Chapitre 1 - Electrostatique PDF

1. Electrostatique , 4. La force électrique (F) a) Loi de Coulomb Soient deux charges et immobiles placées aux points A et B dans le vide. (Charles Augustin...

1. Electrostatique , 4. La force électrique (F) a) Loi de Coulomb Soient deux charges et immobiles placées aux points A et B dans le vide. (Charles Augustin Coulomb, 1736-1806) Force exercée par sur : A B Force exercée par sur : 1 𝑘= 4𝜋0 𝑟 Dans le vide 𝑟 = 1 ⟶ A B 34  1. Electrostatique Validité de la loi de Coulomb : Si , les charges ne peuvent plus être considérées comme ponctuelles. b) Principe de superposition Soient charges placées, respectivement, aux points dans le vide. La force exercée par l’ensemble des charges sur la charge située au point est : 35  1. Electrostatique Exemple : Calcul de la force exercée par trois charges 1C , - 1C et 1C, placées aux sommets d’un triangle équilatéral de coté 1cm sur une charge de 1C située au centre du triangle. A G B 36 1. Electrostatique 37  1. Electrostatique 5. Le champ électrique ( ) Les propriétés de l’espace qui entourent une charge électrique sont traduites par l’existence d’un champ électrique. b) Cas de plusieurs charges (Principe de superposition) a) Cas d’une seule charge A Le champ crée par l’ensemble des charges au point est : 38  1. Electrostatique D A G C B Exemple : Calcul du champ électrique, crée par 4 charges placées aux sommets d’un carré de côté , au centre du carré. 39 1. Electrostatique c) Relation entre et A Si on place au point une autre charge , elle est soumise à une force : D’où : 40  1. Electrostatique 6. Le potentiel électrique (V ) c) Relation entre et a) Cas d’une seule charge Soit une charge q au point O : En un point M situé à la distance r d’un point O, il existe un potentiel V tel que : O O b) Cas de n charges Soit un point M’ très proche de M, tel que : La circulation élémentaire du vecteur du point M au point M’ est définie par : 41  1. Electrostatique ❑ en coordonnées cartésiennes (x,y) Soit un point M dont le vecteur position est : 0 Entre M et M’ existe une DDP, , tel que : D’où : 𝑗 𝑖 Vérification de l’expression de : 𝑟 = 𝑂𝑀 = 𝑂𝐻 + 𝐻𝑀 42  1. Electrostatique ❑ en coordonnées polaires (r,  ) Soit un point M dont le vecteur position est : 𝑢 𝑢𝑟 𝑗  𝑖 H 𝑟 = 𝑂𝑀 = 𝑟. 