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FUNCIONES 1. DEFINICION – DOMINIO Y RANGO Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad para comprender dicho concepto. Tenemos una tienda vende camisas a $50 cada una, a...

FUNCIONES 1. DEFINICION – DOMINIO Y RANGO Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad para comprender dicho concepto. Tenemos una tienda vende camisas a $50 cada una, a partir de este dado completar la tabla y dibujar la grafica correspondiente de esta relación. Nº camisas Precio 1 50 T 2 100 3 150 60 4 200 55 5 250 50 T 6 300 45 1 2 3 4 5 6 Los datos que aparecen en a tabla siguiente se registraron cada dos horas para medir la temperatura (en ºF) en una ciudad determinada. Utilizando los datos para trazar una grafica de T en función del tiempo. t T 0 58 2 57 4 53 6 50 8 51 10 57 2 61 T 60 58 56 54 52 T 50 48 46 1 2 3 4 5 6 La grafica de la derecha muestra el eso de una persona como función de su edad. Describe en el espacio de la izquierda la forma en que su peso ha variado a lo largo del tiempo. ¿Qué piensas que ocurrió cuando esta persona tenia 30 años? A partir de los ejemplos anteriores tenemos una idea de por que son importantes las funciones en todos los campos del ser humano. Por ejemplo, un economista observa el comportamiento del precio de un artículo dependiendo de su demanda; un química se da cuenta del efecto de un medicamento con el paso del tiempo, y ambos intentan descubrir la regla o función que relaciona las cantidades en estudio. En la siguiente tabla, los números del reglón superior están relacionados con los del reglón inferior. En este caso es fácil observar que existe una regla que relaciona ambos renglones. Esa regla es “elevar el numero del renglón superior al cuadrado”. Para identificar apropiadamente esta regla, es necesario que le demos un nombre particular: llamémosla f. De acuerdo con ello, el ejemplo anterior puede describirse en estos términos: f es la regla “elevar al cuadrado” Esta regla se puede expresar algebraicamente de dos maneras: usando notación de flechas o funciones: 

 ó 

 Nosotros usaremos la notación de funciones, f(x), que se lee “f de x”, porque es mas practica y fácil. Por ejemplo, si escribimos f(3), queremos decir: aplicar la regla f a 3. Por lo tanto, f(3) = 32 = 9. Con todo lo antes dicho, estamos en condiciones de definir función. FUNCION: es una regla f que asigna a cada elemento X de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. Ejemplos: 1. La función elevar al cuadrado asigna a cada numero real X su cuadrado X2, y se define como 

 Si quisiéramos evaluar  2, 5 √5, obtendríamos los valores sustituyendo x, en 

 :  2  2 4 5 5 25 √5 √5 5 Ahora pensemos en la función raíz cuadrada de un número, es decir  √, y reflexionemos en cuales valores reales podríamos asignar a X. Es evidente que estos valores tienen que ser mayores que o iguales a cero, es decir, X ≥ 0. 1.1 DOMINIO Son los valores que se pueden asignar a la variable X, en el conjunto A generalmente son números reales. 1.2 RANGO El símbolo f(x) es el valor de f en x, llamado también imagen de X, bajo f. El rango de f es el conjunto de todos los posibles valores de f(x) conforme X cambia en todo su dominio. El símbolo que representa un número arbitrario de valores en el dominio de una función f se denomina variable independiente, y el correspondiente al rango se llama variable dependiente. Por ejemplo, en el caso de la grafica del peso de una persona, la edad es la variable independiente y el peso la variable dependiente. Ejemplos 2) Definimos g(x) = x2, de forma que el dominio de este en el intervalo 0 ≤ x ≤ 3. Entonces, el rango estará en: 0 ≤ x2 ≤ 9 3) si 

 
, evaluar: a) f(a) c) f(a+h) b) f(-a)  d)   a)     b)            c)                        d)            4) Determinación del dominio de las funciones Tenga en cuenta que el dominio ese el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión algebraica tiene sentido y define un numero real. Recuerde que la división entre cero no esta definida y que en una raíz par el radicando deber ser mayor que o igual a cero.  a) 

 
Cuando la función es una fracción el denominador debe ser diferente a cero, es decir

  o bien, x ≠ 0 y x ≠1. Por lo tanto el dominio son todos los números reales excepto 0 y 1.  b) 
 √ t + 1 > 0, si resolvemos la desigualdad, t > -1. Entonces, el dominio son todos los números reales mayores que -1. c) 
 √

