TEMA 2 Variables Aleatorias Unidimensionales PDF

TEMA 2 VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES Prof. Francisco Martínez Sánchez ÍNDICE 1. Definición de variable aleatoria. 2. Función de distribución. 3. Variables aleatorias discretas. 4. Variables aleatorias continuas. 5. Esperanza mat...

TEMA 2 VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES Prof. Francisco Martínez Sánchez ÍNDICE 1. Definición de variable aleatoria. 2. Función de distribución. 3. Variables aleatorias discretas. 4. Variables aleatorias continuas. 5. Esperanza matemática. 6. Momentos. 7. Otras características de la distribución de una variable aleatoria. 8. Desigualdades relativas a momentos. 9. Función Generatriz de Momentos. Prof. Francisco Martínez Sánchez 2 1. Def. Variable Aleatoria DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA o Sea (,A) y sea 𝓑 la ‐álgebra de Borel sobre R. Una función X:R es una variable aleatoria si X1(B)A B𝓑, donde X1(B) = {/ X()B}  representa los elementos que constituyen , y X() es el número real imagen de  mediante la aplicación X. o Recordar que 𝓑 es la ‐álgebra generada por la clase de todos los intervalos de R de la forma (a,b]. o Resumiendo Una variable aleatoria es una función de valor real definida en . De modo que asigna un valor numérico a cada elemento del espacio muestral. Prof. Francisco Martínez Sánchez 3 1. Def. Variable Aleatoria o Experimento aleatorio: lanzar dos monedas al aire. Designamos con C la aparición de cara y por + la aparición de cruz.  = {C+, +C, ++, CC} o Variable aleatoria (v.a.) Número de cruces que aparecen al lanzar las dos monedas. Sucesos   V a lo r e s d e v.a. A 1  { C  }  F u n c i ó n V A  X (C  )  1   A 2  { C }  X(A i)  X(C )  1 A 3  {  }  N º d e c ru c e s  X( )  2   A 4  { C C }   X (C C )  0 Prof. Francisco Martínez Sánchez 4 1. Def. Variable Aleatoria o Notaremos con mayúsculas (X,Y,…) a las variables aleatorias y con minúsculas (x,y,…) a los valores observados.  Alguna notación incluye ambos. Por ejemplo, X  x. En este caso, “X” es una variable aleatoria y “x” un valor cualquiera. o Rango o campo de variación de una variable aleatoria X (RX) conjunto de valores reales que son imagen mediante la función X de algún elemento de . o En función de este campo de variación distinguimos entre dos tipos de variables aleatorias:  Variables aleatorias discretas,  Variables aleatorias continuas. Prof. Francisco Martínez Sánchez 5 2. Función Distribución o Sea (,A,P) un espacio de probabilidad y sea (R,𝓑,P) el obtenido mediante una variable aleatoria X. o Se llama Función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X a una función F:RR definida como F(x)  P(   X  x)  P(   / X()  x) x   Representa, para cada valor real x, la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales a él. o Más reducidamente: F(x) = P(X  x). Prof. Francisco Martínez Sánchez 6 2. Función Distribución PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN (I) 1. 0  F(x)  1 xR. 2. P(X > x) = 1 – P(X  x) = 1 – F(x) xR. 3. F(−) = 0 y F(+) = 1. F(  )  lim F(x)  0 F(  )  lim F(x)  1 x  x  Demostración Notar que: − F(−) = P(X  −) = P(/ X()  −) = P() = 0 − F(+) = P(X  +) = P(/ X()  +) = P() = 1 Prof. Francisco Martínez Sánchez 7 2. Función Distribución PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN (II) 4. Función monótona no decreciente: si x < y  F(x)  F(y). Demostración Si x < y, entonces (−,x] es un subconjunto de (−,y]: (−,x]  (−,y]. Como P es una función de probabilidad, cumple la consecuencia 3 de los Axiomas del Kolmogorov. Por tanto, tenemos: P(X  (−,x])  P(X  (−,y]) Lo que es equivalente a P(X  x)  P(X  y). 