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Electrostatique Professeur : SCHNEIDER FC N°2b Date : 21/09/2023 SOMMAIRE I. SYMETRIE ET INVARIANCE (SUITE) ........................................................................................................................................... 1 1. INVARIANCE ....................................

Electrostatique Professeur : SCHNEIDER FC N°2b Date : 21/09/2023 SOMMAIRE I. SYMETRIE ET INVARIANCE (SUITE) ........................................................................................................................................... 1 1. INVARIANCE ........................................................................................................................................................................... 1 2. SYMETRIE .............................................................................................................................................................................. 1 3. ANTISYMETRIE ........................................................................................................................................................................ 2 4. RESUME ................................................................................................................................................................................ 2 II. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE ............................................................................................................................................... 3 1. TRAVAIL ................................................................................................................................................................................ 3 2. ÉNERGIE POTENTIELLE ELECTROSTATIQUE ....................................................................................................................................... 4 3. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE ..................................................................................................................................................... 5 4. POTENTIEL CREE PAR UN ENSEMBLE DE CHARGES ............................................................................................................................. 6 III. DIPOLE ELECTROSTATIQUE .................................................................................................................................................... 8 1. MOMENT DIPOLAIRE ELECTRIQUE :............................................................................................................................................... 9 2. POTENTIEL CREE PAR UN DIPOLE : .............................................................................................................................................. 10 3. CHAMP CREE PAR UN DIPOLE .................................................................................................................................................... 11 4. LIGNES DE CHAMP ET EQUIPOTENTIELLES CREEES PAR UN DIPOLE : ...................................................................................................... 11 5. RESUME .............................................................................................................................................................................. 12 En cas de questions sur ce cours, vous pouvez écrire à l’adresse suivante : [email protected] Les règles de courtoisies sont à respecter lors de l’envoi d’un mail. L’équipe des tuteurs se réserve le droit de répondre ou non à un mail. En cas de questions récurrentes, les tuteurs pourront faire un point lors des colles hebdomadaires. I. Symétrie et invariance (suite) 1. Invariance Permet de Réduire les coordonnés du champ électrostatique ✪ • Invariance par translation : 𝑀 → 𝑀′ (translation suivant Oz) : /!\ Les points M et M’ doivent voir la même distribution de charges • Invariance par rotation : 𝑀 → 𝑀′ (rotation suivant Oz) /!