Guía Nº4 – Conjuntos Numéricos (7º básico 2020) PDF

## GUÍA Nº4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS ### LOS NÚMEROS PARTIDOS **Nombre:** **Curso:** 7° **Fecha:** Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como una razón. El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q. Todo racional expresa una o varias partes iguales de la unidad....

## GUÍA Nº4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS ### LOS NÚMEROS PARTIDOS **Nombre:** **Curso:** 7° **Fecha:** Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como una razón. El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q. Todo racional expresa una o varias partes iguales de la unidad. Además, en toda fracción existen dos términos: “a” llamado numerador y “b” llamado denominador. Es decir: $Q=a∈ZbEZ-0$ - **Numerador:** indica el número de partes iguales que se consideran del entero. - **Denominador:** indica el número de partes iguales en que se divide el entero. **Ejemplos:** | Numerador | Denominador | |---|---| | 3 | 9 | | 8 | 14 | **Observaciones:** - No olvides que el denominador debe ser distinto de cero. - Todo número entero puede ser escrito como un número racional. - No todo número racional puede ser escrito como un número entero. **AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR** Para amplificar una fracción se multiplica, por un número entero distinto de cero, el numerador y el denominador. **Ejemplo:** $\frac{2}{3}$ amplificado por 4 es $\frac{2*4}{3*4}=\frac{8}{12}$ Para simplificar una fracción se divide, por un número entero distinto de cero, el numerador y el denominador. **Ejemplo:** $\frac{9}{15}$ simlificado por 3 es $\frac{9:3}{15:3}=\frac{3}{5}$ **FRACCIONES EQUIVALENTES** Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de un entero. $\frac{6}{8}=\frac{12}{16}$ **Observaciones:** - Para obtener fracciones equivalentes, se debe amplificar o simplificar una fracción dada. - El conjunto de todas las fracciones equivalentes entre sí, se llama Clase de Equivalencia. - Cada clase de equivalencia tiene un representante (Número Racional), el cual es la fracción irreductible del conjunto. - Todos los elementos de una clase de equivalencia representan el mismo punto en la recta. ### ACTIVIDAD 1. Amplifica por 4 los siguientes racionales. a) $\frac{2}{5}$ c) $\frac{-2}{3}$ b) $\frac{11}{10}$ d) $\frac{-5}{7}$ Amplifica por –3 los siguientes racionales. e) $\frac{3}{7}$ g) $\frac{5}{4}$ f) $\frac{1}{8}$ h) $\frac{-5}{8}$ ### ACTIVIDAD 2. Simplifica hasta obtener una fracción irreductible. a) $\frac{16}{28}$ b) $\frac{80}{30}$ c) $\frac{-12}{6}$ d) $\frac{-27}{36}$ e) $\frac{28}{84}$ f) $\frac{-64}{132}$ ### ACTIVIDAD 3. Escribe 3 fracciones equivalentes a la fracción dada. Recuerda que puedes amplificar o simplificar. a) $\frac{1}{5}$ = □□□ c) $\frac{30}{20}$ = □□□ e) $\frac{-8}{6}$ = □□□ b) $\frac{6}{7}$ = □□□ d) $\frac{-225}{75}$ = □□□ f) $\frac{18}{11}$ = □□□ ### ACTIVIDAD 4. Escribe en el el número que falta para que las fracciones sean equivalentes. a) $\frac{1}{3}$ = $\frac{□}{18}$ b) $\frac{10}{9}$ = $\frac{□}{54}$ c) $\frac{□}{56}$ = $\frac{7}{8}$ d) $\frac{8}{□}$ = $\frac{80}{108}$ e) $\frac{□}{36}$ = $\frac{-9}{8}$ f) $\frac{□}{10}$ = $\frac{-9}{108}$ ### ORDEN EN LOS RACIONALES Los números racionales representan cantidades, por lo tanto unos pueden representar más y otros menos, es decir hay una relación de orden entre ellos. Es por ello, que podemos determinar si un número racional es mayor que otro o si son iguales. **Ejemplos:** - $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$ = a*d>b*c - $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ = a*d<b*c - $\frac{a}{b} = \frac {c}{d}$ = a*d=b*c $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ = 1*3>1*2 $\frac{2}{3} < \frac{2}{5}$ = 2*3<2*5 $\frac{7}{10} = \frac{14}{20}$ = 7*20=14*10 Además, un conjunto de racionales se pueden ordenar, de menor a mayor o viceversa, de la siguiente forma: 1. Calcular el MCM de los denominadores. 