Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Électricité L1-MPI PDF

Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI Chapitre 2 ELECTROSTATIQUE : Champ et potentiel électrostatiques De nombreuses expériences ont montré que la matière est constituée de petites particules dont certaine...

Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI Chapitre 2 ELECTROSTATIQUE : Champ et potentiel électrostatiques De nombreuses expériences ont montré que la matière est constituée de petites particules dont certaines ont la propriété de se repousser ou de s’attirer mutuellement. On dit que ces particules portent une charge. Les propriétés électriques fondamentales s’expliquent par l’existence de deux sortes de charges : les charges positives et les charges négatives. On admet conventionnellement que la charge de l’électron de l’atome est négative. Il en résulte que la charge du proton est positive. L’électron et le proton ont une charge égale à ce qu’on appelle la charge élémentaire notée 𝑒. Un atome de numéro atomique Z est formé d’un noyau contenant Z protons autour duquel gravitent Z électrons. La charge globale de l’atome étant nulle, on dit qu’il est électriquement neutre. Les propriétés de la conservation et de la quantification de la charge électrique sont essentielles pour la structure électrique de la matière. Dans le SI, l’unité de la charge électrique est le Coulomb (𝐶) et la charge élémentaire vaut 𝑒 = 1,6. 10−19 𝐶. 1) Champ électrique 1.1.) Définition Un champ électrique est une région de l’espace dans laquelle une charge électrique est soumise à une force qui ne dépend que de la position de cette charge. Une particule de charge q placée au voisinage d’une particule immobile et électriquement chargée est soumise à la force 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗. On définit ainsi le champ comme étant la force qui s’exerce sur une charge ponctuelle positive unité en un point de l’espace. Un champ est dit uniforme lorsque tous les vecteurs 𝐸⃗⃗ qui le représentent sont équipotents en tout point de l’espace considéré. 1.2.) Loi de Coulomb Lorsque deux charges électriques ponctuelles sont en présence, les forces exercées par l’une sur l’autre sont égales et opposées, dirigées suivant la droite qui les joint, proportionnelles à leur charge et inversement proportionnelles au carré de leur distance. Elles sont répulsives si les charges sont de même signe et attractives si elles sont de signes contraires. Page 1 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI 𝑞𝑞′ 𝐹 = 𝐹′ = 𝑘 𝑟2 𝑀 𝐹⃗ 𝐹⃗ ′ 𝑀′ 𝐹⃗ 𝑀 𝑀′ 𝐹⃗ ′ 𝑞 𝑟 𝑞′ 𝑞 𝑟 𝑞′ Attraction (mêmes signes) Répulsion (signes opposés) 1 Lorsque les charges sont placées dans le vide, 𝑘 = et 𝜀0 est une 4𝜋𝜀0 constante universelle appelée permittivité du vide. 1 𝑘 = 9 ∙ 109 𝑆𝐼. La valeur numérique de 𝜀0 est de l’ordre de 𝜀0 =. 