Mechanik Folien PDF

Mechanik Die Mechanik befasst sich mit der Bewegung und der Deformation von Körpern unter der Wirkung von Kräften Mechanik der starren Körper Mechanik der deformierbaren Körper  Mars Exploration Rover A Kinematik und Dynamik...

Mechanik Die Mechanik befasst sich mit der Bewegung und der Deformation von Körpern unter der Wirkung von Kräften Mechanik der starren Körper Mechanik der deformierbaren Körper  Mars Exploration Rover A Kinematik und Dynamik starrer Körper Bilder aus dem Web  Mechanik deformierbarer Körper Bilder aus dem Web  Mechanik deformierbarer Körper Wie deformiert sich Kritische Last? der Körper? Helios Prototype Solar-Powered Aircraft NASA Bilder aus dem Web  Mechanik I, Inhalt Grundlagen Bewegung starrer Körper 5-6 Wochen Kräfte Leistung Statik Kräfte an ruhenden Systemen Gleichgewicht 8-9 Wochen Äussere Kräfte, innere Kräfte, Beanspruchung Ziele: -Lage und Bewegung eines materiellen Systems -Lage eines materiellen Punktes -Bezugskörper und Koordinaten (kartesisch, zylindrisch, sphärisch) -Bewegung eines materiellen Punktes L2 Fig. 1.4: Fig. 1.7: kartesische Koordinaten Koordinatenlinien Fig. 1.8: Fig. 1.10: zylindrische Koordinaten Koordinatenlinien  M r M Fig. 1.12: Koordinatenlinien sphärische Koordinaten Rekapitulation: Lage/Bewegung eines materiellen Punktes bez. Bezugskörper aus 3 orthogonalen Achsen Kartesische Koordinaten: x(t), y(t), z(t) Zylindrische Koordinaten: r(t), j(t), z(t) Sphärische Koordinaten: r(t), q(t), Y(t) Ziele: -Vektorielle Darstellung von Lage/Bewegung eines materiellen Punktes Ortsvektor Vektorfunktion Basis (kartesisch, zylindrisch, sphärisch) -Geschwindigkeit Ableitung einer Vektorfunktion Schnelligkeit und Geschwindigkeit Geschwindigkeit und Ortsvektor L3-4 Skalarprodukt: e1 e1 = 1  | e1 |2 = 1  | e1 | = 1 e1 e2 = 0  j = p/2  e1 ┴ e2 a a e1 = | a | ∙1 ∙cos j Projektion von a auf e1-Richtung j e1 Kreuzprodukt (Vektorprodukt): e1x e2 = e3 e2x e3 = e1  Rechtssystem e3x e1 = e2 L3-4 Sphärische Basis, tangential zu Koordinatenlinien er ey eq r M r  r  er e r (, Y ) L3-4 Geradlinige Bewegung: Bewegung als skalare Funktion: x(t) dx(t) x(t  Δt)  x(t) „Geschwindigkeit“ : v(t) =  x x  lim dt Δt0 Δt hier: Bewegung als Vektorfunktion: r(t) r(t) ↔ Geschwindigkeit Ableitung einer Vektorfunktion L3-4 Produktregeln: q  q(t) r  r(t) s = s(t) (s r)  s r  s r (q  r)  q  r  q  r (q  r)  q  r  q  r Kettenregel: t s(t) s r(s) t r(t)  r(s(t)) dr dr ds . dt ds dt L3-4 Rekapitulation: Lage/Bewegung eines mat. Punktes mit Ortsvektor r(t) Kartesische Basis: r(t) = x(t) ∙ ex + y(t) ∙ ey + z(t) ∙ ez Zylindrische Basis: r(t) = r(t) ∙ er(j)+ z(t) ∙ ez Sphärische Basis: r(t) = r(t) ∙ er(q, Y) Geschwindigkeit Schnelligkeit und Geschwindigkeit Geschwindigkeit als Ableitung des Ortsvektors: v  r Ziele: Geschwindigkeitsvektor: K., Z., S. Basis Kreisbewegung L5  Kreisbewegung z r  R  e r  z0  ez v  r  e r  r  j  ej  z  ez y v  R  j  ej r   j  e z z0 Winkelschnelligkeit R j Winkelgeschwindigkeit x v   r  0   R   0  z0  j  0   0           0    0    j  R  0  z0    j  R   j  R  ej  j   z   0  0  0  R   0     0     L5 Rekapitulation: v  s Geschwindigkeit als Ableitung des Ortsvektors: v  r Kartesische Basis: v  x  ex  y  ey  z  ez Zylindrische Basis: v    e       e  z  ez Sphärische Basis: v  r  e  r    e  r  sin    e r   Kreisbewegung: v    r ; Winkelgeschwindigkeit:     e z Ziele: Starrer Körper Begriff Starrer Körper Satz der projizierten Geschwindigkeiten Spezielle Bewegungszustände des starren Körpers L6  Fig. 3.1: zur Definition eines starren Körpers Satz der projizierten Geschwindigkeiten Die Geschwindigkeiten vM, vN zweier beliebiger Punkte M und N eines starren Körpers weisen zu allen Zeiten gleiche Projektionen v'M = v'N in Richtung ihrer Verbindungsgeraden MN auf. Fig. 3.4: Translation, kongruente Bahnkurven  Kreisförmige Translation Momentane Translation T T T Rekapitulation: Geschwindigkeit als Ableitung des Ortsvektors: v  r Starrer Körper: MM' , MM' ' , (MM' , MM' ' ) konstant t Satz der projizierten Geschwindigkeiten: v A  AB  v B  AB Ziele: spezielle Bewegungszustände des starren Körpers Rotation Kreiselung L8 v M    OM v M    AM A Fig. 3.8: Geschwindigkeitsverteilung bei Rotation  0  0   rx     1  ry           : z' Oz 1   0  v1   0    ry     1  rx         r   0   1  1  z      2    2   rx   0           : x' Ox 2   0  v 2   0    ry      2  rz  0  0   r     r       z  2 y  0  0   rx    3  rz           : y' Oy 3    3  v 2    3    ry    0  0  0   r      r       z  3 x   y' Oy, z' Oz, x ' Ox O   2    3  rz   1  ry        1   2  3    3  v  v1  v 2  v 3    1  rx   2  rz     r       r    r   1  2 y 3 x  Fig. 3.5: Kreisförmige Translation und Rotation Fig. 3.7: Kugellager Rotationsachse nicht durch materielle Punkte des Körpers Fig. 3.11: Kreiselung als momentaner Rotation Rekapitulation: Spezielle Bewegungszustände des starren Körpers Translation: vA = vB = v Rotation: vA = ω x OA (O auf Rotationsachse) Ziele: Beispiele zu Rotation Kreiselung Allgemeiner Bewegungszustand des starren Körpers: Grundgleichung Kinemate Invarianten Zentralachse, Schraube Kreiselung: Bestimmung momentaner Rotationsachse Fig. 3.11: Kreiselung als momentane Rotation Fig. 3.16: Zentralachse und Schraube  e x P v P  v B    BP  v P  v  v    BP B   v P  v  v  e    x  e  B  v P  v   (v    x )  e  B Fig. 3.16: Zentralachse und Schraube  e {v, }: Schraube x P v Z '  v Z    ZZ '  v v A  v    ZA  v A was wenn v=0 ?  