Chapitre 4 - Variables Aléatoires Continues PDF

Chapitre 4 - Variables aléatoires continues 4.1 Généralités Définition 1 Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire qui peut prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle de l’ensemble des nombres réels. P (X = xi ) =? Fonction de densité Travailler avec la fo...

Chapitre 4 - Variables aléatoires continues 4.1 Généralités Définition 1 Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire qui peut prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle de l’ensemble des nombres réels. P (X = xi ) =? Fonction de densité Travailler avec la fonction de répartition F (X) = P (X Æ x) Définition 2 X est une variable aléatoire continue si on peut lui associer une fonction de densité de probabilité fX (x) telle que 1. fX (x) Ø 0 ’x ⁄ Œ 2. fX (x)dx = 1 ≠Œ Définition 3 La fonction de répartition FX (x) est donnée par ⁄ x FX (x) = P (X Æ x) = fX (t)dt ≠Œ Propriétés de FX (x) FX (x) est une ⁄ b P (X Æ b) = fX (x)dx ( sous la courbe) ≠Œ P (a Æ X Æ b) = P (X Æ b) ≠ P (X Æ a) = FX (b) ≠ FX (a) ⁄ b Si a = b, P (X = b) = fX (x)dx = b Inégalités larges et strictes identiques pour une variable aléatoire continue P (a Æ X Æ b) = P (a < X < b) = P (a < X Æ b) = P (a Æ X < b) Définition 4 L’espérance d’une variable aléatoire continue X est donnée par ⁄ Œ µX = E(X) = xfX (x)dx ≠Œ 1 Définition 5 La variance et l’écart type d’une variable aléatoire continue X sont données par ⁄ Œ 2 ‡X = var(X) = (x ≠ E(X))2 fX (x)f x = E(X 2 ) ≠ [E(X)]2 ≠Œ Ò ‡X = var(X) 4.2 La loi normale Loi la plus importante en inférence statistique Mesures analogues sur des sujets semblables (taille d’enfants du même âge, temps, etc.) 2 Définition 6 La loi normale de moyenne µX et d’écart type ‡X , notée N(µX ; ‡X ), a comme fonction de densité (x≠µX )2 1 ≠ 2‡ 2 fX (x) = Ô e X ‡X 2fi Caractéristiques de la courbe normale (courbe de Gauss)  ;     X  1. 2. 3. 4. 2 4.2.1 Loi normale centrée réduite Si X ≥ N (µX ; ‡X 2 ), la distribution des cotes z Z ≥ N (0; 12 ) X ≠ µX car Z = est centrée (µZ = 0) et réduite (‡Z = 1) ‡X Calcul de probabilités      X a  b Z za  zb P (a < X < b) = Aire sous N(µX ; ‡X 2 ) entre X = a et X = b = Aire sous N (0; 12 ) entre cote z de a et cote z de b = P (za < Z < zb ) Table de N (0; 1) p.369 2 Pour calculer l’aire sous N(µX ; ‡X ), on va donc toujours se rapporter à la loi normale centrée réduite (N (0; 1)). Il faudra calculer la cote z de chaque donnée x. La table (p.369) donne la fonction de répartition P (Z Æ z) pour N (0; 1) pour des cotes z positives. Cote z négative à gauche de µX et positive à droite. Exemple 1 Trouvons P (Z Æ 1, 64) à l’aide de la table de la loi normale centrée réduite. 1ère colonne de la table : l’entier et 1ère décimale de z ( 1,6 ) 1ère ligne de la table : 2e décimale de z ( 0,04 ) Intersection de la ligne et de la colonne : la probabilité que la variable Z est inférieure à la cote 1,64 P (Z Æ 1, 64) = 0, 9495 = 94, 95 % 3 Exercice 1 Calculez les pourcentages suivants. a) P (Z Æ 2, 3) b) P (Z Æ 0, 77) Recherche d’aire sous une N (0; 12 ) Démarche 1. Écrire symboliquement la probabilité voulue. 2. Faire un dessin (courbe et région). 