36𝜋109 1.3.) Expression du champ et du potentiel électriques a) Cas d’une charge électrique ponctuelle Considérons une charge ponctuelle 𝑞 placée en un point 𝑃 et cherchons le champ qu’il crée en un point 𝑀 situé à une distance 𝑟 de 𝑃. La force subie par la charge 𝑞 est 𝐹⃗ donnée par la loi de Coulomb. 𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹⃗ = 𝑘 𝑞𝑞′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑜ù 𝑃𝑀 𝑃𝑀 𝑟⃗ = =𝑢⃗⃗ 𝑃 𝑢 ⃗⃗ 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 𝑟 |𝑃𝑀 𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑃𝑀 𝑞 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et Celle-ci est dirigée suivant 𝑃𝑀 de module 𝑞𝑞′ 𝐹=𝑘 2 𝑟 On en déduit le champ créé aussi en 𝑀 par la charge 𝑞 et dirigé ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : suivant 𝑃𝑀 𝐹⃗ 𝑞 𝑞 𝐸⃗⃗ = =𝑘 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑀 = 𝑘 2 𝑢⃗⃗ 𝑞′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝑃𝑀 𝑟 Et de module 𝑞 𝐸=𝑘 𝑟2 La circulation élémentaire de 𝐸⃗⃗ lorsqu’il subit un déplacement de 𝑀 vers 𝑀′, est donné par : Page 2 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI 𝑑𝒞 = 𝐸⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀′ = 𝐸. 𝑀𝐻 = 𝐸. 𝑑𝑟 𝑀′ 𝑞 𝑞 𝑑𝒞 = 𝑑𝑟 = −𝑑 ( ) 4𝜋𝜀0 𝑟 2 4𝜋𝜀0 𝑟 𝐻 𝐸⃗⃗ 𝑞 𝑀 = −𝑑𝑉 ⇒ 𝑉 = + 𝑐𝑡𝑒 𝑃 4𝜋𝜀0 𝑟 𝑟 𝑞 𝑢 ⃗⃗ 𝑉 = 0 lorsque 𝑟 → ∞ ⟹ 𝑐𝑡𝑒 = 0. 1 𝑞 𝑂𝑛 𝑎 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑉= 4𝜋𝜀0 𝑟 b) Cas de plusieurs charges électriques ponctuelles Pour un système constitué de plusieurs charges ponctuelles 𝑞𝑖 placées aux points 𝑃𝑖 : - le champ résultant créé en un point 𝑀 est la somme vectorielle des champs individuels créés par chacune des charges 𝑞𝑖 en 𝑀. 𝑞𝑖 𝐸⃗⃗ = ∑ ⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑖 = ∑ 𝑘 ⃗𝑟⃗ 𝑜ù ⃗𝑟⃗𝑖 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑖 𝑀 𝑟𝑖 3 𝑖 𝑖 𝑖 - le potentiel électrique global créé en un point 𝑀 est la superposition des potentiels individuels créés par chacune des charges 𝑞𝑖 en 𝑀. 1 𝑞𝑖 𝑉(𝑀) = ∑ 𝑉𝑖 (𝑀) = ∑ 4𝜋𝜀0 𝑟𝑖 𝑖 𝑖 c) Cas d’une distribution continue de charges électriques Si la charge électrique est uniformément répartie sur une longueur, une surface ou dans un volume, on définit les notions suivantes de : 𝑑𝑞 - Densité linéique 𝜆 = 𝑑𝑙 𝑑𝑞 - Densité surfacique ou superficielle 𝜎 = 𝑑𝑆 𝑑𝑞 - Densité volumique 𝜌 = 𝑑𝜏 𝑑𝑞 est l’élément de charge porté respectivement par les éléments de longueur 𝑑𝑙, de surface 𝑑𝑆 et de volume 𝑑𝜏. Les champs et potentiels correspondants s’expriment par : 1 ⬚ 𝜆𝑑𝑙 1 ⬚ 𝜆𝑑𝑙 𝐸⃗⃗ = ∫𝑙 𝑢 ⃗⃗ et 𝑉= ∫𝑙 4𝜋𝜀0 𝑟2 4𝜋𝜀0 𝑟 1 ⬚ 𝜎𝑑𝑆 1 ⬚ 𝜎𝑑𝑆 𝐸⃗⃗ = ∬𝑆 𝑢 ⃗⃗ et 𝑉= ∬𝑆 4𝜋𝜀0 𝑟2 4𝜋𝜀0 𝑟 1 ⬚ 𝜌𝑑𝜏 1 ⬚ 𝜌𝑑𝜏 𝐸⃗⃗ = ∭𝜏 𝑢 ⃗⃗ et 𝑉= ∭𝜏 4𝜋𝜀0 𝑟2 4𝜋𝜀0 𝑟 Page 3 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI d) Distribution quelconque de charges Dans tous les cas, on déduira le champ du potentiel dont il dérive par la relation 𝜕𝑉 𝐸𝑥 = − 𝜕𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 ⟹ 𝐸𝑦 = − 𝜕𝑉 𝐸⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 en coordonnées cartésiennes. 𝜕𝑦 𝜕𝑉 { 𝐸𝑧 = − 𝜕𝑧 Le champ électrique est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles et dirigé vers les potentiels décroissants. Sa valeur 𝑑𝑉 absolue est égale à la dérivée normale du potentiel 𝐸 = 𝑑𝑥. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗⃗ = ⃗0⃗. Par ailleurs le champ électrostatique est telle que 𝑟𝑜𝑡 2) Travail électrostatique La force électrique qui s’exerce sur une charge ponctuelle q placée en un point M où règne un champ électrique 𝐸⃗⃗ est 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗. Le travail de cette force qui s’exerce sur une charge q lorsqu’elle est déplacée du point M où le potentiel est 𝑉1 au point M’ où le potentiel est 𝑉2 en suivant un arc de courbe C est donné par 𝑑𝑊 = 𝐹⃗ ⋅ 𝑑𝑙 ⃗⃗⃗⃗ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ 𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = 𝑞 ∫ 𝐸⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = −𝑞 ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 ⋅ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = −𝑞 ∫ 𝑑𝑉 𝑀𝑀′ 𝑀𝑀′ 𝑀𝑀′ 𝑀𝑀′ 𝑊 = 𝑞(𝑉1 − 𝑉2 ) 𝑉1 − 𝑉2 : différence de potentiel. Elle est exprimée dans le système international en Volts (V). Le Volt est la différence de potentiel qui existe entre deux points lorsqu’on déplace de l’un à l’autre une charge de 1 Coulomb. La force électrique fournit un travail de 1 J. 