállapot termodinamikai valószínűsége (azon mikroállapotok száma, melyekben minden részecske a baloldali térfélen van): ΩI = 1 II. makroállapot termodinamikai valószínűsége (azon mikroállapotok száma, melyekben fele-fele a molekulák eloszlása):  N  N! ΩII =  N / 2  >> 1   ( N / 2)!( N / 2)! A makroállapotok közül a legrendezetlenebb (legegyenletesebb) a legvalószínűbb.  Entrópia I. Az entrópia klasszikus termodinamikai értelmezése: (melynek során a rendszer egyensúlyi Reverzibilis hőátadáskor állapotokon halad át), ha a rendszerrel közölt hőmennyiség ΔQE: ΔS = ΔQE/T Ha a rendszerrel hőt közlünk, megnő az elosztható energiaadagok száma, és többféle osztozkodás lehetséges. Ha Ω nő, S is nő. során történt hőátadáskor: Irreverzibilis folyamat ΔS > ΔQE/T  Entrópia II. A rendszer molekuláris szintű rendezetlenségét jellemző extenzív (additív) állapothatározó.  Az entrópia statisztikus értelmezése: Ha egy adott makroállapotot megvalósító lehetséges mikroállapotok száma Ω, akkor a rendszer entrópiája: S = k lnΩ  Az entrópia additív: Két rendszer együttes mikroállapotainak száma és entrópiája: Ω = Ω1Ω2 S = k ln(Ω1Ω2) = k lnΩ1 + k lnΩ2 = S1 + S2  Az a legvalószínűbb makroállapot, amelyet a legtöbb mikroállapot valósíthat meg, azaz amelyben az entrópia maximális.  A termodinamika II. főtétele langyos Az I. főtétel semmit nem mond varázslatos csap víz arról, hogy egy folyamat spontán lejátszódhat-e vagy sem. Miért nincs olyan csap, ami langyos meleg, T1 T2, hideg vízből hideg és meleg vizet állít elő „ingyen”, energiabefektetés nélkül? Ha az 1-es test QE>0 hőt vesz fel a 2-es testtől: ΔS1 = QE/T1,ΔS2 = - QE/T2, 0 ≤ ΔS = ΔS1 + ΔS2 = QE /T1 – QE /T2 Az összentrópia csak akkor nőhet, ha T1 ≤ T2, azaz ha a kisebb hőmérsékletű test vesz fel hőt. II. főtétel: A hő spontán módon mindig a magasabb hőmérsékletű helyről az alacsonyabb hőmérsékletű helyre áramlik. Maxwell démon  A II. főtétel néhány egyenértékű megfogalmazása Izolált rendszer entrópiája nem csökkenhet. (Izolált rendszerben spontán módon olyan folyamatok játszódhatnak le, melyekben a rendszer entrópiája nő (irreverzibilis folyamat), esetleg állandó (reverzibilis folyamat)). Izolált rendszer entrópiája termodinamikai egyensúlyban maximális A világegyetem entrópiája folyamatosan nő. Nincs másodfajú örökmozgó, azaz olyan ciklikusan működő gép, melynek egyetlen hatása az, hogy a felvett hőt teljes egészében átalakítja munkává.  Élőlények Élőlények egyedfejlődése során az őket felépítő molekulák entrópiája csökken, míg a környezeté ezt meghaladó mértékben nő. Az élőlény rendezett állapotának fenntartásához folyamatos anyag- és energiacsere szükséges a külső környezettel! hő A bioszféra entrópiacsökkenését a Naprendszer (és a tágabb környezet) egészének entrópianövekedése ellensúlyozza Az abszorbeált (rtg-től IR-ig) és emittált (főként IR) fotonok spektrális (energiabeli) különbsége felelős a bioszféra entrópia csökkenéséért.  