5. Función continua por la derecha. 6. Sean a,bR, tal que a < b, entonces P(a < X  b) = P(X  b) – P(X  a) = F(b) – F(a) Prof. Francisco Martínez Sánchez 8  2. Función Distribución F(x 4 )  F(x 3 )  F(x 2 )  F(x1 )  Notar que: 0 ≤ F(x) ≤ 1 en toda la recta real. F(x) siempre no decrece a medida que x aumenta, aunque F(x) es constante en el intervalo x1 ≤ x ≤x2 y para x ≥ x4. En los puntos de discontinuidad x1 y x3, el valor de F(x1) se toma como z1 y el valor de F(x3) se toma como z3. Prof. Francisco Martínez Sánchez 9 3. VV.AA. Discreta o Variable aleatoria discreta aquella cuyo rango de variación, RX, es un conjunto que contiene un número finito o infinito numerable de posibles de puntos. o Ejemplos:  Número de piezas defectuosas que aparecen en un proceso de fabricación,  el número de llamadas telefónicas que son recibidas en una centralita durante un período de tiempo,  número de depósitos en una entidad bancaria,  número de goles en un partido de fútbol,  … Prof. Francisco Martínez Sánchez 10 3. VV.AA. Discreta o Sea E el conjunto numerable de valores que toma X(). o La variable aleatoria X toma los valores x1,x2,…, que pertenecen al conjunto E (xiE i=1,2,…), donde x1 representa el primer valor, x2 el segundo valor y así sucesivamente. P(X = xi) = P(/ X() = xi) = pi  0 i=1,2,… o pi  cantidad de masa de probabilidad que hay en el punto xi. o Se llama función de (masa de) probabilidad a la función f:RR tal que f(x) = P(X = x) xR. o La probabilidad de un punto cualquiera se puede obtener como P(X = xi) = P(xi‐1 < X  xi) = P(X  xi) – P(X  xi‐1) = F(xi) – F(xi‐1) Prof. Francisco Martínez Sánchez 11 3. VV.AA. Discreta PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD 1. P(X = x)  0 para todo xR. 2.  P(X  x)  1 x Prof. Francisco Martínez Sánchez 12 3. VV.AA. Discreta o Función de distribución de una v.a. discreta probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome valores menores o iguales que x. F(x)  P(X  x)  P(   / X()  x)   x i  / x i  x P(X  xi ) o La función de distribución es escalonada, continua a la derecha y discontinua en todos los puntos del rango de variación de la variable (aquellos donde P(X = x)  0). o Notar que: P(X  x)  P(X  x)  P(X  x) P(X  x)  P(X  x)  P(X  x) P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(X  a)  P(X  b) Prof. Francisco Martínez Sánchez 13 3. VV.AA. Discreta Ejemplo I Un lote de 100 lámparas contiene 10 defectuosas. El comprador toma dos lámparas aleatoriamente, y si ninguna es defectuosa, entonces acepta el lote. Definimos la v.a. X como el número de lámparas defectuosas en una selección aleatoria de dos lámparas. Obtener la distribución de probabilidad de la v.a. X. o D1: primera lámpara defectuosa. D2: segunda lámpara defectuosa.  o   D  D ;D  D ;D  D ;D  D 1 2 1 2 1 2 1 2  X = Número de lámparas defectuosas. X(D1  D2 )  0 X(D1  D2 )  X(D1  D2 )  1 X(D1  D2 )  2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 14 3. VV.AA. Discreta 10 9 P(D1  D2 )  P(D1 )  P(D2 / D1 )    0,0091 100 99 10 90 P(D1  D2 )  P(D1 )  P(D2 / D1 )    0,0909 100 99 90 10 P(D1  D2 )  P(D1 )  P(D2 / D1 )    0,0909 100 99 90 89 P(D1  D2 )  P(D1 )  P(D2 / D1 )    0,8091 100 99 P(X  0)  P(D1  D2 )  0,8091 P(X  1)  P(D1  D2 )  P(D1  D2 )  0,0909  0,0909  0,1818 P(X  2)  P(D1  D2 )  0,0091 15 Prof. Francisco Martínez Sánchez 3. VV.AA. Discreta FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA V.A. X P(x) 1  0,8091 si x  0 0,1818 si x  1  0,8091 P(X  x)   0,8  0,0091 si x  2  0 resto de valores de x 0,6 0,4 0,2 0,1818 0,0091 0 x 0 1 