𝑢𝑟 𝑑𝑟 = 𝑑 𝑟. 𝑢𝑟 = 𝑑𝑟. 𝑢𝑟 + 𝑟. 𝑑𝑢𝑟 Exemple : 𝑉 = 3𝑥 2 𝑒 −𝑦 𝑢𝑟 = 𝑐𝑜𝑠. 𝑖 + 𝑠𝑖𝑛. 𝑗 𝑉 𝑉 𝑉 𝑢 = −𝑠𝑖𝑛. 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠. 𝑗 = 6𝑥 𝑒 −𝑦 , , , = −3𝑥 2 𝑒 −𝑦 , , , =0 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑢𝑟 = 𝑢 ⟶ 𝑑𝑢𝑟 = 𝑑. 𝑢 𝐸 = −6𝑥 𝑒 −𝑦 𝑖 + 3𝑥 2 𝑒 −𝑦 𝑗 𝑑 𝐸 = −3𝑥 𝑒 −𝑦 2 𝑖 − 𝑥 𝑗 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟. 𝑢𝑟 + 𝑟 𝑑. 𝑢 43  1. Electrostatique 𝑉 = 𝑓 𝑟,  Exemple : 𝑉 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑑𝑟 +   𝑑  3 𝑐𝑜𝑠 𝑟 𝑉= 𝑟2 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 = 𝑋. 𝑢𝑟 + 𝑌. 𝑢 𝑉 6 𝑐𝑜𝑠  𝑉 3 𝑠𝑖𝑛 =− , , , = − , 𝑟 𝑟3  𝑟2 𝑑𝑉 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉. 𝑑𝑟 = 𝑋. 𝑑𝑟 + 𝑌𝑟. 𝑑 6 𝑐𝑜𝑠 3 𝑠𝑖𝑛 𝑉 1 𝑉 𝑬=. 𝒖 𝒓 +. 𝒖 𝑋= ,,,,,𝑌 =. 𝑟3 𝑟3 𝑟 𝑟  3 𝑉 1 𝑉 𝑬= 2 𝑐𝑜𝑠. 𝒖𝒓 + 𝑠𝑖𝑛. 𝒖 𝑟3 𝑟   𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 =. 𝑢𝑟 +..𝑢 𝑟 3 𝑽 𝟏 𝑽 𝑬= 𝑬 = 3 3 𝒄𝒐𝒔2  + 1 𝒓 𝒓   𝑬=−. 𝒖𝒓 +..𝒖 𝒓 44  1. Electrostatique Exemple d’application : Illustration de la notion de gradient pour la température de l’atmosphère. A. Nous pouvons considérer qu’entre deux M. villes A et B, la température ne dépend que de la latitude (x) et de l’altitude (y) de la façon suivante : B. La température décroit de 7°C lorsque l’altitude augmente de 1000 m. La température augmente de 10°C lorsqu’on se déplace de 100 km vers le sud. Il est alors possible de définir un vecteur : 𝑇 𝑇 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 = 𝑖+ 𝑗 Connaissant la température en A (36 °C par 𝑥 𝑦 exemple), il est alors possible de calculer la 10 7 température en tout point entre A et B. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 = 𝑖 − 𝑗 105 103 Par exemple au point M (100 km au sud et 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝑦 𝑗 700 m au dessus de A). 45  1. Electrostatique 7. Energie potentielle électrique (Ep ) 𝑇 𝑇 a) Travail d’une force 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 = 𝑖+ 𝑗 𝑥 𝑦 Soit un système de 2 charges ponctuelles : 10 7 B 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 = 5 𝑖 − 3 𝑗 10 10 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 𝑖 + 𝑑𝑦 𝑗 𝑟𝐵 𝑑𝑙 𝐹𝑂Τ𝑀 10 7 𝑟 M 𝑑𝑇 = 𝑑𝑟. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 = 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 105 103 𝑢 10 7 𝑟𝐴 𝑑𝑇 = 5 105 − 3 700 = 5.1 °𝐶 O A 10 10 𝑞1 𝑞2 𝐹 𝑂 Τ𝑀 =𝐾 2 𝑢 𝑟 𝑻 = 𝟑𝟔 + 𝟓. 𝟏 = 𝟒𝟏. 𝟏 °𝑪 Le travail élémentaire qu’il faut fournir pour déplacer 𝑞2 d’un déplacement 𝑑𝑙 est défini par : 𝑞1 𝑞2 𝑑𝑊 = 𝐹𝑂/𝑀 𝑑𝑙 = 𝐾 2 𝑢. 𝑑𝑙 𝑟 46  1. Electrostatique 𝑞1 𝑞2 Le long du trajet de A à B, on obtient : 𝑑𝑊 = 𝐹𝑂/𝑀 𝑑𝑙 = 𝐾 𝑢. 𝑑𝑙 𝑟2 𝑟𝐵 𝑞1 𝑞2 𝑞1 𝑞2 1 1 𝑊𝐴𝐵 = න 𝐾 2 𝑑𝑟 = − 𝑟𝐴 𝑟 4𝜋0 𝑟𝐴 𝑟𝐵 𝑑𝑙 Ce travail ne dépend pas du chemin suivi. Force 𝐹𝑂Τ𝑀 conservative. 𝑑𝑇 𝑑𝑟 b) Energie potentielle électrique 𝑢 M Par définition : 𝐵 𝐵 𝑑𝐸𝑝 = −𝑑𝑊 ⟶ න 𝑑𝐸𝑝 = − න 𝑑𝑊 𝑑𝑙 = 𝑑𝑟 + 𝑑𝑇 𝐴 𝐴 𝑞1 𝑞2 1 1 𝐸𝑝 𝐵 − 𝐸𝑝 𝐴 = − − 𝑢. 𝑑𝑙 = 𝑢. 𝑑𝑟 + 𝑑𝑇 = 𝑢. 𝑑𝑟 + 𝑢. 𝑑𝑇 4𝜋0 𝑟𝐴 𝑟𝐵 Soit : 𝑢. 𝑑𝑙 = 𝑢. 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟 𝑞1 𝑞2 𝑞1 𝑞2 𝐸𝑝 𝐴 = , , , , , 𝐸𝑝 𝐵 = 𝑞1 𝑞2 4𝜋0 𝑟𝐴 4𝜋0 𝑟𝐵 𝑑𝑊 = 𝐾 𝑑𝑟 𝑟2 47  1. Electrostatique D’une façon générale, on écrit : Cas de 3 charges :: 𝑞1 𝑞2 𝑞1 𝑞2 C 𝐸𝑝 = =𝑘 𝑞3 4𝜋0 𝑟 𝑟 C’est l’énergie potentielle électrostatique 𝑟𝐴𝐶 𝑟𝐵𝐶 d’un système de deux charges séparées par une distance r. 𝑟𝐴𝐵 On peut écrire aussi : A B 𝑟 A B 𝑞2 𝑞3 𝑞1 𝑞3 𝑞2 𝑞1 𝑉𝐴 = 𝑘 +𝑘 , , , , , 𝑉𝐵 = 𝑘 +𝑘 𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐴𝐶 𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐵𝐶 𝑉𝐴 = 𝑘 , , , , , , , 𝑉𝐵 = 𝑘 𝑟 𝑟 𝑞1 𝑞2 𝑞1 𝑞2 𝑞2 𝑞1 𝑉𝐶 = 𝑘 +𝑘 𝐸𝑝 = 𝑘 = 𝑞1 𝑘 = 𝑞2 𝑘 𝑟𝐴𝐶 𝑟𝐵𝐶 𝑟 𝑟 𝑟 𝐸𝑝 = 𝑞1 𝑉𝐴 = 𝑞2 𝑉𝐵 𝐸𝑝 = 𝐸𝑝 𝑞1 , 𝑞2 + 𝐸𝑝 𝑞2 , 𝑞3 + 𝐸𝑝 𝑞1 , 𝑞3 D’où : 𝟏 𝑬𝒑 = 𝒒 𝑽 + 𝒒𝟐 𝑽𝑩 𝟐 𝟏 𝑨 48  1. Electrostatique 𝐸𝑝 = 𝐸𝑝 𝑞1 , 𝑞2 + 𝐸𝑝 𝑞2 , 𝑞3 + 𝐸𝑝 𝑞1 , 𝑞3 𝑞1 𝑞2 𝑞2 𝑞3 𝑞1 𝑞3 𝐸𝑝 = 𝑘 +𝑘 +𝑘 𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐵𝐶 𝑟𝐴𝐶 1 𝑞1 𝑞2 𝑞2 𝑞3 𝑞1 𝑞3 𝐸𝑝 = 𝑘 +𝑘 +𝑘 2 𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐵𝐶 𝑟𝐴𝐶 1 𝑞1 𝑞2 𝑞2 𝑞3 𝑞1 𝑞3 + 𝑘 +𝑘 +𝑘 2 𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐵𝐶 𝑟𝐴𝐶 1 𝑘𝑞2 𝑘𝑞3 𝑘𝑞1 𝑘𝑞3 𝑘𝑞1 𝑘𝑞2 𝐸𝑝 = 𝑞1 + + 𝑞2 + + 𝑞3 + 2 𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐴𝐶 𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐵𝐶 𝑟𝐴𝐶 𝑟𝐵𝐶 𝑽𝑨 𝑽𝑩 𝑽𝑪 D’où : 𝟏 𝑬𝒑 = 𝒒 𝑽 + 𝒒𝟐 𝑽𝑩 + 𝒒𝟑 𝑽𝑪 𝟐 𝟏 𝑨 Dans le cas de n charges : 𝒏 𝟏 𝑬𝒑 = ෍ 𝒒𝒊 𝑽𝒊 𝟐 𝒊=𝟏 49