Brown-mozgás Robert Brown botanikus, 1827: vízben lebegő virágpor szemcsék zegzugos mozgását figyelte meg A jelenséget valamilyen „életerő” megnyilvánulásának tekintette Könnyű szemcsék (füst, por, apró folyadékcseppek) mozgása levegőben  Brown-mozgás magyarázata Az anyag részecskéi állandó mozgásban vannak. Haladó mozgás átlagos energiája: E=3/2 kT Maxwell-féle sebességeloszlás gázokban: 0.002 T=20 C N Átlagsebesség: 2 f(v)~Δn/n 0.001 T=500 C vátlag  3kT / m 0 0 500 1000 1500 2000 v (m/s) A Brown-mozgást a megfigyelt részecskék és a közeg részecskéinek ütközései okozzák, energia- és lendület-átadás  Diffúzió Adolf Fick kísérlete: festékmolekulák spontán szétoszlása vízben x víz 0 festék folyadékok: keveredés néhány hét alatt gázok: néhány másodperc alatt Diffúzió: Koncentrációkülönbségek (vagy egyéb tényezők, pl. hőmérséklet-különbség, oldékonyságbeli különbség) hatására bekövetkező, a részecskék rendezetlen hőmozgásán alapuló, nettó anyagáramlás  Fick I. törvénye Stacionárius diffúzió leírása (dc/dt = 0, dc/dx = állandó) c c1 dc I v   DA Δc c2 dx x1 x2 -felület x Δx -diffúziós állandó - diffúziós anyagáram: egységnyi idő alatt átáramló anyagmennyiség (mol/s) Dc c( x2 )  c( x1 )  - koncentráció gradiens Dx x2  x1 D: időegység alatt, egységnyi felületen, egységnyi koncentráció gradiens hatására átáramló anyagmennyiség [D] = m2/s  Fick II. törvénye Nem stacionárius diffúzió leírása egy dimenzióban c = c(x,t): a koncentráció időben és térben változik c c 2 D 2 t x x t adott x helyen a konc. adott t időpillanatban a idő szerinti változási konc. hely szerinti gyorsasága (parciális második parciális deriváltja) deriváltja Parciális differenciálegyenlet. Időben elsőrendű, hely szerint másodrendű. A differenciálegyenlet c(x,t) megoldása a kiindulási feltételektől, a geometriától függ. Nincs általános analitikus megoldása.  Fick II. megoldása: szabad diffúzió 1 dimenzióban Ha t=0 pillanatban minden molekula az origó kicsiny l szélességű környezetében van, a hely szerinti eloszlás egy (időben egyre jobban kiszélesedő) normál eloszlás: c x2 c0 l  c0 c(x, t   e 4 Dt 4Dt l Szórásnégyzet (t pillanatban): t1  2  Dx 2  2Dt σ t2 0 x  A diffúziós mozgás időfüggése: lineáris ábrázolás Dx A molekulák átlagos négyzetes elmozdulása, a „t” időpillanatban 2 (az eloszlás szórásnégyzete), Einstein-Schmoluchowski-egyenlet szerint: Dx 2  2Dt Diffúzió 3D-ban: Dr 2  Dx 2  Dy 2  Dz 2  6 Dt Az átlagos négyzetes elmozdulás gyöke (rms) Egyenes vonalú Dx  2 Dt egyenletes mozgás Dx  vt idő Diffúzió: „random walk”, idő (véletlenszerű mozgás) rövid távon gyors - hosszú távon  A diffúziós mozgás időfüggése: logaritmikus ábrázolás 1m 0 1 cm -2 -4 logΔx (m) 1 μm -6 -8 1μs 1ms 1s 1nap 1év -10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 log t (s) Elég gyors molekuláris/sejtbeli folyamatokhoz Lassú a makroszkopikus transzporthoz → keringés szükséges  Diffúzió különböző fázisokban. Mitől függ D értéke? Gázok: Az egy transzlációs szabadsági fokra eső átlagenergia: ½ mvx2 = ½ kT D  vx  