𝐸⃗⃗ s’exprime en (V/m). 3) Flux électrostatique 1- Flux envoyé par une charge ponctuelle à travers une surface Soit 𝐸⃗⃗ le champ créé par q et soit 𝑑𝑆 l’élément de surface autour du point P représenté par le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 qui fait un angle 𝜃 avec 𝐸⃗⃗. Le champ créé par la charge 𝑞 au point M est : Page 4 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI 1 𝑞 𝐸⃗⃗ = 𝑢 ⃗⃗ 4𝜋𝜀0 𝑟 2 Le flux de ce champ traversant l’élément de surface 𝑑𝑆 s’écrit : 𝑑𝜙 = 𝐸⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆. = 𝐸. 𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 𝑞 𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜃 4𝜋𝜀0 𝑟 2 On pose : 𝐸⃗⃗ 𝑟 𝑀 𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃 (𝓒) 𝑑Ω = 𝑢 ⃗⃗ 𝑟2 𝑃 (𝑞) 𝑑Ω est l’angle solide élémentaire. C’est l’angle sous lequel on voit du point P l’élément de surface 𝑑𝑆 qui entoure le point M. 𝑞 𝑑𝜙 = 𝑑Ω 4𝜋𝜀0 Pour une surface finie S limitée par son contour C on a ⬚ 𝑞 𝜙= ∫ 𝑑Ω 4𝜋𝜀0 𝐶 𝑞 On écrit 𝜙 = 4𝜋𝜀 Ω 0 Exemple : système sphérique ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑟 = ⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝑟 𝑢𝑟 + ⃗⃗⃗⃗⃗𝑟𝑑𝜃 𝑢𝜃 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝜑 𝑢𝜑 Donc 𝑑𝑆 = 𝑟𝑑𝜃. 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑 = 𝑟 2 𝑑𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑 𝑑𝑆 𝑑Ω = = 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑 𝑟2 𝜋 2𝜋 𝑆 = 𝑟 2 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 ∫ 𝑑𝜑 = 4𝜋𝑟 2 0 0 2) Flux à travers une surface fermée a) Charge placée à l’extérieur Le tube de force élémentaire d’angle solide 𝑑Ω découpe la surface en deux surfaces 𝑑S et 𝑑S′. 𝑑S est traversée par le flux 𝑑ϕ : Page 5 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI 𝑞 𝑞 𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑ϕ = 𝐸⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆 𝑒 ⃗𝑟 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐸𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃 = − 𝑑𝑆 4𝜋𝜀0 𝑟 2 4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑞 =− 𝑑Ω 4𝜋𝜀0 𝑑S ′ est traversée par le flux 𝑑ϕ′ : (𝑺) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆′ 𝐸 ′ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑ϕ′ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 ′ 𝑞 𝜃 = 𝑒⃗𝑟 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 ′ 4𝜋𝜀0 𝑟 ′ 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 𝐸⃗⃗ ′ 𝑟′ 𝑒⃗𝑟 𝑀′ = 𝐸 ′ 𝑑𝑆 ′ 𝑐𝑜𝑠𝜃 (𝓒) 𝑀 𝑒⃗𝑟 𝑞 𝑃 𝑑𝑆′ = 𝑑Ω 𝑑𝑆 4𝜋𝜀0 𝒅𝜴 (𝒒) Le flux résultant 𝑑𝜙𝑡 = 𝑑𝜙 + 𝑑𝜙 ′ = 0. Le flux envoyé par une charge ponctuelle à travers une surface fermée est nul si la charge est placée à l’extérieur de cette surface. b) Charge placée à l’intérieur Considérons un élément de surface 𝑑𝑆 qui s’appuie sur un contour 𝑞 fermé. Le flux de 𝐸⃗⃗ est donné par 𝑑𝜙 = 4𝜋𝜀 𝑑Ω. 0 Le flux de 𝐸⃗⃗ est donné 𝑞 (𝑺) par 𝑑𝜙 = 4𝜋𝜀 𝑑Ω. 