2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 16 3. VV.AA. Discreta  0,8091 si x  0 0,1818 si x  1  P(X  x)    0,0091 si x  2  0 resto de valores de x  0 si x  0  0,8091 si 0  x  1  F(x)  P(X  x)   0,9909 si 1  x  2  1 si x  2 F(x)  P(X  x)  P(0)  0,8091 si 0  x  1 F(x)  P(X  x)  P(0)  P(1)  0,8091  0,1818  0,9909 si 1  x  2 F(x)  P(X  x)  P(0)  P(1)  P(2)  1 si x  2 Notar que F(x) toma valores entre 0 y 1, y que es no decreciente. Prof. Francisco Martínez Sánchez 17 3. VV.AA. Discreta FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LA VA X F (x) 1 0,9909 0,8091  0 si x  0  0,8091 si 0  x  1  F ( x)   0,6 0,9909 si 1  x  2  1 si x  2 0,4 0,2 0 x 0 1 2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 18 4. VV.AA. Continuas o Variable aleatoria continua aquella que puede tomar un número infinito no numerable de posibles valores. o Ejemplos:  Tiempo que dedica un alumno a hacer un examen cuya duración máxima es de dos horas, tendríamos una v.a. continua que puede tomar infinitos valores en el intervalo 0  x  120.  Peso, estatura, edad… Esta distinción es principalmente teórica. Una magnitud que pueda tomar un gran número de valores y muy próximos, aunque sean aislados, será considerada como una variable continua. Por ejemplo, magnitudes monetarias. Prof. Francisco Martínez Sánchez 19 4. VV.AA. Continuas o Sea (,A,P) un espacio de probabilidad con función de distribución F(x). Diremos que X es una variable aleatoria continua si la función de distribución F(x) es siempre continua y derivable, con derivada continua, salvo en un conjunto de puntos de medida nula. o Función de densidad (de probabilidad) de la v.a. continua X una función no negativa f(x), definida en la recta real, tal que para cada intervalo de números reales, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo es la integral de f(x) sobre el intervalo. o Por ejemplo, para cada intervalo cerrado acotado [a, b], b P(a  X  b)   f(x) dx a Prof. Francisco Martínez Sánchez 20 4. VV.AA. Continuas o En el ejemplo, para cada intervalo cerrado acotado [a, b], b P(a  X  b)   f(x) dx a o Del mismo modo, tenemos  b P(X  a)   f(x) dx P(X  b)   f(x) dx a  o Notar que: x F(x)  P(X  x)   f(x) dx  Prof. Francisco Martínez Sánchez 21 4. VV.AA. Continuas PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD 1. f(x)  0, ‐ < x < +.  2.  f(x) dx  1 dF(x) 3. F´(x)   f(x) dx o La función de densidad, f(x), no representa una probabilidad. o Función de distribución F(x) es la probabilidad de que la v.a. continua X tome valores menores o iguales que x. x F(x)  P(X  x)   f(t)dt x    Representa el área limitada por debajo de la función de densidad, f(x), y en el intervalo (‐,x]. Prof. Francisco Martínez Sánchez 22 4. VV.AA. Continuas o Dado que la función de distribución de una variable aleatoria continua X es continua tanto a la derecha como a la izquierda, entonces P(X=b)=0, para cualquier valor b, a diferencia de una variable aleatoria discreta. o P(X=b)=0 no implica que X=b sea imposible. Si así fuera, todos los valores de X serían imposibles y X no podría asumir ningún valor. o Intuición la probabilidad en la distribución de X está tan dispersa que sólo podemos verla en conjuntos como intervalos. Es muy parecido al hecho de que las líneas tienen un área 0 en dos dimensiones (plano), pero eso no significa que no existan líneas. x  x P(X  x)  limP  x    X  x     lim  f(x)dx   f(x)dx  0 0 0 x  x Prof. Francisco Martínez Sánchez 23 4. VV.AA. Continuas o Dado que en una variable aleatoria continua X tenemos que P(X=x)=0, el signo = no es importante, a diferencia del