T m Makromolekulák, kolloid részecskék oldatban Stokes-Einstein egyenlet (gömbszerű molekulákra): kT kT f: alakfaktor vagy súrlódási D  együttható – megnyúlt f 6r molekulaalakra nagyobb mint gömb alakra r: hidratált molekulasugár D hőmérsékletfüggése: -közvetlen (kT) r3 M -közvetett (T nő → η csökken) η: közeg viszkozitása Néhány részecske diffúziós állandója Diffundáló anyag Közeg D(m2/s) Δx (naponta) H2O H2O 2.26×10-9 2 cm K+ H2O 1.96×10-9 1.8 cm H+ H2O 9.3×10-9 4 cm etanol H2O 1.24×10-9 1.5 cm glicin (75) H2O 1.05×10-9 1.3 cm szacharóz (342) H2O 5×10-10 0.9 cm ribonukleáz (13 000) H2O 1.1×10-10 0.4 cm szérum albumin (69 000) H2O 6.1×10-11 0.3 cm tropomiozin (93 000) H2O 2.2×10-11 0.19 cm dohány mozaik vírus H2O 3×10-12 0.07 cm (40 millió) H2 levegő 6.4×10-5 330 cm  Miért van nettó anyagáramlás? Molekuláris magyarázat c1, N1 , V1 c2, N2 , V2 Tfh. minden részecske azonos valószínűséggel mozdulhat el a tér bármely (±x, ±y, ±z) irányában: p = 1 /6 Az egyik térrészből a másik felé elinduló molekulák száma: ΔN(1→2) = 1/6 N1 = 1/6 c1V ΔN(2→1) = 1/6 N2 = 1/6 c2V Eredő anyagáramlás 1-ből 2-be: ΔN(1→2) - ΔN(2→1) = 1/6 (c1- c2 ) V > 0  Miért van nettó anyagáramlás? Termodinamikai magyarázat Emlékeztető: Konstans T és p mellett a rendszer szabadentalpiája csökken spontán lejátszódó folyamatokban. G(T,p,N) = E + pV - TS, ΔG ≤ 0 A kémiai potenciál (egy mól anyagra jutó szabadentalpia) : μ = μ0(T,p) + RT ln c [μ0(T,p): 1M oldat kémiai potenciálja] G úgy csökkenhet, ha a molekulák a magasabb kémiai potenciálú (magasabb c vagy T) hely felől az alacsonyabb kémiai potenciálú hely felé áramolnak. Statisztikus hajtóerő, G csökkenése ΣS növekedésével ekvivalens!  Diffúzió szerepe az élő szervezetben A transzportlánc végén az anyagok diffúzióval jutnak el a kapillárisból a sejtekhez és vissza. (tápanyagok, salakanyagok, O2, CO2) Exkretált, szekretált anyagok, hormonok, gyógyszerek, hatóanyagok sejtekhez való eljutása Transzmembrán (membránon keresztül történő) és a membrán síkjában történő laterális/rotációs diffúzió Sejten belüli diffúzió, kémiai reakciók, molekuláris felismerési folyamatok  A transzmembrán diffúzió mechanizmusai A membrán különféle molekulák számára különböző áteresztőképességű akadályt jelent Passzív diffúzió: alacsonyabb koncentráció (szabadentalpia csökkenés) irányában Facilitált diffúzió: alacsonyabb koncentráció irányában, transzporter molekulák segítségével megy végbe Aktív transzport: konc. gradienssel szemben, energiaigényes (ATP)  Gázcsere a tüdőben alveolus O2 CO2 Passzív diffúzió Diffúziós kapcsolat az alveoláris alveoláris epithelium térrel: ~0.3 s intersticiális tér kapilláris endothelium 1 μm vérplazma Dx 2  2 Dt DO2  10 m 2 9 t O2  500s s vvt. DCO2  6 10 9 m 2 t CO2  80s s  Elektromosságtan. Elektromos töltés, Coulomb törvénye, az elektromos mező jellemzői. Elektromos feszültség, potenciál. Egyenáram. Ohm törvény. Kirchhoff törvények. Egyenáram munkája. Elektromos munka, teljesítmény. Szántó