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 𝑞 𝐸⃗⃗ 𝑑𝜙 = 𝐸⃗⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 = 𝑒⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑟 { 𝑞 𝑀 𝑒⃗𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗′ = 𝑑𝜙′ = 𝐸⃗⃗ ′ ⋅ 𝑑𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗′ 𝑒⃗ ∙ 𝑑𝑆 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟′2 𝑟 𝑑𝑆′ 𝒅𝜴′(𝒒) 𝑑𝑆 𝑞 𝑒⃗𝑟 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 𝑞 𝑑𝜙 = 4𝜋𝜀0 𝑟 2 = 4𝜋𝜀0 𝑑Ω 𝑒⃗𝑟 𝑟′ 𝑃 𝒅𝛀 𝑞 𝑒⃗𝑟 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆′ 𝑞 𝑑𝜙 ′ = 2 = 𝑑Ω { 4𝜋𝜀0 𝑟 ′ 4𝜋𝜀0 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆′ Ainsi, le flux total est : 𝑑𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝑑𝜙 + 𝑑𝜙 ′ En calculant 𝜙 et 𝜙′ sur des demi-espaces, on obtient : 𝑞 𝑞 𝑞 𝜙𝑡𝑜𝑡 = ( × 2𝜋) + ( × 2𝜋) = 4𝜋𝜀0 4𝜋𝜀0 𝜀0 Pour une surface donnée Ω = 4𝜋 stéradians. 𝑞 On a alors 𝜙 = 𝜀. 0 Page 6 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI Si plusieurs charges 𝑞𝑖 sont placées à l’intérieur de la surface S, le 1 flux sortant total 𝜙 à travers cette surface est 𝜙 = ∑𝑖 𝜙𝑖 = ∑𝑖 𝑞𝑖 𝜀0 Théorème de Gauss : le flux d’un champ électrique qui sort d’une surface fermée est égal au quotient par 𝜀0 de la somme algébrique des charges placées à l’intérieur de la surface. 3) Application du théorème de Gauss a) Equation de Poisson Considérons un point M dans un repère de l’espace caractérisé par une distribution volumique de charge de densité 𝜌. Soit 𝑑𝜏 le volume contenu dans une surface élémentaire 𝑑𝑆 entourant le point M. Le flux ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗ 𝑑𝜏. du champ 𝐸⃗⃗ qui sort de 𝑑𝑆 s’écrit 𝑑𝜙 = 𝐸⃗⃗ ⋅ 𝑑𝑆 Le théorème de Gauss appliqué à cet élément de volume donne 𝜌 𝑑𝜙 = 𝜀 𝑑𝜏. 0 𝜌 L’égalité de ces deux expressions conduit à la relation 𝑑𝑖𝑣 𝐸⃗⃗ = 𝜀. 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 = 𝜌 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 ⟹ −𝑑𝑖𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑 Or 𝐸⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜀 0 𝜌 D’où 𝑑𝑉 + 𝜀 = 0. Equation de Poisson. 0 En l’absence de charges, cette équation se réduit à l’équation de Laplace 𝑑𝑉 = 0. b) La discontinuité du champ - La composante normale Soit un volume cylindrique de surface de base S et de hauteur e, également coupé en deux par l’interface. En appliquant le théorème de Gauss on peut écrire: 𝑑∅ = 𝐸⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑆 = 𝜎𝑑𝑆 𝜀0 Page 7 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI ⬚ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∅ = ∬ 𝐸⃗⃗. 𝑑𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗1 𝑑𝑆 Milieu 1 𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗3 𝑑𝑆 = (𝐸⃗⃗2𝑛 − 𝐸⃗⃗1𝑛 ) ∙ 𝑛⃗⃗12 𝑆 + 𝐸𝑡 (2𝜋𝑟𝑒) 𝑑𝑆 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜎𝑆 Surface de = = séparation 𝜀0 𝜀0 chargée 𝜎 L’épaisseur 𝑒 de la surface étant faible (𝑒 → 0) et 𝐸𝑡 continue, on obtient : 𝑛⃗⃗12 = 𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗2 𝑑𝑆 Surface de Gauss cylindrique de Milieu 2 hauteur 𝑒 𝜎 (𝐸⃗⃗2𝑛 − 𝐸⃗⃗1𝑛 ) ∙ 𝑛⃗⃗12 = 𝜀0 La composante normale est discontinue à la traversée de l’interface. - La composante tangentielle Considérons un parcours rectangulaire L de côté 𝑙 et de faible épaisseur 𝑒 , coupé en deux (zone 1 et zone 2) de