caso discreto. Por tanto, P(X  x) = P(X < x) P(X  x) = P(X > x) P(a  X  b) = P(a < X < b) o Entonces, para cualquier a,bR, a < b, b F(b)  F(a)  P(a  X  b)   f(x)dx , y, a b P(a  X  b)  P(a  X  b)  P(a  X  b)   f(x)dx a Prof. Francisco Martínez Sánchez 24 4. VV.AA. Continuas Ejemplo II Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad:  x si 0  x  1  f(x)  2  x si 1  x  2  0 en otro caso  Calcula la función de distribución. Prof. Francisco Martínez Sánchez 25 4. VV.AA. Continuas Ejemplo III Una estación de servicio tiene un depósito de gasolina de 2.000 litros lleno al comienzo de cada semana. La demanda semanal muestra un comportamiento creciente hasta llegar a 1.000 litros, y después se mantiene constante entre 1.000 y 2.000 litros. Si designamos por X la variable aleatoria que indica la demanda semanal, en miles de litros, de gasolina, la función de densidad es: 0 si x  0 x si 0  x  1  f(x)   1 2 si 1  x  2  0 si x  2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 26 4. VV.AA. Continuas 1. Comprobar que es una función de densidad. Para que sea una función de densidad tiene que cumplir que: 0 si x  0 A. f(x)  0,    x    x si 0  x  1  La propiedad A es cierta f(x)  1 si 1  x  2 2  0 si x  2  B.   f(x) dx  1  2 1 2 1  f ( x) dx   f ( x) dx   x dx   0 0 1 2 dx  1  x2  1 2 1 1     x 1    1  2 0 2 2 2 La propiedad B es cierta Prof. Francisco Martínez Sánchez 27 4. VV.AA. Continuas 2. Representación gráfica de la función de densidad. 0 si x  0 x si 0  x  1  f(x)   1 2 si 1  x  2  0 si x  2 f(x) 1 0,5 0 x 0 1 2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 28 4. VV.AA. Continuas 3. La función de distribución. 0 si x  0 x si 0  x  1  f(x)   1 2 si 1  x  2  0 si x  2 0 si x  0  x 2  xdx  x  0 si 0  x  1 x F(x)  P(X  x)   f(x)dx   2  1 xdx  x 1 dx  1  x  1  x 0  0 1 2 si 1  x  2 2 2 2  1 si x  2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 29 4. VV.AA. Continuas 4. Representación gráfica de la función de distribución. 0 si x  0  2 x si 0  x  1  F(x)   2 x si 1  x  2 2  1 si x  2 F(x) 1 0,5 0 x 0 1 2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 30  4. VV.AA. Continuas 5. Probabilidad de que la demanda sea mayor de 1.500 litros en un semana dada. 0 si x  0  2 3 1 x P(X  1,5)  1  P(X  1,5)  1   si 0  x  1 4 4  F(x)   2 x si 1  x  2  3 13 3 2 P X       2 2 2 4 1 si x  2 Si no conocemos la función de distribución debemos hacer la operación siguiente:  3 2 1 1 2 1 3 1 1 1 P X     dx   x 3 / 2   2      2  3/2 2 2 2 2 2 2 4 Prof. Francisco Martínez Sánchez 31 4. VV.AA. Continuas 6. Probabilidad de que la demanda esté comprendida entre 750 y 1.500 litros en un semana dada. 0 si x  0 3  3  3 9 15  2 P(0,75  X  1,5)  F    F      x si 0  x  1 2   4   4 32 32  F(x)   2 x si 1  x  2 3 13 3 F    2 2 2 2 4  2 1 si x  2  3  1 3  1 9 9 F        4 2 4 2 16 32 Si no conocemos la función de distribución debemos hacer la operación siguiente: 2 3 3 1 3 1   2 1 3 3 3/2 1 3 1  x2  x 2  4 2 15 P   X     f(x)dx   xdx   2 dx          4 2  3/4 3/4 1 2  2  3 / 4  2 1 2 2 32 32 Prof. Francisco Martínez Sánchez 5. Esperanza Matemática o ESPERANZA MATEMÁTICA media o valor esperado de una variable aleatoria que se denota por E[X]. o Sea X una v.a. discreta con función de probabilidad P(X=xi), i=1,2,… La esperanza matemática de X se define como: E  X   xi  P(xi ) i 1 o Si el rango de X es un conjunto finito, la suma anterior es finita, y por tanto, la esperanza de X existe. o Pero si el rango es infinito numerable, la suma anterior puede no ser finita, y por tanto, la esperanza puede no existir. Para que exista la esperanza de una