3. Utiliser la table p.369 et les propriétés de symétrie (au besoin) pour trouver la probabilité voulue. Exemple 2 Calculons les probabilités suivantes. a) P (Z > 1, 23) b) P (Z < ≠1, 23) c) P (0, 36 < Z < 1, 78) 4 d) P (≠1, 41 < Z < 2, 17) Exercice 2 Calculez les probabilités suivantes. a) P (Z > ≠2, 45) b) P (≠1, 26 < Z < ≠0, 67) c) P (≠0, 55 < Z < 0, 55) 5 Recherche d’une cote z On peut vouloir trouver une cote z à partir d’un pourcentage. Démarche 1. Écrire symboliquement la quantité recherchée et faire un dessin. 2. Appliquer les principes de symétrie pour pouvoir utiliser la table (p.369). 3. Trouver le pourcentage (le plus proche) dans la table et déterminer la cote z en identifiant la ligne et la colonne de ce pourcentage. Exemple 3 Dans une distribution normale, 80 % des données ont une cote z plus petite que quelle valeur? On cherche z1 tel que P (Z < z1 ) = 0, 80 Table : identifier 0,80 (pourcentage le plus proche) Intersection ligne et colonne Cote z1 : Convention Si le pourcentage ne correspond pas exactement à une cote z, on prend celle correspon- dant à la valeur la plus proche du pourcentage. Si le pourcentage tombe exactement entre deux cotes z, on prend la moyenne des deux cotes z. Exemple 4 Dans une distribution normale, 30 % des données ont une cote z plus petite que quelle valeur? 6 Exemple 5 Dans une distribution normale, 95 % des données auront une cote z plus grande que quelle valeur? Exercice 3 Trouvez la valeur de z1. a) P (≠z1 < Z < z1 ) = 0, 75 b) P (Z < z1 ) = 0, 043 c) P (Z > z1 ) = 0, 12 7  2 4.2.2 Loi normale générale N (µX ; ‡X ) Généralisation recherche de probabilité Rare de trouver loi normale N (0; 1). Comment déterminer les probabilités d’une variable X au lieu de Z? Il faut simplement centrer et réduire la distribution de X (travailler avec les cotes z de chaque valeur d’une variable aléatoire X) P (a < X < b) = P (za < Z < zb ) » A B a ≠ µX X ≠ µX b ≠ µX P < < ‡X ‡X ‡X Exemple 6 La taille des nouveau-nés se distribue selon une loi normale dont la moyenne est de 50 cm et l’écart type est de 2,5 cm. Quelle est la probabilité que la taille d’un nouveau-né se situe entre 45 cm et 52 cm? 8 Généralisation recherche de x On aimerait trouver une valeur critique c (seuil) telle que P (X < c) = 0, 20 au lieu de trouver juste la cote z. Exemple 7 La taille des nouveau-nés se distribue selon une loi normale dont la moyenne est de 50 cm et l’écart type est de 2,5 cm. Quelle est la taille minimale des nouveau-nés qui sont parmi les 10% les plus grands? 1. Trouver la cote zc telle que P (X > c) = P (Z > zc ) = 10 %. Selon la table (p.369), P (Z > zc ) = 0, 10 ∆ P (Z < zc ) = 0, 90 zc = 1, 28 2. Trouver la valeur critique c en appliquant la définition de la cote z suivante c ≠ µX = zc ‡X c = µX + zc ‡X c = 50 + 1, 28 · 2, 5 c = 53, 2 cm Exemple 8 La durée de vie d’un appareil obéit à une loi normale de moyenne µ = 7 ans et d’écart type ‡ = 1,2 an. a) Quelle est la proportion d’appareils qui dureront plus de 5,4 ans? b) Trouvez la durée en dessous de laquelle on trouve les 15 % des appareils les moins durables. 9 Exercice 4 Un test psychologique mesure le degré d’extroversion et d’introversion des individus. Les résultats de ce test suivent une loi normale de moyenne 70 et d’écart type 9. a) Quelle proportion d’individus ont des résultats compris entre 74 et 88? b) On considère une personne extrovertie si son résultat au test se situe dans les 8 % supérieurs. Quel résultat doit obtenir une personne pour être classée parmi les extroverties? 4.3 Approximation d’une binomiale par une normale Si np Ø 5 et nq Ø 5, alors B(n; p) ¥ N (µX ; ‡X 2 ) Ô où µX = np et ‡X = npq 10