façon symétrique par une surface S. Calculons la circulation 𝑑𝐶 du champ électrique 𝐸⃗⃗ le long du contour fermé ABCD. ⃗⃗⃗⃗ = 0 𝑑𝐶𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑙 Dans chacune des zones 1 et 2, le champ va être décomposé en ses composantes normale (projection sur la normale 𝒏⃗⃗⃗ = 𝒏 ⃗⃗𝟏𝟐 ) et tangentielle (projection sur une direction perpendiculaire à la normale) soit : 𝐸⃗⃗1 = 𝐸⃗⃗1𝑛 + 𝐸⃗⃗1𝑡 𝑒𝑡 𝐸⃗⃗2 = 𝐸⃗⃗2𝑛 + 𝐸⃗⃗2𝑡 Milieu 1 ⬚ 𝒞=∫ 𝐸⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = 0 A 𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 Surface de e séparation = 𝐸⃗⃗1𝑡 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝒞𝑙𝑎𝑡 + 𝐸⃗⃗2𝑡 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 = 0 chargée 𝜎 = (𝐸⃗⃗1𝑡 − 𝐸⃗⃗2𝑡 ) ∙ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒞𝑙𝑎𝑡 = 0 𝐷 𝑙 𝐶 𝒞𝑙𝑎𝑡 renferme les termes des composantes normales et l’épaisseur 𝑒 de la surface. 𝑛⃗⃗ = 𝑛⃗⃗12 Milieu 2 (𝐸⃗⃗1𝑡 − 𝐸⃗⃗2𝑡 ) ∙ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒞𝑙𝑎𝑡 = 0 L’épaisseur 𝑒 de la surface étant faible, le contour est aplati et on peut négliger la circulation 𝒞𝑙𝑎𝑡 sur les segments latéraux (BC et DA). La composante tangentielle est alors continue à la traversée de l’interface. (𝐸⃗⃗1𝑡 − 𝐸⃗⃗2𝑡 ) ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 0 𝑑 ′ 𝑜ù 𝐸⃗⃗1𝑡 = 𝐸⃗⃗2𝑡 Remarques Page 8 / 14 Semestre 1 / 2023-2024  Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI - Si V possède un maximum, si on se déplace de M à M’, V décroît donc 𝐸⃗⃗ a une composante positive. Le flux d’une sphère autour de M est différent de 0 contrairement au théorème de Gauss (𝜌 = 0). - En l’absence de charges dans un tube de force, le flux à travers toute section de ce tube est un invariant et par conséquent les régions de champ intenses sont celles où les lignes de champ sont plus serrées. 𝑑𝜙 = 𝑑𝜙𝑆 + 𝑑𝜙𝐿 + 𝑑𝜙𝑆′ = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑙𝑎𝑡 𝑑𝜙𝐿 = 0 car 𝐸⃗⃗ ⊥ 𝑑𝑆 ⟹ 𝑑𝜙𝑆 + 𝑑𝜙𝑆′ = 0 𝒅𝑺′ 𝐸 𝑑𝑆′ 𝒅𝑺 ⟹ 𝐸𝑑𝑆 = 𝐸 ′ 𝑑𝑆 ′ ⟺ = 𝐸′ 𝑑𝑆 𝑑𝑆 ′ > 𝑑𝑆 ⟹ 𝐸 > 𝐸′ - Etant donné que le champ électrique est le gradient de la fonction 𝑟𝑜𝑡𝐸⃗⃗ = ⃗0⃗. potentielle V, son rotationnel est nul ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ III- APPLICATIONS 1) Potentiel et champ électrique créé par un dipôle électrique Définition : Un dipôle électrique est un ensemble de deux charges électriques opposées séparées par une distance très faible par rapport aux points où l’on étudie son action. Le potentiel produit en M est 𝐸⃗⃗ 𝑞 1 1 𝑞 𝑟𝐴 − 𝑟𝐵 𝑉𝑀 = [ − ]= 𝑧 4𝜋𝜀0 𝑟𝐵 𝑟𝐴 4𝜋𝜀0 𝑟𝐴 𝑟𝐵 𝛼 𝐸⃗⃗𝑟 Soit O le milieu de AB. 𝑂𝑀 = 𝑟 est 𝐸⃗⃗𝜃 grande devant 𝑎. H étant la projection de 𝑀 A sur MB, on a : 𝐵𝐻 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 ≅ 𝑟𝐴 − 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑟 Le potentiel produit en M est : 𝐻 𝑟𝐵 𝑞 1 1 𝑞 𝑟𝐴 − 𝑟𝐵 𝑉𝑀 = [ − ]= 4𝜋𝜀0 𝑟𝐵 𝑟𝐴 4𝜋𝜀0 𝑟𝐴 𝑟𝐵 𝐴 𝜃 𝐵 −𝑞 𝑎 𝑎 +𝑞 Soit O le milieu de AB. La distance 𝑂𝑀 = 𝑟 est grande devant 𝑎. H étant la projection de A sur MB, on a 𝐵𝐻 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 ≅ 𝑟𝐴 − 𝑟𝐵 Le potentiel au point M peut alors être réécrit par 𝑞 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑉𝑀 = 4𝜋𝜀0 𝑟 2 Page 9 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI Le vecteur moment électrique du dipôle est donné par ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜇⃗ = 𝑞𝐴𝐵 