Problem Figur 3.30  Fig. 3.30 v B  (0,0,2) v B  (0,2,2) z y   (0,2,0) x 1  Problem Figur 3.30  v B  (0,0,2)   v B*  v B    BB * v B  (0,2,2) z y   (0,2,0) x z v  (0,2,0)   (0,2,0) 1  0     z :  0   1  0  0      Problem Figur 3.30   v B*  v B    BB * z x y z v  (0,2,0)   (0,-2,0)   1 0     z :  0    1 0 0     Rekapitulation: Allgemeiner Bewegungszustand des starren Körpers Grundgleichung des Bewegungszust. eines starren Körpers: v A  v B    BA  v Invarianten:  v ω  v A  eω vA v ω  v ω  eω A Zentralachse: ζ , Punkte mit Kinemate v ω ,  „Schraube“ Allgemeine Bewegung: momentane Schraubung um ζ Zentralachse braucht nicht materieller Bestandteil des Körpers zu sein Ziele: Beispiel Schraubung Ebene Bewegung (wichtiger Spezialfall) Satz vom Momentanzentrum Beispiele (Planetengetriebe), feste und bewegliche Polbahnen Satz vom Momentanzentrum (S. 56) Bei jeder ebenen Bewegung eines starren Körpers K mit 0 beschreibt der ebene Schnitt KE von K in der Bewegungsebene E eine momentane Rotation um einen Punkt Z  m  E, der Momentanzentrum der ebenen Bewegung heißt. Das Momentanzentrum Z ist der einzige momentan ruhende Punkt des in Gedanken auf die ganze Ebene E ausgedehnten Körpers KE. Die Geschwindigkeit vM eines beliebigen Punktes M von K in E ist dann nach Fig. 3.19 senkrecht zur Verbindungsgeraden mit dem Momentanzentrum Z und besitzt den durch den Drehsinn von  =  ez =  ez vorgeschriebenen Richtungssinn sowie den mit dem Abstand r von Z gebildeten Betrag vM =  r. Figur 3.19  Z: Momentanzentrum vP ┴ ZP , vP =  ∙ |ZP| vO ┴ ZO , vO =  ∙ R Figur 3.20: rollendes Rad  S. 57/58 1 Sonnenrad, R1, Z1≡O, 1 2 Hohlrad, R2, Z2≡O, 2 3 Planetenrad, R3, Z3, 3 Arm, L, ZA≡O,  Geometrie: 1 R3  (R 2  R1 ) 2 1 L  R1  R3  (R 2  R1 ) Figur 3.21: Planetengetriebe 2 Rekapitulation: Ebene Bewegung Satz vom Momentanzentrum Feste und bewegliche Polbahn Ziele: Ebene Fachwerke (Parallelogrammregel) Zusammenfassung Kinematik starrer Körper Kräfte Kraft als Vektor Kontaktkräfte, Fernkräfte Kräftegruppe Reaktionsprinzip Innere Kräfte, äussere Kräfte Verteilte Kräfte Raumkraftdichte, Flächenkraftdichte, Linienkraftdichte Leistung einer Kraft  2  4 1   3 Fig. 3.25: Parallelogrammregel Rekapitulation Kinematik starrer Körper: Satz der projizierten Geschwindigkeiten: v A  AB  v B  AB Definitionen: mom. Translation v A  v B  v mom. Rotation, Kreiselung v A    OA Rollen, Gleiten Grundgleichung des Bewegungszust. eines starren Körpers: v A  v B    BA Invarianten:  v ω  v A  eω Zentralachse: ζ , Punkte mit Kinemate v ω ,   „Schraube“ Ebene Bewegung v  0 Satz vom Momentanzentrum v M    ZM Feste und bewegliche Polbahn Ebenes Fachwerk, Parallelogrammregel  2   4 ; 1  3  Fig. 4.1: Kräfte als punktgebundene Vektoren Fig. 4.2: Kräfte mit gleichem Angriffspunkt  Das Reaktionsprinzip POSTULAT: Übt ein erster materieller Punkt A1 auf einen zweiten A2 die Kraft {A2 | F} aus (Actio), so wirkt seinerseits der materielle Punkt A2 auf A1 mit der Gegenkraft {A1 | – F} (Reactio). ZUSATZPOSTULAT: Bei Fernkräften liegen die