\ Les points M et M’ doivent voir la même distribution de charges Exemple : fil infini • Invariance par translation suivant l’axe z • Invariance par rotation • On peut donc enlever 2 composantes 2. Symétrie La présence d’une symétrie dans la répartition des charges permet de supprimer une composante de champ électrostatique ✪ • Soit une distribution de charges admettant un plan de symétrie π, le champ créé appartiendra au champ de symétrie. • Si une distribution de charges admet un plan de symétrie π alors le champ électrostatique résultant appartient nécessairement à ce plan. Exemple : fil infini o Il y a 2 plans de symétrie (dans l’axe du fil et dans l’axe perpendiculaire au fil car le fil est infini). o Le champ électrostatique appartient aux deux plans de symétrie. On va pouvoir diminuer le champ de deux composantes : 1 • Si la distribution de charges admet deux plans de symétrie alors la direction de ⃗𝑬 se trouve à l’intersection des deux plans. 3. Antisymétrie • On parle d’antisymétrie lorsqu’on est en présence d’une symétrie géométrique (de la forme) mais que les charges sont opposées de part et d’autre du plan d’antisymétrie. Dans ce cas particulier, on pourra supprimer une ou plusieurs composantes de champ électrostatique. ✪ • Soit une distribution de charges admettant un plan d’antisymétrie π’, le champ électrostatique est perpendiculaire au plan d’antisymétrie. • Si la distribution de charges admet un plan d’antisymétrie, le champ électrostatique résultant est perpendiculaire au plan d’antisymétrie. • Si le point n’est pas sur le plan d’antisymétrie : il faut prendre le point symétrique. On constate que la résultante de la somme des deux champs électrostatiques produits est perpendiculaire au plan d’antisymétrie. • ⃗⃗⃗ est seulement sur une direction. En pratique, cela veut dire que 𝑬 • Exemple : le condensateur : o Le plan Π’ est un plan d’antisymétrie pour le condensateur car les charges portées par ses deux plaques sont opposées. o Le champ électrostatique est perpendiculaire au plan Π’ o En coordonnées cartésiennes, on élimine avec cette antisymétrie les deux composantes suivant 𝑢𝑦 ⃗⃗⃗⃗ et 𝑢𝑧 ⃗⃗⃗⃗ 4. Résumé • S’il existe une droite telle que la translation selon cette droite laisse la distribution de charges inchangée, alors le champ électrostatique ne dépend pas de cette coordonnée. • S’il existe un axe de rotation (symétrie) autour d’une distribution de charges, alors la rotation autour de cet axe laisse la valeur du champ inchangée. La norme du champ électrostatique ne dépend pas de l’angle de rotation. • Si une distribution de charges admet un plan de symétrie, alors le champ électrostatique résultant appartient nécessairement à ce plan. • Si la distribution de charges admet deux plans de symétrie, alors la direction du champ électrostatique se trouve à l’intersection de ces deux plans. • Si la distribution de charges admet un plan d’antisymétrie, le champ électrostatique résultant est perpendiculaire au plan d’antisymétrie. 2 II. Potentiel électrostatique 1. Travail • Un système est un espace où règne un champ électrostatique 𝐸⃗ . Système • Considérons une charge ponctuelle q0 se situant en M et se déplaçant jusqu’au point M’dans une région de l’espace où règne un champ électrostatique E flèche. • Elle subit alors la force 𝐹 = 𝑞0 𝐸⃗ . • Le travail est l’énergie fournie ou prise par une force lorsque l’on déplace son point d’application. Le travail W • Le travail élémentaire dW s’exprime 𝑑𝑊 = 𝐹 . ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 qu’on peut intégrer en 𝑊𝑀→𝑀′ = 𝑀′ 𝑞0 ∫ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 𝑀 • Le potentiel est un produit scalaire. Un produit scalaire, c’est le produit des normes par le cosinus (≠ au produit vectoriel qui est le produit des normes par le sinus) • Son unité est le Joule (J). • Le vecteur ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 correspond au déplacement élémentaire soit le vecteur infinitésimal tangent à la trajectoire (Par exemple, on imagine une infinité de vecteur ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 pour se déplacer de M vers M’). • Si 𝐸⃗ est créé par une autre charge ponctuelle q, alors comme vu dans le cours d’avant : • (Le prof ne demande pas de savoir les démonstrations par cœur, mais si vous les comprenez elles peuvent vous aider). L’expression du champ électrostatique 3 • On remarque que le travail des forces électrostatiques ne dépend pas du trajet suivi mais uniquement des positions initiales et finales. L’expression du travail • Si on suppose que q et q0 sont de même signe, alors la force électrostatique est répulsive : les charges q et q0 se repoussent et lorsqu’on les éloigne, le travail est positif (rM < rM’) car on gagne de l’énergie. • A l’inverse, lorsqu’on approche les charges, le travail est négatif (Il y a un travail à fournir contre la force électrostatique, autrement dit, il faut apporter de l’énergie) (rM > rM’). • Cela permet d’introduire le concept d’énergie potentielle électrostatique définie comme l’inverse du travail. 