On peut donc écrire 𝜇 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑉𝑀 = 4𝜋𝜀0 𝑟 2 Ce résultat peut être interprété de la façon suivante a) 𝑉𝑀 est la mesure de l’angle solide sous lequel on voit du point M 𝜇 une surface 𝑑𝑆 normale à AB et numériquement égale à 4𝜋𝜀 ; 0 1 1 1 b) La quantité ( − ) représente la variation de quand on circule 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑟 de A à B, on a donc 1 1 1 − = (𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂 ) ∙ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑟 En portant dans l’expression de 𝑉𝑀 , on obtient : 1 1 𝑉𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑂 )∙𝜇 ⃗ 4𝜋𝜀0 𝑟 La relation ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝐸⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 permet d’obtenir les composantes du vecteur champ en coordonnées polaires. On aura : 𝜕𝑉 2𝜇 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐸𝑟 = − =. 𝜕𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟 3 1 𝜕𝑉 𝜇 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝐸𝜃 = − =. 𝑟 𝜕𝜃 4𝜋𝜀0 𝑟 3 Les lignes de champ ont pour équation 𝑑𝑟 𝑟𝑑𝜃 𝑑𝑟 2𝑐𝑜𝑠𝜃 = ⇔ = 𝑑𝜃 𝐸𝑟 𝐸𝜃 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 Ce qui donne 𝑟 = 𝑘𝑠𝑖𝑛2 𝜃 2) Dipôle dans un champ électrique Plaçons notre dipôle dans une région où règne un champ électrique variable 𝐸⃗⃗. En A, la force qui s’exerce sur le champ est 𝐹⃗𝐴 = −𝑞𝐸⃗⃗. Le champ en B sera légèrement différent. La force subie par la charge q sera donc : 𝐹⃗𝐵 = 𝑞(𝐸⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝐸 ). Page 10 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI La résultante des forces appliquées au 𝑞𝑑𝐸⃗⃗ dipôle sera donc : 𝑞𝐸⃗⃗ −𝑞 𝐵 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝐴 + 𝐹⃗𝐵 = 𝑞𝑑𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 2𝑎 +𝑞 On pose au point A, 𝐸⃗⃗𝐴 = 𝐸⃗⃗ ; et au point B, 𝐸⃗⃗𝐵 = 𝐸⃗⃗ + 𝑑𝐸⃗⃗ 𝐹⃗𝐴 = −𝑞𝐸⃗⃗ La force soumise au dipôle s’écrit : 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝐴 + 𝐹⃗𝐵 = −𝑞𝐸⃗⃗𝐴 + 𝑞𝐸⃗⃗𝐵 = 𝑞𝑑𝐸⃗⃗ 𝜕𝐸 ⃗⃗𝜕𝐸 𝜕𝐸 ⃗⃗ ⃗⃗ Or 𝑑𝐸⃗⃗ = 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝜕𝐸 𝜕𝐸⃗⃗ 𝜕𝐸 ⃗⃗ 𝜕 ⃗⃗𝜕 𝜕 Donc 𝐹⃗ = 𝑞 ( 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑧 𝑑𝑧) = 𝑞 (𝑑𝑥 𝜕𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑧) 𝐸⃗⃗ 𝜕 𝜕 𝜕 ⃗⃗ ) ∙ ( 𝑖⃗ + = 𝑞(𝑑𝑥𝑖⃗ + 𝑑𝑦𝑗⃗ + 𝑑𝑧𝑘 𝑗⃗ + 𝑘 ⃗⃗ ) 𝐸⃗⃗ = (𝑞𝑑𝑟⃗ ∙ ⃗∇⃗)𝐸⃗⃗ = (𝑝⃗ ∙ ⃗∇⃗)𝐸⃗⃗ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Ainsi la force électrique subie par un dipôle dans un champ électrique extérieur non uniforme est : ⃗𝑭⃗ = (𝒑 ⃗⃗ ∙ ⃗𝛁⃗)𝑬 ⃗⃗ Il apparaît ainsi que la force exercée sur le dipôle dépend : - de l’orientation du dipôle, - et des variations du champ : plus celles-ci sont importantes, plus la force exercée va être grande.  Le travail est : Soit un dipôle ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 de moment dipolaire 𝜇⃗ placé dans un champ électrique appliqué uniforme 𝐸⃗⃗. Par application du principe de superposition, on a le travail qui est égal à l’énergie potentielle : 𝑊 = 𝑞𝑉𝐵 + (−𝑞)𝑉𝐴 = 𝑞(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 ) ⃗⃗𝑉(𝑟) ⟺ 𝑑𝑉 = − ∫𝐵 𝐸⃗⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ = −𝐸⃗⃗ ∙ ∫𝐵 𝑑𝑟⃗ = −𝐸⃗⃗ ∙ (𝑟⃗𝐵 − 𝑟⃗𝐴 ) Or 𝐸⃗⃗ = −∇ 𝐴 𝐴 ⟹ 𝑉𝑝 − 𝑉𝑁 = −𝐸⃗⃗ ∙ 𝑁𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑊𝑝 = −𝑞𝐸⃗⃗ ∙ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝜇⃗ ∙ 𝐸⃗⃗  Le moment résultant du couple de forces appliquées au dipôle est donné par : Γ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB ⋀ 𝐹⃗𝐴 = 𝑞AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ ⃗E⃗ Γ⃗ = 𝜇⃗ ⋀ ⃗E⃗ Autrement : Le moment par rapport à O du couple de forces appliquées au dipôle est : 𝛤⃗𝑂 (𝐹⃗𝐴 , 𝐹⃗𝐵 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 ∧ 𝐹⃗𝐴 + 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐹⃗𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 ∧ (−𝑞𝐸⃗⃗𝐴 ) + 𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (+𝑞𝐸⃗⃗𝐵 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐸⃗⃗𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑞(𝑂𝐵 𝑂𝐴 ∧ 𝐸⃗⃗𝐴 ) 𝑜𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 = −𝑂𝐵 𝛤⃗𝑂 (𝐹⃗𝐴 , 𝐹⃗𝐵 ) = 𝑞𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝐸⃗⃗𝐵 + 𝐸⃗⃗𝐴 ) Page 11 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI On voit que le moment du couple est fonction de l’orientation du champ appliqué. Si le champ appliqué est uniforme : 𝐸⃗⃗𝐵 = 𝐸⃗⃗𝐴 = 𝐸⃗⃗ ⟹ 𝛤⃗𝑂 (𝐹⃗𝐴 , 𝐹⃗𝐵 ) = 2𝑞𝑂𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐸⃗⃗ = 𝑞𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐸⃗⃗ = 𝜇⃗ ∧ 𝐸⃗⃗ ⃗𝜞⃗𝑶 = 𝝁 ⃗⃗ ∧ ⃗𝑬⃗ 3) Disque circulaire uniformément chargé Une surface dS crée en un point M de l’axe d’un disque de rayon 𝑅 uniformément chargé 𝜎 un champ 𝑧 électrique : 1 𝜎𝑑𝑆 𝑑𝐸⃗⃗ 𝑑𝐸 = 4𝜋𝜀0 𝑟 2 Un élément symétrique crée le 𝑀 même champ en M, dont la composante horizontale s’annule 𝜃 avec celle du champ créé par la 𝛼 charge de P. Il en résulte que le champ total sera porté par l’axe Oz. 𝑑𝑆′ 𝑅 𝑑𝑆 La contribution de dS à ce champ sera 𝜎 𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜎 𝑑𝐸𝑧 = 𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 = 𝑑Ω 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑑Ω est l’angle solide sous lequel, de M, on voit dS. Pour un cône de demi-angle 𝛼 au sommet et de génératrice 𝑟, 𝛼 ⬚ 2 𝑑𝑆 𝑑𝑆 = (𝑟𝑑𝜃)(𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑) = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑 ⟹ Ω = ∬ 2 = 2𝜋 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑆 𝑟 0 ⟹ Ω = 2𝜋(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) Par intégration on obtient le champ 𝜎 𝜎 𝑧 𝜎𝑧 1 1 𝐸= (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) = (1 − )= ( − ) 2𝜀0 2𝜀0 √𝑅 2 + 𝑧 2 2𝜀0 |𝑧| √𝑅 2 + 𝑧 2 𝜎 𝑧⟶0⇒𝐸= (𝑧 > 0) 2𝜀0 −𝜎 𝐸= (𝑧 < 0) 2𝜀0 Le potentiel en M sera 𝜎 ∞ 𝑧 𝜎 𝑉= ∫ (1 − )𝑑𝑧 = [𝑧 − √𝑅 2 + 𝑧 2 ]∞ 𝑧 2𝜀0 𝑧 √𝑅 2 + 𝑧 2 2𝜀 0 𝜎 𝑉= (√𝑅 2 + 𝑧 2 − 𝑧) 2𝜀0 𝜎𝑅 𝑧 ⟶ 0 au centre du disque : 𝑉 = 2𝜀 0 𝜎 𝑧 ⟶ ∞ plan infini : 𝐸 = 2𝜀 0 Page 12 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI 4) Généralisation de la notion de dipôle Considérons un ensemble de charges 𝑞𝑖 placées en des points 𝑃𝑖 et exprimons le potentiel en un point M très éloigné. Soit O une origine arbitraire voisine de toutes les charges. Les distances 𝑂𝑃𝑖 = 𝑎𝑖 seront donc très petites devant 𝑂𝑀 = 𝑟. Le potentiel en M est 𝑟𝑖 𝑀 𝑃𝑖 1 𝑞𝑖 𝑉= ∑ (𝑞𝑖 ) 𝑟1 4𝜋𝜀0 𝑃𝑖 M 𝑟2 𝑖 (𝑞1 ) 1 𝑞𝑖 𝑎𝑖 𝑃1 = ∑ 𝑟 (𝑞2 ) 4𝜋𝜀0 𝑟𝑖 𝑖 𝑎1 𝑃2 Avec (𝑞𝑛 ) 𝑎2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑛 ⃗𝑟⃗𝑖 = 𝑃 𝑖 𝑂 + 𝑂𝑀 𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀 𝑂𝑃𝑖 = 𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑖 𝑟𝑖2 = 𝑟 2 − 2𝑟. 