Estadística Estudio - Variables Aleatorias Discretas y Continuas

# ESTÁDISTICA ESTUDIO ## UNIDAD 2 ## “VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTÍNUAS” ### VARIABLE ALEATORIA DISCRETA “EQUIPO 1 Y 2” 1. **Variable Aleatoria:** Representa una cantidad cuyo valor depende del resultado de un fenómeno aleatorio. No es fija, sino que varía según el experimento o evento....

# ESTÁDISTICA ESTUDIO ## UNIDAD 2 ## “VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTÍNUAS” ### VARIABLE ALEATORIA DISCRETA “EQUIPO 1 Y 2” 1. **Variable Aleatoria:** Representa una cantidad cuyo valor depende del resultado de un fenómeno aleatorio. No es fija, sino que varía según el experimento o evento. 2. **Variable Aleatoria Discreta:** Es una variable que puede tomar un número finito o infinito de valores específicos. Cada valor tiene una probabilidad asociada, y la suma de todas las probabilidades es 1. 3. **Distribución de Probabilidad:** Es el conjunto de pares $(X_1,P_i)$ donde $P_i$ es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor $X_1$. 4. **Espacio Muestral Discreto:** Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio en los que los resultados son contables y pueden tener un número finito o infinito de valores. **5. Ejemplos:** - El número de personas por automóvil en un estudio de tráfico. - El número de veces que aparece un número al lanzar un dado. **6. Historia de las variables aleatorias discretas:** Ligada al desarrollo de la teoría de la probabilidad desde el siglo XVII, con formalizaciones más rigurosas en el siglo XX por matemáticos como Andrey Kolmogorov. **7. Funciones de Distribución Discreta:** - **Distribución de Bernoulli:** Modela una prueba con dos posibles resultados: éxito (probabilidad *p*) y fracaso (probabilidad 1-*p*). - **Distribución Binomial:** Describe el número de éxitos en una secuencia de *n* ensayos independientes, cada uno con probabilidad *p* de éxito. - **Distribución de Poisson:** Modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio fijo, con eventos independientes y a una tasa constante. - **Distribución Uniforme Discreta:** Todos los valores posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir, típica en situaciones donde se elige aleatoriamente un valor de un conjunto finito. **8. Propiedades:** - **Media (valor esperado):** Es el promedio ponderado de los valores que puede tomar la variable aleatoria.. - **Varianza:** Mide la dispersión de los valores alrededor de la media. - **Percentiles:** Indican los valores porcentuales que dividen la distribución. ### VARIABLE ALEATORIA CONTÍNUA “EQUIPO 3 Y 4" 1. **Variable Aleatoria Continua:** A diferencia de las variables discretas, las continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un rango. Por ejemplo, el tiempo o la altura. No se pueden enumerar, y su probabilidad de tomar un valor exacto es 0. En su lugar, se utiliza una **función de densidad de probabilidad (FDP)** para describir cómo se distribuyen sus valores. 2. **Función de Distribución Acumulada (FDA):** Representa la probabilidad acumulada de que una variable continua tome un valor menor o igual a un punto específico. Es una función no decreciente. 3. **Función de Densidad de Probabilidad (FDP):** Describe la densidad de probabilidad en un punto de una variable continua. La probabilidad de que la variable esté entre dos valores se calcula con el área bajo la curva de la función en ese intervalo. 4. **Propiedades que son comunes con las variables discretas** Tanto en las variables discretas como continuas, la media (valor esperado) y la varianza son importantes para describir la distribución de los valores. Las distribuciones deben sumar 1, asegurando que la variable tome algún valor dentro de su rango posible. **5. Distribuciones continuas importantes** - **Distribución Normal (Gaussiana):** Tiene una forma de campana simétrica y es muy utilizada en fenómenos naturales como altura o peso. - **Distribución Exponencial:** Modela el tiempo entre eventos aleatorios e independientes, por ejemplo, el tiempo de espera entre clientes en una tienda. - **Distribución Uniforme Continua:** Todos los valores dentro de un intervalo tienen la misma probabilidad de ocurrir. - **Distribución Gamma:** Generaliza la exponencial para modelar el tiempo hasta que ocurran varios eventos independientes. - **Distribución Beta:** Se utiliza para modelar proporciones o probabilidades, ideal cuando los valores están acotados entre 0 y 1. **6. Características** - Pueden tomar cualquier valor dentro de un rango dado. - Se define en términos de intervalos. - Su probabilidad de que tome un valor específico es cero. - Su función de distribución acumulada es continua. **7. Aplicaciones de las distribuciones continuas** Se utilizan en una variedad de áreas como ingeniería, estadística, economía y biología para modelar fenómenos como tiempos de espera, alturas, pesos, etc. **8. Historia de las Variables Aleatorias Continuas** La historia de las variables aleatorias continuas es un proceso que se desarrolló lentamente, especialmente durante los siglos XVII y XVIII. Muchos matemáticos destacados hicieron aportes fundamentales a la teoría de la probabilidad y la estadística, entre ellos: - Fermat y Pascal: Establecieron las bases de la probabilidad. - De Moivre: Desarrolló la distribución normal. - Laplace: Avanzó en el estudio de las distribuciones y la estadística. - Gauss: Conocido por la distribución normal (también llamada gaussiana). - Chebyshev: Contribuyó a la teoría de probabilidades y desigualdades.