v.a. discreta X es necesario que:  x i 1 i  P(xi )   Prof. Francisco Martínez Sánchez 33 5. Esperanza Matemática o ESPERANZA MATEMÁTICA media o valor esperado de una variable aleatoria que se denota por E[X]. o Sea X una v.a. continua con función de densidad f(x). La esperanza matemática de X se define como:  E  X   x  f(x)dx  o Si el rango de X es un intervalo finito, la integral anterior es finita, y por tanto, la esperanza de X existe. o Pero si el rango no es un intervalo finito, la integral anterior puede no ser finita, y por tanto, la esperanza puede no existir. Para que exista la esperanza de una v.a. continua X es necesario que:    x f(x)dx   Prof. Francisco Martínez Sánchez 34 5. Esperanza Matemática ESPERANZA DE UNA FUNCIÓN DE UNA V.A. Sea X una v.a., y g(X) una función de X también variable aleatoria. La Esperanza matemática de g(X), E[g(X)], se define:  Si X es una v.a. discreta, E  g(X)   g(xi )  P(X  xi ) i 1 Siempre que:  g(x )  P(X  x )   i 1 i i   Si X es una v.a. continua, E  g(X)   g(x)  f(x)dx   Siempre que:  g(x) f(x)dx   Prof. Francisco Martínez Sánchez 35 5. Esperanza Matemática PROPIEDADES DE LA ESPERANZA 1. La esperanza de una constate es la propia constante. E[k]=k, kR. 2. Sea X una v.a., entonces E[X –E[X]]=0. 3. Sea X una v.a. tal que existe E[X], entonces se cumple E[aX+b] = aE[X] + b, a,bR. 4. Sea X una v.a. tal que existe E[X] y g(X) una función de X, entonces se cumple E[ag(X) + b] = aE[g(X)] + b, a,bR. 5. Sean g(X) y h(X) dos funciones de la v.a. X tales que existen E[g(X)] y E[h(X)], entonces: E a  g(X)  b  h(X)  a  E[g(X)]  b  E[h(X)] a,b   6. Sean g(X) y h(X) dos funciones de la v.a. X tales que existen E[g(X)] y E[h(X)]. Si g(X)  h(X), entonces E[g(X)]  E[h(X)]. Prof. Francisco Martínez Sánchez 36 5. Esperanza Matemática Ejemplo IV Obtener el valor esperado de la v.a. X, cuya función de probabilidad es: 0,1 si x  0 0,2 si x  1  Solución 0,1 si x  3 P(xi )   n 0,4 si x  4 E  X   xiP(xi )  0  0,1  1 0,2  3  0,1  4  0,4  8  0,2  3,7 0,2 si x  8 i 1  0 en el resto Ejemplo V Obtener el valor esperado de la v.a. X, cuya función de densidad es f(x) = 1 si 0  x  1, y 0 en el resto. Solución 1   x2  12  02 1 E  X   1 1 xf(x)dx   x  1dx   xdx       0 0  2 0 2 2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 37 6. Momentos E[g(X)] Dada una v.a. X, definimos: 1.Momento de orden r>0 respecto del origen si g(X) = Xr. 2. Momento absoluto de orden r>0 respecto del origen si g(X)=|X|r. 3.Momento de orden r>0 respecto de la media si g(X)=(X−E[X])r. En general, dada una v.a. X y un número real a cualquiera, definimos el momento de orden r>0 respecto de (o centrado en) a si g(X)=(X−a)r. 1. a = 0. 3. a = E[X]. Prof. Francisco Martínez Sánchez 38 6. Momentos Momento de orden r respecto del origen de una v.a. X   r   xi P(xi ) mr  E  X    i 1 r , para r  1, 2,...  xr f(x)dx    o El momento de orden 1 respecto del origen es la media de la distribución de la v.a. X. m1  E  X1   E  X o Teorema Dada una v.a. X y un número rN, si existe E[Xr], entonces existen E[Xs] para sN, s  r. Prof. Francisco Martínez Sánchez 39 6. Momentos Momento de orden r respecto de la media de una v.a. X  n    (xi  E[X])r P(xi ) r  E (X  E[X])r    i 1 , para r  2, 3,...  (x  E[X])r f(x)dx    o El momento central de orden 2 coincide con la varianza de la distribución de la v.a. X.  2  E (X  E[X])2   Var(X)  2X Prof. Francisco Martínez Sánchez 40 6. Momentos VARIANZA Var(X)  V(X)  E (X  E[X])2   0 o Medida de dispersión de los valores de X respecto de su media, E[X]. De modo que podemos conocer la proximidad de sus valores a su media. Grandes valores corresponden a grandes dispersiones de X respecto de su media y pequeños valores a pequeñas dispersiones. o Al tomar diferencias al cuadrado, la varianza no tiene las mismas unidades que la variable aleatoria X. 41 Prof. Francisco Martínez Sánchez 6. Momentos Var(X)  V(X)  E (X  E[X])2   0 PROPIEDADES DE LA VARIANZA 1. Var[X]=0 si y sólo si X es v.a. degenerada (toma un único valor con probabilidad uno). 2. La varianza se puede expresar como Var(X)  E[X2 ]  E[X]  2 3. A la varianza le afectan los cambios de escala pero no los de origen. Var(a  X)  Var(X), a   Var(bX)  b2 Var(X), b   Var(a  bX)  b2 Var(X), a,b   42 Prof. Francisco Martínez Sánchez 6. Momentos DESVIACIÓN TÍPICA  Var(X)   V(X)   E (X  E[X])2   0 o Medida de dispersión de los valores de X respecto de su media, E[X]. De modo que podemos conocer la proximidad de sus valores a su media. Grandes valores corresponden a grandes dispersiones de X respecto de su media y pequeños valores a pequeñas dispersiones. o La desviación típica tiene las mismas unidades que la v.a. X. Esto explica que se utilice con mucha frecuencia. 43 Prof. Francisco Martínez Sánchez 6. Momentos PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN TÍPICA 1. Si k es una constante [k]=0. 2. La desviación típica se puede expresar como    E[X2 ]  E[X]  2 3. A la desviación típica le afectan los cambios de escala pero no los de origen. a  X   X , a   bX | b |  X , b   a  bX | b |  X , a,b   44 Prof. Francisco Martínez Sánchez  7. Otras características MODA (MO) o Valor más probable de una v.a. − Si X es una v.a. discreta, Mo es el valor de la v.a. que tiene mayor probabilidad. − Si X es una v.a. continua, Mo es el valor de la v.a. que maximiza su función de densidad. o Le afectan los cambios de origen y escala. o No tiene porque ser única. Prof. Francisco Martínez Sánchez 45 7. Otras características CUANTIL DE ORDEN p(0,1) DE UNA V.A. X (Cp) p  F(x) 1 F(x 2 )  p 2 0 si x  0 F(x 1 )  F(x)   x si 0  x  1 1 si x  1 F(x 0 )  p 0  F 1(p 0 ) x1 F 1(p 2 ) 1 x  F 1(p) 0 || || x0 x2 o Si X es una v.a. continua, Cp es el valor de la variable cuya probabilidad acumulada a la izquierda es igual a p: F(Cp )  P[X  Cp ]  p, donde 0  p  1 Prof. Francisco Martínez Sánchez 46  7. Otras características CUANTIL DE ORDEN p(0,1) DE UNA V.A. X (Cp) F(x) 1 0 si x  1 1 3  4 si 1  x  2 4  0,6  p  F(x) F(x)   1 si 2  x  3 1 2 2  3 si 3  x  4  4 1 4  1 si x  4 0 1 2 3 4 x C0,6 o Si X es una v.a. discreta, Cp es el valor más pequeño de la variable cuya probabilidad acumulada a la izquierda es mayor o igual a p: F(C )  P[X  C ]  p, donde 0  p  1 p p Prof. Francisco Martínez Sánchez 47 7. Otras características CUANTIL DE ORDEN p(0,1) DE UNA V.A. X (Cp) p% (1p)% Mínimo Cp Máximo o Si X es una v.a. discreta, Cp es el valor más pequeño de la variable cuya probabilidad acumulada a la izquierda es mayor o igual a p: F(Cp )  P[X  Cp ]  p, donde 0  p  1 o Si X es una v.a. continua, Cp es el valor de la variable cuya probabilidad acumulada a la izquierda es igual a p: F(Cp )  P[X  Cp ]  p, donde 0  p  1 Prof. Francisco Martínez Sánchez 48 7. Otras características MEDIANA DE UNA V.A. X (Me O C0,5) 50% 50% Mínimo C0,5 Máximo o Si X es una v.a. discreta, Me o C0,5 es el valor más pequeño de la variable cuya probabilidad acumulada a la izquierda es mayor o igual a 1/2: 1 F(Me)  P[X  Me]  P[X  C0,5 ]   0,5 2 o Si X es una v.a. continua, Me o C0,5 es el valor de la variable cuya probabilidad acumulada a la izquierda es igual a 1/2: 1 F(Me)  P[X  Me]  P[X  C0,5 ]   0,5 2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 