G. Tibor 1 2023.X.12. Az elektromos töltés tulajdonságai Kétféle töltés: pozitív és negatív (Benjamin Franklin (1706 – 1790)) Azonos töltések vonzzák, ellentétes töltések taszítják egymást A pozitív töltéshordozó a proton (de a protonok egyik anyagról a másikra nem mozognak, mivel erősen kötöttek az atommagban) A negatív töltéshordozó az elektron elektronleadás és elektronfelvétellel a testek töltött állapotba kerülnek Töltésmegmaradás törvénye A testek elektromosan töltött állapotba kerülnek, mert a negatív töltés az egyik testről a másikra kerül a töltés kvantált - Elektronok töltése –e - Protonok töltése +e - SI mértékegység a Coulomb (C) elemi töltés: e = 1.6 x 10-19 Coulomb 2 Vezetők, félvezetők és szigetelők Vezetők: a töltések (elektronok) szabadon mozognak az elektromos erő hatására - Pl. réz, aluminium és ezüst - a töltés egyenletesen eloszlik a vezető felszínén Szigetelők (üveg, gumi): a töltések nem mozognak szabadon - Pl. üveg, gumi - csak a dörzsölt terület lesz töltött Félvezetők: - Pl. szilícium, germanium - vezetőképességük jelentősen függ a tisztaságtól és a hőmérséklettől Sávelmélet: 3 Töltés megosztás Egy elektromosan töltött tárgy (a rúd) érintkezésbe kerül egy másik tárggyal (a gömb) A rúdon lévő elektronok a gömbre mozoghatnak A rúd eltávolításakor a gömb elektromosan töltött marad A töltés alatt álló tárgyon mindig olyan töltés marad, amelynek előjele megegyezik a töltést végző tárgyéval Az elektromos test a környezetében lévő vezetőanyagokon elektromos megosztást hoz létre. A vele egyező előjelű töltéseket a test távolabbi részébe taszitja, az ellentétes előjelű töltéseket a közelebbi oldalra vonzza. 4 Elektromos polarizáció Töltött test közelítése szétválasztja a szigetelő anyag molekuláiban a + és – töltések központjait: töltést indukál a felszínén (elektromos polarizáció) 5 Coulomb törvénye Coulomb (1736 – 1806) törvénye: - két pontszerű q1 és q2 töltés között ható elektromos erő egyenesen arányos a két töltés szorzatával, és fordítottan arányos a közöttük lévő távolság (r) négyzetével - Vonzó, ha a töltések ellentétes előjelűek, és taszító, ha azonos előjelűek 𝑞1 𝑞2 Pontszerű töltésekre, 𝐹 = 𝑘𝑒 (ke = 9×109 Nm2/C2, Coulomb állandó) 𝑟2 F12 és F21 egyenlő nagyságú, de ellentétes előjelű 6 A szuperpozíció elve A töltésre ható erőket vektoriálisan össze kell adni az eredő erő kiszámolásához (az erő vektormennyiség) A q1 töltés által a q3 töltésre kifejtett erő F13 A q2 töltés által a q3 töltésre kifejtett erő F23 A q3 töltésre ható eredő erő az F12 és F23 erő komponensek vektori összege 7 Elektromos mező (erőtér) A töltött testek elektromos mezőt hoznak létre maguk körül, mely erőt fejt ki a bele kerülő másik töltött testre Az elektromos mező jellemezhető a belehelyezett elektromos töltésű részecskére kifejtett erőhatás segítségével Egy kis q0 próbatöltéssel jellemezhető a Q töltés által létrehozott elektromos mező iránya és nagysága 𝑭 = 𝑬𝒒𝟎 próbatöltés 𝐹Ԧ 𝑘𝑒 𝑄 Elektromos térerősség: 