𝑎𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑎𝑖2 2𝑎𝑖 𝑎2 Soit 𝑟𝑖2 = 𝑟 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑟 𝑖2 ) 𝑟 −1/2 1 1 2𝑎𝑖 𝑎𝑖2 = (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 2 ) 𝑟𝑖 𝑟 𝑟 𝑟 En se limitant aux premiers termes du développement 1 1 𝑎𝑖 𝑎𝑖2 1 1 −3 2𝑎𝑖 𝑎𝑖2 = [1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 − 2 + (− ) ( ) (− 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 2 )] 𝑟𝑖 𝑟 𝑟 𝑟 2 2 2 𝑟 𝑟 1 1 𝑎𝑖 𝑎𝑖2 = + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 3 (3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑖 − 1) 𝑟𝑖 𝑟 𝑟 2 𝑟 1 ∑ 𝑞𝑖 ∑ 𝑞𝑖 𝑎𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 ∑ 𝑞𝑖 𝑎𝑖2 (3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑖 − 1) 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑉= [ + + ] 4𝜋𝜀0 𝑟 𝑟2 2𝑟 3 1 ∑ 𝑞𝑖 1 ∑ 𝑞𝑖 𝑎𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 1 ∑ 𝑞𝑖 𝑎𝑖2 (3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑖 − 1) = + + 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 𝑟2 4𝜋𝜀0 2𝑟 3 1 1 1 Le potentiel est donc la somme de termes en , , 𝑟 3 , etc. 𝑟 𝑟2 On peut envisager 3 cas intéressants : ∑ 𝑞𝑖 ≠ 0 𝑒𝑡 ∑ 𝑞𝑖 ⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑖 = ⃗0⃗ : la distribution est dite polaire On peut par un choix correct de l’origine imposer la nullité du second terme. Pour cela, il suffit de placer le point O au barycentre des charges, ce qui annule ∑ 𝑞𝑖 ⃗⃗⃗⃗. 𝑎𝑖 Page 13 / 14 Semestre 1 / 2023-2024 Chapitre 2 : Electrostatique Cours d’Electricité L1-MPI On a ∑ 𝑞𝑖 𝑎𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 = (∑ 𝑞𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃𝑖 )𝑢 ⃗⃗ = 0 Le potentiel se réduit alors à l’expression en négligeant les termes 1 en 𝑟 3 : 1 ∑ 𝑞𝑖 𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀0 𝑟 La distribution est alors équivalente à une charge unique 𝑄 = ∑ 𝑞𝑖 placée au centre de gravité O des charges 𝑞𝑖. ∑ 𝑞𝑖 = 0 et ∑ 𝑞𝑖 ⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑖 ≠ ⃗0⃗ la distribution est dite dipolaire. Choisissons une autre origine O’. ∑ 𝑞𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂′ 𝑃𝑖 = ∑ 𝑞𝑖 (𝑂 ′ 𝑂 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃𝑖 ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝑞𝑖 𝑂 ′ 𝑂 + ∑ 𝑞 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑖 𝑂𝑃𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂 ′ 𝑂 ∑ 𝑞 + ∑ 𝑞 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑖 𝑖 𝑂𝑃𝑖 Or ∑ 𝑞𝑖 = 0 ⟹ ∑ 𝑞𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂′ 𝑃𝑖 = ∑ 𝑞𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃𝑖 C’est cet invariant qui est appelé moment dipolaire 𝜇⃗. 1 L’expression du potentiel débute donc par le terme en 𝑟 2. 1 𝜇⃗ ⋅ 𝑟⃗ 1 ∑ 𝑞𝑖 𝑎𝑖 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 𝑉(𝑀) = = 4𝜋𝜀0 𝑟 3 4𝜋𝜀0 𝑟2 C’est la généralisation du résultat obtenu pour le dipôle le plus simple qui n’était qu’un doublet (−𝑞, +𝑞) ∑ 𝑞𝑖 = 0 et ∑ 𝑞𝑖 ⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑖 = ⃗0⃗ 1 L’expression du potentiel débute par un terme en 𝑟 3. 1 ∑ 𝑞𝑖 𝑎𝑖2 (3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑖 − 1) 𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀0 2𝑟 3 La distribution des charges sera dite quadripolaire. De même, on définit des distributions multipolaires d’ordre 2𝑛. Page 14 / 14 Semestre 1 / 2023-2024