49 7. Otras características F(Cp )  P[X  Cp ]  p, donde 0  p  1 EJEMPLO I EJEMPLO III F (x) 1 F(x) 0,9909 0,9 0,8091 1 0,9 0,6 0,5 0,5 0,4 0,2 0,3 C0,2 1 C0,9 2 x 0,2 0 Me=C0,5 0 0 1 2 x C Me=C0,5 0,9 C0,3 Prof. Francisco Martínez Sánchez 50 7. Otras características o Recorrido intercuartílico Es la diferencia entre el tercer cuartil y el primero. RI = Q3 – Q1 = C0,75 – C0,25 25% 25% 25% 25% Mínimo Q1 Q2 Q3 Máximo Problema: no hace referencia a la media. o Recorrido semiintercuartílico Q3  Q1 C0,75  C0,25 RI R   2 2 2 Prof. Francisco Martínez Sánchez 51 7. Otras características Coeficiente de asimetría (1) 3 E (X  E[X])  3 1  3   3 Var(X) 2 o Si 1 < 0, la distribución es asimétrica negativa o sesgada a la izquierda. o Si 1 = 0, la distribución es simétrica respecto a la media. o Si 1 > 0, la distribución es asimétrica positiva o sesgada a la derecha. Prof. Francisco Martínez Sánchez 52 8. Desigualdades TEOREMA DE MARKOV o Sea X un v.a. y g(X)  0 otra v.a. función de ella. Si existe E[g(X)], entonces, para cada constante  > 0, tenemos: E  g(X) P[g(X)  ]   Proporciona una cota superior para la probabilidad de que una función no negativa de una variable aleatoria sea mayor o igual que una constante positiva. Prof. Francisco Martínez Sánchez 53 8. Desigualdades CASOS PARTICULARES o Desigualdad de Markov. Dada la v.a. X, con media  y desviación típica . Si g(X) = |X|r,  = kr, donde r > 0, k >0, entonces: E  Xr P  X  k r   P  X  k    r  r   k o Desigualdad de Chebychev. Dada la v.a. X, con media  y desviación típica . Si g(X) = (X−)2,  = k22, k > 0, entonces: E  X     2   2 1 P  X    k    2 2  2  k  k Prof. Francisco Martínez Sánchez 54 8. Desigualdades o Desigualdad de Chebychev. Dada la v.a. X, con media  y desviación típica , la desigualdad de Chebychev afirma que para cualquier constante k > 0 se cumple: 1 P  X    k   k2 o Lo que es equivalente a: 1 P   k  X    k  P  X    k   1  k2 o Si k = 2, tenemos: 1 3 P   2  X    2  1   22 4 Al menos el 75% de la distribución de probabilidad se encuentra en el intervalo (−2,+2). Proporciona información de la variable sin conocer su distribución. Prof. Francisco Martínez Sánchez 55 9. Fon Generatriz Momentos o Sea X una v.a. definida sobre (,A,P), la función generatriz de momentos de X se define como:  X (t)  E etX  para todo t   Siempre que dicha esperanza exista. o En el caso discreto,  X (t)  E etX    etxi  P(xi ) i 1 o En el caso continuo,   X (t)  E etX    etx f(x)dx  Prof. Francisco Martínez Sánchez 56 9. Fon Generatriz Momentos o Teorema 2.1 Sea X una v.a. con función generatriz X. Si existe la función generatriz de momentos para t(−t0,t0), donde t0>0, entonces existen las derivadas de cualquier orden en t=0, y se cumple: dk  X (t) E  X   k para todo t   dtk t  0 o Además, 1 1  E[Xk ] k  X (t)  1  E[X]  t  E[X ]  t ...  1   2 2 t 1! 2! k 1 k! o La función generatriz nos permite obtener los momentos de una distribución. Prof. Francisco Martínez Sánchez 57 9. Fon Generatriz Momentos Teorema 2.2 Sea X una v.a. con función generatriz X(t). Sea la variable aleatoria Y= a + bX, donde a,bR. Entonces: Y (t)  a bX (t)  eta  X (tb) Demostración Y (t)  E etY   E et(a  bX)   E eta  tbX   E eta etbX   etaE etbX   eta  X (tb) UNICIDAD DE LA FUNCIÓN GENERATRIZ Teorema 2.3 Sean X e Y dos vv.aa. con función generatriz X(t) y Y(t), respectivamente. Si X(t) = Y(t) para t(−t0,t0), entonces las distribuciones de probabilidad de X e Y son las mismas. A la inversa, dos vv.aa. con la misma distribución de probabilidad tienen la misma función generatriz de momentos. Prof. Francisco Martínez Sánchez 58