𝐸 = = 2 𝑞0 𝑟 SI egység N/C Vektor mennyiség 8 Elektromos térerősség Az elektromos mezőt elektromos erővonalakkal szemléltetjük, melyek iránya megegyezik az elektromos térerősség irányával, sűrűsége pedig a térerősség nagyságával. A térerősség iránya pozitív töltés esetén a töltéssel ellentétes irányba, negatív töltés esetén a töltés felé mutat. Egy felületen áthaladó összes erővonal száma az elektromos fluxus (Y). Amennyiben a felület (A) merőleges az erővonalakra: Y = EA Gömbfelület teljes fluxusa nem függ a gömb sugarától. Bármilyen Q töltést körülzáró felület teljes fluxusa: Yösszes = Q/e0 (Gauss tétele) 9 Vezetők elektrosztatikus egyensúlya Egy szigetelt vezetőben: a vezető belsejében az elektromos térerősség zérus. a töltésfelesleg kizárólag a felszínén található meg, vagyis a vezetőre vitt többlet töltés mindig a vezető külső felületén helyezkedik el. Az elektromos mező (erővonalak) a vezető felszínénél merőleges helyzetűek. A nagy töltéssűrűség erős inhomogén mezőt eredményez a csúcs közelében, vagyis a csúcsokon nagyobb a töltéssűrűség (elektromos csúcshatás). 10 Munka és potenciális energia. Elektromos potenciálkülönbség (feszültség). Homogén elektromos mező esetén, míg az elektromos mező a töltést A-ból B-be viszi az elektromos mező által végzett munka: W = FDx =q Ex (xf – xi) ΔPE = - W = - q Ex (xf – xi) Az A és B pontok közötti potenciálkülönbség: a potenciális energia (PE) változás és a töltés hányadosa, mikor a töltés A pontból B pontba mozog ΔV = VB – VA = ΔPE / q Potenciál különbség ≠ potenciális energia skalár mennyiség, mértékegysége a Volt: V = J/C Homogén elektromos térben (például kondenzátorok lemezei között): DV = VB – VA= -Ex Dx 11 A ponttöltés elektromos potenciálja. A nulla elektromos potenciálú pont a töltéstől végtelen távolságban van A q töltéstől r távolságban az elektromos potenciál értéke: 𝑞 V = 𝑘𝑒 𝑟 A térerősség és a potenciál távolságfüggése - térerősség 1/r2 - elektromos potenciál 1/r Több ponttöltés esetén egy adott pontban a teljes elektromos potenciál az egyes töltésekből adódó elektromos potenciálok algebrai összege (mivel a potenciálok skaláris mennyiségek) 12 Kapacitás. A kondenzátor elektromos töltések felhalmozására szolgáló eszköz A síkkondenzátor két egymástól elszigetelt, párhuzamos fémlemezből (fegyverzet) áll. Feltöltött állapotban a lemezeken egyenlő nagyságú és ellentétes előjelű töltés található A kondenzátor töltésének és feszültségének (potenciálkülönbségének) hányadosa a kapacitás 𝑄 𝐶= ∆𝑉 Mértékegysége: Farad (F); 1 F = 1 C / V. Az akkumulátorhoz csatlakoztatva a töltés az egyik lemezről a másik lemezre kerül. A töltésátvitel akkor áll le, ha DVkond = DVakku 13 Síkkondenzátor. A síkkondenzátor kapacitása egyenesen arányos a lemezek területével (A), forditottan arányos a lemezek közötti távolsággal (d), illetve függ a szigetelőanyag minőségétől: 2 𝐴 𝐶 𝐶 = 𝜀0 𝜀0 = 8,85 × 10−12 a légüres tér dielektromos állandója 𝑑 𝑁𝑚2 A lemezek közötti elektromos tér (jó