 

 ≥ 0 o bien, factorizando la expresión (2 + x) (1 – x) ≥ 0. Resolviendo: 2 0 
 1  0   1 
# Por tanto, el dominio de h(x) va desde -2 hasta 1, es decir -2 ≤ x ≤ 1. 5) expresar la regla dada en forma de función. a) Al cuadrado de un número restarle 3. Rta: 

  b) Elevar al cubo un numero, restarle 5 y finalmente, sacarle raíz cuadrada. Rta: $
 √
 % 6) Expresar cada función con palabras a) 
 
  Rta: El doble de un numero al cuadrado menos 3 unidades.
 b) &
 ' ( Rta: la raíz cuadrada del cociente de un numero mas 1 entre 4 unidades. 2. GRAFICA DE UNA FUNCIION La grafica de una función f(x) es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que y = f(x). En otras palabras, estos son los puntos que corresponden a la ecuación y = f(x). La grafica de una función es de gran relevancia, porque ilustra fácilmente su dominio, rango, punto de interés, etc. Una ecuación de la forma f(x) = mX + b, representa una función lineal, es decir, una recta con pendiente m e intersección en el eje y igual a b.  2.1 FUNCION CONSTANTE Cuando la pendiente de una función lineal es cero, la ecuación se reduce a f(x) = b, y el resultado es un caso especial de la recta, que se conoce como función constante. Las siguientes funciones se presentan frecuentemente en el estudio de las matemáticas y en aplicaciones de la vida cotidiana. Para trazar su grafica basta con elaborar una tabla de valores y marcar los puntos obtenidos. 2.2 FUNCION LINEAL Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a, b Є IR Propiedades 1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta. 2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b. Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a 0 la parábola se abre hacia arriba, y si a < 0 se abre hacia abajo.  2.4 FUNCION CUBICA Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: + 
 