2. Amplificar cada fracción para que todas tengan igual denominador. 3. Ordenar de menor a mayor o viceversa. **Ejemplo:** Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$ 1. Calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores. MCM(3,4,5)=60 2. Amplificar las fracciones para que tengan el mismo denominador. $\frac{1*20}{3*20}=\frac{20}{60}$, $\frac{1*15}{4*15}=\frac{15}{60}$, $\frac{2*12}{5*12}=\frac{24}{60}$ 3. Escribir las fracciones ordenadas. $\frac{15}{60}$, $\frac{20}{60}$, $\frac{24}{60}$ = $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$ ### DENSIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS RACIONALES Un conjunto es denso cuando entre dos números distintos se pueden intercalar infinitos números del mismo conjunto. Se puede intercalar infinitos racionales entre dos racionales distintos, ya que el conjunto Q es denso. 1. Calcular el MCM de los denominadores de las dos fracciones. 2. Amplificar las fracciones para que tengan igual denominador. 3. Escribir las fracciones intercaladas. **Ejemplo:** Intercalar 3 fracciones entre $\frac {1}{3}$, $\frac{4}{5}$ 4. Calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores. MCM(3,5)=15 5. Amplificar las fracciones. $\frac{1*5}{3*5}=\frac{5}{15}$, $\frac{4*3}{5*3}=\frac{12}{15}$ 6. Escribir las fracciones intercaladas. $\frac{5}{15}$, $\frac{6}{15}$, $\frac{7}{15}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{12}{15}$ ### ACTIVIDAD 5. Coloca en el () el signo >, < o = según corresponda. a) $\frac{3}{4}$ ( ) $\frac{1}{3}$ b) $\frac{-2}{3}$ ( ) $\frac{1}{4}$ c) $\frac{5}{3}$ ( ) $\frac{-9}{4}$ d) $\frac{-17}{20}$ ( ) $\frac{-32}{45}$ e) $\frac{3}{1}$ ( ) $\frac{42}{168}$ f) $\frac{155}{50}$ ( ) $\frac{60}{240}$ ### ACTIVIDAD 6. a) Ordena de menor a mayor los siguientes racionales. $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{-5}{5}$, $\frac{1}{1}$, $\frac {3}{1}$ b) Ordena de menor a mayor los siguientes racionales. $\frac{3}{2}$, $\frac{-3}{4}$, $\frac{-2}{5}$, $\frac{-1}{2}$, $\frac {1}{2}$ c) Ordena de mayor a menor los siguientes racionales. $\frac{3}{4}$, $\frac{-5}{6}$, $\frac{1}{1}$, $\frac{-3}{2}$, $\frac{7}{8}$, $\frac{0}{16}$ ### ACTIVIDAD 7. Intercala 5 racionales entre: a) $\frac{-2}{5}$ □□□□□ $\frac{-5}{7}$ b) $\frac{5}{2}$ □□□□□ $\frac{9}{9}$ c) $\frac{9}{7}$ □□□□□ $\frac{11}{8}$ d) $\frac{3}{8}$ □□□□□ $\frac{4}{9}$ e) $\frac{1}{3}$ □□□□□ $\frac{1}{2}$ ### ACTIVIDAD 8. Ubica en la misma recta numérica los racionales dados. a) $\frac{13}{5}$, $\frac{-17}{10}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{-5}{7}$ ### ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE LOS RACIONALES El conjunto de los números racionales, con las operaciones de adición y multiplicación, definen un cuerpo Es decir: - ¿ es un cuerpo: - ¿es grupo abeliano: - 1. Clausura. - 2. Conmutatividad. - 3. Asociatividad. - 4. Elemento Neutro Aditivo. - 5. Elemento Inverso Aditivo (Opuesto aditivo). - ¿es grupo abeliano: - 1. Clausura. - 2. Conmutatividad. - 3. Asociatividad. - 4. Elemento Neutro Multiplicativo. - 5. Elemento Inverso Multiplicativo. - ¿ cumple la distributividad. ### ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Existen distintas formas de sumar dos racionales. 