közelítéssel) homogén 14 Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása. A töltések áramlása megszűnik, ha a kondenzátorokon lévő feszültség megegyezik az áramforrás (pl. akkumulátor) feszültségével. A teljes töltés megegyezik a kondenzátorok töltéseinek összegével Qtotal = Q1 + Q2 A kondenzátorok lemezei közötti potenciálkülönbség megegyezik, és mindegyik egyenlő az áramforrás feszültségével Az eredő kapacitás az egyedi kapacitások összege: Ceredő = C1 + C2 + … 15 Kondenzátorok soros kapcsolása. A sorosan kapcsolt kondenzátorok töltése megegyezik (a kondenzátorok összekötött lemezei megosztás útján kapják ellentétes előjelű töltéseiket) Az áramforrás kivezetései közötti teljes potenciálkülönbség: ∆𝑉 = ∆𝑉1 + ∆𝑉2 Az eredő kapacitás reciproka megegyezik a részkapacitások reciprokainak összegével 1 1 1 = + +⋯ 𝐶𝑒𝑟𝑒𝑑ő 𝐶1 𝐶2 16 A kondenzátor energiája. Az elektromos mező elmozdítja a benne lévő töltéseket, munkavégzésre képes. Az elektromos mezőnek tehát energiája van. A kondenzátor energiája (vagyis a kondenzátorban levő elektromos mező energiája): 1 1 𝑄 2 𝐸 = 𝑄∆𝑉 = 𝐶∆𝑉 2 = 2 2 2𝐶 17 Elektromos áram. Azonos előjelű töltéshordozók meghatározott irányú rendezett mozgása = elektromos áram Az áramerősség (I) a vezető keresztmetszetén egységnyi idő alatt áthaladó töltésmennyiséget jellemző fizikai mennyiség. SI-mértékegysége az Amper (A). ∆𝑄 𝐼= ∆𝑡 SI-mértékegysége az amper (A), 1 A = 1 C/s iránya megegyezés szerint a pozitív töltések áramlásának iránya (pedig többnyire elektronok a töltéshordozók). 18 Elektromos ellenállás. Ohm törvénye. Egy vezetőn átfolyó áram erőssége egyenesen arányos a vezetőn eső feszültséggel. A hányados neve elektromos ellenállás (R). Mértékegysége az ohm (Ω), 1 Ω = 1 V / A. ΔV = I R Az ellenállás az áramot hordozó elektronok és a vezető belsejében lévő rögzített atomok közötti ütközések következtében jön létre. A legtöbb anyag esetében az ellenállás az alkalmazott feszültségek és áramok széles tartományában állandó. Egyes anyagokra az ellenállás nem állandó, a feszültséggel változik, így az összefüggés nem lineáris. pl. a dióda így viselkedik. Nem ohmikus viselkedés 19 Fajlagos ellenállás. Az ellenállás hőmérsékletfüggése. A vezető ellenállása egyenesen arányos a vezető hosszával (l), fordítottan arányos a vezető keresztmetszetével (A) és függ a vezető anyagi minőségétől. 𝑙 𝑅=𝜌 ρ a vezető anyagára jellemző arányossági tényező, neve fajlagos ellenállás 𝐴 A hőmérséklet növelésével a vezető ellenállása nő (egy bizonyos hőmérséklet tartományban). Magasabb hőmérsékleten a fémkristály kötött részecskéinek erőteljesebb rezgése nagyobb akadályt jelent az áramló elektronok számára 𝜌 = 𝜌0 1 + 𝛼 𝑇 − 𝑇0  az anyagi minőségre jellemző hőfoktényező 20 Elektromos teljesítmény. Ha a fogyasztón DV a feszültség és Q az átáramló töltés, akkor az elektromos mező munkája QDV. Felhasználva, hogy Q = It, az elektromos munka: W = DVIt ∆𝑄 Az elektromos teljesitmény: 𝑃 = ∆𝑉 = 𝐼∆𝑉 ∆𝑡 Ohm törvényét felhasználva