2. Énergie potentielle électrostatique • La charge q0 soumise au champ électrique 𝐸⃗ possède une énergie potentielle telle que : 𝑑𝑊 = −𝑑𝐸𝑝. Energie potentielle Électrostatique • Pour un déplacement de la force 𝐹 d’un point M à un point M’, le travail de la force est égal à : 𝑞𝑞 • On en déduit que 𝐸𝑝 = 𝑟.4𝜋𝜀0 + 𝑐𝑠𝑡𝑒 avec r la 0 distance entre les deux charges. 𝐸𝑝 = L’expression de l’énergie potentielle 𝑞𝑞0 4𝜋𝜀0 • Ep est définie comme l’énergie potentielle de la charge q0 soumise au champ créé par la charge q. • La constante décrite dans la formule est arbitraire et s’il n’y a pas de charge à l’infini, elle est alors égale à 0 (ce qui est le cas pour le concours). • q0 et q sont symétriques dans cette expression, ce qui signifie qu’on peut les inverser et toujours trouver la même Ep. • Son unité est le Joule (J). 4 3. Potentiel électrostatique ⃗⃗⃗ • Nous avons vu que le travail s’exprime 𝑑𝑊 = 𝐹 . 𝑑𝑙 • De plus, 𝑑𝑊 = −𝑑𝐸𝑝 donc 𝐹 . ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = −𝑑𝐸𝑝 L’expression du potentiel électrostatique • Nous avons également vu que 𝐸𝑝 = 𝑞𝑞0 4𝜋𝜀0 + 𝑐𝑠𝑡𝑒. • On définit alors le potentiel électrostatique tel que 𝐸𝑝 = 𝑞𝑉0 + 𝑐𝑠𝑡𝑒 = 𝑞0 𝑉 + 𝑐𝑠𝑡𝑒 • Soit : 1 𝑉 = 4𝜋𝜀 × 0 𝑞 𝑟 ✪✪ • V est le potentiel électrostatique créé au point M par la source q placée en O. • Il s’agit d’un scalaire. Caractéristiques • Sa valeur ne dépend que de la charge q et de la distance r entre O et le point considéré (M). • V est une grandeur électrique mesurée en Volts noté V dans le système international. • La relation entre le champ électrostatique et le potentiel électrostatique est défini ⃗⃗⃗ par : 𝑑𝑉 = − 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 • Mais on peut écrire la variation du potentiel électrostatique dV lors d’un déplacement dans l’espace de composantes dx, dy et dz sous la forme de dérivées partielles : Gradient de potentiel 𝛿𝑉 𝛿𝑉 𝛿𝑉 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 • Cette relation ressemble à un produire scalaire entre le vecteur de déplacement unitaire et un vecteur appelé gradient de V : 𝑑𝑉 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝛿𝑉 𝛿𝑉 𝛿𝑉 𝑢𝑥 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑦 + ⃗⃗⃗⃗ 𝑢 ⃗⃗⃗⃗ 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝑧 ⃗⃗⃗ 𝑑𝑙 = 𝑑𝑥.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑥 + 𝑑𝑦. ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑦 + 𝑑𝑧. ⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑧 ⃗⃗⃗ mais que 𝑑𝑉 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉. 𝑑𝑙 ⃗⃗⃗ et donc 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 • On a vu que 𝑑𝑉 = − 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 • Les coordonnées cartésiennes : Expression du champ en fonction de V • Les coordonnées polaires : • De plus, pour le déplacement d’un point M vers un point M’ 5 • Les lignes équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ. • Le champ électrostatique est dirigé suivant les plus fortes variations de potentiel. Propriétés • Les lignes de champ électrostatique sont orientées suivant les potentiels décroissants. • Cf : voir les photos de la dernière page du cours. 4. Potentiel créé par un ensemble de charges • On a vu le principe de superposition pour le champ électrostatique. 𝑛 𝐸⃗ (𝑀) = ∑ Principe de superposition (cf cours précédent) 𝑖=1 • De la même manière, on définit le potentiel électrostatique total tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ soit encore vérifié : 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉 𝑉 (𝑀) = ∑𝑛𝑖=1 𝑉𝑖 𝑉(𝑀) = ∑𝑛𝑖=1 • 𝑉 (𝑀) = ∑𝑛𝑖=1 Distribution de charges continue ⃗⃗⃗ 𝐸𝑖 1 × 𝑞𝑖 ✪✪✪ 4п𝜀0 𝑟𝑖 𝑉𝑖 • Lorsque l’on s’intéresse à des échelles spatiales qui sont très grandes par rapport aux distances entre les charges qi, on peut faire un passage à la limite continue et remplacer la somme discrète par une intégrale ∑qi (Pi) → ∫dq(P) où P est un point courant autour duquel se trouve une charge « élémentaire » dq. • Le potentiel électrostatique crée par une distribution de charges continue est alors : • Où r = PM est la distance entre le point M distant de la distribution de charges et un point P quelconque de la distribution. • La distribution linéique pour une densité linéique de charge λ : Distribution de charges • La distribution surfacique pour une densité de charge σ : • La distribution volumique pour une densité de charge ρ : 6 RESUME ✪ Énergie potentielle électrostatique 𝐸𝑝 = 𝑞𝑞0 𝑟 × 4𝜋𝜀0 Potentiel électrostatique • Le potentiel électrostatique V est un scalaire (cad un nombre réel) tandis que le champs E est une grandeur vectorielle. 