  )
  ,
 :, ,-.   , , ), ,, : / 01 ;< Un ejemplo de función cubica es la función    Si graficamos correctamente una función f, resulta mas o menos sencillo encontrar su rango y el dominio. Por ejemplo, grafiquemos + √=
. Si bosquejamos la grafica de la ecuación, nos daremos cuenta de que + , de que la forma resultante es la mitad de un círculo. Por lo tanto, a partir de la grafica podemos ver el que el dominio es 3 #  # 3.  2.5 PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL. Una curva en el plano de coordenadas es la grafica de una función si y solo si ninguna recta vertical interseca la curva mas de una vez. GRAFICA DE UNA FUNCION NO ES GRAFICA DE UNA FUNCION EJEMPLO: Usando la prueba de la recta vertical, vemos que las curvas de las figuras que (b) y (c) representan funciones, mientras las figuras (a) y (d) no lo son. 2.6 FUNCION DEFINIDA POR TRAMOS O INTERVALO En muchas ocasiones se requiere mas que una sola formula para describir una función. Se dice que estas funciones son funciones definidas por tramos o intervalos. Ejemplos de funciones definidas por tramos: a)  1 2 ?@  A 1  ?@  1 b)     1,  A 1   1, 1#A3 4, A5 El dominio de la función del ejemplo a) es IR; y en el ejemplo b) es  ∞, 3 C 5, ∞. Como graficamos: a)  1  ?@  # 1  ?@  D 1 1. Notamos que ?@  # 1, entonces  1 , por lo que la parte de la grafica de f queda a la izquierda de la recta vertical x = 1, debe coincidir con la recta y = 1 – x, que tiene pendiente -1 e intersección en y = 1. 2. ?@  D 1 , entonces   , por lo que la parte de la grafica f se encuentra a la derecha de la recta x = 1 debe coincidir con la grafica   . 2.7 FUNCION VALOR ABSOLUTO La función valor absoluto, básica, se define:   ||. Propiedades 1) Su dominio es IR, y su recorrido es FG  C H0I. 2) La función  || es una función par.  2.8 FUNCION RACIONAL Una función racional f, es una función definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios: J  K Donde p(x) y q(x) son polinomios, tal que q(x) ≠ 0. Ejemplos de funciones racionales: 1 1 1  4  1      3   L A continuación se presenta la grafica de la función racional  ; Trazado de la grafica de una función racional M; Para obtener un esbozo de la grafica de  N; , es necesario determinar:
El dominio de f.
Asíntotas verticales (si es que las hay), y horizontales.
Intersecciones de la grafica de f con el eje X, si es que existen, y con el eje Y.
Análisis de signos de f(x).
Grafica f en cada región del plano XY, determinadas por las asíntotas verticales. 2.9 FUNCION RAIZ CUADRADA Ejemplos de funciones raíz cuadrada: la función  √, la función  √, la función  √  1, etc. Grafica de la función  √ El dominio y el recorrido de esta función es FG  C H0I 3. FUNCIONES DE USO PRACTICO Cuando se habla de un modelado matemático, para aun fenómeno del mundo real, se hace referencia a una función que describe por lo menos de manera aproximada la dependencia de una cantidad física de otra. Ejemplo: el modelo pudiera describir la población de una especie animal como función del tiempo, o la presión de un gas como función de su volumen. 3.1 REGLAS PARA OBTENER FUNCIONES DE USO PRACTICO
Introducir anotación. Asigne un símbolo o letra a la cantidad buscada del problema y después seleccione símbolos para que las demás incógnitas. (la llamaremos Q)
Relacionar las cantidades. Obtenga ecuaciones que relacionen a Q y las demás variables del paso 1, utilizando la información dada. A menudo es útil dibujar un diagrama de las variables y cantidades dadas.
Eliminar variables innecesarias. Se en el paso 2 Q ha sido expresada como función de mas de una variable, utilice las relaciones existentes entre variables para eliminar todo excepto una de ellas en la expresión de Q. entonces Q quedara expresada como función de una sola variable. Ejemplo: Área de una superficie como función del radio. Una lata contiene 1Lt de aceite. Exprese el área de la superficie de a lata como función de su radio. r r = radio h = altura ACEITE h OP QRSPOT-O P T.POT-O UO QRSPOT-O  UO T.POT-O OP :P V-Q V:-Q
VRO UO  UO WRSPOT,TP  W UO  UO Para eliminar h, utilizamos el volumen que es 1Lt = 1000 cm3  X UO     UO Sustituyendo,  W UO  UO UO  W UO  SO O D 0 UO 3000 2500 2000 1500 s 1000 500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nos da idea de la forma en que cambia el área de la superficie de una lata conforme se modifica el radio. Conforme r aumenta, al principio el área de la superficie S disminuye y después aumenta. 3.2 VARIACION DIRECTA E INVERSA  Una variación directa, se presenta cuando una cantidad es un múltiplo constante de otra. Si X y Y están relacionas mediante la ecuación: Y &Z Para alguna constante k ≠ 0 decimos que Y varia directamente con X, o que Y es directamente proporcional a X o simplemente que Y es proporcional a X. La constante k se conoce como constante de proporcionalidad. Ejemplo: durante una tormenta ve el rayo antes de oír el trueno porque la luz viaja a mayor velocidad que el sonido, la distancia entre usted y el centro de la tormenta varia directamente con la longitud del intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno. a) Suponga que el trueno de una tormenta cuyo centro esta a 5.400 pies de distancia, tarda 5 segundos en alcanzarlo. Determine la constante de proporcionalidad. b) Si la longitud del intervalo de tiempo entre el rayo y el trueno es ahora de 8 segundos ¿Qué tan lejos esta del centro de la tormenta? a) : &  %( &[% & \  : \ b) Cuando t= 8 segundos : \ [ \ \]( STPQ :P :TQ.,T  Variación inversa 
 &^
Para alguna constante k ≠ 0 decimos que Y es inversamente proporcional a X, que Y varia inversamente con X. Ejemplo: la ley de Boyle dice que cuando una muestra de gas se comprime a una temperatura constante, la presión del gas es inversamente proporcional al volumen del mismo. a) Suponga que la presión de una muestra de aire que ocupa 0.106 m3 a 25ºC es 50Kpa, obtenga la constante de proporcionalidad y escriba la ecuación que exprese la proporcionalidad inversa. b) Si la muestra se expande a un volumen de 0.3 m3 determine la nueva expresión. & a) S _ & p = 50Kpa % .] v = 0.106 m3 & %.  `S [ * %.  S _ %.%. `S[* b) S  S , %=`S .*