Variables Aléatoires Continues et Loi Normale
34 Questions
0 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to Lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Quelle est la taille minimale des nouveau-nés qui sont parmi les 10% les plus grands?

  • 55 cm
  • 48 cm
  • 50 cm
  • 53,2 cm (correct)

Quel est le seuil zc pour lequel P(X > c) = 10%?

  • 0,84
  • 2,33
  • 1,28 (correct)
  • 1,96

Quelle est la moyenne de la durée de vie de l'appareil?

  • 9 ans
  • 6,5 ans
  • 7 ans (correct)
  • 8 ans

Quelle est la proportion d'appareils qui dureront plus de 5,4 ans?

<p>70% (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est l'écart type de la durée de vie de l'appareil?

<p>1,2 an (A)</p> Signup and view all the answers

Quel résultat doit obtenir une personne pour être classée parmi les extroverties?

<p>85 (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour trouver la valeur critique c à partir de zc?

<p>c = µX + zc * σX (A)</p> Signup and view all the answers

Sous quelle condition peut-on approximer une binomiale par une normale?

<p>Si np ≥ 5 et nq ≥ 5 (C)</p> Signup and view all the answers

Quel est le principe fondamental utilisé pour trouver une cote z à partir d'un pourcentage?

<p>Appliquer la symétrie et utiliser une table (A)</p> Signup and view all the answers

Comment doit-on agir si le pourcentage recherché ne correspond pas exactement à une cote z?

<p>Utiliser la moyenne des deux cotes z adjacentes (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est l'importance de la loi normale N(µX; ‡X) dans la détermination des probabilités?

<p>Elle standardise les variables pour simplifier les calculs (C)</p> Signup and view all the answers

Lorsque l'on cherche une cote z correspondant à P(Z < z1) = 0,80, quelle valeur doit-on déterminer?

<p>La cote z pour 80 % (A)</p> Signup and view all the answers

Pour la taille des nouveau-nés dans un cas normal, quelle est la probabilité que la taille se situe entre 45 cm et 52 cm?

<p>0,75 (A)</p> Signup and view all the answers

Que représente une cote z dans une distribution normale?

<p>La position relative d'une observation par rapport à la moyenne (D)</p> Signup and view all the answers

Si P(Z > z1) = 0,12, quelle implication cela a-t-il sur la distribution?

<p>12% des données sont au-dessus de z1 (C)</p> Signup and view all the answers

Que signifie l'expression P(a < X < b) dans le contexte de la loi normale?

<p>La probabilité que X soit entre a et b (C)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une loi normale centrée réduite ?

<p>Une loi normale avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1. (B)</p> Signup and view all the answers

Comment calcule-t-on la probabilité P(a < X < b) ?

<p>En utilisant l'aire sous la courbe de la loi normale standard. (A)</p> Signup and view all the answers

Dans la table de N(0; 1), comment trouvons-nous P(Z ≤ 1,64) ?

<p>En cherchant l'intersection de la première colonne avec la première ligne. (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle propriété de la loi normale centrée réduite est utilisée pour les cotes z négatives ?

<p>Les cotes z négatives sont symétriques avec les cotes positives. (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est le résultat de P(Z ≤ 2,3) selon les instructions fournies ?

<p>0,9918 (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle démarche est recommandée pour rechercher l'aire sous une N(0; 1) ?

<p>Écrire la probabilité symboliquement, puis dessiner la courbe. (D)</p> Signup and view all the answers

Dans l'exercice pour P(Z < -1,23), que doit-on faire ?

<p>Utiliser la symétrie de la distribution. (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la valeur de P(0,36 < Z < 1,78) en utilisant la table de la loi normale ?

<p>0,6176 (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour qu'une fonction de densité de probabilité fX(x) soit valide ?

<p>L'intégrale de fX(x) sur l'ensemble des réels doit être égale à 1 (C)</p> Signup and view all the answers

Comment est calculée la fonction de répartition FX(x) d'une variable aléatoire continue ?

<p>FX(x) = P(X ≤ x) = ∫ fX(t) dt de -∞ à x (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle relation est vraie concernant la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire continue X ?

<p>var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 (B)</p> Signup and view all the answers

Quelles sont les inégalités qui s'appliquent à une variable aléatoire continue ?