Wirkungslinien von Kraft und Gegenkraft auf der Verbindungsgerade durch A1 und A2. äussere Kräfte innere Kräfte Figur 4.8: verteilte Kräfte Figur 5.2: Kraft ohne Leistung  Leistung von F bei Starrkörperrotation m  F O´ v P P  F  v P  F  (  OP)    (OP  F )    M O O P    M O    M O' P    M O    ez  M O    M z ez Rekapitulation: Kräfte als punktgebundene Vektoren, Reaktionsprinzip Fernkräfte; Kontaktkräfte; Innere Kräfte; äussere Kräfte Verteilte Kräfte Raumkraftdichte, Flächenkraftdichte, Linienkraftdichte Leistung Leistung einer Einzelkraft P  F A vA Rotation; Moment P  F A  v A  M O  M O  OA F A Ziele: Leistung Gesamtleistung mehrerer Kräften Statik Statische Äquivalenz von Kräftegruppen Resultierende und Moment einer Kräftegruppe Spezielle Kräftegruppen  M=R1FV R1 FV P=M =R1FV  v1=R1  R2 P=v1FV =R1  FV  M=R1FA v1=R1  FA P1 + P2 =0 R1 P1=M =R1FA  P1=v1FA =R1  FA M=-R2FR v2=R2  FA=FR·(R2/R1) R2 P2=M =-R2FR  P2=v2(-FR) =-R2  FR FR  Figur 5.6 P   Fi  v i  F B  v B  F C  v C i P  R  v A  M A    (FB  FC )  v A  (AB FB  AC  FC )    Wippe-Schaukel-Waage FA a FB P   FA    a+FB    b=0 b b  FA   FB a FA Hebel a P =P-F FBb  B a+ sin b+FAFA asina  a=0 b  b a FA   FB FB a  Hebel FA FB FB FA FA FB ?? FB  Figur 6.1: statisch äquivalente Gruppe Figur 6.2: statisch NICHT äquivalente Gruppe THEOREM zur statischen Äquivalenz Zwei Kräftegruppen {G} und {G*} am Körper K sind dann und nur dann statisch äquivalent, wenn ihre Resultierenden und ihre Gesamtmomente bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes gleich sind.  Fig. 6.3: Resultierende von Einzelkräften Fig. 6.4: Resultierende von Kräfteverteilung  F F MO A M O  OA F j OA OA O F MO M O  OA F  F  AO pj AO  Verschiebungssatz Das Moment einer Kraft bezüglich eines beliebigen Punktes O bleibt gleich, wenn bei gleich bleibendem Vektoranteil der Angriffspunkt der Kraft längs ihrer Wirkungslinie verschoben wird. Fig. 6.6: Moment einer Kraft bezüglich der Achse g M g  (r  F )  e z  Fg z F F┴ Mg  F   a r x a M g  (r  F )  e z  z F┴ r 2  F 2 x a r  2a 2  Mg  F  2a  F   a 2 Rekapitulation: Berechnung Moment einer Kraft/Kräftegruppe Verschiebungssatz Dyname in B R, M B  charakterisiert Kräftegruppe am Körper Momentenvektor als punkt-gebundener Vektor M B  M O  BO  R Ziele: Spezielle Kräftegruppen parallele Kräfte, Hebelgesetz Kräftepaar Kräftegruppe im Gleichgewicht Reduktion einer Kräftegruppe Dyname, Invarianten, Zentralachse Ebene Kräftegruppe, Kräftemittelpunkt, Schwerpunkt Fig. 6.8: Äquivalente und nicht äquivalente Einzelkräfte Fig. 6.9: Einzelkraft am Mechanismus B Fig. 6.11: 2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt Fig. 6.12: 2 nichtparallele Kräfte in der gleichen Ebene 2 ebene Kräfte auf Einzelkraft reduzierbar, falls nicht parallel  Fig. 6.15: Kräftepaar Fig. 6.16: statisch äquivalente Kräftepaare Fig. 