1. Fracciones con igual denominador: Se suman los numeradores y se conserva el denominador en común. $\frac{a+b}{c}$ 2. Fracciones con distinto denominador: Se debe amplificar cada fracción para que tengan un denominador en común y luego sumar los numeradores (amplificados). $\frac{ac}{bd}+\frac{ad+bc}{bd}$ ### PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES El conjunto de los racionales con la operación adición forman un grupo abeliano. Es decir cumple con las siguientes propiedades: - Clausura - Asociatividad - Elemento neutro aditivo - Elemento inverso aditivo - Conmutatividad ### ACTIVIDAD 9. Resuelve las siguientes adiciones de racionales. a) $\frac{1}{7}+\frac{3}{7}+\frac{2}{7}$ = □ b) □ ### SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES La sustracción es la operación inversa de la adición. Por lo tanto: $\frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{a-c}{bd}$ ### ACTIVIDAD 10. Resuelve las siguientes sustracciones de racionales. a) $\frac{27}{31} - \frac{13}{31}$ = □ b) $\frac{-1}{5} - \frac{3}{8}$ = □ c) $\frac{3}{2} - \frac{1}{6}$ = □ d) $\frac{3}{7} - \frac{1}{7}$ = □ e) $\frac{-1}{2} - \frac{13}{5}$ = □ ### ECUACIONES ADITIVAS EN Q. Dada la ecuación $\frac{a}{b} + x = \frac{c}{d}$, donde $a,b,c,d ∈ Q$ con x variable, se puede calcular el valor de la variable sumando, en ambos lados de la igualdad, el inverso aditivo del racional $\frac{a}{b}$. Es decir: $\frac{-a}{b} + \frac {a}{b} + x = \frac {c}{d} + \frac{-a}{b}$ $x = \frac{b*c+-a*d}{b*d}$ ### ACTIVIDAD 11. Resuelve las siguientes ecuaciones aditivas con racionales. a) $x + \frac{12}{5} = \frac{3}{2}$ b) $x + \frac{1}{7} + \frac{1}{3} = \frac{3}{42}$ c) $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac {3}{4}$ d) $1 + x + \frac{2}{5} = 3 - \frac{1}{8} + \frac{2}{2}$ ### ACTIVIDAD 12. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios combinados. a) $(2-3) \frac{1}{5}- 4 (2+1)\frac{1}{5} = □ b) $-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = □ c) \frac {1}{4}-2(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})+2= □ d) 1+\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 2 (\frac{3}{50} -\frac{1}{2}) = □ ### MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES $\frac{a}{b} * \frac {c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$ ### PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES El conjunto de los racionales, sin el cero, con la operación multiplicación forman un grupo abeliano. Es decir cumple con las siguientes propiedades: - Clausura - Asociatividad - Elemento neutro multiplicativo - Elemento inverso multiplicativo - Conmutatividad ### ACTIVIDAD 13. Resuelve las siguientes multiplicaciones de racionales. a) $\frac{3}{8} * \frac{-2}{9}$ = □ b) $\frac{-4}{5} * \frac{1}{2} * \frac{1}{3}$ = □ c) $\frac{-12}{15} * \frac{-3}{4} * \frac{30}{40^{-1}}$ = □ ### DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES La división es la operación inversa de la multiplicación. Por lo tanto: $\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a*d}{b*c}$ ### ACTIVIDAD 14. Resuelve las siguientes divisiones de racionales. a) $\frac{-7}{8} ÷ \frac{3}{5}$ = □ b) $\frac{9}{5} ÷ \frac{16}{4}$ = □ c) $0 ÷ \frac{1}{2}$ = □ d) $(\frac{7}{5}) ÷ 4$ = □ ### ECUACIONES MULTIPLICATIVAS EN Q. Dada la ecuación $\frac{a}{b} * x = \frac{c}{d}$, donde $a,b,c,d ∈ Q$ con x variable, se puede calcular el valor de la variable multiplicando, en ambos lados de la igualdad, por el inverso mutiplicativo del racional $\frac{a}{b}$. Es decir: $\frac{b}{a} * \frac{a}{b} * x = \frac{c}{d} * \frac{b}{a}$ $ x= \frac {b*c}{a*d}$ ### ACTIVIDAD 15. Resuelve las siguientes ecuaciones multiplicativas. a) $\frac{4}{3} * x = \frac {-2}{5}$ b) $\frac {1}{2} * x = \frac {-1}{2}$ c) $x * (\frac {1}{32}) * (\frac {-1}{3}) = \frac{2}{4} * \frac{1}{1}$ ### ACTIVIDAD 16. Resuelve los siguientes ejercicios combinados. a) $(\frac{2}{3} + 4-2\frac{1}{4} - \frac{4}{2}) * 10 = □ b) 2\frac{1}{4} * (\frac{3}{2} * \frac{1}{3}) * 1 = □ c) $(\frac{3}{2} - 2) * (1 + \frac{3}{4}) * \frac{4}{3} = □ ### ACTIVIDAD 17. Resuelve las siguientes ecuaciones en ¿. a) $x * \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{5}$ b) $x * \frac{5}{3} + 1 = \frac{1}{2}$ c) $x + 6 – \frac{1}{5} = \frac{3}{2}$ d) $\frac{4}{9} - \frac{2}{3} * x = \frac{3}{4}$ e) □ ### ACTIVIDAD 18. Resuelve y responde en tu cuaderno los siguientes problemas que involucran números racionales. a) ¿Qué número sumado a $\frac{-5}{8}$ da como resultado $\frac{3}{2}$ ? b) ¿De qué número hay que restar $\frac{9}{7}$ para obtener $\frac {1}{2}$? c) ¿Qué número restado a $\frac{9}{7}$ para obtener $\frac{1}{2}$? d) La suma de tres fracciones es igual a $\frac {3}{5}$. El primer sumando es $\frac{3}{7}$ y el segundo es $\frac{-1}{4}$. ¿Cuál es el tercer sumando? e) Un estanque de agua contiene $\frac{1}{6}$ de su capacidad, si se agregan 64 litros llega hasta la mitad. ¿Cuál es la capacidad del estanque? f) Después de gastar $\frac {1}{3}$ y $\frac{1}{8}$ del dinero que tenía, me quedan $3.990. ¿Cuánto dinero tenía? ### REPRESENTACIÓN DECIMAL DE UNA FRACCIÓN. Toda fracción puede ser representada de forma decimal dividiendo el numerador con el denominador. Los números decimales se forman de una parte entera separada de una parte decimal con una coma. De acuerdo a como es el decimal se puede clasificar como: 1. **Decimal finito:** número decimal que su parte decimal tiene fin. $\frac{112}{100}$ = 1,12 $\frac{50}{100}$ = $\frac{1}{2}$ = 0,5 $\frac {2}{5}$ = 0,4 2. **Decimal infinito:** número decimal que su parte decimal no tiene fin. - **Periódico:** la parte decimal se forma de una secuencia numérica que se repite (periodo). - **Semiperiodico:** la parte decimal se forma de algunas cifras (anteperiodo) acompañados de un periodo. - **No periódicos:** la parte decimal es infinita y sin periodo. ### REPRESENTACIÓN FRACCIONARIA DE UN DECIMAL. Los números decimales, dependiendo de su naturaleza, pueden ser expresados como una fracción (propia, impropia o igual al entero). Los únicos números decimales que no se pueden representar como una fracción son los infinitos no periódicos, es por ello que todos los decimales excepto los infinitos no periódicos, pertenecen al conjunto de los números racionales. 1. **Decimal finito a fracción:** se escribe en el numerador el decimal completo omitiendo la coma. Se En el denominador se escribe una potencia de diez, donde el exponente es igual al número de cifras de la parte decimal. $\frac{634}{1000}$ = 0,634 2. **Decimal infinito periódico a fracción:** se escribe en el numerador el decimal completo omitiendo la coma y se le resta todo lo que está antes del periodo. En el denominador se escriben tantos nueve como cifras tenga el periodo. 