<p>P(a ≤ X ≤ b) = P(a &lt; X &lt; b) = P(a &lt; X ≤ b) (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la forme de la fonction de densité pour une loi normale N(µX; σX) ?

<p>fX(x) = (1/(σX√(2π))) e^(-((x-µX)^2)/(2σX^2)) (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est l'effet d'un changement dans l'écart type dans la courbe normale ?

<p>Cela affecte la largeur de la courbe mais pas sa hauteur (C)</p> Signup and view all the answers

En statistiques, qu'est-ce qui est le plus souvent modélisé par une loi normale ?

<p>Les distributions de poids et de taille dans une population (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle propriété n'est pas vraie pour une fonction de densité de probabilité d'une variable continue ?

<p>La courbe doit être symétrique. (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le principal usage de la loi normale en statistique ?

<p>Analyser des données de la population généralement (D)</p> Signup and view all the answers

Comment définit-on l'espérance d'une variable aléatoire continue X ?

<p>µX = ∫ x fX(x) dx (B)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Variable aléatoire continue

Une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle de nombres réels.

Fonction de densité

Fonction mathématique associée à une variable aléatoire continue, permettant de calculer les probabilités.

Fonction de répartition

Donne la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une valeur donnée.

Espérance (µX)

Valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire continue.

Signup and view all the flashcards

Variance (σX²)

Mesure de la dispersion des valeurs autour de l'espérance.

Signup and view all the flashcards

Loi Normale

Loi de probabilité continue très utilisée en statistiques.

Signup and view all the flashcards

Fonction de densité Normale

Fonction mathématique spécifique à la loi normale, exprimant la probabilité.

Signup and view all the flashcards

Moyenne (µ)

Valeur centrale de la distribution.

Signup and view all the flashcards

Ecart type (σ)

Indique la dispersion des données autour de la moyenne.

Signup and view all the flashcards

Probabilité d'un intervalle

Probabilité que la variable aléatoire appartienne à un intervalle donné.

Signup and view all the flashcards

Généralisation recherche de x

Déterminer une valeur critique (seuil) c pour une probabilité donnée (souvent P(X < c) = 0.20) au lieu de calculer seulement la cote z.

Signup and view all the flashcards

Taille minimale des nouveau-nés

Calculer la taille minimale pour un percentile donné (ex: les 10% les plus grands).

Signup and view all the flashcards

Cote Z

Mesure permettant de comparer des valeurs à une distribution normale, donnant une position relative.

Signup and view all the flashcards

Distribution normale

Distribution de probabilité symétrique et en cloche, décrite par une moyenne et un écart-type.

Signup and view all the flashcards

Approximation binomiale par normale

Utiliser une distribution normale pour estimer des probabilités d'une distribution binomiale lorsque les conditions np ≥ 5 et nq ≥ 5 sont satisfaites.

Signup and view all the flashcards

µX

Moyenne d'une distribution normale approximative.

Signup and view all the flashcards

‡X

Ecart-type d'une distribution normale approximative.

Signup and view all the flashcards

Proportion d'appareils (ou individu) pour une durée (ou score)

Déterminer le pourcentage d'appareils (ou d'individus) qui durent plus longtemps (ou ont un score supérieur) qu'une certaine durée ou score.

Signup and view all the flashcards

Loi normale centrée réduite

Une distribution de probabilité où la moyenne est 0 et l'écart type est 1.

Signup and view all the flashcards

Cote z

Valeur standardisée d'une variable aléatoire suivant une loi normale.

Signup and view all the flashcards

Calcul de probabilités (loi normale)

Déterminer la probabilité qu'une variable aléatoire se situe dans une plage donnée sous la courbe normale.

Signup and view all the flashcards

Table de la loi normale centrée réduite

Tableau qui donne les probabilités cumulées pour la loi normale centrée réduite.

Signup and view all the flashcards

Fonction de répartition

Probabilité qu'une variable aléatoire soit inférieure ou égale à une valeur donnée.

Signup and view all the flashcards

Probabilité P(Z ≤ z)

Probabilité que la variable aléatoire Z soit inférieure ou égale à z.

Signup and view all the flashcards

Symétrie de la loi normale

La courbe de la loi normale est symétrique par rapport à la moyenne (µ).