6.17: Zahnrad  10 8 4 Fig. 6.23: zu Aufgabe 1  P M P  M B  PB  R ( ) ( ) MP M MB  PB  R  e ( R) Fig. 6.20: Zentralachse Reduktionssatz. Jede Kräftegruppe mit R ≠ 0 lässt sich statisch äquivalent auf eine resultierende Kraft {Z | R} mit Angriffspunkt Z auf der Zentralachse z der Kräftegruppe und ein Kräftepaar in einer Ebene senkrecht zur Zentralachse reduzieren. Das Moment dieses Kräftepaars muss gleich der 2. Invariante M(R) der Kräftegruppe sein, die Zentralachse fällt mit der Wirkungslinie der resultierenden Kraft {Z | R} zusammen.  Dyname und Kinemate R, M B   , vB  R 1. Invariante  MB Punktgebundener Vektor vB M A  M B  R  BA v A  v B    BA R, M  ( R) auf z, Zentralachse  , v  2. Invariante P  R  vB  M B  M B  0, R  0  M B  0, R  0 Hier: Standfestigkeit Reduktion der Kräftegruppe R, M B  Verteilte Kräfte (Gewicht, Wind) reduzieren (einfacher darstellen) Lagerkräfte bestimmen Figur 7.7, Aufgabe 1: quadratischer Rahmen mit parallelen Kräften y 3F F 3F 3F O x 2F suche z y R = - 4 F ex 3F F 3F 3F O x 2F y F 3F 3F O x 3F 2F y F 3F S R 3F R O x 3F 2F Fig. 7.1: Kräftemittelpunkt n  Fi ri rS  i 1n  Fi i 1 Figur 7.3 Flächenverteilte Kräfte: s(r)∙e [N/m2] Volumenverteilte Kräfte: f(r)∙e [N/m3]  r  s(r )dA  r  f (r )dV rS  A rS  V  s(r )dA A  f (r )dV V Gravitationskraft, f(r): spezifisches Gewicht, g (konstant, homogener Körper) 1 Schwerpunkt r S   g   r dV G V Gewicht  z 1 G = g ·a · b · c r S   g   r dV G V y c g dV ez b x 1 c b a a rS  g    r  dxdydz g a bc 0 0 0  a2   a   bc     xs  x  22   2    1 c b a   1 b  b   ys       y   dxdydz    ac     z  a  b  c 0 0 0 z a bc 2 2  s    2     c ba   c  2   2      c b a c b a2 ca 2 a2    0 0 0 x  dxdydz   0  0 2 dydz   0 2 bdz  bc 2 Rekapitulation: Reduktion einer Kräftegruppe R, M B  Invarianten R, M ( R )  M B  e R Ebene Kräftegruppe: Reduktion auf Einzelkraft falls R≠0 L Parallele verteilte Kräfte: Kräftemittelpunkt  x  q(x )  dx q( x )  q( x )  e xS  0 L Ziele:  q(x )  dx 0 Schwerpunkt Ruhelage, Bindungen Virtuelle Leistung Grundprinzip der Statik (Prinzip der virtuellen Leistungen) Hauptsatz der Statik Standfestigkeit Fig. 8.1: Pendel, Ruhelage Fig. 8.2: innere, äussere Bindungen v~ FR Reibungskraft und Moment Fig. 8.6: einseitige, vollständige Bindung Fig. 8.4: virtueller Bewegungszustand Fig. 8.5: zulässiger Bewegungszustand POSTULAT: Ein beliebig abgegrenztes materielles System befindet sich dann und nur dann in einer Ruhelage, wenn in dieser Lage die virtuelle Gesamtleistung aller inneren und äußeren Kräfte, einschließlich der inneren und äußeren Bindungskräfte, bei jedem virtuellen Bewegungszustand des Systems null ist (und wenn die Eigenschaften des Systems und seiner Lagerung diese Kräfte zulassen). THEOREM: Alle äußeren Kräfte, einschließlich der äußeren Bindungskräfte, welche auf ein materielles System in einer