3. **Decimal infinito semiperiodico a fracción:** se escribe en el numerador el decimal completo omitiendo la coma y se le resta todo lo que está antes del periodo. En el denominador se escriben tantos nueve como cifras tenga el periodo acompañado de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. ### OPERATORIA ENTRE NÚMEROS DECIMALES Recordemos observando el ejemplo dado y escribe con tus palabras en máximo dos líneas el procedimiento adecuado de cómo resolver cada operación con números decimales. - **ADICIÓN.** - **SUSTRACCIÓN.** - **MULTIPLICACIÓN.** - **DIVISIÓN.** ### ¡DESAFIO RÁPIDO! Observa los tres ejemplos de cómo dividir números decimales por potencias de base 10. - Ejemplo 1: 25,79 ÷ 10 = 2,579 - Ejemplo 2: 26,38 ÷ 100 = 0,2638 - Ejemplo 3: 34,09 ÷ 1000 = 0,03409 Responde: ¿Qué se debe hacer cuando dividimos un número decimal por 10, 100, 1.000, ... (Potencia de base 10)? ### TEST DE SELECCIÓN ÚNICA Y SELECCIÓN MÚLTIPLE **Instrucciones:** Ennegrece una y solo una de las alternativas. Todo ejercicio debe incluir sus cálculos matemáticos coherentes al contenido y a la respuesta marcada. 1) ¿Qué fracción es equivalente a $\frac{-2}{5}$? A) $\frac{-8}{15}$ B) $\frac{8}{20}$ C) $\frac{-6}{20}$ D) $\frac{10}{-25}$ E) $\frac{4}{10}$ 2) ¿Qué fracción se obtiene al amplificar $\frac{5}{8}$ por 3? A) $\frac{15}{24}$ B) $\frac{-15}{24}$ C) $\frac{15}{8}$ D) $\frac{-15}{8}$ E) $\frac{24}{5}$ 3) ¿Qué número se debe escribir en el A para que las fracciones sean equivalentes?: $\frac {11}{15} = \frac {33}{A}$ A) 5 B) 10 C) 30 D) 45 E) N.A. 4) ¿Cuál de las siguientes desigualdades es correcta? A) 0,3 > 3 B) 2,5 < 3-9 C) 0,25 < 1/8 D) 0,25 > 0,25 E) 3-6 < 5/8 5) El número 0,08 es equivalente a: A) $\frac{8}{90}$ B) $\frac{16}{180}$ C) $\frac{16}{198}$ D) $\frac{4}{45}$ E) $\frac{8}{99}$ 6) ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor? A) $\frac{-8}{11}$ B) $\frac{-3}{4}$ C) $\frac{-5}{7}$ D) $\frac{17}{23}$ E) $\frac{19}{25}$ 7) ¿Cuál de los siguientes racionales es mayor que 2,7? A) $\frac{29}{11}$ B) $\frac{11}{5}$ C) $\frac{18}{7}$ D) $\frac{13}{5}$ E) $\frac{26}{9}$ 8) ¿Cuál (les) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? i. Un racional entero no tiene desarrollo decimal. ii. 0,025 = $\frac{5}{198}$ iii. El racional $\frac{1}{33}$ tiene desarrollo decimal infinito periódico. A) Solo i. y ii. B) Solo ii. y iii. C) Solo i. y iii. D) i., ii. y iii. E) Ninguna. 9) ¿Cuál de los siguientes racionales está a igual distancia de $\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{5}$? A) $\frac{9}{20}$ B) $\frac{16}{40}$ C) $\frac{17}{40}$ D) $\frac{8}{20}$ E) $\frac{19}{40}$ 10) El punto P en una recta numérica corresponde al número -19/4 . ¿Cuál es el entero más cercano a P? A) -6 B) -3 C) -5 D) -4 E) -2 11) Si a = -3/8, b = -2/3 y c = -7/8, entonces el orden creciente es: A) a,b,c B) b, c, a C) c,b,a D) a,c,b E) b,a,c 12) El resultado de $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}$ es: A) $\frac {6}{25}$ B) 25/6 C) 1/6 D) 6 E) $\frac{1}{6}$ 13) ¿Cuál es el valor de Q? $Q = 1 - \frac {1}{(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})}$ A) $\frac{1}{2}$ B) 1 C) 2 D) -2 E) Otro valor. 14) Un cuarto de la tercera parte de la mitad de 2 es: A) 1/4 B) 1/2 C) 2 D) 12 E) Otro valor. 15) Si hoy leí $\frac{3}{8}$ de un libro y ayer leí $\frac {2}{6}$ menos que hoy. ¿Cuánto me queda por leer? A) $\frac{2}{8}$ B) $\frac{3}{8}$ C) $\frac{4}{8}$ D) $\frac{5}{8}$ E) $\frac{1}{8}$ 16) ¿Cuánto es la mitad de $\frac{1}{4}$ de $\frac{1}{5}$ de $\frac {1}{10}$ de 40.000? A) 400 B) 300 C) 200 D) 100 E) 50