7 III. Dipôle électrostatique • Il existe dans la nature des systèmes globalement électriquement neutres mais dont le centre de gravité des charges positives n’est pas confondu avec celui des charges négatives. • Un tel système peut souvent être décrit en première approximation par deux charges électriques ponctuelles, +q et –q situées à une distance d=2a l’une de l’autre. • On appelle un tel système un dipôle électrique. Moments dipolaires de molécules Remarque : Il ne suffit pas que la molécule soit globalement électriquement neutre pour ne pas être un dipôle électrique, en effet pour cela il faut en plus que les barycentres soient confondus (ex : CO2) La molécule de CO2 n’est pas un dipôle permanent car les barycentres sont confondus : le barycentre des charges négatives (O) est confondu spatialement avec le barycentre des charges positives (au niveau de l’atome de C). Pour la molécule d’eau, les barycentres ne sont pas confondus car le barycentre des charges positives va se trouver entre les deux H+ et celui de la charge négative est sur la molécule d’O-. 8 1. Moment dipolaire électrique : • Le dipôle électrostatique est l’ensemble de deux charges ponctuelles opposées –q et +q situées à une distance d l’une de l’autre. • La somme des charges de cet ensemble est donc nulle. Définitions • On appelle moment dipolaire électrique 𝑝 le vecteur : 𝑝 = 𝑞𝑑 ✪ Vecteur moment dipolaire électrique • Avec 𝑑 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ||𝐴𝐵||𝑢 ⃗ . = 𝑑. 𝑢 ⃗ • Le sens du moment dipolaire est de –q vers +q. • Son unité est le C.m (Coulomb par mètre). • La définition du dipôle électrostatique se généralise facilement au cas de n charges ponctuelles dont la charge totale Q est nulle. Dipôle généralisé • Si A et B représentent respectivement les barycentres des charges négatives et positives, le moment dipolaire s’exprime alors : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 = 𝑄+ 𝐴𝐵 • Où Q+ correspond à la somme des charges positives (Q+ = Q-). Dipôles permanents • Certaines molécules sont des dipôles permanents. (Le barycentre des charges + et – ne coïncide pas). Dipôles non permanents • D’autres molécules n’ont pas de dipôles permanents (le barycentre des charges + et – coïncide). 9 2. Potentiel créé par un dipôle : • Considérons un point M éloigné de la distance r du dipôle. • Le potentiel créé par le dipôle peut s’exprimer grâce au principe de superposition : V(M) = V-q(M) + V+q(M) Principe de superposition • Soit : • Car : • D’où : • Considérons un point M éloigné de la distance r du dipôle. Le potentiel créé par le dipôle peut s’exprimer grâce au principe de superposition : • Généralement r >> d (et donc avec M très éloigné, idéalement vers l’infini), alors r 2 ̂ ≈ 𝑀𝑂𝑥 ̂ ≈ 𝑀𝐵𝑥 ̂ ≈ 𝜃 = rArB & 𝑀𝐴𝑥 Vecteur moment dipolaire électrique • Donc : AM = AA’ + A’M = AA’ + r • BM = BB’ + B’M = r – BB’ • Soit : rA – rB =AM – BM = AA’ + BB’ = 2*AA’ (par construction) • Or : AA’ = AO * cos(θ) = d/2 * cos(θ) • Donc : AM – BM = rA – rB d * cos(θ) • Avec p=qd 10 3. Champ créé par un dipôle • Considérons un point M éloigné de la distance r du dipôle. Le potentiel créé par le dipôle peut s’exprimer grâce au principe de superposition : 1 𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 × 𝑝×𝑐𝑜𝑠(𝜃) 0 Principe de superposition 𝑟2 ✪✪✪ • Nous avons vu que : 𝐸⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 • De plus, en utilisant les coordonnées polaires (r ; θ), on a : • Le dipôle possède une symétrie de révolution autour de l’axe qui le porte (Ox). 𝜋 • Le plan médiateur défini par 𝜃 = 2 (𝑥 = 0) est une surface équipotentielle 𝑉 = 0 (car 𝜋 𝑐𝑜𝑠 ( 2 ) = 0 ). Surface équipotentielle • Les équipotentielles sont des surfaces dans l’espace (des courbes dans le plan) définies par V = cste=V0. • Soit : 4. Lignes de champ et équipotentielles créées par un dipôle : Les lignes de champs vont bien du + vers le - ✪ 11 5. Résumé RESUME Energie potentielle électrostatique 𝐸𝑝 = • 𝑉= Potentiel électrostatique 1 . 𝑞𝑞0 𝑟. 4𝜋𝜀0 𝑞 4𝜋𝜀0 𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 • 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑀′ • 𝑉 (𝑀) − 𝑉 (𝑀 ′ ) = ∫𝑀 ⃗⃗⃗ 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 • Moment dipolaire électrique : 𝑝 = 𝑞𝑑 Dipôle électrique • Potentiel électrostatique : 𝑉 (𝑀) = 1 4𝜋𝜀0 × 𝑝.𝑐𝑜𝑠 (𝜃) 𝑟2 Schémas 12