Ruhelage wirken, müssen notwendigerweise im Gleichgewicht sein. R(a)  0 M O(a)  0 Fig. 8.8 R(i)  0 P  vO  ( R  R )    (M O  M O )  0 (PdvL) (a ) (i ) (a ) (i ) M O(i)  0 P  vO  R (a )   M O (a ) 0 v O ,  0 0 (a ) (a ) R MO  a ey ex 2a Ruhelage  Gleichgewicht x S Ebenes Problem:  G Rx=0; Ry=0; MSz=0 N F a/2 G sin   F cos   0 F  Gtg  G cos   F sin   N  0 N  G / cos  a a  Nx  F cos   F sin   0 x  f ( ) 2 2 Ruhe möglich falls -a/2B,D L,B>>D L≈B≈D Beispiel Pendelstütze: S L S S x S L-x S S Beanspruchung: - Kraft parallel zur Stabachse - Konstant entlang Stab - Betrag: Stabkraft S Alle Querschnitte gleich gefährdet  Q3 N Q2 M3 T M2 Figur 14.3 Beanspruchung - innere Kräfte in Stabträger ( Dimensionierung) GG am System  Lagerkräfte R -Mc -R Mc GGB (6 Gl., 6 Unbk.) GGB (6 Gl., 6 Unbk.) - Dyname {R, Mc} im Flächenmittelpunkt: aus Reduktion der flächenverteilten Kräften am Querschnitt - Darstellung in Form von Diagrammen Figur 14.4  w w __. __. __. __. __. _ r P 45o 45× L P = qL DD L AA BB CC L L  Figur 14.2 R -Mc C C -R Mc {Fa´} {Ra´, Ma´c} {Fa´´} {Ra´´, Ma´´c} GG am System Ra´´ +Ra´=0  Ra´´ =-Ra´ Ma´´c +Ma´c=0  Ma´´c =-Ma´c GG an B‘ GG an B‘‘ R+Ra´=0  R=-Ra´ -R+Ra´´=0  -R=-Ra´´ Mc+Ma´c=0  Mc =-Ma´c -Mc+ Ma´´c=0  -Mc=-Ma´´c Reduktion von {Fa´´} auf Sn‘ Reduktion von {Fa´} auf Sn‘‘ R=Ra´´ -R=Ra´ Mc=Ma´´c -Mc =Ma´c  Vorgehen bei der Bestimmung der örtlichen Verteilung der Beanspruchung Bestimmung der äusseren Bindungskräften (GG am System) Einführung eines achsennormalen ebenen Schnittes in allgemeiner Lage (Einteilung der Bereiche, je nach Angriffspunkt der äusseren Kräften); Achtung mit verteilten Kräften! Einführung einer orthogonalen Basis Einführung der Dyname {R, Mc} im Flächenmittelpunkt des Querschnittes Berechnung von R und Mc (vier Möglichkeiten) Veranschaulichung der Resultate in Form von Diagrammen e3 Q3 M2 Q2 e1 n M3 -n T N N T M e2 Q2 M2 3 Q3 Figur 14.9 Rekapitulation: Beanspruchung Innere Kräfte in Stabträger ( Dimensionierung) Definition, Zerlegung, Gleichgewicht Beispiele Ziele: Verteilte Kräfte Beanspruchung kreisförmiger Stabträger Differentialbeziehungen - gerade Stabträger - kreisförmige Stabträger Beispiele Dimensionierung: ein Schlusswort  V H Mj Qz R-Rcosj Mr Figur 14.12 Fsinj Fcosj  qy=2.5 N/m F=10 N M=20 Nm ez ex ey Qy(x) Qy 5 2.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 -2.5 -5 Mz(x) Mz 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7  Differentialbeziehungen an Stabträgern mit kreisförmiger Achse dj dj ez T(j+dj) ez N(j+dj) ej ej Qz(j+dj) Mz(j+dj) er er qj Q (j+dj) T(j) qz Mr(j+dj) N(j) r Qz(j) Mz(j) qr Mr(j) Qr(j) qz Qz qr , qj  Qr , N Qz T, Mr Qr , N  Mz dQz/dj = Qz` = -R ·qz Qr` - N = -R ·qr Mr` -T= -R ·Qz N ` + Qr = -R ·qj T ` = - Mr Mz` = R · Qr Empa, , Flächenverteilte Kräften am kritischen Querschnitt M3 Balkentheorie Q2