Signup and view all the flashcards

Calculer P(Z > z)

Calculer la probabilité que Z soit supérieure à une valeur donnée ‘z’.

Signup and view all the flashcards

Calcul de probabilité Z

Déterminer la probabilité d'une variable aléatoire Z qui suit la distribution normale standard (moyenne 0, écart-type 1).

Signup and view all the flashcards

Recherche de cote z à partir d'un pourcentage

Trouver la valeur de la cote z (Z) correspondante à un pourcentage donné dans une distribution normale.

Signup and view all the flashcards

Distribution normale standard

Distribution normale avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1.

Signup and view all the flashcards

Loi normale générale N(µX ; σX)

Distribution normale d'une variable aléatoire X avec une moyenne µX et un écart-type σX.

Signup and view all the flashcards

Centrer et réduire

Transformer une distribution normale N(µX ; σX) en une distribution normale standard N(0 ; 1).

Signup and view all the flashcards

P(a < X < b)

Probabilité que la variable aléatoire X soit comprise entre les valeurs a et b dans une distribution normale.

Signup and view all the flashcards

Symétrie de la distribution normale

La distribution normale est symétrique par rapport à sa moyenne.

Signup and view all the flashcards

Cote z

Mesure de la distance d'une valeur d'une variable aléatoire par rapport à la moyenne de la loi normale en unités d'écart-type.

Signup and view all the flashcards

Study Notes

Variables Aléatoires Continues

  • Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle de nombres réels.
  • La fonction de densité de probabilité (f(x)) est associée à cette variable.
    • f(x) ≥ 0 pour tout x
    • L'intégrale de f(x) sur tout l'intervalle est égale à 1.
  • La fonction de répartition (F(x)) est donnée par l'intégrale de la fonction de densité de probabilité.
  • F(x) = P(X ≤ x) = ∫-∞x f(t) dt
  • Propriétés de la fonction de répartition :
    • Fx(x) est une fonction croissante.
    • P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a)
    • P(X = a) = 0
  • L'espérance d'une variable aléatoire continue X est donnée par : E(X) = ∫-∞∞ x f(x) dx
  • La variance et l'écart type sont des mesures de la dispersion d'une variable aléatoire continue.

Loi Normale

  • La loi normale est la loi la plus importante en inférence statistique.
  • Elle est souvent utilisée pour modéliser des mesures sur des sujets semblables (taille, temps, etc.).
  • La fonction de densité de la loi normale N(μ; σ²) est donnée par: f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e−(x−μ)²/2σ²
    • μ est la moyenne
    • σ est l'écart type
  • La courbe de Gauss est une représentation graphique de la loi normale.
  • Elle est symétrique par rapport à sa moyenne μ.
  • La probabilité qu'une variable aléatoire normale soit comprise entre deux valeurs est donnée par l'aire sous la courbe entre ces valeurs.
  • On peut utiliser la loi normale centrée réduite N(0; 1) pour calculer les probabilités
  • Pour cela, on utilise des tables.

Loi Normale Centrée Réduite

  • Si X ~ N(μ; σ²) alors Z = (X - μ) / σ ~ N(0; 1²)
  • La loi normale centrée réduite est une loi particulière de la loi normale.
  • Elle a une moyenne de 0 et un écart type de 1
  • On utilise des tables pour trouver les probabilités souhaitées.

Recherche de probabilités et cotes Z

  • Démarche pour trouver les probabilités et cotes z: -- Écrire la probabilité symboliquement et faire un dessin (courbe et la région d'intérêt) -- Utiliser des tables de la loi normale ou un logiciel approprié pour obtenir les probabilités et cotes Z et propriétés de symétrie de la loi normale pour trouver les valeurs correspondantes.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Related Documents

Chapitre 4 - Variables Aléatoires Continues PDF

Description

Ce quiz explore les variables aléatoires continues et la loi normale, deux concepts cruciaux en statistiques. Vous y découvrirez la fonction de densité de probabilité, la fonction de répartition et les propriétés clés. Testez vos connaissances sur les notions de variance, d'espérance et d'inférence statistique.

More Like This

Use Quizgecko on...
Browser
Open
Browser
Browser