a teljesitményt a fogyasztó ellenállásával is kifejezhetjük (I = V/R and V= IR) ∆𝑉 2 𝑃= 𝐼2𝑅 = 𝑅 mértékegysége a Watt (W) Gyakran kilowattóra (kWh) mértékegységben mérjük az elektromos munkát 1 kWh = 3.60 x 106 J 21 Elektromotoros erő. Egy áramkörben az elektromotoros erő forrása tartja fent az áramot egy valódi elemnek mindig van belső ellenállása (r), ezért a mérhető kapocsfeszültség mindig alacsonyabb az elektromotoros erőnél (üresjárási feszültség) Az áramforrás kivezetésein (kapcsain) mérhető feszültség (kapocsfeszültség) ΔV = Vb-Va ΔV = ε – Ir A teljes áramkörre, ε = IR + Ir Ha R >> r, r elhanyagolható, és az áramforrás által leadott teljesítmény nagy része a külső ellenállásra kerül. (Ie = I2R + I2r) 22 Fogyasztók soros kapcsolása. az ampermérőt sorosan kapcsoljuk az áramkörbe A fogyasztók áramerőssége megegyezik (töltésmegmaradás törvénye). Az áramforrás feszültsége egyenlő a fogyasztókra eső feszültségek összegével: ΔV = IR1 + IR2 = I (R1+R2) (energiamegmaradás törvénye) Az eredő ellenállás megegyezik a részellenállások összegével: Reredő = R1 + R2 + R3 + … 23 Fogyasztók párhuzamos kapcsolása. a voltmérőt sorosan kapcsoljuk az áramkörbe A párhuzamosan kapcsolt fogyasztók feszültsége megegyezik. A főág áramerőssége egyenlő a mellékágak áramerősségeinek összegével: I = I1 + I2 (Töltésmegmaradás törvénye) Az eredő ellenállás reciproka megegyezik a részellenállások reciprokainak összegével. 1 1 1 = + +⋯ 𝑅𝑒𝑟𝑒𝑑ő 𝑅1 𝑅2 A háztartási/laboratórium elektromos hálózatokra a készülékek párhuzamosan csatlakoznak. Minél több fogyasztót csatlakoztatunk, annál nagyobb lesz a főágban folyó áram erőssége 24 Kirchhoff törvényei. csomóponti törvény: egy csomópontba belépő áramok összege egyenlő az onnan kilépő áramok összegével hurok törvény: egy zárt áramköri hurkon körbehaladva az áramköri elemeken eső potenciálkülönbségek összege 0. Csomóponti törvény: Hurok törvény: I1 = I 2 + I 3 Energiamegmaradás törvénye töltésmegmaradás törvénye Egy áramkörben hurkok léteznek, amelyeket körbejárva Analógia a folyadékok áramlásával a potenciál esések összege nulla! 25 Az elektromos áram hatásai. Electric shock can result in fatal burns. Electric shock can cause the muscles of vital organs (such as the heart) to malfunction. The degree of damage depends on - The magnitude of the current - The length of time it acts - The part of the body through which it passes Effects of Various Currents: Effects of Electric Shock on Human Body Current (A) Effect ≤5 mA - „megrázás” érzés 0.001 Can be felt - kicsi vagy semmilyen károsodás 0.005 Is painful 10 mA 0.010 Causes involuntary muscle contractions (spasms) - a kéz izmai összehúzódnak - esetleg nem képes a vezetéket elengedni 0.015 Causes loss of muscle control 100 mA 0.070 If through the heart, serious - halálos lehet, ha néhány mp-ig átfolyik a testen disruption; probably fatal if current lasts for more than 1 s Száraz bőr ellenállása 100,000 . Nedves, sós bőré kevesebb, mint 100 . 26